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CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ
DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ
DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneEstensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite di continuità e di limite alle funzioni di più variabilialle funzioni di più variabili
Derivate direzionali Derivate direzionali e derivate parzialie derivate parziali
Differenziale di una Differenziale di una funzione funzione
di più variabilidi più variabili
Continuità di funzioniContinuità di funzioni
f : A Rn Rf : A Rn R
f : A Rn Rf : A Rn R
è continua in x0 =
(x01, x0
2 ,… x0n)
T
è continua in x0 =
(x01, x0
2 ,… x0n)
T
se per ogni V intorno di f (x0)se per ogni V intorno di f (x0)
esiste U intorno di x0esiste U intorno di x0
x UA è f(x) V x UA è f(x) V
RnRn
f(x0)f(x0)
RR
X0X0AA
VV
UU
Limite di funzioniLimite di funzioni
f : A Rn Rf : A Rn R
f : A Rn Rf : A Rn R
ha limite l per x che tende a
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
ha limite l per x che tende a
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
se per ogni V intorno di lse per ogni V intorno di l
esiste U intorno di x0esiste U intorno di x0
x UA è f(x) V x UA è f(x) V
Una funzioneUna funzione
ma con restrizionema con restrizione
di due variabilidi due variabili
non continua in (0,0)T non continua in (0,0)T
ad ogni rettaad ogni retta
per l’origine continuaper l’origine continua
ff ((xx,,yy))
00 sese((xx,,yy)T)T((00,,00)T,)T,x yx y
x2x2yysese x2x2yy00..
Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova
Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova
ff(( tt,, tt))==
00 sese tt==00,,22 tt++
sese 22 t2t2++ tt 00•• ••
•• tt••••
limlimtt 00
ff((tt,,tt))00ff ((00,,00))Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette
per l’origine è continuaper l’origine è continua
Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette
per l’origine è continuaper l’origine è continua
Ma la restrizione all’iperbole Ma la restrizione all’iperbole
per l’origineper l’origine
y = k x2/(x -k), con k ≠ 0, y = k x2/(x -k), con k ≠ 0,
ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).
ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).
Anche il limite della funzioneAnche il limite della funzione
La funzione non è continua in (0,0)T.
La funzione non è continua in (0,0)T.
preso lungo l’iperbolepreso lungo l’iperbole
vale k ≠ 0 = f(0,0). vale k ≠ 0 = f(0,0).
-0.5-0.5
-1-1
-1.5-1.5
-2-2
Caso k = 2Caso k = 211 -0.5-0.5 00 0.50.5 11
0
200
100
0
-100
-200
y
00
-0.5
-1
-1.5
-2
x0
2
1
0
-1
-2
0
200
100
0
-100
-200
y
00
-0.5
-1
-1.5
-2
x0
2
1
0
-1
-2
Derivate Derivate direzionali direzionali e derivate e derivate
parzialiparziali
(x0, y0)T(x0, y0)T
AA
∂f∂x xx0
f(x, y0)-f(x0,y0)x- x0
=(x0,y0) lim _____________
∂f∂y
(x0,y0) = limyy0
_____________f(x0, y)-f(x0,y0)y- y0
Più in generale
∂f∂xk
(x10 ,..,xk
0,.., xn0) =
f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk
0,.., xn0)____________________________lim
xk - xk0xkxk
0=
Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia
x(t)= x0+ t una retta passante per x0
e avente direzione .
La derivata di f in direzione , nel punto x0
è data da
∂f∂
=(x10 ,..,xk
0,.., xn0) f(x0+ t)- f(x0)
limt0
____________t
FunzioneFunzioneFunzioneFunzione
non continuanon continuanon continuanon continua
con tutte le derivatecon tutte le derivatecon tutte le derivatecon tutte le derivate
direzionalidirezionalidirezionalidirezionali
nulle in (0,0)nulle in (0,0)nulle in (0,0)nulle in (0,0)
ff ((xx,,yy))
00 sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT,,
xx 22 yy
xx 44
yy 22
22
sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT..
SiaSia = = (cos (cos , sen, sen ))TT ee tt una retta per l’origineuna retta per l’origine
per t ≠ 0, e si ha per t ≠ 0, e si ha
))22ff(cos(cos t, sent, sen
coscos44 sensen22 tt
(cos(cos44 tt22++sensen22 t)t)
limt 0
f(cost,sen t) f(0,0)
t
limt 0
cos4 sen2t
cos4t2 sen2 ( )2
0.
Ma Ma f(x,y)f(x,y) non è continua non è continua nell’origine. nell’origine.
Infatti la restrizione Infatti la restrizione alle parabole passanti alle parabole passanti
per l’origine per l’origine y =y =xx22 ( ( ≠ 0) ≠ 0) ha valore costante: ha valore costante:
f(x,x2)=2/(1+ 2)
0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
y0
2
1
0
-1
-2
x
0
2
1
0
-1
-2
Differenziale Differenziale di una funzione di una funzione di più variabilidi più variabili
f : A Rn Rf : A Rn R
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione
lineare L : Rn R tale che lineare L : Rn R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+(x)|x- x0|
con (x) 0 se x x0.
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