Costruzioni con riga e compasso: I tre problemi classici della Matematica greca

Costruzioni con riga e compasso:I tre problemi classici della Matematica greca

Nicola Melone

Liceo Garofano15.04.2016

Se vogliamo prevedere il futuro della

Matematica, la via da seguire è quella di

studiare la storia e le attuali condizioni

della nostra scienza

Henri Poincaré (18541912)

Nicola Melone

1

Le due fonti principali per la storia della Matematica della Grecia dal VI sec.

a.C. al III sec. d.C sono

Nicola Melone

2



• le Collezioni matematiche (o Synagoge), opera in 8 volumi di Pappodi Alessandria(290 – 350 d.C. ?)

• il Commento al primo libro degli Elementi di Euclide diProclo di Costantinopoli (411485 d.C.)

Nicola Melone

3





In queste opere si parla in particolare:





In queste opere si parla in particolare:

• dei tre problemi classici di costruzione con riga e compasso: trisezionedell’angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio (orettificazione della circonferenza)

• dello studio delle coniche come sezioni di un cono, attribuito a Menecmo,(Pappo riferisce di un trattato in 5 libri sui ‘Loci solidi’, attribuito adAristeo il vecchio (370 – 300 a.C.) )

Nicola Melone

4

Nicola Melone

5

Pappo

Nicola Melone

6

Pappo

nel Libro III classifica i problemi geometrici in:

Nicola Melone

7

Pappo


• problemi piani risolubili con luoghi piani (rette e circonferenze)

• problemi solidi risolubili con luoghi solidi (sezioni coniche)

• problemi lineari risolubili con curve meccaniche

Nicola Melone

8

Pappo





e nel Libro IV

Pappo





e nel Libro IV

• precisa che ogni problema richiede una costruzione appropriata e quindinon si devono usare luoghi geometrici lineari nella soluzione di unproblema solido, né luoghi geometrici solidi o lineari nella soluzione di unproblema piano

• intuisce sostanzialmente che i problemi classici non sono risolubili con rigae compasso poiché non appartengono alla categoria dei problemi piani

Nicola Melone

9

Una costruzione con riga e compasso consiste nella costruzione di

oggetti geometrici a partire da altri oggetti dati, utilizzando come

unici strumenti la riga ed il compasso, intesi come strumenti ideali

(privi di carattere metrico) per tracciare la retta passante per due

fissati punti distinti e disegnare la circonferenza di dato centro e

passante per un altro punto fissato (o di raggio un segmento

assegnato)

Nicola Melone

10

Nicola Melone

11

Una costruzione con riga e compasso consiste nella costruzione di

oggetti geometrici a partire da altri oggetti dati, utilizzando come

unici strumenti la riga ed il compasso, intesi come strumenti ideali

(privi di carattere metrico) per tracciare la retta passante per due

fissati punti distinti e disegnare la circonferenza di dato centro e

passante per un altro punto fissato (o di raggio un segmento

assegnato)

I problemi di costruzioni con riga e compasso sono stati un tema

centrale nella matematica e, più in generale, nella cultura greca e i

tentativi di dare una soluzione ai Problemi classici, lasciati irrisolti dai

greci, hanno dato nei secoli un impulso rilevante allo sviluppo

dell’Algebra moderna (in particolare la teoria dei campi)

Nicola Melone

Sebbene nella Matematica greca fossero presenti molti metodi

di costruzione mediante le cosiddette curve meccaniche, gli

strumenti privilegiati furono riga e compasso

Nicola Melone

12




Non sono completamente chiari i motivi che spinsero i

matematici greci a privilegiare la riga e il compasso e

molteplici sono le ipotesi avanzate dagli storici

Nicola Melone

13




Non sono completamente chiari i motivi che spinsero i

matematici greci a privilegiare la riga e il compasso e

molteplici sono le ipotesi avanzate dagli storici

Tra i motivi ci fu certamente il condizionamento culturale sulla

Matematica e sulla Scienza della Grecia classica che

esercitaronoPlatone e Aristotele

Nicola Melone

14

Nicola Melone

15

Platone (428348 a.C.) nella sua Teoria delle idee

(l’iperuranio è il mondo delle idee incorruttibili)

afferma che le leggi matematiche che descrivono il

mondo fisico sono eterne ed immutabili e quindi sono

l’essenza della realtà

Nicola Melone

16

Platone (428348 a.C.) nella sua Teoria delle idee

(l’iperuranio è il mondo delle idee incorruttibili)

afferma che le leggi matematiche che descrivono il

mondo fisico sono eterne ed immutabili e quindi sono

l’essenza della realtà

Morris Kline ritiene che Platone si opponesse all’uso di

strumenti meccanici diversi da riga e compasso, in quanto

appartenenti al mondo dei sensi e non a quello delle idee

Nicola Melone

17

Aristotele (384322 a.C.) nella Teoria dei sillogismi

sostiene che la Matematica descrive semplicemente i

fenomeni e le loro cause e non è in grado di

determinare la vera natura delle cose

La definizione di un oggetto non implica la sua esistenza,

l’esistenza delle cose definite deve essere dimostrata

Nicola Melone

18





Il metodo indicato da Aristotele per gli oggetti matematici fu

La costruzione con riga e compasso

La definizione di un oggetto non implica la sua esistenza,

l’esistenza delle cose definite deve essere dimostrata

Nicola Melone

19





Nicola Melone

20

Euclide divideva le proposizioni matematiche in due categorie:

• i teoremi: dimostrazioni di proposizioni del tipo: se A allora B (A⇒ B )

• i problemi: costruzioni di oggetti che verificano assegnate proprietà

Nicola Melone

21




La visione platonica e aristotelica fu adottata da Euclide negli Elementi e da

quel momento divenne il metodo esclusivo di costruzione della matematica

greca

Nicola Melone

22

Negli Elementi oltre cento problemi sono risolti mediante costruzioni basate

sui primi tre postulati, utilizzando quindi soltanto le seguenti operazioni:






greca

Nicola Melone

23

Negli Elementi oltre cento problemi sono risolti mediante costruzioni basate

sui primi tre postulati, utilizzando quindi soltanto le seguenti operazioni:

• Tracciare la retta per due punti assegnati

• Tracciare la la circonferenza di assegnati centro e raggio

• Determinare gli eventuali punti di intersezione tra rette, tra rette ecirconferenze, tra circonferenze






greca

Assiomi di Euclide

I. Esiste una (ed una sola) linea retta tra due punti

II. Ogni linea retta si può prolungare indefinitamente in una linea retta

III. Esiste un (solo) cerchio di centro e raggio fissati

IV. Gli angoli retti sono uguali tra loro

V. Se una linea retta interseca due linee rette formando angoli interni dauno stesso lato minori di due angoli retti, le due linee rette prolungateindefinitamente si intersecano nel lato dei due angoli interni minori didue retti

Nicola Melone

Nicola Melone

24

Esempi

Nicola Melone

25

1. Prodotto di due segmentiAD = AB ⋅ AC

1

C

D

BUA

Nicola Melone

26

A B

C CD

G

A B

F

E

2. Triangolo equilatero di dato lato AB (e esagono regolare inscritto in una circonferenza)


1

C

D

BUA

Nicola Melone

27


1

C

D

BUA

A B

C CD

G

A B

F

E

2. Triangolo equilatero di dato lato AB (e esagono regolare inscritto in una circonferenza)

A B•

3. Asse e punto medio di un segmento, perpendicolare ad una retta per unfissato punto

Nicola Melone

28

4. Parallela ad una retta l per un punto P (∉l )

P

BA C

P’• •

• • • l

Nicola Melone

29


P

BA C

P’• •

• • • l

5. Quadrato di area doppia di un dato quadrato

a

d=a

Nicola Melone

30

6. Bisezione di un angolo

C

A

BO

••

•

5. Quadrato di area doppia di un dato quadrato


P

BA C

P’• •

• • • l

a

d=a

Somma di due segmenti con riga e compasso

D

C

BA

Nicola Melone

31

D

C

BA

Nicola Melone

32

D

C

BA

Nicola Melone

33

DC

D

C

BA

Nicola Melone

34

Nicola Melone

35

7. Formula (a+b)2 =a2 + 2ab + b2 (Proposizione 4, Libro II degli Elementi)

a2

ba

b2b

a ab

ab

Algebra geometrica

Nicola Melone

36

8. Radice dell’equazione x2 = ab e quindi di (Proposizione 14, Elementi, Libro II )

x

bb

a

Nicola Melone

37

9. Radice dell’equazione x2 + ax b = 0 (Descartes nell’opera Geometria)

a = diametrox

• C

8. Radice dell’equazione x2 = ab e quindi di (Proposizione 14, Elementi, Libro II )

x

bb

a

Costruzione dei poligoni regolari

Nicola Melone

38

•

ngono regolare

Nicola Melone

39

Un altro problema affrontato dai matematici greci fu la costruzione di

poligoni regolari di n lati, ovviamente equivalente al problema di

suddividere una circonferenza in n archi uguali

Nicola Melone

40

Negli Elementi sono riportate le (semplici) costruzioni con riga e

compasso del triangolo equilatero, del quadrato e del pentagono regolare

(e quindi anche dell’esagono dell’ottagono e del decagono regolari)




M •

•

M •

•

M •

•




Nicola Melone

41

M •

•

M •

•

M •

•







Nicola Melone

42

M •

•

M •

•

M •

•




Nicola Melone

43

B

A

P •

QOX •

C

DE

•R

Pentagono regolare (costruzione di H.W. Richmond del 1983). Siano XA un

diametro del cerchio di centro O e P il punto medio del raggio perpendicolare a

XA. Siano inoltre PQ e PR le bisettrici interna ed esterna dell’angolo Λ(APO).

Assunto il punto A come uno dei vertici del pentagono, gli altri quattro punti

B,C,D,E sono ottenuti come in figura

Assumiamo il raggio come unità di misura, onde OP = e AP = . In base alle proprietà delle

bisettrici interna ed esterna PQ e PR, risulta OQ : QA = OP : PA e RA : RO = AP : OP , onde

RO =

Ora risulta

quindi: Λ(AOB) = , Λ(COR) = , Λ(COD) = 2 Λ(COR) = , Λ(COB) =

ovvero AB , BC e CD sono lati consecutivi del pentagono regolare e in modo analogo si

verifica che anche AE ed ED sono lati del pentagono

Pentadecagono regolare

Dalle costruzioni del triangolo equilatero e

del pentagono regolare segue banalmente

quella del pentadecagono regolare (15 lati)

Riferendoci alla figura, basta osservare che

O •

Dopo questi casi risolti dai matematici greci trascorsero circa duemila

anni per avere la costruzione con riga e compasso dell’eptadecagono

regolare (17 lati) ad opera di Gauss

Nicola Melone

44

Nicola Melone

45

La costruibilità di ngoni regolari con riga e compasso è equivalente alla

costruibilità delle radici della

equazione ciclotomica : zn 1=0

P1

P0

Ph

h

Nel linguaggio matematico moderno il problema della costruibilità degli n

goni regolari si può affrontare al modo seguente

Riferendoci, senza ledere la generalità, alla circonferenza unitaria

S1: x2 + y2 =1

gli n vertici Ph(xh ,yh) dell’ngono regolare inscritto possono essere pensati

come numeri complessi (xh ,yh) = xh+ i yh e quindi sono del tipo

Ph = [1, ] , h=0,1,…,n1, onde sono le n radici nsime

dell’unità, ovvero sono le soluzioni dell’equazione zn – 1 = 0

h

Nicola Melone

46

La caratterizzazione completa dei poligono regolari costruibili

con riga e compasso fu ottenuta da Gauss (17771855) e,

successivamente, da Wantzel (18141848), collegando

sorprendentemente il numero dei lati dei poligoni costruibili ai

numeri di Fermat (16011665)

Gauss Wantzel

Fermat

, ∀n∈ N

Nicola Melone

47

La caratterizzazione completa dei poligono regolari costruibili

con riga e compasso fu ottenuta da Gauss (17771855) e,

successivamente, da Wantzel (18141848), collegando

sorprendentemente il numero dei lati dei poligoni costruibili ai

numeri di Fermat (16011665)

Gauss Wantzel

Fermat

, ∀n∈ N

Teorema di GaussWantzel. Un poligono regolare di n lati è costruibile

con riga e compasso se, e soltanto se

con p1, p2 ,… ps primi di Fermat e α intero non negativo

Nicola Melone

48

Come si verifica immediatamente

F(0) = 3 , F(1) = 5 , F(2) = 17 , F(3) = 257 , F(4) = 65.537

sono primi e Fermat aveva ipotizzato che F(n) fosse primo, per ogni n

Circa un secolo dopo Euler provò invece che

F(5) = 4.294.967.297 = 641 ⋅ 6.700.417

Come si verifica immediatamente

F(0) = 3 , F(1) = 5 , F(2) = 17 , F(3) = 257 , F(4) = 65.537

sono primi e Fermat aveva ipotizzato che F(n) fosse primo, per ogni n

Circa un secolo dopo Euler provò invece che

F(5) = 4.294.967.297 = 641 ⋅ 6.700.417

Attualmente i primi di Fermat sono uno dei misteri dell’Aritmetica, ad

esempio non è noto se esistono altri primi di Fermat oltre i primi cinque e

Hardy e Wright (http://primes.utm.edu/) hanno ipotizzato che il numero di

primi di Fermat sia finito

Il bel teorema di GaussWanzel caratterizza dal punto di vista aritmetico i

poligoni regolari costruibili con riga e compasso ma non risolve il problema

Nicola Melone

49

Nonostante Euclide negli Elementi avesse risolto più di cento

problemi con riga e compasso, molti altri problemi di costruzione

furono risolti soltanto utilizzando le curve meccaniche, lasciando

aperto il problema sulla loro risolubilità mediante riga e compasso

Nicola Melone

50

Nonostante Euclide negli Elementi avesse risolto più di cento

problemi con riga e compasso, molti altri problemi di costruzione

furono risolti soltanto utilizzando le curve meccaniche, lasciando

aperto il problema sulla loro risolubilità mediante riga e compasso

In particolare l’attenzione dei matematici si concentrò su tre

problemi che i greci non riuscirono a risolvere con riga e compasso

e che divennero, quindi, tre fra i problemi più studiati nella storia

della Matematica e la cui notorietà travalicò immediatamente

l’ambito matematico

Nicola Melone

51

Nicola Melone

52

I TRE PROBLEMI CLASSICI

Nicola Melone

53

Duplicazione del cubo: costruire lo spigolo di uncubo avente volume doppio di quello di un dato cubo

Nicola Melone

54


Trisezione dell’angolo: costruire due semirette che dividono un dato angolo in tre parti uguali

Quadratura del cerchio: costruire il lato di unquadrato di area uguale a quella di un cerchio dato

Nicola Melone

55


Trisezione dell’angolo: costruire due semirette che dividono un dato angolo in tre parti uguali

Duplicazione del cubo

Nicola Melone

56

Eratostene (276192 a.C.) nella sua opera Platonica narra che gli abitanti

di Delo, colpiti da una grave epidemia, si erano rivolti per un consiglio

all’oracolo del dio Apollo, il quale aveva suggerito loro di raddoppiare il

volume dell’altare cubico dedicato al dio

Resisi conto della difficoltà (ad esempio non era corretto raddoppiare lo

spigolo), gli abitanti si rivolsero a Platone per una soluzione, il quale

rispose che non era necessario costruire il nuovo altare, in quanto il dio

dell’oracolo aveva semplicemente voluto punire i greci per la loro scarsa

considerazione per la Geometria

Nicola Melone

57

La duplicazione del cubo è una naturale generalizzazione

della duplicazione del quadrato ed era noto nella Grecia antica

anche come Problema di Delo. Eratostene

Nicola Melone

58

Il problema fu studiato da Ippocrate di Chio che lo trasformò nella

determinazione di due medi proporzionali tra due segmenti

assegnati. Volendo, ad esempio, determinare lo spigolo x tale che x3

= 2a3, basta determinare due medi proporzionali x,y tra a e 2a.

Da a : x = x : y = y : 2a si trae infatti x2 = ay , y2 = 2ax e di qui

x3= 2a3

Ippocrate di ChioV sec. a.C.

Il problema fu studiato da Ippocrate di Chio che lo trasformò nella

determinazione di due medi proporzionali tra due segmenti

assegnati. Volendo, ad esempio, determinare lo spigolo x tale che x3

= 2a3, basta determinare due medi proporzionali x,y tra a e 2a.

Da a : x = x : y = y : 2a si trae infatti x2 = ay , y2 = 2ax e di qui

x3= 2a3

Ippocrate di ChioV sec. a.C.

Nicola Melone

59

Menecmo, il primo a studiare le coniche come sezioni piane di un

cono, provò che (con linguaggio moderno) due medi proporzionali

x,y tra a e 2a si ottenevano come coordinate del punto di

intersezione tra le parabole x2 = ay , y2 = 2ax

MenecmoIV sec. a.C.

•P(x,y)

x2=ay

y2=2ax

Segmenti di cui si vogliono costruire i due medi proporzionali

Circa un secolo dopo, Eratostene ideò il mesolabio, uno strumentoper costruire i due medi proporzionali tra due segmenti assegnati

Eratostene III sec. a.C.

Nicola Melone

60

A

E

H

D

ab

Mesolabio: tre lastre di vetro uguali scorrevoli su sestesse, si dispongono ai lati estremi i due segmenti e sicollegano i punti E, H con una corda tesa da un peso




CBA

E

H

D

Nicola Melone

61

A

E

H

D

ab





Si fanno scorrere la seconda e la terza lastra finoad ottenere la configurazione in figura

CBA

E

H

D

CB

FH

D

G

A

E

x y

Nicola Melone

62

A

E

H

D

ab



I segmenti BF ed CG sono i due medi proporzionali tra AE e DH



Δ(EAB)∼ Δ(FBC)⇒ a:x = EB:FC

Δ(EFB)∼ Δ(FGC)⇒ x:y = EB:FC

Δ(FBC)∼ Δ(GCD)⇒ x:y = FC:GD

Δ(FGC)∼ Δ(GDH)⇒ FC:GD = y:b

a:x = x:y = y:b

Si fanno scorrere la seconda e la terza lastra finoad ottenere la configurazione in figura

CBA

E

H

D

CB

FH

D

G

A

E

x y

Nicola Melone

63

A

E

H

D

ab

Cissoide di Diocle: è il luogo descritto dal

punto P della retta r tale che d(O,P)=d(D,E), al

variare di r per O

tr

P ••D

•E

γ

•O(0,0)

•A(b,0)

Soluzione con la cissoide di DiocleNicola Melone

64

Diocle 240180 a.C.

t

• T

γ

S •

P •

•H

O • •A

Δ(SOA)≈ Δ(PHA) ⇒ SO : OA = PH :HA⇒ 2b : b = y : bx ⇒

e sostituendo nell’equazione della cissoide si ha

Δ(OHP)≈ Δ(OAT) ⇒ OH : HP = OA : AT⇒ x : y = b : AT⇒

onde

AT è il lato del cubo di volume doppio

Sia OA = b il lato del cubo da duplicare. Riferendoci alla figura , la cissoide

relativa alla circonferenza di diametro b ha equazione

x3 + (xb)y2 = 0

Posto S(0,2b) e P(x,y) il punto d’intersezione tra la retta SA e la cissoiderisulta:

Nicola Melone

65

Trisezione dell’angolo

Nicola Melone

66

Nicola Melone

67

Ad esempio la costruzione della trisezione

dell’angolo retto Λ(CAB) si ottiene facilmente come

mostrato in figura, in quanto Δ(ADF) e Δ(GAE)

sono triangoli equilateri congruenti e quindi

Λ(GAF) = Λ(FAE)= Λ(EAD)= 30°

F

C

D

G

BA•

••

E

•

La trisezione è un’ovvia generalizzazione del problema della bisezione di

un angolo ed è di natura differente dagli altri due perché angoli

particolari possono essere facilmente trisecati con riga e compasso

Nicola Melone

68

Denotato con G il punto medio di HF , per costruzione

risulta HG = GF = AC ed inoltre HG = GF = CG , in

quanto raggi della circonferenza circoscritta al

triangolo rettangolo Δ(FHC)A

FC

G

D B

•H

Osserviamo esplicitamente che tale costruzione non è eseguibile con riga e

compasso in quanto la costruzione di F necessita di considerazioni di

carattere metrico

Ippocrate aveva ottenuto anche una semplice costruzione per trisecare un

angolo

Dato l’angolo Λ(CAB) e costruito il punto D come in figura, sulla parallela ad

AB per C si fissi un punto F tale che, posto H= AF∩ CD, risulti HF = 2 AC

Ne segue Λ(CAF) = Λ(CGA) = 2 Λ(AFC) = 2 Λ(FAB) , ovvero Λ(FAB) = Λ(CAB)

Nicola Melone

69

Il matematico e filosofo Ippia di Elide (uno dei

principali esponenti della scuola sofista, vissuto nel V

secolo a.C.) , per risolvere il problema trisezione degli

angoli inventò una curva meccanica, nota come

trisettrice (o quadratrice) di Ippia

C

O

B

A

Nicola Melone

70

Il matematico e filosofo Ippia di Elide (uno dei

principali esponenti della scuola sofista, vissuto nel V

secolo a.C.) , per risolvere il problema trisezione degli

angoli inventò una curva meccanica, nota come

trisettrice (o quadratrice) di Ippia

Anche Archimede diede una costruzione molto semplice

della trisezione

Disegnato l’angolo Λ(CAB) in modo che AB e AC siano

raggi di una circonferenza, sia CD la secante tale che

DE=AB=AC=EA (secante non costruibile con riga e compasso)

Denotato con AF il raggio parallelo al segmento CD risulta

Λ(CAF)=Λ(ACE)=Λ(CEA) = 2Λ(EDA) = 2Λ(FAB)

C

E

A BD

F

C

O

B

A

Concoide di Nicomede (di polo O, base l e

parametri a, b): è il luogo descritto dai punti P,Q

di intersezione della retta t per O con la

circonferenza Γt (di centro Ct e raggio b) al

variare di t

Soluzione con la concoide di Nicomede

• Ct

• Q

P •

t

Γt

a•O

l

Nicola Melone

71

Nicomede II sec. a.C.

b

Nicola Melone

72

Siano Λ(AOB) un angolo acuto da trisecare, E un

punto fissato su OB (E≠O,B), l la retta per E

perpendicolare al lato OA , D = l ∩OA ed s la retta

per E perpendicolare ad l

• B

•A

•O

l

s

•D

E•

Siano Λ(AOB) un angolo acuto da trisecare, E un

punto fissato su OB (E≠O,B), l la retta per E

perpendicolare al lato OA , D = l ∩OA ed s la retta

per E perpendicolare ad l

Nicola Melone

73

Considerata la concoide di polo O , retta base

l e parametri a=d(O,D) e b=2d(O,E), siano C

il punto di intersezione tra la retta s e il

ramo di concoide non contenente O , H il

punto di intersezione tra OC ed l ed M il

punto medio di HC

• B

•A

•O

l

s

•D

E•

• B

•A

l

sE

M•D

N

•O

C

• H

Λ(COA) = Λ(AOB)

Per definizione di concoide si ha HC=b=2OE

Essendo M punto medio dell’ipotenusa del triangolo

rettangolo Δ(EHC), risulta EM = HM = MC , in

quanto la parallela ad EH per M taglia EC nel punto

medio N e i triangoli rettangoli Δ(ENM) e Δ(NMC)

sono congruenti

Ne segue EM = HM = OE , onde il triangolo Δ(OEM)

è isoscele e quindi

Nicola Melone

74

• B

•A

l

sE

M•D

N

•O

C

• H

Λ(COB) = Λ(EMO) = 2Λ(ECO) = 2 Λ(COA) ovvero

Quadratura del cerchio

Nicola Melone

75

Nicola Melone

76

Dei tre problemi, questo è senza alcun dubbio il più antico e famoso anche

all’esterno della cultura Matematica: esso è infatti citato:



dallo scriba Ahmes: nel papiro Rhind intorno al 1650 a.C. si legge

per costruire un quadrato di area uguale a quella di un cerchio di diametro 9

è sufficiente prendere come lato un segmento di misura pari a 8

Nicola Melone

77



dallo scriba Ahmes: nel papiro Rhind intorno al 1650 a.C. si legge

per costruire un quadrato di area uguale a quella di un cerchio di diametro 9

è sufficiente prendere come lato un segmento di misura pari a 8

da Aristofane (V sec. a.C.): nella sua commedia Gli uccelli si può leggere ilseguente dialogo

• Pistetero (nobile ateniese): e dimmi che sono questi tuoi arnesi?•Metone (geometra): squadre per l’aere: perché, ecco, quanto all’aspetto, l’aere,nel suo complesso, è come un forno. Io allora, di quassù, ci applico questasquadra ricurva e dentro ci inserisco il compasso, hai capito?

• Pistetero: No•Metone: Poi, dopo averla applicata, procedo alle misurazioni con unasquadra dritta: così, il circolo ti diventa quadrato …

Nicola Melone

78

Nicola Melone

79

da Dante Alighieri (12651321) nell’ultimo canto della Divina Commedia

(XXXIII del Paradiso), paragona l’impossibilità di spiegare l’armoniosa

presenza di natura umana e divina nei tre cerchi che simboleggiano Padre,

Figlio e Spirito Santo alla difficoltà di risolvere il problema della quadratura

del cerchio con i seguenti versi:

Nicola Melone

80






Qual è 'l geomètra che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond'elli indige,

tal era io a quella vista nova …

Nicola Melone

81

Anche nella cultura popolare questo problema viene citato nelle

situazioni difficili, infatti le espressione “far quadrare il cerchio”

oppure “trovare la quadra” designano questioni difficili da risolvere






Qual è 'l geomètra che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond'elli indige,

tal era io a quella vista nova …

Soluzione di Archimede

Nicola Melone

82

Archimede , 287212 a.C.

Nicola Melone

83

nella sua opera La misura del cerchio dimostra che

Proposizione 1: l’area del cerchio è uguale a quella di un triangolorettangolo, avente per altezza il raggio e per base la lunghezza dellacirconferenza

Nicola Melone

84



successivamente nel trattato Sulle spirali introduce una nuova curva

meccanica (spirale di Archimede) e dimostra

Proposizione 19: (vedi figura 1) denotato con T il punto di

intersezione tra la retta per O perpendicolare al raggio OP della

circonferenza Γ e la retta tangente alla spirale nel punto P

(dopo una rotazione di 360° della retta r che descrive la

spirale), la misura di OT è uguale a quella della circonferenza

Nicola Melone

85



rO

P

Γ

• •

• T

Figura 1



http://en.wikipedia.org/wiki/File:Archimedean_spiral.svg

Proposizione 19: (vedi figura 1) denotato con T il punto di

intersezione tra la retta per O perpendicolare al raggio OP della

circonferenza Γ e la retta tangente alla spirale nel punto P

(dopo una rotazione di 360° della retta r che descrive la

spirale), la misura di OT è uguale a quella della circonferenza

Nicola Melone

86



rO

P

Γ

• •

• T

Figura 1



Corollario: l’area del cerchio Γ è uguale a quella del triangolo Δ(POT)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Archimedean_spiral.svg

Nicola Melone

87

Per risolvere il problema della quadratura è sufficiente, quindi, costruire un

quadrato Q equivalente al triangolo Δ(POT)

Nicola Melone

88

area Q = BO2 = OA⋅OT = ⋅ OT = area Δ(POT) = area cerchio Γ

A tale scopo, sia A un punto della retta OT tale

che OA = , γ la circonferenza di diametro AT

e B il punto di intersezione tra γ e la retta OP

(figura 2)

Denotato con Q il quadrato di lato OB, risulta

O T

P

A

B

••

•Q

γ

Figura 2

Per risolvere il problema della quadratura è sufficiente, quindi, costruire un

quadrato Q equivalente al triangolo Δ(POT)

Quadratrice o trisettrice di Ippia: è il luogo

descritto dal punto P di intersezione tra la retta

OD e la retta per E parallela ad AB , al variare di

D di moto circolare uniforme su Γ e al variare

di E di moto rettilineo uniforme su OA, in modo

che, partendo contemporaneamente da A,

raggiungano contemporaneamente i punti C e

O, rispettivamente

Soluzione di Dinostrato mediante la trisettrice di Ippia

Ippia V sec. a.C.

Nicola Melone

89

O

C B

A

P •

•

•• •

•

E

D

•

Γ

Consideriamo il quadrato ABCD, il cerchio Γ di diametro AD

da quadrare (vedi figura) e fissiamo il riferimento cartesiano

con origine in A e assi cartesiani le rette AD e AB,

rispettivamente

Nicola Melone

90

B C

DA

•

• •

••

J1

1Γ

Nicola Melone

91

B C

DA

•

• •

••

J1

1Γ

Consideriamo il quadrato ABCD, il cerchio Γ di diametro AD

da quadrare (vedi figura) e fissiamo il riferimento cartesiano

con origine in A e assi cartesiani le rette AD e AB,

rispettivamente

La quadratrice di Ippia relativa a tali dati (a=1) ha equazione

e quindi il punto J, intersezione della curva con l’asse delle

ordinate x=0, ha ordinata

RS

QOUN

L

K

B C

DA

•

• •

• ••

•

• •

• •

••

J11

Γ

Costruiti il punto L, il rettangolo BLNO, sulla

retta NO il segmento OQ tale che d(O,Q) = ,

la semicirconferenza di diametro NQ ed il

triangolo rettangolo Δ(NRQ) (come in figura),

si ha d(B,L) = e quindi il cerchio Γ è

equivalente al rettangolo BLNO

In base al secondo teorema di Euclide risulta

allora

il quadrato UORS è equivalente al cerchio Γ

Nicola Melone

92

Sono risolubili con riga e compasso

i tre problemi classici ?

Nicola Melone

93

Nicola Melone

94

La straordinaria civiltà greca tramonta sostanzialmente nel V secolo

d.C. con la morte della matematica e filosofa Ipazia, senza una risposta

alla risolubilità con riga e compasso dei tre problemi classici

Nicola Melone

95

Per avere una risposta definitiva bisognerà attendere la nascita nel XIX secolo

dell’Algebra moderna, in particolare della teoria dei campi e delle

equazioni algebriche




Nicola Melone

96




In particolare nel 1837, PierreLaurent Wantzel (18141848) pubblica

nel Journal des mathématiques pures et appliquées un articolo

intitolato Ricerca sui metodi per riconoscere se un problema può essere

risolto con riga e compasso, in cui dimostra tra l’altro :




http://it.wikipedia.org/wiki/1814


Nicola Melone

97







In particolare nel 1837, PierreLaurent Wantzel (18141848) pubblica

nel Journal des mathématiques pures et appliquées un articolo

intitolato Ricerca sui metodi per riconoscere se un problema può essere

risolto con riga e compasso, in cui dimostra tra l’altro :

Teorema di Wantzel. Un numero reale costruibile con riga e compasso èalgebrico e il suo polinomio minimo ha grado del tipo 2n



Nicola Melone

98

• non è costruibile, essendo algebrico con polinomio minimo x3 – 2

Nicola Melone

99


• l’angolo non è trisecabile:

dalla formula di triplicazione cos3θ = 4cos3θ 3cosθ , segue l’identità

che per θ = diventa

ovvero è algebrico con polinomio minimo 4x3 – 3x – , onde e quindi

non sono costruibili

Nicola Melone

100







• π non è costruibile, essendo trascendente (teorema di Lindemann del 1882)

Nicola Melone

101

Quindi







• π non è costruibile, essendo trascendente (teorema di Lindemann del 1882)

I TRE PROBLEMI CLASSICI NON SONO

RISOLUBILI CON RIGA E COMPASSO

Nicola Melone

102

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Costruzioni con riga e compasso: I tre problemi classici della Matematica greca