Zlatni rez - matematika

  • Published on
    10-Feb-2017

  • View
    504

  • Download
    14

Embed Size (px)

Transcript

  • Valentina Meglaj

  • PovijestOtkrie zlatnog reza pripisuje se Grcima, zbog njihovih pisanih zabiljeki i instrumenata koje su koristili, ali proporcije zlatnog reza nalazimo ve i na egipatskim graevinama.

    Matematiki odnosi su se kod Egipana postavljali na osnovi izraunavanja bitnih prirodnih pojava : podizanje i opadanje Nila, astronomskih mjerenja kretanja zvijezda ( osobito Orionovog pojasa ) zbog rasporeda hramova , svetia i piramida.

    Tako je Egipanima u proraun uao zlatni rez.

  • Veina konstrukcija ukljuuje 5 i pravokutne trokute : 3-4-5.Traganje za savrenim proporcijama dovelo je umjetnike stare Grke do uspostavljanja kanona za prikaz idealnih mjera ljudskog tijela.Najee se koristio odnos veliine glave prema ostatku tijela, to je kod kipara Polikleta iznosilo 1:6, a kod kipara Praksitela 1:7.

  • Partenon

    Moda najslavniji primjer primjene zlatnoga reza u umjetnosti je Partenon.Omjeri veliina pojedinih dijelova hrama, sve do najsitnijih detalja, predstavljaju razmjer zlatnog reza. Analize pojedinih autora pokazuju da je u veini klasinih graevina ugraen, na neki nain, zlatni rez.

  • DefinicijaPodijelimo li neku duinu na dva dijela tako da je omjer duljina cijele duine i veeg dijela jednak omejru veeg i manjeg dijela, tada smo nainili ZLATNI REZ.

  • Broj zlatnog reza je phi ( ) , broj koji mnogi zovu Boanskim omjerom.Zlatni se rez moe brojano izraziti kao konstanta ija veliina iznosi 1.6180339... Matematika formula glasi :

    Zlatni razmjer naziva se formula :

    A : B = B : ( A + B )

    Oznaku 1909. g. predloio je ameriki matematiar Mark Barr u ast slavnom starogrkom kiparu Fidiji.

  • Drugim rijeima, ako je a duljina duine i x duljina veeg od dvaju dijelova na koje je duina podijeljena tokom Z, tada se zahtijeva da vrijedi jednakost: a : x = x : ( a x )

    Odatle slijedi kvadratna jednadba x + ax - a = 0 Njezino je rjeenje rjenje zadatka

  • Ako izraunamo priblinu vrijednost broja

    vidjeti emo da taj vei dio ini priblino 61.8 % duljine duine, dok je manji dio ostatak 38.2 %.

  • Kako za danu duinu AB, |AB| = a, konstruirati toku Z?

    Konstruirajmo pravokutni trokut ABC tako da je |BC| = a/2Oko toke C opiimo krunicu polumjera |BC| i ta krunica sijee hipotenuzu AC u toki D.Sada jo oko A opiimo kruni luk polumjera |AD| te e taj luk duinu AB presjei u toki Z.

  • Provjerimo:

    Najprije je AC=

    Zatim imamo:

  • Genijalan talijanski umjetnik Leonardo Da Vinci spoznao je znaenje zlatnog reza te je vrlo poznata njegova slika ljudskog tijela inspirirana injenicom da je skladnost toga tijela posljedica injenice to su neki njegovi dijelovi u zlatnom omjeru.

  • Konstruiramo li pravokutnik ije su stranice dva dijela duine podijeljene zlatnim rezom, dobiti emo ZLATNI PRAVOKUTNIK koji likovni umjetnici dre najskladnijim od svih pravokutnika.

    Zbog toga se o toj injenici vodi rauna kad se grade graevine, kad se bira oblik fotografije, slike ili knjige itd.

  • Osim toga, zlatni pravokutnik ima jednu zanimljivu osobinu: Odree li se od njega kvadrat, ostatak e biti zlatni pravokutnik.

    Ako unutar niza kvadrata koje dobijemo uzastopnim odsijecanjem od pravokutnika konstruiramo lukove kao na slici, dobiti emo spiralu koja se zove ZLATNA SPIRALA.

  • Takve se spirale esto nalaze u prirodi, a najpoznatije su one na kuicama pueva ili na koljkama.

  • Dodajmo kako postoji i ZLATNI TROKUT.To je karakteristini trokut pravilog deseterokuta.Ako konstruiramo simetralu kuta = 72 uz njegovu osnovicu, ta e simetrala od trokuta odsjei slian trokut.K tome simetrala dijeli krak trokuta po zlatnom rezu.

  • Stranica pravilnog deseterokuta, jednaka je zlatnom rezu polumjera tom trokutu opisane krunice.

  • Ako nacrtamo pravilni peterokut upisan krunici polumjera r i izvuemo sve njegove dijagonale, dobiti emo PENTAGRAM ili peterokraku zvijezdu.Dijagonale iz svakog vrha dijele unutarnji kut peterokuta na tri jednaka dijela.Toka F dijeli dijagonalu po zlatnom rezu.

  • Unutarnji kut peterokuta iznosi =Dijagonale povuene iz jednog vrha dijele kut pri tom vrhu na tri jednaka dijela ( pouak o obodnom kutu! )

    Naime, svaki od tih kutova je obodni kut nad jednako velikim lukom, pa su svi ti kutovi sukladni.

    Zato su trokuti AED i EFD slini, a trokut AEF je jednakokraan.

  • Neka je duljina stranice peterokuta, a d duljina njegove dijagonale.Onda je = |AE| = |AF|Iz slinosti trokuta imamo: |AD| : |AE| = |ED| : |FD| tj.|AD| : |AF| = |AF| : |FD|

    Dakle, toka F dijeli dijagonalu peterokuta po zakonu zlatnog reza.To moemo zapisati i drugaije:d : a = a : ( d a )

    Pa odavde slijedi a = dStranica a peterokuta dijeli dijagonalu po zakonu zlatnog reza.

  • Zbog ovog je svojstva peterokraka zvijezda bilasimbol u razliitim kulturama.

    Ona je bila mistini simbol Pitagorejaca, ali i znak ljeviara irom svijeta.

    Na slici vidimo pentagram s krsnog zdenca u krstionici splitske katedrale.

  • Pitagora i Euklid su, u svojoj tenji za dokazivanjem harmonije u prirodi i njenim "vrstim tjelima", zakon zlatnog reza uveli u geometriju bez racionalnog matematikog broja.

    Tako je pored Pitagorinih iracionalnih brojeva a,b i c, broj Phi postao znakom zlatnoga reza.

    On svojom dinamikom spiralom ujedinjuje razne dijelove bilo kojeg tijela u cjelinu.

  • Euklid je na osnovi odnosa "zlatnog reza" dokazao da je ljudsko tijelo svojim proporcijama izraslo iz tog zakona, a umjetnici su sljedei Euklidovu geometriju i dinamiku spiralu svoje svjesne spoznaje ovjekovjeili zakon zlatnog reza u svojim djelima .

    Poliklet: Kopljonoa

  • Za vrijeme gotike, 1202. godine, Leonardo iz Pise zvan Filius Bonaccio, vjerojatno je potaknut teorijom o zakonu zlatnog reza, jedno vrijeme prouavao razmnoavanje zeeva i doao do zakljuka da i oni u odravanju vrste slijede prirodni zakon.

    Poeo je brojati i zapisivati zbrojeve novoroenih zeeva.

    Zanimljivosti!

  • Poeo je od prva dva zeca, broj novoroenih zeeva rastao je slijedeim redom: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

    Svaki sljedei broj jednak je zbroju prethodna dva. Omjer svih susjednih lanova je 1, 618..., a to je broj Phi koji oznaava omjer zakona zlatnog reza.

    Taj niz danas nazivamo Fibonacciov niz i njime povezujemo djelove neega u cjelinu te razumijemo izreku da je cjelina vie od zbroja njenih djelova.

    Taj niz je nazvan po Leonardu iz Pise, iako je ranije opisan u Indiji.

  • Fibonaccijev niz esto se povezuje s brojem zlatnog reza fi ( ).

    Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, npr. 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki sljedei broj s njegovim prethodnikom, uvijek emo dobiti ~ 1. 618.

    Broj 1.618 je iznos broja fi.

  • Povezanost broja fi i Fibonaccijevog s prirodom U konici pela uvijek je manji broj mujaka, nego enki. Kada bi podijelili broj enki sa brojem mujaka, uvijek bi dobili broj fi.

    Nautilus (glavonoac) u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izraunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedeem, dobili bi broj fi.

  • 3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama, meusobni odnos promjera rotacije je opet broj fi.

    4. Izmjerimo li duinu ovjeka, od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s duinom od pupka do poda, dobijemo broj fi.

  • "Geometrija posjeduje dva velika blaga :jedno je Pitagorin pouak, a drugo je zlatni rez!Prvo se moe usporediti sa istim zlatom,a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti." Johannes Kepler