View
1.648
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
МетодМетодии
за решаване на за решаване на квадратниквадратни
уравненияуравнения
МетодМетодии
за решаване на за решаване на квадратниквадратни
уравненияуравнения
Непълни квадратни уравнения:
a
bx
x
baxx
bxax
cb
0
0
,0
0;02
3
4
0
043
,043 2
x
x
xx
xx
2
2
0; 0
0,
0,
0,
b c
ax с
сx
ас
ако то няма корениа
с cако то x
а a
3
3
0155
4
082
2
2
2
2
x
x
x
x
x
0
,0
0
;0
2
x
ax
c
b
0
07 2
x
x
- няма корени
Ако x1 и x2 са корени
на x2 + px + q = 0, то
x1+x2=-p, x1x2=q.
Други съотношения между корените и коефициентите на приведеното квадратно уравнение x 2+ px + q=0:
Ако x1 и x2 са корени
на ax 2 + bx +c = 0, то x1+x2= - , x1x2=a
bа
с
qpxxxx
xxxxxxxx
22
222
212
21
212221
21
22
21
Теорема на Виет
Приложение формулите на Виет
, xx
, xx
, x x
–
ac – bD
x – x
24
14
122
10096196
4
02414
21
21
21
2
2
,значи корените имат различни знаци
,значи по-големия по модул корен е отрицателен
Намираме корените :
10
49101432
0103
21
2
xx
)(--D
x – x
321 xx
2;5 21 xx
Специални методи:
1. Метод на отделяне на точен
квадрат
2. Метод «прехвърляне» на
старшия коефициент
3. С използването на теореми:
Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към непълно квадратно уравнение.
Пример:
2________4
13__13
13
89932
086
2
2
2
xx
xилиx
x
xx
xx
Метод на отделяне на точен квадрат.
Корените на квадратните уравнения
и
са свързани със съотношенията
и
02 cbxax 02 acbyy
a
yx 1
1 a
yx 2
2
В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез «прехвърляне» на коефициента «прехвърляне» на коефициента а .а .
Пример:
2
1___1
5___10
1214081
0109
0592
22
11
2
2
xy
xy
D
yy
xx
Метод «прехвърляне» на старшия коефициент.
С използването на теореми :
a
c
a
c
157
177;1
017720157
017720157 2
хх
xx
203
171
017220203
017220203
21
2
;хх
хх
Ако в квадратното уравнение a+b+c=0, то единия от корените е равен на 1, а втория по формулите на Виет е
Ако в квадратното Ако в квадратното уравнение уравнение a+c=b, то то единия от корените е равен единия от корените е равен на на -1,-1, а втория по а втория по формулите на Виет е формулите на Виет е
Примери:
Метод разлагане на множители
Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към вида А(х)·В(х)=0,
където А(х) и В(х) – са многочлени относно х.
Способи: Изнасяне на общ множител пред скоби;Изнасяне на общ множител пред скоби; Използване на формулите за съкратено умножение;Използване на формулите за съкратено умножение; Способ на групиране.Способ на групиране.
2
2
1
2
3 2 1 0
3 3 1 0
3 ( 1) ( 1) 0
( 1)(3 1) 0
1
1
3
x x
x x x
x x x
x x
x
x
Пример:
Въвеждане на нова променлива.
Умението удачно да се въведе нова променлива е важен
елемент от математическата култура. Удачния избор на нова
променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна.
4,0____2,0
135______235
1____2
189
023
35
235335
21
21
2
2
xx
xилиx
tt
D
tt
tx
xxПример:
Графически метод
За решение на уравнението f(x) = g(x) е необходимо да се построят графиките на функциите y = f(x), y = g(x) и да се намерят пресечните им точки; абсцисите на точките на пресичане ще са корени на уравнението.
Графическия метод често се използва, не за намиране корените на уравнението, а за
определяне на тяхното количество.
Примерни решения на квадратни уравнения чрез
графически способ
x2-2x-3=0; Y=x2-2x-3; (1;-4)- връх на параболата
Отг: x=-1; x=3.
x2-2x-3=0; x2-2x=3; y=x2-2x; y=3.(1;-1)-връх на параболата. Отг: x=-1; x=3.
x2-2x-3=0; x2-3=2x; y=x2-3; y=2x. (0;-3)- връх на параболата.
Отг: x=-1; x=3.
x2-2x-3=0; x2=2x+3; y=x2; y=2x+3.
(0;0)- връх на параболата.
Отг: x=-1; x=3.
Решение на квадратни уравнения, съдържащи
параметър*.
1. Ако а =1, то имаме линейно уравнение 6х+7=0, х=
2. Ако а , то разглеждаме квадратното уравнение6
7
1
2
1
1
1
1
2 1 ( 1)(4 3) 5 4
4 0, . .5 4 0,
5(2 1) 1
0, 1 3
(2 1) 5 4 0,
14
: 5
7 1,
6
D а а а а
ако D т е а а няма корени
аако D то има един корен х
а
а аако D то има два корена х
а
Отговор ако а то няма корени
ако а то х
ако
1,2
4 (2 1) 5 4 , 1,
5 1
а аа а то х
а
0)34()12(21 2 axaxa
0)34()12(21 2 axaxa
Recommended