Incerteza das Epidemias

Por que as Epidemias são tão imprevisíveis?

Ecologia de Populações Prof. Dr. Harold Gordon Fowler

popecologia@hotmail.com

Uma Pergunta Obvia Quando um surto de uma doença infecciosa é

constatado (SARS, Influenza Aviaria, Influenza Suína, Ebola, e outras.), uma das perguntas mais importantes é: “Qual tamanho alcançará”?

Podemos também fazer uma uma pergunta

análoga para as epidemias existentes (HIV, TB, Malaria)

Porém, a epidemiologia matemática ainda não

tem meios de responder essas perguntas

A Epidemiologia Matemática Começou com a análise da epidemia de varíola

de 1760 de Daniel Bernoulli Se desenvolveu extensivamente desde 1920

(Kermack e McKendrick) Atualmente centenas de modelos lidam com

variações de doenças humanas, animais e vegetais

Diversidade inacreditável dos modelos, que

podem ser muito complexos, mas a maioria são variantes do original

O Modelo Padrão (SIR) (1) Os indivíduos passam entre três estados: Susceptíveis, Infectados, e Recuperados

(2) Mistura e uniformemente aleatória

Perda de

imunidade

Recuperação

(ou morte)

Infecção

Número Reprodutivo Básico R0

A premissa de mistura uniforme implica que as epidemias dependem somente do número total de infecciosos (I) e susceptíveis (S)

Condição para uma epidemia é simples: R0 >1 R0 e o “Número Reprodutivo Básico”

– Número médio de indivíduos infecciosas gerados por um único indivíduo infectado numa população susceptível

R0 depende de – Grau de infecção da doença – Período de latência da infecção – Densidade de indivíduos susceptíveis próximo ao surto

Prevenção de uma epidemia implica manter R0<1

Número Reprodutivo Básico

R0=lp

l= freqüência de contatos por dia (“lambda”)

p= probabilidade de transmitindo uma infecção após contato

Os modelos padrão implicam que os surtos são bi-modais

Quando R0 < 1 as epidemias nunca acontecem Quando R0 > 1, somente existem dois resultados possíveis: – O surto não chega a ser

uma “epidemia” (pico a esquerdo)

– O surto vira uma epidemia, infectando uma fração significante da população intera (pico a direto)

O tamanho da epidemia deve ser previsível

Juntos, R0 e N (tamanho populacional) determinam completamente o número esperado de casos F

raçã

o da p

opulaçã

o infe

ctada

no

est

ágio

fina

l

Taxa reprodutiva

Também, as epidemias devem ter somente um “pico”

Uma vez que decola uma epidemia, segue a “curva logística” clássica (novos casos por dia)

Núm

ero

de c

aso

s no

vos

Diferem dramaticamente em tamanho

– 1918-19 “Gripe Espanhola” – 1957-58 “Gripe Asiática” – 1968-69 “Gripe de Hong Kong” – 2003 SARS Epidemia

Todas essas doenças tem valores quase iguais de R0!

Quanto diferencia em tamanhos as epidemias de tamanho parecido têm?

Desafortunadamente, os dados históricos sobre epidemias grandes são difíceis coletar.. Por isso, as distribuições verdadeiras do tamanho são desconhecidas

As epidemias reais, porém…

As Epidemias Aparentem Ser “multi-modais”

Distribuição de tamanhos das epidemias de (A) sarampo e (B) pertusa na Islândia, 1888-1990

As Epidemias Reais também são “Resurgentes”

Casos Diários Globais para a Epidemia de SARS em 2003: a epidemia tinha vários picos, separados por incidências baixas

Data do começo

Núm

ero

de c

aso

s no

vos

Resultado é imprevisível

As distribuições multi-modais de tamanho implicam qualquer surto da mesma doença pode ter restados dramaticamente distintos

O reaparecimento implica que ainda para epidemias que aparente estão se apagando podem se regenerar ao invadir populações novas

O que torna imprevisível as epidemias?

Insight chave da literatura sobre redes sociais: populações exibem estrutura

Que tipo de estrutura? – A distribuição não homogênea da população – Redes de transporte e infra-estrutura – Redes sociais, organizacionais, e sexuais

Resultado é

– A mistura uniforme ocorre somente em contextos pequenos e relativamente confinados (onde o modelo padrão se aplica)

– As epidemias grandes não são eventos únicos: são resultados de várias epidemias pequenas

Pandemia de Influenza de 1957

O entendimento das epidemias grandes requer a modelagem da estrutura populacional global

Presume que o modelo padrão se aplica aos “contextos locais” (escolas, hospitais, prédios de apartamentos, povoados, ...)

Porém, esses contextos locais são embutidos numa serie de contextos sucessivamente maiores (vizinhanças, cidades, regiões, estados, países, continentes…)

As populações globais são “aninhadas” Os indivíduos podem “escapar” o contexto local atual

e se mudar a outro A facilidade de mudar dos contextos “distantes”

versus “próximos” depende da tecnologia

Um modelo aninhado simples de população

As populações aninhadas geram distribuições “chatas”de tamanhos

de epidemias Resultados muito diferentes possíveis para o mesmo valor de R0 Distribuições similares para valores diferentes de R0

A mesma doença pode ter trajetórias diferentes Resurgência pode ser causada por “eventos raros”

Núm

ero

de c

aso

s no

vos

O tamanho da epidemia depende da freqüência e amplitude de

viagens

O tamanho médio da epidemia versus P0 (o número esperado de infecciosos “escapando” o contexto local)

O tamanho médio da epidemia versus x (“distancia típica viajada)

Importância de Redes

As populações grandes exibem estruturas de redes – Social, sexual, infra-estrutura, transporte

As epidemias grandes precisam ser compreendidas como várias epidemias pequenas ligadas por redes

Incorporando uma estrutura “multi-escala” do mundo em modelos de epidemias pode explicar a multi-modalidade e a resurgencia das epidemias

Conhecimento de uma doença (R0) não ajuda prever o tamanho ou duração de uma epidemia

Razão é que os “eventos raros” (como uma pessoa num avião) podem ter conseqüências imensas

A estrutura populacional pode ser usada como medida de controle (como fechamento de escolas)

A Equação Demográfica

Exemplos da Demografia em Ambientes Constantes

Crescimento limitado assintomaticamente

A equação demográfica (1) com taxa constante Λ com a condição inicial de N(0) leva a solução seguinte

N(t+1)= N(t)+Λ, N(0)=N0 Porque N(1)= N0 +Λ, N(2)=2 N0 +(+1) Λ, N(3)=3 N0 +(2 ++1) Λ, ..., N(t)=t N0 +(t-1+t-2+...++1) Λ

Crescimento Limitado num Ambiente Constante

N(t)

1,0 Porque

.1 se

11

1, se

)(

. t como 1

0

0

Nt

tN

tN

Crescimento Geométrico (ambiente constante)

Se recrutas novas chegam a uma taxa per capita positiva por geração, ou seja ,se f(N(t))=N(t) então

N(t+1)=( + )N(t). Ou seja, N(t)= ( +)t N(0). O número reprodutivo básico demográfico é

Rd=/(1-)

Mas R estima o número médio de descendentes produzidos por uma população colonizador pequena (N(0)) durante sua vida.

Rd>1 implica que a população invada a uma taxa geométrica. Rd<1 leva a extinção.

Taxa de Crescimento Dependente da Densidade

Se f(N(t))=N(t)g(N(t)), então

Ou seja, N(t+1)=N(t)(g(N(t))+).

O número reprodutivo básico demográfico é

Ro=g(0)/(1-)

O Modelo de Beverton-Holt: Dinâmica Compensatória

O Modelo de Beverton e Holt: Dinâmica Compensatória

estável

estável

Equilíbrio estável

Modelo de Beverton e Holt com o Efeito de Allee

O efeito de Allee, um fenômeno biológico nomeado em homenagem a W. C. Allee, descreve uma relação positiva entre a densidade populacional e a taxa per capita de crescimento.

Efeito de Allee sobre estoques explorados

O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação g(N)=exp(p-N)

O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação

Os ciclos populacionais são estáveis globalmente?

Em ambientes constantes, os ciclos populacionais não são estáveis globalmente (Elaydi-Yakubu, 2002).

Constant Recruitment In

Periodic Environments

Constant Recruitment In

Periodic Environment

Periodic Beverton-Holt

Recruitment Function

Geometric Growth In

Periodic Environment

SIS Epidemic Model

Disease Persistence Versus

Extinction

Asymptotically Cyclic

Epidemics

Exemplo Premissa de processo Poisson para modelar infecções.

E

Deixe

Com

Example

Epidemias e Demografia Geométrica

Persistence and Geometric

Demographics

Cyclic Attractors and

Geometric Demographics

Multiple Attractors

Question

Are disease dynamics driven

by demographic dynamics?

S-Dynamics Versus I-Dynamics

(Constant Environment)

SIS Models

In

Constant Environments

In constant environments, the

demographic dynamics drive both the

susceptible and infective dynamics

whenever the disease is not fatal.

Periodic Constant

Demographics Generate

Chaotic Disease Dynamics

Periodic Beverton-Holt

Demographics Generate

Chaotic Disease Dynamics

Periodic Geometric

Demographics Generate

Chaotic Disease Dynamics

Conclusion

• We analyzed a periodically forced discrete-time SIS model via

the epidemic threshold parameter R0

• We also investigated the relationship between pre-disease invasion

population dynamics and disease dynamics

• Presence of the Allee effect in total population implies its presence

in the infective population.

• With or without the infection of newborns, in constant environments

the demographic dynamics drive the disease dynamics

•Periodically forced SIS models support multiple attractors

• Disease dynamics can be chaotic where demographic dynamics are

non-chaotic

S-E-I-S MODEL

Doenças de Animais

Doenças em populações de peixes, camarões e outros

Malaria em mosquitos

Doenças em vacas, ovelhas, frangos, camelos, antas e outros.