Matematika I · 2018-09-27 · Ciljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ....

Matematika IVrste funkcija

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 38

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije

2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma

3 Graf inverzne funkcije

4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Vrste funkcija Polinomi

Polinomi

Polinom:

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.

Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +

√3x2−πx +5.25

Vrste funkcija Racionalne funkcije

Racionalne funkcije

Racionalna funkcija:

y =P(x)Q(x)

gdje su P(x) i Q(x) polinomi.

Primjer.

1 y =2x +5x−3

2 y =3x +2

x2 +x +3

3 y =5x4 +

√7x2−πx +5

x3−2x +1

Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx

Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax

2 y = loga x

Vrste funkcija Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.

Graf funkcije

Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).

f(x)(x, f(x))

Graf funkcije

Zadatak.Funkcija f je zadana grafom

Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).

Graf funkcije

Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.

Graf funkcije

Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.

Slika 1.

Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.

y = ax+ b

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:

1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:

1 y = x−x2

2 y = (x−1)2

3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .

an > 0 an < 0

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .

an > 0 an < 0

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = 4x3 − 2x2 + 1

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = −3x4 + x

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = x− x2 − x3

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

y = x4

y = x6

y = x8

y = x2

y = x4

y = x6

y = x8

y = x3

y = x5

y = x7

y = xy = x3

y = x5

y = x7

Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:

Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);

Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.

Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).

i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1.

f je parna f je neparna

Slika 2.

f je parna

Slika 3.

f je neparna

Slika 4.

Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 38

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

Graf inverzne funkcije

x = f−1(y)

y = f(x)

Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.

Primjer.

Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.

Rjesenje.

y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)

yx = −√y x =

y = x2

Suzavanje domene omogucava invertiranje:

Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√

Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .

Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija

Slika 1. Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Rjesenje.

Rjesenje.Nema inverznu jer

Rjesenje.

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):

Elipsa s poluosima a i b(

a2 +y2

b2 = 1)

Hiperbola s poluosima a i b(

a2 −y2

b2 = 1)

Matematika I · 2018-09-27 · Ciljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ....

Documents

POJAM FUNKCIJE § l. Funkcije i načini njihovog definisanja

Glavni ciljevi

Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Ciljevi izveštaja

Preslikavanja,Pojam i vrste matrica,Periodičnost funkcije,Rastenje i opadanje funkcije,Rešavanje problema slobodnog ekstrema funkcije

katalozi znanja za sluzbeni list - gov.me · INFORMATIVNI CILJEVI FORMATIVNI CILJEVI SOCIJALIZACIJSKI CILJEVI SPECIFIČNI OBLICI IZVOĐENJA • prodavnici, na ulici...); Verbs - …

crtanje grafa funkcija

Ciljevi Projekta

PODUZETNIŠTVO - ef.untz.ba · 8-4 Ciljevi poglavlja 1 od 2 1. Objasniti dvije funkcije finansijskog menadžmenta firme. 2. Identificirati četiri glavna finansijska cilja poduzetničkih

FUNKCIJE - tfzr.uns.ac.rs · FUNKCIJE Definicija funkcije: Funkcije su potprogrami koji na osnovu izvesnog broja argumenata daju jedan rezultat koji se naziva vrednost funkcije. Osobine

globe.pomsk.hr Os zadaci... · Web viewOčitaj sa crvenog grafa u kojemu je mjesecu zabilježena najviša temperatura u solarno podne. siječanj Škola označena crvenom bojom grafa

Odlučivanje - efzg.unizg.hr org... · Operativni ciljevi i ciljevi jedinica i odjela Taktički ciljevi i ciljevi dijela poduzeća Uprava Srednji sloj menadžmenta Menadžeri prve

2. Elementarne funkcije - pmfst.unist.hrpero/pripremni/2.Elementarne_funkcije... · 1. polinomi 2. racionalne funkcije 3. eksponencijalne funkcije 4. logaritamske funkcije 5. opća

Mapa ciljevi

Ispitivanje Funkcija Racionalne Funkcije Eksponencijalne Funkcije Logaritamske Funkcije(1)

Nemausus vs grafa

Ispitivanje toka funkcijeszunar/m1_materijali/201113 - 3.3... · Ispitivanje toka funkcije...je standardni postupak za skiciranje grafa funkcije f : D R !R. Objasnit ¢emo ga na sljede¢em

Strateski ciljevi ppt

Ciljevi analize

-TijaR- TRZISTE HARTIJA OD VREDNOSTI SKRIPTA trzista... · TijaR Page 2 I-KARAKTERISTIKE, FUNKCIJE, UCESNICI POJAM, FUNKCIJA I CILJEVI TRŢIŠTA HARTIJA OD VREDNOSTI (HOV) Trţište