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DistribuiçãoDistribuição
BinomialBinomial
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
O Teorema Binomial
Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:
knkn
k
n bak
nba
0
O Teorema Binomial
0 1 1 2 2 1 1 0
0
( )0 1 2 1
n n n n n n
nn j j
j
n n n n nx a x a x a x a x a x a
n n
nx a
j
Os Coeficientes Binomiais
!!
!
knk
n
k
n
Para n e k inteiros não-negativos com kn
Com frequência é lido como “n escolhe k”.
Exemplos: Cálculo dos Coeficientes
5 5 20 20 and
3 2 15 5
5 5! 5! 5 4 3! 5 410
3 3!(5 3)! 3!2! 3!2! 2
20 20! 20! 20 19 18 17 16 15!
15 15!(20 15)! 15!5! 15!5!
20 19 18 17 16 19 3 17 1615504
5 4 3 2 1 1
Observe que Lembre que o 1º e o último termo na expansão
têm um coeficiente igual a 1: 10
n n
n
Observação
knkn
k
n bak
nba
0
A soma dos exponentes é sempre n.
Exemplo
5yx
051423324150
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5yxyxyxyxyxyx
kk
k
yxk
5
5
0
5
051423324150 15101051 yxyxyxyxyxyx
54233245 510105 xyxyxyxxyy
Expandindo uma BinomialUma binomial é da forma a+b.
Expandindo uma binomial…
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 2 3 3 2 4 5
( )
( ) 1
( )
( ) 2
( ) 3 3
( ) 4 6 4
( ) 5 10 10 5
nx a
x a
x a x a
x a x ax a
x a x ax a x a
x a x ax a x a x a
x a x ax a x a x a x a
Números Fatoriais
,For Zn
123321! nnnnn
.1!0,conventionBy
Exemplos
5040!7
720!6
120!5
24!4
6!3
2!2
1!1
Exemplos
08717829120!14
6227020800!13
479001600!12
39916800!11
3628800!10
362880!9
40320!8
Exemplos
1766400002432902008!20
088320001216451004!19
7280006402373705!18
960003556874280!17
80002092278988!16
0001307674368!15
Exemplos
3
7 !4!3
!7
35
1234123
1234567
123
567
57
Exemplos
7
12
123451234567
123456789101112
!5!7
!12
12345
89101112
8911
792
Exemplos
6
6
1123456
123456
1
1
!0!6
!6
1
Observações
Sempre um inteiro positivo.
Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items.
Pode ser generalizado para valores de n que não são inteiros.
Fórmula de Bernoulli
Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio.
Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q)r: Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) pr qn-r
Coeficiente Binomial
( ) = n!/r!(n-r)!n
rA probabilidade de r sucessos é:
( ) pr qn-r
r
n
onde q = 1 - p
,
Observação
knkn
k
n bak
nba
0
Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.
Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior:
11
11 11
11 22 11
11 33 33 11
11 44 66 44 11
…… …… …… …… …… ……
Triângulo de Pascal
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
54
4
3
4
2
4
1
4
0
43
3
2
3
1
3
0
32
2
1
2
0
21
1
0
10
0
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
54
4
3
4
2
4
1
4
0
43
3
2
3
1
3
0
32
2
1
2
0
21
1
0
10
0Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
k = 0 diagonal
k = 1 diagonal
k = 2 diagonal
linha 10
1
1
1 1
1 1
2
33
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1 6 44
5 105 10
66 15 15 20
7
8
99
8
7 21 21 35 35
28 28 56 56 70
36 36 84 84126126
10 10 45 45 120 120210 210252
Triângulo de Pascal
11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
Teorema Binomial.
Para cada termo,
Obtemos os coeficientes do Triângulo de Pascal
Triângulo de PascalAs linhas são os coeficientes da expansão
binomial
Row #
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
5 5 4 2 3 3 2 4 5( ) 5 10 10 5x a x ax a x a x a x a
Distribuição Binomial
de probabilidades
Provas de Bernoulli
Triângulo de Pascal
Termos que devem ser familiares
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