12
European Journal of Control (2002)0:1±12 # 2002 EUCA On the Nonlinear Ripple-Free Sampled-data Robust Regulator B. Castillo-Toledo 1 and S. Di Gennaro 2, * 1 Centro de InvestigacioÂn y de Estudios Avanzados del IPN, Unidad Guadalajara, Av. LopeÂz Mateos Sur. No 590, A.P. 31-438, 44550, Guadalajara, Jal., MeÂxico; 2 Dipartimento di Ingegnieria Elettrica, University of L'Aquila, Monteluco di Roio, 67040 L'Aquila, Italy In this paper, we present a control scheme for robust regulation of a discretized nonlinear system ensuring a ripple-free behavior in the intersampling time. We show that, as in the case of linear systems, the controller must contain an internal model to ensure that the continuous output tracking error decays asymptotically to zero. We also show that under certain conditions, a linear controller obtained from the discretization of the linear approximation of the nonlinear system, guaran- tees the robust regulation. Keywords: Exponential holder; Nonlinear digital control; Robust regulator theory. 1. Introduction The extensive use of digital computers for imple- menting control laws gives rise to the problem, of great relevance in control theory, of describing the dynamic behavior of the coupling of continuous time systems with digital devices via A/D and D/A con- verters. In fact, when a control law is implemented via digital devices, two solutions are possible. The first is to design a continuous control law and to use sam- pling periods sufficiently small with respect to the plant dynamics. The second is to discretize the plant dynamics and to design a digital control law on the basis of the of sampled measures; this law is then converted into an analog signal generally using zero- order holders. This second solution is in general more adequate since the stability property is ensured, but only at the sampling instants; therefore, such a digital control law is in open-loop in the intersampling. In particular, the problem caused by a digital control law applied via zero order holders to a continuous time system is the presence of ripple in the output tracking error signal. In fact, it is well known that if the steady-state of the references to be tracked or the disturbances acting on the plant is not constant (sinusoidal, polynomial, etc.) then the sampled-data controller implemented by a zero-order holder gives rise to a ripple error. This means that the asymptotic tracking is guaranteed at the sampling instants, and the steady-state is zero, but in the intersampling an error exists and does not decay. This is due to the fact that in the classical control schemes using zero-order holders the condition under which this ripple vanishes is violated. In fact, it is well known that a necessary and sufficient condition for guaranteeing a ripple-free tracking is the continuous internal model principle [11,26]; in fact, the ripple can be eliminated if and only if an internal model of the reference and/or dis- turbance is present in the controller structure. This means that when using simple zero-order holders it is not possible to reconstruct the internal model, except for the constant case. Therefore, this problem should be solved employing a different approach, such as that Correspondence and offprint requests to: B. Castillo-Toledo, Centro de Investigacio n y de Estudios Avanzados del IPN, Unidad Guadalajara, Av. LopeÂz Mateos Sur. No 590, A.P. 31-438, 44550, Guadalajara, Jal., MeÂxico. E-mail: [email protected] *E-mail: [email protected] Received 18 April 2000; Accepted 15 October 2001. Recommended by G. Dumont and D. Clarke.

On the Nonlinear Ripple-Free Sampled-data Robust Regulator

Embed Size (px)

Citation preview

�������� ����� �� ��� �� ������������� ���� ����

�� ��� ������� � ������� �� ������ ������ ��������

�� ��� ��������� ��� �� �� �������!"���� �� �� #�$�� �%�&��' � ( �� �� ����� �$��)���� �� #*+! ������ �����,���! �$� -���' ) .� ��� ���� +� /0�! ��*� 1��213! 22//�! �����,���! ��! .�' 4�&�5 ������ �6�� � �� #�%�%������ �� ��&�! ���$���� ( �� -7�8���! .�� ��&� �� 9���! :;�2� -7�8���! # �(

�� ���� ���� � ���� � ����� � �� �� ������������� �� � ��� ���� ������� ����� ������ ������� ������ �� �� ����������� ���� � ��������� �� �� �� �� �� ���� ������� �� ���������� ������ �� ������ ���� �� ��� ���� �� ��������� ������ �� ���� � � ��� ��������� ������ ��� � ���� ���� ���� ��� ���� ���������� ����� ������ ������� ��� �� ��� �������� �� ������ ������������ �� �� ������� ������ �������� �� ����� ���������

��������� �4����� �� <����5 +������� ��%� �&�� ��5 9�=�� ��%�� �� <���(�

�� �����������

�<� �4 ����$� ��� �� ��%� � &�6�� ��� ��� �6���6�� ��% &�� �� �>� %�$�� ���� � <� ���=�6! ��%��� ���$��&� �� &�� �� <���(! �� ���&��=��% <��(��6�& =�<�$��� �� <� &�����% �� &�� ������ �6��(� �6� >� < ��%� � ��$�&�� $�� �?� ��� �?� &���$�� ���� #� ��& ! ><�� � &�� �� �> �� �6��6�� �� $����%� � ��$�&��! >� ��� ���� ��� �����=�� �<� ���� �� � ����%� � &�� ������ &�� �� �> ��� � ��� ��6����% ������� �����&��� ( �6� >� < �����& � <���� �(��6�&�� �<� ��&��� �� � ���&�� �)� <� ���

�(��6�&� ��� � ����%� � ��%� � &�� �� �> �� <�=���� �� <� �� ��6��� 6�������5 <�� �> �� <��&��$�� �� �� � �� ����% ��%�� %�����( ����% )��������� <������ �<�� ��&��� ��� ��� �� �� %����� 6������8�� � ���&� <� � �=�� ( ������ ( �� �������! =� ��( � <� ��6���% ��� �� �5 <�������! ��&< � ��%� �&�� �� �> �� �� �������� �� <� �� ����6���%� #���� �&���! <� ���=�6 &����� =( � ��%� � &�� ���> ������ $�� )��� ����� <����� � � &�� ������ �6� �(� �6 �� <� ������&� �� ����� �� <� �� �� ��&@��% ����� ��%��� #� ��& ! � �� >� @��>� <� �� <� � ���(�� � � �� <� �������&�� � =� ��&@�� �� <���� ��=��&�� �& ��% �� <� ��� �� �� &��� �� ����������! ��(��6��! � &�� <�� <� ��6������ �&�� ���� �6��6�� �� =( � )��������� <���� %�$������ � � ����� ������ �<�� 6���� <� <� ��(6� � �& ��&@��% �� %����� ��� � <� ��6���% ��� �� �! ��� <� � ���(�� � � �� )���! =� �� <� �� ����6���% ������� �4�� � ��� ���� �� ��&�(� �<�� �� ��� � <� ��& <� �� <� &����&� &�� �� �&<�6�� ����% )���������<����� <� &���� ��� ����� ><�&< <�� ����� $����<���� $��� ��� #� ��& ! � �� >� @��>� <� � ��&�����(��� �����&��� &���� ��� ��� %����� ����% � ���������� ��&@��% �� <� &�� ������ �� ���� 6��� ����&���A��!�:B5 �� ��& ! <� ����� &�� =� ��6��� �� �� ��� ��(�� �� �� ���� 6��� �� <� �������&� ���?�� ���� ��=��&� �� ������ �� <� &�� ���� � ��& ���� �<��6���� <� ><�� ����% ��6�� )��������� <����� � ���� �����=� � ��&��� ��& <� �� ���� 6���! �4&�� ��� <� &��� �� &���� �<�������! <�� ���=�6 �<���=� ��$�� �6��(��% � �������� ������&<! ��&< �� <�

�������� ��� ������� ����� ��� �� ��� ��������! ��� ���� #�$�� �%�&��' � ( �� �� ����� �$��)���� �� #*+! ������ �����,���! �$� -���' ) .� ��� ���� +� /0�! ��*� 1��213! 22//�! �����,���! ��! .�' 4�&�� ��6��� ����C%��&��$�� �$�64"��6��� ��%�����C���������6���

��� !" #��� $%%%& # ��� !' ( ��� $%%!� ������ �� )� *����� ��� *� �����

><�&< 6�@�� ��� �� �� <(=��� &�� ���� &��� � � ��=( � ��%� � &�6����� �� ���>�� =( �� ����%�� ���� 6������� <�� ������=� &<���& ���� �& �� � &�� �� �&<�6�

�� <� �� ��=�� ����5 <�� ��! <� &���=�� ( �� 6���� �����% <� �� �� ��&@��% ����� >� <�� &�� ��� ����������� =����� ><�� �������% <� � �=�� ( �� <�&�������� �(� �6� �6��% <� �������� ������&<��! <� ��%�� �� <���( ���$���� �� �� ���� ��% �&<�6� ��&&�6���<! ����� &�� ��� ����6� ����! � ��=�� ��(�6� � �& �������&� ��&@��%� #� ��& ! �� ��&�� >��@�A3!�:B! � ��=�� ��%�� �� �&<�6� ��� �������� �(� �6�>�� ������ ��� �<�� �� �� ����� ����=�&@ &�� ����><�&< ����� �� <� �4�� ��&� �� �� �� ���� 6���!�= ����� =( ������%! �� �����=�! �� �66������ �� <��4��(� �6 �(��6�&� �� � �� �=���$�=� ���! ><�&<��>� %����� ��� �� � <� �����=� � ���(�� � ����� � ��� <� ��6����=� $���� �� <� �(� �6����6� ���� #� ���� ���! � ��6��@�=� ��� ��� �� <� <� &�� ���� �� &��� ��& �� �� <� =���� �� <� ����������4�6� ��� �� <� �������� �(� �6 ��� �� <� &���><�� <� �66������ �� ����� <� &�� ���� =�&�6����( ������D�� ���&�� �)�� ����� �(� �6�! �6��% � <���! ��

A��B! �� <(=��� &�� ���� >�� ������ ��� �<���! � >������ �� �� <� � &�� ������ �� ���� 6��� >����&�����( ��� �����&��� � ���$��� ������������������� #� A�/B! �� <(=��� ��=�� &�� ���� >�������� ��� �<�� &�� ���� >�� ���6�� =( � ���&�� ������ &�� ���� ��� �� ����% ����� �66������><�&< %����� ��� � ����� ���� =�<�$���� E� < � ��������� ������&<! �� A��!�1B ��� �������&�� <�����! �6� ��� � &�� ���� >�� ���� �� ����� � ��=�� (��6��� � <� ������ �� <� �� ����6���% �� <� &��� ������� �(� �6� ><��� �� �� � &�� =� ��6��� � ��������� �� ��� ���! �� A�;B! �� <(=��� 6� ��� � ��=�� &�� ���� >�� ������ �� ��� ����� �(� �6� >� <���(�5 �� <�� &��� <� &�6����� �� �6��� � � �&�� ������ �� ���� 6��� ���>�� =( � 6� ��� ���%� � &�6����� ��� F <�� >��@� <�$� ��� �� ����6� ���<��� <� ��6� ���=�6 A�2!�;!�2B�� #� ��� ��&���! �� A1B! <� ���=�6 �� � ���� ��% <� ����� �� <� ��&@��% ����� <�� =��� ��&�� ��� ����� �(� �6� =(�� ����&��% � ������6��&� ����4 %�$�� =( <� 6�4��6�6 ���@ �� <� ��&@��% �����! ��� =( ��$��% ��� �� �6�)� ��� ���=�6� D���(! ��� <� ��6�� &����� � ��� � �� �������&� ��%�� ��� ��� ��� ����� �(�� �6�! �� A�1B! � ���&����� �� �������� ��� �� ��6����%� &�� ���� �� ���(��% ����%� &��� ���� �! �4������� �� ��6� �� ������� ���&���&� ���� �� �� ��6� �� �(� �6���6 8��� � ���! >� < �6�<���� �� <� &�6�� � ��������&���&(�#� <�� >��@! ���% <� ���� �� A�/B! >� ������ �

���������� ��=�� ��%�� �� �&<�6� ��� ��������

�(� �6�� E� �<�> <� � �� �����=� � �= ��� � ��=�� &�� ���� �� <� =���� �� <� ���&�� �)� ��� �� <������ �����4�6� ��� �� <� &�� ������ ���������(� �6! <� ��! >� �� �� ���� � ���&�� �)� <� �� ���&�� ������ �������� �(� �6�.����$��! >� �<�> <� <� ���&�� �)�� ��� ��� &���&���� >� < <� &�� ��������� ��� � <� ��6��� ��� �� ���<� ����� �� ��%���)�� �� ���>�� �� ��& ��� � >�

%�$� ��6� ����6������� �� <� ��=�� ��%�� ������ �! ><�� �� ��& ��� 1 >� �� ����&� <� 6��� ���� �� <� ������ ��& ��� 2 �� ��$� �� � �� ��� �� �$��4�6�� ��� ����(! ��6� &��&������ ��� ���>��

�� ��������

-� �� &������� <� �������� �6����$����� �(� �6���&��=�� =(

�� � ���! �!�!��! ����� � ����! ��� � ���!�!��! �1�

><��� �� �! �� � ��� <� � � � ��� ���� $����=��� <� ��� ! ><��� �(��6�&� ��� ���&��=�� =( �8� ���!��� �� � �� � ����6� �� $�& �� ><�&< 6�( �@�$���� �� � ���%<=��<��� � � � �� <� ��6��� �����.����$��! �� �� <� � � � �� �� �4 ���� ��%��%����� ��! ><�&< ���$���� <� �������&� ��%��� ��� <� ��� ��=� ��� ��%�� �� >�! ��� �� ���&��=�� =( ����# �� >�� < �� ��% <� >� ������� <� <� �4��(� �6��� ���� �� ������ �� �5 <�� �� � <(�� <���� ><�&< ���� �� $������� �� ���& �&� ���=�6�! ���&� <� �4��(�� �6 6���� <� �������&� ��� ��� ��=��&� ��%�������& ��% <� ��� � D���(! �8� �1� ���&��=�� <� ��&@��% ����� � �! ��6�( <� ��������&� =� >��� <� ��� �� �� � ��� <� �������&� �� �����<� ����� �������� ����� �99*� ��� <��

�(� �6 �� ������� �� <� ���=�6 �� ��,�& ��% <� ���� ��=��&� ��%���! ��&@��% <� �������&�� ��� 6���� �����% <� &�������� � �=�� ( ������ (! ><�� <�����6� ��� $��( �� � ���%<=��<��� �� <� ��6���$����� # �� >� @��>� <� <�� ���=�6 &�� =���$�� =( �� ��6����% � &�� ��� ��=6������ �� <�� � � ���&� ��!��! ><��� <� ��&@��% ����� �� )���! ���=( ��������% � � ��& �$� ��� ��$����� =( ����=�&@�.��� ���6�(! <� 99* &����� � �� ������% � �(��6�&&�� ���� �� <� ���6

�� � ���! �!� � ����! �2�

��&< <� ! ��� � ��6����=� ����6� �� $���� � ��� ���%<=��<��� � � � �� <� ��6��� $����! <�

� +� ���������,���� ��� -� *� )����

���>��% &���� ���� <���

!�" -��������� �<� �8���=���6 ���� ��! ��� ��! �� �� <� &�������� �(� �6 >� <�� ��� ��=��&�!

�� � ���!����! �!��!�� � ���! ���! �!���!

�� ��(6� � �&�( � �=��!�" ��������� D�� ��&< ��� �� &���� ���

�����! ����! ����� �� � ���%<=��<��� �� <� ���%��! <� ��� ��� �� <� &�������� �(� �6!

�� � ���!����!�!��!�� � ���! ���!�!���!�� � ����!

�� ������ <� &���� ��� �6��� ��� � ��� �&� ��� ��� � <�� ���=�6 &�� =� ����� ��

A�!�:B� �<�� ��� ��� �� � � �� �� ��6� �� <� �4�� ��&��� �������� 6�����%� ���� ���!��! ��� ���� ���!���� ���(��% <� ��%�� �� �8�� �����

����!����

���� � �����!��!�����!���!�!��!����!��

������ � �����!��! ��� � �����!��!�!��!

�/�

��� � ��6����=� $���� �� � � �� .��� ���&���(! � ��@��>� <� ��� �� <� &���� ���� ����� ><�&< <�99* &�� =� ��$�� �� <� �4�� ��&� �� 6�����%�

��� � ���!��! ��� � ���!�� �����!��

���

����!��

���

���

>� < ���!��� � ��� ���!��� �! ��� � � � �! =� <������� �� � ���%<=��<��� �� <� ���%�� �� ��!�����! ��! ��$��% <� �8�� ����

����!����

���� � �����!��! ���!��!�!��� � �����!��!�!��

�:�

��� � <� ��6����=� $���� �� � � �! ��� ��&< <� !��� ��&< �� �! � � � !� <��� �4�� � � �� �� ��� ��6=������! ���! � � � ! ���� �� ���(��%

.�� ����!�� � �������!�� ���.�����!�� � � � ����.��� ����!�� �;�

><��� .�� ����!�� � ���� ��� <� -�� ����$� �$� ��������� .������!�� � ��.��� ����!����� ����5 �� � >� <.������!�� � ����!����<� 6�����% ���� ���!�� �������� � <� � ���(�

� � � )��� �� �� ��=6������ ��� ���� ���!�� �� <�� ���(�� � � ���� ><�&< 6�@�� ��$����� <�� � ���(�� � � )��� �� �� ��=6������� ����� ���� �;� �4����� <� ��& <� <�� � ���(�� � � ���� &�� =� %����� ��!���������� ( �� <� $���� �� <� ����6� �� $�& �� �!=( <� ����� �(��6�&� �(� �6

�� � ��!

��� � /��3�

><���

� ���

���

��

����

����! � � ���%���! � � � !���

/ �

/� � � � � �

� /� � � � �

���

� � ��

� � � � � /�

������

������

�0�

�� ����

���

���

����

����!

�� �

� � � � � � �

� � � � � � �

��� ��

� ��� � �

� ���

� � � � � � �

��� ��� ��� � � � ����

��������

��������!

/� � � � � � � �� ����

��� ��0 � .0�� ����!��! �� �! � � � !�! 0� �! � � � ! �� �<���(� �6 &�� =� $��>�� �� �� �66������ �� <� �4��(�� �6 ��� �� � � ����� �=���$�=� �(� �65 � �� ��� >�� <�� ��% <� ��&�����( ��� �����&��� &���� ���� ��� <���� ��� �� <� 99* &��� =� %�$�� &���������%!��� ��� �� �;�! � �������� ���& ��� A�!�:B� �<�� >����� ��6��� � &�� ���� �� <� 6��� %�����& �����������6 �2���<� &�� ���� ><�&< ��$�� <� 99* �� %�$�� =(

� � � �#� +�1 )���� � )�� � � )��� � � � )�� � 1 � / �!

����

(� �� 2������ �����3 -���������� ����� ������ 1

><���

#� � ����!�! �! ����

�������������

!

+� � ����!�! �! ����

�������������

!

�� � ����!�! ����

����������

����

��� <� ��6��� 6� ��&�� �� <� ����� �����4�6� ����� �(� �6 ���! �1�! ��� 1 ��� )�! )� 6�@� � �=� <�6� ��&�� �#�+�1� ���

#� +�/� �

� )�

)�

� �� �� �!

�����& �$�(� F=$����( <� � �=��)�=�� ( ��� �� �& ��=�� ( �� <� �����

�#�!+�� ���#� +�/� �

� ! �� �� �

�!

����

�����& �$�(! ��� ��&�����( &���� ���� ��� ��$�=�� ( �� <� 99*��� �<�> <� <� &�� ���� ���� ��$�� <� 99* ���

<� �(� �6 �����1�! � �� �����&��� � $����( <� �8� �/���� �� ������ ��� � � � � A�!�:B� �<� ����� �����4��6� ��� �� <� &�������� �(� �6 � <� ��6�������6� �� $��� ��� �� >� < �� � �� %�$�� =(

��� �� �

���

��� �

#� +�1 +�/

)��� #� +�1 )��� �

)��� )��� �

���

���

���

���!

><��� �(��6�& 6� ��4 �� ��6��� �

#� +�1 +�1 +�/� #� )��� +�/� )��� �

��

��! ��1�

><�&< &�� =� 6��� � �=� <��@� � <� ����6� ������ <� ����� ����� .����$��! ���&� <� 6�����%����!��! ���!�� �� ���( �8� �:�! ��� &�� &<����

��� � � �

� � ���!�� � �

����!���

!

>� <

� � ����!�� �

����!��.�����!��

���

.��� ����!�����

����!��.�����!��

���

.��� ����!��

�����������������

�����������������

��2�

�� <�

����!�� � ����!����

���� � .����!��

� ��

� � � �����!��! �� ��/�

<� ��! <� ��&��� �8�� ��� �� �/� �� �� �������D�� <��6���! �� ��%

��� � ���!�� � / � � /��� � ������� �����!���!

<� ���� �8�� ��� �� �/� �� �� ������ ��� +�>! <��(��6�& 6� ��4 �� <� ����� �����4�6� ��� �� <�&�������� �(� �6 ���! ����! ��� �� %�$�� =(

# +1 +/)��� #� +�1 )��� �)��� )��� �

��

��

><�&< �� � �=� ��� � <� ����6� �� $���� ��� �� ���� �=� ���%<=��<��� � �� <� ��6��� $����! ���&� <� 6� ��4 ��1� �� � �=�! ��� <�� <� &���������(� �6 ���! ����! ��� <�� � &�� �� 6������ � ��! �! ��%�$�� =(

��� � ���!��! ��� � ���!�� �� � �

><�&<! =( <(�� <����! �� ������ <� <��� �8�� ��� �� �/��E<�� �����% >� < &�� ����� �6��6�� �� =(

��%� � ��$�&�� ��� )��������� <�����! � �� >��@��>� <� <� ��6��� $������ �� <� &�� ������ �6� &��� ���� ���� 6�%< �� ��6��� �� ��� �=� &���������(� �6 A��B� #� <�� &���! ��� <�� � ����%� <� &��� ���� ����& ( �� <� =���� �� <� ��6��� $������ ��

2 +� ���������,���� ��� -� *� )����

<� �������� �(� �6 �����1�! ��6�(

���� �� � ����! ��! ��!��!��! ��:�

���� �� � ����!���! ��;�� � ����!��!��! ��3�

><��� �� ��! ��! ��!��!��! �� ��!��� ��� ���& ���� �� <���6���% ������ � ���� A:!��B! ��� �� ���� ������ �� ���� �����! ��� �� ���� �����! ����� ����������# �� �����=� � ���6�� � <� ���&�� � �6� &����

����� �� <� 99*! ><��� ��$�=�� ( &�� =� ��&�� ���� ��6� �� �4�� ��&� �� <� �������� 6�����%����� � �����!��! ���� � �����!��! ���� � �����!����$��% <� ��%�� �� �8�� ����

���������!��� ��������!��!��������!���!��!��!��0�

���������!�� � ��������!��! ��! ����� � �������!��!��!�� ����

����(! ��� <� ��� ��� �� <� 99* �� <� ���&�� � �6� �� ��%! ��� &��� ���&��� �� <� ��6� >�( ���&��� ��& � &�� ���� ><�&< %����� ��� � )��� �� �� ��&@��% ����� ��( � <� ��6���% ��� �� �! =� �� <��� ����6���% �6�! <� �� �� ��&@��% ����� >���!%�����(! =� �� )�����! ��� � <� ��& <� <��� ���� 6��� &���� =� �������&�� ><�� ����% )�������� <�����! �4&�� �� <� ��� �&��� &��� �� &��� �� �������&� ��%����#� ����� � �&<��$� )��� �� �� ��� �� <� �� ���

��6���%! >� ������� �� <� ��4 ��& ��� � &�� ��������%��� �� <� =���� �� <� ����� �����4�6� ��� �� <� ���&�� �)�� �(� �6 ��� �� <� �� ���� 6����(��6�&� �= ����� ��� <� &�� ������ �6� ���=�65 � �� @��>� <� <�� �� ��8����6�� �� ��&�����( ��������&��� � ������ � ���������� �� �� ��&@��%�

#� � ������� ������ �������� $���� ������ �������

D��6 <� ���&������ �� <� ���$���� ��& ��� � �� &��� <� ! �� ����� � ��6��� � <� ����� �� <� �� �� ��&@��% ����� �����% <� �� ����6���%! >� ���� ��������&� <� &�� ������ �� ���� 6��� �3� ���6 � ����&�� � �6� ����)� ���

���� �� � ��������

�<�� &�� =� ���� �6��6�� ��% <� &�� ������� ���(�� � � ���� ��

������ �� � /��������! � � ��! �� ����+� � <� <� ��6 ���! ������� �� <� ���������

����! �� ����)�� =( �� ����% ��$�&�� �<� ��� ��� ���8� �3� �� %�$�� =(

���� � �������!��� �� ��% �� �� �! ��� ��! >� %�

���� �� � ����������� � ����������� � ��������!������ �� � /���� �� � /��������

�� A�! �� ><�&< ���&��=� �� ��� �� ��( <� =�<�$���� <� ��6���% ��� �� � =� ��� <� �� ����6���%=�<�$���! ���&�

���� �� � ���������� �� � ������� � ���! �� ����! � � ��! ��! � � �! �! �! � � �

#� ><� ���>�! >� >� &�������! <�������! ������ ><�&< �� ���&�>��� &�� ������ ��� �������� �� <� ����6� �� �� A�! ��� ���� ��% ��&< � &�� �� =(������� ���! ��! <� ��6���% �� <� �(� �6 ��� >� =����� �� =( A��!��B

���� �� � 3���! ��!�����! ��!��!�� ��1�

+� � <� <�� ���&��� ��� �� �� <� ��6� �� ����:����3�! =�&���� �� <��� �8�� ���� �� ���� ><�&<�� &��� �� �� <� �� ����6���% �� ����! ><�� �� ��1�! <� ���� �� �� &��� �� =� >��� ��&&����$� ��6���%��� �� ��E� &�� ��> ���6�� � <� ������ ����� ������

������ ����� �9D99*� �� <� ���=�6 �� ������%� �(��6�& &�� ���� �� <� ���6

���� �� � �����! �� ��2�

���� � �����! �� � � ��! �� ��/���&< <� ��� ��&< � � � <� ���>��% &���� ���� ����� ������

����� -��������� �<� ��� ��� �� <� �(� �6

���� �� � 3���! ��!�����! ��! �!��!���� �� � �����! ����! �!���

� <� ��6���% ��� �� � %��� ��(6� � �&�( �)���5

(� �� 2������ �����3 -���������� ����� ������ /

����� ��������� D�� ��&< ��� �� &���� ��� �����! �����!����� <� ��� ��� �� <� &�������� �(� �6

�� � ���!�����! ��!�!�� � � ��! ��!���� �� � �����! ����!��!���!�� � ����!

%����� ��� <�

�6��� ��� � �

�� ��� <� 99* ���=�6! <� ��� ��� �� <�9D99* &�� =� �4������� &���������% <� 6� ��&��

#�� � �#��! +�� �� �

�#����+�! ��� � ��

�= ����� ���6 ��6���% <� ����� �����4�6� ��� �� <� �(� �6 ���! �1�! � <� ��6��� ����6� �� $������� ���E� ��> � � � <� 6��� ���� �� <� ������

%������ �� -� �� ����6� <� ���>��% <(�� <����<���

�G��� �<� ���� �#�!+�� �� � �=��)�=�5�G��� �<��� �4�� 6�����%�

��� � ���!��! ��� � ����!�� �����!��

���

����!��

���

���

>� < ���!��� � ��� ���!��� �! ��� � � � �!=� < ������� �� � ���%<=��<��� �� <� ���%�� ����!��� ��! ��! ��$��% <� �8�� ���� �:�! ��� � <� ��6����=� $���� �� � � �! ��� ��&< <� !��� ��&< �� �! � � � !� <��� �4�� � � �� �� �����6=��� ���! ���! � � � ! ���� �� ���(��% �;�5

�G�1� �<� ����

#�� 4��

� ��

� ! ��� �� �

�� �� �& �=�! >� <

4�� �� �

�#��+� �/ �������� ! �� � ���!

��� � %�$�� =( �0��

�<�� <� 9D99* �� ��$�=� =( <� ���>��%&�� ����

���� �� � �#�� +��1� )������ �� )���! ���� �� � )����� �� �� �� )���!���� �� � 1� �� /��� �� � � ��! ��!

��:�><��� 1�! ��� )�� �)�� )���� ������ � �=� <�6� ��&�� #�� +��1�! ���

#�� 4��

� ��

� )��

)��

� ��� �� �!

�����& �$�(�

5���� D��� ! � �� $����( <� &���� ��� ����� �� �������� �� <�� ��6! � �� >�� � <� �(� �6 ���! >� <�� � ��� <� &�� �� �> %�$�� =( ��:�! ��

����� � #������� +����1� �����/��� ������ �������! ���� ��! �!��!

���� �� � �#�� +��1� )������ �� )������! ���� �� � )����� �� �� �� )�������

� � ���! �� ����! � � �! �! �! � � � ! � � ��! ��!><��� � <�� =��� &��������� <� ����� ���� �� ��� <� <� ���& ��� �� �@�� �� � �&&��� <� �������� ��6�� ���&� >� ���� � ������ <� <� ��� ��� �� <����$���� �(� �6 %��� � )��� � <� �6� ��� �� � ����� ��� <� ��6��� ����6� �� $����! � �� &������� <� ��6���% �� <� ���� �8�� ���! >� < �� ����� �� � #���� +��1� �� 4�� ��

�����! ��! ���� ��! �! ������! ���� �� � �#�� +��1� )������ �� )�������! ���� �� � )����� �� �� �� )�������!

��;�><���! ���&� �� � ��!

� �����

��

�#���������+�/������ ��

�� �

�#��+�/����� �� �4��

����������% <� ����� �����4�6� ��� �� �(� �6��;�! ��� <��

���� �� ���� �� ���� ��

���

���

�#�� +��1� 4��

)����� �#�� +��1� )������ �

)����� )����� ��

���

���

����� ����� �����

���

���!

: +� ���������,���� ��� -� *� )����

><��� �(��6�& 6� ��4! �� �� <� &�� ������ &���! ����6��� � <� 6� ��4

#�� +��1� +��1� 4��

� �#�� )������ 4��

� )����� ��

��

��!

><�&< &�� =� 6��� � �=�! <��@� � �/��� ��� �/�1���<�� �<�>� <� ����� �� $���������� ��� �����! >� ���� �<�> <� <� ����� � ��� ��

)����� � <� ��6���% ��� �� �! ��� <�� <� <� ��&@��% ����� �� )��� ��� �� <� �� ����6���%� D��! � �� �����=� � �<�> A:B <� �� <��� �4�� � � ��� ������� ���!��! ���� ���!�� � �8� �:�! <�� <��� ����4�� � � ��� ���

���� � �����!��!

���� � �����!�� �������!��

���

������!��!

����

����

� <� �8�� ����

���������!�� � ��������!��! �����!��!��!��!� � �������!��!��!��!

��3�><���

������ � ��.������� � ����

��

��.��������

� ���� �.������� ��

��.�� ������

���1� ��0�.����$��! � 6�( =� �<�>� <�

���������!�� � ��������!��! ��! �1��

��6� � � ��� ��� �� >� ��� <� <�� ��� ��� &����&���� >� < <� ���& ��� ���!�� � <� ��6���%��� �� �! ��6�( � ��� .��� ���6�(! >� 6�(�=���$� <� <� � ��& ��� �� � ��� ��� � �8� �1�� &��=� %�$��! �� �� <� &�� ������ &���! =(

�����!�� � �������!��

+�>! �� �� A:B! >� ����6� <� <� ���& ��� ������!��&�� =� �4������� �� � ��>�� �4������� �� � ������ <�&�� ������� �6� ��� ��� ����!��! ��6�(

������!�� � �0��

�0

0����0���!��!

�������!�� � ����!����� !�1��

><�&< �� &��$��%�� ��� � �6� ����%<� D��� ! 6�@��%��� �� <� �4&<��%� <����6 �� -�� ������ A��B! <���&��� &�6����� �� <� �� �<��� ���� �1�� &�� =�>�� �� �� ���>�

����������!�� � �0��

�0

0����0���.����� !��

� �0��

�0

0���.�����0��!������ �1��

� �0��

0���

0

� �0

0�.�� ����0���!������

�11��<� ��&��� &�6����� �� <� ��%< �<��� ���� �� �1��(����

���������!�� � �0��

����

�0�

0����0������!����� !

�� <� ���6 �1�� ��� �= ����

�0��

0���

0�

� �0

0�.�� ����0���!������

� �0��

����

�0�

0����0������!�����

�8�� ��% <� ��6� �� <� ��6� ��>�� �� � ���>��@� ��

><�&< <��@� � ���� ��/� &�� =� ���� �&�( �� ������=( �� ��%

���0��!�� � ������!��! 0 � �! �! � � �G��&�! =( �1��! �8� �1�� =�&�6��

������!�� � �0��

�0

0��������!��

� ��.�������!����� !

�������!�� � �������!��!�������!�� .�������!����� � �������!�� ��������!��!�������!�� �.�������!�����

.��������!����� � �������!�� ���������!�� ���������!��!���

(� �� 2������ �����3 -���������� ����� ������ ;

��� <������� ���! ���!�� &�� =� �@�� ��������!�� � ����!��! ��6�( <� &�� ������ ���� ���� D��6 <��! ��� ��� � <� � ��& ��� �� <�&�� ���� ��:�! � ���>� �66���� �( <� �8� �1�� ���� ������ ��� <�� � ��� %��� ��(6� � �&�( � )����D���(! � �<�> <� <� &�� ������ �6� ��&@��%

����� ��� %��� � )��� ��(6� � �&�(! �� � <� <�&�� ���� ��:�! ><�� � ���� �! %����� �� �4�& ( <�&�� ������ � ���(�� � � ���� ���� ������ ��� )�����% <� &�� ������ ��&@��% ������ �

����& �� # �� >�� < �� ��% <� ��� &��� ��& ��% <�&�� ���� ��:� � �� �� ��&�����( � @��> �� <�� <�&�� ������ � ���(�� � � ��� � ���!�� �� <� ���&�� ���� ���� � �����!��! =� ��( <� &�� ������ � ���(�� � � ���� ������ � ���!��� G�>�$��! �� <� ���&��&��� ><�� <� ���& ��� ���!�� �� ��(��6��! �� ����4�6�� �� <� &��� �� ����%��� �(� �6� >� < ��(���6�� ��6�! <� 6� ��4 � &�� =� �� ��6���� >� <�� @��>��% ���!�� �4�& (! =� ��( <� 6�4�6� ��%����� <� ��(��6��� ��� <�� ��6��@�=� ��� ��� �� <�&�� ���� �� <� � �� =���� �� <� ���&�� �)�� �������� �� <� �(� �6 ���&��� ���� +� � ��� <� <� ���� � <� ���&��� �� � &�6=��� ��� �� � ���&�� � ��� �&�� ������ ��� � �<� &�6�� � &�� ������ &�� ������ �8��$��� � <� ���&�� � ��� ��( �� <� ����� <� =� < ���$��� <� �4�& � ���(�� � � ���� ������ �6��� ��� <� �(��6�&� �� <� �(� �6 >� <�� <� )����� �� ��=6������� ����( <� ������� =�<�$������$���� =( =� < <� &�� ����� �� �������� �

'� (� ��������)� *+� ��

�� ��� �� � <� ������6��&� �� <� �������� �&<�6�!>� &������� <� �(��6�&� 6��� �� <� &�� ����

������% ��&�� �� %�$�� =( A�3B

��� � ��!

��� � �� �1� ���� �� &���� �! � �� �����

�<�����% <� �4��(� �6 ��

��� � ���!

��� � ���!

��1 � ��2!

��2 � ��1!

>� < ������ ! ������ �! �1���� �! �2���� �! <��(� �6 6�( =� �4������� �� <� � � � ��!�� ��

��� � ��!

��� � �� �1� ���� ���2 �! � �� ��

�<� ��� ��� �� �8� �:� �� <�� ����� =( �@��%� �� ���� ���6 ><�&<

����!�� � ���

���! =( ���>��� ��=� � � ����!

����!�� � ���!

���!�� � �� ����� ����� ���2 �1� �� ��!

���6 ><�&< >� �= ���

.����!�� � ��� ����� ������ ����1 1������ �� ��!

.�����!�� � ���� ����� ������ ���

��2 1��������� �1��� ����� ���2 �1�� �����2 1��������� �1��� ���� ��� ������2 :������� ����1� �� �1!

.1����!�� � ���� ���� ������1 :�1��1� ������� �� �2!

.2����!�� � ���1 ����� ������2 0���������� ����1��� ���1 ����� ������2 0����1 ���� ��� ������2�� 0�2�� �����1 ��� 0������ ������2 �� �/!

./����!�� � 0�2�� �����2 ���� 0������ ������1 �� �:!

.:����!�� � 0�2�1 �����/ ����� 0������ ������2� 0�2�1 �����/ ����/ 0�2�� �����1�� 0�2���� ������� 0�2��1 ��� ������/ � ��:!

3 +� ���������,���� ��� -� *� )����

��� <�� <� �66������ �0� �� >�� �� ��

� �

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

0�2�� � ������ 0�2 � �� ���� �

��������

��������

# �� �� ���� ��% � �� � <� �� >� ���( <� ���&�����%�$�� �� A�:B ��� ��(��6�� � ���(�� � � ���� �! >�>��� �= ��� �� ��%< ���6������� �66��������<�����% �� �! �� �! �� ��1 �! ��� ���/! ��� ���/��� <� &�������� ���� � A����! ���:B ���A���/! ��1! ��1/! ��2! ��2/! ��/! ��//! ��:B! <� ����6� ��$���� �� <� &�� ����

��� �� � 3����� )�����!� � 1�/

��� �

����� � � ��! ��!

���

�<� ��6�� ��� ���� � ��� �<�>� �� D�%� ��1 �����$��� $���� �� ��� #� � <� ��%����! � � ���� ������ ��1! = ��� ��� ���/! ��� & ��� ��� ���/�

�� 6�( =� �=���$��! <� �� �� ��&@��% �����&��$��%�� � )��� ��(6� � �&�(! �$�� ��� $���� �� ���������� ���6 <� ��6��� $����

,� -���������

#� <�� >��@ >� <�$� ������ �� � ��=�� ��%�� ���&<�6� ��� ���&�� �)�� �������� �(� �6�><�&< ����������������� =�<�$���� �<�� ��� ��� �� �&&�6���<�� =( <� ����� ���! �� <� ���&�� � &�� ���� � ��& ���! �� �&�� ������ ��=�(� �6! ��6�(! �� �� ���� 6���!><�&< ��>� �������& ��� �� <� � ���(�� � � ���� ���&�����( ��� )�����% <� &�� ������ �� �� ��&@��%����� ��� � <� ��6����=� $���� �� <� �(� �6����6� ���� E� �<�> <� �� <� �66������ �� �����! <��! �� �� <� &�� ������ &���! <� &�� ���� �� ��������� E� �<�> ��� <� ! �� >� 6�( �4��& ! <���� ��� �� <� &�� ������ &��� &���&���� � <� ��6����% ��� �� �! >� < <� ��� ��� �� <� ��=�� ����&�� �)�����=�6��� ��� �� �$� �4�6����6��� �� �� <� ������6��&� �� <� ������ �� �&<�6��

�<�� >��@ �� ������ �� =( <� .�4�&�� �����,�+�&���� �� ����&�� ( ��&���%H' �! .�' 4�&� ��� ������%�� +�)����� ��� 9�&��&<�! # �(�

3� �

�;100 ���12 � � � � � �

��:/�� ���0� � � � � � �

�2�/;; � � �1 ��2/� ���2/ ����1 �

�:1�;3 � ����; � ��00� ��2/ ���2� ����1

���;/�� � ����: ����; �032� ��00 ��2�2 ���2�

��:0112 � ��/�� ����: ���;: �032� ��100 ��2�2

02:�0:� � �2//� ��/�� �00�1 ���;: �2�3� ��100

/1�0101 � 3:1;� �2//� ��0�;0 �00�1 1/::/ �2�3�

���������������

���������������

5

)� �

1220�

��;��;

�2�/;;�:1�;3

���;/��

��:011202:�0:1/1�0102

���������������

���������������

5 /��� �

1�� &�� � 1�/ &�� �� ���� &�� 1�1�� ��� � 1��� ��� �� ��1� ��� 1��1��2 &�� � ��1 &�� �� ��3 &�� 1��1��2 ��� � ��1 ��� �� ���2 ��� 1����2 &�� � ���/ &�� �� ��2� &�� 1����2 ��� � ��1� ��� �� ����� ��� 1�

����������

����������

1� � ;/�0; 2��3�� �

(� �� 2������ �����3 -���������� ����� ������ 0

0 5 10 15 20

a

b

c

Time

–0.13

–0.065

0

0.065

0.13

–0.13

–0.065

0

0.065

0.13

–0.13

–0.065

0

0.065

0.13

��� �� F� �� ��%�� $� �������&� ��%���

0 5 10 15 20

a

b

c

Time

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

��� �� F� �� ��&@��% ������

�� +� ���������,���� ��� -� *� )����

��$�������

�� �(���� �#! ��� *���&�� D! #������ �� F� �� ��%�� ����� ��&�� ��� �������� �(� �6�� ���@<�I ����! ��� ���00;

�� ���� � ����&� ���� �� &�� �� 6������ <���(� �����%���J���%! +�> K��@ �03�

1� ����$�� �! .��&� �! L�&&� *� 9�=�� ��������������=�� &�� �� ����%�� #� ��� �� �0005 ;��:��/:2�/;1

2� ��� �� �! �� ������ �� ��(6� � �& �� �� ��&@��%��� �#�F �������� ���&�� � �(� �6�� 1� < ��������&� ����&����� ��� ��� ��� ���%< ��! ��%��� �00�!�� �3����3�:

/� ��� �� �! �� ������ �! .���&� �! +��6�����(�� ��+������� ��%�� ��� ��� � &��� �� ���&�� �� �6� �(� �6���(� ��� �� -� �0015 ����� /;�:/

:� ��� �� �! �� ������ �! .���&� �! +��6�����(�� ��F� ��%�� ��� ����� ��6���%� #��� ����� �� �6��� �� �00;5 2��:�� �� 3:2�3:3

;� ��� *���&�� D� 9�=�� ��&@��% ��� � &��� �� ����������� �! �&<��$�� $�� � ����� &�� ����� #�� *��&�����%��� <� 1��� ��������&� �� ��&����� ��� ��� ��! �001!�� 1//��1///

3� ��� *���&�� D� 9�=�� ��%�� ��� ��� �������� �(� �6���=,�& � 6������=� ��� ��=��&��� #�� *��&�����%� �� <� 1�� �������� ��� �� ��������&�! �00/! ��1�/:�1�:�

0� D���&�� ��! E��<�6E.� �<� �� ���� 6��� ����&������ ����� 6� �$����=� ��%�� ���� ��� .� < F� �6�)�0;/5 �� �;���02

��� D���&�� ��� �<� ����� 6� �$����=� ��%�� �����=�6� �#�. ��� �� F� �0;;5 �/� 23:�/�/

��� D���@�� D! +����� �� ����%� �� ���������� 6� ��$����=� ��=�� ���$�6�&<����6� #��� ����� �� �6��� �� �03:5 1��;�� ::��::2

��� ������ F! � � -! -��%<� �� 9��������� �����=�� ��&@��% ��� 6� ��� � ��6������ � �(� �6�� #� ��� �� �00/5 :��:�� �21;��2//

�1� ������ F.! -��%<� �! �����6= �! J��%� *� 9�=�� ���������� ��%�� ��� ��� ��&@��% ��� ����6� ����������� ��6������ � �(� �6�� #��� ����� �� �6��� �� �00:5 2��;�� ��1����1;

�2� G�� -! .�&<� �+! K� G� ��6� 8��� � �$� ������ ����� ��6������ � &�� �� �(� �6�� #��� ����� �� �6��� �� �00�5 2������ �;�;��;�/

�/� #������ �! �(���� �#� F� �� ��%�� ��� �� ���������(� �6�� #��� ����� �� �6 ��� �� �00�5 1/� �1���2�

�:� #������ �� +������� &�� �� �(� �6�� �����%��! ������00/

�;� M�=�6=� *�! K��% �<� ��6� ������ &�� ��������%� ��� ����� �6����$����� �(� �6�� #��� ������� �6 ��� �� �00�5 1:���� ��:����

�3� M<�� GM� +������� �(� �6�� .�&6��� *�=��<��%��6���(! +�> K��@ �00�

�0� M�6��� .� *�����$� ��� �� � �=��)�=�� ( �� � &�� ������� �6����$����� ����� �(� �6 �� �� ���&�� �)� ����#� �(� �&� �00�5 ������ :/�0�

��� .���&� �! +��6�����(�� �� F� <� ��6���% �� ������ ���( �& &�� �� �(� �6� #�� *��&�����%� �� <��2 < ��������&� �� ��&����� ��� ��� �� �03/! ���2/;��2:�

��� .���&� �! +��6�����(�� �� .���6�6 �<��� ��������� ���&�� �� �6� �(� �6� ��� ����=�&@ � �=��)� ����

0 5 10 15 20

a

b

c

Time

–0.8

–0.4

0

0.4

0.8

–0.8

–0.4

0

0.4

0.8

–0.8

–0.4

0

0.4

0.8

��� #� #��� ��%���

(� �� 2������ �����3 -���������� ����� ������ ��

#�� *��&�����%� �� <� �1�� ��������&� �� ��&����� ������ ��! -�� ��%���! ���������! �03;! �� 0;0�03:

��� .���&� �! +��6�����(�� �� D��& ���� �4����������� �������� ���&�� �� �6� �(� �6�� .� < �(� �<���(�0305 ��� �1/��/2

�1� *�) 9! ��(�� G� F� �6� ���������� ����=�� &�� ������ #� ��� �� �0035 ;��:�� ��3;����2

�2� M<�(� ��� �! ��(�� � � D���=�&@ &�� �� �� ������(� �6� =( 6� ��� � �����>�� < 6���� ���� #�������� �� �6 ��� �� �0025 10�:�� ��0����0;

�/� E� K��! K�� +�L� � ����� ���� ��6������ � ��=�� ���$�6�&<����6 &�� ���� ����% �4����� �� <���#��� ����� �� �6 ��� �� �0025 10�:�� ��3;���0�

�:� K�6�6� � K� � ���& ��� ���&� ������&< � ��6����� � &�� �� �(� �6� ��� ��&@��% ���=�6�� #�������� �� �6 ��� �� �0025 1/��2�� ;�1�;��

�;� K�� +L! E� K�� .� ��� � ��=�� ���$�6�&<����6&�� ����� �� ����� ���( �(� �6� ����% <(=���� ��& ���� #� ��� �� �0025 :��:�� ��:/���3�

�� +� ���������,���� ��� -� *� )����