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Ajuste de Curvas por mınimos quadrados.

Alan Costa de Souza

4 de Outubro de 2017

Alan Costa de Souza Ajuste de Curvas por mınimos quadrados. 4 de Outubro de 2017 1 / 37

Ajuste de curvas e interpolacao.

Nas ultimas aulas vimos que uma alternativa para se trabalhar comfuncoes definidas por uma tabela e a interpolacao.

No entanto, a interpolacao nao e aconselhada em alguns casos:

a) Para se estimar um valor fora do intervalo dos pontos, ou seja, fazeruma extrapolacao.

b) Os valores sao obtidos por uma pesquisa ou experimento fısico, epodem ter erros.

Portanto deve se ter uma alternativa de se obter uma funcao que naoseja exata nos pontos tabelados, mas faca uma boa aproximacao etambem permita obter valores fora do intervalo.

Isso e o que faz o ajuste de curvas.

Ajuste de curvas.

Existem dois casos de ajustes de curvas:

Caso discreto, ou seja, obter a melhor curva para um conjunto depontos discretos.

Caso contınuo, ou seja, obter a melhor curva num intervalo.

Caso discreto.

Seja um conjunto de pontos (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), ... , (xm, f (xm)).

Seja um conjunto de funcoes g1(x), g2(x), ..., gn(x) ∈ C [x1, xm].

O problema de ajuste de curvas consiste em obter n constantes α1,α2, ..., αn.

φ(x) = α1g1(x) + α2g2(x) + ...+ αngn(x) =∑n

i=1 αngn(x)

A funcao φ(x) e mais proxima possıvel de f(x).

Como escolher as funcoes base?

Primeira pergunta: Como escolher as funcoes base g(x)?

Usa-se um diagrama de dispersao.

Ou algum fundamento teorico dos dados obtidos.

Exemplo 1.

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

A figura parece uma parabola que passa pela origem.

Logo g1(x) = x2

φ(x) = α1g1(x) = αx2.

Exemplo 2.

Varias correntes passando por uma resistencia.

Uma tensao por corrente.

V(i) = R i.

Logo φ(x) deve ser uma reta que mais se aproxima de f(x).

g1(x) = i

φ(x) = α1g1(x) = αi

α e uma aproximacao da resistencia.

Segunda pergunta: Qual e o conceito de proximidade?

Escolher α1, α2,...,αn;

φ(x) seja o mais proxima possıvel de f(x).

Uma alternativa e fazer o desvio, ou seja, |f (xi )− φ(xi )| seja o menorpossıvel para cada xi .

Como a funcao modulo e difıcil para fazer algumas operacoes,usaremos o quadrado do desvio.

|f (xi )− φ(xi )|2 = [f (xi )− φ(xi )]2∑mi=0[f (xi )− φ(xi )]2.

Se cada desvio for mınimo, o quadrado dele tambem sera.

Essa forma de calcular a proximidade e chamada de mınimosquadrados.

Caso contınuo.

O caso contınuo e analogo ao caso discreto.

Seja f (x) ∈ C [a, b].

Seja gi (x) ∈ C [a, b], i = 1, 2, ..., n.

Determinar α1, α2, ..., αn.

φ(x) =∑n

i=1 αigi (x).

φ(x) se aproxime ao maximo de f (x).

Uma possibilidade e |f (xi )− φ(xi )|.|f (xi )− φ(xi )|2 = [f (xi )− φ(xi )]2∫ ba [f (x)− φ(x)]2dx .

Metodo dos mınimos quadrados - caso discreto.

Sejam dados os pontos (x1, f (x1)),(x2, f (x2)),..., (xm, f (xm)).

E funcoes g1(x), g2(x), ..., gn(x).

m ≥ n.

O problema consiste encontrar constantes α1,α2,..., αn

φ =∑n

i=1 αigi (x)

A soma dos quadrados dos erros,∑m

i=1[f (xi )− φ(xi )]2 , seja mınima.

Com isso cada erro |f (xi )− φ(xi )| sera mınimo.

F (α1, α2, ..., αn) =m∑

[f (xk)− φ(xk)]2.

φ(x) =n∑

αigi (x).

F (α1, α2, ..., αn) =m∑

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)]2.

F (α1, α2, ..., αn) =m∑

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)]2.

∂α1=

m∑k=1

2[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−g1(xk)) = 0.

∂α2=

m∑k=1

2[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−g2(xk)) = 0.

∂αn=

m∑k=1

2[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−gn(xk)) = 0.

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−g1(xk)) = 0.

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−gn(xk)) = 0.

m∑k=1

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](−gn(xk)) = 0.

m∑k=1

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](g1(xk)) = 0.

m∑k=1

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](g2(xk)) = 0.

m∑k=1

[f (xk)− α1g1(xk)− α2g2(xk)− ...− αngn(xk)](gn(xk)) = 0.

m∑k=1

α1g1(xk) + α2g2(xk) + ...+ αngn(xk)](g1(xk)) =m∑

f (xk)(g1(xk))

m∑k=1

α1g1(xk) + α2g2(xk) + ...+ αngn(xk)](g2(xk)) =m∑

f (xk)(g2(xk))

m∑k=1

α1g1(xk) + α2g2(xk) + ...+ αngn(xk)](gn(xk)) =m∑

f (xk)(gn(xk))

m∑k=1

α1g1(xk)g1(xk) + α2g2(xk)g1(xk) + ...+ αngn(xk)g1(xk) =

m∑k=1

f (xk)(g1(xk))

m∑k=1

f (xk)(g2(xk))

m∑k=1

α1g1(xk)gn(xk) + α2g2(xk)gn(xk) + ...+ αngn(xk)gn(xk) =

m∑k=1

f (xk)(gn(xk))

a11α1 + a12α2 + ...+ a1nαn = b1

a21α1 + a22α2 + ...+ a2nαn = b2

an1α1 + an2α2 + ...+ annαn = bn

aij =m∑

gj(xk)gi (xk)

bi =m∑

f (xk)gi (xk)

Resolvendo o sistema encontram-se as constantes e a funcao φ(x).

Exemplo.

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Como vimos anteriormente, os pontos estao dispostosaproximadamente numa parabola.

g(x) = x2.

φ(x) = αx2

m∑k=1

f (xk)(g1(xk))

m∑k=1

f (xk)(g2(xk))

m∑k=1

α1g1(xk)gn(xk) + α2g2(xk)gn(xk) + ...+ αngn(xk)gn(xk) =

m∑k=1

f (xk)(gn(xk))

m∑k=1

αg(xk)g(xk) =m∑

f (xk)(g(xk)).

m∑k=1

αx4k =

m∑k=1

f (xk)x2k .

2, 8464α = 5, 8756.

α = 2, 0642

g(x) = x2

φ(x) = αg(x)

φ(x) = 2, 0642x2.

Regressao Linear.

E um dos casos mais simples.

Supomos que o conjunto de pontos satisfazem uma reta.

Nesse caso, g1(x) = 1 e g2(x) = x

m∑k=1

f (xk)(g1(xk))

m∑k=1

f (xk)(g2(xk))

m∑k=1

α1g1(xk)g1(xk) + α2g2(xk)g1(xk) =m∑

f (xk)(g1(xk))

m∑k=1

α1g1(xk)g2(xk) + α2g2(xk)g2(xk) =m∑

f (xk)(g2(xk))

g1(x) = 1 g2(x) = x

m∑k=1

(α1 + α2xk) =m∑

f (xk)

m∑k=1

(α1xk + α2x2k ) =

m∑k=1

f (xk)xk

mα1 + α2

m∑k=1

xk =m∑

f (xk)

m∑k=1

xk + α2

m∑k=1

f (xk)xk

No caso especial em que φ(x) e uma reta.

Obtemos um sistema de 2 equacoes e 2 variaveis.

Resolvendo obtemos α1 e α2.

φ(x) = α1 + α2x

Exemplo

x -1 -0,5 0 0,5 1 0

f(x) -0,915 -0,474 0,081 0,524 1,092 0,308

x2 1 0,25 0 0,25 1 2,5

x f(x) 0,915 0,237 0 0,262 1,092 2,506

mα1 + α2

m∑k=1

xk =m∑

f (xk)

m∑k=1

xk + α2

m∑k=1

f (xk)xk

5α1 + 0α2 = 0, 308

0α1 + 2, 5α2 = 2, 506

α1 = 0, 061 α2 = 1, 002

φ(x) = 0, 061 + 1, 002xAlan Costa de Souza Ajuste de Curvas por mınimos quadrados. 4 de Outubro de 2017 30 / 37

Caso nao linear.

Em alguns casos, as funcoes gi nao sao lineares.

Por exemplo, se os pontos no diagrama de dispersao indicar umpadrao exponencial.

f (x) ≈ φ(x) = α1eα2x

Nesse caso e preciso fazer um processo de lienarizacao da funcao φ

y ≈ φ(x) = α1eα2x

z = ln(α1eα2x)

z = ln(α1) + ln(eα2x)

z = ln(α1) + α2x

z = a1 + a2x

Exemplo 1.

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246

φ(x) = α1eα2x .

z = ln(α1) + α2x

z = a1 + a2x

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246

ln(y) 3.599 2.849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402

ma1 + a2

m∑k=1

xk =m∑

m∑k=1

xk + a2

m∑k=1

z(xk)xk

8a1 + 0, 3a2 = 8, 041

0, 3a1 + 3, 59a2 = −8, 646

a1 = 1, 099 a2 = −2.5

z = ln(y) = 0, 061 + 0, 836x

a1 = 1, 099 a2 = −2.5

z = ln(α1) + α2x

z = a1 + a2x

a1 = ln(α1) α1 = ea1 = 3, 001.

α2 = a2 = −2, 5

φ(x) = α1eα2x .

φ(x) = 3, 001e−2,5x .

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