View
344
Download
7
Category
Preview:
Citation preview
Persamaan Diferensial BiasaSistem Persamaan Diferensial
Toni Bakhtiar
Departemen Matematika IPB
September 2012
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 35
Sistem PD Linear Notasi Vektor
Sistem PD Orde-1 dalam Notasi Vektor
Sistem PD orde-1 yang terdiri atas n persamaan dan n fungsi tak diketahuix1, x2, . . . , xn diberikan oleh:
x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
SPD di atas dapat ditulis dalam notasi vektor:
x = f (t, x),
dengan
x =
x1x2...xn
, f (t, x) =
f1(t, x1, x2, . . . , xn)f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...fn(t, x1, x2, . . . , xn)
.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 2 / 35
Sistem PD Linear Notasi Vektor
Keujudan dan Ketunggalan Solusi
Theorem
Diberikan MNA berikut: x = f (t, x), x(t0) = x0, x ∈ Rn. Didefinisikanmatriks turunan parsial
∂f∂x=
∂f1∂x1
· · · ∂f1∂xn
.... . .
...∂fn∂x1
· · · ∂fn∂xn
.Jika f (t, x) dan ∂f (t ,x )
∂x merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam t dan xpada daerah
R = {(t, x1, . . . , xn) | c < t < d , ai < xi < bi , i = 1, . . . , n},
maka untuk sembarang (t0, x0) ∈ R, maka MNA memiliki solusi tunggalpada interval buka I yang memuat t0.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 3 / 35
Sistem PD Linear Notasi Vektor
SPD Linear Homogen
SPD linear homogen yang terdiri atas n persamaan dan n fungsi yangtidak diketahui xi (i = 1, 2, . . . , n) ditulis
x(t) = Ax(t),
dengan
x(t) =
x1(t)x2(t)...
xn(t)
, x(t) =
x1(t)x2(t)...
xn(t)
, A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
.Matriks A disebut sebagai matriks koefisien dari sistem.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 4 / 35
Sistem PD Linear Notasi Vektor
SPD Linear Homogen
Example
Sistem berikut
x1(t) = x1(t) + x2(t),
x2(t) = 4x1(t) + x2(t),
merupakan bentuk khusus dari SPDLH dengan n = 2 dan
A =[1 14 1
].
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 5 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Solusi SPD Linear Homogen
Akan dicari solusi berbentuk x(t) = veλt dengan v adalah vektorberukuran n× 1. Jika x(t) = veλt solusi, maka ia memenuhi x = Ax ,yaitu berlaku
x = Ax ⇔ λveλt = Aveλt ⇔ λv = Av .
Dengan demikian, x(t) = veλt merupakan solusi jika dan hanya jika λ danv berturut-turut merupakan nilai eigen (eigenvalue) dan vektor eigen(eigenvector) dari A, atau secara singkat dikatakan (λ, v) sebagaipasangan eigen (eigenpair) dari A.
Theorem
Fungsi x(t) = veλt adalah solusi dari sistem x(t) = Ax(t) jika dan hanyajika (λ, v) merupakan pasangan eigen dari matriks koefisien A.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 6 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Solusi SPD Linear Homogen
Misalkan (λ1, v1), (λ2, v2), . . . , (λk , vk ) adalah pasangan-pasanganeigen dari A dengan 1 ≤ k ≤ n.Definisikan xi (t) = vieλi t dan kombinasi linearnya
x(t) =k
∑i=1cixi , (1)
dengan ci (i = 1, 2, . . . , k) merupakan konstanta-konstanta real.Diperoleh xi (t) = λixi (t), dan karena Avi = λivi maka
Axi (t) = Avieλi t = λivieλi t = λixi (t).
Penurunan terhadap (1) menghasilkan
x(t) =k
∑i=1ci xi =
k
∑i=1ciλixi (t) =
k
∑i=1ciAxi (t) = A
k
∑i=1cixi (t) = Ax(t),
yang menunjukkan bahwa x(t) seperti didefinisikan di (1) merupakansolusi dari SPD linear homogen.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 7 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Solusi SPD Linear Homogen
Theorem
Misalkan (λ1, v1), (λ2, v2), . . . , (λk , vk ) adalah pasangan-pasangan eigendari A dengan 1 ≤ k ≤ n. Jika didefinisikan xi (t) = vieλi t , maka
x(t) =k
∑i=1cixi , ci ∈ R,
merupakan solusi dari SPDLH x(t) = Ax(t).
Misalkan diberikan matriks A berukuran 2× 2 dengan
A =[a11 a12a21 a22
].
Nilai-nilai eigen A ditentukan dengan menyelesaikan |A− λI | = 0, yaitu∣∣∣∣a11 − λ a12a21 a22 − λ
∣∣∣∣ = 0⇔ λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a12a21 = 0.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 8 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Solusi SPD Linear Homogen
Diperoleh
λ1,2 = 12 (a11 + a22)±
12
√(a11 + a22)2 − 4(a11a22 − a12a21)
= 12 trA±
12
√tr2A− 4|A|,
dengan trA dan |A| berturut-turut merupakan teras dan determinanmatriks A, yaitu trA = a11 + a22 dan |A| = a11a22 − a12a21.Example
Masalah nilai awal berikut:
x =[1 14 1
]x , x(0) =
[11
],
memiliki solusi
x(t) =34
[12
]e3t +
14
[1−2
]e−t .
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 9 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
SPD Linear Takhomogen
SPD linear takhomogen memiliki bentuk
x(t) = Ax(t) + b (2)
dengan b adalah vektor konstan berukuran n× 1. Solusi dari SPDLtakhomogen (2) ialah x(t) = xh(t) + xp(t), dengan
xp(t) = −A−1b.Solusi di atas ada karena diasumsikan A−1 ada.
Example
SPD
x =[1 14 1
]x +
[41
]memiliki solusi
x(t) = c1
[12
]e3t + c2
[1−2
]e−t +
[1−5
].
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 10 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
SPDLH: x = Ax
Nilai eigen real dan berbeda:
x(t) =n
∑i=1civieλi t .
Nilai eigen real dan berulang: Jika akar dari persamaankarakteristik berulang atau memiliki nilai yang sama maka banyaknyapasangan eigen tidak cukup untuk membentuk solusi yang memenuhinilai awal yang diberikan. Kasus ini muncul jika sedikitnya satu nilaieigen berulang. Namun demikian, meskipun nilai eigen berulang,masalah nilai awal masih mungkin diselesaikan.
Kegandaan aljabar = kegandaan geometriKegandaan aljabar > kegandaan geometri
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 11 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Example
Diberikan SPD x = Ax dengan
A =
2 0 10 2 10 0 −1
.Matriks A memiliki persamaan karakteristik (λ+ 1)(2− λ)2 = 0 sehinggadiperoleh nilai-nilai eigen λ1 = −1, λ2 = λ3 = 2. Dikatakan, λ = −1memiliki kegandaan aljabar 1 dan λ = 2 memiliki kegandaan aljabar 2.Vektor-vektor eigen:
v1 =
11−3
, v2 =
100
, v3 =
010
.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 12 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Example (lanjutan)
Dikatakan, λ = 0 memiliki kegandaan geometri 1 dan λ = −3 memilikikegandaan geometri 2. Solusi SPD:
x(t) = c1
11−3
e−t + c2 100
e2t + c3 010
e2t .
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 13 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Example
Diberikan SPD x = Ax dengan
A =[2 10 2
].
Matriks A memiliki persamaan karakteristik (2− λ)2 = 0 sehinggadiperoleh nilai-nilai eigen λ1 = λ2 = 2. Dikatakan, λ = 2 memilikikegandaan aljabar 2. Vektor-vektor eigen:
v =[10
].
Dikatakan, λ = 2 memiliki kegandaan geometri 1. Solusi: x(t) = ve2t .
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 14 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Example (lanjutan)
Solusi lain dicari dengan bentuk x(t) = wte2t + ue2t . Substitusi ke SPDmemberikan
we2t + 2wte2t + 2ue2t = Awte2t + Aue2t ,
sehingga haruslah dipenuhi
Aw = 2w , (A− 2I )u = w .
Jelas w = v . Solusi:
x(t) = c1
[c31
]e2t + c2
[10
]te2t .
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 15 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Nilai eigen kompleks (konjugat): setiap solusi bernilai kompleksdapat diubah menjadi dua solusi bernilai real, yaitu Re x(t) danIm x(t), yaitu x(t) = c1 Re x(t) + c2 Im x(t).
Perhatikan bahwa jika x(t) = f (t) + ig(t) maka Re x(t) = f (t) danIm x(t) = g(t). Selanjutnya, karena x(t) = f (t) + i g(t) maka
Re x(t) = f (t) =ddt
Re x(t),
Im x(t) = g(t) =ddt
Im x(t).
Di lain pihak,
Re x(t) = Re[Ax(t)] = ARe x(t)⇔ ddt
Re x(t) = ARe x(t)
Im x(t) = Im[Ax(t)] = A Im x(t)⇔ ddt
Im x(t) = A Im x(t),
yang menunjukkan bahwa Re x(t) dan Im x(t) merupakan solusi SPD.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 16 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Examples
SPD berikut:
x =[1 1−1 1
]x ,
memiliki pasangan eigen
(λ1, v1) =(1+ i ,
[1i
]), (λ2, v2) =
(1− i ,
[i1
]).
Dari pasangan eigen (λ1, v1) diperoleh
x(t) = v1eλ1t = et[cos t− sin t
]+ iet
[sin tcos t
].
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 17 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method
Tipe Nilai Eigen
Examples (lanjutan)
Solusi umum:
x(t) = c1 Re x(t) + c2 Im x(t)
= c1
[cos t− sin t
]et + c2
[sin tcos t
]et
= et[c1 cos t + c2 sin t−c1 sin t + c2 cos t
].
Periksalah bahwa dari pasangan eigen (λ2, v2) akan diperoleh solusi umumyang sama.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 18 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Metode Substitusi
Dari SPD Orde-1 ke PD Orde-2
SPD mandiri dengan dua variabel dituliskan sebagai
x1 = a11x1 + a12x2 + b1,
x2 = a21x1 + a22x2 + b2,
dengan aij dan bi adalah koefisien-koefisien bernilai real. Solusi SPDmerupakan penjumlahan solusi homogen dan solusi partikular:
x1 = xh1 + xp1 ,
x2 = xh2 + xp2 ,
dengan xi merupakan solusi umum, xhi solusi homogen bagi xi , dan xpi
solusi partikular bagi xi .
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 19 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Metode Substitusi
Dari SPD Orde-1 ke PD Orde-2
SPD homogen:
x1 = a11x1 + a12x2, (3)
x2 = a21x1 + a22x2, . (4)
Dengan menurunkan (3) diperoleh
x1 = a11x1 + a12x2.
Dengan menggunakan persamaan (4) untuk mensubstitusi x2, didapatkan
x1 = a11x1 + a12(a21x1 + a22x2).
Dari persamaan (3) dapat diperoleh ekspresi berikut untuk mensubstitusix2:
x2 =x1 − a11x1
a12, x2 6= 0. (5)
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 20 / 35
Sistem PD Linear Solusi SPD: Metode Substitusi
Dari SPD Orde-1 ke PD Orde-2
Diperoleh PD orde-2 berikut:
x1 = a11x1 + a12
(a21x1 + a22
x1 − a11x1a12
),
atau dalam bentuk baku
x1 − (a11 + a22)x1 + (a11a22 − a12a21)x1 = 0.
Solusi partikular x1 dan x2 dicari dengan menyelesaikan
a11x1 + a12x2 = b1,
a21x1 + a22x2 = b2.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 21 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Diagram Fase
Kebanyakan PD tidak mudah diselesaikan atau ditemukan solusikuantitatifnya. Pendekatan berbeda harus dilakukan untuk memelajariperilaku solusinya yaitu dengan menguji sifat-sifat kualitatifnya.
Banyak PD memunyai bentuk mandiri (autonomous):
x = F (x). (6)
Diagram fase merupakan representasi geometrik dari peubah xterhadap peubah x di bidang-xx , yang disebut sebagai bidang fase.Diagram ini dapat dibuat apabila x merupakan fungsi dari x saja,yaitu merupakan PD mandiri.
Kurva yang terbentuk dalam bidang fase disebut sebagai garis fase.Diagram fase sangat bermanfaat karena dapat digunakan untukmemelajari sifat-sifat dari solusi PD (6).
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 22 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Diagram Fase
Contoh diagram fase:
Apa yang terjadi dengan titik pada garis fase jika t bertambah besar?Di titik di atas sumbu-x berlaku x(t) = F (x) > 0, sehinggadikatakan bahwa x(t) merupakan fungsi naik terhadap t. Dengandemikian titik (x(t), x(t)) akan bergerak dari kiri ke kanan.Di bawah sumbu-x , titik bergerak dari kanan ke kiri.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 23 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Kestabilan
Salah satu sifat PD yang sangat penting adalah apakah PD tersebutmemiliki keadaan kesetimbangan (equilibrium state) atau tidak.
Keadaan kesetimbangan atau keadaan stasioner (stationary state)adalah suatu keadaan di mana solusi dari persamaan diferensialtersebut tidak lagi berubah terhadap waktu.
Di aspek terapan, mengetahui apakah keadaan kesetimbangantersebut stabil atau takstabil juga sangat penting. Beruntungnya,kestabilan ini tetap dapat diperiksa meskipun solusi persamaandiferensial tidak dapat ditemukan.
Secara umum, titik a dikatakan sebagai titik kesetimbangan bagix = F (x) jika F (a) = 0. Dalam kasus ini, x(t) = a juga merupakansolusi dari PD tersebut.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 24 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Kestabilan
Diagram fase di atas memiliki satu titik kesetimbangan, yaitu a. Ia bersifatstabil asimtotik global karena jika x(t) merupakan solusi dari x = F (x)dengan x(t0) = x0 maka x(t) akan selalu konvergen ke titik a, dengantitik awal (t0, x0) sembarang.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 25 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Diagram fase di atas memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu a1(stabil) dan a2 (takstabil).
Di a1, kurva x = F (x) memiliki kemiringan (slope) negatif sementaradi a2 kurva memiliki kemiringan positif.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 26 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Misalkan a adalah titik kesetimbangan dari x = F (x), yaitu berlakuF (a) = 0. Jika F ′(a) < 0 maka F (a) > 0 untuk x < a dan F (a) < 0untuk x > a. Sebaliknya, jika F ′(a) > 0 maka F (a) < 0 untuk x < adan F (a) > 0 untuk x > a.
Fakta-fakta ini diringkas dalam hasil berikut: misalkan a adalah titikkesetimbangan, yaitu F (a) = 0,
jika F ′(a) < 0 maka a adalah titik stabil asimtotik lokal,jika F ′(a) > 0 maka a adalah titik takstabil,jika F ′(a) = 0 maka tidak ada kesimpulan tentang kestabilan titik a.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 27 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Example
PD berikut:x + ax = b, a 6= 0,
merupakan bentuk khusus dari PD mandiri (6) dengan F (x) = b− ax danmemiliki titik kesetimbangan x = b
a . Dapat dilihat bahwa F′(x) = −a
sehingga x = ba stabil asimtotik lokal jika a > 0 dan takstabil jika a < 0.
Kesimpulan ini sama dengan apa yang dikatakan oleh solusi kuantitatifnya:
x(t) =(x0 −
ba
)e−at +
ba
Solusi di atas konvergen ke ba jika a > 0 dan divergen jika a < 0.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 28 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 29 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Analisis bidang fase dengan menggunakan diagram fase juga dapatdigunakan untuk memelajari perilaku solusi kualtitatif SPD.Perhatikan SPD mandiri berikut:
x1 = f (x1, x2)x2 = g(x1, x2)
, (7)
dengan f dan g merupakan fungsi-fungsi yang memiliki turunanpertama yang kontinu.Solusi (x1(t), x2(t)) dari sistem di atas menggambarkan kurva padabidang-x1x2.Laju perubahan dari x1(t) dan x2(t) dengan demikian berturut-turutdiberikan oleh f (x1(t), x2(t)) dan g(x1(t), x2(t)).Sebagai contoh, jika di titik P = (x1(t), x2(t)) berlakuf (x1(t), x2(t)) > 0 dan g(x1(t), x2(t)) < 0, yang berarti bahwax1(t) > 0 (x1 naik terhadap t) dan x2(t) < 0 (x2 turun terhadap t),maka sistem akan bergerak ke arah kanan-bawah dari titik P.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 30 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Arah gerakan ini ditunjukkan oleh vektor kemiringan (x1(t), x2(t))dari garis singgung kurva di titik P seperti pada gambar berikut:
Titik (a, b) sehingga f (a, b) = g(a, b) = 0 disebut sebagai titikkesetimbangan dari sistem (7). Di titik kesetimbangan berlakux1 = x2 = 0, sehingga jika sistem berada di titik kesetimbangan makasistem tersebut akan selalu berada pada titik tersebut.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 31 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Titik kesetimbangan sistem (7) merupakan titik perpotongan antaradua kurva f (x1, x2) = 0 dan g(x1, x2) = 0.
Kedua kurva ini disebut sebagai isoklin (isoclines) dari sistem.Penggambaran diagram fase dari sistem (7) diawali denganmenggambar isoklin. Di setiap titik pada isoklin f (x1, x2) = 0 berlakux1 = 0, sehingga vektor kecepatan adalah tegak menghadap ke atasjika x2 > 0 dan tegak menghadap ke bawah jika x2 < 0.
Di setiap titik pada isoklin g(x1, x2) = 0 berlaku x2 = 0, sehinggavektor kecepatan adalah mendatar mengarah ke kanan jika x1 > 0dan ke kiri jika x1 < 0.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 32 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Example
Gambarkan diagram fase dari SPD berikut:
x1 = x2x2 = −2x1 − x2.
Solution
Dari sistem di atas dapat didefinisikan f (x1, x2) = x2 dang(x1, x2) = −2x1 − x2 sehingga diperoleh
Titik kesetimbangan (0, 0).
Isoklin: x2 = 0 dan x2 = −2x1.Kedua isoklin membagi bidang fase menjadi empat sektor.
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 33 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Arah gerakan garis fase:
Diagram fase:
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 34 / 35
Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan
Analisis Bidang Fase
Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 35 / 35
Recommended