第 41课时　操作探究型问题

考向互动探究

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探究一、折叠剪拼操作探究型问题

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例 1 ． [2013• 北京 ] 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 41 － 1①所示，在边长为 a(a>2)

的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE ＝ BF ＝ CG ＝ DH ＝ 1 ，当∠ AFQ ＝∠ BGM ＝∠ CHN ＝∠ DEP ＝ 45° 时，求正方形 MNPQ 的面积．

图 41－ 1考向互动探究

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小明发现：分别延长 QE 、 MF 、 NG 、 PH ，交 FA 、 GB 、HC 、 ED 的延长线于点 R 、 S 、 T 、 W ，可得△ RQF 、△ S

MG 、△ TNH 、△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形 ( 如图 41

－ 1 )② ．请回答：(1) 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 ( 无缝隙，不重叠 ) ，则这个新的正方形的边长为 ________ ；(2) 求正方形 MNPQ 的面积；(3) 参考小明思考问题的方法，解决问题：

a

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如图 41－2，在等边三角形 ABC 各边上分别截取 AD＝BE＝CF，再分别过点 D、E、F作 BC、AC、AB的垂线，得到等边△ RPQ，

若 S△ RPQ＝3

3 ，则 AD的长为________．

图 41－2

23

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例题分层分析　　 (1) RQF△ 、△ SMG、△ TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．

(2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的 4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．

(3)按图 41－ 1的作法补全图 41－ 2，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积．

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解 析 (1)a (2)四个等腰直角三角形面积和为 a2， 正方形 ABCD的面积为 a2， ∴ S 正方形 MNPQ＝S△ ARE＋S△ DWH＋S△ GCT＋S△ SBF＝4S△ ARE＝

4×12×12＝2.

(3)23.

提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“ 尖角三角形” ，如下图． 这样，外面的三个“ 尖角三角形” 的面积之和恰为阴影三角形的面积！

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解题方法点析　　此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．

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探究二、中心对称操作探究问题

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例 2 ． [2013• 陕西 ] 问题探究(1) 请在图 41 － 3①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2) 如图②， M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线 ( 要求其中一条直线必须过点 M) ，使它们将正方形 AB

CD 的面积四等分，并说明理由．

图 41－ 3

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问题解决(3) 如图③，在四边形 ABCD 中， AB CD∥ ， AB ＋ CD ＝ BC ，点 P 是 AD 的中点，如果 AB ＝ a ， CD ＝ b ，且 b ＞ a ，那么在边 BC 上是否存在一点 Q ，使 PQ 所在直线将四边形 ABC

D 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由．

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例题分层分析　　 (1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？

(2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？

(3)把正方形改为菱形呢？

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解 析 (1)如图所示．

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解 析 (2)如图，连接 AC、BD相交于点O，作直线 OM分别交 AD、BC于 P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交 AB、CD于 E、F两点，则直线OM、EF将正方形 ABCD的面积四等分．理由如下： ∵ 点O是正方形 ABCD的对称中心， ∴ AP＝CQ，EB＝DF. 在△ AOP和△ EOB中， ∵ ∠AOP＝90° －∠AOE ∠， BOE＝90° －∠AOE， ∴ ∠AOP＝∠BOE. ∵ OA＝OB ∠， OAP＝∠EBO＝45° ， ∴ △ AOP≌△ BOE. ∴ AP＝BE＝DF＝CQ， ∴ AE＝BQ＝CF＝PD.

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解 析 设点 O到正方形 ABCD一边的距离为 d，

则12(AP＋AE)d＝

12(BE＋BQ)d＝

12(CQ＋CF)d＝

12(PD＋

DF)d. ∴ S 四边形APOE＝S 四边形BEOQ＝S 四边形CQOF＝S 四边形FOPD. ∴ 直线 EF、OM将正方形 ABCD的面积四等分． (3)存在．当 BQ＝CD＝b时，PQ将四边形 ABCD的面积二等分． 理由如下： 如图，延长 BA到点 E，使 AE＝b，延长CD到点 F，使DF＝a，连接 EF.

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解 析 ∵ BE∥ CF，BE＝BC＝a＋b， ∴四边形 EBCF是菱形． 连接 BF交 AD于点M，则△ MAB≌△ MDF. ∴ AM＝DM， ∴ P、M两点重合． ∴ P点是菱形 EBCF对角线的交点． 在 BC上截取 BQ＝CD＝b，则 CQ＝AB＝a. 设点 P到菱形 EBCF一边的距离为 d，

则12(AB＋BQ)d＝

12(CQ＋CD)d＝

12(a＋b)d，

∴ S 四边形ABQP＝S 四边形CDPQ. ∴当 BQ＝b时，直线 PQ将四边形 ABCD的面积分成相等的两部分．

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解题方法点析　　平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．

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探究三、平移旋转操作探究问题

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例 3 ． [2013• 山西改编 ] 数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 41 － 4 ，将两块全等的直角三角形纸片△ ABC 和△ DEF 叠放在一起，其中∠ ACB ＝∠ E ＝ 90° ， BC ＝ DE

＝ 6 ， AC ＝ FE ＝ 8 ，顶点 D 与边 A

B 的中点重合， DE 经过点 C ， DF 交AC 于点 G.

求重叠部分 ( DCG)△ 的面积．

图 41－ 4

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(1) 独立思考：请解答老师提出的问题；(2) 合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△ DEF 绕点D 旋转，使 DE AB⊥ 交 AC 于点 H ， DF 交 AC 于点 G ，如图41 － 5 ，你能求出重叠部分 ( DGH)△ 的面积吗？请写出解答过程．

图 41－ 5

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例题分层分析　　 (1)为求△ DCG的面积，需要研究该三角形的边角特征；

(2)当将△ DEF绕点 D旋转，使 DE AB⊥ 交 AC于点 H，此时 G

点是 AH的中点吗？△ DGH的面积与△ DAH的面积之间是倍分关系吗？

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解 析 ∵ ∠ACB＝90° ，D是 AB的中点，

∴ DC＝DB＝DA，∴ ∠B＝∠DCB.

又∵ △ ABC≌△ FDE，∴ ∠FDE＝∠B.

∴ ∠FDE＝∠DCB，∴ DG∥ BC.

∴ ∠AGD＝∠ACB＝90° ，∴ DG⊥AC.

又∵ DC＝DA，∴ G是 AC的中点，

∴ CG＝12AC＝

12×8＝4，DG＝

12BC＝

12× 6＝3.

∴ S△ DCG＝12×CG· DG＝

12×4× 3＝6.

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解 析 (2)∵ △ ABC≌△ FDE，

∴ ∠B＝∠1.

∵ ∠C＝90° ，ED⊥AB，

∴ ∠A＋∠B＝90° ，∠A＋∠2＝90° ，

∴ ∠B＝∠2，

∴ ∠1＝∠2.∴ GH＝GD.

∵ ∠A＋∠2＝90° ，∠1＋∠3＝90° ，

∴ ∠A＝∠3，∴ AG＝GD，∴ AG＝GH，

∴ 点 G是 AH的中点．

在 Rt△ ABC中，AB＝ AC2＋BC2＝ 82＋62＝10.

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解 析∵ D是 AB的中点，∴ AD＝

12AB＝5.

在△ ADH与△ ACB中，∵ ∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90° ，

∴ △ ADH∽△ ACB，∴ADAC＝

DHCB，即

58＝

DH6 ，∴ DH＝

154，

∴ S△ DGH＝12S△ ADH＝

12×

12×DH· AD＝

14×

154 ×5＝

7516.

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解题方法点析　　此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．

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