Conicas . . . Evolución Histórica

Evolución Histórica

de la Matemática

Evolución Histórica del concepto

En el siglo IV a.C. Entre otros, surge Menecmo como el primer geómetra

que trabajo con secciones cónicas

También Euclides escribió cuatro libros sobre secciones cónicas pero

se perdió completamente

Arquímedes también las estudio y hallo

La relación que hay entre el área de un círculo y la de la elipse

El área del segmento parabólico (arriba) es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito (abajo)

Sin embargo, nadie llego a trabajarlas tanto como Apolonio de Pergamo

Conocido como

“El Gran Geómetra”

Escribió ocho libros de secciones cónicas

¿ Cómo las halla ?

A él se deben las siguientes definiciones

Superficie Cónica

Generatriz

Vértice y eje

Cono (Recto y Oblicuo)

Parábola

Hipérbola

Elipse

Circunferencia

En el siglo IV d.C. Pappus demostró que la excentricidad de cualquier cónica

Pappus de Alejandría

La razón entre las distancias de cualquier punto de una cónica a una recta fija (directriz) y a un punto fijo (foco) es constante

Clasificación de las cónicas segúnsu excentricidad

Si e < 1 Se trata de una Elipse

Si e = 1 Se trata de una Parábola

Si e > 1 Se trata de una Hipérbola

Hasta el siglo XVII no hubo mayores aportes, ya que es en él precisamente que

surge la llamada Geometría Analítica

René Descartes Pierre Fermat

La Teoría de basa en dos conceptos:

Ubicación de puntos en ejes cartesianos

Unir álgebra y geometría

Descartes examino la clase de curvas del plano que están representadas por ecuaciones de segundo grado con dos variables; cuya expresión general es:

Llegando las siguientes conclusiones

Una Elipse si

Una Parábola si

Una Hipérbola si

Estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del

planeta Marte

Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol descubriendo trayectorias elípticas y de

modo tal que el Sol, se encuentra ubicado precisamente en uno de sus focos

En 1809 Gauss Publico su segunda obra maestra

“Teoría del movimiento de los cuerpos celestres que giran

alrededor del sol en secciones cónicas”

Analicemos sus propiedades

ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es constante

Como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su

nombre se atribuye a Apolonio de Perge.

El foco y la directriz de la elipse fueron estudiadas por Pappus

Construcción por Papiroflexia Tomar un papel y dibuja en él una circunferencia lo más

grande posible (utilizar papel de calcar)

Pintar un punto dentro de la circunferencia (lejos de sucentro)

Plegar el papel de manera que, mirando atrasluz, coincida un punto de la circunferencia con elpunto pintado dentro de ella

Elementos que la componen

Excentricidad

PARÁBOLA

Es un lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado foco es

igual a la distancia a una recta fija,llamada directriz

El primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, donde se desarrolla

el estudio de las tangentes a secciones cónicas.También fue estudiada por Arquímedes, en la

búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el

libro Sobre la cuadratura de la parábola

Construcción por Papiroflexia

Pintar una recta (cerca de borde corto del papel y paralela al mismo)

Pinta un punto no demasiado lejos de la recta en el lado que tienes más espacio y lejos de los bordes

Pliega el papel haciendo que al trasluz coincida un punto de la recta con el que has pintado. Marca bien el pliegue

Elementos que la componen

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Su longitud es siempre 4 veces la distancia focal

Semejanza

Dado que la parábola es una seccióncónica, puede describirse como la única quetiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere aque todas las parábolas son semejantes, esdecir, tienen la misma forma, salvo su escala.Un argumento geométrico informal es que al serla directriz una recta infinita, al tomar cualquierpunto y efectuar la construcción, se obtienesiempre la misma curva, salvo su escala, quedepende de la distancia del punto a la directriz

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos

puntos fijos, llamados focos es constante

Aplicaciones en óptica

El sistema de navegación Loran

Trayectoria de los cometas

El reloj solar

Construcción por Papiroflexia

Se procede de la misma manera que con la elipse pero pintando el punto fuera de la circunferencia en lugar de dentro

Los focos de la hipérbola resultante también son el punto dibujado y el centro de la circunferencia.

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola , C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular al eje transversal son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro

Características importantes

Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo dirigido a uno de los focos de ella se refleja en el otro

El hombre preocupado por establecer siempre un equilibrio en la dualidad estética y funcionalidad a optado por recurrir a formas cada

vez más sofisticadas y uno de los recursos que cuenta para definir

patrones en los campos de arquitectura, ingeniería, diseños de

mueble son las secciones cónicas

Aplicaciones en general

Astronomía

Orbita de los cometas

Medicina

Cd

Numeración de las armas

Circunferencia en el transporte

Tradicionalmente, el estudio de las cónicas es de tipo analítico, destinado a

obtener ecuaciones o graficas

Un enfoque práctico, permite visualizar la belleza que esconden estas curvas al estudiar sus propiedades por métodos geométricos

"LA CIENCIA ES UNA DE LAS GRANDES AVENTURAS DE LA RAZA HUMANA, TAN FANTASTICA Y EXIGENTE COMO LOS CUENTOS DE HÉROES Y DIOSES, NACIONES Y ESTADOS, ESCRITORES Y POETAS... ESA ES MI CONVICCIÓN Y PIENSO QUE LA CIENCIA PODRÍA Y

DEBERÍA SER ENSEÑADA DE MANERA TAL QUE SE TRANSMITA UNA

SOSPECHA DE ESE ESPÍRITU A LA MENTE DEL ESTUDIANTE"

(MAX BORN)