Fibonaccijevi brojevi i Zlatni rez

Amar Bapic

8. studenog 2012.

Sadrzaj

Uvod 2

1. Fibonaccijevi brojevi 31.1. Uvod u Fibonaccijeve brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Pascalov trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Konstrukcija Pascalovog trougala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Dobivanje Fibonaccijevog niza iz Pascalovog trougla . . . . . . . . 5

1.3. Lucasovi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Veza izmedu Fibonaccijevih i Lucasovih brojeva . . . . . . . . . . . 6

2. Zlatni rez 72.1. Historija broja ϕ. Pojam Zlatnog reza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Zlatni rez u geometriji i van matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. 800 godina stari zecevi 11

Literatura 12

1

Uvod

Kada je rijec o matematici mnogi ljudi ce pomisliti samo na brojeve i racunanje, ali tonije sve. Matematika je jedna od najstarijih i najljepsih nauka koje postoje. U mojimocima i u ocima mnogih matematicara mogu da kazem da tu ima vise od brojeva. Mise susrecemo svakodnevno sa matematikom i ne znajuci za to. Matematika postoji i ubiljkama, zivotinjama pa cak i nama ljudima.Danas se u prirodi mogu naci razne matematicke pravilnosti i ljepote, a to je i ujednosvrha mog rada i razlog zbog kojeg sam zelio bas ovu temu da razradujem.Kao i sto naslov kaze ”Fibonaccijevi brojevi i Zlatni rez”, govorit cu o tim zanimljivim iveoma vaznim otkricima.Prvi dio je posvecen Fibonaccijevim brojevima u kojem se objasnjavaju osnovni pojmovikoji se vezu za te brojeve, te njihova vezu sa Pascalovim trouglom i Lucasovim brojevima.U drugom dijelu govori se o zlatnom rezu, gdje saznajemo sta je ustvari zlatni rez, kakoje pronaden te gdje se susrecemo u prirodi sa njim.U zavrsnom dijelu objasnjava se problem zeceva, kojeg je rijesio poznati matematicarLeonardo Fibonacci, te je rjesavanjem tog problema doslo do nastanka Fibonaccijevogniza, a pored toga spominje se zlatni rez i njegova veza sa Fibonaccijevim brojevima.

2

1. Fibonaccijevi brojevi

1.1. Uvod u Fibonaccijeve brojeve

Fibonaccijevi brojevi ili Fibonaccijev niz je takav niz brojeva u kojem je svaki clan,osim prva dva, jednak zbiru prethodna dva clana niza. Ovi brojevi su dobili ime po pozna-tom talijanskom matematicaru Leonardu iz Pise (1170. - 1250.), poznatiji kao Fibonacci.Fibonaccijev niz izgleda ovako:

Tablica 1: Prikaz prvih n clanova Fibonaccijevog nizaOznaka clana u nizu F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 Fn

Fibonaccijev niz 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 . . .

Kada je u pitanju Fibonaccijev niz dovoljno nam je poznavanje prva dva clana niza,jer treci clan mozemo izracunati iz realacije:

F1 + F2 = F3, tj. Fn = Fn−1 + Fn−2

1.2. Pascalov trougao

Shema brojeva, poznata pod nazivom Pascalov trougao (Slika 1.), bila je poznata punoranije nego sto ju je slavni francuski matematicar i poznati mislilac Blaise Pascal(1623.-1662.) prikazao u raspravi ”Traktat o artimetickom trouglu”, koje je tek posmrtno objav-ljeno 1665. godine. O ovom trouglu su prije toga pisali njemacki matematicar PetrusApianus 1527. godine i Talijan Nicolo Tartaglia 1556. Indijci su ga poznavali 200 godinap.n.e.

Slika 1: Pascalov trougao

3

1.2.1. Konstrukcija Pascalovog trougla

Vrh trougla je 1, njega cemo oznacavati sa nultim retkom. Svaki drugi element jednogretka jednak je zbiru elemenata u prethodnom retku lijevo i desno od njega (Slika 2.)osim krajnjih elemenata koji su jednaki 1. Sve brojeve van trougla uzimat cemo kao 0.

Slika 2: Konstrukcija Pascalovog trougla

Tablica 2: Racunski prikaz Pascalovog trougla

Red Vrijednost clanova u redu0 11 0+1=1, 1+0=12 0+1=1, 1+1=2, 1+0=13 0+1=1, 1+2=3, 2+1=3,1+0=14 0+1=1, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, 1+0=1...

...

Premda danas poznat kao Pascalov, taj trokut naziva se ponekad i kineski.Neki vjerujuda njegova prva pojava potjece iz 1303. godine te da ga je otkrio kineski matematicarZhu Shijie (1270. - 1330.) koji ga je i objavio u svojem djelu ”Siyuan yujian”1. Na Slici3. vidimo njegovu verziju trokuta:

Slika 3: Kineski trokut

1Matematicka rasprava u devete odjeljaka

4

1.2.2. Dobivanje Fibonaccijevog niza iz Pascalovog trougla

Jedno od zanimljivijih, a ujedno i bitnih svojstava Pascalovog trougla jeste da se prekonjega moze izracunati Fibonaccijev niz. Promotrimo Sliku 4:

Slika 4: Dobivanje Fibonaccijevog niza iz Pascalovog trougla

Odavde mozemo zakljuciti da se Fibonaccijev niz dobiva dijagonalnim sabiranjem brojevaPascalovog trougla.

1.3. Lucasovi brojevi

Francuski matematicar Eduard Lucas(1842.-1891.) je ostao zapamcen u svijetu matema-tike po tome sto je proucavao Fibonaccijev niz brojeva i on je taj, koji je u cast LeonardaFibonaccija, tom nizu dao naziv.On je proucavao slican niz Fibonaccijevom i u njegovu cast taj niz je dobio naziv Lucasovniz, a njegovi clanovi Lucasovi brojevi. Ovi brojevi se definisu isto kao i Fibonaccijevi,osim sto su pocetna dva broja L(0) = 2 i L(1) = 1, a kod Fibonaccijevih su to F (0) = 0i F (1) = 0.Lucasov niz izgleda ovako:

Tablica 3: Prikaz prvih n clanova Lucasovog nizaOznaka clana u nizu L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 Fn

Lucasov niz 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 . . .

Rekurzivna formula za Lucasove brojeve glasi:

Ln = Ln−1 + Ln−2, n > 1

Lucasovi i Fibonaccijevi brojevi imaju dosta slicnosti, stoga se i mogu prikazati jednipomocu drugih. U slijedecem odjeljku cemo to i pokazati.

5

1.3.1. Veza izmedu Fibonaccijevih i Lucasovih brojeva

Pozorno promotrimo tablicu i uocimo vezu:

Tablica 4: Fibonaccijev i Lucasov nizn 0 1 2 3 4 5 6 . . .Fn 0 1 1 2 3 5 8 . . .Ln 2 1 3 4 7 11 18 . . .

Promotrimo slijedece sume brojeva:

F0 + F2 = L1

F1 + F3 = L2

F2 + F4 = L3

F3 + F5 = L4

Odnosno, vidimo da je vrijednost n− tog clana Lucasovog niza jednak sumi dva Fibonac-cijeva broja, i to Fn−1 i Fn−2, tj.

Ln = Fn−1 + Fn−2

Pokusajmo sada pronaci vrijednost Fibonaccijevih brojeva preko Lucasovih.Koristimo istu metodu kao i kod pronalazenja Lucasovih brojeva, tj. sumirajmo dva clanaLucasovog niza, Ln−1 i Ln−2, te razmotrimo rjesenja.

za n=2: L1 = 1, L3 = 4→ L1 + L2 = 5, a F2 = 1za n=3: L2 = 3, L4 = 7→ L2 + L4 = 10, a F3 = 2za n=4: L3 = 4, L5 = 11→ L3 + L5 = 15, a F4 = 3za n=5: L4 = 7, L6 = 18→ L4 + L6 = 25, a F5 = 5

Ako pogledamo bolje mozemo vidjeti da je suma Ln−1 +Ln−2 djeljiva sa 5. Odnosno, akopogledamo rezultate koje smo dobili(F2, F3, F4, F5) uocavamo da su one 5 puta manje odsume Lucasovih brojeva.

L1 + L3 = 5→ L1 + L3 = 5 · F2

L2 + L4 = 10→ L2 + L4 = 5 · F3

L3 + L5 = 15→ L3 + L5 = 5 · F4

L4 + L6 = 25→ L4 + L6 = 5 · F5

Odnosno, formula za racunanje Fibonaccijevih brojeva preko Lucasovih je:

5Fn = Ln−1 + Ln−2

Napomena: Ove dvije formule vrijede samo u slucaju kada znamo vrijednosti od Ln−1 iLn−2 iz Lucasovog ili Fn−1 i Fn−2 iz Fibonaccijevog niza.

6

2. Zlatni rez

2.1. Historija broja PHI. Pojam Zlatnog reza

Za dvije velicine a i b, a > b ∧ a, b > 0 kazemo da su u zlatnom rezu, ako jeomjer sume tih dvaju velicina i one vece, jednak omjeru vece velicine sa manjom(Slika 5).Zlatni rez je jedna matematicka konstanta i oznacava se sa ϕ , a vrijednost zlatnog rezaje ϕ = 1, 6180339887 . . .

Slika 5: Dvije velicine u zlatnom rezu

Na osnovu definicije, koju smo prethodno dali mozemo izvesti jednacinu:

a + b

a=

a

b= ϕ

Desna strana jednacine pokazuje da je a = b ·ϕ, uvrstimo to u lijevi dio jednacine i dobitcemo:

bϕ + b

bϕ=

bϕ

bb(ϕ + 1)

bϕ=

bϕ

b

Vidimo da se i lijeva i desna strana mogu skratiti sa b pa nakon skracivanja imamo:

ϕ + 1

ϕ= ϕ

Pomnozimo sve sa ϕ i sredimo, te dobijemo kvadratnu jednacinu:

ϕ2 − ϕ + 1 = 0

Jedino pozitivno rjesenje ove jednacine je ϕ =1 +√

5

2, a to kada se izracuna dobije se

vrijednost od zlatnog reza, ϕ = 1, 6180339887 . . .

7

Ovaj broj je bio i ostao u interesu matematicara, fizicara, filozofa, arhitekta, umjetnikapa cak i muzicara jos iz vremena antike.Pored naziva zlatni rez, koriste se jos nazivi zlatniisjecak (latinski: sectio aurea), zlatna sredina, zlatni broj, bozanska proporcija, bozanskiisjecak (latinski: sectio divina), zlatna proporcija, zlatni omjer, te Fidasova sredina (dobila naziv po grckom matematicaru Phidiasu koji je i izucavao svojstva broja ϕ).Prva knjiga posvecena zlatnom rezu bila je De Divina Proportione koju je napisaoLuca Pacioli (1445.-1519.), italijanski matematicar. Knjiga je objavljena 1509. godine, ailustrirana od strane Leonarda da Vinci-a.

2.2. Zlatni rez u geometriji i van matematike

Zlatni rez se pojavljuje u najrazlicitijim situacijama. Tako je naprimjer poznato da sedijagonale pravilnog petougla sijeku u tackama koji su zlatni rezovi dijagonala.Tako su tacke M i N zlatni rezovi dijagonale EC

Slika 6: Pravilni petougao

Kad u karakteristicnom trokutu 4ABS pravilnog desetougla povucemo simetralu uglauz osnovicu trougla , ona od njega odsjeca slican trougao 4ABC. Tacka C je zlatni rezduzine AS. To izravno slijedi iz omjera:

s10 : r = (r − s10) : s10

Trougao sa unutrasnjim uglovima 72◦, 72◦ i 36◦ zbog ove osobine se cesto zove zlatnitrokut.

Slika 7: Zlatni trokut

Uz pomoc zlatnog trougla mi mozemo da konstruisemo pravilne destougle pa cak i peto-ugle.Kao sto imamo zlatni trokut, tako postoji i zlatni pravougaonik.To je pravokutnik cijesu dvije stranice dijelovi duzine dobiveni njezinim zlatnim prerezom. Zlatni pravougaonikgotovo nam je uvijek pred ocima.

8

Naime, brojni predmeti i gradevine u nasoj neposrednoj okolini toga su oblika. Zlatnipravougaonik se smatra se vrlo korisnim pa su toga oblika vecine knjiga i slika, a i u arhi-tekturi se o toj cinjenici vodi racuna pa su cesto procelja kuca (sve od cuvenog Partenona,hrama grcke bozice Atene) zlatni pravougaonici.

Slika 8: Zlatni pravougaonik i Zlatna spirala

Zlatni pravougaonik ima ovo zanimljivo svojstvo:Kad od njega odsijecemo kvadrat sa stranicom cija je duzina jednaka duzini krace stranicepravougaonika, ostatak je zlatni pravougaonik. Nastavimo li tako, dobit cemo prethodnusliku. No tu nas ceka jos jedno iznenadenje; tacke A, B, C, D, E, F, G, . . . pripadajujednoj osobitoj krivulji, logaritamskoj spirali. Bas zbog navedenog, ponekad je zovujos i zlatna spirala. Jacob Bernoulli(1654.-1705.) nazvao ju je spira mirabilis, divnaspirala. Pribliznu sliku te spirale dobit cemo ucrtavanjem niza kruznih lukova u odrezanekvadrate (Slika 8).

U prirodi na zlatnu spiralu nailazimo uistinu cesto. Engleski naucnik D’Arcy W. Thom-pson (1860.-1948.) u svojem djelu ”O rastu i obliku” detaljno je obradio ulogu zlatnespirale u oblicima brojnih prirodnih formi, medu kojima su razne skoljke, kljove, sunco-kreti, itd.Sir Theodore Andrea Cook objavio je 1914. knjigu ”Krivulja zivota” u potpunosti po-svecenu zlatnoj spirali i njezinu mjestu u prirodi i umjetnosti. Edward B. Edwards je1932. dao citav niz lijepih i simetricnih uzoraka cija je podloga ova krivulja. Tu je jos inezaobilazni Escher i mnogi drugi.

Ispod su prikazane slike na kojima se susrecemo zlatnim rezom:

9

Slika 9: Zlatni rez van matematike

10

3. 800 godina stari zecevi

Zadatak glasi:Ako svaki par zeceva da svega dva para zeceva, jedan par slijedece generacije i jos jedanpar generacije koja slijedi, nako cega ugine, koliko ce parova zeceva biti u n-toj generacijji,uz pretpostavku da na pocetku imamo jedan jedini par?Promotrimo pozorno sliku koja ilustrira zadatak:

Slika 10: Problem zeceva

Oznacimo li s fi broj parova u i-toj generaciji, tada mozemo zapisati:f1 = 1→ (pocetni par)f2 = 1→ (par koji je neposredni potomak prvog para)tj. fn+2 = fn + fn+1

Na ovaj je nacin definiran niz brojeva u kojem je svaki clan, osim prva dva, zbir dvajukoji mu neposredno prethode:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,. . . koji se zove Fibonaccijev niz.Clanovi niza su Fibonaccijevi brojevi. Ocito, zadatak zahtijeva odredivanje n-tog clanaovog niza, broja fn. Ako je n velik, tada ispisivanje svih n prvih clanova niza nema smislapa je jedan od zadataka odrediti formulu opceg clana niza. Tu je formulu prvi pronasaoFrancuz Jacques Philippe Marie Binet (1786.-1856.) pa se po njemu i zove Binetovaformula. Ona glasi:

fn =1√5

[(1 +√

5

2)n − (

1−√

5

2)n]

Fibonaccijev problem zeceva ima mnogo zanimljivih nastavaka, tako naprimjer, kada pro-matramo niz fn

fn+1kolicnika dvaju uzastopnih clanova niza primjetit cemo da broj tezi ka

broju ϕ = 1+√5

2≈ 1, 618033 . . . Taj broj je zanimljiv jer se radi o zlatnom rezu duzine 1.

Ova veza Fibonaccijevog niza i zlatnog reza uistinu je dojmljiva, jer se zlatni rez pojavljujeu najrazlicitijim situacijima pa cak i onda kada ne znamo da se susrecemo sa njim.

11

Literatura

[1] Dakic,B. (2002). 800 godina stari zecevi. Matematika i skola, Broj 16, Stranice: 26-29.

[2] Suljic,S. (2003). Pascalov ili kineski trokut. Matematika i skola, Broj 21, Stranice:26-30.

[3] Williams,H.C. (1998). Eduard Lucas and primality testing. Canada: Wiley-Interscience.

[4] Dunlap,R.A. (1997). The Golden ratio and Fibonacci numbers. Singapore: WorldScientific Publishing.

[5] Dzubur,N. (2000). Matematika sa zbirkom zadataka: za IV razred srednje skole. Sara-jevo: Svijetlost.

12