SKKN n ài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng ...thptthanhhoa.edu.vn/upload/fckeditor/upload... · 1.Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị

SKKN năm học 2010 – 2011 --- Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng” trong kỳ thi TN THPT

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa Trang 1

MỤC LỤC

.A – MỞ ĐẦU.................................................................................. Trang 2 – 3

.B – NỘI DUNG........................................................................................4 – 24

I.Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề ......................................................4 – 6

II.Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy ...................7 – 22

1.Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị hàm số. Biện luận số

nghiệm phương trình ................................................................7 – 14

2.Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của đường cong .............14 – 17

3.Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích

hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay .................................17 – 22

III.Kết quả thực dạy..........................................................................23 – 24

C – LỜI KẾT...................................................................................................25



A – MỞ ĐẦU

I – Lý do chọn đề tài:

1. Lý do khách quan:

Các bài toán liên quan đến hàm số là một chủ tuyến trong chương trình Giải

tích 12. Thông qua công cụ đạo hàm, học sinh có thể khảo sát và vẽ đồ thị của

các hàm số, bên cạnh đó học sinh còn vận dụng hàm số vào việc giải quyết các

bài toán về sự tương giao của hai đường cong, phương trình tiếp tuyến của

đường cong, tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay,... Trong hầu

hết các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng phần hàm

số và ứng dụng là một phần cơ bản của đề thi. Bên cạnh đó phần ứng dụng của

hàm số cũng là vấn đề quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất và tầm

quan trọng của việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2. Lý do chủ quan:

Là một huyện vùng sâu, vùng xa của tỉnh Bình Phước, điều kiện dạy và học

còn gặp rất nhiều khó khăn. Ngoài giờ đến lớp đại đa số học sinh phải về nhà

làm phụ cho gia đình, mặt khác điều kiện về cơ sở vật chất của Nhà trường còn

nhiều thiếu thốn, nên việc dạy và học bộ môn Toán của Nhà trường còn rất hạn

chế. Mặt khác trình độ của đại đa số học sinh chỉ ở mức trung bình và yếu nên

việc tiếp thu kiến thức bộ môn cũng rất khó khăn. Đứng trước những vấn đề đó,

chúng tôi phải luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra phương pháp giảng

dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình, giúp học sinh tiếp cận

kiến thức bộ môn được tốt và đạt hiệu quả cao nhất. Nhằm nâng cao chất lượng

giảng dạy của nhà trường và chất lượng bộ môn trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Trong năm học trước tôi đã trình bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy

bài toán “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” và trong năm học này tôi tiếp tục trình

bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy một số bài toán liên quan đến hàm

số ở chương trình Giải tích 12 theo chương trình chuẩn nhằm phục vụ chủ yếu



cho học sinh trung bình và yếu có thể làm tốt bài toán “Hàm số và ứng dụng”

trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Với những kinh nghiệm thu thập được tôi xin giới

thiệu để quý đồng nghiệp cùng tham khảo và thảo luận.

II – Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:

1. Thu thập thông tin từ thực tế giảng dạy.

2. Thống kê các bài kiểm tra, bài thi để đánh giá mức độ hiệu quả của đề tài.

3. Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp để rút kinh nghiệm.

4. Dự giờ đồng nghiệp, mời đồng nghiệp dự giờ để cùng trao đổi và thảo

luận.



B. NỘI DUNG

I. Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề:

Nhìn chung các bài toán liên quan đến ứng dụng của đồ thị hàm số rất

phong phú và đa dạng. Tuy nhiên trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin đưa

ra ba vấn đề cơ bản mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT

theo chương trình chuẩn đó là: sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, phương

trình tiếp tuyến của đường cong và tính diện tích hình phằng, thể tích vật thể

tròn xoay.

1. Vấn đề 1: Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số

nghiệm của phương trình.

Cho hai hàm số: y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2).

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

Lúc đó ta có mệnh đề sau:

“(C1) cắt (C2) tại n điểm khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm

f(x) = g(x) có n nghiệm”



2. Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của một đường cong.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M0(x0 ; y0) thuộc (C).

Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:

d: y = f’(x0)(x – x0) + y0

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

3. Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích hình

phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.

a. Tính diện tích hình phẳng:

Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục

hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b là:

b

a

S f x dx



Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x và

y g x và hai đường thẳng ;x a x b a b là:

b

a

S f x g x dx

b. Thể tích khối tròn xoay

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ

thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b quay

quanh trục hoành Ox là:

2b

a

V f x dx



II. Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy:

1. Vấn đề 1: Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số

nghiệm của phương trình.

a. Bài toán 1: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình.

Xét phương trình: h(x, m) = 0 (*)

+ Biến đổi phương trình (*) về dạng: f(x) = g(m) (*)

+ Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f(x) và đường thẳng y = g(m).

Tuy nhiên trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày một kinh

nghiệm giúp học sinh giải nhanh và chính xác một dạng bài tập thường gặp

trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Đó là trường hợp hàm số y = f(x) là hàm số

bậc 3 và có hai cực trị. Cụ thể:

Giả sử y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị (C) và y = f(x) có 2 cực trị là

yCĐ = f(xCĐ) và yCT = f(xCT).

Lúc đó dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng y = g(m) suy ra:

x

f(x)

+ Nếu ( )( )

CD

CT

g m yg m y

thì phương trình (*) có 2 nghiệm (1)

+ Nếu ( )( )

CD

CT

g m yg m y

thì phương trình (*) có 1 nghiệm (2)

+ Nếu yCT < g(m) < yCĐ thì phương trình (*) có 3 nghiệm (3)



Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh có học lực trung bình và

yếu tôi đã nhận ra rằng việc giải các phương trình và bất phương trình (1), (2)

và (3) để tìm tham số m là một trở ngại đáng kể với học sinh, đặc biệt là học

sinh có học lực trung bình và yếu. Cho nên tôi đã tìm tòi và đưa ra kinh nghiệm

sau đây để giúp học sinh giải nhanh và chính xác các vấn đề nêu trên như sau:

+ Ta chỉ cho học sinh giải trường hợp (1), vì đây là bài toán giải phương trình

để tìm tham số m nên đa số học sinh giải được và giải đúng. Cụ thể:

Giả sử ( )

(1) ( )( )

CD

CT

g m y mg m y m

Lúc đó nghiệm của trường hợp (2) và (3) học sinh chỉ lấy trên trục số sau mà

không cần phải giải:

Như vậy học sinh chỉ cần giải trường hợp (1) và đi đến ngay kết quả của trường

hợp (2) và (3) mà không cần giải. Cụ thể như sau:

+ Nếu ( )( )

CD

CT

g m y mg m y m

thì phương trình (*) có 2 nghiệm.

+ Nếu ( )( )

CD

CT

g m y mg m y m


+ Nếu ( )CT CDy g m y m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân

biệt.

(3) (2) (2) (1) (1)



Tôi xin giới thiệu một vài ví dụ cụ thể để minh hoạ cho cách làm trên.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 – 1 (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:

2x3 + 3x2 – m = 0 (*)

Giải

1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị (C) nhau sau:

f(x)=2x^3+3x^2-1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

2. Phương trình: 3 2(*) 2 3 1 1x x m

Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và

đường thẳng y = g(x) = m - 1. Từ đồ thị suy ra:

+ Nếu 1 01 1

mm

thì phương trình (*) có 2 nghiệm. (1)

+ Nếu 1 01 1

mm

thì phương trình (*) có 1 nghiệm. (2)

+ Nếu 1 1 0m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt. (3)



Đến đây học sinh sẽ giải (1) và thu được:

1 0 11 1 0

m mm m

Xét trên trục số, ta có:

0 1

Từ đó học sinh có ngay kết luận cho bài toán mà không cần giải (2) và (3) như

sau:

+ Nếu 10

mm


+ Nếu 10

mm


+ Nếu 0 1m thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 21 3( ) 5 ( )4 2

y f x x x C


2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 3 26 0x x m có 3 nghiệm thực phân biệt.

(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)

(3) (2) (2) (1) (1)



Giải

1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh thu được đồ thị (C) như sau:

f(x)=(1/4)x^3-(3/2)x^2+5

f(x)=5

f(x)=-3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

2. Đặt phương trình: 3 26 0x x m (*)

Ta có: 3 21 3(*) 5 54 2 4

mx x

Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và

đường thẳng ( ) : ( ) 54md y g x

Để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thằng

(d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đồ thị suy ra:

3 5 5 (**)4m

Đối với học sinh có học lực trung bình và yếu việc giải được hệ bất phương

trình (**) là tương đối khó khăn. Nhưng nếu học sinh làm theo cách làm

trên thì việc giải ra kết quả của (**) trở nên dễ dàng hơn nhiều. Cụ thể:

+ Đầu tiên học sinh sẽ giải ở giấy nháp trường hợp (*) có 2 nghiệm:

5 5 04325 3

4

mm

m m

+ Lúc đó học sinh sẽ lấy ngay kết quả của (**) mà không cần giải như sau:

(**) 0 32m



b. Bài toán 2: Dùng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số

giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Giả sử 2 hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2). Ta

xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)

Lúc đó số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C1) và (C2).

Ở đây tôi xin trình bày một trường hợp của bài toán mà học sinh thường

gặp trong chương trình Giải tích 12, đó là bài toán liên quan đến hàm phân

thức trong chương trình chuẩn. Cụ thể:

Cho hàm số 0

( ) , ( ). . 0

cax by f x Ca d b ccx d

và đường thằng

( ) :d y kx l . Tìm điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

Giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm: (*)ax b kx lcx d

+ Ta có:

2

0(*)

( )( ) 0 (**)

dxcx dc

ax b kx l cx d x x

+ Lúc đó:

2

2

4 0

( ) ( ) 0YCBT d d

c c

Trong quá trình giải quyết bài toán này giáo viên phải luôn nhấn mạnh cho

học sinh điều kiện dxc

.



V í d ụ 3: Cho hàm số 2 4( ) ( )1

xy f x Cx


2. Tìm k để đường thẳng y = k cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

3. Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Giải

1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị (C) như sau:

f(x)=(-2x-4)/(x+1)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

2. Rõ ràng ở đây đường thẳng y = k là đường thẳng song song với trục

hoành Ox nên có thể dùng đồ thị để biện luận.

Dựa vào đồ thị suy ra ngay không có giá trị nào của k để đường thẳng y = k

có thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d): y = 2x + m và (C), ta có:

2 4 2 (*)1

x x mx

Ta có: 2

1(*)

2 ( 4) 4 0 (**)x

x m x m



Lúc đó: 2

2

( 4) 4.2.( 4) 0 442( 1) ( 4)( 1) 4 0

m m mYCBT

mm m

Đối với dạng toán này mà học sinh muốn dùng đồ thị để biện luận thì cũng khá

phức tạp vì còn liên quan đến bài toán tiếp tuyến, nên khi dạy giáo viên chỉ nên

hướng dẫn cách biện luận bằng đồ thị, còn vẫn định hướng cho học sinh dùng

phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm của hai đường

cong. Hơn nữa bài toán này còn gắng liền với bài toán tìm quỹ tích trung điểm

của hai giao điểm, tìm điều kiện để khoảng cách giữa hai giao điểm ngắn nhất,...

vì vậy việc dùng đồ thị để giải quyết bài toán này là không hợp lý. Đây là bài

toán không phải là đơn giản đối với học sinh có học lực trung bình và yếu, nên

khi dạy giáo viên cần phải nhấn mạnh các phép biến đổi và ý nghĩa của từng

phép biến đổi đó thì học sinh mới có thể nắm bắt được vấn đề, từ đó học sinh sẽ

chủ động trong việc tiếp cận với dạng toán này.

2. Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của một đường cong.

Trong bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến hai dạng tiếp tuyến trong chương

trình Giải tích 12 chuẩn, đó là viết phương trình tiếp tuyến khi biết toạ độ tiếp

điểm hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến. Nói chung đây là bài toán không quá

khó với học sinh, tuy nhiên do học sinh chủ yếu được học từ lớp 11 cho nên lên

lớp 12 bài toán này cũng không còn đơn giản đối với học sinh trung bình và

yếu. Đứng trước thực tế này tôi đã dùng sơ đồ khối để minh hoạ cho dạng toán

này, nhằm giúp học sinh dễ nhớ để có thể giải quyết tốt bài toán này, tôi xin giới

thiệu để quý đồng nghiệp cùng tham khảo.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M0(x0 ; y0) thuộc (C)

Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:

d: y = f’(x0)(x – x0) + y0



Sơ đồ khối nêu lên mối liên hệ giữa ba đại lượng có trong phương trình tiếp

tuyến là x0, y0 và f’(x0) như sau:

Cách giải quyết các trường hợp:

(1): Cho x0 thay vào y = f(x) để tính y0

(2): Cho y0 ta giải phương trình y0 = f(x) để tìm x0

(3): Cho x0 ta thay vào f’(x) để tính f’(x0)

(4): Cho hệ số góc f’(x0) = k thì ta giải phương trình f’(x) = k để tìm x0

Đó cũng chính là 4 dạng toán về tiếp tuyến mà học sinh thường gặp trong các đề

thi tốt nghiệp THPT. Tôi xin nêu một vài ví dụ minh hoạ cho dạng toán này.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x (C)

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại góc toạ độ.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với Oy.

3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox.

4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng (d): y = - 3x + 1.

Hoành độ tiếp điểm x0

Tung độ tiếp điểm y0

Hệ số góc của tiếp tuyến

f’(x0)

(2)

(1)

(4)

(3)



Định hướng cho học sinh tìm lời giải và đáp số:

Ta có: y’ = f’(x) = 3x2 – 3

1. Cho

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = f’(0)(x – 0) + 0 = -3x

2. (C) giao với trục tung Oy, suy ra x0 = 0. Lúc đó ta có:

Cho x0 = 0

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = f’(0)(x – 0) + f(0) = -3x

3. (C) giao với trục hoành Ox, suy ra y0 = 0. Lúc đó ta có:

Cho y0 = 0

Suy ra có 3 phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

(d1): y = f’(0)(x – 0) + 0 = -3x

(d2): y = f’( )(x – ) + 0 = 6x - 6

(d3): y = f’( )(x + ) + 0 = 6x + 6

4. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: k = f’(x0) = - 3. Lúc đó ta có:

k = - 3 x0 = 0 y0 = 0

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 0) + 0 = -3x



Như vậy với cách làm này giúp cho học sinh có thể tổng quan được các

dạng toán liên quan đến tiếp tuyến của đường cong, giúp học sinh có thể ôn tập

và làm bài tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Tôi xin giới thiệu thêm một số ví

dụ để quý thầy cô tham khảo.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2x2 (C)


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 2.

(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008 - Hệ không phân ban)

Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1( ) ( )2

xy f x Cx


2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5


3. Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân và đồ thị hàm số để tính diện tích hình

phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.

Nhìn chung trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, kể cả đề tuyển sinh Đại học

thì dạng toán này chủ yếu là nhận dạng, lập luận và đưa ra công thức tính chính

xác là vấn đề trọng tâm, còn để tính các tích phân trong phần ứng dụng tích

phân để tính diện tích và thể tích đa phần đều là các dạng toán tích phân cơ bản.

Cho nên khi dạy cho học sinh vấn đề này giáo viên không chỉ giới thiệu về kiến

thức mà phải chú trọng đến vấn đề phân loại, nhận dạng các dạng toán để học

sinh chủ động trong việc tìm lời giải cho bài toán.



a. Tính diện tích hình phẳng:

Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục

hoành và hai đường thẳng ;x a x b a b là:

b

a

S f x dx

Như vậy để giải quyết được dạng toán này phải giúp học sinh giải quyết bài

toán tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể:

+ Nếu đã có đồ thị của hàm số y = f(x) thì hướng dẫn cho học sinh xét dấu f(x)

dựa vào đồ thị hàm số.

+ Nếu chưa có đồ thị hàm số thì xét dấu hàm số f(x) trên ;a b .

+ Nếu gặp những hàm số mà việc xét dấu quá phức tạp thì có thể dùng phương

pháp chia đoạn, cụ thể như sau:

Giải phương trình : 0f x tìm các nghiệm 1 2 ... ;nx x x a b

Phân tích

b

a

S f x dx 1 2

1

...n

x x b

a x x

f x dx f x dx f x dx

Trên mỗi khoảng 1 1 2; , ; ,..., ;na x x x x b thì f x có dấu xác định không thay đổi.

Nên 1 2

1

...n

x x b

a x x

S f x dx f x dx f x dx

Với lưu ý rằng nếu đề chưa cho hoặc cho chưa đủ hai cận x = a và x = b

thì ta cần giải phương trình f(x) = 0 để tìm cận.



Ví dụ 1: Cho hàm số: 2 1( ) ( )1

xy f x Cx


2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Oy, Ox và đồ thị (C).


Giải

1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh thu được đồ thị (C) như sau:

f(x)=2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

2. Ta có f(x) = 0 12

x

Suy ra diện tích hình phẳng được giới hạn bởi

( )Ox

012

C

x

x

là:

0 0 0

1 1 12 2 2

2 1( ) ( ) 1 ln 21

xS f x dx f x dx dxx

(đvdt)

Như vậy ở đây học sinh chỉ cần dùng đồ thị ở câu 1 thì có thể biết dấu của

hàm số f(x), từ đó đưa ra ngay công thức để tính diện tích hình phẳng.



Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x và

y g x và hai đường thẳng ;x a x b a b là:

b

a

S f x g x dx

Cách giải:

Giải phương trình f x g x tìm được các nghiệm 1 2 ... ;nx x x a b

Diện tích hình phẳng cần tìm b

a

S f x g x dx

Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng 1;a x , 1 2;x x ,…, ;nx b để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân.

1

...n

x b

a x

S f x g x dx f x g x dx

1

...n

x b

a x

S f x g x dx f x g x dx

Với lưu ý rằng nếu đề chưa cho hoặc cho chưa đủ hai cận x = a và x = b thì ta cần giải phương trình f(x) = g(x) để tìm cận.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

( 1)y e x và (1 )xy e x (Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A –

năm 2007)

Giải

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:



0( 1) (1 )

1x x

e x e xx

+ Lúc đó diện tích hình phẳng cần tính là:

1 1

0 0

( 1) (1 ) ( ) 12

x x eS e x e x dx ex xe dx (đvdt)

b. Thể tích khối tròn xoay:

Ở bài viết này tôi chỉ xin đưa ra trường hợp khối tròn xoay sinh ra bởi một

hình phẳng khi hình phẳng này quay quanh trục Ox. Cụ thể:

Bài toán: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ;x a x b

a b quay quanh trục hoành.

2b

a

V f x dx

Lưu ý khi giải dạng toán này:

Nếu đề cho đầy đủ giải thiết (đủ cận a, b) thì áp dụng công thức và tính.

Nếu còn thiếu cận thì giải phương trình 0f x để bổ xung cận rồi áp dụng công thức để tính. Nếu phương trình f(x) = 0 có nhiều hơn 2 nghiệm, lúc đó hai cận chính là nghiệm nhỏ nhất đến nghiệm lớn nhất.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 21( ) ( )3

y f x x x C


2. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị

(C), y = 0, x = 0 và x = 3 quay quanh trục Ox.


Giải



1. Sau khi khảo sát và vẽ học sinh sẽ thu được đồ thị sau:

f(x)=(1/3)x^3-x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

2. Ở đây đề đã cho hai cận nên không cần phải giải phương trình f(x) = 0.

Ta có ngay công thức để tính thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:

3 32 3 2 2

0 0

1 81( )3 35

V y dx x x dx (đvtt)

Ở đây phải nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng giả sử phương trình f(x) = 0 có

nghiệm 0 0;3x thì công thức tính thể tích V vẫn không có gì thay đổi.

Ngoài ra khi giáo viên nên dùng hình học để chứng minh cho công thức tính thể

tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x), x = a

và x = b. Vì qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường sai lầm trong dạng

toán này. Cụ thể thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:

2 21 2 [ ( ) ( )]

b

a

V V V f x g x dx

Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi tích luỹ được trong quá trình giảng

dạy bài toán “Hàm số và ứng dụng” ở chương trình Giải tích 12 (chuẩn) sau 5

năm tham gia giảng dạy bộ môn Toán khối 12 và chấm thi tốt nghiệp THPT.

Như đầu bài viết tôi đã giới thiệu thì đây là bài viết nhằm phục vụ cho đối tượng

học sinh có lực học trung bình và yếu nhằm giúp học sinh có kết quả cao trong

kỳ thi tốt nghiệp THPT cấp quốc gia, nên những kinh nghiệm tôi nêu ra có thể



là bình thường đối với học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học sinh có học lực

trung bình và yếu là rất cần thiết.

III. Kết quả thực dạy:

Qua 7 năm công tác tại trường THPT Thanh Hoà, trong đó có 5 năm trực

tiếp giảng dạy khối 12. Trong hai năm đầu giảng dạy khối 12 (năm học 2006 –

2007 và 2007 - 2008) tôi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Đến năm

học 2008 – 2009 tôi đã áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, nhưng chưa áp dụng

cho cả tổ, từ năm học 2009 – 2010 cho đến nay tôi đã mạnh dạn trao đổi, thảo

luận và áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy cho tất cả các thành viên trong tổ

Toán trực tiếp giảng dạy khối 12. Do tình hình thực tế trình độ học sinh của

trường đa số ở mức trung bình và yếu nên sau khi áp dụng sáng kiến này kết

quả thi tốt nghiệp THPT bộ môn Toán của nhà trường đạt kết quả tương đối khả

quan so với mặt bằng chung của các trường trong Tỉnh. Sau đây tôi xin trích

dẫn kết quả bài kiểm tra 45 phút, chương I – Giải Tích 12 và điểm thi tốt nghiệp

môn Toán đạt điểm trên trung bình của cá nhân và của toàn bộ số học sinh của

trường THPT Thanh Hoà trong các năm học. Cụ thể như sau:

1. Bài kiểm tra 45 phút – Tuần 7 – Tiết 21 theo phân phối chương trình:

Năm học Số lớp dạy Tổng số HS Số HS đạt trên 5 %

2006-2007 3 121 76 62.8

2007-2008 4 153 121 79.1

2008-2009 4 148 122 82.4

2009-2010 5 183 153 83.6

2010-2011 3 122 109 89.3



2. Điểm thi tốt nghiệp THPT từ năm học 2006-2007 đến 2009-2010:

Cá nhân Toàn trường

Năm học Tổng số

HS

Số HS trên

5 % Tổng số HS

Số HS trên

5 %

2006-2007 121 62 51.2 497 204 41.0

2007-2008 153 117 76.5 456 232 50.9

2008-2009 148 115 77.7 492 349 70.9

2009-2010 183 154 84.2 512 385 75.1

Kết quả cá nhân



Kết quả toàn trường

C. LỜI KẾT

Dạy và học là một quá trình tương tác giữa thầy và trò, nếu cả thầy và trò

cùng tích cực trong công việc thì tôi tin rằng mọi việc sẽ mang đến kết quả như

mong đợi. Nếu chúng ta dạy cho học sinh có học lực khá, giỏi thì chúng ta cố

gắng truyền đạt kiến thức đồng thời phương pháp luận cho học sinh. Còn nếu

đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu thì giáo viên phải là người tích

cực nghiên cứu, tìm ra phương pháp giảng dạy thật đơn giản, thật khoa học

nhằm giúp học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách đầy đủ và hiệu quả.

Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT bài toán “Hàm số và ứng dụng” không phải quyết

định chất lượng kết quả cho toàn bài thi, nhưng nếu học sinh làm tốt bài toán

này thì chất lượng của bộ môn và của nhà trường được nâng lên đáng kể. Với ý

thức của một giáo viên công tác vùng sâu, vùng xa, tôi luôn cố gắng bằng tấm

lòng nhiệt huyết của mình cố gắng tìm tòi, sáng tạo đưa ra nhiều sáng kiến trong

quá trình giảng dạy, nhằm giúp cho học sinh có được một kiến thức vững chắc

để bước vào đời.

Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo viên trong tổ Toán, BGH và công

Đoàn trường THPT Thanh Hoà đã giúp đỡ tôi hoàn thành bài viết này. Trong

quá trình viết chắc còn nhiều thiếu sót, tôi mong quý thầy (cô) giáo đồng nghiệp



đóng góp ý để chúng ta cùng trao đổi, thảo luận, nhằm đưa chất lượng giáo dục

của Huyện và Tỉnh nhà càng ngày càng tiến bộ đi lên.

Thanh Hoà, ngày 01 tháng 01 năm 2011

Người viết

Nguyễn Tiến Định

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (cơ bản) – Vũ Tuấn (CB)

2. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (nâng cao) – Nguyễn Huy Đoan (CB)

3. Sách giáo viên Giải Tích 12 ( cơ bản) – Vũ Tuấn (CB)

4. Sách giáo viên Giải Tích 12 (nâng cao) – Nguyễn Huy Đoan (CB)

5. Sách giáo khoa Giải Tích 12 (CLHN) – Ngô Thúc Lanh (CB)

6. Phương pháp dạy học Toán – Trần Khánh Hưng ( ĐH Huế)

7. Phương pháp giải toán khảo sát hàm số - Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy.

8. Chuyên đề phương pháp giải toán khảo sát hàm số - Mai Xuân Hệ - Đỗ Hải



9. Toán nâng cao giải tích – Phan Huy Khải

10. Các phương pháp giải toán Giải Tích 12 – Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo

Phương – Lê Thống Nhất.

Documents

SKKN n ài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Hàm số và ứng ...thptthanhhoa.edu.vn/upload/fckeditor/upload... · 1.Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị