View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
8
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
เม่ือแรงบิดเท่ากนั มุมบิดจะไม่เท่ากนัเพราะขนาดต่างกนั
มุมบิดรวม = มุมบิดของท่อน A = มุมบิดของท่อน B รวม = A + B
(ข) ปลายเพลาท้ังสองข้างโดนยึดแน่น แสดงดงัรูปท่ี 3.9
รูปท่ี 3.8
รูปท่ี 3.9
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
9
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
เม่ือปลายทั้งสองขา้งถกูยึดแน่น เพลาจะบิดไปเท่ากนัตลอดความยาวของเพลา แต่แรงบิดของแต่ละท่อนจะไม่เท่ากนัคือ
แรงบิดรวม = แรงบิดของท่อน A + แรงบิดของท่อน B Tรวม = TA + TB
ส่วนบิดรวม = มุมบิดของท่อน A = มุมบิดของท่อน B รวม = A = B
3.6.2 เพลาหลายอนัต่อกนัแบบขนาน เพลาหลายอนัต่อเขา้ดว้ยกนัแบบขนานหรือเพลาสองเพลามีแกนร่วมกนั แต่ขนาดไม่เท่ากนัสวมเขา้ดว้น
กนั แสดงดงัรูปท่ี 3.10
รูปท่ี 3.10
เน่ืองจากปลายทั้งสองขา้งของเพลาบิดไปดว้ยกนั ดงันั้นมุมบิดของเพลาทั้งสองจึงตอ้งเท่ากนัเราจะไดมุ้ม
บิดรวมเท่ากบัมุมบิดของท่อน A เท่ากบัมุมบิดของท่อน B รวม = A = B
แต่แรงบิดท่ีเกิดข้ึนในกรณีน้ีจะมีค่าท่ีไม่เท่ากนั ซ่ึงจะมีค่าดงัน้ี แรงบิดรวม = แรงบิดของท่อน A + แรงบิดของท่อน B
Tรวม = TA + TB
3.7 แรงบิดบนวสัดุผนังบาง (Torsion of Twin – Walled Members) วสัดุผนงับางเป็นวสัดุรูปทรงกระบอกท่ีมีหนา้ตดัไม่กลม ผนงับาง และความหนาไม่คงท่ีรับโมเมนตบิ์ด
T ให ้ เป็นความเคน้เฉือนอนัเน่ืองจากแรงบิดท่ีเกิดข้ึน ณ จุดใด ๆ บนหนา้ตดั แรงบิดต่อหน่ึงหน่วยความยาวของเสน้รอบรูปของรูปตดัผนงับางเรียกวา่ การไหลของแรงเฉือน q (Shear Flow)
A
A
B
A
B
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
10
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
q t = ค่าคงท่ี
1
2dA r dL
A dA
2
rdL
T qrdL 2 2q A t A
2
T
At
ในการหาค่ามุมบิดของวสัดุผนงับางน้ี เราจะตอ้งใชค่้าของพลงังานความเครียดซ่ึงเกบ็อยูใ่นท่อและให้เท่ากบังานท่ีกระท าโดยแรงบิด ในการบิดของท่อบาง เม่ือวสัดุมีความเคน้เฉือนกระท าจะมีพลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร
พลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร = 1
1 12
2 2
TAr r
AL AL L
แต่ r
L
พลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร = 1
2
dL
รูปท่ี 3.11
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
11
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
และ G
แทนในสมการขา้งบนจะได ้
พลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร = 21
2 2G G
พลงังานสะสมทั้งหมด 2
2U dU t ds L
G
พลงังานภายนอกจากการบิดเป็นมุม ; 1
2W T
จากกฎของพลงังาน
พลงังานภายนอก = พลงังานสะสมภายในเน้ือวสัดุ 21
2 2T t ds L
G
2
2
q L ds
G t
2q L ds
GT T
2
24
T L ds
GT tA
24
TL ds
tA G
ถา้ความหนาของผนงัคงท่ีสม ่าเสมอตลอดไปจะได้
มุมบิด 24
TL s
tA G
เม่ือ คือมุมบิดของเพลาท่ีบิดไป
T คือแรงบิดท่ีกระท ากบัท่อนั้นหรือเพลากลวงนั้น L คือความยาวของท่อ A คือพ้ืนท่ีลอ้มรอบดว้ยเสน้ผา่นศูนยก์ลางความหนาท่อ s คือเสน้รอบรูปของวสัดุท่อ t คือความหนาของท่อ G คือโมดูลสัของการเฉือน
หรือ มุมบิด TL
GJ (ในเม่ือ
24A tJ
s )
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
12
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ 3.8 แรงบิดบนรูปหน้าตดัแบบต่าง ๆ
1. รูปหน้าตดัส่ีเหลีย่มผนืผ้า ส าหรับรูปตดัส่ีเหล่ียมผืนผา้ตนัท่ีมีความกวา้ง b ความลึก h และยาว L รับโมเมนตบิ์ด T จะได ้
ความเคน้เฉือนเน่ืองจากการบิดมากท่ีสุด จะเกิดตรงจุดก่ึงกลางของดา้นลึก h เสมอ ซ่ึงจะได ้
max 2 2
1.8 3b hT
b h
มุมบิด 2 2
3 3
7
2
TL b h
b h G
(เม่ือ
3 3
2 2
2
7
b hJ
b h
)
สูตรน้ีใชไ้ดท้ั้งส่ีเหล่ียมผืนผา้และส่ีเหล่ียมจตุัรัสดว้ย 2. รูปตดัส่ีเหลีย่มผนืผ้าผนังบาง ส าหรับรูปตดัส่ีเหล่ียมผืนผา้ผนงับางท่ีมีความหนา t ความลึก h และ
ความยาว L รับโมเมนตบิ์ด T จะได ้
max 2
3T
t h
มุมบิด 3
3TL
t hG
3. รูปตดัรูปตวัแอล ส าหรับรูปหนา้ตดัตวัแอลท่ีมีความยาวของส่วนโครง L และรับโมเมนตบิ์ด T มีความหนา t และมีความกวา้งเท่ากบั b จะได ้
แรงบิด 31
3
GT t b
L
max GTL
มุมบิด 3
3TL
t b G
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
13
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
4. รูปตดัแบบวงแหวนผ่า ส าหรับรูปหนา้ตดัแบบวงแหวนผา่ยาว L ความหนา t รับโมเมนตบิ์ด T เสน้ผา่นศูนยก์ลาง d จะไดค่้า
max 3
3T
t d
2
3
2
T
rt
มุมบิด 3
3
2
T
rt G
ตวัอย่างที่ 3.1 จงหาค่าแรงบิดท่ีจะท าใหเ้พลากลมตนัขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 80 mm ยาว 1.85 m บิดไป 2.5 องศา
ก าหนดใหค่้าโมดูลสัของการเฉือนของวสัดุเท่ากบั 95 GN/mm2 วิธีท า
จากสูตร TL
GJ
เม่ือ 2.5 0.04363180
เรเดียน, G = 95 x 103 N/mm2, L = 1.85 x 1000 mm,
4
8032
J
= 4021238.597 mm4
แทนค่า 3
1.85 10000.04363
95 10 4021238.597
T
395 10 4021238.597 0.04363
1.85 1000T
= 9009422.054 N – mm = 9.0094 kN - m
แรงบิดท่ีกระท ามีค่าเท่ากบั 9.0094 kN – m Ans
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
7
หนา้ท่ี
14
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.2
ถา้เพลาตนักลมมีขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 50 mm ยาว 2.5 m ขณะท่ีหมุนดว้ยความเร็วรอบ 145 รอบ/นาที มุมบิด 0.5 องศา จงหาก าลงัท่ีส่งได ้ ก าหนด G ของวสัดุเท่ากบั 95 GN/m2 วิธีท า
ก าลงัท่ีส่งได ้ 2
60
NTP
แต่ GJT
L
เม่ือ 0.5 0.0087266180
เรเดียน, L = 2.5 x 1000 mm, G = 95 x 103 N/mm2
และ 4
5032
J
= 613592.3152 mm4 395 10 613592.3152 0.0087266
2.5 1000T
= 203473.8385 N – mm = 203.4738 N – m 2 145 203.4738
60P
= 3089.62 w ก าลงัท่ีส่งไดมี้ค่าเท่ากบั 3.0896 kw Ans
ตวัอย่างที่ 3.3 เพลาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 20 mm หมุนดว้ยความเร็วรอบ 1000 รอบ/นาที จงหาก าลงัสูงสุดท่ีเพลา
น้ีส่งไดอ้ยา่งปลอดภยั ถา้ใหค้วามเคน้ใชง้านในเพลาเท่ากบั 50 N/mm2 วิธีท า
3
16T
D
เม่ือ D = 20 mm และ = 50 N/mm2
แทนค่า
3
1650
20
T
3
50 20
16T
= 78539.8163 N – mm
= 78.5398 N – m
จากสูตร 2
60
NTP
2 1000 78.5398
60P
= 8224.67 w
ก าลงัสูงสุดท่ีเพลาน้ีส่งไดมี้ค่าเท่ากบั 8.22467 kw Ans
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
15
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.4
The stress distribution in a solid shaft has been plotted along three arbitrary radial lines as shown in Fig. 3 – 10 a. Determine the resultant internal torque at the section.
Fig. 3 - 10
SOLUTION The polar moment of inertia for the cross – sectional area is
4
22
J in
= 25.13 in4
Applying the torsion formula, with max = 8 ksi, Fig. 5 – 10 a, we have
max
Tc
J
2
4
28 /
25.13
T inksi in
in
T = 101 kip – in. Ans SOLUTION
The same result can be obtained by finding the torque produced by the stress distribution about the centroidal axis of the shaft. First we must express f . Using proportional triangles, Fig. 3.10b, we have
8
2
ksi
in
4
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
16
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่
The stress acts on all portions of the differential ring element that has an area
2dA d . Since the force created by is dF dA , the torque is dT dF dA 4 2 d
38 d For the entire area over which acts, we require
23
08T d
2
4
0
18
4
= 101 kip – in. Ans ตวัอย่างที่ 3.5
จงค านวณหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของแพลาตนัท่ีใชส่้งก าลงั 250 kw ท่ีความเร็วรอบ 4200 รอบ/นาที ถา้ใหค้วามเคน้เฉือนใชง้านของวสัดุเท่ากบั 50 N/mm2 วิธีท า
60
2
PT
N
เม่ือ P = 250 x 103 w, N = 4200 rpm, = 50 N/mm2
แทนค่า 360 250 10
2 4200T
= 568.410 N – m
จากสูตร max 3
16T
D
3
3
16 568.410 1050
D
3
3 16 568.410 10
50D
= 57897.819 mm3
38.6718D mm ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลาเท่ากบั 38.6718 kw Ans
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
17
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.6
เพลาเหลก็กลวงยาว 3.5 m ใชส่้งก าลงัโดยมีแรงบิด 30 kN – m มุมบิดทั้งหมดไดไ้ม่เกิน 2 องศา และความเคน้เฉือนไม่เกิน 120 N/mm2 จงหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายในและขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายนอก ก าหนดให ้ G = 83 GN/m2 วิธีท า
จากสูตร TL
GJ
เม่ือ 2
180
= 0.0349 เรเดียน, T = 30 x 106 N – mm, L = 3.5 x 1000 mm, G =
83 x 103 N/mm2
6
4 4 3
30 10 35000.0349
83 1032
D d
6
4 4
3
30 10 3500
0.0349 83 1032
D d
4 4 369220879.3D d ……………………………....(1)
จากสูตร 3
16T
D
เม่ือ = 120 N/mm2 และ T = 30 x 106 N – mm
6
4 4
16 30 10120
D
D d
4 4 1273240.62D d D ……………………………...(2) สมการ (1) = (2) จะได ้
1273240.62 369220879.3D 369220879.3
1273240.62D
= 289.985 mm จากสมการ (1) จะได ้
4 4289.985 369220879.3d d = 286.123 mm
ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายนอกเท่ากบั 289.985 mm Ans ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายในเท่ากบั 286.123 mm Ans
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
18
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.7
เพลาดงัรูปท่ียึดแน่นท่ีปลาย A ส่วนท่ีปลาย C มีแรงบิด 1500 N – m กระท า ท่ีก่ึงกลาง B มีแรงบิด 350 N – m กระท าในทิศทางตรงกนัขา้มกบัท่ีปลาย C โดยใหค้วามเคน้เฉือนสูงสุดตอ้งไม่เกิน 85 N/mm2 จงหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลา
วิธีท า
พิจารณาสมการสมดุลของเพลา TA + TB = TC TA + 350 = 1500
TA = 1500 - 350 = 1150 N - m
จากสูตร 3
16T
D
เพลาในช่วง AB 3 16T
D
เม่ือ T = 1150 x 103 N – mm , = 85 N/mm2 3
3 16 1150 10
85D
40.844D mm เพลาในช่วง BC
3 16TD
เม่ือ T = 1500 x 103 N – mm , = 85 N/mm2 3
3 16 1500 10
85D
44.623D mm ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลาคือ 44.623 mm Ans
C B
A
350 N - m
1500 N - m
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
19
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.8
ท่อผนงับางมีความหนา 2.5 mm มีรูปร่างดงัรูป จงหาค่าความเคน้เฉือนสูงสุด ถา้แรงบิดมีค่าเท่ากบั 690 N – m และ a เท่ากบั 75 mm วิธีท า
จากสูตร 2
T
At
เม่ือ T = 690 x 103 N – mm, t = 2.5 mm, 2
12.5 75 25A
= 2365.8738 mm2
3690 10
2 2365.8738 2.5
= 58.3294 N/mm2 ความเคน้เฉือนสูงสุดเท่ากบั 58.3294 N/mm2 Ans
ตวัอย่างที่ 3.9
ท่อกลวงท าจากอะลมิูเนียมมีหนา้ตดัเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากขนาด 60 x 100 mm ดงัแสดงในรูป (ก) และ (ข) โดยในรูป (ก) ท่อกลวงมีความหนาสม ่าเสมอ 4 mm โดยใชก้ระบวนการอดัรีด (Extrusion) รูป (ข) ผนงั AB และ AC หนา 3 mm และผนงั BD และ CD หนา 5 mm โดยใชก้ระบวนการดีเฟกทีฟแฟบริเคชัน่ (Defective Frabrication) จงหาความเคน้เฉือนในผนงัแต่ละดา้นของท่อกลวงภายใตท้อร์ก 3 kN – m
C D
B A
60 mm
100 mm
4 mm
C D
B A
60 mm 5 mm
3 mm
100 mm
(ก) (ข)
เนือ้หาการสอน
สปัดาห์ท่ี
8
หนา้ท่ี
20
รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ วิธีท า (ก) ส าหรับท่อกลวงท่ีมีความหนาสม ่าเสมอ
A = 100 4 60 4
1000 1000
= 5.376 x 10-3 m2
2
T
At
3
3 3
3 10
2 5.376 10 4 10
= 69.8 MPa Ans (ข) ส าหรับท่อกลวงท่ีมีความหนาไม่สม ่าเสมอ
2AB AC
T
At
=
3
3 3
3 10
2 5.376 10 3 10
= 93.0 MPa Ans
2BD CD
T
At
=
3
3 3
3 10
2 5.376 10 5 10
= 55.8 MPa Ans
Recommended