View
73
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Определённый интеграл. интеграл. Неопределённый. Определённый. Более подробно остановимся на «определённом интеграле». - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
интеграл
Определённый
Неопределённый
Само слово интеграл происходит от латинского слова integer - «целый». В русском языке слово интеграция означает восстановление, воссоединение, восполнение. В математической модели речь идёт фактически о воссоединении целого по отдельным частям.
Что же такое «определённый интеграл»?
Более подробно остановимся на «определённом интеграле»
Задача 1
(О вычислении площади криволинейной трапеции)
Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f)
У= f(x)
0 x
Будем рассматривать её на отрезкеy
У= f(x)
0xа b
)(],[ fDba
Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = b и у = 0.
Назовём её криволинейной трапецией ABCD
У= f(x)
0 x
Поставим задачу нахождения её площади S
а b
x=a
BC
DA
x=b
y=0
Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)
0x
y
В
С
А DТогда криволинейная трапеция разобьётся – на n
узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
x5 x6x1 x2 x3 x4 x7x0 xn
Рассмотрим отдельно k- й столбик ,т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]
0x
y
В
С
А D
У= f(x)
xк+1xk
Площадь прямоугольника равна f(хk)· Δхk,где Δхk – длина отрезка [хk,хk+1];естественно считать составленное произведение
приближённым значением площади k-го столбика.
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk)
Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площадь Sn, ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников.
Имеем : Sn = f(x0)Δx0+ f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+ …+ f(xk)Δxk +…+f(xn-1)Δxn-1;
0x
y
В
С
А D
Итак,S≈Sn,причём это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn
nn
SS
lim
Задача 2
(О вычислении массы стержня)
Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x вычисляется по формуле p = p (x). Найти массу стержня.
Решение. 1) разобьём отрезок [a,b] на n равных частей.
xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn
2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хk.
Итак, мы считаем, что p = p(хk)
xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn
3) найдём приближённое значение массы mk-го участка: mk=p(хk)Δхk, где Δхk- длина отрезка.
xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn
4)Найдём приближённое значение массы m стержня:
m≈Sn, где Sn= m0 +m1+ m2+m3+…+mk+…+mn-1== p(х0)Δх0+p(x1)Δх1+p(x2) Δх2+…+p(хn-1)Δхn-1.
xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn
nn
Sm
lim
Искомая масса равна пределу последовательности Sn
Задача 3
(О перемещении точки)
По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t).Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].
Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей.
Рассмотрим промежуток времени [ ]. Будем считать, что в этот промежуток времени
скорость была постоянной, т.е Приближенное значение перемещения точки за
промежуток времени [ ]: Приближенное значение перемещения s:Точное значение перемещения вычисляется по
формуле :
b
a
dxxf )(
S – площадь криволинейной трапеции
nn
SS
lim
В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.
b
a
dxxfS )(
m – массу неоднородного стержня
В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.
b
a
dxxfm )(
nn
Sm
lim
s – перемещение точки
В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.
b
a
dxxfs )(
nn
Ss
lim
S – площадь криволинейной трапеции
b
a
dxxfS )(
)()( aFbFS
У= f(x)
0 xа b
x=a
BC
DA
x=b
y=0
Формула Ньютона – Лейбница
У= f(x)
0 xа b
x=a
BC
DA
x=b
y=0
Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5х2 + 1, y = 0, х = - 2, x = 3 .
).(6
51022
6
133
6
1
6
11
2
1
33
3
2 2
332
едкв
xxdxxS
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.
b
a
dxxfS
Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но
b
a
b
a
dxxfdxxfS1
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.
b
a
dxxfS
Пример 2. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = - х2 - 1, у = 0, х =-1, х = 2.
2
1
2
1
22 11 dxxdxxS
).(6113
122
3
1
3
1 33
1
23 едквxx
3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].
c
a
d
c
b
d
dxxfdxxfdxxfS
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π .
Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х ∈ [- π /2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х ∈ [0; π].
Поэтому
0
0
22
0
0
coscossinsin
xxxdxxdxS
).(311010coscos2
cos0cos едкв
b
a
dxxgxf ))()((
aABbaDCbABCDP SSSS
b
a
b
a
dxmxgdxmxf ))(())((
b
a
b
a
dxmxgdxmxf ))(())((
b
a
dxmxgmxf ))(())((
b
a
dxxgxf ))()((
b
a
dxxgxf ))()((
3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].
c
a
c
a
c
a
dxxfdxxfdxxfS
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со
Так, площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:
знаками функции f(х) на соответствующих отрезках.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π .
Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х ∈ [- π /2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х ∈ [0; π].
Поэтому
).(311010coscos2
cos0cos
coscossinsin0
0
22
0
0
едкв
xxxdxxdxS
Recommended