View
261
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
matematika
Citation preview
1
5. Linearni modeli i matrična algebra
(nastavak)
• 5.1 Uslovi regularnosti matrice
Uslov kvadratne matrice je nužan (potreban) ali ne i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice A-1.
Potreban uslov – iskaz p je istinit jedino ako je q istinit. Tada je qpotreban uslov za p: p⇒q (p je samo onda ako je q; ako je p, onda je q)
Pr. p- “osoba je otac” q-”osoba je muškarac”
Dovoljan uslov – iskaz p je istinit ako je istinit q, ali može biti istinit i kada q nije istinit. Tada je q dovoljan uslov za p, ali ne i potreban.
p⇐q (p je onda ako je q; ako je q onda je p)Pr. p- “Neko može otići u Evropu “q- “Neko ide avionom u Evropu “
Potreban i dovoljan uslov –p je onda ako je i samo ako je q; p akko q
p⇔q
2
• Uslovi za regularnost
Ako je matrica kvadratna, dovoljan uslov za regularnost je da njene vrste budu linearno nezavisne (ili kolone, što se svodi na isto)
regularnost�kvadratna matrica i linearna nezavisnost
Matrica koeficijenata A tipa n*n može se posmatrati kao uređeni skup vektora vrsta, tj. kao vektor kolona čiji su elementi vektori vrste:
Linearna nezavisnost vektora zahtijeva da jedini skup skalara k, koji zadovoljava vektorsku j-nu bude takav da je ki=0,za svako i.
=
=
'
'
2
'
1
21
22221
11211
...
...
............
...
...
nnnnn
n
n
v
v
v
aaa
aaa
aaa
A
)1(
1
' 0 n
n
i
iivk ×
=
=∑
3
• Veza između kriterijuma “istog broja j-na i nepoznatih” i kriterijuma kvadratne matrice (isti broj vrsta i kolona)
• Rang matrice – Ako je u datoj matrici tipa m⋅n maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta r, tada se za matricu kaže da ima rang r (isto tako nam govori i o broju nezavisnih kolona matrice)
• r≤min(m,n)
• Regularna matrica A tipa nxn ima n linearno nezavisnih vrsta (kolona) pa rang mora biti n. Obrnuto, matrica reda n (tipa n ⋅ n) koja ima rang n mora biti regularna.
4
5.2 Provjera regularnosti pomoću
determinante• Determinanta i regularnost
Determinanta kvadratne matrice A u oznaci |A|, je
jedinstveno definisani skalar (broj) koji se pridružuje toj matrici. Definiše se samo za kvadratne matrice.
Determinanta drugog reda
• Izračunavanje determinante trećeg reda
12212211
2221
1211aaaa
aa
aaA −==
312213322113332112312312322311332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
−+−+−=
=+−==
5
• Sa predznakom +
• a11�a22 �a33
• a12�a23 �a31
• a13�a32 �a21• Sa predznakom –
• a11�a32 �a23
• a12�a21 �a33
• a13�a22 �a31
6
Izračunavanje determinante n-tog reda
Laplasovim razvojem• Minor |Mij | se dobija ispuštanjem i-te vrste i j-te kolone date
determinante.
• Kofaktor (algebarski komplement), u oznaci |Cij | je minor s pridruženim predznakom: |Cij|=(-1)i+j |Mij|
Pr. U determinanti:
3332
2322
11aa
aaM ≡
3331
2321
12aa
aaM ≡
3231
2221
13aa
aaM ≡
123
456
7896
13
4612 −==M
61212 =−= MC
623
892323 =−=−= MC
∑=
=++=
=+−=
3
1
11131312121111
131312121111
j
jj CaCaCaCa
MaMaMaA
∑=
=++=3
1
11313121211111
i
ii CaCaCaCaA
7
5.3 Osnovna svojstva determinanti
• Svojstvo I Međusobna zamjena vrsta i kolona neće uticati na vrijednost determinante, tj. |A|= |A’|
• Svojstvo II Međusobna zamjena mjesta bilo koje dvije vrste (kolone) mijenja predznak, ali ne i numeričku vrijednost determinante.
• Svojstvo III Množenje bilo koje vrste (kolone) skalarom k mijenja k-struko vrijednost determinante.
• Svojstvo IV Sabiranje (oduzimanje) elemenata bilo koje vrste (kolone) pomnožene brojem k sa (od) nekom drugom vrstom (kolonom) ne mijenja vrijednost determinante.
• Svojstvo V Ako je neka vrsta (kolona) sadržalac druge vrste (kolone), vrijednost determinante je jednaka nuli. (Posljedica svojstva IV)
8
Determinantni kriterijum za regularnost
• Za zadati sistem linearnih j-na Ax=d, gdje je A matrica koeficijenata reda n ( tipa n*n)
|A|≠0 � postoji linearna nezavisnost vrsta(kolona) matrice A
� A je regularna
� A-1 postoji
� jedinstveno rješenje
• Redefinicija ranga matrice
• Rang matrice je maksimalan red determinante različite od nule koja se može konstruisati iz vrsta i kolona date matrice
• Rang je jedinstven broj
• r(A)≤min(m,n)
• r(AB) ≤min(r(A),r(B))
dAx1−=
9
5.4 Pronalaženje inverzne matrice
• Razvoj determinante sa “stranim” kofaktorima
• Svojstvo VI razvoj determinante stranim kofaktorima (kofaktori “druge” vrste ili kolone) uvijek daje vrijednost jednaku nuli.
Pr. Ako determinantu razvijemo po elementima prve
vrste upotrebom kofaktora druge vrste:
301
125
214
330
2121 −=−=C 10
31
2422 ==C 1
01
1423 =−=C
012101)3(4231322122111 =⋅+⋅+−=++ CaCaCa
)(0 '
1
' iiCan
jjiij ≠=∑
=
)(0 '
1
' jjCaij
n
i
ij ≠=∑=
10
Inverzne matrice
• Postupak pronalaženja inverzne matrice kvadratne matrice A:
(1)Pronaći |A| (Ostali koraci se nastavljaju akko |A|≠0)
(2)Naći kofaktore svih elemenata matrice A i formirati
matricu C=[|Cij|]
(3)Transponovati matricu C, tj, naći adjA (adjugovana
matrica A)
(4)Podijeliti adjA sa |A| da bi dobili inverznu matricu A-1:
adjAA
A11 =−
11
Inverzna matrica- dokaz
Da ponovimo: za kvadratnu matricu A kažemo da je
regularna ako je njena determinanta različita od nule.
Neka je A regularna matrica reda n, E jedinična matrica
istoga reda i A' matrica transponovana matrici algebarskih
komplemenata elemenata matrice A. Matrica A' je takođe
reda n, pa je definisan proizvod (det A)-1⋅A⋅A' i taj proizvod
je matrica reda n. Dokazaćemo da je:
(det A)-1⋅A⋅A' = E
12
Dokaz za n = 3:
A
a a a
a a a
a a a
=
⇒11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) ( )det detdet
A A A A
a a a
a a a
a a a
A A A
A A A
A A AA
− −⋅ ⋅ ′ = ⋅
⋅
= ⋅1 1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
1
⋅
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
a A a A a A a A a A a A a A a A a A
a A a A a A a A a A a A a A a A a A
a A a A a A a A a A a A a A a A a A
11 11 12 12 13 13 11 21 12 22 13 23 11 31 12 32 13 33
21 11 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33
31 11 32 12 33 13 31 21 32 22 33 23 31 31 32 32 33 33
13
Dijagonalni elementi dobijene matrice su zbirovi proizvoda
elemenata i-te vrste (i = 1,2,3) i njihovih algebarskih
komplemenata elemenata neke druge vrste, tj. jednaki su
nuli, pa je
( ) ( )det det
det
det
det
A A A A
A
A
A
E− −
⋅ ⋅ ′ = ⋅
=
=1 1
0 0
0 0
0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Na isti način možemo da dokažemo da je i
(det A)−1×A'×A = E
14
5.5 Kramerovo pravilo
Praktičan način rješavanja sistema linearnih j-na
• Izvođenje pravila za sistem j-na Ax=d
dadjAA
dAx )(11 == −
=
+++
+++
+++
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
−
−
−
n
i
ini
n
i
ii
n
i
ii
nnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
n Cd
Cd
Cd
A
CdCdCd
CdCdCd
CdCdCd
A
d
d
d
CCC
CCC
CCC
A
x
x
x
1
1
2
1
1
2211
2222121
1212111
2
1
21
22212
12111
2
1
1
...
...
...
...
1
...
...
............
...
...
1
15
• |A1| - determinanta koju dobijamo tako što prvu kolonu od |A|zamijenimo vektorom d
• j-ta kolona zamijenjena sa d
11
1A
Ax =
∑=
=n
i
ii CdA
x1
11
1
∑=
=n
i
ii CdA1
11
∑=
=n
i
ii CdA
x1
22
1
∑=
=n
i
ii CdA1
22
nnnnn
n
n
j
j
adaa
adaa
adaa
AA
Ax
......
..................
......
......
1
21
222221
111211
==
16
Osvrt na homogeni sistem j-na
• Ax=d, d=o � Ax=0
• Ako je matrica A regularna, homogeni sistem može dati samo “trivijalno” rješenje:
• Ili iz Kramerovih pravila:
• Jedini način za netrivijalno rješenje je da matrica A bude singularna tj. |A|=0!
- nedefinisano, što znači da se Kramerovo pravilo ne može primijeniti – rješenje nije jedinstveno!
0...21 ==== nxxx 0011 =⋅=⋅= −−AdAx
00
===AA
Ax
j
j
0
0==
A
Ax
j
j
17
Mogući rezultati sistema linearnih j-na
18
Kroneker-Kapelijeva teorema
• AX=d, A je matrica tipa m*n (sistem je od m j-na sa n nepoznatih)
• Ako uvedemo matricu U=[A|d], takvu matricu zovemo proširena matrica sistema.
• Teorema: Sistem linearnih j-na je saglasan akko je rA=rU, i to ako je rA=rU=n (n-broj nepoznatih) sistem je saglasan i određen, a ako je rA=rU<n sistem je saglasan i neodređen (broj slobodnih nepoznatih je n-r).
• Dakle, iz K-K teoreme slijedi da je sistem nesaglasan akko rA≠rU.
19
5.6 Primjena na model tržišta i nacionalnog
dohotka (vidjeti kraj I predavanja- 113 str.)
• Linearni model tržišta
(n=1) p=detA1/detA Q=detA2/detA
(n=2) p1=detA1/detA p2=detA2/detA
Q - određujemo uvrštavanjem nađenih cijena
• Model nacionalnog dohotka
Y=detA1/detA C=detA2/detA
20
5.7 Leontiefovi međusektorski
modeli• U svojoj “statičnoj” verziji međusektorska analiza Leontiefa bavi
se pitanjem: “Koji bi nivo proizvodnje svaka od n industrija trebalo da proizvodi da bi se zadovoljila ukupna potražnja za tim proizvodom?”
• Nije oblik analize opšte ravnoteže
• Struktura međusektorskih modela
Pretpostavke:
(1) Svaka industrija proizvodi samo jedan homogeni proizvod
(2) Svaka industrija za proizvodnju tog proizvoda upotrebljava fiksni odnos utroška (ili kombinaciju faktora)
(3) Proizvodnja svake industrije je podređena konstantnim prinosima na obim
21
Koeficijenti utroška (tehnički
koeficijenti) - matrica
22
Otvoreni model
• Sadrži otvoreni sektor (npr. domaćinstva) koji egzogeno određuje
finalnu potražnju (koja nije utrošak ni za jednu industriju) za
proizvodnjom svake industrije i koji daje primarni faktor (npr. rad)
neproizveden ni u jednoj od n industrija.
• Input-output koefic. aij- dio proizvoda i-tog sektora koji se troši u j-tom
sektoru
• Svodi se na j-nu: Ax+d=x
potrošnja(interindustrij. + finalna) = proizvodnji
tj. (I-A)x=d,
x – proizvodni vektor, d – vektor finalne potražnje
• (I-A) – matrica tehnologije T Tx=d
∑=
<n
i
ija1
1
dAIdTx11 )( −− −==
23
Zatvoreni model
• Ako se egzogeni sektor otvorenog međusektorskog modela uključi u sistem samo kao još jedna industrija, model postaje zatvoreni model.
• Umjesto vektora finalne potrošnje i primarnog faktora imamo zahtjeve za utrošcima i proizvodnju novostvorene industrije. Svi proizvodi postaju poluproizvodi, jer služe samo da bi se zadovoljili zahtjevi za utrošcima (n+1) industrije u modelu.
• Homogeni sistem j-na (I-A)x=0
• Suma elemenata svake kolone matrice tehničkih koeficijenata A mora biti jednaka 1!
• Vrste matrice A su linearno zavisne, pa je II-AI=0
• Dakle, nema jedinstvenog rješenja!
24
5.8 Ograničenja statičke analize
• Problem pomjeranja ravnoteže
• Slučaj nestabilne ravnoteže
• Komparativna statika se odnosi na tip analize pomjeranja ravnotežnog stanja (zbog egzogenih promjena)
• Dinamička analiza – pitanje postizanja i stabilnosti ravnoteže
Recommended