โมเมนตัม และ การชน

โมเมนตั�มและการชน


โมเมนตั�ม (Momentum) ปร�มาณที่��บอกสภาพการเคล��อนที่��ของวั�ตัถุ ซึ่"�ง

พยายามที่$าให้'วั�ตัถุ พ (งตั�วัไปข'างห้น'าในที่�ศที่างของควัามเร+วัเป,นปร�มาณเวักเตัอร-ม�ที่�ศตัามที่�ศของควัามเร+วั


ปร�มาณโมเมนตั�ม ห้าได้'จากผลค1ณของควัามเร+วัก�บมวัล จากควัามห้มายของโมเมนตั�มจะเข�ยนสมการได้'วั(า

เม��อ m ค�อ มวัลของวั�ตัถุ v ค�อ ควัามเร+วัของวั�ตัถุ

P ค�อ โมเมนตั�มของวั�ตัถุ

vmP

โมเมนตั�มม�ห้น(วัยเป,นก�โลกร�ม.เมตัรตั(อวั�นาที่� (kg .m/s) ห้ร�อ N.s.


จากกฎการเคล��อนที่��ข'อห้น"�งของน�วัตั�น ที่��เร�ยกวั(า กฎของควัามเฉื่��อย ซึ่"�งอาจเข�ยนในร1ปของโมเมนตั�มได้'วั(า ในกรณ�ที่��วั�ตัถุ ม�ควัามเร+วัคงตั�วั โมเมนตั�มของวั�ตัถุ คงตั�วัเสมอ

หมายเหตั�


แรงและการเปล��ยนแปลงโมเมนตั�มเม��อวั�ตัถุ มวัล m เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั u ม�

แรงคงตั�วั F กระที่$าตั(อวั�ตัถุ ในช(วังเวัลาที่��เปล��ยนแปลงไป วั�ตัถุ เปล��ยนเป,น v ด้�งร1ปที่�� 1


จากสมการ t

umvmF

F

um

vm

umvm

ค�อ แรงล�พธ์-คงตั�วัที่��กระที่$าตั(อวั�ตัถุ มวัล mค�อ โมเมนตั�มของวั�ตัถุ ก(อนถุ1ก

แรงกระที่$าค�อ โมเมนตั�มของวั�ตัถุ ภายห้ล�งถุ1กแรงกระที่$าค�อ โมเมนตั�มของวั�ตัถุ ที่��เปล��ยนไปใน

ช(วังเวัลา t อาจเข�ยนย(อๆวั(า P

อาจเขี�ยนได้�ใหม�ว่�า ห้ร�อt

PF

dt

Pd


แรงด้ลถุ'าแรงคงตั�วัที่��กระที่$าตั(อวั�ตัถุ เพ��อ

เปล��ยนแปลงโมเมนตั�มของวั�ตัถุ ในช(วังเวัลาส�7นๆ ( น'อยๆ ) เราจะเร�ยก วั(า แรงด้ล (Impulsive Force)

โด้ยแรงที่��ใช'ในการเปล��ยนสภาพการเคล��อนที่��ของวั�ตัถุ จะมากห้ร�อน'อย นอกจากจะข"7นอย1(ก�บมวัลและควัามเร+วัของวั�ตัถุ แล'วั ย�งข"7นอย1(ก�บช(วังเวัลาที่��ออกแรงกระที่$าด้'วัย

dt

Pd

t

PF


การด้ลผลค1ณของแรง ก�บ เวัลาที่��เปล��ยนแปลง (

) เร�ยกวั(า การด้ล (Impluse) ส�ญล�กษณ- “ I ”

จากสมการการด้ล ก+ค�อ โมเมนตั�มที่��เปล��ยนแปลง ( )น��นเอง แตั(จะตั'องเป,นการพ�จารณาในช(วังเวัลาส�7นๆเป,นปร�มาณเวักเตัอร-ม�ที่�ศเด้�ยวัก�บแรงล�พธ์-ที่��กระที่$าก�บวั�ตัถุ และม�ห้น(วัยเป,นน�วัตั�น.วั�นาที่�(N.s)

tF .

ห้ร�อห้ร�อ

P

umvmtF

.

umvmI

PddtF

PI


การหาการด้ลและโมเมนตั�มที่��เปล��ยนไปจากกราฟระหว่�าง F ก�บ t1.การด้ลเม��อแรงคงตั�วั

การห้าการด้ล ห้าได้'จาก

ห้ร�อจากพ�7นที่��ใตั'กราฟ ห้าได้'จาก

tF .

พ�7นที่��ใตั'กราฟระห้วั(าง F และ t ค�อการด้ล (I) ห้ร�อ P

tFP .


2. การด้ลเม��อแรงไม(คงตั�วัเราอาจที่$าให้'แรงคงตั�วัได้' โด้ยการห้าค(าเฉื่ล��ยของแรง F ด้�งกราฟร1ป (b) โด้ยพ�7นที่��ใตั'กราฟร1ป (1) และร1ป (3) ตั'องม�ขนาด้เที่(าก�น จากร1ป (3) จะแที่นขนาด้ของแรง F ในสมการ

mumvtF .


ห้ร�อเราสามารถุห้าพ�7นที่��ใตั'กราฟ โด้ยใช'สมการอ�นที่�เกรตั

ด้�งน�7น

f

i

t

t

if FdtPPPI


การหาการด้ลจากการเปล��ยนแปลงโมเมนตั�ม ( )

P

การห้าการเปล��ยนแปลงโมเมนตั�ม แยกค�ด้ได้' 2 แบบ ค�อ

(1)เม��อควัามเร+วัก(อนเปล��ยนและห้ล�งเปล��ยนอย1(ในแนวัเด้�ยวัก�น

(2) เม��อควัามเร+วัก(อนเปล��ยนและควัามเร+วัห้ล�งเปล��ยนอย1(คน ละแนวัก�น


เม#�อคว่ามเร%ว่ก�อนเปล��ยนและหล�งเปล��ยนอย&�ในแนว่เด้�ยว่ก�น

1.1 วัาด้ร1ปแสด้งการเคล��อนที่�� ณ ตั$าแห้น(งก(อนเปล��ยนและห้ล�งเปล��ยน

1.2 ก$าห้นด้ที่�ศที่างของ u และ v โด้ยให้'ที่�ศของ v เป,นบวัก (+) เสมอ ถุ'าไปในที่างเด้�ยวัก�บม�ที่�ศเป,นบวัก (+) แตั(ถุ'าสวันที่างก�บม�ที่�ศเป,นลบ (-)


ตั�ว่อย�าง วั�ตัถุ มวัล m ก$าล�งเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั แล'วัถุ1กแรง กระที่$าเป,น เวัลา t ที่$าให้'ควัามเร+วัเปล��ยนเป,น จะห้าการเปล��ยนแปลงโมเมนตั�มและแรง ที่��กระที่$าด้�งร1ป

u

F

v

F


ร1ป ( ก) แสด้งเม��อแรง อย1(ในแนวัเด้�ยวัก�บF

u

umvmP

t

PF

t

umvm

dt

vdm

; ( v > u ) และ

และ

จาก(ม�ที่�ศ )

(ม�ที่�ศ )


ร1ปที่�� 6 (ข) เม��อแรง ม�ที่�ศที่างตัรงข'ามก�บF

u

umvmP

;( ม�ที่�ศ )

t

PF

และ

;( ม�ที่�ศ )

dt

vdm

t

umvmF


ร1ปที่�� 6 (ค) เม��อวั�ตัถุ ตักในแนวัด้��ง

t

mumvmgF

t

PF

mgt

mumvF

ร1ปที่�� 6 (ค) เม��อวั�ตัถุ ตักในแนวัด้��ง

จาก


เม#�อคว่ามเร%ว่ก�อนเปล��ยนและคว่ามเร%ว่หล�งเปล��ยนอย&�คนละแนว่ก�น

2.1 ห้าขนาด้และที่�ศที่างของ และ ก(อน

2.2 ใช'วั�ธ์�การที่างเวักเตัอร-ห้า , ตัามสมการ และ

um vm

P

F

umvmP

t

PF


ตั�ว่อย�าง วั�ตัถุ มวัล m ก$าล�งเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั แล'วัถุ1กแรง กระที่$าในที่�ศที่$าม มก�บการเคล��อนที่�� ที่$าให้'ควัามเร+วัเปล��ยนเป,น ในที่�ศที่$าม ม ก�บ จะห้าการเปล��ยนแปลงโมเมนตั�ม ได้'ด้�งร1ป

u

F

u


จากร1ปสามารถุห้า ได้'โด้ยวั�ธ์�การวัาด้ร1ปส��เห้ล��ยมด้'านขนาน แล'วัใช'ส1ตัรค$านวัณ

P

umvmP

cos222 mumvmumvP


“ ถุ'าวั�ตัถุ เคล��อนที่��โด้ยไม(ม�แรงภายนอกมากระที่$า ซึ่"�งเป,นไปตัามกฎการเคล��อนที่��ข'อที่��ห้น"�งของน�วัตั�น วั�ตัถุ จะเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วัคงตั�วัตัลอด้ไป ห้ร�อกล(าวัได้'วั(า วั�ตัถุ น�7นม�โมเมนตั�มคงตั�วัที่�7งขนาด้และที่�ศที่าง ตัลอด้การเคล��อนที่�� ” vmP

ก(อนกระที่บ = ห้ล�งกระที่บ

ก(อนกระที่บ = ห้ล�งกระที่บ

= คงที่��

P

P

ส1ตัรค�อ

กฎการอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม


พิ+จารณาสมการจากร&ป

ก�อนการชน วั�ตัถุ A เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั uA

วั�ตัถุ B เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั uB หล�งการชน วั�ตัถุ A เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั vA

วั�ตัถุ B เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั vB


ขณะวั�ตัถุ Aและวั�ตัถุ B ชนก�นไม(ม�แรงภายนอกใด้ๆกระที่$า จะได้'วั(า ขณะวั�ตัถุ ที่�7งสองชนก�น จะม�แรงค1(ก�ร�ยา-ปฏิ�ก�ร�ยาระห้วั(างวั�ตัถุ ที่�7งสองเก�ด้ข"7น โด้ยม�ขนาด้เที่(าก�น ด้�งร1ปเขี�ยนสมการได้�ว่�า ก(อนกระที่บ =

ห้ล�งกระที่บ

ก(อนกระที่บ =

ห้ล�งกระที่บ

P

P


ห้มายถุ"งการที่��วั�ตัถุ ห้น"�งกระที่บก�บอ�กวั�ตัถุ ห้น"�งในช(วังเวัลาส�7นๆ ห้ร�อในบางคร�7งวั�ตัถุ อาจไม(ตั'องการกระที่บก�นแตั(ม�แรงมากระที่$าตั(อวั�ตัถุ แล'วัให้'ผลเห้ม�อนก�บการชนก+ถุ�อวั(าเป,นการชนก�นตั�วัอย(างเช(น การชนก�นของรถุ , การกระที่บก�นของล1กตั 'มก�บเสาเข+ม , การตั�เที่นน�ส, ตั�ป<งปอง , ตั�กอล-ฟ , การเตัะล1กฟ ตับอล , การระเบ�ด้ของวั�ตัถุ ระเบ�ด้ ,การย�งป=น เป,นตั'น

การชน


การชนของวั�ตัถุ โด้ยมากม�กจะม�แรงภายนอกมากระที่$าตั(อวั�ตัถุ ซึ่"�งขนาด้ของแรงจะมากห้ร�อน'อยข"7นอย1(ก�บล�กษณะการชนก�นของวั�ตัถุ และในการชนอาจม�การส1ญเส�ยค(าโมเมนตั�มมากห้ร�อน'อย ห้ร�อไม(ส1ญเส�ยเลยก+ได้'


เราอาจแยกการชนได้� 2 ล�กษ์ณะ ด้�งน�-1 .เม��อโมเมนตั�มของระบบม�ค(าคงตั�วั เป,นการชนที่��

ขณะชนม�แรงภายนอกมากระที่$าน'อยมาก เม��อเที่�ยบก�บขนาด้ของแรงด้ล ที่��เก�ด้ก�บวั�ตัถุ ขณะชนก�น ห้ร�อแรงภายนอกเป,นศ1นย- เช(น การชนของล1กบ�ลเล�ยด้ การชนก�นของรถุยนตั- การย�งป=น เป,นตั'น

2. เม��อโมเมนตั�มของระบบไม(คงที่�� เป,นการชนที่��ขณะชนม�แรงภายนอกมา . กระที่$ามากกวั(าแรงด้ลที่��เก�ด้ก�บวั�ตัถุ ขณะชนก�น เช(น ล1กบอลตักกระที่บพ�7น . รถุยนตั-ชนก�บตั'นไม' เป,นตั'น


สามารถแยกล�กษ์ณะการชนได้� 3 แบบ

1. การชนก�นแบบย�ด้ห้ย (น ( Elastic collision )

- การชนแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ- - การชนแบบย�ด้ห้ย (นไม(สมบ1รณ-

2. การชนแบบไม(ย�ด้ห้ย (น (Inelatic collision)3.การด้�ด้ตั�วัของวั�ตัถุ ห้ร�อการระเบ�ด้


การชนแบบย#ด้หย��นสมบ&รณ) ผลรวัมของการชนแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ-พบวั(า

1. ผลรวัมของโมเมนตั�มก(อนชน = ผลรวัมของโมเมนตั�มห้ล�งชน ก(อนชน = ห้ล�งชน

2. ผลรวัมของพล�งงานจลน-ก(อนชน = ผลรวัมของพล�งงานจลน-ห้ล�งชน

Ekก(อนชน = Ekห้ล�งชน


การชนก�นขีองว่�ตัถ� 2 ก�อนที่��ม�คว่ามเร%ว่อย&�ในแนว่ผ่�านจ�ด้ศู&นย)กลางมว่ล (C.M.)

วั�ตัถุ มวัล m1 เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั เข'าชนวั�ตัถุ มวัล m2 ซึ่"�งก$าล�งเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั ในที่�ศที่างเด้�ยวัก�น โด้ย มากกวั(า ด้�งร1ป ถุ'าเป,นการชนแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ- ภายห้ล�งการชนมวัล m1 ม�ควัามเร+วั มวัล m2 ม�ควัามเร+วั จะได้'ควัามส�มพ�นธ์-ของการชน ด้�งน�7

1u

2u

1u

1v

2v

1 .จาก ก(อนชน = ห้ล�งชน

เน��องจากเป,นการชนในแนวัตัรงเด้�ยวัก�น อาจเข�ยนสมการให้ม(ได้'วั(า

…(1)2. จาก Ekก(อนชน = Ekห้ล�งชน

…(2)

22112211 vmvmumum


22221111 umvmvmum 222111 uvmvum

222

211

222

211 2

1

2

1

2

1

2

1vmvmumum

22222

21

211 uvmvum

12


u1 + v1 = u2 +

v2

ในการแก'ป>ญห้าการชนแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ- โจที่ย-ม�กจะถุามห้าควัามเร+วัห้ล�งการชนของมวัลที่�7ง

สอง (v1 , v2) เราจะใช'สมการ 2 สมการ ค�อ

1. ก(อนชน = ห้ล�งชนm1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

2. u1 + v1 = u2 + v2

P

P


การชนเป1นแบบย#ด้หย��นสมบ&รณ)ในแนว่เส�นตัรง เม#�อว่�ตัถ�ที่��ถ&กชนอย&�น+�งให้'วั�ตัถุ มวัล m1 เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั u1 เข'าชนวั�ตัถุ มวัล m ซึ่"�งอย1(น��งๆในแนวัจ ด้ศ1นย-กลางของมวัลที่�7งสองแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ-ภายห้ล�งการชนวั�ตัถุ m1 ที่��ม�ควัามเร+วั v1 และวั�ตัถุ มวัล m 2 ม�ควัามเร+วั v2 ด้�งร1ป


ด้�งน�-น ในการชนแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ- ในแนวัเส'นตัรง ถุ'ามวัลถุ1กชนอย1(น��ง สามารถุห้า v2 และ v1 ได้' จากสมการ และ21

112

2

mm

umv

u1 + v1

= u2 + v2


1. มว่ลมากชนมว่ลน�อย ( m1 > m2 ) ห้ล�งชนวั�ตัถุ ที่�7งสองจะเคล��อนที่��ไปที่างเด้�ยวัก�นโด้ย 2. มว่ลเที่�าก�นชนก�น ( m1 = m2 ) ห้ล�งชนวั�ตัถุ ที่��เข'าชนจะห้ย ด้น��ง( v1 = 0 ) ส(วันวั�ตัถุ ที่��ถุ1กชนเคล��อนที่��ไปด้'วัยควัามเร+วัเที่(าก�บควัามเร+วัก(อนชนของวั�ตัถุ ที่��ชน 3. มว่ลน�อยชนมว่ลมาก ( m1 < m2 ) ห้ล�งชนวั�ตัถุ ที่��ชนจะสะที่'อนกล�บส(วันวั�ตัถุ ที่��ถุ1กชนเคล��อนที่��ไปในแนวัเด้�ยวัก�บควัามเร+วัก(อนชนของวั�ตัถุ ที่��เข'าชน

***สร�ปล�กษ์ณะการชนขีองว่�ตัถ�ในเส�นตัรง (ผ่�านจ�ด้ศู&นย)กลางมว่ล) แบบย#ด้หย��นสมบ&รณ) โด้ยว่�ตัถ�ที่��ถ&กชนอย&�น+�ง


การชนแบบไม�ย#ด้หย��น การชนของวั�ตัถุ แล'วัร1ปร(างม�การเปล��ยนแปลง

ห้ร�อม�การเคล��อนที่��ตั�ด้ก�นไป จากการที่ด้ลองพบวั(าการชนก�นแบบน�7พล�งงานจลน-ไม(คงที่�� พล�งงานจลน-ห้ล�งชนม�ค(าน'อยกวั(าพล�งงานจลน-ก(อนชน เพราะวั(าพล�งงานจลน-บางส(วันน$าไปใช'ในการเปล��ยนแปลงร1ปร(างวั�ตัถุ ที่$าให้'บ บ, ย บ และเปล��ยนร1ปเป,นพล�งงานเส�ยงแตั(โมเมนตั�มรวัม ก(อนการชนเที่(าก�บโมเมนตั�มห้ล�งการชน


ให้'วั�ตัถุ มวัล m1 เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั u1 เข'าชนมวัล m2 ซึ่"�งเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั u2 ในแนวัเส'นตัรงผ(านจ ด้ศ1นย-กลางของมวัลที่�7งสองปรากฏิวั(างห้ล�งชนมวัล m1 และ m2 เคล��อนที่��ตั�ด้ก�นไปด้'วัยควัามเร+วั v ด้�งร1ปที่��


ผ่ลขีองการชนแบบไม�ย#ด้หย��น ได้'วั(า(1) ก(อนชน =

ห้ล�งชน 22112211 vmvmumum

m1u1 + m2u2 = (m1 +m2)v

เม��อ vvv 21 ได้'วั(า

(2) ก(อนชน > ห้ล�งชน

kE kE

P

P


การด้�ด้ตั�ว่ขีองว่�ตัถ� หร#อการระเบ+ด้

การที่��วั�ตัถุ แยกห้ร�อแตักออกจากก�น โด้ยไม(ม�แรงภายนอกมากระที่$า ซึ่"�งเด้�มวั�ตัถุ จะอย1(ด้'วัยก�น โด้ยม�เง��อนไขเห้ม�อนก�บการชน 2 ล�กษณะที่��กล(าวัมาแล'วั ค�อ ก�อนระเบ+ด้ =

หล�งระเบ+ด้P

P


ส(วันพล�งงานจลน-ของวั�ตัถุ ในการระเบ�ด้ พบวั(าผลรวัมพล�งงานจลน-ห้ล�งการระเบ�ด้ จะม�ค(ามากกวั(าผลรวัมของพล�งงานจลน-ก(อนระเบ�ด้ เน��องในการระเบ�ด้ม�การเปล��ยนร1ปพล�งงานร1ปตั(างๆเป,นพล�งงานจลน- จ"งได้'วั(า∑Ek ก�อนระเบ+ด้ < ∑Ek

หล�งระเบ+ด้


ล�กษ์ณะขีองการระเบ+ด้แยกออกได้� 2 ล�กษ์ณะ1. การระเบ+ด้แบบแยกออกจากก�นอย�างอ+สระ

การระเบ�ด้ของวั�ตัถุ ล�กษณะน�7วั�ตัถุ จะแยกออก จากก�นเป,นส(วัน ๆ เช(น การย�งป=น , มวัลอ�ด้สปร�ง , คนกระโด้ด้จากเร�อ , คนกระโด้ด้จากเร�อซึ่"�งก$าล�งเคล��อนที่��

2. การระเบ+ด้แบบส�มพิ�ที่ธ์) โด้ยภายห้ล�งการระเบ�ด้วั�ตัถุ ย�งอย1(ด้'วัยก�น การค$านวัณควัามเร+วัของวั�ตัถุ แตั(ละก'อน ให้'ค�ด้เที่�ยบก�บพ�7นโลก เช(น คนเด้�นบนเร�อซึ่"�งอย1(น��ง , คนเด้�นบนเร�อซึ่"�งก$าล�งเคล��อนที่��


การระเบ+ด้แบบแยกออกจากก�นอย�างอ+สระการย+งป3น

เด้�มกระส นป=นและป=นอย1(ด้'วัยก�น ตั�วัป=นม�มวัล M ล1กป=นมวัล m ห้ล�งย�งล1กป=นม�ควัามเร+วั v ตั�วัป=นม�ควัามเร+วั V ถุอยห้ล�ง


ก(อนย�งป=น โมเมนตั�มของระบบ = 0 ห้ล�งย�งป=น โมเมนตั�มของระบบ = mv – MV

จาก โมเมนตั�มก(อนย�ง = โมเมนตั�มห้ล�งย�ง

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv จะได้'วั(า MV = mv


มว่ลอ�ด้สปร+ง วั�ตัถุ ม�มวัล M และ m ผ1กตั�ด้ก�นด้'วัย

เช�อกและม�สปร�งตั�ด้อย1(ที่��มวัลก'อนใด้ก'อนห้น"�ง เม��อตั�ด้เช�อกขาด้ มวัล M และ m จะเคล��อนที่��ออกจากก�นด้'วัยควัามเร+วั V และ v ตัามล$าด้�บ


ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้ 0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv จะได้'วั(า mv = MV

ห้ร�อกล(าวัได้'วั(า โมเมนตั�มของมวัล m = โมเมนตั�มของมวัล M


คนกระโด้ด้จากเร#อ เด้�มคนม�มวัล m อย1(บนเร�อ ซึ่"�งเร�อม�มวัล M

เม��อคนกระโด้ด้ออกจากเร�อด้'วัยควัามเร+วั v เร�อจะเคล��อนที่��ถุอยห้ล�งด้'วัยควัามเร+วั V


ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้ 0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv จะได้'วั(า mv = MV

ห้ร�อกล(าวัได้'วั(า โมเมนตั�มของคนมวัล m = โมเมนตั�มของเร�อมวัล M

P

P


***สร�ป จากตั�ว่อย�างการระเบ+ด้แบบแยกออกจากก�นอย�างอ+สระ ได้'สมการด้�งน�7

ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้ 0 = m1v1 +

m2v2 = M(-V) + mv

mv = MV

P

P


คนกระโด้ด้จากเร#อซึ่5�งก6าล�งเคล#�อนที่�� เด้�มคนม�มวัล m ย�นอย1(บนเรอ M ซึ่"�งก$าล�ง

เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั u แล'วัคนกระโด้ด้ออกจากเร�อด้'วัยควัามเร+วัที่างด้'านห้น'าด้'วัยควัามเร+วั v ที่$าให้'เร�อม�ควัามเร+วั V


เม��อคนกระโด้ด้ออกจากเร�อ จะได้'วั(า ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้.

(m + M) u = mv + MV mu + Mu - mv = MV

P

P

M

MuvumV



การระเบ+ด้แบบส�มพิ�ที่ธ์) คนเด้+นบนเร#อซึ่5�งอย&�น+�ง ให้'คนม�มวัล m อย1(น��งบนเร�อมวัล M เม��อคนเด้�นด้'วัยควัามเร+วั v จะที่$าให้'เร�อเคล��อนที่��ในที่�ศที่างตัรงข'ามด้'วัยควัามเร+วั V ขณะที่��คนเด้�นด้'วัยควัามเร+วั v เร�อจะเคล��อนที่��ถุอยห้ล�งจากคนด้'วัยควัามเร+วั V เม��อเที่�ยบก�บพ�7นโลก ด้�งน�7นคนจะม�ควัามเร+วั (v - V) เม��อเที่�ยบก�บโลก


ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้.

0 = m (v - V) + M(-V)

0 = m (v - V) - MV m (v - V) = MV mv - mV = MV mv = (m + M)V

P

P


คนเด้+นบนเร#อซึ่5�งก6าล�งเคล#�อนที่�� ให้'คนม�มวัล m ย�นน��งอย1(บนเร�อมวัล M ซึ่"�งม�ควัามเร+วั

u เม��อคนเร��มเด้�นด้'วัยควัามเร+วั v เร�อจะม�ควัามเร+วั V ขณะที่��คนเด้�นด้'วัย v ควัามเร+วัของเร�อเป,น V ควัามเร+วัของคนที่��ส�มพ�ที่ธ์-ก�บพ�7นโลกจะเที่(าก�บ v + V


ก(อนระเบ�ด้ = ห้ล�งระเบ�ด้

(m + M)u = m(v + V) + MV mu + Mu = mv + mV + MV

mu - mv + Mu = (m + M)V

P

P

Mm

MuvumV


***สร�ป ***1. การชนก�นห้ร�อการระเบ�ด้ที่ กกรณ� จะอ'างห้ล�กคงที่��โมเมนตั�มได้'เสมอวั(า

ก(อน = ห้ล�ง2. การชนก�นแบบย�ด้ห้ย (นจะไม(ม�การส1ญเส�ยพล�งงานจลน-และตั�7ง สมการได้' 2 สมการค�อ

2.1. ก(อน = ห้ล�ง2.2 ∑Ek ก(อนชน = ∑Ek ห้ล�งชน

ห้ร�อส1ตัรล�ด้ 2211 vuvu

P

P

P

P


3. การชนก�นแบบไม(ย�ด้ห้ย (นจะม�การส1ญเส�ยพล�งงานจลน- จะตั�7งสมการได้' 2 สมการค�อ

3.1. ก(อน = ห้ล�ง3.2 Ek ที่��ห้าย = Ek ก(อนชน – Ek

ห้ล�งชน4. การระเบ�ด้จะม�พล�งงานจลน-ตัอนห้ล�งระเบ�ด้มากกวั(าพล�งงานจลน-ตัอนก(อนระเบ�ด้เสมอโด้ยพล�งงานส(วันที่��เพ��มมาน�7มาจากการเผาไห้ม'ของด้�นป=น และตั�7งสมการได้' 2 สมการ

4.1 ก(อน = ห้ล�ง4.2 ΣEk ที่��เพ��ม = Ek ห้ล�งระเบ�ด้ – Ek

ก(อนระเบ�ด้

P

P

P

P


Ballistic pendulumการแกวั(งของวั�ตัถุ แบบล1กตั 'มนาฬิ�กา เม��อถุ1ก

กระที่บด้'วัยวั�ตัถุ อ��น เช(น การย�งล1กป=นให้'ชนถุ งที่ราย ห้ร�อแที่(งไม'ซึ่"�งแขวันด้'วัยเช�อกในแนวัด้��ง ที่$าให้'วั�ตัถุ แกวั(งส1งข"7นจากเด้�ม ประโยชน-ใช'วั�ด้ควัามเร+วัของล1กป=นขณะถุ1กย�งออกจากป=น


ก$าห้นด้ให้'ล1กป=นมวัล m ถุ1กย�งออกจากป=นด้'วัยควัามเร+วั เข'าชนแที่(งไม'มวัล M แล'วัฝั>งชนแที่(งไม'ที่$าให้'แที่(งไม'แกวั(งส1งจากเด้�ม h ควัามเร+วัของล1กป=นขณะออกจากล$ากล'องป=น


จากกฎอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม (ล1กป=นชนแที่(งไม')ก(อน = ห้ล�ง

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

m1u1 + 0 = (m1 +m2)v

mu1 = (m + M)v ….(1)เม��อ v ค�อ ควัามเร+วัของแที่(งไม'ห้ล�งถุ1กล1กป=นชน

P

P


จากกฎอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม (ค�ด้ที่��แที่(งไม')Ek ที่�� A = E p ที่�� B

= mgh แที่นใน (1)

mu1 = (m + M)

2

2

1mv

ghv 2gh2

ghm

Mmu 21


การชนใน 2 ม+ตั+การชนของวั�ตัถุ ในแนวัไม(ผ(านจ ด้ศ1นย-กลาง

มวัล ที่$าให้'ที่�ศที่างการเคล��อนที่��ของวั�ตัถุ ไม(อย1(ในแนวัเส'นตัรงเด้�ยวัก�น เร�ยกการชนในล�กษณะน�7วั(า การชนในสองม�ตั� ซึ่"�งแบ(งล�กษณะการชนได้' 3 แบบ เห้ม�อนการชนในแนวัเส'นตัรง (ชนใน 1 ม�ตั�)


การชนแบบย#ด้หย��นสมบ&รณ)เม#�อมว่ลที่�-งสองก�อนเที่�าก�น

ก$าห้นด้ให้'มวัล m ม�ควัามเร+วั เข'าชนมวัล m อ�กก'อนห้น"�ง ซึ่"�งอย1(น��งไม(ผ(านแนวัศ1นย-กลางมวัล ที่$าให้'มวัลที่�7งสองแยกออกจากก�นที่$าม ม ม�ควัามเร+วั v1 และ v2 ตัามล$าด้�บ ด้�งร1ปที่��

u


ผ่ลขีองการชนจะได้�ว่�า(1) ก(อนชน = ห้ล�งชน

= = = ….(1)

(2) Ek ก(อนชน = Ek ห้ล�งชน == .…(2)

11 2 2mu m u1 1 2 2m v m v

1u

1 2v v21u

2 21 2 1 22 cosv v v v

1

2 21 2 2

1 1

2 2mu m u

1

2 21 2 2

1 1

2 2m v m v

21u

2 21 2v v


(1)= (2) ได้'วั(า = 0 = 0 = 90๐

1 22 cosv v

cos

ข'อสร ปย(อมอ'างได้'วั(า ถุ'ามวัลเที่(าก�นชนก�นแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ-ในแนวัไม(ผ(านจ ด้ C.M.และมวัลที่��ถุ1กชนอย1(น��ง ห้ล�งจากชนก�นมวัลที่�7งสองจะแยกออกจากก�นที่$าม ม 90◦ เสมอ


เม#�อมว่ลที่�-งสองก�อนไม�เที่�าก�น ชนก�นแบบย�ด้ห้ย (นสมบ1รณ-โด้ยมวัลถุ1กชนอย1(น��ง มวัลที่�7งสองจะแยกออกจากก�นไม(เป,นม มฉื่าก

ก$าห้นด้ให้'มวัล m1เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั เข'าชนมวัล m2ซึ่"�งอย1(น��ง ในแนวัไม(ผ(านจ ด้ C.M. ที่$าให้'มวัล m1และ m2แยกออกจากก�นที่$าม ม และ ก�บแนวัการเคล��อนที่��เด้�มของ ด้'วัยควัามเร+วั และ ด้�งร1ปที่��

1u

1v

2v


การห้า และ ที่$าได้' 2 วั�ธ์�ว่+ธ์�ที่�� 1 โด้ยการแยก ให้'เป,น และ ก(อนชน = ห้ล�งชน

=

=

1v 2v

1 1mu

1 1m v

2 2m v

P

P

11 2 2mu m u1 1 2 2m v m v

1 1mu

1 1 2 2m v m v

จากสมการโมเมนตั�มแสด้งวั(า = ห้ร�อกล(าวัอ�กแบบได้'วั(า สามารถุแยกได้'เป,น และ ตัามห้ล�กการแยกเวัคเตัอร-แบบไม(ตั�7งฉื่ากได้'วั(า

1 1mu

1 1 2 2m v m v

1 1mu

1 1m v

2 2m v


1 1m v 1 1 sin

sin( )

mu

22vm 1 1 sin

sin( )

mu

=

=

ป>ญห้าอย1(ที่��วั(า sin ของม ม ในบางคร�7งไม(สามารถุห้าค(าได้'ง(ายเช(น sin75◦, sin105◦ เป,นตั'น


ว่+ธ์�ที่�� 2 การห้าโมเมนตั-ล�พธ์-ในแนวั และในแนวัตั�7งฉื่ากก�บ

จากฎการอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม ก(อนชน = ห้ล�งชน

=

=

1 1mu

1 1mu

P

P

11 2 2mu m u1 1 2 2m v m v

1 1mu

1 1 2 2m v m v


พิ+จารณาในแนว่ตั�-งฉากก�บ พิบว่�า P = 0

ด้�งน�7น = …..(1)พิ+จารณาในแนว่ขีนานก�บ

= ด้�งน�7น + =

….(2)จาก (1) และ (2) ถ�าร&� m1, m2 , u1 , ,

ก%สามารถหา v1 และ v2ได้�

1 1 sinm v 2 2 sinm v

p 1 1mu

1 1 sinm v 2 2 sinm v 11um


การชน 2 ม+ตั+แบบไม�ย#ด้หย��นให้'มวัล m1 เคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั เข'าชน

มวัล m2 ซึ่"�งเคล��อนที่��ด้'วัยควัามเร+วั ในแนวัที่$าม ม ตั(อก�นห้ล�งชนก�นแล'วัที่�7งสองเคล��อนที่��ตั�ด้ก�นไปด้�งร1ป ด้'วัยควัามเร+วั

1u

2u

v


จากกฎการอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม ก(อนชน = ห้ล�งชน

= ( m1 + m2 )v

ห้ร�อ ( m1 + m2 ) v =

เม��อร1 ' m 1 , m2 , u 1 , u 2 และ ก+สามารถุ v ได้'

P

P

2211 umum

2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2( )( ) cosmu m u m u m u


การระเบ+ด้ หร#อการด้�ด้ตั�ว่ให้'วั�ตัถุ มวัล m เด้�มอย1(น��ง แล'วัระเบ�ด้แยกออก

เป,น 3 ส(วัน แตั(ละส(วันม�มวัล m1 , m2และ m3 ตัามล$าด้�บ และม�ควัามเร+วั และ ตัามล$าด้�บ ด้�งร1ป

1 2,v v

3v


จากกฎการอน�ร�กษ์)โมเมนตั�ม ก(อนชน = ห้ล�งชน

0 = = ห้ร�อ = ห้ร�อ = ห้ร�อ =

P

P

1 1 2 2 3 3m v m v m v

3 3m v 1 1 2 2m v m v

3 3m v

1 1m v

2 2m v

2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2( )( ) cosm v m v m v m v

2 22 2 3 3 2 2 3 3( ) ( ) 2( )( ) cosm v m v m v m v

2 21 1 3 3 1 1 3 3( ) ( ) 2( )( ) cosm v m v m v m v


การเคล#�อนที่��ขีองจ�ด้ศู&นย)กลางมว่ลเม��อม�วั�ตัถุ ม�การเคล��อนที่�� จ ด้ศ1นย-กลางมวัล

(C.M.) จะม�การเคล��อนที่��ด้'วัย ส$าห้ร�บการชนก�นของวั�ตัถุ ที่��ไม(ม�แรงภายนอกมาเก��ยวัข'อง จ ด้ศ1นย-กลางมวัล (C.M.) จะม�การเคล��อนที่��ด้'วัย คงที่�� ที่� 7งก(อนและห้ล�งชน โด้ยห้าได้'จากกฎการอน ร�กษ-โมเมนตั�ม


( )cmv

CM

Pv

m


ผ1'จ�ด้ที่$า1 .นางสาวัอ�จฉื่ราวัด้� ที่องด้� เลขที่�� 322. นายน�คม บ�งคม เลขที่�� 6 ช� 7นม�ธ์ยมศ"กษาปB� ที่�� 6/2

Documents

โมเมนตัม และ การชน