Materi 3 - Aljabar Boolean

Aljabar Boolean

• Literal: sebuah variabel atau komplemennya – X, X

• Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi

• Macam notasi AND : dengan menggunakan titik atau bisa juga ^

• Macam notasi OR : dengan menggunakan tanda + atau bisa juga v

– X+Y– P Q R– A + B C

• Persamaan: variabel = ekspresi– P = (A B C) C

Definisi: Ekspresi Boolean

Tabel Kebenaran

XX YY X.YX.Y

00 00 00

00 11 00

11 00 00

11 11 11

XX YY X+X+YY

00 00 00

00 11 11

11 00 11

11 11 11

XX X’X’

00 11

11 00

4

2.1 Teorema Boolean

Aksioma• Aksioma

– kumpulan definisi dasar (A1 - A5, A1’ - A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar boolean

– Dapat digunakan untuk membuktikan teorema aljabar boolean lainnya.

6

Aksioma

(A1(A1))

X=0, if XX=0, if X11(A1’(A1’))

X=1, if XX=1, if X00

(A2(A2))

If X=0, then If X=0, then X’=1X’=1

(A2’(A2’))

If X=1, then X’=0If X=1, then X’=0

(A3(A3))

0 0 · 0 = 0· 0 = 0 (A3’(A3’))

1 + 1 = 11 + 1 = 1

(A4(A4))

1 1 · 1 = 1· 1 = 1 (A4’(A4’))

0 + 0 = 00 + 0 = 0

(A5(A5))

0 0 · 1 = · 1 = 1 1 · 0 = 0· 0 = 0 (A5’(A5’))

1 + 0 = 0 + 1 = 11 + 0 = 0 + 1 = 1

Teorema variabel tunggal

Postulate 2 Postulate 2 (P1)(P1)

X + 0 = X + 0 = xx

P1P1’’

X . 1 = XX . 1 = X

Postulate 5 Postulate 5 (P5)(P5)

X + X’ = X + X’ = 11

P5P5’’

X . X’ = 0X . X’ = 0

Theorem 1 Theorem 1 (T1)(T1)

X + X = XX + X = X T1T1’’

X . X = XX . X = X

Theorem 2 Theorem 2 (T2)(T2)

X + 1 = 1X + 1 = 1 T2T2’’

X . 0 = 0X . 0 = 0

Theorem 3 Theorem 3 (T3)(T3)

(X’)’ = X(X’)’ = X

8

Contoh

• Dibuktikan melalui induksi sempurna – Karena sebuah variabel boolean hanya dapat mempunyai nilai

0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana:

X = 0 atau X =1

• Contoh: (P1) X + 0 = X– X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4’– X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5’

Teorema dua dan tiga variabel

P3P3 X+Y = Y+XX+Y = Y+X P3’P3’ X . Y = Y. XX . Y = Y. X KOMUTATIFKOMUTATIF

T4T4 (X+Y)+Z = X+(X+Y)+Z = X+(Y+Z)(Y+Z)

T4’ T4’ (X.Y).Z = X.(Y.Z)(X.Y).Z = X.(Y.Z) ASOSIATIFASOSIATIF

P4P4 X.Y+X.Z=X.(Y+Z)X.Y+X.Z=X.(Y+Z) P4’P4’ (X+Y).(X+Z)=X+Y.Z(X+Y).(X+Z)=X+Y.Z DISTRIBUTIDISTRIBUTIFF

T5T5 (X+Y)’=X’.Y’(X+Y)’=X’.Y’ T5’T5’ (X.Y)’=X’+Y’(X.Y)’=X’+Y’ DE DE MORGANMORGAN

T6T6 X+X.Y=XX+X.Y=X T6’T6’ X.(X+Y)=XX.(X+Y)=X ABSORPSIABSORPSI

Teorema P4(Distributif)

(P4) X · Y + X · Z = X · (Y + Z)(P4’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z

• P4 : penjumlahan dari perkalian (sum of products (SOP))

• P4’ : Perkalian dari penjumlahan (product of sums (POS))

11

SOP dan POS

(bentuk SOP)

V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z (bentuk POS)

(V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y)

Logical Gate

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (Negated AND or NOT AND)

• (X · Y)’ = (X’ + Y’)– (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND

pada ekspresi gerbang logika

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (Negated AND or NOT AND)

• (X · Y)’ = (X’ + Y’)– (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND

pada ekspresi gerbang logika

Contoh Teorema DeMorgan: NOR

• (X + Y)’ = (X’ · Y’)– (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada

ekspresi gerbang logika

16

2.2 Fungsi Boolean

17

Fungsi Boolean

• Adalah sebuah ekspresi yang terbentuk dari variabel, OR, AND, NOT, tanda kurung dan tanda persamaan.

• Contoh :F = X.Y.Z’

Fungsi F akan bernilai 1 jika X=1, Y=1 dan Z’=0.

18

Contoh

F1 = X.Y.Z’F2 = X + Y’ZF3 = X’.Y’.Z + X’.Y.Z + X.Y’F4 = X.Y’ + X’Z

XX YY ZZ FF11

FF22

FF33

FF44

00 00 00 00 00 00 00

00 00 11 00 11 11 11

00 11 00 00 00 00 00

00 11 11 00 00 11 11

11 00 00 00 11 11 11

11 00 11 00 11 11 11

11 11 00 11 11 00 00

11 11 11 00 11 00 00

19

Komplemen Fungsi Boolean

• Pada tabel kebenaran, tukar nilai 0 dengan 1 dan sebaliknya

• Cara cepat: komplemen fungsi dapat ditemukan melalui pertukaran “+” dan “.” serta pengkomplemenan seluruh variabel

XX YY ZZ F1F1’’

F2F2’’

F3F3’’

F4F4’’

00 00 00 11 11 11 11

00 00 11 11 00 00 00

00 11 00 11 11 11 11

00 11 11 11 11 00 00

11 00 00 11 00 00 00

11 00 11 11 00 00 00

11 11 00 00 00 11 11

11 11 11 11 00 11 11

Manipulasi ekspresi Boolean

• Bagaimana menyatakan (A · B + C) dalam bentuk lain?

• Gunakan teorema DeMorgan …– A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’– = ( ( A · B )’ · C’ )’– = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

• Sederhanakan X’Y’Z+X’YZ+XY’ ?

LATIHAN1. Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran hukum

DeMorgan’s(XYZ)’ = X’ + Y’ +Z’

2. Sederhanakan ekspresi boolean berikut :a. x’y’ + xy + x’yb. x’yz + xzc. ( xy’ + a’d )( ab’ + cd’ )

Latihan

Tugas 2

• Cari Materi tentang Canonical dan Standard Forms dan kerjakan soal ini:

Ubahlah ekspresi berikut ke dalam bentuk sum of minterms dan product of maxtermsa. F(A, B, C, D) = ∑ (0, 2, 6, 11, 13, 14)b. ( AB + C )( B + C’D )

Format Pengiriman

• Pengiriman tugas ke email yang disediakan• Dokumen : PDF / Doc• SUBJECT EMAIL : TUGAS 2 SISTEM DIGITAL• Nama file : tugas 2 _ NPM.doc /pdf