View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 1
MỤC LỤC
.A – MỞ ĐẦU.................................................................................. Trang 2 – 3
.B – NỘI DUNG........................................................................................4 – 24
I.Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề ......................................................4 – 6
II.Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy ...................7 – 22
1.Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị hàm số. Biện luận số
nghiệm phương trình ................................................................7 – 14
2.Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của đường cong .............14 – 17
3.Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích
hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay .................................17 – 22
III.Kết quả thực dạy..........................................................................23 – 24
C – LỜI KẾT...................................................................................................25
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 2
A – MỞ ĐẦU
I – Lý do chọn đề tài:
1. Lý do khách quan:
Các bài toán liên quan đến hàm số là một chủ tuyến trong chương trình Giải
tích 12. Thông qua công cụ đạo hàm, học sinh có thể khảo sát và vẽ đồ thị của
các hàm số, bên cạnh đó học sinh còn vận dụng hàm số vào việc giải quyết các
bài toán về sự tương giao của hai đường cong, phương trình tiếp tuyến của
đường cong, tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay,... Trong hầu
hết các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng phần hàm
số và ứng dụng là một phần cơ bản của đề thi. Bên cạnh đó phần ứng dụng của
hàm số cũng là vấn đề quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất và tầm
quan trọng của việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Lý do chủ quan:
Là một huyện vùng sâu, vùng xa của tỉnh Bình Phước, điều kiện dạy và học
còn gặp rất nhiều khó khăn. Ngoài giờ đến lớp đại đa số học sinh phải về nhà
làm phụ cho gia đình, mặt khác điều kiện về cơ sở vật chất của Nhà trường còn
nhiều thiếu thốn, nên việc dạy và học bộ môn Toán của Nhà trường còn rất hạn
chế. Mặt khác trình độ của đại đa số học sinh chỉ ở mức trung bình và yếu nên
việc tiếp thu kiến thức bộ môn cũng rất khó khăn. Đứng trước những vấn đề đó,
chúng tôi phải luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra phương pháp giảng
dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình, giúp học sinh tiếp cận
kiến thức bộ môn được tốt và đạt hiệu quả cao nhất. Nhằm nâng cao chất lượng
giảng dạy của nhà trường và chất lượng bộ môn trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.
Trong năm học trước tôi đã trình bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy
bài toán “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” và trong năm học này tôi tiếp tục trình
bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy một số bài toán liên quan đến hàm
số ở chương trình Giải tích 12 theo chương trình chuẩn nhằm phục vụ chủ yếu
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 3
cho học sinh trung bình và yếu có thể làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng”
trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Với những kinh nghiệm thu thập được tôi xin giới
thiệu để quý đồng nghiệp cùng tham khảo và thảo luận.
II – Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:
1. Thu thập thông tin từ thực tế giảng dạy.
2. Thống kê các bài kiểm tra, bài thi để đánh giá mức độ hiệu quả của đề tài.
3. Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp để rút kinh nghiệm.
4. Dự giờ đồng nghiệp, mời đồng nghiệp dự giờ để cùng trao đổi và thảo
luận.
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 4
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề:
Nhìn chung các bài toán liên quan đến ứng dụng của đồ thị hàm số rất
phong phú và đa dạng. Tuy nhiên trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin đưa
ra ba vấn đề cơ bản mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT
theo chương trình chuẩn đó là: sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, phương
trình tiếp tuyến của đường cong và tính diện tích hình phằng, thể tích vật thể
tròn xoay.
1. Vấn đề 1: Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số
nghiệm của phương trình.
Cho hai hàm số: y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2).
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
Lúc đó ta có mệnh đề sau:
“(C1) cắt (C2) tại n điểm khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm
f(x) = g(x) có n nghiệm”
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 5
2. Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của một đường cong.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M0(x0 ; y0) thuộc (C).
Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:
d: y = f’(x0)(x – x0) + y0
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
3. Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích hình
phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.
a. Tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục
hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b là:
b
a
S f x dx
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 6
Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x và
y g x và hai đường thẳng ;x a x b a b là:
b
a
S f x g x dx
b. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ
thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b quay
quanh trục hoành Ox là:
2b
a
V f x dx
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 7
II. Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy:
1. Vấn đề 1: Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số
nghiệm của phương trình.
a. Bài toán 1: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình.
Xét phương trình: h(x, m) = 0 (*)
+ Biến đổi phương trình (*) về dạng: f(x) = g(m) (*)
+ Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f(x) và đường thẳng y = g(m).
Tuy nhiên trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày một kinh
nghiệm giúp học sinh giải nhanh và chính xác một dạng bài tập thường gặp
trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đó là trường hợp hàm số y = f(x) là hàm số
bậc 3 và có hai cực trị. Cụ thể:
Giả sử y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị (C) và y = f(x) có 2 cực trị là
yCĐ = f(xCĐ) và yCT = f(xCT).
Lúc đó dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng y = g(m) suy ra:
x
f(x)
+ Nếu ( )( )
CD
CT
g m yg m y
thì phương trình (*) có 2 nghiệm (1)
+ Nếu ( )( )
CD
CT
g m yg m y
thì phương trình (*) có 1 nghiệm (2)
+ Nếu yCT < g(m) < yCĐ thì phương trình (*) có 3 nghiệm (3)
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 8
Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh có học lực trung bình và
yếu tôi đã nhận ra rằng việc giải các phương trình và bất phương trình (1), (2)
và (3) để tìm tham số m là một trở ngại đáng kể với học sinh, đặc biệt là học
sinh có học lực trung bình và yếu. Cho nên tôi đã tìm tòi và đưa ra kinh nghiệm
sau đây để giúp học sinh giải nhanh và chính xác các vấn đề nêu trên như sau:
+ Ta chỉ cho học sinh giải trường hợp (1), vì đây là bài toán giải phương trình
để tìm tham số m nên đa số học sinh giải được và giải đúng. Cụ thể:
Giả sử ( )
(1) ( )( )
CD
CT
g m y mg m y m
Lúc đó nghiệm của trường hợp (2) và (3) học sinh chỉ lấy trên trục số sau mà
không cần phải giải:
Như vậy học sinh chỉ cần giải trường hợp (1) và đi đến ngay kết quả của trường
hợp (2) và (3) mà không cần giải. Cụ thể như sau:
+ Nếu ( )( )
CD
CT
g m y mg m y m
thì phương trình (*) có 2 nghiệm.
+ Nếu ( )( )
CD
CT
g m y mg m y m
thì phương trình (*) có 1 nghiệm.
+ Nếu ( )CT CDy g m y m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân
biệt.
(3) (2) (2) (1) (1)
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 9
Tôi xin giới thiệu một vài ví dụ cụ thể để minh hoạ cho cách làm trên.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 – 1 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:
2x3 + 3x2 – m = 0 (*)
Giải
1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị (C) nhau sau:
f(x)=2x^3+3x^2-1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
2. Phương trình: 3 2(*) 2 3 1 1x x m
Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng y = g(x) = m - 1. Từ đồ thị suy ra:
+ Nếu 1 01 1
mm
thì phương trình (*) có 2 nghiệm. (1)
+ Nếu 1 01 1
mm
thì phương trình (*) có 1 nghiệm. (2)
+ Nếu 1 1 0m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt. (3)
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 10
Đến đây học sinh sẽ giải (1) và thu được:
1 0 11 1 0
m mm m
Xét trên trục số, ta có:
0 1
Từ đó học sinh có ngay kết luận cho bài toán mà không cần giải (2) và (3) như
sau:
+ Nếu 10
mm
thì phương trình (*) có 2 nghiệm.
+ Nếu 10
mm
thì phương trình (*) có 1 nghiệm.
+ Nếu 0 1m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 21 3( ) 5 ( )4 2
y f x x x C
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 3 26 0x x m có 3 nghiệm thực phân biệt.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
(3) (2) (2) (1) (1)
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 11
Giải
1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh thu được đồ thị (C) như sau:
f(x)=(1/4)x^3-(3/2)x^2+5
f(x)=5
f(x)=-3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
2. Đặt phương trình: 3 26 0x x m (*)
Ta có: 3 21 3(*) 5 54 2 4
mx x
Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng ( ) : ( ) 54md y g x
Để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thằng
(d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đồ thị suy ra:
3 5 5 (**)4m
Đối với học sinh có học lực trung bình và yếu việc giải được hệ bất phương
trình (**) là tương đối khó khăn. Nhưng nếu học sinh làm theo cách làm
trên thì việc giải ra kết quả của (**) trở nên dễ dàng hơn nhiều. Cụ thể:
+ Đầu tiên học sinh sẽ giải ở giấy nháp trường hợp (*) có 2 nghiệm:
5 5 04325 3
4
mm
m m
+ Lúc đó học sinh sẽ lấy ngay kết quả của (**) mà không cần giải như sau:
(**) 0 32m
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 12
b. Bài toán 2: Dùng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số
giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Giả sử 2 hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2). Ta
xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C1) và (C2).
Ở đây tôi xin trình bày một trường hợp của bài toán mà học sinh thường
gặp trong chương trình Giải tích 12, đó là bài toán liên quan đến hàm phân
thức trong chương trình chuẩn. Cụ thể:
Cho hàm số 0
( ) , ( ). . 0
cax by f x Ca d b ccx d
và đường thằng
( ) :d y kx l . Tìm điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: (*)ax b kx lcx d
+ Ta có:
2
0(*)
( )( ) 0 (**)
dxcx dc
ax b kx l cx d x x
+ Lúc đó:
2
2
4 0
( ) ( ) 0YCBT d d
c c
Trong quá trình giải quyết bài toán này giáo viên phải luôn nhấn mạnh cho
học sinh điều kiện dxc
.
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 13
V í d ụ 3: Cho hàm số 2 4( ) ( )1
xy f x Cx
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tìm k để đường thẳng y = k cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải
1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị (C) như sau:
f(x)=(-2x-4)/(x+1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
2. Rõ ràng ở đây đường thẳng y = k là đường thẳng song song với trục
hoành Ox nên có thể dùng đồ thị để biện luận.
Dựa vào đồ thị suy ra ngay không có giá trị nào của k để đường thẳng y = k
có thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d): y = 2x + m và (C), ta có:
2 4 2 (*)1
x x mx
Ta có: 2
1(*)
2 ( 4) 4 0 (**)x
x m x m
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 14
Lúc đó: 2
2
( 4) 4.2.( 4) 0 442( 1) ( 4)( 1) 4 0
m m mYCBT
mm m
Đối với dạng toán này mà học sinh muốn dùng đồ thị để biện luận thì cũng khá
phức tạp vì còn liên quan đến bài toán tiếp tuyến, nên khi dạy giáo viên chỉ nên
hướng dẫn cách biện luận bằng đồ thị, còn vẫn định hướng cho học sinh dùng
phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm của hai đường
cong. Hơn nữa bài toán này còn gắng liền với bài toán tìm quỹ tích trung điểm
của hai giao điểm, tìm điều kiện để khoảng cách giữa hai giao điểm ngắn nhất,...
vì vậy việc dùng đồ thị để giải quyết bài toán này là không hợp lý. Đây là bài
toán không phải là đơn giản đối với học sinh có học lực trung bình và yếu, nên
khi dạy giáo viên cần phải nhấn mạnh các phép biến đổi và ý nghĩa của từng
phép biến đổi đó thì học sinh mới có thể nắm bắt được vấn đề, từ đó học sinh sẽ
chủ động trong việc tiếp cận với dạng toán này.
2. Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của một đường cong.
Trong bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến hai dạng tiếp tuyến trong chương
trình Giải tích 12 chuẩn, đó là viết phương trình tiếp tuyến khi biết toạ độ tiếp
điểm hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến. Nói chung đây là bài toán không quá
khó với học sinh, tuy nhiên do học sinh chủ yếu được học từ lớp 11 cho nên lên
lớp 12 bài toán này cũng không còn đơn giản đối với học sinh trung bình và
yếu. Đứng trước thực tế này tôi đã dùng sơ đồ khối để minh hoạ cho dạng toán
này, nhằm giúp học sinh dễ nhớ để có thể giải quyết tốt bài toán này, tôi xin giới
thiệu để quý đồng nghiệp cùng tham khảo.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M0(x0 ; y0) thuộc (C)
Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:
d: y = f’(x0)(x – x0) + y0
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 15
Sơ đồ khối nêu lên mối liên hệ giữa ba đại lượng có trong phương trình tiếp
tuyến là x0, y0 và f’(x0) như sau:
Cách giải quyết các trường hợp:
(1): Cho x0 thay vào y = f(x) để tính y0
(2): Cho y0 ta giải phương trình y0 = f(x) để tìm x0
(3): Cho x0 ta thay vào f’(x) để tính f’(x0)
(4): Cho hệ số góc f’(x0) = k thì ta giải phương trình f’(x) = k để tìm x0
Đó cũng chính là 4 dạng toán về tiếp tuyến mà học sinh thường gặp trong các đề
thi tốt nghiệp THPT. Tôi xin nêu một vài ví dụ minh hoạ cho dạng toán này.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại góc toạ độ.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với Oy.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng (d): y = - 3x + 1.
Hoành độ tiếp điểm x0
Tung độ tiếp điểm y0
Hệ số góc của tiếp tuyến
f’(x0)
(2)
(1)
(4)
(3)
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 16
Định hướng cho học sinh tìm lời giải và đáp số:
Ta có: y’ = f’(x) = 3x2 – 3
1. Cho
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = f’(0)(x – 0) + 0 = -3x
2. (C) giao với trục tung Oy, suy ra x0 = 0. Lúc đó ta có:
Cho x0 = 0
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = f’(0)(x – 0) + f(0) = -3x
3. (C) giao với trục hoành Ox, suy ra y0 = 0. Lúc đó ta có:
Cho y0 = 0
Suy ra có 3 phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
(d1): y = f’(0)(x – 0) + 0 = -3x
(d2): y = f’( )(x – ) + 0 = 6x - 6
(d3): y = f’( )(x + ) + 0 = 6x + 6
4. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: k = f’(x0) = - 3. Lúc đó ta có:
k = - 3 x0 = 0 y0 = 0
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 0) + 0 = -3x
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 17
Như vậy với cách làm này giúp cho học sinh có thể tổng quan được các
dạng toán liên quan đến tiếp tuyến của đường cong, giúp học sinh có thể ôn tập
và làm bài tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Tôi xin giới thiệu thêm một số ví
dụ để quý thầy cô tham khảo.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2x2 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 2.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008 - Hệ không phân ban)
Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1( ) ( )2
xy f x Cx
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)
3. Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích hình
phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.
Nhìn chung trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, kể cả đề tuyển sinh Đại học
thì dạng toán này chủ yếu là nhận dạng, lập luận và đưa ra công thức tính chính
xác là vấn đề trọng tâm, còn để tính các tích phân trong phần ứng dụng tích
phân để tính diện tích và thể tích đa phần đều là các dạng toán tích phân cơ bản.
Cho nên khi dạy cho học sinh vấn đề này giáo viên không chỉ giới thiệu về kiến
thức mà phải chú trọng đến vấn đề phân loại, nhận dạng các dạng toán để học
sinh chủ động trong việc tìm lời giải cho bài toán.
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 18
a. Tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục
hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b là:
b
a
S f x dx
Như vậy để giải quyết được dạng toán này phải giúp học sinh giải quyết bài
toán tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể:
+ Nếu đã có đồ thị của hàm số y = f(x) thì hướng dẫn cho học sinh xét dấu f(x)
dựa vào đồ thị hàm số.
+ Nếu chưa có đồ thị hàm số thì xét dấu hàm số f(x) trên ;a b .
+ Nếu gặp những hàm số mà việc xét dấu quá phức tạp thì có thể dùng phương
pháp chia đoạn, cụ thể như sau:
Giải phương trình : 0f x tìm các nghiệm 1 2 ... ;nx x x a b
Phân tích
b
a
S f x dx 1 2
1
...n
x x b
a x x
f x dx f x dx f x dx
Trên mỗi khoảng 1 1 2; , ; ,..., ;na x x x x b thì f x có dấu xác định không thay đổi.
Nên 1 2
1
...n
x x b
a x x
S f x dx f x dx f x dx
Với lưu ý rằng nếu đề chưa cho hoặc cho chưa đủ hai cận x = a và x = b
thì ta cần giải phương trình f(x) = 0 để tìm cận.
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 19
Ví dụ 1: Cho hàm số: 2 1( ) ( )1
xy f x Cx
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Oy, Ox và đồ thị (C).
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2005)
Giải
1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh thu được đồ thị (C) như sau:
f(x)=2
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
2. Ta có f(x) = 0 12
x
Suy ra diện tích hình phẳng được giới hạn bởi
( )Ox
012
C
x
x
là:
0 0 0
1 1 12 2 2
2 1( ) ( ) 1 ln 21
xS f x dx f x dx dxx
(đvdt)
Như vậy ở đây học sinh chỉ cần dùng đồ thị ở câu 1 thì có thể biết dấu của
hàm số f(x), từ đó đưa ra ngay công thức để tính diện tích hình phẳng.
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 20
Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x và
y g x và hai đường thẳng ;x a x b a b là:
b
a
S f x g x dx
Cách giải:
Giải phương trình f x g x tìm được các nghiệm 1 2 ... ;nx x x a b
Diện tích hình phẳng cần tìm b
a
S f x g x dx
Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng 1;a x , 1 2;x x ,…, ;nx b để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân.
1
...n
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx
1
...n
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx
Với lưu ý rằng nếu đề chưa cho hoặc cho chưa đủ hai cận x = a và x = b thì ta cần giải phương trình f(x) = g(x) để tìm cận.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
( 1)y e x và (1 )xy e x (Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A –
năm 2007)
Giải
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 21
0( 1) (1 )
1x x
e x e xx
+ Lúc đó diện tích hình phẳng cần tính là:
1 1
0 0
( 1) (1 ) ( ) 12
x x eS e x e x dx ex xe dx (đvdt)
b. Thể tích khối tròn xoay:
Ở bài viết này tôi chỉ xin đưa ra trường hợp khối tròn xoay sinh ra bởi một
hình phẳng khi hình phẳng này quay quanh trục Ox. Cụ thể:
Bài toán: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b
a b quay quanh trục hoành.
2b
a
V f x dx
Lưu ý khi giải dạng toán này:
Nếu đề cho đầy đủ giải thiết (đủ cận a, b) thì áp dụng công thức và tính.
Nếu còn thiếu cận thì giải phương trình 0f x để bổ xung cận rồi áp dụng công thức để tính. Nếu phương trình f(x) = 0 có nhiều hơn 2 nghiệm, lúc đó hai cận chính là nghiệm nhỏ nhất đến nghiệm lớn nhất.
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 21( ) ( )3
y f x x x C
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
(C), y = 0, x = 0 và x = 3 quay quanh trục Ox.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004)
Giải
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 22
1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị sau:
f(x)=(1/3)x^3-x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
2. Ở đây đề đã cho hai cận nên không cần phải giải phương trình f(x) = 0.
Ta có ngay công thức để tính thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
3 32 3 2 2
0 0
1 81( )3 35
V y dx x x dx (đvtt)
Ở đây phải nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng giả sử phương trình f(x) = 0 có
nghiệm 0 0;3x thì công thức tính thể tích V vẫn không có gì thay đổi.
Ngoài ra khi giáo viên nên dùng hình học để chứng minh cho công thức tính thể
tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x), x = a
và x = b. Vì qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường sai lầm trong dạng
toán này. Cụ thể thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
2 21 2 [ ( ) ( )]
b
a
V V V f x g x dx
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi tích luỹ được trong quá trình giảng
dạy bài toán “Hàm số và ứng dụng” ở chương trình Giải tích 12 (chuẩn) sau 5
năm tham gia giảng dạy bộ môn Toán khối 12 và chấm thi tốt nghiệp THPT.
Như đầu bài viết tôi đã giới thiệu thì đây là bài viết nhằm phục vụ cho đối tượng
học sinh có lực học trung bình và yếu nhằm giúp học sinh có kết quả cao trong
kỳ thi tốt nghiệp THPT cấp quốc gia, nên những kinh nghiệm tôi nêu ra có thể
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 23
là bình thường đối với học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học sinh có học lực
trung bình và yếu là rất cần thiết.
III. Kết quả thực dạy:
Qua 7 năm công tác tại trường THPT Thanh Hoà, trong đó có 5 năm trực
tiếp giảng dạy khối 12. Trong hai năm đầu giảng dạy khối 12 (năm học 2006 –
2007 và 2007 - 2008) tôi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Đến năm
học 2008 – 2009 tôi đã áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, nhưng chưa áp dụng
cho cả tổ, từ năm học 2009 – 2010 cho đến nay tôi đã mạnh dạn trao đổi, thảo
luận và áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy cho tất cả các thành viên trong tổ
Toán trực tiếp giảng dạy khối 12. Do tình hình thực tế trình độ học sinh của
trường đa số ở mức trung bình và yếu nên sau khi áp dụng sáng kiến này kết
quả thi tốt nghiệp THPT bộ môn Toán của nhà trường đạt kết quả tương đối khả
quan so với mặt bằng chung của các trường trong Tỉnh. Sau đây tôi xin trích
dẫn kết quả bài kiểm tra 45 phút, chương I – Giải Tích 12 và điểm thi tốt nghiệp
môn Toán đạt điểm trên trung bình của cá nhân và của toàn bộ số học sinh của
trường THPT Thanh Hoà trong các năm học. Cụ thể như sau:
1. Bài kiểm tra 45 phút – Tuần 7 – Tiết 21 theo phân phối chương trình:
Năm học Số lớp dạy Tổng số HS Số HS đạt trên 5 %
2006-2007 3 121 76 62.8
2007-2008 4 153 121 79.1
2008-2009 4 148 122 82.4
2009-2010 5 183 153 83.6
2010-2011 3 122 109 89.3
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 24
2. Điểm thi tốt nghiệp THPT từ năm học 2006-2007 đến 2009-2010:
Cá nhân Toàn trường
Năm học Tổng số
HS
Số HS trên
5 % Tổng số HS
Số HS trên
5 %
2006-2007 121 62 51.2 497 204 41.0
2007-2008 153 117 76.5 456 232 50.9
2008-2009 148 115 77.7 492 349 70.9
2009-2010 183 154 84.2 512 385 75.1
Kết quả cá nhân
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 25
Kết quả toàn trường
C. LỜI KẾT
Dạy và học là một quá trình tương tác giữa thầy và trò, nếu cả thầy và trò
cùng tích cực trong công việc thì tôi tin rằng mọi việc sẽ mang đến kết quả như
mong đợi. Nếu chúng ta dạy cho học sinh có học lực khá, giỏi thì chúng ta cố
gắng truyền đạt kiến thức đồng thời phương pháp luận cho học sinh. Còn nếu
đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu thì giáo viên phải là người tích
cực nghiên cứu, tìm ra phương pháp giảng dạy thật đơn giản, thật khoa học
nhằm giúp học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách đầy đủ và hiệu quả.
Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT bài toán “Hàm số và ứng dụng” không phải quyết
định chất lượng kết quả cho toàn bài thi, nhưng nếu học sinh làm tốt bài toán
này thì chất lượng của bộ môn và của nhà trường được nâng lên đáng kể. Với ý
thức của một giáo viên công tác vùng sâu, vùng xa, tôi luôn cố gắng bằng tấm
lòng nhiệt huyết của mình cố gắng tìm tòi, sáng tạo đưa ra nhiều sáng kiến trong
quá trình giảng dạy, nhằm giúp cho học sinh có được một kiến thức vững chắc
để bước vào đời.
Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo viên trong tổ Toán, BGH và công
Đoàn trường THPT Thanh Hoà đã giúp đỡ tôi hoàn thành bài viết này. Trong
quá trình viết chắc còn nhiều thiếu sót, tôi mong quý thầy (cô) giáo đồng nghiệp
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 26
đóng góp ý để chúng ta cùng trao đổi, thảo luận, nhằm đưa chất lượng giáo dục
của Huyện và Tỉnh nhà càng ngày càng tiến bộ đi lên.
Thanh Hoà, ngày 01 tháng 01 năm 2011
Người viết
Nguyễn Tiến Định
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (cơ bản) – Vũ Tuấn (CB)
2. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (nâng cao) – Nguyễn Huy Đoan (CB)
3. Sách giáo viên Giải Tích 12 ( cơ bản) – Vũ Tuấn (CB)
4. Sách giáo viên Giải Tích 12 (nâng cao) – Nguyễn Huy Đoan (CB)
5. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (CLHN) – Ngô Thúc Lanh (CB)
6. Phương pháp dạy học Toán – Trần Khánh Hưng ( ĐH Huế)
7. Phương pháp giải toán khảo sát hàm số - Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy.
8. Chuyên đề phương pháp giải toán khảo sát hàm số - Mai Xuân Hệ - Đỗ Hải
SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 27
9. Toán nâng cao giải tích – Phan Huy Khải
10. Các phương pháp giải toán Giải Tích 12 – Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo
Phương – Lê Thống Nhất.
Recommended