Dirección Xeral de Educación, Formación Profesional e Innovación Educativa

Educación secundaria para personas adultas

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Ámbito científico tecnológico Educación a distancia semipresencial

Módulo 1

Unidad didáctica 7 Polígonos. Geometría. El agua en la naturaleza

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Índice

1. Introducción....................................... ........................................................................3

1.1 Descripción de la unidad didáctica................................................................................ 3 1.2 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 1.3 Objetivos....................................................................................................................... 3

2. Secuencia de contenidos y actividades.............. ....................................................5

2.1 Polígonos...................................................................................................................... 5 2.1.1 Polígonos regulares ...........................................................................................................................................6 2.1.2 Triángulos...........................................................................................................................................................8 2.1.3 Cuadriláteros ....................................................................................................................................................11 2.1.4 Circunferencia y círculo....................................................................................................................................13 2.1.5 Geometría ........................................................................................................................................................16

2.2 El agua en la naturaleza ............................................................................................. 28 2.2.1 Propiedades del agua ......................................................................................................................................30 2.2.2 El agua y los seres vivos..................................................................................................................................36 2.2.3 La contaminación del agua ..............................................................................................................................40 2.2.4 El ciclo urbano del agua ...................................................................................................................................42

3. Resumen de contenidos .............................. ...........................................................45

4. Ejercicios de autoevaluación ....................... ..........................................................48

5. Actividades complementarias........................ ........................................................52

6. Solucionarios...................................... .....................................................................55

6.1 Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 55 6.2 Soluciones actividades complementarias.................................................................... 61 6.3 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 65

7. Glosario........................................... .........................................................................69

8. Bibliografía y recursos............................ ................................................................70

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1. Introducción

1.1 Descripción de la unidad didáctica

En este tema estudiaremos los polígonos: definición, elementos, tipos, etc. Para completar el estudio de la geometría, se trata la realización de sencillos bocetos con cotas de objetos de uso cotidiano, la estimación de medidas de longitud y de superficie, y la utilización de las fórmulas adecuadas para el cálculo de longitudes y áreas de figuras planas (polígonos y figuras circulares) por cálculo directo y por descomposición en figuras más sencillas, en el contexto de resolución de problemas.

El segundo bloque está dedicado al estudio del agua: propiedades físicas y químicas, ciclo natural y distribución en el planeta, importancia para la vida y uso por el ser humano, incluyendo el tratamiento del agua de consumo y de las aguas residuales, y la contamina-ción del agua producida por la actividad humana.

1.2 Conocimientos previos

Antes de comenzar el estudio de esta unidad conviene que repase los siguientes conceptos:

� Diferencia entre propiedades físicas y propiedades químicas de la materia.

� Cambios de estado de agregación de la materia.

� Operaciones con unidades de longitud y de superficie.

� Uso de la calculadora para efectuar operaciones aritméticas básicas.

� Conceptos básicos de geometría plana: punto, recta, plano, ángulos, figuras, paralelis-mo, perpendicularidad, etc.

� Clasificación de polígonos.

� Clasificación de cuadriláteros.

� Identificación de figuras circulares.

1.3 Objetivos � Clasificar triángulos según los lados y según los ángulos.

� Dibujar tipos de triángulos y localizar en ellos rectas y puntos notables.

� Comprobar geométricamente que la suma de los ángulos de un triángulo mide 180º.

� Clasificar los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados.

� Identificar propiedades y relaciones en polígonos regulares de cinco o más lados.

� Definir y dibujar una circunferencia e identificar segmentos y puntos notables.

� Utilizar fórmulas para realizar cálculos de perímetros y áreas de figuras elementales.

� Medir con las unidades adecuadas las longitudes y las superficies de las figuras realiza-das.

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� Calcular el área de figuras después de la triangulación o la cuadriculación correspon-diente, según proceda.

� Dibujar figuras y anotar las medidas en ellas.

� Realizar el dibujo con cotas de figuras sencillas.

� Conocer cómo se realiza el tratamiento de las aguas residuales.

� Analizar críticamente los tipos de tratamientos existentes.

� Valorar la importancia del agua para el consumo humano, para la agricultura y el ocio.

� Estudiar el ciclo del agua, de dónde procede y cómo incide en el medio.

� Analizar la intervención humana en el ciclo del agua.

� Realizar una experiencia para observar el ciclo natural del agua.

� Elaborar un trabajo de análisis de tipos de contaminación de las aguas, después de la búsqueda de información en Internet.

� Conocer la distribución del agua en el planeta y en la Península.

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2. Secuencia de contenidos y activida-des

2.1 Polígonos

Si unimos tres o más puntos del plano por medio de segmentos, obtenemos una línea poli-gonal. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Un polígono es la porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada simple (polígono) Línea poligonal cerrada cruzada

� Polígonos convexos y cóncavos. Un polígono es convexo si tiene todos sus ángulos convexos. Si alguno de sus ángulos es cóncavo, el polígono es cóncavo.

Polígono convexo Polígono cóncavo

� Denominación de los polígonos. Los polígonos se nombran por su número de lados. Si tienen más de 12 lados se denominan genéricamente polígono de n lados.

Nº de lados Nombre Nº de lados Nombre

3 ���� Triángulo 8 ���� Octógono

4 ���� Cuadrilátero 9 ���� Eneágono

5 ���� Pentágono 10 ���� Decágono

6 ���� Hexágono 11 ���� Endecágono

7 ���� Heptágono

12 ���� Dodecágono

Elementos de un polígono

� Lados: son los segmentos que forman la línea poligonal cerrada.

� Vértices: son los extremos de los lados.

� Ángulos: son los que forman dos lados consecutivos en el interior del polígono.

� Diagonales: son las rectas que unen cada vértice con los vértices opuestos del polígono.

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Podemos descomponer un polígono en triángulos trazando desde un vértice todas las di-agonales posibles. Por ejemplo, un hexágono se descompone en cuatro triángulos.

Descomposición de un hexágono por triangulación

2.1.1 Polígonos regulares

Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se denominan polí-gonos regulares. En otro caso reciben el nombre de polígonos irregulares.

Los polígonos regulares poseen centro, ra-dios y apotemas.

���� Centro: es un punto interior del polígono que equidista de los vértices.

���� Radios: son los segmentos que unen el centro con cada vértice.

���� Apotemas: son los segmentos que unen el centro con los puntos medios de los la-dos y son perpendiculares a ellos.

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Actividad resuelta

Indique cuáles de las siguientes figuras no son polígonos y por qué. ¿Alguna de ellas es un polígono cóncavo?

Esta figura es un polígono, ya que está delimitada por una línea poligonal cerra-da.

Es cóncava porque la figura tiene dos ángu-los cóncavos (mayo-res de 180º).

No es un polígono porque no está delimi-tado por una línea poligonal, ya que en parte es una línea curva.

No es un polígono, porque no está delimi-tado por una línea poligonal cerrada, sino abierta

Es un polígono, ya que está delimitado por una línea poligo-nal cerrada.

Es un polígono, ya que está delimitado por una línea poligo-nal cerrada.

Es cóncava porque la figura contiene un ángulo cóncavo.

Actividades propuestas

S1. Complete el cuadro con los datos que faltan correspondientes a polígonos con-vexos.

Nº de lados Nº de vértices Nº de ángulos Nº de diagonales

3

4

5

9

8

S2. Nombre los polígonos según el número de lados y descompóngalos en triángu-los.

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2.1.2 Triángulos

Recuerde que un triángulo es un polígono de tres lados. Los vértices de un triángulo y sus lados opuestos se nombran con la misma letra, los vértices con letras mayúsculas y los la-dos con letras minúsculas.

� Base y altura. La altura correspondiente al lado a es el segmento perpendicular desde el vértice opuesto A hasta el lado a, llamado base, o a la prolongación del mismo. De igual modo, se pueden definir las alturas correspondientes a los lados b y c. Por lo tan-to, un triángulo tiene tres alturas.

Clasificación de triángulos

� Por el número de lados. Podemos clasificar los triángulos según la medida de sus la-dos o de sus ángulos, como se indica en la tabla siguiente.

Equilátero Tres lados iguales

Isósceles Dos lados iguales

Escaleno Ningún lado igual

� Por sus ángulos. Como se comprobó anteriormente, la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por consiguiente, de los tres ángulos solamente uno puede ser recto u obtuso, y los otros dos necesariamente son agudos.

Acutángulo Tres ángulos agudos

Rectángulo Un ángulo recto

Obtusángulo Un ángulo obtuso

� Catetos e hipotenusas. En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo rec-to se denominan catetos y el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa.

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Actividad resuelta

Recuerde cuánto vale la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera y calcule:

���� ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles?

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Como el ángulo mide 90º, la suma de los ángulos agudos será: 180º - 90º= 90º. Al tratarse de un triángulo isósceles los dos ángulos agudos son iguales, por lo que el valor de cada ángulo será: 90º:2= 45º.

���� Si uno de los ángulos iguales de un triángulo isós-celes mide 25º, ¿cuánto mi-den los otros ángulos?

Al tratarse de un triángulo isósceles, el otro ángulo igual mide 25º, por lo que ambos miden en total 50º. El ángulo desigual es el que falta para que la suma total sea 180º, es decir: 180º-50º=130º.

Actividades propuestas

S3. Dibuje un triángulo cualquiera, nombre sus lados (a, b, c) y mídalos. Compruebe que para cualquier triángulo son verdaderas las siguientes afirmaciones (nota: recuerde que el signo < significa menor que).

� a < b + c

� b < a + c

� c < a + b

S4. Efectúe la siguiente experiencia.

� Dibuje un triángulo cualquiera en un papel y recórtelo.

� Trace una recta paralela a un lado a media altura, es decir, a la misma distancia del lado que del vértice opuesto, y doble el triángulo por la recta trazada, como se indica en la figura, hasta hacer coincidir el vértice A con la base.

� Seguidamente doble los otros dos extremos del triángulo hasta que coincidan los vértices B y C con el vértice A, y conteste a las cuestiones.

La suma de los ángulos es un ángulo plano: 180º

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� ¿Qué clase de ángulo es el formado por la suma de los ángulos CeBA ˆ,ˆ,ˆ ?

� ¿Ocurre lo mismo con cualquier triángulo?

� ¿Cuánto suman los tres ángulos de un triángulo?

S5. Clasifique los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

S6. Complete la tabla dibujando en cada cuadro un triángulo que cumpla los dos cri-terios de clasificación indicados en la fila y en la columna correspondiente.

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Equilátero

No existe No existe

Isósceles

Escaleno

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2.1.3 Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Podemos descomponer cualquier cuadri-látero por triangulación solo trazando en el una diagonal, y quedará dividido en dos trián-gulos.

Descomposición de cuadriláteros por triangulación

Recuerde que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por consiguiente, si todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos, la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es dos veces 180º, es decir, 360º.

� Base y altura. La altura de un cuadrilátero es la perpendicular desde un lado al lado paralelo opuesto, llamado base. La base y la altura de un cuadrilátero no son elementos fijos, sino que dependen de la posición de la figura dibujada.

Clasificación de cuadriláteros

Podemos clasificar los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

� Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Existen cuatro tipos de paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. En el cuadro siguiente se resumen las características de cada uno.

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Lados Ángulos Lados Ángulos Lados Ángulos Lados Ángulos

4 iguales 4 rectos Iguales 2 a 2 4 rectos 4 iguales Iguales 2 a 2 Iguales 2 a 2 Iguales 2 a 2

� Trapecios. Son los cuadriláteros que solo tienen dos lados paralelos. El grupo de los trapecios está formado por los cuadriláteros que solo tienen dos lados paralelos. Según la posición de los lados no paralelos pueden ser trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

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Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

� Trapezoides. Son los cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo. El grupo de los trapezoides está formado por los cuadriláteros de lados no paralelos.

Trapezoides

Actividad resuelta

Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

Afirmaciones V / F

���� El rombo no tiene ningún ángulo recto. Verdadero, ya que se no sería un cuadrado.

���� El rectángulo es un polígono regular. Falso, ya que no tiene los cuatro lados iguales.

���� Las bases de un trapecio pueden ser iguales. Falso, ya que si lo fuesen se trataría de un rectángulo o de

un romboide.

���� Las diagonales de un rombo siempre son perpendiculares. Verdadero, ya que si no lo fueran sería un romboide.

Secuencia de actividades

S7. Identifique cuadriláteros presentes en objetos de su entorno. ¿Cuál aparece más veces? ¿Por qué muchos objetos tienen superficies con esta forma?

S8. Dibuje varios cuadriláteros de todos los tipos (paralelogramos, trapecios y trape-zoides) y trace sus diagonales.

� ¿Cuántas diagonales puede trazar en cada cuadrilátero?

� ¿En cuántos triángulos queda dividido cada uno?

� ¿La suma de sus ángulos es la misma en todos los cuadriláteros? ¿Cuál es esa suma?

� ¿Qué tipo de cuadriláteros quedan divididos en cuatro figuras iguales?

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2.1.4 Circunferencia y círculo

Circunferencia

Es una línea curva, cerrada y plana, tal que todos sus puntos están a la misma distancia de otro punto interior, llamado centro. En la circunferencia existen varios elementos:

� Radio: es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. En una circunferencia existen infinitos radios.

� Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

� Diámetro: si la cuerda pasa por el centro recibe el nombre de diámetro.

� Arco: es la parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

� Semicircunferencia: cada uno de los arcos iguales en que el diámetro divide la circun-ferencia.

���� Para dibujar correctamente una circunferencia se utiliza el compás, tal y como se indica en la figura

Círculo

Es la parte del plano limitada por una circunferencia; es decir, el círculo contiene todos los puntos interiores de la circunferencia.

Circunferencia Círculo

���� Ángulo central. Si trazamos dos radios cualesquiera, el ángulo com-prendido entre ellos con vértice en el centro de la circunferencia reci-be el nombre de ángulo central

Si consideramos que el ángulo central equivalente a una circunferencia completa mide 360º, podemos deducir que el ángulo central AOB mide lo mismo que el arco AB, y vi-ceversa.

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Polígonos y circunferencias

Dibujamos una circunferencia y señalamos en ella varios puntos. Si unimos estos puntos obtenemos un polígono con todos los vértices en la circunferencia.

� Polígono inscrito en una circunferencia. Un polígono está inscrito en una circunfe-rencia cuando todos sus vértices están en ella y sus lados son cuerdas de ella.

Polígonos inscritos en circunferencias

� Polígono circunscrito a una circunferencia. Si dibujamos un polígono cualquiera y en su interior una circunferencia tangente a todos sus lados, diremos que el polígono está circunscrito a la circunferencia. Un polígono circunscrito a una circunferencia está situado fuera de ella.

Polígonos circunscritos a circunferencias

Figuras circulares

En el círculo podemos observar varias figuras:

Semicírculo Parte en que se divide al trazar el diámetro

Sector circular Parte limitada por dos

radios

Segmento circular Parte limitada por una cuerda y su arco

Corona circular Parte entre dos circunfe-rencias concéntricas

Trapecio circular Parte de la corona

circular limitada por dos radios

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Un círculo importante en la histo-ria:

la rueda

La rueda es uno de los inventos fundamentales en la historia de la humanidad, por ello su gran utilidad en la alfarería, en el transporte terrestre y como componente fundamental de diversas máquinas. Sus múltiples usos fueron esenciales en el de-sarrollo de la humanidad. Según los historiadores, la rueda se inventó en el quinto milenio antes de Cristo, en la época final del neolítico, en Mesopotamia, con la función de rueda de alfare-ro. Más tarde se utilizó en la construcción de carros, y se difundió su uso junto con los carros y los animales de tiro. La rueda llegó a Europa y a Asia Occidental en el cuarto milenio antes de Cristo, y al Valle del Indo aproximadamente en el tercer mi-lenio antes de Cristo.

Entre las culturas americanas no prosperó, probablemente por la ausencia de grandes animales que pudieran tirar de los vehículos, y porque las civilizaciones más avanzadas ocupaban terrenos escarpados. Las primeras ruedas eran simples discos de madera con un agujero central para insertar un eje. La posterior invención de la rueda con radios permitió la construcción de vehículos más rápidos y ligeros, entre los años 2000 AC y 1200 Hack, al norte de Asia Central. La inclusión de láminas de hierro alredor de las ruedas de los carros surge durante el primero milenio antes de Cristo, en los pueblos celtas. Además, fueron los primeros en usar en el eje unos discos de madera muy dura a modo de rodamien-tos. Posteriormente, los romanos los sustituyeron por anillos de bronce. No existieron grandes modificaciones hasta el siglo XIX, con la generalización del uso de los metales en la construcción de máquinas. En la década de 1880 se inventaron los neumáticos para las ruedas. Con la Revolución Industrial la rueda comenzó a utilizarse preferentemente para la transmisión de movimientos, y fue el principal elemento de la civilización de las máquinas.

Actividades propuestas. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirma-ciones:

Afirmaciones V / F

���� Una circunferencia tiene infinitos diámetros.

���� Un segmento circular está limitado por dos radios.

���� Los vértices de un polígono circunscrito están situados en la circunferencia.

���� Un semicírculo es un caso particular de sector circular.

���� El arco que abarca un ángulo inscrito recto es un cuarto de circunferencia.

S9. Responda a las siguientes cuestiones.

� Trace una circunferencia con un compás y dibuje en ella ángulos centrales con-secutivos de 60º

� ¿Cuántos puede dibujar?

� Y si los ángulos midiesen 18º?

� Si dividimos la circunferencia en cinco arcos iguales, ¿cuánto mide el ángulo central correspondiente a un arco?

S10. Responda a las siguientes cuestiones.

���� ¿Qué forma de figura circular tiene este pedazo de tarta?

���� Si la tarta se corta en ocho porciones iguales, ¿cuánto mide el ángulo central de cada porción?

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2.1.5 Geometría

Perímetros y áreas

� Perímetros. Supongamos que queremos cerrar un terreno con forma de polígono, de las dimensiones indicadas en la figura, con un hilo de alambre que lo rodee perimetral-mente. ¿Cuántos metros de alambre serán necesarios para el cierre?

Para responder a esta pregunta deberemos sumar las medidas de todos los lados:

55 m + 45 m + 40 m + 25 m + 15 m + 20 m = 200 m

Serán necesarios 200 m de alambre. Esta medida es el perímetro del terreno. El períme-tro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados y se expresa en unidades de longitud.

� Áreas. Supongamos ahora que queremos comparar la extensión del terreno anterior con otro terreno de forma triangular, de las dimensiones indicadas en la figura. ¿Cuál tendrá mayor extensión?

En este caso deberemos calcular el área de cada uno de los terrenos. El área de una fi-gura es la medida de su superficie y se expresa en unidades de superficie.

Medir una superficie consiste en establecer una unidad de medida y determinar cuantas veces está contenida la unidad en la figura.

La medida de la superficie se puede realizar de modo directo, contando el número de veces que está contenida la unidad en la figura que estamos midiendo, o de modo indi-recto, por medio de fórmulas matemáticas.

Veamos cómo se puede medir directamente el área de las siguientes figuras, toman-do el cuadrado A como unidad de medida. Para saber su área es necesario comprobar cuántas veces cabe el cuadrado unidad en cada una. Observe que en cada figura pode-mos unir varias partes menores que la unidad para formar una unidad completa.

Como puede comprobar, las áreas respectivas de las figuras son, por orden, 12 unidades, 12 unidades, 6,5 unidades y 11 unidades

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Áreas de polígonos

Medir el área de una figura de modo directo resulta difícil cuando no podemos formar uni-dades enteras con las partes de la unidad. En ese caso, es mejor efectuar la medición de modo indirecto, utilizando fórmulas matemáticas. Veamos cómo podemos calcular el área de las principales figuras por este procedimiento.

� Área del rectángulo. Observe que para calcular el área del rectángulo tomando el cua-dro como unidad de área, podemos considerarlo dividido en cuatro columnas de tres cuadros cada una. En consecuencia, el área del rectángulo será: 4 x 3 cuadros = 12 cua-dros.

Si tomamos el lado del cuadro como unidad de longitud y designamos las medidas del rectángulo como base (b) y altura (a), la fórmula del área del rectángulo será el pro-ducto de la base por la altura, ambas expresadas en las mismas unidades:

A rectángulo = b x a

[Área del rectángulo = Base x Altura]

Sabiendo la fórmula del área del rectángulo es fácil deducir las de los otros polígonos.

� Área del cuadrado. Cualquier cuadrado de lado l puede ser considerado como un rec-tángulo con la base igual que la altura.

A cuadrado = l x l = l2

�

Área del cuadrado = Lado x Lado

� Área del triángulo. Vea el siguiente triángulo. Si lo inscribimos en un rectángulo con la misma base y altura, observe que el área del rectángulo es la mitad de la del rectán-gulo.

2axb

Atriángulo

=

�

Área del triángulo = (Base x Altura) / 2

� Área del romboide. Si observa el siguiente romboide verá que su área es el doble del área del triángulo con la misma base y la misma altura.

A romboide = b x a

� Área del romboide = [(Base x Altura) / 2] x 2 = Base x

Altura

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� Área del rombo. Las dimensiones características del rombo son, además del lado, las diagonales, llamadas diagonal mayor (D) y diagonal menor (d). Si inscribimos el rom-bo en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del rombo, podemos ver que el área del rombo es exactamente igual a la mitad del área del rectángulo.

2dxD

A rombo =

�

Área del rombo = (Diagonal mayor x Diagonal menor) / 2

� Área del trapecio. El trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos, base mayor (B) y base menor (b). Si duplicamos el trapecio y los disponemos como se indica obte-nemos un romboide de base (B + b) y altura h igual a la del trapecio original. En conse-cuencia, su área es la mitad del área del romboide.

( )2

hxbBA trapecio

+=

� Área del trapecio = Área del romboide / 2 = (Base x

Altura) / 2

� Polígonos regulares. Los polígonos regulares se caracterizan por tener un centro equi-distante de cada uno de los vértices, por lo que es posible descomponerlos en triángu-los iguales de base igual al lado l del polígono y de altura igual a la apotema ap.

El área de cada triángulo: por lo que el área total es:

2apxlado

A triángulo =

�

2apxladox5

A total =

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Por otra parte, el perímetro del polígono es igual a la suma de sus lados, por lo que:

5 x lado = Perímetro (P)

Sustituyendo esta igualdad en la expresión anterior obtenemos la fórmula del área de un polígono regular cualquiera:

2apxP

A polígono =

� Figuras compuestas. Muchas veces no es posible calcular el área de una figura porque no se corresponde con ninguna figura elemental de las estudiadas hasta ahora. En ese caso es necesario descomponerla en figuras simples y calcular el área de cada una por separado. He aquí algunos ejemplos de descomposición de figuras complejas en figuras simples:

�

Otro procedimiento consiste en descomponer por triangulación la figura dada. Ahora la dificultad está en conocer las medidas de cada triángulo en que se descompone la figu-ra.

�

Circunferencia y círculo

Veamos cómo se calculan la longitud de la circunferencia y el área del círculo y de las figuras cir-culares.

� Longitud de la circunferencia. Ya sabe que la circunferencia es una línea curva, por lo que un modo de medirla consiste en rodearla con una cinta, extenderla y medir la longitud de la cinta. Pero esto es laborioso y muchas veces es imposible de aplicar, por lo que es preciso determinar una fórmula que nos permita determinar la longitud mediante el cálculo. La longitud de la cir-cunferencia depende de su diámetro, ya que ambas magnitudes, longitud (L) y diámetro (d) es-tán relacionadas, como es bien sabido desde la antigüedad.

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En todas las circunferencias se cumple que el cociente entre la longitud y la medida del diámetro es, aproximadamente, 3,1416, es decir, algo más de tres veces la longitud del diámetro. Este número se representa por la letra griega pi (π).

14,3)d(Diámetro

)L(nciacircunferedaLonxitude ≅=π

Por tanto, la longitud de cualquier circunferencia se puede calcular multiplicando el diámetro por π.

L = π x d

Teniendo en cuenta que la medida del diámetro es igual al doble del radio, podemos expresar la fórmula anterior en función del radio.

L = 2 x π x r

Año Valor de π

���� Babilonios Cerca del 2000 aC 3 + 1/8

���� Egipcios Cerca del 2000 aC 256/81

���� Arquímedes (Grecia) Cerca del 250 aC Entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70

���� Ptolomeo (Egipto) 150 3,14166

���� Liu Hui (China) 263 3,14159

���� Tsu Ch’ung Chi (China) 480 355/113

���� Aryabhata (India) 499 3,14156

���� Al-Khowarizmi 800 3,1416

���� Al-Kashi 1429 3,14159265358979

���� Vieta (Francia) 1593 3,141592653

���� Van Ceulen (Holanda) 1615 Valor de π con las primeras 35 cifras decimales exac-

tas

� Longitud de un arco de circunferencia. El arco de la circunferencia completa mide 360º y la longitud de un arco de circunferencia es directamente proporcional a su núme-ro de grados nº. Por tanto, para calcular a su longitud basta resolver la proporción:

º360dx

n

Lo

arco π=

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De esta expresión obtenemos la fórmula:

º360dxxn

Lo

arco

π=

� Área del círculo. El área del círculo se deduce, sabiendo que el área interior de cual-quier polígono regular es igual al producto del perímetro por la apotema dividido entre 2:

2apxP

A =

Como se puede comprobar en la figura, si consideramos la circunferencia como un po-lígono regular de infinitos lados, el perímetro coincide con la longitud de la circunfe-rencia (P = 2πr) y el apotema con el radio (ap = r).

Por tanto, substituyendo en la fórmula y simplificando obtenemos:

2rx2

rxrxx2A π=π= � 2rxA π=

� Área del sector circular. De igual modo que razonamos el cálculo de la longitud de un arco de circunferencia, el área de un sector circular es directamente proporcional a su número de grados nº. Por tanto, para calcular su área basta resolver la proporción si-guiente, de la que se obtiene la fórmula:

º360rx

n

A 2

o

.circtorsec π=

�

º360rxxn

A2o

.circtorsec

π=

� Área de la corona circular. Para calcular el área de una corona circular restamos al área del círculo mayor, el área del círculo menor.

Área de la corona circular = π x R2 – π x r2

� Extrayendo π factor común, obtenemos:

A corona circ. = π x (R2 – r2)

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Área del segmento circular. Para calcular el área del segmento circular restamos al área del sector circular, el área del triángulo de base b igual a la longitud de la cuerda y de altura a, la distancia del centro a la cuerda.

Área del segmento circular = Área del sector – Área del triángulo

�

2axb

º360rxxn

A2o

.circsegmento −π=

� Área del trapecio circular. El trapecio circular es una parte de la corona circular por lo que, igual que razonamos el cálculo del área del sector circular, el área del trapecio circular es directamente proporcional a su número de grados nº. Por tanto, para calcular su área basta resolver la proporción:

º360)rR(x

n

A 22

o

.circtrapecio −π=

�

º360)rR(xxn

A22o

.circtrapecio

−π=

Una herramienta útil para medir terrenos

En Internet existen algunas aplicaciones institucionales de acceso libre y gratuito para me-dir distancias y superficies sobre mapas y ortofotos de toda España.

Una de ellas está en la dirección http://sigpac.mapa.es/fega/visor/ y sirve para medir te-rrenos rústicos. Al acceder encontramos una página de inicio semejante a ésta.

Para situarnos en la zona donde queremos hacer la medición debemos usar las flechas de aproximación de la derecha o la rueda del ratón (+ significa “aproximación” y – “aleja-miento”).

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A medida que nos acercamos aparecerán sucesivos mapas da superficie y, finalmente, aparecerá la ortofoto do terreno. Para que la medición sea más precisa deberemos aproxi-marnos lo máximo posible.

Una vez localizado el terreno sobre el que queremos medir, pulsaremos a la izquierda el cuadro Parcela para que aparezcan en sobreimpresión los límites de los terrenos.

Para medir distancias pulsaremos sobre el icono Medir distancia, situado en la barra de herramientas de la aplicación. Al señalar dos puntos cualesquiera sobre el terreno aparece-rá la medida de la distancia en la esquina inferior izquierda de la pantalla.

Para medir el área pulsaremos sobre el icono Medir área situado en la barra de herra-mientas e iremos señalando, sucesivamente, los vértices consecutivos de la línea poligonal que delimita el terreno. La superficie medida aparecerá resaltada en color amarillo y el re-sultado de la medición en el ángulo inferior izquierdo.

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Otra aplicación semejante a esta, pero que sirve para medir terrenos urbanos, es la perte-neciente a la oficina virtual del catastro, situada en

https://ovc.catastro.minhac.es/index.asp.

Al acceder a ella deberemos identificar el terreno mediante la referencia catastral que figura en el recibo del impuesto de bienes inmuebles o por su dirección completa. En la barra de herramientas existe un icono para efectuar mediciones semejantes a la anterior.

Actividad resuelta

Veamos en un ejemplo cómo se calcula el perímetro de una figura.

Sumaremos las medidas de los lados consecutivamente en sentido con-trario al de las agujas del reloj, comenzando por la base. Recuerde que para sumar medidas es preciso expresarlas en las mismas unidades, por lo que en este caso las expresaremos todas en metros.

7 m + 20 dm + 3 m + 40 dm + 400 cm + (40 dm + 20 dm) = 7 m + 2 m + 3 m + 4 m + 4 m + (4 m + 2 m) = 26 m

Calcule el área de los siguientes polígonos regulares utilizando la fórmula adecuada.

La figura corresponde a un polígono regular de seis lados, por lo que aplicaremos la fórmula correspondiente:

2apxP

A polígono =

Los datos del problema son:

���� Lado: l =1,3 cm

���� Apotema: 12 mm = 1,2 cm (la expresamos en las mismas unidades que el lado).

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En la fórmula aparece el perímetro P, por lo que lo calcularemos previamente:

���� P = 1,3 cm x 6 lados = 7,8 cm

Por tanto:

22

polígono cm8,462cm6,93

2cm2,1xcm8,7

2apxP

A ====

El resultado es una medida de superficie, por lo que no debemos olvidar expresar-lo en la unidad de medida de superficie correspondiente.

La rueda de una bicicleta mide 70 cm de diámetro. Calcule:

���� ¿Cuántos metros habrá reco-rrido la bicicleta cuando la rue-da haya dado 300 vueltas?

En cada vuelta completa la bicicleta recorrerá una distancia igual a la longitud de la rueda. Por tanto, calcularemos la longitud de una circunferencia de diámetro 70 cm = 0,70 m:

L = π x d = 3,14 x 0,70 m = 2,198 m que recorre en una vuelta.

Al cabo de 300 vueltas recorrerá:

2,198 m x 300 = 659,4 m

���� ¿Cuántas vueltas deberá dar la rueda para recorrer 5 km?

Para trabajar en las mismas unidades, expresaremos 5 km en m:

5 km = 5 x 1000 m = 5000 m

Si en una vuelta recorre 2,198 m, para recorrer 5000 m deberá dar:

5000 m : 2,198 m/vuelta = 2274,7 vueltas.

Actividad práctica

Realización de un bosquejo con cotas. En esta unidad tuvo ocasión de practicar el dibujo de figuras planas de todo tipo. Veamos cómo trazar el dibujo o esquema con cotas de un cuerpo cualquiera, por ejemplo un mueble.

La ventaja del bosquejo es la facilidad y la rapidez con que se puede realizar, ya que se realiza a mano alzada, proporcionando una idea aproximada de la forma y las dimensiones de la figura o del cuerpo representado. El bosquejo también permite efectuar anotaciones sobre sus características: materiales, colores, acabados de las caras, etc.

� Materiales:

���� Papel.

���� Lápiz de dureza 2H y blando (2B) o de dureza intermedia (HB).

���� Instrumento para tomar medidas: flexómetro, cinta métrica, regla, etc.

� Procedimiento:

���� Trazado de las líneas auxiliares en las que encuadrar los principales trazos de la figura: bordes, ejes, paralelas, etc., con un lápiz duro (2H).

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���� Trazado de las formas principales de la figura hasta completarla.

���� Trazado de contornos y sombras con un lápiz blando (2B), marcando las aristas y los detalles importantes.

���� Toma de medidas y acotación de la figura mediante líneas exteriores a ella.

Hay que procurar no cruzar las líneas ni estropear el dibujo del objeto tra-zando líneas por encima de él.

Actividades propuestas

S11. Calcule el perímetro de las siguientes figuras.

S12. El perímetro de un triángulo isósceles mide 60 cm y el lado desigual 15 cm. ¿Cuánto miden los otros dos lados?

S13. Un atleta entrena en una pista rectangular de 42 m de largo por 18 de ancho. ¿Cuántos metros habrá recorrido cuando haya completado 20 vueltas a la pista?

S14. Dibuje las siguientes figuras y calcule el área de cada una utilizando las fórmulas correspondientes:

� Rectángulo de 8,2 cm de base y 5 cm de altura.

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� Cuadrado de 35 mm de lado.

� Rombo de diagonales 8 cm y 4,5 cm.

� Romboide de 6 cm de base y 24 mm de altura.

� Trapecio de bases 0,8 dm y 0,5 dm y altura 35 mm.

S15. Tomando el lado de un cuadro como unidad de longitud, calcule el área de cada uno de los siguientes triángulos. ¿Qué observa?

S16. Calcule la longitud de las siguientes circunferencias.

S17. Observe el cuadro de la página 32 que expresa la evolución histórica de la aproximación al valor del número π. Sabiendo que su expresión con las catorce primeras cifras decimales es π = 3,14159265358979..., determine la precisión de cada aproximación calculando el número de cifras decimales que coinciden con su verdadera expresión.

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2.2 El agua en la naturaleza

El agua es el líquido más abundante en la Tierra. Es el recurso natural más importante y base de toda forma de vida, ya que sin ella no es posible la vida vegetal ni animal. No obs-tante, se trata de un recurso natural escaso, irregularmente distribuido por todo el planeta, y que puede presentar diversas formas.

Formas del agua en la naturaleza

� Mares y océanos: formados por agua salada, cubren el 71 % de la superficie terrestre, sobre todo, en el hemisferio Sur, con un volumen total del 97,46 % del agua de la Tierra.

� Aguas superficiales: en forma líquida en ríos, lagos y aguas salvajes, y en forma de nieve y hielo en los glaciares y en los casquetes polares.

Aproximadamente las tres cuartas partes del agua dulce de la Tierra forman parte de los glacia-res y de los casquetes polares, mientras que los ríos y los lagos, que son las principales fuentes de agua de consumo humano, solo representan el 0,01 % del agua del planeta.

� Aguas del subsuelo: también llamadas aguas subterráneas, ya que fluyen por debajo de la su-perficie terrestre formando el llamado manto acuífero. En ocasiones salen al exterior formando fuentes o manantiales. Las que se encuentran a menos de 500 m de profundidad se pueden uti-lizar para fines domésticos, agrícolas e industriales.

� Vapor de agua: diluido en la atmosfera y, en una pequeña proporción, en forma líquida for-mando parte del organismo de los seres vivos.

El agua dulce está distribuida muy irregularmente sobre la superficie terrestre. Los grandes depósi-tos naturales se encuentran en los glaciares de Groenlandia y de la Antártida, y en los lagos de América del Norte y de Rusia, así como en las zonas húmedas tropicales.

La salinidad del agua del mar, que impide su aprovechamiento directo por el ser humano, y la dificultad de explotación de la nieve y del hielo de los glaciares y de los casquetes polares, reducen a menos del 1 % del total el agua fácilmente disponible por el ser humano, lo que la convierte en un recurso natural escaso y muy valioso, tanto para la vida en el planeta como para el desarro-llo presente y futuro de la humanidad.

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Volumen y distribución del agua total del planeta (volumen expresado en miles de km3).

En la tabla siguiente aparecen recogidos los datos de la gráfica anterior.

Localización Volumen

(miles de km3) Porcentaje de agua del

planeta Porcentaje sobre total de

agua dulce

���� Océanos y mares 1 338 000 97,46 -

���� Casquetes polares y glaciares 24 064 1,75 69,30

���� Aguas subterráneas 10 530 0,76 30,30

���� Lagos 176,4 0,012 0,26

���� Humedad del suelo 16,5 0,001 0,05

���� Atmosfera 12,9 0,001 0,04

���� Ríos 2,1 0,0002 0,006

���� Seres vivos 1,1 0,0001 0,003

���� TOTALES 1 372 803 100% 100%

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Actividades propuestas

S18. El agua del mar y la de algunos lagos es salada.

� ¿De donde cree que procede la sal que contienen?

� ¿Qué elementos suelen estar presentes en las aguas superficiales y en las aguas subterráneas?

S19. Consulte la tabla o la gráfica anteriores y compare el volumen de las aguas sub-terráneas y del agua de los lagos con el volumen del agua de los ríos.

� ¿Cuántas veces son mayores aquellos que este?

� ¿Qué problemas cree que presenta su explotación por el ser humano?

2.2.1 Propiedades del agua

Las características físicas y químicas del agua hacen que sea un líquido ideal para la vida. Se trata de un compuesto químico formado por hidrógeno y oxígeno combinados en pro-porción de 2:1, que se encuentra en la naturaleza, fundamentalmente en estado líquido. El agua en estado natural no es pura, ya que en su recorrido natural se carga de los elementos presentes en los medios que atraviesa: sales minerales, materias orgánicas y microorga-nismos, entre otros:

� Materias disueltas procedentes del suelo: calcio, sodio, potasio, bicarbonatos, etc.

� Arcilla, que forma una esponja absorbente susceptible de atraer bacterias y moléculas.

� Bacterias que proliferan en el medio acuático.

� Materias orgánicas procedentes de la descomposición de vegetales y animales.

� Polvo atmosférico recogido en las precipitaciones.

Por eso, las aguas subterráneas pueden tener partículas y un olor o un gusto desagradable, y en las aguas superficiales pueden proliferar bacterias por el efecto del oxígeno y de la energía solar.

Propiedades físicas

� Propiedades generales: el agua pura es incolora, inodora e insípida (no tiene color, olor ni sa-bor). Pero como vimos, totalmente pura es casi imposible de encontrar en la naturaleza.

– Densidad: la del agua es de 1 kg/l, es decir, 1 g/cm3, pero varía algo con la temperatura y con las substancias disueltas. La densidad aumenta al disminuir la temperatura, hasta llegar a los 4 ºC (densidad máxima). Entre 4 ºC y 0 ºC la densidad disminuye y el hielo flota en el agua, ya que su densidad de 0,91 g/cm3 es menor. Por eso, cuando un lago o el mar se con-gelan, el hielo flota en la superficie y aísla el resto del agua, con lo que impide su congela-ción y los seres vivos pueden seguir viviendo por debajo del hielo.

– Calor específico: el del agua es de 1 caloría/gramo ºC, por lo que es necesario aportarle una caloría para elevar un grado la temperatura de un gramo de agua. Este calor es más elevado que el de otras substancias semejantes. Por eso el agua es buen acumulador de calor, que se calienta y enfría poco a poco, con lo que ayuda a regular la temperatura del planeta y de los organismos vivos, y modera el clima en las proximidades de las grandes masas.

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Sustancia Calor específico (calorías/g ºC)

Agua 1,00

Hielo 0,55

Aceite de oliva 0,47

Aceite mineral 0,40

Gasolina 0,50

Alcohol 0,60

Glicerina 0,58

Calor específico de algunas sustancias Las grandes masas de agua moderan el clima en sus proximidades

� Cambios de estado. El agua se puede presentar en la naturaleza en estado sólido, líquido o ga-seoso, según la temperatura a la que se encuentre.

– Temperaturas de fusión y de ebullición. La temperatura de fusión del agua es de 0ºC. Por debajo de ella está en estado sólido, entre 0 ºC y 100 ºC en estado líquido y, a partir de 100 ºC, en estado gaseoso. Esta temperatura recibe el nombre de temperatura de ebullición.

En el gráfico siguiente se indican los posibles cambios de estado del agua. Para pasar de es-tado sólido a líquido o a gaseoso es necesario aumentar la temperatura, mientras que para pasar de estado gaseoso a líquido o sólido es necesario que la temperatura disminuya.

Cambios de estado

– Calor latente de fusión. Es la energía necesaria para transformar la masa de una substancia de estado sólido a líquido sin subir la temperatura, y varía según la substancia. El calor la-tente de fusión del hielo es de 80 calorías/gramo, valor inusualmente alto.

– Calor latente de vaporización. Es la energía necesaria para transformar la masa de una subs-tancia de estado líquido a gaseoso sin incrementar su temperatura. El calor latente de vapo-rización del agua es el mayor de todos los líquidos, 540 calorías/gramo.

Debido al alto calor latente de vaporización, la evaporación que se produce con la transpira-ción de la piel del ser humano y de algunos animales tiene un gran efecto de enfriamiento. Por esta misma propiedad las plantas pueden regular su temperatura por evaporación de agua desde la superficie de las hojas, que tiende a calentarse con la energía radiante del Sol.

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Propiedades químicas

� Salinidad del agua. La salinidad del agua del mar tiene dos orígenes: las sales arrastradas por el agua que llega al mar desde los continentes debido a su gran poder disolvente, y los proce-dentes del magma que sale por las dorsales oceánicas de los fondos marinos.

En un litro de agua de mar típico hay unos 35 g de sales disueltas, la mayor parte cloruro de so-dio, pero la salinidad varía de unos mares a otros. En los mares cerrados y con pocos ríos, como el mar Rojo o el Mediterráneo, la salinidad es más alta, mientras que en los mares fríos y con ríos, como el mar Báltico, la salinidad es mínima. En algunos mares interiores, como en el mar Muerto, la salinidad es altísima, con 226 g de sal por litro.

Proporción de sales en el agua de mar

Constituyente Símbolo Porcentaje en peso

���� Cloruro Cl- 55,07

���� Sodio Na+ 30,62

���� Sulfato SO4- 7,72

���� Magnesio Mg++ 3,68

���� Calcio Ca++ 1,17

���� Potasio K+ 1,10

���� Bicarbonato HCO3- 0,40

���� Otros 0,24

– Aguas duras. En las aguas dulces continentales encontramos cantidades mucho me-nores de sales. Las más abundantes son los carbonatos, los sulfatos y los cloruros de calcio, magnesio, sodio y potasio. La mayor o menor presencia de sales de calcio y de magnesio indica el grado de dureza del agua. Las aguas duras contienen más de 120 mg/litro de estas sales y son propias de los terrenos calcáreos. Se reconocen por-que es difícil conseguir que el jabón haga espuma con ellas y porque producen depó-sitos calcáreos difíciles de eliminar en las paredes de los conductos por los que cir-culan.

Depósitos calcáreos debidos a las aguas duras

– Aguas minerales. Estas aguas de consumo humano son aguas subterráneas que man-tienen su pureza original, pero tienen también sales disueltas en proporción variable. Las de mineralización débil tienen menor proporción de sales y las aguas con gas contienen gas carbónico, que puede ser de origen natural o añadido artificialmente.

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� Gases en disolución. El agua contiene gases en disolución pero en una proporción muy infe-rior a la del aire. Mientras que en un litro de aire hay unos 209 ml de oxígeno, en el agua la cantidad disuelta es 25 veces menor. Otro problema es que la difusión del oxígeno en el agua es muy lenta. La turbulencia de las aguas, al agitarlas y mezclarlas, acelera el proceso de difusión miles de veces y por eso es fundamental para la vida.

El dióxido de carbono procede de la atmosfera y de la respiración de los organismos, y es va-riable su concentración en el agua. Es necesario para la formación de los esqueletos y de las conchas de muchos invertebrados.

La temperatura también influye en la solubilidad de los gases. Mientras que los sólidos se di-suelven mejor a temperaturas más elevadas, con los gases sucede lo contrario: las aguas frías disuelven mejor los gases que las aguas cálidas.

Actividad resuelta

¿Cuál es la causa de estos fenómenos que ocurren a veces, sobre todo con tiempo frío?

���� La condensación del agua en los vidrios de las ventanas y en las paredes de una vi-vienda

El aire contiene cantidades variables de vapor de agua disuelto que no se aprecia a simple vista. Al contacto con objetos que están más fríos que él, el aire se enfría y el vapor que contiene se condensa y forma pequeñas gotas sobre la superficie de los objetos que están a menor temperatura, igual que ocurre al cabo de unos segundos al sacar un objeto del refrigerador.

���� La formación de vapor de agua visible al respirar

El vapor de agua contenido en el aire que sale de los pulmones a la temperatura del cuer-po (36,5 ºC), se enfría al contacto con el aire exterior, que suele estar más frío, formando una nube de pequeñas gotas de agua líquida que se pueden apreciar a simple vista.

Actividades propuestas

S20. Indique el nombre de cada uno de los siguientes cambios de estado que se pue-den observar habitualmente en una vivienda.

� El vapor de agua que sale de una olla a presión.

� La formación de hielo en el interior de un congelador.

� Un cubo de hielo fundiéndose en un vaso de agua.

� Las gotas de agua que se depositan en los azulejos del baño después de una ducha.

� La formación de cubos de hielo por congelación de agua.

� La formación de una nube de vapor de agua al abrir la puerta de un congelador.

S21. ¿Qué sucedería en los mares, en los ríos y en los lagos que se congelan durante el invierno si no se produjese la dilatación anómala del agua, fenómeno por el que, al bajar la temperatura de 4 ºC a 0 ºC, disminuye su densidad en lugar de aumentar, como ocurre con otras substancias?

S22. El clima de las zonas costeras se caracteriza por ser más moderado que el de las del interior: tiene temperaturas más suaves que el interior en el verano y más al-tas en el inverno. ¿A qué cree que se debe esto? Relaciónelo con las propieda-des del agua.

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El ciclo natural del agua

La cantidad total de agua en la Tierra en los estados, sólido, líquido y gaseoso, y que constituye la llamada hidrosfera, está distribuída en tres depósitos principales: océanos, continentes y atmosfe-ra, entre los que hay continua circulación, el ciclo natural del agua o ciclo hidrológico. El movi-miento del agua en el ciclo se mantiene gracias a la energía radiante del Sol y a la fuerza de la gra-vedad. El ciclo comienza con la transferencia de agua desde la superficie de la Tierra a la atmosfe-ra en forma de vapor, por evaporación directa y transpiración de plantas y animales.

El vapor de agua es transportado por la circulación atmosférica y se condensa después de reco-rrer distancias que pueden ser de millares de kilómetros. Al enfriarse el aire, el agua condensada da lugar a la formación de nieblas y nubes y, posteriormente, a la precipitación. Esta se puede pro-ducir en forma líquida (lluvia) o en forma sólida (nieve o granizo). La precipitación también inclu-ye el agua que pasa de la atmosfera a la superficie terrestre por condensación del vapor de agua (rocío o lluvia fina) o por congelación (helada).

El agua que precipita en la Tierra tiene varios destinos. Una parte vuelve a la atmosfera por evaporación; otra resbala por la superficie formando el agua superficial. La restante penetra en el suelo por infiltración; esta agua infiltrada puede volver a la atmosfera por evapotranspiración o ahondar hasta el nivel freático. Tanto el agua superficial como la subterránea alimentan ríos que conducen el agua a los lagos y los océanos.

Ciclo natural del agua

La humedad superficial aparece siempre que existe precipitación y termina poco después de acabar la precipitación. Con todo, el humedecimiento subterráneo se produce con una gran lentitud y sigue alimentando los cursos de agua mucho después de terminar la preci-pitación que la originó. Así, los ríos alimentados por las capas freáticas presentan caudales más regulares.

La energía solar es la fuente de energía térmica necesaria para el paso del agua en for-ma líquida y sólida a la forma de vapor, y también es la causa de la circulación atmosféri-ca que transporta el vapor de agua y mueve las nubes. Por otra parte, la fuerza de la grave-dad es la que produce la precipitación y el humedecimiento.

El ciclo del agua condiciona la cobertura vegetal y, por tanto, la vida sobre la Tierra, pudiendo ser visto a escala planetaria como un gigantesco sistema de destilación extendi-do por todo el planeta. El calentamiento de las regiones tropicales debido a la radiación solar provoca la evaporación continua del agua de los océanos, que es transportada a otras regiones en forma de vapor de agua por la circulación general de la atmosfera.

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Durante la transferencia, parte del vapor de agua se condensa debido al enfriamiento y forma nubes que originan la precipitación. El regreso del agua a las regiones de origen se produce por la acción combinada de los ríos que desembocan en el mar y de las corrientes marinas.

Alteraciones del ciclo del agua

El ciclo del agua puede sufrir alteraciones debidas en parte a la propia naturaleza y en par-te a la acción humana. Es sabido que fenómenos naturales, como la erosión producida por el viento, afecta a las aguas superficiales. Pero otras acciones como el corte incontrolado de bosques, la contaminación del agua y la polución atmosférica, debidas a la acción humana, influyen de modo considerable en la modificación del ciclo del agua.

Además, el cambio climático que se está produciendo en el planeta, en parte debido a las causas citadas anteriormente, traerá como consecuencia graves efectos que han de alte-rar el ciclo del agua. Entre ellos cabe mencionar la desertización de zonas anteriormente cubiertas de vegetación, el aumento del nivel del agua del mar por descongelación de los casquetes polares y la modificación del régimen de lluvias en las regiones del planeta.

Debido al cambio climático, se intuye el incremento de fenómenos climáticos extremos, como inundaciones y sequías, subida del nivel del mar y disminución de precipitaciones, con la consiguiente caída de las reservas de agua y la proliferación de

incendios forestales

Actividad práctica

El ciclo del agua en un terrario. En esta experiencia trataremos de reproducir el ciclo del agua en la naturaleza, para lo que utilizaremos materiales baratos y fáciles de conseguir.

� Materiales:

���� Un frasco de vidrio o una botella de plástico de cinco litros o más, con tapa.

���� Tierra vegetal, arena y grava.

���� Algunas plantas resistentes a la humedad.

���� Un pequeño recipiente de plástico con agua.

� Procedimiento:

���� Coloque dentro del frasco de vidrio o en la botella una capa de grava, una de arena y, finalmente, una de tierra vegetal.

���� Haga unos agujeros en la tierra para colocar las plantas. Trate de no romper las raíces y cúbralas bien.

���� Coloque el recipiente con agua cerca de las plantas, tape el frasco y colóquelo en un lugar con bastante luz, sin que esta incida directamente en el terrario.

���� Observe el terrario durante un mes sin destaparlo y verá que las plantas se mantienen vivas.

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� Explicación:

El agua del recipiente de plástico y la procedente de la transpiración de las plantas se evaporan con el calor hasta que el aire del interior del frasco se satura, produciendo la condensación en pequeñas gotas de agua que vuelven a la tie-rra en forma de precipitación para reiniciar de nuevo el ciclo.

Actividades propuestas

S23. Elabore un esquema en el que se recojan los cambios de estado que experimen-ta el agua durante su ciclo natural y dónde se produce cada uno.

S24. Consulte en una enciclopedia o en Internet el significado de estos términos: eva-potranspiración, desagüe superficial, nivel freático, circulación atmosférica.

2.2.2 El agua y los seres vivos

Importancia del agua

� El ciclo del agua en la naturaleza garantiza que esta no se pierda y que pueda volver a ser utilizada por los seres vivos, ya que la vida en la Tierra siempre dependió de ella.

� Hoy sabemos que la vida se originó en el agua, y que los grupos zoológicos que evolu-cionaron para adaptarse a la vida en tierra firme siguen manteniendo dentro de ellos su propio medio acuático, encerrado y protegido contra una excesiva evaporación.

� El agua constituye más del 80 % del cuerpo de la mayoría de los seres vivos.

� Interviene en la mayor parte de los procesos metabólicos que tienen lugar en sus orga-nismos.

� Desempeña un importante papel en la fotosíntesis de las plantas.

� Además, sirve de hábitat a una gran parte de los organismos vivos.

Conclusión

Dada su importancia para la vida y debido al aumento de las necesidades de consumo de agua por el continuo desarrollo de la humanidad, tenemos la obligación de conservar este recurso protegiendo y conservando íntegramente tanto el agua como el medio que la ro-dea, evitando toda posible contaminación o dilapidación. Es nuestro deber cuidar los re-cursos hídricos para las futuras generaciones y tomar conciencia de que el agua es uno de los recursos naturales más importantes por el papel que desempeña en la existencia de to-dos los seres vivos.

Porcentaje de agua en algunos seres vivos y alimentos

���� Ser humano 65 % – 70 % ���� Manzana 85 %

���� Peces 65 % – 80 % ���� Patata 80 %

���� Árboles 50 % – 75 % ���� Huevos 75 %

���� Tomates 95 %

���� Pan 35 %

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La desigual distribución del agua

La distribución de las precipitaciones y de los fenómenos de evaporación en la superficie terrestre no es uniforme, pero podemos señalar tendencias generales: en las zonas subtro-picales y polares hay más evaporación que precipitaciones.

Por el contrario, en las zonas tropicales y en las de latitudes medias las precipitaciones predominan sobre la evaporación. Por tanto, lo que alimenta estas precipitaciones es el va-por de agua procedente de la evaporación de los océanos subtropicales.

Media de precipitaciones anuales en el mundo

En cualquier región de la Tierra el agua almacenada en reservas superficiales y subterráneas varía poco, ya que las pérdidas de agua por evaporación y deslizamiento se compensan con las precipi-taciones. Pero con el cambio climático se agravan las condiciones de escasez en las zonas que ya son áridas en la actualidad, con menos lluvias y mayor evaporación.

Actualmente el 20 % de la población mundial carece de acceso a agua de suficiente calidad y el 50 % carece de saneamiento; África y Asia occidental son las zonas de mayor carencia. En resu-men, podemos decir que en los países ricos el problema del agua afecta sobre todo a la conserva-ción de la naturaleza y a las posibilidades de crecimiento económico, mientras que en los países pobres, además, la falta de agua potable es la causante directa de enfermedades como diarrea y có-lera, que producen la muerte de 15 millones de niños cada año.

Disponibilidad de recursos hídricos en el mundo

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Además de la calidad del agua de consumo, también destacan las diferencias de consumo entre países. A continuación podemos ver que en la India se consume un volumen total de agua per capita para uso doméstico semejante al que gasta un europeo medio solo para la-var los platos y cocinar.

Consumo diario doméstico per capita

Usos del agua en España

Los ríos españoles recogen al año unos 106.000 hm3 de agua, pero solo el 10 % de esta cantidad se puede aprovechar de modo natural, ya que tienen grandes diferencias de cau-dal entre unas estaciones y otras.

Para poder disponer de agua suficiente se construyeron embalses que almacenan el agua en la época de lluvias, regulan el caudal del río para evitar inundaciones y aprove-chan la energía hidroeléctrica. La capacidad actual de almacenaje proporciona unos 2.800 m3 de agua por persona y año, aunque distribuída de modo muy desigual entre las comu-nidades.

Distribución del consumo de agua en España Interior de una planta desalinizadora de agua

Más de las tres cuartas partes del agua consumida en España se utilizan para el riego, alre-dor del 14 % se consume en las villas y en las ciudades, y el 6 % en la industria. Se en-tiende que el riego absorba una proporción tan importante de agua porque la agricultura más rentable es precisamente la de la España seca, y depende en buena medida de la dis-ponibilidad del agua. Para mejorar el uso del agua en la Península es preciso implantar sis-temas de riego más eficientes y decidir si se deben dedicar más tierras al regadío o no.

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En el suministro de agua a las ciudades y a las industrias, uno de los principales problemas es que las pérdidas en los canales de distribución por evaporación, fugas, etc., son en mu-chos lugares superiores al 50 % del agua repartida.

Para que toda la población disponga de agua sin crear graves problemas de escasez, es necesaria una gestión eficaz de la extracción y de los usos del agua. De una parte, es nece-sario asegurar el suministro de agua con la construcción de embalses, la extracción de aguas subterráneas y la creación de nuevas plantas de desalinización del agua del mar, y, de otra, mejorar la eficiencia en el uso del agua de todas las formas posibles: disminuyen-do las pérdidas en tubos y cañerías, aprovechando convenientemente el uso doméstico e industrial del agua, empleando sistemas de riego eficientes, como el riego por aspersión o gota a gota, reduciendo el uso de agua para usos recreativos (campos de golf, parques, jar-dines, etc.) y empleando para estos usos las aguas residuales urbanas tratadas convenien-temente.

Rincón de lectura

El mar de Aral perdió en los últimos 40 años el 50 % de su superficie

El mar de Aral, en Asia central, en la frontera entre Kazakstán y Uzbe-kistán, perdió en los últimos 40 años el 50 % de su superficie, aunque sigue siendo una de las cuatro masas líquidas más grandes del mun-do. … La evaporación y la alta salinización dejaron aproximadamente 36 000 km2 cuadrados de desierto en un terreno que ahora se llama desierto de Aralkum. Ya que el nivel del agua descendió 13 m desde los años 60, el mar de Aral ahora está partido en dos: una gran zona, semejante a una herra-dura, y otra, mucho más pequeña, conectada apenas por el Norte.

Pero es precisamente el "pequeño" mar de Aral el objeto de los esfuerzos internacionales de conservación, porque el más grande, el que constituiría el este de la herradura, no tiene salvación y los expertos consideran que habrá desaparecido dentro de 14 años. El "pequeño" mar de Aral todavía tiene salvación y por eso se construyeron varios diques para separarlo completamente del mar "grande" y liberarlo así de la pérdida de agua y de la contaminación salina, pero los esfuerzos no dieron todavía el resultado apetecido, según la ESA. Mientras tanto, científicos de los países vecinos y de Rusia, Finlandia, Alemania, Francia, Italia y España están estudiando el desierto de Aralkum para determinar si pueden regenerar el antiguo lecho del mar con vegetación y detener la desertiza-ción. Un grupo internacional de biólogos, entre los que participa un equipo de Ecología Genética de la Rizosfera, con sede en Granada, analiza desde el año pasado si los suelos degradados por el exceso de sal de Aral pueden recuperarse con la plantación de leguminosas y microorganismos fertilizantes. El proyecto internacional, denominado Pladadinfis y financiado con fondos comunitarios, persigue la recuperación de cinco millones de hectáreas de suelos degradados por la sal (50 000 km2) mediante la introducción de plantas leguminosas autóctonas con microorganismos fijadores del nitrógeno atmosférico (rizobios).

El mundo. 24 de julio de 2006

Actividad resuelta

¿Qué problemas presenta el agua de consumo en los países pobres? ¿Qué consecuen-cias puede tener su consumo para la salud?

Además de presentar los mismos problemas que los países ricos −conservación de la naturaleza y recurso necesario para el desarrollo económico−, una parte importante de la población mundial no dispone de agua de suficiente calidad y aproxi-madamente la mitad carece de redes de saneamiento y depuración. La falta de agua potable es la causante directa de en-fermedades como diarrea y cólera, que producen la muerte de 15 millones de niños cada año.

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Actividades propuestas

S25. Vea el mapa de distribución de precipitaciones y cite en cada continente las zo-nas o los países con más y con menos precipitaciones, respectivamente. ¿A qué zonas geográficas del planeta corresponden?

S26. Elabore un pequeño trabajo acerca del aprovechamiento óptimo del agua en Es-paña en usos como la agricultura, la industria, el hogar y el ocio, indicando las medidas que a su juicio sería necesario adoptar para mejorar el consumo en ca-da caso.

S27. Lea el extracto del artículo de prensa que se reproduce en la página anterior y lo-calice en un mapamundi el mar de Aral. Busque información en la prensa, en re-vistas especializadas, en Internet, etc., sobre las causas del desecamiento de este mar y su relación con la acción humana sobre los ríos que lo abastecen de agua.

2.2.3 La contaminación del agua

Definición de contaminación

La contaminación es una alteración de la calidad del agua que provoca que ya no se pueda utilizar para el uso que se le iba a dar en su estado natural o cuando se ven alteradas sus propiedades químicas, físicas o biológicas, o su composición. En trazos generales, el agua está contaminada cuando pierde su potabilidad para el consumo diario o para a su utiliza-ción en actividades domésticas, industriales o agrícolas.

Fuentes de contaminación

� Sustancias químicas inorgánicas: ácidos, compuestos de metales tóxicos (mercurio, plomo, etc.) que envenenan el agua.

� Sustancias químicas orgánicas: petróleo, plásticos, plaguicidas, detergentes y restos orgánicos procedentes de la ganadería y de las industrias agroalimentarias.

� Sustancias radiactivas: pueden causar defectos congénitos y cáncer.

� Virus y bacterias patógenos: procedentes de los restos orgánicos que, vertidos al agua o al suelo en poca cantidad, pueden depurarse de modo natural, pero que en grandes can-tidades provocan contaminación.

� Contaminación agrícola: producida por fertilizantes químicos (nitratos y fosfatos), her-bicidas, insecticidas y otros productos fitosanitarios.

� Contaminación doméstica: de las aguas negras (lavabos e inodoros) y grises (lavadoras, duchas, etc.) procedentes de las viviendas, así como las aguas pluviales.

� Sedimentos o materia suspendida: partículas insolubles procedentes del suelo que em-papan el agua y que son la fuente de contaminación más frecuente.

� Calor: los vertidos de agua caliente disminuyen el contenido de oxígeno en el agua.

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Diversos modos de contaminación del agua

Los lagos son particularmente sensibles a la contaminación por fertilizantes químicos pro-cedentes de los campos de cultivo, llamada eutrofización. El enriquecimiento artificial con estos nutrientes provoca el crecimiento descontrolado de plantas y otros organismos que, al morir, se pudren y huelen, con lo que disminuye la calidad del agua. En el proceso de putrefacción se consume una gran cantidad del oxígeno disuelto en el agua y esta deja de ser apta para la mayor parte de los seres vivos. El resultado final es un ecosistema casi destruido.

Crecimiento desmedido de las algas durante el proceso de eutrofización de un lago

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2.2.4 El ciclo urbano del agua

Las personas, las industrias y la agricultura utilizan el agua a diario, pero esta no procede directamente del medio, sino que es tratada previamente para garantizar que posea las condiciones adecuadas para el uso al que se destine. Después de que el agua se utilice no vuelve directamente al río, al mar, etc., sino que debe pasar por un proceso de depuración.

El agua de abastecimiento

Para que el agua captada en los ríos o en los embalses sea adecuada para el consumo humano es preciso someterla a un tratamiento para convertirla en agua potable. Este pro-ceso recibe el nombre de potabilización y se lleva a cabo en las plantas de potabilización.

Vista aérea de una planta potabilizadora de agua El agua potable la pueden consumir personas y animales

sin riesgo de enfermar.

Después de captar el agua en ríos, embalses, pozos, etc. se conduce a la planta potabilizadora. Aunque existen varios métodos de potabilización, todos constan de las siguientes etapas:

� Filtrado inicial: para retirar los fragmentos sólidos de mayor tamaño (ramas, hojas, hierbas, animales muertos, etc.).

� Precloración: se añade cloro para destruir la materia orgánica contenida en el agua.

� Decantación: el agua se almacena en reposo en grandes depósitos para que las partículas más finas se sedimenten. En esta fase suelen utilizarse productos llamados floculantes, que favore-cen la concentración de las partículas en suspensión para que tengan más peso y se depositen antes. El reposo natural prolongado también favorece la acción del aire y de los rayos solares, con lo que mejora su sabor y se eliminan algunas sustancias nocivas.

� Filtrado: el agua pasa por sucesivos filtros de arena para eliminar impurezas que queden.

� Cloración: al agua purificada se le añade una pequeña proporción de cloro para asegurar su to-tal desinfección antes de pasar a las redes de abastecimiento.

Si se trata de aguas de muy mala calidad, el proceso puede pasar por dos fases más:

� Filtrado con carbón activado: para absorber los olores y los sabores. Tiene el inconveniente de que el carbón activado debe ser retirado periódicamente y tratado por procedimientos físicos para que recupere sus propiedades.

� Ozonización: consiste en inyectarle ozono al agua, un potente desinfectante que se utiliza en los casos más difíciles. No le transmite olor ni sabor, ni deja residuos. Otra alternativa es la purifi-cación por rayos ultravioleta, que impiden la reproducción de las bacterias y de los virus que pudiese contener el agua.

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Finalmente, el agua pasa por las estaciones de bombeo, que la envían a presión a las redes de abastecimiento hasta que llega a los usuarios finales.

Esquema del proceso de potabilización del agua según su procedencia

Las aguas residuales

El agua tiene un poder natural de autodepuración debido a las bacterias, los insectos y las plantas que viven en ella. Pero este poder es limitado, ya que algunos agentes contaminan-tes, como los plásticos, por ejemplo, no son biodegradables. Además, si el nivel de conta-minación del agua es muy alto, puede llegar a matar a los seres que viven en ella.

La proliferación de núcleos urbanos y el aumento de la población que se traslada a vivir a ellos, están incrementando el volumen de aguas residuales contaminadas procedentes de estos núcleos y que deben ser tratadas antes de su reintegración a la naturaleza.

Estas aguas se forman por la unión de las procedentes de sumideros urbanos (aguas fe-cales), de las industrias y, en muchos casos, de las de lluvia recogidas por los sumideros. La mayoría de los vertidos de aguas residuales no tiene tratamiento alguno y va directa-mente a los ríos o al mar, con lo que los sistemas naturales las van degradando de modo natural. Con el tratamiento se reduce su carga contaminante y se convierten en aguas ino-cuas para el medio.

Estación depuradora de aguas residuales de Vigo

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Las etapas del tratamiento de las aguas residuales en las estaciones depuradoras son las siguientes:

� Pretratamiento: para eliminar los residuos sólidos de mayor tamaño contenidos en el agua (tra-pos, plásticos, etc.).

� Tratamiento primario: por procedimientos fisicoquímicos, consistente en el reposo en grandes tanques de sedimentación para separar los materiales en suspensión, las grasas, los aceites, etc. Incluye el tratamiento para la neutralización del pH y la filtración del agua.

� Tratamiento secundario: procedimientos bioquímicos para eliminar partículas de menor tama-ño. Habitualmente se hace almacenando el agua en tanques y mezclándola con lodos cargados de bacterias aeróbicas que digieren la materia orgánica. Los tanques tienen sistemas de airea-ción o de agitación para suministrar el aire necesario para el crecimiento de las bacterias. Des-pués, el líquido se conduce a otros tanques, donde se realiza la decantación de los lodos.

� Tratamientos específicos: por procedimientos fisicoquímicos, para la eliminación de contami-nantes concretos: fósforo, nitrógeno, minerales, metales pesados, compuestos orgánicos, etc. Son tratamientos más caros, que se usan en casos especiales como la purificación de los resi-duos de algunas industrias, en las zonas con escasez de agua en las que se necesita purificarla para otros usos, etc. El más común es la higienización, destinada a eliminar los virus y otros gérmenes mediante cloración, tratamiento con rayos ultravioleta, etc.

Esquema de una estación depuradora de aguas residuales

Los lodos procedentes de la decantación reciben un tratamiento especial hasta que puedan tratarse como residuo sólido urbano y se incineren, o se usen como subproducto, por ejemplo, como ferti-lizante agrícola.

Actividades propuestas

S28. Elabore un resumen sobre los tipos de agentes contaminantes del agua y su pro-cedencia, después de buscar en Internet la información necesaria.

S29. ¿En que consiste la eutrofización del agua y cuales son sus consecuencias?

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3. Resumen de contenidos Polígonos

Un polígono es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono de n lados se puede descomponer en triángulos, en (n-2) triángulos.

� Por el número de lados: triángulos, cuadriláteros, etc.

� Por los ángulos: cóncavos y convexos.

� Por los lados y ángulos: regulares e irregulares.

Clasificación de triángulos

� Por sus lados: equiláteros, isósceles y escalenos.

� Por sus ángulos: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.

Clasificación de cuadriláteros

� Paralelogramos: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

� Trapecios.

� Trapezoides.

Circunferencia, círculo y figuras circulares

Es una línea curva, cerrada y plana con todos sus puntos a la misma distancia de otro in-terior llamado centro. El conjunto de puntos del interior se llama círculo.

� Principales figuras circulares a partir del círculo: sector circular, segmento circular, corona circular y trapecio circular

Perímetros y áreas de figuras planas

� El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados; se expresa en uni-dades de longitud. El área de una figura es la medida de su superficie y se expresa en unidades de superficie.

� Las principales fórmulas para el cálculo del área de las figuras geométricas básicas son:

A rectángulo = b x a A cadrado = l x l = l2

2axb

Atriángulo

= 2

dxDA rombo =

A romboide = b x a ( )

2hxbB

A trapecio

+= 2

apxPA regularpolígono =

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Circunferencia, círculo y figuras circulares

� Fórmulas de cálculo de la longitud de una circunferencia y de un arco de circunferen-cia:

L circunferencia = π x d

L circunferencia = 2 x π x r º360dxxn

Lo

arco

π=

� Fórmulas de cálculo del área de un círculo y de las principales figuras circulares:

2círculo rxA π=

º360rxxn

A2o

.circtorsec

π= A corona circ. = π x (R2 – r2)

2axb

º360rxxn

A2o

.circsegmento −π= º360

)rR(xxnA

22o

.circtrapecio

−π=

El agua en la naturaleza

El agua es el recurso natural más importante. Es un recurso escaso, distribuido irregularmente en el planeta, y puede presentarse en distintas formas:

� Mares y océanos de agua salada, con un volumen total del 97,46 % del agua de la Tierra.

� Aguas superficiales en forma líquida en ríos, lagos y aguas salvajes, que representan el 0,01 % del agua del planeta, y en forma de nieve y de hielo en los glaciares y casquetes polares.

� Aguas subterráneas bajo la superficie terrestre, formando el llamado manto acuífero.

� Vapor diluido en la atmosfera y como líquido presente en el organismo de los seres vivos.

Propiedades físicas del agua

� El agua pura es incolora, inodora e insípida.

� La densidad del agua es de 1 kg/l, es decir, 1 g/cm3, y su calor específico 1 caloría/gramoºC, mayor que la de otras sustancias semejantes.

� La temperatura de fusión del agua es de 0 ºC y la temperatura de ebullición 100 ºC.

� Esquema de los cambios de estado:

Propiedades químicas del agua

� La salinidad media del agua del mar es de 35 g de sal por litro de agua, mayor en los mares ce-rrados y con pocos ríos, y menor en los mares fríos y con ríos caudalosos.

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� Las aguas dulces continentales contienen cantidades mucho menores de sales, principalmente carbonatos, sulfatos y cloruros de calcio, magnesio, sodio y potasio.

� El agua tiene gases disueltos en proporción muy inferior al aire. La turbulencia del agua y las bajas temperaturas favorecen el proceso de difusión de los gases del aire en el agua.

Ciclo natural del agua

� El movimiento natural del agua en cualquiera de sus estados físicos entre los océanos, los con-tinentes y la atmosfera recibe el nombre de ciclo natural del agua o ciclo hidrológico.

� El ciclo se mantiene gracias a la energía radiante del Sol y a la fuerza de la gravedad terrestre.

� El ciclo del agua puede sufrir alteraciones debidas a la naturaleza y a la acción humana.

Distribución y usos del agua

� La distribución de las precipitaciones y de los fenómenos de evaporación en la superficie te-rrestre no es uniforme: en las zonas subtropicales y polares hay más evaporación que precipita-ciones y en las zonas tropicales y en las de latitudes medias es al revés.

� En la actualidad el 20 % de la población mundial carece de acceso a agua de calidad y el 50 % carece de saneamiento. África y Asia occidental son las zonas de mayor carencia.

� Los ríos españoles presentan grandes diferencias de caudal entre unas estaciones y otras. Más de las tres cuartas partes del agua que se consume en España se dedica al riego, el 14 % se con-sume en las villas y en las ciudades, y el 6 % en la industria.

� Para que toda la población disponga de agua sin crear graves problemas de escasez, es necesa-ria una gestión eficaz de la extracción y de los usos del agua.

Potabilización del agua de consumo

� Las principales fuentes de contaminación del agua son las siguientes: sustancias químicas orgá-nicas e inorgánicas, substancias radiactivas, virus y bacterias patógenos procedentes de restos orgánicos, fertilizantes químicos, herbicidas, insecticidas y otros productos fitosanitarios, aguas negras y grises procedentes de las viviendas, materias suspendidas insolubles procedentes del suelo, fuentes de calor, etc.

� Para que el agua sea apta para el consumo es necesario tratarla en plantas potabilizadoras, en un proceso que consta de estas etapas: filtrado inicial, precloración, decantación, filtrado y clora-ción. Si el agua es de muy mala calidad, el proceso puede pasar por otras dos fases: filtrado con carbón activado y ozonización o purificación por rayos ultravioleta.

Tratamiento de las aguas residuales

� El agua tiene un poder natural de autodepuración debido a las bacterias, los insectos y las plan-tas que viven en ella.

� La mayoría de los vertidos de aguas residuales no sufre ningún tipo de tratamiento, y descarga directamente en los ríos o en el mar para su degradación de modo natural.

� El tratamiento para reducir su carga contaminante tiene estas etapas: pretratamiento para elimi-nar los residuos de mayor tamaño, reposo en tanques de sedimentación para separar los mate-riales en suspensión, tratamiento biológico y químico para la eliminación de las partículas de menor tamaño y tratamientos fisicoquímicos para la eliminación de contaminantes concretos: fósforo, nitrógeno, minerales, metales pesados, etc.

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4. Ejercicios de autoevaluación

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

� En la Tierra hay más agua dulce que salada.

� La mayor parte del agua dulce está en forma de hielo.

� El volumen de aguas subterráneas es muy superior al de los ríos y lagos.

2. Indique la opción correcta:

� Vaporización es el cambio de estado de líquido a gas.

� Condensación es el cambio de estado de gas a líquido.

� La sublimación es el cambio de estado de sólido a gas o a la inversa.

� Todas las anteriores.

3. La energía que es necesaria para cambiar el estado de un cuerpo sin subir su temperatura es:

� Calor específico.

� Temperatura de cambio de estado.

� Calor latente.

4. El cambio de estado del agua que se produce con la helada recibe el nombre de:

� Sublimación regresiva.

� Solidificación.

� Fusión.

5. Las sales más abundantes en las aguas duras son:

� Sales de calcio y magnesio.

� Bicarbonatos.

� Sales de potasio.

6. Complete las siguientes frases:

� La energía que mueve al agua en su ciclo natural procede del __________ y de la fuerza __________

� Las aguas que discurren por la superficie de la Tierra después de su precipita-ción forman el llamado __________ superficial.

� El ciclo del agua resulta alterado por las siguientes acciones debidas a la acción humana: __________, __________ y __________

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7. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

� En las zonas tropicales y en las de latitudes medias predomina la evaporación.

� En España el consumo de agua en la agricultura multiplica por cuatro el con-sumo de agua para otros usos.

� La zona del mundo con mayor carencia de agua de consumo es Oceanía.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

� El agua de manantial no siempre es potable.

� Las aguas residuales son depuradas naturalmente por el agua de ríos y mares.

� La ozonización del agua es eficaz pero puede ser peligrosa para la salud.

9. La siguiente figura mide de perímetro:

� 200 m.

� 185 m.

� No se puede calcular solo con estos datos.

10. Calcule el área de las siguientes figuras:

� Triángulo obtusángulo de base 45 cm y altura 6 dm.

� Rombo de diagonales 35 cm y 50 cm.

� Trapecio rectángulo de bases 60 y 44 m, respectivamente y altura 350 dm.

� Romboide de base 14 m y altura 8,6 m.

11. El polígono regular de lado 14 dm, apotema 9,63 dm y área 337,05 dm2 es:

� Un pentágono.

� Un hexágono.

� Un octógono.

� Ninguno de los anteriores.

12. El área de la parte del cuadrado no ocupada por el círculo mide:

� 40,96 cm2

� 32,15 cm2

� 8,81 cm2

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13. Un sector circular de 141,3 cm2 de área en un círculo de 15 cm de radio mide:

� 226º

� 60º

� 72º

14. Las diagonales de un polígono regular son:

� Segmentos que unen vértices contiguos.

� Segmentos que unen el centro con los vértices.

� Segmentos que unen vértices no contiguos.

� Segmentos que unen el centro con los puntos medios de los lados.

15. Clasifique el siguiente triángulo según los lados y según los ángulos:

� Equilátero y obtusángulo.

� Escaleno y acutángulo.

� Isósceles y obtusángulo.

� Isósceles y acutángulo.

16. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa?

� El trapecio tiene dos lados paralelos.

� El rectángulo es un polígono regular.

� El octógono se puede descomponer en seis triángulos.

� La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero mide 360º

17. Una rosca de pan tiene forma de:

� Sector circular.

� Segmento circular.

� Corona circular.

� Trapecio circular.

18. La instalación en la que se limpia el agua contaminada para poder utilizarla se llama:

� Planta desaladora.

� Planta depuradora.

� Fábrica

� Balneario.

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19. ¿Qué porcentaje de agua de la Tierra se encuentra en los océanos?

� 71 %

� 97 %

� 10 %

� 43 %

20. El agua dulce en la Tierra está:

� En los polos.

� En los ríos.

� En los lagos.

� En las aguas subterráneas.

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5. Actividades complementarias

S30. Complete las siguientes frases según los resultados de la actividad anterior.

� Un triángulo se puede descomponer en __________ triángulo.

� Un cuadrilátero se puede descomponer en __________ triángulos.

� Un pentágono se puede descomponer en __________ triángulos.

� Un hexágono se puede descomponer en __________ triángulos.

� Un heptágono se puede descomponer en __________ triángulos.

En general, ¿en cuántos triángulos se puede descomponer un polígono cualquiera?

S31. Conteste a las siguientes cuestiones:

� ¿Cuántos radios tiene un polígono regular de ocho lados? ¿Y apotemas?

� ¿Qué segmento es mayor, el radio o la apotema?

S32. Complete cada frase con el nombre del cuadrilátero correspondiente.

. ���� Tiene cuatro ángulos iguales y los lados iguales dos a dos.

���� Tiene solamente dos lados paralelos y los otros dos lados son iguales.

���� Tiene cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.

���� No tiene ningún lado paralelo.

���� Tiene dos lados paralelos y solamente un ángulo recto.

���� Tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos.

S33. Responda a las siguientes cuestiones:

� ¿Qué figuras circulares se forman al inscribir un polígono en una circunferen-cia?

� ¿Y al dibujar dos circunferencias con el mismo centro y distinto radio?

S34. Fíjese en el procedimiento para dibujar un hexágono regular y un cuadrado inscri-tos en una circunferencia.

Hexágono regular inscrito en una circunferencia Cuadrado inscrito en una circunferencia

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� Dibuje una circunferencia con el compás y, con la misma abertura del radio, señale ar-cos iguales de circunferencia hasta llegar al punto inicial. Una los puntos mediante cuerdas y obtendrá un hexágono regular inscrito

� Dibuje una circunferencia y trace en ella dos diámetros perpendiculares utilizando la regla y el cartabón. Una los extremos de los diámetros mediante cuerdas y obtendrá un cuadrado inscrito.

� Basándose en el procedimiento descrito, dibuje un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia.

� Basándose en el procedimiento descrito, dibuje un octógono regular inscrito en una circunferencia.

S35. Mida el área de las siguientes figuras tomando un cuadro como unidad.

S36. Para medir directamente una figura de modo más preciso se puede utilizar un pa-trón de papel milimetrado. Mida el área de la siguiente figura sabiendo que cada cuadro pequeño mide 1 mm2 y cada dos líneas naranja forman un cuadro de 1 cm2.

S37. Calcule el área de los siguientes polígonos regulares utilizando la fórmula ade-cuada.

S38. Calcule el área de la siguiente figura por descomposición en figuras simples. Ob-serve que para obtener las medidas que faltan debe sumar o restar algunas de las medidas que se indican.

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S39. ¿Cuánto mide el borde de una piscina de la forma y dimensiones indicadas en la figura?

S40. Calcule el área de las siguientes figuras circulares:

� Corona circular de radios 5,7 cm y 23 mm.

� Sector circular de 8 cm de radio y 72º de ángulo.

� Segmento circular de 90º de amplitud en una circunferencia de 10 cm de radio, 14,14 cm de cuerda y 5 cm de distancia del centro a la cuerda.

� Trapecio circular de 35º 24’ en la corona circular del primero punto del ejercicio.

S41. Explique de dónde proceden las sales del agua del mar y de qué factores depen-de su mayor o menor concentración.

S42. ¿Por qué es importante la presencia de oxígeno y dióxido de carbono disuelto en el agua? ¿Qué factores aumentan la cantidad de oxígeno disuelto en el agua?

S43. ¿De dónde procede la energía que mantiene el ciclo hidrológico o ciclo del agua?

S44. Cite algunas acciones humanas que puedan modificar el ciclo natural del agua.

S45. Cite las etapas del proceso de potabilización del agua y los procesos que tienen lugar en cada una.

S46. Infórmese sobre la procedencia del agua que abastece su localidad.

� ¿A qué otros núcleos urbanos suministra agua?

� ¿Es sometida a alguno tratamiento?

S47. Explique la diferencia entre potabilización y depuración del agua. ¿Por qué es tan importante la depuración de las aguas residuales?

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6. Solucionarios

6.1 Soluciones de las actividades propuestas

S1.

Nº de lados Nº de vértices Nº de ángulos Nº de diagonales

3 3 3 0

4 4 4 2

5 5 5 5

6 6 6 9

8 8 8 20

S2.

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

S3.

Cualquiera que sea el triángulo trazado siempre se cumple que la medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otro dos, que es lo que significa las tres desigualdades:

a<b+c, b<a+c, c<a+b

S4.

���� ¿Qué clase de ángulo es el formado por la suma de los ángulos

Ce,B,A ?

Es un ángulo plano.

���� ¿Ocurre lo mismo con cualquier triángulo?

Sí.

���� ¿Cuánto suman los tres ángulos de un triángulo?

Los ángulos de cualquier triángulo forman un ángulo plano, por lo que siempre suman 180º.

S5.

Por sus lados: esca-leno

Por sus lados: esca-leno

Por sus lados: equilá-tero

Por sus lados: esca-leno

Por sus lados: isósce-les

Por sus ángulos: rectángulo

Por sus ángulos: obtusángulo

Por sus ángulos: acutángulo

Por sus ángulos: acutángulo

Por sus ángulos: acutángulo

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S6.

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Equilátero

No existe No existe

Isósceles

Escaleno

S7.

El cuadrilátero más frecuente en los objetos que nos rodean es el rectángulo. Se puede observar en la construcción de edificios, muebles, objetos de uso cotidiano, etc.

En la tradición cultural occidental desde hace milenios predomina la utilización del ángu-lo recto, por lo que las figuras que los contienen, fundamentalmente, el cuadrado y el rec-tángulo, son las que aparecen más a menudo. Los objetos con estas formas acostumbran a ser más fáciles de fabricar y utilizar.

S8.

���� ¿Cuántas diagonales puede trazar en cada cuadrilátero? Dos

���� ¿En cuántos triángulos queda dividido cada uno? En dos

���� ¿La suma de sus ángulos es igual en todos los cuadriláteros? ¿Cuál es esa suma?

180º+180º= 360º

���� ¿Qué tipo de cuadriláteros quedan divididos en cuatro figuras iguales? El cuadrado y el rombo.

S9.

���� Una circunferencia tiene infinitos diámetros Verdadero

���� Un segmento circular está limitado por dos radios Falso

���� Los vértices de un polígono circunscrito están situados en la circunferencia Falso

���� Un semicírculo es un caso particular de sector circular Verdadero

���� El arco que abarca un ángulo inscrito recto es un cuarto de circunferencia Verdadero

S10.

���� ¿Cuántos puede dibujar? 360º:60º= 6 ángulos centrales

���� ¿Y si los ángulos midiesen 18º? 360º:18º= 20 ángulos centrales

���� Si dividimos la circunferencia en cinco arcos iguales, ¿cuánto mide el ángulo? 360º: 5= 72º

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S11.

���� ¿Qué forma de figura circular tiene este pedazo de tarta? Tiene forma de sector circular

���� Si la tarta se corta en ocho porciones iguales, ¿cuánto mide el ángulo central? 360º: 8= 45º.

S12.

Sumaremos las medidas de los lados comenzando por la base, en sentido inverso al de las agujas del reloj y expresando cada lado y el resultado en m:

P = 5,3 m + 4 m + 3,5 m + 4 m + 4 m = 20,8 m

P = 550 cm + 0,62 m + 455 cm + (2,50 m – 1,25 m – 0,62 m) + 1,25 m + 1,3 m + 2,6 m + 1,25 m + (630 cm – 550 cm) + (2,50 m – 1,25 m) = 5,5 m + 0,62 m + 4,55 m + 0,63 m + 1,25 m + 1,3 m + 2,6 m + 1,25 m + 0,8 m + 1,25 m = 19,75 m

S13.

Los dos lados iguales, sumados, miden: 60 cm – 15 cm = 45 cm

Por tanto, cada lado mide: 45 cm : 2 = 22,5 cm

S14.

El perímetro de la pista rectangular es: 2 x (42 + 18) m = 2 x 60 m = 120 m

Al cabo de 20 vueltas, la distancia recorrida será: 120 m x 20 = 2400 m

S15.

���� Rectángulo de 8,2 cm de base y 5 cm de altura A = b x a = 8,2 cm x 5 cm = 41 cm2

���� Cuadrado de 35 mm de lado A = l x l = 35 mm x 35 mm = 1225 mm2

���� Rombo de diagonales 8 cm y 4,5 cm 2cm182

36

2

5,4x8

2

dxDA ====

���� Romboide de 6 cm de base y 24 mm de altura a = 24 mm = 2,4 cm

A = b x a = 6 cm x 2,4 cm = 14,4 cm2

���� Trapecio de bases 0,8 dm y 0,5 dm y altura 35 mm h = 35 mm = 0,35 dm

( ) 2dm2275,02455,0

235,0x)5,08,0(

2hxbB

A ==+=+=

S16.

10 unidades cuadradas 10 unidades cuadradas 10 unidades cuadradas

Las áreas de los tres triángulos son iguales, independientemente de su forma, ya que los tres tienen la misma base (4 unidades) y la misma altura (5 unidades).

Página 58 de 70

S17.

L = π x d = 3,14 x 14 cm = 43,96 cm L = 2 x π x r = 2 x 3,14 x 61 mm = 383,08 mm

S18.

Año Valor de π Cifras coincidentes con el ver-

dadero valor de π

���� Babilonios Cerca de 2000 aC 3 + 1/8 3,1250

���� Egipcios Cerca de 2000 aC 256/81 3,160

���� Arquímedes (Grecia) Hacia 250 aC Entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70 Entre 3,1408 y 3,1428

���� Ptolomeo (Egipto) 150 3,14166 3,14166

���� Liu Hui (China) 263 3,14159 3,14159

���� Tsu Ch’ung Chi (China) 480 355/113 3,14159292

���� Aryabhata (India) 499 3,14156 3,14156

���� Al-Khowarizmi 800 3,1416 3,1416

���� Al-Kashi 1429 3,14159265358979 3,14159265358979

���� Vieta (Francia) 1593 3,141592653 3,141592653

���� Van Ceulen (Holanda) 1615 Valor de π con las primeras 35 cifras decimales exactas

Valor de π con las primeras 35 cifras decimales exactas

S19.

Una parte procede de las rocas del suelo disueltas por el agua durante el deslizamiento de las aguas superficia-les y subterráneas, antes de llegar al mar. Otra parte procede del magma que sale por las dorsales oceánicas existentes en los fondos marinos. Al evaporarse el agua del mar, la sal no se evapora, sino que permanece di-suelta en el agua, incrementando poco a poco su concentración. Los elementos más abundantes en la sal son los que se disuelven más fácilmente en el agua: calcio, sodio, magnesio..., combinados en forma de bicarbonatos, sulfatos, cloruros, etc.

S20.

���� Volumen de las aguas subterráneas (en millares): 10.530 km3 ���� Volumen del agua de los lagos: 176,4 km3 ���� Volumen del agua de los ríos: 2,1 km3 ���� Para calcular cuántas veces es mayor el volumen del agua subterránea que el de los ríos, dividimos las canti-

dades: 10.530 km3 : 2,1 km3 = 5.014 veces mayor. ���� Efectuamos el mismo cálculo con el volumen de las aguas de los lagos y de los ríos: ���� 176,4 km3 : 2,1 km3 = 84 veces mayor

Los problemas que puede presentar su explotación pueden ser de muchos tipos: falta de potabilidad, agotamien-to de recursos, salinización de los acuíferos, modificación de las corrientes de agua subterráneas, etc.

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S21.

���� El vapor de agua que sale de una olla a presión Vaporización

���� la formación de hielo en el interior de un congelador Sublimación regresiva

���� Un cubo de hielo fundiéndose en un vaso de agua Fusión

���� Las gotas de agua en los azulejos del baño después de una ducha Condensación

���� la formación de cubos de hielo por congelación del agua Solidificación

���� la formación de una nube de vapor de agua al abrir a porta de un congelador Sublimación

S22.

Si el agua incrementase su densidad al bajar la temperatura de 4 ºC a 0 ºC, el agua más fría de temperatura próxima a 0 ºC se iría al fondo por debajo del agua menos fría que, al estar encima, se enfriaría más rápido. Así, poco a poco, se congelaría toda la masa de agua. Pero debido a esta anomalía, el agua de temperatura com-prendida entre 0 ºC y 4 ºC, al tener menos densidad, permanece en la superficie hasta que se congela, formando una capa aislante que impide que se siga conge-lando el agua situada por debajo de ella.

S23.

Este fenómeno se debe al elevado calor específico del agua, ya que esta se calien-ta y enfría más lento que la tierra. Por tanto, durante el verano la tierra se calienta más que el agua, por lo que al borde del mar la temperatura es inferior que en el interior. Durante el invierno sucede al revés, ya que el agua del mar está más ca-liente que la tierra, ya que aquella tarda más en enfriar, por lo que al borde del mar la temperatura es superior a la de las tierras del interior.

S24.

Fusión Se produce al fundirse la nieve y el hielo almacenados principalmente en las montañas y en las zonas polares del planeta.

Vaporización Tiene lugar en todas las fases del ciclo: en el mar, en el deslizamiento superficial y subte-rráneo y en la atmosfera.

Sublimación Se produce principalmente en las zonas donde existen grandes masas de nieve y de hielo.

Condensación Tiene lugar en la atmosfera al enfriarse el aire, formándose pequeñas gotas de agua en la atmosfera que dan lugar a la lluvia.

Solidificación

Se produce en a atmosfera al congelarse el agua de la lluvia cuando atraviesa una capa de aire a temperatura inferior a 0 ºC, dando lugar a la formación de granizo. También se produce en la superficie del agua de los mares, ríos y lagos, y en la Tierra, al congelarse el agua de la temperatura baja de 0 ºC.

Sublimación regresiva Se produce en la formación de los copos de nieve debido a un enfriamiento repentino del aire y en el rocío.

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S25.

Evapotranspiración Agua que se evapora desde la superficie del suelo transpirada por la cubierta vegetal.

Deslizamiento superficial Agua de lluvia que discurre por la superficie del suelo.

Nivel freático Es la capa del subsuelo que contiene las aguas subterráneas acumuladas.

Circulación atmosférica Circulación de las masas de aire que se desplazan generalmente a lo largo de las zonas de la Tierra situadas en la misma latitud, produciéndose en las capas bajas de la atmos-fera.

S26.

En Eurasia las zonas de mayores precipitaciones son la India, los países del sueste asiático y las islas de Indo-nesia y Nueva Guinea, situadas en la zona ecuatorial, y las de menores precipitaciones son la península Arábi-ga, el centro y el norte de Asia, muy próximo al polo Norte.

En África las mayores precipitaciones se registran en los países de la zona ecuatorial próximos al golfo de Gui-nea: Zaire, Congo, Guinea Ecuatorial, etc., mientras que las zonas de menores precipitaciones son el desierto del Sahara y Namibia, esta última al sur del continente.

En América las mayores precipitaciones se produce, también, en los países de la zona ecuatorial y los próximos a ella: Brasil, Centroamérica, Colombia, etc. Las zonas donde se registran menos precipitaciones son las más próximas a los polos Norte y Sur y el Oeste de Norteamérica.

En Oceanía las mayores precipitaciones tienen lugar en las pequeñas islas del océano Pacífico próximas al Ecuador, mientras que la zona más seca corresponde al interior de Australia.

� Zonas geográficas del planeta a las que corresponden:

Las zonas de elevadas precipitaciones son las correspondientes a la zona climática ecuatorial, donde las tem-peraturas son elevadas y se produce una gran evaporación.

Las de menores precipitaciones son las zonas polares, de clima muy frío, y las situadas en el interior de los continentes de aire muy seco.

S27.

Trabajo personal.

S28.

Trabajo personal.

S29.

Trabajo personal.

S30.

La eutrofización es el crecimiento descontrolado de plantas en el agua de los ríos y lagos debido a la excesiva concentración de fertilizantes químicos, organismos que cuando mueren se pudren y consumen el oxígeno del agua, disminuyendo su calidad.

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6.2 Soluciones actividades complementarias

S31.

� 1 / 2 / 3 / 4 / 5

� En general, un polígono cualquiera se puede descomponer en tantos triángulos como el número del polígono menos 2

S32.

���� ¿Cuántos radios tiene un polígono regular de 8 lados? ¿Y apotemas?

8 radios, ya que tiene 8 vértices que se pueden unir con el centro. Y 8 apo-temas, ya que tiene 8 lados a los que se pueden trazar la perpendicular des-de el centro.

���� ¿Qué segmento es mayor, el radio o la apotema?

Siempre el radio.

S33.

Cuadrado. Tiene cuatro ángulos iguales y los lados iguales dos a dos.

Trapecio Tiene solamente dos lados paralelos y los otros dos lados son iguales.

Rombo Tiene cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.

Trapezoide No tiene ningún lado paralelo.

Trapecio rectángulo Tiene dos lados paralelos y solamente un ángulo recto.

Romboide Tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos.

S34.

���� ¿Qué figuras circulares se forman al inscribir un polígono en una circunferencia?

Las figuras que se forman entre los lados del polígono y los arcos de la circunferencia son segmentos circulares.

���� ¿Y al dibujar dos circunferencias con el mismo centro y distinto radio?

Se forma una corona circular.

S35.

Trabajo personal.

S36.

9 unidades cuadradas 10 unidades cuadradas 16,5 unidades cuadradas 10,5 unidades cuadradas

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S37.

Lo dividimos en figuras más simples, rectángulos y triángulos, las numeramos y medimos cada una. Sumamos, finalmente, los resul-

tados.

1: (5 x 2) : 2 = 10 : 2 = 5 mm2

2: (5 x 5) : 2 = 25 : 2 = 12,5 mm2

3: 7 x 5 = 35 mm2

4: 10 x 12 = 120 mm2

5: (10 x 12) : 2 = 120 : 2 = 60 mm2

6: 10 x 2 = 20 mm2

7: 3 x 6 = 18 mm2

8: (3 x 6) : 2 = 18 : 2 = 9 mm2

9: (11 x 6) : 2 = 66 : 2 = 33 mm2

Área total = 312,5 mm2 = 3,125 cm2

S38.

La figura es un octógono, polígono regular de 8 lados, por lo que aplicaremos la fórmula:

2apxP

Apolígono=

Los datos del problema son:

Lado: l = 9 mm

Apotema: ap = 12 mm

Calcularemos previamente el perímetro P:

P = 9 mm x 8 lados = 72 cm

por tanto:

22

polígono mm4322

mm864

2

mm2,1xmm72

2

apxPA ====

La figura es un decágono, polígono regular de 10 lados, por lo que aplicaremos la fórmula:

2apxP

Apolígono=

Los datos del problema son:

Lado: l = 8 mm

Apotema: ap = 0,13 dm = 13 mm

Calcularemos previamente el perímetro P:

P = 8 mm x 10 lados = 80 cm

por el tanto:

22

polígono mm5202

mm1040

2

mm13xmm80

2

apxPA ====

S39.

Página 63 de 70

Descompondremos la figura dada en figuras más sencillas para calcular el área de cada una y sumar los resulta-dos.

1. La figura 1 es un trapecio de base mayor 6 m, base menor 6 m – 2 m = 4 m, y altura 2,5 m

( ) 2m5,12225

25,2x)46(

2hxbB

A ==+=+=

2. La figura 2 es un rectángulo de base 3 m y altura 6 m – 2,5 m = 3,5 m

A = b x a = 3 m x 3,5 m = 10,5 m2

3. L figura 3 es un rectángulo de base 8 m - 3 m = 5 m y altura 1 m

A = b x a = 5 m x 1 m = 5 m2

4. La figura 4 es un triángulo de base 8 m – 3 m – 4 m = 1 m, y altura 6 m – 1 m = 5 m

2cm5,22

5

2

5x1

2

axbA ====

por tanto, el área total de la figura dada será:

A = 12,5 m2 + 10,5 m2 + 5 m2 + 2,5 m2 = 30,5 m2

S40.

� La longitud del borde será igual a la suma de las dos bases del rectángulo de 12,5 m de largo cada una, y la longitud de una circunferencia de 8,4 m de diámetro.

� Longitud de las dos bases = 2 x 12,5 m = 25 m

� Longitud de la circunferencia = π x d = 3,14 x 8,4 m = 26,376 m

� Longitud total del borde = 25 m + 26,376 m = 51,376 m

S41.

� A corona circ. = π x (R2 – r2) = 3,14 x (5,72 – 2,32) = 3,14 x (32,49 – 5,29) =

85,408 cm2

� 2o

2o2o

.circtorsec cm192,40360

12,14469

360

8x14,3x72º360

rxxnA ===π=

� 2o

2o2o

.circsegmento cm15,4335,355,782

7,70360

282602

5x14,14360

10x14,3x902

axbº360

rxxnA =−=−=−=−π=

� Expresaremos previamente la medida del trapecio solo en grados utilizando la calculadora: 35º 24’ = 35,4º

� 2o

22o22o

.circtrapecio cm398,8360

4432,3023

360

)3,27,5(x14,3x4,35º360

)rR(xxnA ==

−=

−π=

S42.

� Como ya se indicó anteriormente, la sal del agua del mar procede de las rocas del sue-lo disueltas por el agua en el deslizamiento superficial y subterráneo. La mayor o me-nor concentración de sal depende principalmente de los siguientes factores:

� La temperatura del agua del mar: en los mares cálidos la evaporación es mayor, lo que incrementa la concentración de sal en el agua.

� El carácter abierto o cerrado del mar: cuanto más cerrado, menor renovación de agua se produce, lo que incrementa así mismo la concentración de sal.

� El caudal de los ríos que desembocan en el mar: cuanto mayor es este caudal, mayor es la cantidad de agua dulce aportada al mar, por lo que su salinidad es menor.

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S43.

� El oxígeno es necesario para la respiración de los animales y de las plantas que viven en el agua.

� El dióxido de carbono es necesario para la formación de los esqueletos y de las conchas de muchos invertebrados.

� Los factores principales que favorecen la disolución de oxígeno y otros gases en el agua son la baja temperatura y la turbulencia, ya que la agitación del agua acelera el proceso de disolución de los gases presentes en el aire

S44.

� Procede de la energía del Sol que produce la evaporación y la circulación at-mosférica.

S45.

� Entre las causas principales es necesario citar el corte incontrolado de bosques, la contaminación del agua, la polución atmosférica y el cambio climático

S46.

� Filtrado inicial: se retiran los fragmentos sólidos de mayor tamaño (ramas, hojas, hierbas, animales muertos, etc.).

� Precloración: se añade cloro para destruir la materia orgánica contenida en el agua.

� Decantación: el agua se almacena en reposo en grandes depósitos para favore-cer la sedimentación.

� Filtrado: el agua pasa por sucesivos filtros de arena para eliminar las impure-zas que queden.

� Cloración: al agua purificada se le añade una pequeña proporción de cloro para asegurar su total desinfección antes de pasar a las redes de abastecimiento.

Si las aguas son de muy mala calidad, el proceso puede pasar por dos fases más:

� Filtrado con carbón activado: para absorber los olores y los sabores.

� Ozonización, consistente en inyectarle ozono al agua, un desinfectante que se utiliza en los casos más difíciles, o purificación por rayos ultravioleta que im-piden la reproducción de los microorganismos contenidos en el agua.

S47.

Trabajo personal.

S48.

� La potabilización del agua es el proceso mediante el que el agua se convierte en apta para el consumo humano.

� La depuración es el proceso mediante el cual las aguas residuales son tratadas para reducir al mínimo su carga contaminante antes de reintegrarlas al medio.

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6.3 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación

1. Señale cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta:

� En la Tierra hay más agua dulce que salada.

�

�

2. Indique la opción correcta:

�

�

�

� Todas las anteriores.

3. La energía que es necesaria para cambiar el estado de un cuerpo sin subir su temperatura es:

�

�

� Calor latente.

4. El cambio de estado del agua que se produce con la helada recibe el nombre de:

�

� Solidificación.

�

5. Los sales más abundantes en las aguas duras son:

� Sales de calcio y magnesio.

�

�

6. Complete las siguientes frases:

� _ Sol _ gravedad. � _ deslizamiento _.

� _ corte incontrolado, contaminación del agua y polución atmosférica _.

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7. Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones:

� Falso. � Verdadero. � Falso.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

�

�

� La ozonización del agua es eficaz pero puede ser peligrosa para la salud.

9. La figura mide de perímetro:

� 200 m

�

�

10. Calcule el área de las siguientes figuras:

� 1.350 cm2 � 875 cm2 � 1.820 m2 � 120,4 m2

11. El polígono regular de lado 14 dm, apotema 9,63 dm y área 337,05 dm2 es:

� Un pentágono.

�

�

�

12. El área de la parte del cuadrado no ocupada por el círculo mide:

�

�

� 8,81 cm2

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13. Un sector circular de 141,3 cm2 de área en un círculo de 15 cm de radio mide:

�

�

�

� 72º

14. Las diagonales de un polígono regular son:

�

�

� Segmentos que unen vértices no contiguos.

�

15. Clasifique el siguiente triángulo según los lados y según los ángulos:

�

�

� Isósceles y obtusángulo.

�

16. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa?

�

� El rectángulo es un polígono regular.

�

�

17. Una rosca de pan tiene forma de:

�

�

� Corona circular.

�

18. La instalación en la que se limpia el agua contaminada para poder utilizarla se llama:

�

� Planta depuradora

�

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19. ¿Qué porcentaje de agua de la Tierra se encuentra en los océanos?

�

� 97 %

�

�

20. El agua dulce en la Tierra está:

� En los polos.

�

�

�

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7. Glosario

���� Aguas duras Son las que contienen una concentración excesiva de sales de calcio y magnesio superior a 120 mg/l.

���� Apotema Línea que une el centro con el punto medio del lado de un polígono regular. A ���� Arco Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ésta.

���� Calor latente Es la energía necesaria para que se produzca el cambio de estado de una substancia, sin que se incremente su temperatura. Puede ser calor latente de fusión y calor latente de vapo-rización. C

���� Catetos En un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.

D ���� Deslizamiento superfi-

cial

El agua procedente de la lluvia circula por la superficie del suelo concentrándose en los lechos. Es una de las causas principales de erosión del suelo, sobre todo si la cubierta vegetal es escasa.

E ���� Evapotranspiración Término que define el mecanismo por el que el agua es devuelta a la atmosfera en forma de vapor, denominado evaporación, y la transpiración realizada por los vegetales.

���� Floculantes Productos que se añaden durante el proceso de tratamiento del agua de consumo para favorecer el agrupamiento de las partículas de menor tamaño que se encuentran en suspen-sión, facilitando así su decantación.

F

���� Fotosíntesis Nombre del proceso mediante el que las plantas captan y utilizan la energía de la luz para transformar la materia inorgánica del aire y del suelo en materia orgánica que utilizan para su crecimiento.

M ���� Manto acuífero Aguas que fluyen por el subsuelo.

El ���� Ozonización Proceso por el que se inyecta ozono al agua de consumo para desinfectarla.

���� Riego por asper-sión

Modalidad de riego por el que el agua llega a las plantas en forma de lluvia localizada.

���� Riego gota a gota Sistema de riego por el que el agua llega gota a gota al suelo donde se localizan las raíces de las plantas.

R

���� Radio Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de los puntos de ésta.

���� Salinidad Medida de la concentración de sales disueltas en el agua.

���� Solubilidad Capacidad de disolución de una substancia en otra. S

���� Segmento Porción de la recta comprendida entre de los puntos de esta.

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8. Bibliografía y recursos

Bibliografía

� Ámbito de la naturaleza: El agua y el aire. Educación secundaria a distancia para per-sonas adultas. Xunta de Galicia (2007). Unidades didácticas 1 y 2.

� Ámbito tecnológico-matemático: Tecnología e diseño. Educación secundaria a distan-cia para personas adultas. Xunta de Galicia (1999). Unidades didácticas 2 y 3.

� Ciencias de la Naturaleza. 1º ESO. Editorial Santillana.

� Ciencias de la Naturaleza. 1º ESO. Editorial Rodeira.

� Tecnología. 3º ESO. Primo Viejo. Editorial Mc Graw Hill.

� Matemáticas 1º ESO. Editorial Anaya (2007).

� Matemáticas 1º ESO. Editorial Rodeira (2008).

� Matemáticas 1º ESO. Editorial Santillana (2007).

� Matemáticas para la vida 1º ESO. Editorial SM (2008).

Enlaces de Internet

� [http://www.edu.xunta.es/contenidos/]

� [http://descartes.cnice.mec.es]

� [http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/index.htm]