View
3.925
Download
33
Category
Preview:
DESCRIPTION
Distribusi Poisson Dan Distribusi Normal
Citation preview
DISTRIBUSI NORMAL
DAN DISTRIBUSI POISSON
Disusun Oleh :
KELOMPOK I MATEMATIKA IIIB
1. Triwiyati N (08411.276)
2. Erna Dwi K (08411.123)
3. Heri Cahyono (08411.145)
4. Heri Kiswanto (08411.146)
5. Hifa Ari Norani (08411.147)
6. Ika Setianingsih (08411.156)
7. Rudi Hartono (08411.248)
8. Yudha Sofyan M (08411.293)
DOSEN PENGAMPU :
Ika Krisdiana, S.Si.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2009
Kata Pengantar
Assalamualaikum Wr. Wb.
Puji syukur Alhamdulillah kami panjatka kehaditat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya kepada kami, sehingga makalah
yang berjudul Distribusi Poisson dan Distribusi Normal dapat diselesaikan
dengan baik.
Adapun tujuan dan maksud dari penulisan makalah ini adalah sebagai
tugas mata kuliah statistika dasar semester III pada program studi pendidikan
matematika di IKIP PGRI Madiun.
Kami mengucapkan terima kasih kepada ibu Ika Krisdiana, S.Si. selaku
dosen mata kuliah statistika dasar yang telah memberi kami kesempatan sehingga
kami dapat menyelesaikan pembuatan makalah ini dengan baik. Ucapan terima
kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu pembuatan
makalah ini.
Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam
pembuatan makalah ini, karena itu kami sebagai penulis senantiasa mengharapkan
kritik dan saran dari pembaca.
Wassalamualaikum Wr. Wb.
Madiun, 14
Desember 2009
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................................................
DAFTAR ISI .....................................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...............................................................................................
1.2 Rumusan Masalah ..........................................................................................
1.3 Tujuan Penulisan ...........................................................................................
BAB II PEMBAHASAN DISTRIBUSI NORMAL DAN DISTRIBUSI POISSON
A. Distribusi Poisson ..........................................................................................
B. Distribusi peluang untuk variabel kontinu .....................................................
C. Latihan soal ....................................................................................................
BAB III PENUTUP
Kesimpulan ....................................................................................................
LAMPIRAN
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Setiap peneliti yang mencoba memahami fenomena yang dipelajari
secara kuantitatif, sering menggunakan Statistik. Banyak peneliti datang
kepada penulis menanyakan masalah evaluasi kualitas analisis statistik yang
mereka laksanakan. Memang tidak mungkin dapat dilakukan evaluasi
terhadap kualitas analisis statistik, tanpa pemahaman dasar dasar teori
peluang yang memadai. Dari kalangan mahasiswa yang datang kepada
penulis, umumnya mereka menanyakan masalah penggunaan teori peluang
dalam kehidupan sehari-hari. Dapat memahami, mereka perlu memperluas
wawasannya.
1.2 RUMUSAN MASALAH
Masalah yang dirumuskan dalam makalah ini, sebagai berikut :
1. Apakah definisi Distribusi Poisson.
2. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi
Poisson.
3. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom
dengan pendekatan Distribusi Poisson.
4. Apakah definisi Distribusi Normal.
5. Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom
dengan pendekata distribusi Normal.
1.3 TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :
1. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Poisson.
2. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan
pendekatan Distribusi Poisson.
3. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Normal.
4. Menentukan peluang suatu kejadian yang berdistribusi Binom dengan
pedekatan distribusi Normal.
BAB II
PEMBAHASAN
DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI NORMAL
A. Distribusi Poisson
Dalam kehidupan sehari-hari variabel yang mengikuti distribusi
poisson adalah variabel yang menggambarkan peristiwa-peristiwa yang
jarang terjadi.
Variabel acak diskrit x dikatakan mempunyai distribusi poisson, jika fungsi
peluangnya berbentuk :
P(x) = P (X = x) =
x = 0 1, 2, . . . . n
e = Sebuah bilangan konstan jika dihitung hingga 4 desimal
e = 2,7183. Nilai dapat dilihat pada lampiran.
Ternyata distribusi poisson ini mempunyai parameter :
=
=
Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah
peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat
jarang.
Contoh :
1. Misalkan dari 50 siswa SD kelas 1, rata-rata ada 2 orang yang dapat
berenang. Sebuah sampel berukuran 100 siswa sudah diambil. Jika x
adalah banyak siswa SD kelas 1 yang dapat berenang. Berapa peluang
siswa SD kelas 1 yang tidak dapat berenang?
Jawab:
x = 0
= 2 x 2 = 4
P (0) = P (X = 0) =
=
=
= 0,0183
Jadi, peluang siswa SD kelas 1 tidak dapat berenang adalah 0,0813.
2. Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang.
Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Jika x = banyak buta huruf
per 20 orang. Berapakah peluang tidak terdapat buta huruf ?
Jawab:
x = 0
= 1,2 x 2 = 2,8
P (0) = P (X = 0) =
=
= 0,0608
Jadi, peluang tidak terdapat buta huruf adalah 0,0608.
Distribusi poisson dapat dianggap sebangai pendekatan kepada
distribusi binom. Apabila pada distribusi binom N cukup besar, sedangkan P
= peluang terjadinya peristiwa A sangat dekat kepada 0. Sedemikian sehingga
= N.x.p tetap. Maka distribusi binom dapat idekati oleh distribusi poisson.
Untuk penggunaannya sering dilakukan pendekatan ini. jika N 50
dan Np 5.
Contoh:
Peluang seorang siswa SMP akan mendapat reaksi buruk setelah
mengikuti latihan berenang besarnya 0,0005 dari 4000 siswa yang
mengikuti latihan berenang. Berapakah peluang siswa yyangb mendapat
reaksi buruk :
a. Tidak ada
b. Ada 1 orang
c. Paling banyak 2 orang
Jawab :
N = 4000
P = 0,0005
= N . P = 4000 . 0,0005
= 2
a. Tidak ada, x = 0
P (0) = P (X = 0) =
=
= 0,1353
b. Ada 1 orang, x =1
P (1) = P (X = 1) =
=
= 0,1353 . 2
= 0,2706
c. Paling banyak 2 orang, x = 0,1,2
P (0,1,2) = P (0) + P (1) + P (2)
P (2) = P (X = 2) =
=
=
= 0,2706
P (0,1,2) = 0,1353 + 0,2706 + 0,2706
= 0,6765
B. Distribusi Peluang Untuk Variabel Kontinu
1. Distribusi normal
Definisi :
Apabila x merupakan variabel yang mengikuti distribusi peluang (fungsi
dentitas):
f (x) =
; - < x <
- < <
> 0
Maka dikatakn x mengikuti distribusi normal dengan rata-rata : x dan
simpangan baku :
Sifat-sifat distribusi normal:
a. Kurvanya berbentuk kurva yang simetrik sekitar .
b. Luas daerah di bawah kurva menunjukkan peluang.
Luas daerah grafik = i.
Menghitung peluang untuk distribusi normal secara matematis harus
menggunakan perhitungan integral.
Luas daerah = 1
< x <
x x
Misal :
P (x1 < x < x2) = .?
P (x1 < x < x2) =
.
dt
Perhitungan integral diatas merupakan perhitungan yang sukar
diselesaikan. Untuk menghitung luas dibawah kurva normal tidak
langsung membuat perhitungan integral tetapi menggunakan tabel
distribusi normal baku.
2. Distribusi normal baku
Dalil :
Apabila terhadap variabel x yang mengikuti distribusi normal dengan
rata-rata : dan simpangan baku : , kita melakukan transformasi variabel
z =
Maka akan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan
simpangan baku : = 1 dan bentuk fungsi dentitas distribusi normal baku
adalah
f (x) =
; - ~ < z < ~
Jadi distribusi normal baku adalah distribusi distribusi normal yang rata-
ratanya : = 0 dan simpangan baku = 1.
?
x2 x1 x
N = 0,1
Z 0
Peluang untuk distribusi normal baku dapat dilihat dari tabel normal baku.
Bilangan-bilangan yang ada pada badan tabel memperlihatkan luas daerah
dibawah kurva dari 0 ke z.
Kurva distribusi normal baku bentuknya simetri. Jadi luas daerah dari 0
ke z sama dengan luas daerah dari 0 ke z.
Contoh penggunaan tabel normal baku.
Mencari luas daerah (peluang).
1. Berapa luas dareah antara z = 0 dan z = 1,51
Dari tabel normal baku dibawah kolom z pada kolom kiri cari 1,5 dan
kolom atas angka 1. Dari 1,5 maju ke kanan dan dari 1 menurun,
sehingga diperoleh angka 4345.
Maka luas daerah yang dicari adalah 0,4345.
2. Berapa luas daerah antara z = 0 sampai dengan z = -2,27
P (- 2,27 < z < 0) = .?
Luas daerah dari z = 0 sampai z = -2,27 adalah 0,4884
3. Berapa luas daerah antara z = 1,82 dan z = 3,24
P (0 < z < 1,51)
0 1,51 Z
Z -2,27 0
P1 (-1,82 < z < 0)
P2 (0 < z < 3,24)
P = P1 + P2 ?
= (-1,82 < z < 3,24)
P1 = 0,4656
P2 = 0,4994
P = P1 + P2
= 0,4656 + 0,4994
= 0,9650
4. Berapa luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47
P1 (0 < z < 3,47)
P2 (0 < z < 2,45)
P = P1 - P2 ?
= (2,45 < z < 3,47)
Jadi luas daerah antara z = 2,45 dan z = 3,47 adalah 0,4997 0,4929 =
0,0068.
Antara distribusi Binom dan Distribusi Normal terdapat hubungan
tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi Binom berlaku :
-1,82 0 3,24 Z
Z 0 2,45 3,47
a. N cukup besar
b. = P(A) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol
maka distribusi Binom dapat didekati oleh distribusi Normal dengan rata-
rata = N. dan simpangan baku =
untuk pembakuan, agar daftar distribusi Normal baku dapat dipakai, maka
digunakan transformasi:
Z =
Dengan X = variabel acak diskrit yang menyataka terjadinya A. karena
disini telah mengubah variabel acak diskrit dari distribusi Binom menjadi
variabel acak kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu
mendaptkan penyesuian. Yang dipakai ialah dengan jalan menambah atau
mengurangi dengan 0,5. Pendekatan distribusi Binom oleh distribusi
normal sangat berfaidah, antara lain untuk mempermudah perhitungan.
C. Latihan Soal
1. Misal dari sekumpulan orang, 1% nya berkacamata. Secara random
ditunjuk 500 orang.
a. Tentukan probabilitasnya bahwa dari 500 orang itu yang berkacamata
2 orang.
b. Berapa orangkah yang diharapkan berkacamata dari 500 orang
tersebut?
c. Carilah Varians banyaknya orang yang berkacamata dari 500 orang
tersebut?
2. Pada setiap 100 lembar kertas produksi suatu pabrik diperkirakan terdapat
1 lembar yang rusak. Tentukan probabilits mendapatkan selembar kertas
rusak dari 20 lembar kertas yang diambil secara acak dari hasil produksi
tersebut.
3. Andaikan 2% dari uang di Bank adalah palsu. Tentukan probabilitas
terdapat 3 lembar uang palsu dari 100 lembar uang yang diambil secara
acak.
4. Misal X variabel random yang berdistribusi noral dengan dan
. Hitunglah nilai Z untuk dan , kemudian hitunglah
).
5. Diberikan suatu distribusi normal dengan dan .
Tentukanlah:
a. Luas daerah di bawah 214
b. Luas daerah di atas 174
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
1. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit
acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3, dst. Distribusi Poisson adalah nilai-
nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil
percobaan yang tejadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu
daerah tertentu.
2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan
kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.
3. Rumus distribusi Poisson suatu peristiwa
P(x) = P (X = x) =
Keterangan:
P(x) = nilai probailitas distribusi Poisson
= rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana
= bilangan konstan = 2,71828
= jumlah nilai sukses
= probabilitas sukses suatu kejadian
DAFTAR PUSTAKA
Dra. Kustini, M.Pd dan Dra. Etty Tejo Dwi Cahyowati, M.Pd. 1994.
Statistika Matematika I. Jakarta: Universitas Terbuka
Depdikbud
Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc. 1975. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito
http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi-
peluang.html
LAMPIRAN
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
1.
n = 500
a.
b.
Banyaknya orang yang diharapkan berkacamata = 5 orang
c. Var
Varians banyaknya orang yang berkacamata = 5 orang
2. Pada peristiwa tersebut dan
Karena n besar dan p kecil maka terjadi distribusi Poisson dengan
3. Karena dan maka
Sehingga
Var
Jadi dari 100 lembar uang yang diambil, banyaknya uang palsu yang
diharapkan ada 2 lembar, sedangkan variannya ada 2 lembar.
4. Z1 =
= 3
Z2 =
= 1
5. a.
b.
= 0
-3 0 1
0 1,4
-0,40 1,2
Recommended