L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES DE...

• L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS

• ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ

A L’ESTUDI DE LES GRÀFIQUES

DE LES FUNCIONS.

• ESTUDI EXHAUSTIU DE LES

FUNCIONS POLINÒMIQUESAutora: Mònica Orpí i Mañé

MATEMÀTIQUES

https://twitter.com/PorquesNatura/status/821065866146185216?s=03

Què entem per funció ? Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.

A f B

El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt d’arribada de la funció i s’anomena Recorregut de f o Rang de f

Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu

f

f : A →B o bé A → B.

a

b

c

c

d g

e f

Una aplicació curiosa de les funcions

Civilització India: (300 a.C)Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :

L’Encriptació de codis o del llenguatge

Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.

"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.

Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres

mètodes posteriors d’encriptacions més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps de guerres,

amb l’objectiu de despistar l’enemic

Una manera d’encriptar que practicarem

després …

Màquinaenigma

Per tant....

Per això i per milions de raons més..

És terriblement útil “MATEMATITZAR” el

llenguatge de les funcions

Domini i recorregut d’una funció

El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un

nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).

El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la

funció.

Exemples:

o

Exemple pràctic de funcions

29'46'19 th

29'46'19)( ttf

09'46'19 2 t

Gràfica de h(t) :

2,020 tRtD f

6'19,0)( ff DtRtfR

Repàs de les sessions anteriors

Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :

1. Les funcions polinòmiques

- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)

- La funció lineal f(x)=ax

- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)

- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)

- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)

- d)

Tipus de funcions :

Funcions polinòmiques

Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.

En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.

cbxaxxf 2)(

),( RD f

Gràfica general d’una funció polinòmica

𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥g 𝑥 = −(𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥)

Val la pena observar la relació entre la factorització del polinomi i la

gràfica

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 2(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/MenuCalc/PoliMenuCalcpag.html

Exemple 9 (signe positiu) Exemple 10 (signe positiu)

Com talla l’eix d’abscisses en funció de la multiplicitat ?

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliFacto/PoliFacto42pag.html

Què passa si tant sols canviem el

signe del polinomi ?

Exemple 9 (signe positiu)

Exemple 9 (signe negatiu)

Exemple 10 (signe positiu)

Exemple 10 (signe negatiu)

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Multiplicitat/Multiplicitatpag.html

Sabries fer-ne la gràfica, tant sols amb la

seva expressió algèbrica ?

Exemple 12Exemple 11

Exemple 11

Exemple 12

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/PoliGenral/PoliGeneralpag.html

Exemple 13

Sabries ara deduir l’expressió de la funciópolinòmica ???

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/FunPoli/Graform/GraForm40pag.html

Exemple 14

Solució Exemple 13

Solució Exemple 14

Exemple 15

Solució ?????

Solució Exemple 15

Exemple 16

…

Si 𝑥1 i 𝑥2 són les solucions d’una equació de 2n grau 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 aleshores es compleix

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐= -b/a𝒙𝟏 · 𝒙𝟐= c/a

Pot servir per comprovar les solucions (arrels) però també per trobar-les, si ho plantegem som un sistema d’incògnites 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

Això també passa per polinomis de qualsevol grau:

= −𝟏 𝒏𝑳

𝑨

N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2

Si sumo totes les arrels m’ha de donar –B/A= –(-2)/-1=-2 1+(-1)+(-2)=-2

Si multiplico les arrels de dos en 2 m’ha de donar C/A : 1(-1)+1(-2)+ (-1)(-2)=1/(-1)=-1

Si multiplico les arrels de 3 en 3, i en aquest cas acabo perquè n=3 m’ha de donar (-1)^3L/A

1(-1)(-2)=(-1)2/(-1)=2

= −𝟏 𝒏𝑳

𝑨= −𝟏 𝒏𝑳

𝑨

Pensa que aquest mètode també pot ser

útil per trobar les arrels quan Ruffini no

funciona, plantejant un sistema de 3

equacions i 3 incògnites. Quin sistema

plantejaries ??

N=3 A=-1 B=-2 C=1 D=L=2

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2

𝑥1 · 𝑥2 + 𝑥1 · 𝑥3 + 𝑥2 · 𝑥3 = −1𝑥1 · 𝑥2 · 𝑥3 = 2

En aquesta sessió i la següent, aprofundirem

de les funcions utilitzant el concepte del límit,

però abans, parlarem de l’infinit :

https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn

• És un concepte,

• Una cosa que no acaba

• Signe que indica que no hi ha fi

• Quelcom que no es pot assolir / Quelcom incalculable ?

• Pot haver infinits més grans que altres ? 0,1 0,2 𝑠ó𝑛 ∞ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑠 ?

• Que no té principi ni fi / Sempre té el mateix valor ??

• …

CONCLUSIÓ : Quelcom que s’escapa de la imaginació, motius

pel qual és el protagonista de famoses paradoxes

L’HOTEL DE HILBERT

L’Hotel de Hilbert és un hotel especial, amb el sentit que té infinites

habitacions. A més, té un cartell eslògan que hi posa “ Sempre tenim

habitació per tothom”. Cadascuna de les habitacions estan numerades

amb els nombres naturals : 1, 2, 3,4 …

Imaginat per un moment que està tot ple i que en cadascuna de les

habitacions numerades hi ha una persona i que aquesta té la clau amb el

número de l’habitació que està ocupant.

Situació 1 : Imaginat que ve una persona, com ho fa el per tal d’encabir-la ??

Condicions :

1. No podem fer fora a ningú

2. Tots els hostes han de tenir clar quin serà el número d’habitació que li

correspon

3. No poden compartir habitació

Solució Situació 1 :

Habitació n va a l’habitació n+1

Mentre es pugui fer una bijecció 1 a 1 són

del mateix tamany0,1

0, 2

Situació 2 : Imaginat que ve un

grup de k persones, com ho farà el

recepcionista per tal d’encabir-les?Condicions :

1. No podem fer fora a ningú

2. Tots els hostes han de tenir clar quin

serà el número d’habitació que li

correspon

3. No poden compartir habitació

Situació 3 : Imaginat que ve un grup d’infinites persones

numerades, com ho farà ara el recepcionista per tal

d’encabir-les?

Solució Situació 2:

Habitació n va a l’habitació n+k

Li diem als antics hostes que vagin al número d’habitació que resulti de

multiplicar per 2 l’habitació que ocupaven:

Així :

* L’hoste que ocupava l’habitació 0 es queda al mateix lloc

* L’hoste que ocupava l’habitació 1 se’n va a la 2

* L’hoste que ocupava l’habitació 2 se’n va a la 4

….

D’aquesta manera queden buides totes les senars que n’hi ha infinites i els

podem posar a tots !!!

Solució Situació 3:

L’hoste antic de l’habitació n va a l’habitació 2n

L’hoste nou numerat amb k va a la 2k+1

En la situació 3 hem pogut allotjar una

còpia dels nombres naturals

Però, podríem allotjar infinites

còpies dels nombres naturals ???

NATURAL NUMBERS

Situació 4 : Imaginat que ve un nombre infinit d’autobusos amb infinites

persones cada autobús, com ho farà ara el recepcionista per tal d’encabir-les?

Nota : Cada autobús està numerat i cada persona dins l’autobús també

Condició : Cada persona de cada bus sap en quin número de bus viatja i

aquest li ha de quedar molt clar el número d’habitació que li pertanyerà

D’aquesta manera aconseguiríem numerar amb nombresnaturals tots els nous hostes.

Un cop numerats, el que té el nombre k el posaríem en l’habitació que correspon al 2k+1 ja que hauríem buidat les senars, perquè els hostes antics haurien anat a les habitacions parells.

A cada bus li associem un número primer, excepte el 2

Bus 3 i numerem les persones en potències de 3 : 31, 32, 33…

Bus 5 i numerem les persones51, 52, 53…

Bus 7 i numerem les persones71, 72, 73…

Els hostes antics els direm que vagin a les habitacions parells, és a dir, el de

l’habitació n que vagi a la 2n, deixant així lliures les senars, que seran

ocupades pels nous.

Als nous els direm que ocupin l’habitació 𝑝𝑘

Observacions :

𝑝𝑘 mai serà parell

D’aquesta manera mai coincidiran en habitacions iguals 𝑝𝑘 ≠ 𝑝´𝑘´(35 ≠ 36 i

35 ≠ 75...

http://www.wi-phi.com/video/sizes-

infinity-part-1-hilberts-hotel

Segons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de Medusa, i el va submergir en les seves

aigües subjectat pel taló. Com que aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el Taló de Aquil·les.

Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :

Brat Pitt va ser Aquil·les en la pel·lícula Troia

Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10 segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida que ell. Ambdós disputen una

carrera, concedint Aquil·les una avantatge de 100 metres a la tortuga.

Quan Aquil·les ha cobert aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix

aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1 m. I així indefinidament.

D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”

d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!

Una altra suma infinita :

S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1∞ 𝑖 ?

La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga : Solució

Posició d’Aquil·les (m)

Posició de la tortuga(metres)

Avantatgede la

tortuga

Temps fet servir

Sortida

1ª. Etapa

2ª. Etapa

3ª. Etapa

4ª Etapa

Límits

Solució a la 1ª suma infinita :

Solució a la 1a suma infinita :

Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser un número finit, pensa en una fulla depaper (1). Li prenem la meitat (1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4). Altros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I així successivament, de forma indefinida.Com sempre queda una mica de paper, sempre es pot continuar tallant.Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:

1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...

Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!

1+ 1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1+1=2També ens ho podem mirar amb expressions decimals :

1+0’5+0’25+0’125+….=1’9999….=2 1+

Per trobar el valor de l’altra suma infinita : S= 1+2+3+4+5+….= 𝑖=1

∞ 𝑖 ho farem en 3 parts

S1 sembla que pugui pendre dos valors : 0 o 1, però si sumem S1 amb S1 desplaçantun dels termes

S1= 1 - 1 + 1 – 1 + 1 – 1S1= 1 – 1 + 1 - 1 per tant ….

S2 sembla que sigui -1 un nombre infinit de vegades i que per tant valgui –infnit, però, però si sumem S2 amb S2 i desplacem un dels termes

S2= 1 - 2 + 3 – 4 + 5 – 6…..S2= 1 – 2 + 3 - 4 -5 ….S1= 1 - 1 + 1 - 1 …. per tant …. 2S2=S1 així S2=1/4

S= 1+2+3+4+5+….=

S2=1-2+3-4+5…..=1/4

=1+2+3+4+….-(1-2+3-4+5…)= 4+8+12+16… Només sobreviuen els parells, però…

4S = 4(1+2+3+4+…)=4+8+12+16… per tant S- S2=4S = S-1/4 3S= -1/4

Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de raó r ( | r | < 1).

Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1

La suma dels n primers termes :

𝑆𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1

S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛

1−𝑟

Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0 quan n és molt gran .

lim rn=0 quan n va cap a ∞

En conseqüència, es pot calcular la suma infinita

Conclusió :

• En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10

Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :

𝒂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂𝟑 = 𝟏 , 𝒂𝟒 = 𝟎′𝟏,… ,

El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m

• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,

𝒂𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂𝟐 = 1 4 , 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂𝟒 = 1 16… ,

Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1

𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛

1−𝑟si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞

𝑆∞ =𝑎

1−𝑟𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:

https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn

El lloc geomètric és el conjunt de punts que comparteixen una propietat comuna. El lloc

geomètric acostuma a formar una figura o figures contínues: per exemple, una recta és el

lloc geomètric dels punts del pla tals que equidisten de dos punts fixos.

Les corbes còniques poden ser descrites mitjançant els seus llocs geomètrics:

•Una circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al centre és

un valor fixat, que s’anomena radi

•Una el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les distàncies dels

punts fins als focus és un valor fix.

•La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que les distàncies dels punts al focus

i a la directriu són iguals.

•La hipèrbola és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la diferència de les distàncies

entre els focus és un valor constant.

• La lemniscata de Bernouilli, que és el nom de la corba que dóna lloc a l’infinit és el lloc

geomètric dels punts P tal que el producte de les distàncies a dos focus, que distin k, sigui

(k/2)².

https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/eurBtNzA

https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/XCTChHhu

https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/EVn3y7as

a

https://www.geogebra.org/m/dYjvFMkp#material/k88HSxS8

Per exemple, si col·loquem els dos focus a 24 cm de

distància, els punts P que pertanyen a la lemniscata són

aquells tals que d(P,F1)·d(P,F2)=144=(24/2)^2

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aWQDlJDRNsf-OgCCD9Pf63UL6yN96McmLJXIXOnC9co/edit#gid=0

https://www.geogebra.org/m/CDxTBegn

El full excel conté parelles de nombres que multiplicats

donen 144. D’aquesta manera podem aproximar el

problema de dibuixar els punts des d'un enfoc aritmètic.

d(C,A)·d(C,B)=2·2=4=(d(A,B)/2)^2

Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,

es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.

D(C,A)·d(C,B)=5’41·0’74=4=(d(A,B)/2)^2

Intersectant les circumferències amb centre en un dels focus i radi un dels dos nombres de l'excel,

es van trobant punts. No cal ni que facin circumferències, i amb dues regles, van trobant els punts.

Un altre exemple de límits

I ara…una successió màgica …!!!

La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi

1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋

https://www.geogebra.org/m/uhzvBGBJ

= 1+ 5

2= 1’618...

El número més bell,

el nombre d’or

SUCCESSIÓ

1123581321345589144233377610987

PROPORCIONS ENTRENOMBRES CONSECUTIUS

121’5

1’66...1’6

1’6251’615384...1’619047...1’617647...1’6188...

1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...

n

n

f

flím 1

RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ

ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ

1 163 102 1’6

2 166 103 1’612

3 169 108 1’565

4 175 105 1’67

LE CORBUSIER

STEPHEN MARQUARDT

En aquesta sessió i la següent,

aprofundirem en l’estudi d’aquestes

funcions :

- Les funcions racionals

- Les funcions irracionals

- Les funcions exponencials

- Les funcions logarítmiques

- Les funcions trigonomètriques

- Les funcions definides a trossos

𝑓 𝑥 =1

𝑥2−1

𝐷𝑓 = −∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,+∞ =ℝ- −1,1

Funcions irracionals

Exemples:

Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho

fa més lentament 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒙 − 𝟏 = +∞

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1

La funció exponencial f(x)=𝑎𝑥 a>0

x molt gran +∞ 𝟐+∞ = +∞ 𝟏

𝟐

+∞

=𝟏

+∞= 𝟎+

x molt petita -∞2−∞ =

1

2

+∞

=1

+∞= 0+

𝟏

𝟐

−∞

= 𝟐+∞ = +∞

Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits

lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 =0+ lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = +∞

lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 = +∞

lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = 0+

La típica exponencial, la que té per base el nombre e

e≈ 2’71828… 𝑒−1 =1

𝑒≈ 0′3678…

𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =1

𝑒𝑥=

1

𝑒

𝑥

El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en

honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de

Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que

va introduir els logaritmes

Aplicacions pràctiques de l’exponencial

La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha

una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :

- La desintegració radioactiva : N(t)=𝑁0 · 𝑒−λ𝑡

Essent N0 la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instant

inicial, N(t) és la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instantt, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depènde cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut

- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t

Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat

i c és la tassa de creixement en tant

per 1 i i t el temps, normalment en anys

El cas de la funció f(x)=log𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1

Si la base és e, log𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es llegeix logaritme neperià en honor al matemàtic escocès

John Napier

John Napier (1550 - 1617) L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.

L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un

important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.

Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els astrònoms del seu temps.

Té en el seu honor, a banda del nom dels logaritmes, un cràter a la Lluna que porta el seu nom, de més de 140km d’amplada !!

Les dues gràfiques de la logarítmica

lim𝑥→0+

log𝑎 𝑥 = +∞

lim𝑥→+∞

log𝑎 𝑥 = −∞

lim𝑥→0+

log𝑎 𝑥 = −∞

lim𝑥→+∞

log𝑎 𝑥 = +∞

Les funcions trigonomètriques :Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En

general, l’angle s’expressa en radians

Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al

radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º

Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)

La funció de variable real que a cada angle,

expressat en radiants, li fa correspondre el valor del

seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.

La funció sinus

∄ lim𝑥→+∞

𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix

Tampoc existeix quan x→ −∞

La funció de variable real que a cada angle,

expressat en radiants, li fa correspondre el valor del

seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.

La funció cosinus

∄ lim𝑥→+∞

𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix

Tampoc existeix quan x→ −∞

La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el

valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.

La funció tangent

∄ lim𝑥→+∞

𝑡𝑔 𝑥 no existeix

Tampoc existeix quan x→ −∞

Funcions definides a trossos

Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu

que és una funció definida a trossos.

Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de

definició de cadascuna de les funcions que la componen.

Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa

𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐−

𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐+

𝒇 𝒙 = −𝟏

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇 𝒙 = 𝟏

Els límits són especialment pràctics per les funcions definides a trossos per saber com es comporta la funció en cadascun dels extrems de trencament

+-

S’enganxaran en x=1??

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥)= −12 + 4 = 3

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥)= 12 + 2 = 3

Gràfic INCORRECTE !!!

La Funció serà contínua !!!

Un exemple clàssic de funció a

trossos: La funció valor absolut

La funció valor absolut es defineix com la funció :

Operacions amb funcions

Funció suma

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

Funció producte

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

Funció quocient

f

g

æ

èç

ö

ø÷(x) =

f (x)

g(x)

Propietats de la suma de funcions

Commutativa:

Associativa:

Existència d’element neutre:

Existència d’element simètric:

Propietats del producte de funcions

Commutativa:

Associativa:

Existència d’element neutre:

Existència d’element simètric:

Distributiva de la multiplicació respecte de

la suma:

Funció composta

Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:

g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].

f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].

Propietats

Associativa:

Existència d’element neutre:

Existència d’element simètric:

No compleix la commutativa !!!!

(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)

Alguns exemples de composició de

funcions

f º g (x) g º f (x)

La composició de funcions

Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena

de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat

final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)

x

f(x)g(x)

g ° 𝑓 (𝑥)

𝑓°𝑔(x)

Funció inversa

En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la

variable dependent de f -1, i viceversa.

Càlcul de la funció inversa

① Expressar la variable y = f(x) en funció de la

variable x.

② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal

de trobar l’expressió de x en funció de y.

③ Intercanviar les dues variables.

④ Fer-ne la comprovació.

Característica essencial de les funcions inverses : Són

simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la

recta y=x és un mirall)

Més exemples de funcions inverses

http://www.geogebratube.org/student/m6525

I per desencriptar missatges

secrets….Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el

missatge, calculant la seva inversa, …

I ….Desvetllarem el secret !!!!

Ho podem posar en pràctica !!

Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una

funció

Eminent matemàtic francés (1789-

1857) que va escriure més de 700

artícles. Va ser escriptot, pintor i

escalador.

El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics, Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el concepte

de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, que no la inclourem aqu ja que no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest concepte

Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-1897) que va precisar la definició de

continuïtat

La Lemniscata de Bernoulli- Símbol de l’Infinit

http://desafios-matematicos.blogspot.pt/2013/1

0/lemniscata-de-bernoulli.html?m=1

Límit d’una funció en un punt

Exemple: f(x)= 4

𝑥𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0

Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0

X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001

f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000

x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001

f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000

Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−

𝟒

𝒙= −∞

Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+

𝟒

𝒙= +∞

Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa

La Hipèrbola equilàtera

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−

𝟒

𝒙= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎+

𝟒

𝒙= +∞ ⇒ lim

𝑥→0

4

𝑥= ∞

Els valors que anul.len el denominador apareixen en la gràfica com

assímptotes verticals ( la funciós’apropa molt a l’assímptota però no

l’arriba a toca mai )

x=0 és una AV (Assímptota vertical)

Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions

racionals :

Veiem un altre exemple :

La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,

Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,

calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2

𝑓 𝑥 =3

𝑥2 − 4

2,2 RD f

Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =3

𝑥2−4

𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎

Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = −∞

Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta

x 1’9 1’99 1’999 1’9999

f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19

x 2’1 2’01 2’001 2’0001

f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81

Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+

𝒇 𝒙 = +∞

Definició :Si lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎

O també ∶lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎

Observeu al voltant del 2 com actua la funció :𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−

𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+

𝒇 𝒙 = +∞⇒ AV en x=2

Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐−

𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐+

𝒇 𝒙 = −∞⇒ AV en x=-2

I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??

O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)

Mirem que passa per valors molt petits de x

X 10 100 1000 10000

f(x)=3

𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003

X -10 -100 -1000 -10000

f(x)=3

𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003

Definició :

Si lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 A𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,

O el que és el mateix lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0

En el nostre cas, y=0 és una AH

O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)

Fixeu-vos com és la gràfica :

Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a

aquests valors

Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a

aquest valor 0

Donada la funció f(x)=−𝟑

𝒙+𝟒-Quin és el domini ?- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ? -Té AV ? Quina és ?- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ? - Té AH ? Quina és ?

Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant

dels punts que no són del domini, podem

fer la gràfica

Recordem que passava amb les branques de les funcions

polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:

Si considerem la funció f(x)= 𝒙𝟑−𝟑𝒙 + 𝟏,

𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞

𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3

lim𝑥→+∞

𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim𝑥→+∞

𝑥3 = +∞

Branca dreta amunt

lim𝑥→−∞

𝑥3 − 3𝑥 + 1 = lim𝑥→−∞

𝑥3 = −∞

Branca esquerra avall

Si considerem la funció

f(x)= −𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = lim𝑥→+∞

−𝑥4= −∞

Branca dreta avall

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = lim −𝑥→−∞

𝑥4 = −∞

Branca esquerra avall

Límit duna funció a l’infinit

Exemples:

Càlcul del límit d’una funció en un punt

El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la

variable x pel valor al qual tendeix.

Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar

al valor del límit.

Exemples:

Indeterminacions :

∞−∞ ;∞

∞;

0

0; 1∞; ∞0; 0 · ∞ ; 00

Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions

més complicades, en les que no podem donar una solució,

sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :

Les tècniques per resoldre

indeterminacions són

Exemple :

Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:

Observa que tots tenen la indeterminació

Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:

Observa que tots tenen la indeterminació

Exemple :

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑢𝑠∞

∞

Indeterminacions del tipus

• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x

Indeterminacions del tipus

• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x

La técnica de multiplicar pel conjugat :

Tècnica de multiplicar pel conjugat

Tècnica de multiplicar pel conjugat

Tenint en compte que : aleshores :

El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.

Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la

tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el

nombre e

Un parell d’exemples :

Un parell d’exemples :

Límits laterals en un punt

Exemple:

x tendeix a a per

l’esquerra

x tendeix a a per la dreta

Límits laterals en x = a

Funció contínua en un punt

Una funció f és contínua en x = a quan ;

en cas contrari, direm que és discontínua en x=a limx®a-

f (x) = limx®a+

f (x) = f (a)

Tipus de

discontinuïtats

Discontinuïtat evitable:

Discontinuïtat inevitable De salt:

Asimptòtica:

Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la

funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.

Discontinuïtat evitable

En x=1 la funció presenta una discontinuïtat evitable

Discontinuïtat de salt finit

En x=0 la funció presenta una discontinuïtat de salt de 2 unitats

El salt de la funció ve donat per :

Discontinuïtat de salt infinit: Discontinuïtat asimptòtica

En x=a la funció presenta una Asímptota Vertical, d’equació x=a

La funció presenta dues discontinuïtats de salt infinit en x=1 i en x=-1

En aquests punts, hi ha també dues AV que són x=-1 i x=1

Interpretació gràfica (I)

La funció presenta una discontinuïtat de salt en x=0, un salt

de dues unitats

Quin tipus de discontinuïtats presenta aquesta funció ?