1

5. Linearni modeli i matrična algebra

(nastavak)

• 5.1 Uslovi regularnosti matrice

Uslov kvadratne matrice je nužan (potreban) ali ne i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice A-1.

Potreban uslov – iskaz p je istinit jedino ako je q istinit. Tada je qpotreban uslov za p: p⇒q (p je samo onda ako je q; ako je p, onda je q)

Pr. p- “osoba je otac” q-”osoba je muškarac”

Dovoljan uslov – iskaz p je istinit ako je istinit q, ali može biti istinit i kada q nije istinit. Tada je q dovoljan uslov za p, ali ne i potreban.

p⇐q (p je onda ako je q; ako je q onda je p)Pr. p- “Neko može otići u Evropu “q- “Neko ide avionom u Evropu “

Potreban i dovoljan uslov –p je onda ako je i samo ako je q; p akko q

p⇔q

2

• Uslovi za regularnost

Ako je matrica kvadratna, dovoljan uslov za regularnost je da njene vrste budu linearno nezavisne (ili kolone, što se svodi na isto)

regularnost�kvadratna matrica i linearna nezavisnost

Matrica koeficijenata A tipa n*n može se posmatrati kao uređeni skup vektora vrsta, tj. kao vektor kolona čiji su elementi vektori vrste:

Linearna nezavisnost vektora zahtijeva da jedini skup skalara k, koji zadovoljava vektorsku j-nu bude takav da je ki=0,za svako i.

=

=

'

'

2

'

1

21

22221

11211

...

...

............

...

...

nnnnn

n

n

v

v

v

aaa

aaa

aaa

A

)1(

1

' 0 n

n

i

iivk ×

=

=∑

3

• Veza između kriterijuma “istog broja j-na i nepoznatih” i kriterijuma kvadratne matrice (isti broj vrsta i kolona)

• Rang matrice – Ako je u datoj matrici tipa m⋅n maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta r, tada se za matricu kaže da ima rang r (isto tako nam govori i o broju nezavisnih kolona matrice)

• r≤min(m,n)

• Regularna matrica A tipa nxn ima n linearno nezavisnih vrsta (kolona) pa rang mora biti n. Obrnuto, matrica reda n (tipa n ⋅ n) koja ima rang n mora biti regularna.

4

5.2 Provjera regularnosti pomoću

determinante• Determinanta i regularnost

Determinanta kvadratne matrice A u oznaci |A|, je

jedinstveno definisani skalar (broj) koji se pridružuje toj matrici. Definiše se samo za kvadratne matrice.

Determinanta drugog reda

• Izračunavanje determinante trećeg reda

12212211

2221

1211aaaa

aa

aaA −==

312213322113332112312312322311332211

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

−+−+−=

=+−==

5

• Sa predznakom +

• a11�a22 �a33

• a12�a23 �a31

• a13�a32 �a21• Sa predznakom –

• a11�a32 �a23

• a12�a21 �a33

• a13�a22 �a31

6

Izračunavanje determinante n-tog reda

Laplasovim razvojem• Minor |Mij | se dobija ispuštanjem i-te vrste i j-te kolone date

determinante.

• Kofaktor (algebarski komplement), u oznaci |Cij | je minor s pridruženim predznakom: |Cij|=(-1)i+j |Mij|

Pr. U determinanti:

3332

2322

11aa

aaM ≡

3331

2321

12aa

aaM ≡

3231

2221

13aa

aaM ≡

123

456

7896

13

4612 −==M

61212 =−= MC

623

892323 =−=−= MC

∑=

=++=

=+−=

3

1

11131312121111

131312121111

j

jj CaCaCaCa

MaMaMaA

∑=

=++=3

1

11313121211111

i

ii CaCaCaCaA

7

5.3 Osnovna svojstva determinanti

• Svojstvo I Međusobna zamjena vrsta i kolona neće uticati na vrijednost determinante, tj. |A|= |A’|

• Svojstvo II Međusobna zamjena mjesta bilo koje dvije vrste (kolone) mijenja predznak, ali ne i numeričku vrijednost determinante.

• Svojstvo III Množenje bilo koje vrste (kolone) skalarom k mijenja k-struko vrijednost determinante.

• Svojstvo IV Sabiranje (oduzimanje) elemenata bilo koje vrste (kolone) pomnožene brojem k sa (od) nekom drugom vrstom (kolonom) ne mijenja vrijednost determinante.

• Svojstvo V Ako je neka vrsta (kolona) sadržalac druge vrste (kolone), vrijednost determinante je jednaka nuli. (Posljedica svojstva IV)

8

Determinantni kriterijum za regularnost

• Za zadati sistem linearnih j-na Ax=d, gdje je A matrica koeficijenata reda n ( tipa n*n)

|A|≠0 � postoji linearna nezavisnost vrsta(kolona) matrice A

� A je regularna

� A-1 postoji

� jedinstveno rješenje

• Redefinicija ranga matrice

• Rang matrice je maksimalan red determinante različite od nule koja se može konstruisati iz vrsta i kolona date matrice

• Rang je jedinstven broj

• r(A)≤min(m,n)

• r(AB) ≤min(r(A),r(B))

dAx1−=

9

5.4 Pronalaženje inverzne matrice

• Razvoj determinante sa “stranim” kofaktorima

• Svojstvo VI razvoj determinante stranim kofaktorima (kofaktori “druge” vrste ili kolone) uvijek daje vrijednost jednaku nuli.

Pr. Ako determinantu razvijemo po elementima prve

vrste upotrebom kofaktora druge vrste:

301

125

214

330

2121 −=−=C 10

31

2422 ==C 1

01

1423 =−=C

012101)3(4231322122111 =⋅+⋅+−=++ CaCaCa

)(0 '

1

' iiCan

jjiij ≠=∑

=

)(0 '

1

' jjCaij

n

i

ij ≠=∑=

10

Inverzne matrice

• Postupak pronalaženja inverzne matrice kvadratne matrice A:

(1)Pronaći |A| (Ostali koraci se nastavljaju akko |A|≠0)

(2)Naći kofaktore svih elemenata matrice A i formirati

matricu C=[|Cij|]

(3)Transponovati matricu C, tj, naći adjA (adjugovana

matrica A)

(4)Podijeliti adjA sa |A| da bi dobili inverznu matricu A-1:

adjAA

A11 =−

11

Inverzna matrica- dokaz

Da ponovimo: za kvadratnu matricu A kažemo da je

regularna ako je njena determinanta različita od nule.

Neka je A regularna matrica reda n, E jedinična matrica

istoga reda i A' matrica transponovana matrici algebarskih

komplemenata elemenata matrice A. Matrica A' je takođe

reda n, pa je definisan proizvod (det A)-1⋅A⋅A' i taj proizvod

je matrica reda n. Dokazaćemo da je:

(det A)-1⋅A⋅A' = E

12

Dokaz za n = 3:

A

a a a

a a a

a a a

=

⇒11 12 13

21 22 23

31 32 33

( ) ( )det detdet

A A A A

a a a

a a a

a a a

A A A

A A A

A A AA

− −⋅ ⋅ ′ = ⋅

⋅

= ⋅1 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1

⋅

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

a A a A a A a A a A a A a A a A a A

a A a A a A a A a A a A a A a A a A

a A a A a A a A a A a A a A a A a A

11 11 12 12 13 13 11 21 12 22 13 23 11 31 12 32 13 33

21 11 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33

31 11 32 12 33 13 31 21 32 22 33 23 31 31 32 32 33 33

13

Dijagonalni elementi dobijene matrice su zbirovi proizvoda

elemenata i-te vrste (i = 1,2,3) i njihovih algebarskih

komplemenata elemenata neke druge vrste, tj. jednaki su

nuli, pa je

( ) ( )det det

det

det

det

A A A A

A

A

A

E− −

⋅ ⋅ ′ = ⋅

=

=1 1

0 0

0 0

0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Na isti način možemo da dokažemo da je i

(det A)−1×A'×A = E

14

5.5 Kramerovo pravilo

Praktičan način rješavanja sistema linearnih j-na

• Izvođenje pravila za sistem j-na Ax=d

dadjAA

dAx )(11 == −

=

+++

+++

+++

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

n

i

ini

n

i

ii

n

i

ii

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

n Cd

Cd

Cd

A

CdCdCd

CdCdCd

CdCdCd

A

d

d

d

CCC

CCC

CCC

A

x

x

x

1

1

2

1

1

2211

2222121

1212111

2

1

21

22212

12111

2

1

1

...

...

...

...

1

...

...

............

...

...

1

15

• |A1| - determinanta koju dobijamo tako što prvu kolonu od |A|zamijenimo vektorom d

• j-ta kolona zamijenjena sa d

11

1A

Ax =

∑=

=n

i

ii CdA

x1

11

1

∑=

=n

i

ii CdA1

11

∑=

=n

i

ii CdA

x1

22

1

∑=

=n

i

ii CdA1

22

nnnnn

n

n

j

j

adaa

adaa

adaa

AA

Ax

......

..................

......

......

1

21

222221

111211

==

16

Osvrt na homogeni sistem j-na

• Ax=d, d=o � Ax=0

• Ako je matrica A regularna, homogeni sistem može dati samo “trivijalno” rješenje:

• Ili iz Kramerovih pravila:

• Jedini način za netrivijalno rješenje je da matrica A bude singularna tj. |A|=0!

- nedefinisano, što znači da se Kramerovo pravilo ne može primijeniti – rješenje nije jedinstveno!

0...21 ==== nxxx 0011 =⋅=⋅= −−AdAx

00

===AA

Ax

j

j

0

0==

A

Ax

j

j

17

Mogući rezultati sistema linearnih j-na

18

Kroneker-Kapelijeva teorema

• AX=d, A je matrica tipa m*n (sistem je od m j-na sa n nepoznatih)

• Ako uvedemo matricu U=[A|d], takvu matricu zovemo proširena matrica sistema.

• Teorema: Sistem linearnih j-na je saglasan akko je rA=rU, i to ako je rA=rU=n (n-broj nepoznatih) sistem je saglasan i određen, a ako je rA=rU<n sistem je saglasan i neodređen (broj slobodnih nepoznatih je n-r).

• Dakle, iz K-K teoreme slijedi da je sistem nesaglasan akko rA≠rU.

19

5.6 Primjena na model tržišta i nacionalnog

dohotka (vidjeti kraj I predavanja- 113 str.)

• Linearni model tržišta

(n=1) p=detA1/detA Q=detA2/detA

(n=2) p1=detA1/detA p2=detA2/detA

Q - određujemo uvrštavanjem nađenih cijena

• Model nacionalnog dohotka

Y=detA1/detA C=detA2/detA

20

5.7 Leontiefovi međusektorski

modeli• U svojoj “statičnoj” verziji međusektorska analiza Leontiefa bavi

se pitanjem: “Koji bi nivo proizvodnje svaka od n industrija trebalo da proizvodi da bi se zadovoljila ukupna potražnja za tim proizvodom?”

• Nije oblik analize opšte ravnoteže

• Struktura međusektorskih modela

Pretpostavke:

(1) Svaka industrija proizvodi samo jedan homogeni proizvod

(2) Svaka industrija za proizvodnju tog proizvoda upotrebljava fiksni odnos utroška (ili kombinaciju faktora)

(3) Proizvodnja svake industrije je podređena konstantnim prinosima na obim

21

Koeficijenti utroška (tehnički

koeficijenti) - matrica

22

Otvoreni model

• Sadrži otvoreni sektor (npr. domaćinstva) koji egzogeno određuje

finalnu potražnju (koja nije utrošak ni za jednu industriju) za

proizvodnjom svake industrije i koji daje primarni faktor (npr. rad)

neproizveden ni u jednoj od n industrija.

• Input-output koefic. aij- dio proizvoda i-tog sektora koji se troši u j-tom

sektoru

• Svodi se na j-nu: Ax+d=x

potrošnja(interindustrij. + finalna) = proizvodnji

tj. (I-A)x=d,

x – proizvodni vektor, d – vektor finalne potražnje

• (I-A) – matrica tehnologije T Tx=d

∑=

<n

i

ija1

1

dAIdTx11 )( −− −==

23

Zatvoreni model

• Ako se egzogeni sektor otvorenog međusektorskog modela uključi u sistem samo kao još jedna industrija, model postaje zatvoreni model.

• Umjesto vektora finalne potrošnje i primarnog faktora imamo zahtjeve za utrošcima i proizvodnju novostvorene industrije. Svi proizvodi postaju poluproizvodi, jer služe samo da bi se zadovoljili zahtjevi za utrošcima (n+1) industrije u modelu.

• Homogeni sistem j-na (I-A)x=0

• Suma elemenata svake kolone matrice tehničkih koeficijenata A mora biti jednaka 1!

• Vrste matrice A su linearno zavisne, pa je II-AI=0

• Dakle, nema jedinstvenog rješenja!

24

5.8 Ograničenja statičke analize

• Problem pomjeranja ravnoteže

• Slučaj nestabilne ravnoteže

• Komparativna statika se odnosi na tip analize pomjeranja ravnotežnog stanja (zbog egzogenih promjena)

• Dinamička analiza – pitanje postizanja i stabilnosti ravnoteže