Embed Size (px)
Citation preview
TUJUAN UMUM:MAHASISWA MAMPU MENERAPKAN
METODE CLAPEYRON DALAM ANALISASTRUKTURBALOK STATIS TAK TENTU
METODE CLAPEYRON(METODE PERS. TIGA MOMEN)
INyoman Merdana, ST, MTJurusan Teknik Sipil. Fak. Teknik
Universitas Mataram
2
Metode CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Metode ini diusulkan oleh org yg bernama Clapeyron (1857) dan dikembangkan Lbh lanjut oleh Mohr (1860)
IAB=I1 IAB=I2L1 L2
BC’
A
A’A1 C
C1
hchA Balok dua
bentang yg bersebalan
Diagram akibat beban luar
A2A1
a1 a1
A4 A5
A3A6
L1/3L1/3
L1/3L2/3
L2/3L2/3
MB
MCMA
Diagram M akibat momen ujung MA, MB & MC
3
Penurunan rms CLAPEYRON …(1)
Metode Clapeyron
☺ Hub. antara MA, MB dan MC dpt diperoleh dari kondisi keselarasan utk blk yg menerus/kontinyu di titik B
☺ Grs singgung kurva elastis BC’ di ttk B terletak pd satu grs Lrs dgn grs singgung kurva elastis BA’ di B
☺ Kedua grs singgung di B pd kurva elastis di kedua sisi B satu thd lain hrs ttp membentuk grs lurus (sdt 180)
☺Karena A1BC1 hrs berupa grs lurus maka:
2
1
1
1LCC
LAA
Dimana AA1=hA-A1A’
…(C.1)
4
Penurunan rms CLAPEYRON …(2)
Metode Clapeyron
BdisinggungGrsdariAdiLendutan
hAAhAA A1A1
141311A1 LA
32LA
31aA
EI1hAA
2
1B21A11A1 LM
31LM
61aA
EI1hAA …(C.2)
dan
CC11 hBdisinggungGrsdariCdiLendutan
h-CCCC
5
Penurunan rms CLAPEYRON …(3)
Metode Clapeyron
CC11 hBdisinggungGrsdariCdiLendutan
h-CCCC
c22625221 hLA
31LA
32aA
EI1CC
C22C
22B221 hLM
61LM
31aA
EI1CC
…(C.3)
Pers (C.2) dan (C.3) disubstitusikan ke pers (C.1) maka diperoleh pers. Tiga Momen (Clapeyron)
6
Pers. Umum “CLAPEYRON”
Metode Clapeyron
2
C22C
22B22
2
21B
21A11
11
A
Lh
LM61LM
31aA
EIL1
LM31LM
61aA
EIL1
Lh
Pers. Clapeyron didptkan dgn mengalikan (6E) kpd setiap/semua suku pada pers (C.4) diatas.
..…(C.4)
penurunanakibat
2
C
1
A
luarbbnakibat22
22
11
11
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6EhL
6EhILa6A
ILa6A
IL
MIL
IL
2MIL
M
…(inilah pers. yg dikenal dgn nama “Pers Tiga momen/Clapeyron”)
..…(C.5)
7
Contoh Soal 1;
Metode Clapeyron
Data2:E=konstan; P1=80kN; P2=72kNP3=24kN; q1=24kN/m; q2=16kN/mGambarkan Diagram M&D utk balok
diatas
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
Contoh berikut ini penerapan pers Clapeyron utk meng-gbr diagram M&D akibat bbn luar tanpa disertai penurunan tumpuan
8
Gbr Diagram M; Simple beam
Metode Clapeyron
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q2q1 P1 P2 P3
A1 A3
A2
A4
48x2=96kNm
1/8x16x122
=288kNm1/8x24x62
=108kNm
80x12/4=240kNm
Diagram M akibat bbn luar
432624121A 3
1
14404128012
21A1
23041216121A 3
3
28896621A4
MA=0 kN.mMD=-24x1,5=36kN.m
Data2: P1=80kNP2=72kNP3=24kNq1=24kN/mq2=16kN/m
36A5
A6
A7
A8
A9
Diagram M akibat M ujung
(215,9) (146,6)
9
Penerapan CLAPEYRON pd tiap bentang
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB & BC:
luarbbnakibat
ccccc
ccB
cA 10I12
62304610I12
6144063I6
3432610I12M
10I12
3I62M
3I6M
2MB(3,2) + 1,2MC = -1555,2 …(a) →MA=0 kNm (sendi)
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC & CD:
luarbbnakibat
c
310
cccD
ccC
cB 2I6
288610I12
62304610I12
6144062I6M
2I6
10I122M
10I12M
1,2MB + 8,4MC = -1495,2 …(b) →MD=-36kNm (jepit)
10
Penyelesaian pers. Simultan
Metode Clapeyron
Tentukan MB dan MC dgn menyelesaikan pers (a) & (b) tadi:6,4MB + 1,2MC = -1555,21,2MB + 8,4MC = -1495,2
CMC
B
A
1495,21555,2
MM
8,41,21,26,4
Det [A]=(6,4x8,4)-(1,2x1,2)=52,32
→[M]=[A]-1[C]
0,1220,0230,0230,161
6,41,21,28,4
52,321A 1
Metode Clapeyron
11
Momen MB & MC
→[M]=[A]-1[C]
kN.m146,644--215,997
1495,2--1555,2
0,1220,023--0,0230,161
M
Jadi MA=0 kN.mMB=-215,997 kN.mMC=-146,644kN.m danMD=-36 kN.mselanjutnya buat diagram D dan M
12
Free body Diagram
Metode Clapeyron
24,44
5,559
C D146,64 36
72x4/6146,6/6
24
36/6 666,441
72kN
24x6/2A
B215,997
215,9/636 108
7236
24kN/m
B C16x12/2
215,997 146,64
80/29640
215,9/12 18146,6/12 12,2141,8 130,2
80kN16kN/m 36
24
24
E
Jadi : RA=36kN; RB=249,8kNRC=196,6kN; RD=29,6kN∑V=0; (24x6+16x12+80+72+24)=36+249,8+196,6+29,6Oke! (setimbang )
RB=249,8kN RC=196,6kN RD=29,6kNRA=36kN
13
Momen Maksimum
Metode Clapeyron
Bentang ABMx=RA(x)-½q1(x)2
→Dx=RA-q1(x)=0x=RA/q=36/24=1,5m dari titik AMmak=36x(1,5)-½(24)(1,5)2=27kN.m
Bentang BC:Mmak terjadi di bwh beban P=80kNMx=RBC(6)-½q2(6)2-215,997=346,8kN.m
Mmak=141,8x(6)-½(16)(6)2-216=346,8kN.mBentang CD:MG=RCD(2)-MCD=-13,8kN.m dan MD=-(24)x1,5=-
36kNm
14
Grs Elastis bentang AB
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang AB:
)
616)(
31(A
2A
)3E(I1θ 5
1
cA
3
CckNm
EI0,001)
3647,991(
2432
)3E(I1
)
616)(
32(A
2A
)3E(I1θ 5
1
cB
3
CckNm
EI72)
3647,9912(
2432
)3E(I1
Searah jrm jam
Searah jrm jam
647,99215,997621A5
1295,98215,9971221A6
15
Grs Elastis bentang BC
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang BC:
)
12112)(
31(A)
12112)(
32(A
2A
2A
)10E(I1θ 76
32
cB
3
C76
32
ckNm
EI71,5)
31(A)
32(A
2AA
)10E(I1
3
C7
632
ckNm
EI85,3A
32
3A
2AA
)10E(I1
Searah jrm jam
Berlawanan arah jrm jam
(72kNm3)
)
12112)(
32(A)
12112)(
31(A
2A
2A
)10E(I1θ 76
32
cC
16
Grs Elastis bentang BC
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang CD:
3
C984
310
cC
kNmEI85,3A
31A
32A
6)2E(I1θ
3
C984
38
cD
kNmEI45,3A
32A
31A
6)2E(I1θ
879,86146,641221A7
439,93146,64621A8
879,86146,641221A7
Lihat slide no 8
17
Metode Clapeyron
Diagram M, D & kurva Grs elastis
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
θA
θB
θCθD
Diagram M(kN.m)
Kurva Grs Elastis
Diagram D(kN)
346,8
36146,6216
27
(-)
(+)
(-)(+)
13,8
36
108
141,8
130,2
66,4
5,6
24(+) (+)
(+) (+)
(-) (-)(-)
45
35
18
Contoh Soal Metode Clapeyron (Penurunan Tumpuan)
E=200x106 kN/m2
I=400x10-6 m4
Suatu balok menerus spt gbr diatas. Tumpuan B mengalami penurunan d=15mm relatif terhadap tumpuan yg lain. Buat diagram Momen dari balok itu bila tumpuan balok tadi turun tanpa disertai dgn beban luar yg bekerja
B’A B C D
3EI 10EI 2EI
6m6m 12m
d
Metode Clapeyron
19
Pers. Clapeyron
penurunanakibat
2
C
1
A
luarbbnakibat22
22
11
11
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6EhL
6EhILa6A
ILa6A
IL
MIL
IL
2MIL
M
Gunakan Pers. Tiga Momen (Clapeyron)
Bila tdk ada bbn luar maka:
2
C
1
A
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6EhL
6EhIL
MIL
IL
2MIL
M
Perhatikan bhw hA dan hc masing2 sebenarnya adl. besaran yg menunjukkan bhw tumpuan A dan C relatif lebih tinggi dari B
Metode Clapeyron
20
Pers. Clapeyron bentang BC-CD
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB-BC:
120,015)6E(
60,015)6E(
10I12M
10I12
3I62M
3I6M cBA
0,0225EI1,2M6,4M2M cBA
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC-CD:
120,015)6E(
2I6M
2I6
10I122M
10I12M
DCB
0,0075EI3M8,4M1,2M DCB
Metode Clapeyron
21
Momen MB dan MC
Tumpuan A dan D adl. SENDI maka MA=MD=0; dan EI=80.000 kN.m
6,4MB+1,2MC=+18001,2MB+8,4MC=-600
Selesaikan pers. Simultan diatas utk peroleh MB dan MC
6001800
MM
8,41,21,26,4
C
B
kN.m114,6-303,6
600-1800
122,0023,0023,0161,0
MM
C
B
Jadi MB=+303,6kN.m dan MC=-114,6kN.mMetode Clapeyron
Det [A]=52,32
22
Free body diagram
MBA/L1
AB
MBA/L1
MBAB C
(MBC+MBC)/L2 RCB
MBC MCB CD
MCD/L3 RDC
MCD
RAB=MBA/L1=50,6 kN (↑)
RBA=MBA/L1=50,6 kN (↓)
RBC=(MBC+MCB)/L2=34,85kN (↓)RCB=(MBC+MCB)/L2=34,85kN (↑)
RCD=MCD/L3=19,1kN (↑)
RDC=MCD/L3=19,1kN (↓)
RB=RBA+RBC=85,45kN (↓)RC= RCB +RCD=53,95kN (↑)
RA=RAB=50,6kN (↑)
RD=RDC=19,1kN (↓)
Metode Clapeyron
∑V=0;RA-RB+RC-RD=0kN50,6-85,45+53,95-19,1=0
23
Diagram M & D
(+)
(-)
303,6
114,6Diagram Momen(kN.m)
Diagram Gaya Geser (kN)
Kurva Grs Elastis
19,1
34,85
50,6
34,85
19,150,6(+)
(-)(+)
A 15mmB C D
AVBV
CV DV
Metode Clapeyron
24
Soal latihan 1
Metode Clapeyron
Kerjakan soal dibawah ini sbg latihan: Buat diagram M,D dan Grs Elastis bila: P1=1kNP2=2P1q=1kN/mE=konstan
A B C D2m L1=6m L2=6m 3m 3m
2Ic 4Ic 3Ic
P2P1
E F
Diagram M(kN.m)
Diagram D(kN)(-)
(+)(-)
(+)(-) 0,644
1,357
2,971
3,029
1 0,0058
(-)(+)
(-)(+)
1,9652 2,139
1,932,45
25
Soal latihan 2
Metode Clapeyron
Buat gambar diagram Momen dan Gaya geser dgn metode CLAPEYRON bila kekakuan lentur EI adl sama sepanjang bentang(gunakan D=20mm, Ic=5,4x105 cm4, E=20x106kN/m2 bila PERLU)
A B CD
P P
3m 3m 1m
(Ic)
(1)
AC
B
P=65kN
6m 9m
(Ic)D (Ic)(2)
ACB
P=65kN
6m 9m
(Ic)D (Ic)(4)
B’ D
A BC
D
P P
3m 3m 1m
(Ic)(3)
B’20mm
A CDB
P P
3m 3m 1m
(Ic)(2)
B’D
3m
P P
1m1m
(Ic)
26
KASUS BALOK MENERUS DENGAN TUMPUAN JEPIT
Metode Clapeyron
METODE CLAPEYRON
27
Blk menerus dgn Tump Jepit
Metode Clapeyron
Data2:E=konstan; P1=80kN; P2=72kNP3=24kN; q1=24kN/m; q2=16kN/mGambarkan Diagram M&D utk balok
diatas
Contoh berikut ini adl. penerapan pers Clapeyron utk blk menerus dgn tumpuan JEPIT akibat bbn luar tanpa disertai penurunan pd tumpuan
AB C D
3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
28
Gbr Diagram M; Simple beam
Metode Clapeyron
A1 A3
A2
A4
48x2=96kNm
1/8x16x122
=288kNm1/8x24x62
=108kNm
80x12/4=240kNm
Diagram M akibat bbn luar
432624121A 3
1
14404128012
21A1
23041216121A 3
3
28896621A4
MA≠0 kN.mMD=-24x1,5=-36kN.m
Data2: P1=80kNP2=72kNP3=24kNq1=24kN/mq2=16kN/m
Ic=~Ao
Lo
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q2q1 P1 P2 P3
36A5
A7
A8
A9
A10
Diagram M akibat M ujung A6
29
Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang Ao-A dan AB:
11
11
1
1B
1
1oA
oAo IL
a6AIL
MIL
~L
2M~L
M
ccB
cA 3EI6
343263EI6M
3EI62M00
4322M4M BA …(1)
30
Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB dan BC:
22
33
22
22
11
11
2
2C
2
2
1
1B
1
1A IL
a6AILa6A
ILa6A
IL
MIL
IL
2MIL
M
...M10EI12
10EI12
3EI62MM
3EI6
cccc
BAC
1555,21,2M6,4M2M cBA
ccc 10EI12623046
10EI12614406
3EI634326
…(2)
31
Pers. Clapeyron utk Bentang BC & CD
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC dan CD:
33
44
22
33
22
22
3
3D
3
3
2
2C
2
2B IL
a6AILa6A
ILa6A
IL
MIL
IL
2MIL
M
c
310
cc 2EI62886
10EI12623046
10EI12614406
...M2EI6
2EI6
10EI122MM
10EI12
Dccc
CBC
1495,28,4M1,2M CB …(3)
32
Persamaan Simultan
Metode Clapeyron
13C13MC
B
A
33A
1495,21555,2432
MMM
8,41,201,26,42024
Selesaikan pers (1-3) secara simultan:4MA+2MB + 0MC=-432 …(1)2MA+6,4MB+1,2MC=-1555,2 …(2)0MA+1,2MB+8,4MC=-1495,2 …(3)
→[M]=[A]-1[C]Selesaikan persamaan diatas secara simultan utk peroleh MA, MB dan MC
33
Momen tumpuan MA,MB & MC
Metode Clapeyron
Dgn bantuan spreadsheet Excell dihitung [A]-1 sbb:
33
1
0,1229510,027320,0136610,027320,1912570,09563
0,0136610,095630,29784A
246,147279,215
36066,0
2,14952,1555
432
122951,002732,0013661,002732,0191257,009563,0
013661,009563,0297814,0M
Momen yg terjadi adl. Sbb:
Selanjutnya buat Free body diagram, Diagram M&D serta Grs Elastis dgn langkah spt pd contoh no 1 terdahulu
34
Metode Clapeyron
Diagram M, D & kurva Grs elastis
θA=0
θB
θCθD
Diagram M(kN.m)
Kurva Grs Elastis
Diagram D(kN)
36,18
107,82
141,67
130,33
66,54
5,46
24(+) (+)
(+) (+)
(-) (-)(-)
45,67
34,33
AB C D
3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
346,74
215,28
26,90
36147,25
(-)
(+)
(-)(+)
14,640,361
35
Cara menghitung INVERS dgn Excell
Metode Clapeyron
1. Tuliskan / input matrik [A] di halaman spreadsheet yg ada (misalnya cell A1:C3)
8,41,201,26,42024
2. Tempatkan kursor pd cell A5, pilih menu “FORMULA”, “INSERT-FUNCTION”, dan pilih “MINVERSE”, masukkan cell A1:C3 sbg “ARRAY”, PILIH “OKE”; (selanjutnya pd cell A5 berisi nilai 0,297814)
3. Blok/Sorot cell A5:C7, tekan “F2”, dan terakhir tekan CTRL-SHIFT-ENTER” secara bersamaan (→akan terbentuk matrik pd cell A5:C7, semua angka ini adl invers dari matrik [A] )
4. Utk meyakinkan, periksa hasil tadi dgn rumus: [A]x[A]-1=[I]
36
QUIS 1; METODE CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: P1=Nomor mhs, 3 digit terakhir (kN)q= 2P1 (kN/m)E=konstan
Quis 1 Mektek IIITgl : 05 Maret 2012Waktu : 100’ (09:30-11:10)Sifat : Open book(s) A B C D
L1=6m L2=6m 2m 2m
2Ic 4Ic3Ic
PP
E
2mL3=6m
F
q
37
QUIS 1 SUSULAN; METODE CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: 1) Tumpuan B mengalami penurunan
D=20mm relatif thd tumpuan lainnya.2) P1=Nomor mhs; 3 digit terakhir (kN)
q= 2P1 (kN/m),E=konstan
Quis susulan khusus utk Mhs peserta KKNQuis Mektek IIITgl : 21 Maret 2012Waktu : 100’ (09:30-11:10)Sifat : Open book(s) A B C D
L1=6m L2=6m 2m 2m
2Ic 4Ic 3Ic
PP
E
2mL3=6m
F
q
B’
D
