ВВ..Б. ТарасовБ. ТарасовМосковский государственный технический Московский государственный технический

университет им. Н.Э.Баумана (Москва, Россия)университет им. Н.Э.Баумана (Москва, Россия)

Кафедра «Компьютерные системыКафедра «Компьютерные системы автоматизации производства»автоматизации производства»

e-mail: tarasov@rk9.bmstu.rue-mail: tarasov@rk9.bmstu.ru

НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯИ ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Посвящается Д.А.ПоспеловуПосвящается Д.А.Поспелову

Пятые Поспеловские чтения Пятые Поспеловские чтения «Искусственный интеллект – «Искусственный интеллект – проблемы и перспективы»проблемы и перспективы»

(Москва, Политехнический музей, 29-30 ноября (Москва, Политехнический музей, 29-30 ноября 2011г.)2011г.)

Д.А.ПОСПЕЛОВД.А.ПОСПЕЛОВ

Д.А.ПОСПЕЛОВ – УЧЕНЫЙ-ЭНЦИКЛОПЕДИСТ Д.А.ПОСПЕЛОВ – УЧЕНЫЙ-ЭНЦИКЛОПЕДИСТ ШИРОКИЙ СПЕКТР ИНТЕРЕСОВШИРОКИЙ СПЕКТР ИНТЕРЕСОВ

В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕД.А.Поспелов – родоначальник ряда новых научныхД.А.Поспелов – родоначальник ряда новых научныхнаправлений в теории систем, направлений в теории систем, информатике и информатике и науках об искусственном:науках об искусственном: Теория систем: Теория систем: Моделирование больших, сложных систем, а Моделирование больших, сложных систем, а

также распределенных, децентрализованных, также распределенных, децентрализованных, многоагентных системмногоагентных систем

Информатика: Информатика: Организация параллельных вычислений в Организация параллельных вычислений в сетяхсетях

Общая теория поведения Общая теория поведения естественных и искусственных естественных и искусственных систем систем как основа поведенческой информатикикак основа поведенческой информатики(Психоника(Психоника – – психологияпсихология поведенияповедения искусственных систем искусственных систем

ТТеория гироматаеория гиромата как предшественница теории агентов как предшественница теории агентов Фреймы поступков. Модели коллективного поведения. Фреймы поступков. Модели коллективного поведения.

Анализ правополушарных механизмов восприятия и Анализ правополушарных механизмов восприятия и мышления)мышления)

Теория управления: Теория управления: Ситуационное управлениеСитуационное управление Прикладная семиотика:Прикладная семиотика: Семиотическое моделированиеСемиотическое моделирование Прикладная логика: Прикладная логика: Псевдофизические и нечеткие логикиПсевдофизические и нечеткие логики Виртуалистика и когнитивная графикаВиртуалистика и когнитивная графика

ОСНОВНАЯ СФЕРА ИНТЕРЕСОВ: ОСНОВНАЯ СФЕРА ИНТЕРЕСОВ: ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ

Д.А.ПОСПЕЛОВ ОБ ИСКУССТВЕННОМ Д.А.ПОСПЕЛОВ ОБ ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕИНТЕЛЛЕКТЕ

Исследования в ИИИсследования в ИИ должны быть нацелены на должны быть нацелены на ««изучение изучение психикипсихики человека человека с целью ее имитации с целью ее имитациив технических системах, решающих определенныйв технических системах, решающих определенныйнабор практических задач, традиционно считающихся набор практических задач, традиционно считающихся интеллектуальными» интеллектуальными» [Поспелов Д.А. Фантазия или наука: на пути к ИИ. М.: Наука, [Поспелов Д.А. Фантазия или наука: на пути к ИИ. М.: Наука, 1982]. 1982].

В философском плане данную позицию можно В философском плане данную позицию можно обозначитьобозначить

как как «умеренный функционализм»,«умеренный функционализм», предполагающийпредполагающийвозможность возможность абстрагировать характерные свойства абстрагировать характерные свойства некоторого явления и воспроизвести их на другихнекоторого явления и воспроизвести их на другихносителях. носителях.

Здесь речь идет о Здесь речь идет о воспроизведении основных функций воспроизведении основных функций человеческого интеллектачеловеческого интеллекта (а в более широком плане, (а в более широком плане, психики человекапсихики человека) без учета лежащих за ними ) без учета лежащих за ними физиологических явлений. физиологических явлений.

ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ (ПО Д.А. ПОСПЕЛОВУ) КАК «НАУКА-ПЕРЕКРЕСТОК», КАК «НАУКА-ПЕРЕКРЕСТОК», ОБЪЕДИНЯЮЩАЯ РЯД ОБЪЕДИНЯЮЩАЯ РЯД

ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИНДИСЦИПЛИН

ТТЕЕООРРИИЯЯ

УУППРРААВВЛЛЕЕН Н ИИЯЯ

ииии

ТЕОРИЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ИМНОЖЕСТВ И

ЛОГИКАЛОГИКАЛИНГВИСТИКАЛИНГВИСТИКА

ФИЛОСОФИЯФИЛОСОФИЯВоззрения В.И.Вернадского, Воззрения В.И.Вернадского,

Н.К.РерихаН.К.Рериха

ПСИХОЛОГИЯПСИХОЛОГИЯ

ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЕ

ЛОГИКИ

СЕМИОТИЧЕСКИЕСИСТЕМЫ

СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ И

МОДЕЛИРОВАНИЮ ИНТЕЛЛЕКТА

ПСИХОНИКА,МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ,ТЕОРИЯ ГИРОМАТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ СИСТЕМ

И

Н

Ф

О

Р

М

А

Т

И

К

А

МОДЕЛИ ДИАЛОГА

И ПОНИМАНИЯ

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В РАЗВИТИЕ Д.А.ПОСПЕЛОВА В РАЗВИТИЕ

ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИ

I.I. НАУЧНАЯ: НАУЧНАЯ: МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИМОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ 1. КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАТИКА: ТЕОРИЯ 1. КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАТИКА: ТЕОРИЯ

АВТОМАТОВ, АВТОМАТОВ, ТЕОРИЯ ИГР, ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМТЕОРИЯ ИГР, ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

2. НАУКИ ОБ ИСКУССТВЕННОМ, 2. НАУКИ ОБ ИСКУССТВЕННОМ, В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ,В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ, СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ, СЕМИОТИЧЕСКОЕ СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ, СЕМИОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАЗВИТИЕ МЕТОДОЛОГИИ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАЗВИТИЕ МЕТОДОЛОГИИ, ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ИИТЕОРИИ И МЕТОДОВ ИИ3. КОГНИТИВНЫЕ НАУКИ 3. КОГНИТИВНЫЕ НАУКИ ИИ НАУКИ О НАУКИ О ПОВЕДЕНИИПОВЕДЕНИИ

II. II. НАУЧНОНАУЧНО -- ПУБЛИЦИСТИЧЕСКАЯ:ПУБЛИЦИСТИЧЕСКАЯ: РАБОТЫ ПО ИСТОРИИ ИНФОРМАТИКИРАБОТЫ ПО ИСТОРИИ ИНФОРМАТИКИ ИИ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА. ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА. ФУТУРОЛОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИФУТУРОЛОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ

РАННИЕ МОНОГРАФИИ Д.А.ПРАННИЕ МОНОГРАФИИ Д.А.Поспеловаоспелова

в в области кибернетики и информатикиобласти кибернетики и информатики «Логические методы анализа и синтеза«Логические методы анализа и синтеза

схемсхем»» (1964 г.)(1964 г.) «Игры и автоматы»«Игры и автоматы» (1965 г.) (1965 г.)

«Вероятностные автоматы»«Вероятностные автоматы» (1970 г.)(1970 г.) «Мышление и автоматы»«Мышление и автоматы» (1972 г.) (1972 г.)

(совместно с В.Н.Пушкиным),(совместно с В.Н.Пушкиным),

«Системы управления»«Системы управления» (1972 г.) (1972 г.)

(совместно с В.Н.Захаровым и В.Е.Хазацким)(совместно с В.Н.Захаровым и В.Е.Хазацким) «Большие системы. Ситуационное «Большие системы. Ситуационное

управление»управление» (1975 г.),(1975 г.),

МОНОГРАФИИ Д.А.ПОСПЕЛОВА МОНОГРАФИИ Д.А.ПОСПЕЛОВА В ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКИ И В ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКИ И

ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТАИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА «Логико-лингвистические модели в системах «Логико-лингвистические модели в системах

управления» управления» (1981 г.) (1981 г.) «Фантазия или наука: на пути к искусственному «Фантазия или наука: на пути к искусственному

интеллекту» интеллекту» (1982 г.)(1982 г.) «Оркестр играет без дирижера. Размышления об «Оркестр играет без дирижера. Размышления об

эволюции некоторых технических систем и управлении эволюции некоторых технических систем и управлении ими» ими» (1984 г.) (совместно с В.И.Варшавским)(1984 г.) (совместно с В.И.Варшавским)

«Ситуационное управление: теория и практика» «Ситуационное управление: теория и практика» (1986 г.)(1986 г.) «От амебы до робота: модели поведения» «От амебы до робота: модели поведения» (1987г.) (1987г.)

(совместно с М.Г.Гаазе-Рапопортом) Основы поведенческой(совместно с М.Г.Гаазе-Рапопортом) Основы поведенческой

«Представление знаний о времени и пространстве в «Представление знаний о времени и пространстве в интеллектуальных системах» интеллектуальных системах» (1988 г.)(1988 г.) (совместно с Е.Ю.Кандрашиной и Л.В.Литвинцевой)(совместно с Е.Ю.Кандрашиной и Л.В.Литвинцевой)

«Моделирование рассуждений» «Моделирование рассуждений» (1989 г.)(1989 г.) «Нормативное поведение в мире людей и машин» «Нормативное поведение в мире людей и машин»

(1990) (совместно с В.А.Шустер)(1990) (совместно с В.А.Шустер)

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В

РАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИРАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИIII.III. НаучноНаучно -- учебная.учебная. Формирование Формирование научной школынаучной школы,,воспитание учеников, производство специалистов в воспитание учеников, производство специалистов в области информатики и ИИ, близких ему по духу и идеям области информатики и ИИ, близких ему по духу и идеям (В.Н. Вагин, Г.С .Осипов, В.Ф. Хорошевский, А.Н. Аверкин, (В.Н. Вагин, Г.С .Осипов, В.Ф. Хорошевский, А.Н. Аверкин, А.Ф. Блишун, И.В. Ежкова, Л.В. Литвинцева и дрА.Ф. Блишун, И.В. Ежкова, Л.В. Литвинцева и др.).)

IV.IV. НаучноНаучно -- организационная. организационная. Активное участие в Активное участие в организации координационных структур по ИИ ворганизации координационных структур по ИИ в системе системе АН СССР АН СССР (1974 г.)(1974 г.) Заместитель председателя Научного совета по искусственному Заместитель председателя Научного совета по искусственному

интеллекту Комитета по системному анализу при Президиуме интеллекту Комитета по системному анализу при Президиуме АН СССР АН СССР (Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь Л.И.Микулич)(Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь Л.И.Микулич)

Заместитель председателя Секции «Искусственный интеллект» Заместитель председателя Секции «Искусственный интеллект» Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» при Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» при Президиуме АН СССР Президиуме АН СССР (Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь (Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь Л.И.Микулич)Л.И.Микулич)

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В

РАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИРАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИСоздание в 1989 г. Советской ассоциации искусственного Создание в 1989 г. Советской ассоциации искусственного Интеллекта (Учредительный съезд состоялся в г. Коломне в маеИнтеллекта (Учредительный съезд состоялся в г. Коломне в мае 1989 г.). 1989 г.). В 1992 г. она была преобразована в Ассоциацию искусственного В 1992 г. она была преобразована в Ассоциацию искусственного интеллекта, а в 1996 г. появилась интеллекта, а в 1996 г. появилась Российская ассоциация Российская ассоциация искусственного интеллекта.искусственного интеллекта. С 1991 г.С 1991 г. стал издаваться журнал Ассоциации стал издаваться журнал Ассоциации «Новости искусственного интеллекта» «Новости искусственного интеллекта» ((ныне ныне «Искусственный интеллект и принятие решений»).«Искусственный интеллект и принятие решений»).

Таким образом, была сформирована открытая, междисциплинарная Таким образом, была сформирована открытая, междисциплинарная научная среда, эффективно функционирующая уже почти 20 лет, научная среда, эффективно функционирующая уже почти 20 лет, которая живет самостоятельной жизнью и является примером открытого которая живет самостоятельной жизнью и является примером открытого сообщества, активно взаимодействующего с самыми разными научными, сообщества, активно взаимодействующего с самыми разными научными, учебными, промышленными, деловыми структурами. учебными, промышленными, деловыми структурами.

За период с 1988 г. по 2010 г. было проведено За период с 1988 г. по 2010 г. было проведено 1122 Национальных Национальных конференций по ИИконференций по ИИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Традиционные множества удовлетворяют двум базовым постулатам: Традиционные множества удовлетворяют двум базовым постулатам:

а) постулат принадлежности; а) постулат принадлежности;

б) постулат различимости. б) постулат различимости. Согласно Согласно постулату принадлежностипостулату принадлежности,, любой элемент любой элемент либо принадлежит, либо принадлежит, либо не принадлежит множествулибо не принадлежит множеству,,

т.е.т.е. XX==X X ++, , X X , , где где X X + + = = {{xx xxXX }},, X X = { = {xx xxXX }}

или на языке характеристических функцийили на языке характеристических функций 1, 1, если если xxXX

f(x) = f(x) = 0, 0, если если xxXX

Это означает, что границы множества являются четкими; логическим Это означает, что границы множества являются четкими; логическим аналогом аналогом постулата принадлежности постулата принадлежности является является закон исключенного закон исключенного третьего.третьего.

В соответствии с В соответствии с постулатом различимостипостулатом различимости множество мыслится множество мыслится как совокупность разных, т.е. четко различимых между собой как совокупность разных, т.е. четко различимых между собой элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка. элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка.

Отказ от этих жестких постулатов приводит к появлению Отказ от этих жестких постулатов приводит к появлению неклассических (нестандартных) теорий множеств.неклассических (нестандартных) теорий множеств.

..

НЕСТАНДАРТНЫЕ ТЕОРИИ НЕСТАНДАРТНЫЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВМНОЖЕСТВ

Известными примерами нестандартных теорий множеств Известными примерами нестандартных теорий множеств служат служат мереология мереология (теория частей и границ) (теория частей и границ) Ст.Лесьневского и Ст.Лесьневского и ее современные расширения (в частности, мереотопология);ее современные расширения (в частности, мереотопология);альтернативная теория множеств (АТМ) альтернативная теория множеств (АТМ) П.Вопенки. П.Вопенки.

В обеих этих теориях не используется отношение В обеих этих теориях не используется отношение принадлежностипринадлежности..

В АТМ класс рассматривается как более общая категория, чем В АТМ класс рассматривается как более общая категория, чем

множество, вводится понятие множество, вводится понятие «полумножество»«полумножество», а также , а также

принимается интерпретация бесконечности как нечеткости, принимается интерпретация бесконечности как нечеткости,

свойственной «необозримому конечному». свойственной «необозримому конечному». Пусть имеется свойство объекта Пусть имеется свойство объекта ((xx), которое определяет класс ), которое определяет класс {{xx, , ((xx))}}. .

Полумножеством Полумножеством AA называется собственный класс, являющийся называется собственный класс, являющийся

подклассом некоторого множества подклассом некоторого множества AA = { = {xx, , ((xx))} } XX

В русле идей релятивизма в альтернативной теории множеств В русле идей релятивизма в альтернативной теории множеств вводится вводится понятие «горизонта», вблизи которого возникают феномены понятие «горизонта», вблизи которого возникают феномены неразличимости и нечеткости.неразличимости и нечеткости.

Вопенка П. Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность: Пер. со словац. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004.

МЕРЕОЛОГИЯ Ст. ЛЕСЬНЕВСКОГО: МЕРЕОЛОГИЯ Ст. ЛЕСЬНЕВСКОГО: ОСНОВНЫЕ ИДЕИОСНОВНЫЕ ИДЕИ

Мереологией (партономией) называется учение о частях целого (теория частей и границ). Как известно, в классической теории множеств активно используются постулат различимости элементов, а также понятие пустого множества. В отличие от этого мереология: 1) делает акцент на целостности множества как «коллективного класса», что позволяет считать ее прямой предшественницей теории грануляции Л.Заде; 2) основана на единственном отношении «быть частью»; 3) обходится без пустого множества.

Мереология Лесьневского являет собой прототип «весомой» онтологии,

которая опирается на следующие аксиомы (эти аксиомы положены в основу ряда моделей пространства).1. Любой предмет есть часть самого себя (аксиома рефлексивности).2. Две различные вещи не могут быть частями друг друга: если P – часть предмета Q, то Q не есть часть предмета P (аксиома антисимметричности).3. Если P есть часть предмета Q, а Q – часть предмета R, то P есть часть предмета R (аксиома транзитивности).Таким образом, отношение «часть–целое» является отношением нестрогого порядка.

Станислав Станислав Лесьневский Лесьневский

(1886-1939), (1886-1939), Серпухов-Серпухов-ВаршаваВаршава

ПРИМЕРЫ НЕСТАНДАРТНЫХ ПРИМЕРЫ НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ: МУЛЬТИМНОЖЕСТВОМНОЖЕСТВ: МУЛЬТИМНОЖЕСТВО

Мультимножеством АМультимножеством А называется множество, которое может называется множество, которое может включать включать повторяющиеся повторяющиеся элементы. элементы. Пусть Пусть XX = { = {xx11, …, , …, xxmm}} – – обычное множество, все элементы которого обычное множество, все элементы которого различны.различны.Мультимножеством А,Мультимножеством А, порожденным множеством порожденным множеством XX, , называетсяназываетсясовокупность наборов одинаковых элементов вида совокупность наборов одинаковых элементов вида А =А = { {nnA1A1xx11,, nnA2A2xx22,…,,…, nnAmAmxxmm}}..

В общем случае мультимножество можно задать с помощью двух В общем случае мультимножество можно задать с помощью двух базовых функций: базовых функций: характеристической функции характеристической функции ff : : XX {0, 1} {0, 1} и и функции кратности функции кратности nn..Функция кратности мультимножества выражается как Функция кратности мультимножества выражается как

nn: : XX NN00,,

где где NN00 = {0,1,2,…} = {0,1,2,…} – – множество неотрицательных целых чисел. множество неотрицательных целых чисел.

По сути, формализация мультимножества сводится к определению его По сути, формализация мультимножества сводится к определению его функции кратности. функции кратности.

ИНТЕРПРЕТАЦИИ МУЛЬТИМНОЖЕСТВАИНТЕРПРЕТАЦИИ МУЛЬТИМНОЖЕСТВА1. Множество с различной частотой встречаемости элементов1. Множество с различной частотой встречаемости элементов

2. Множество, состоящее из 2. Множество, состоящее из n n экземпляров («точных копий») экземпляров («точных копий») каждого типа каждого типа xxXX ((XX – множество типов).– множество типов).

3. Взвешенное множество, когда кратность отождествляется 3. Взвешенное множество, когда кратность отождествляется с весом с весом nn==ww. .

АА={={ww11xx11, , ww22xx22,…, ,…, wwnnxxnn}, }, где где wwii= = wwAA((xx)), а выражение , а выражение

wwiixxii можно понимать как алгебраическое произведение можно понимать как алгебраическое произведение

элемента элемента xxii и его веса и его веса wwii,, ii=1,…,=1,…,nn..

  nn

xx

Векторы и матрицы также могут использоваться для наглядного представления мультимножеств

Петровский А.Б. Петровский А.Б. Пространства множеств и Пространства множеств и мультимножеств. – М.: мультимножеств. – М.: Едиториал УРСС, 2003.Едиториал УРСС, 2003.

Д.А.ПОСПЕЛОВ: ТРЕХЗНАЧНЫЕ Д.А.ПОСПЕЛОВ: ТРЕХЗНАЧНЫЕ И МНОГОЗНАЧНЫЕ СЕМАНТИКИ, И МНОГОЗНАЧНЫЕ СЕМАНТИКИ,

КРИТИКА ПРИНЦИПА РАЗЛИЧИМОСТИ, КРИТИКА ПРИНЦИПА РАЗЛИЧИМОСТИ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтезаПоспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. М.: схем. М.: Энергия, 1974 (Раздел Энергия, 1974 (Раздел «Применение многозначных логик при «Применение многозначных логик при анализе и синтезе схем»анализе и синтезе схем»).).

Захаров В.Н., Поспелов Д.А. Деонтическая логика и ее Захаров В.Н., Поспелов Д.А. Деонтическая логика и ее использование в моделях коллективного поведенияиспользование в моделях коллективного поведения// // Дискретные системы. Международный симпозиум.Дискретные системы. Международный симпозиум. – Рига: Зинатне, – Рига: Зинатне, 1974. – Т.4. – С.88-92. 1974. – Т.4. – С.88-92. Трехзначная семантикаТрехзначная семантика

Поспелов Д.А., Осипов Г.С. Прикладная семиотика// Новости Поспелов Д.А., Осипов Г.С. Прикладная семиотика// Новости искусственного интеллекта. – 1999. – №1. – С.9-35 искусственного интеллекта. – 1999. – №1. – С.9-35

(О неразличимости денотатов, с.14)(О неразличимости денотатов, с.14)

Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. – М.: Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. – М.: Наука, 1986. (Наука, 1986. (Неопределенное множество Неопределенное множество на с.186)на с.186)

Неразличимость Неразличимость как следствие как следствие отсутствия информацииотсутствия информацииОбъекты могут быть Объекты могут быть различимыми различимыми в одной шкале и в одной шкале и неразличимыминеразличимыми, т.е. тождественными, в другой – более , т.е. тождественными, в другой – более укрупненной или размытой. укрупненной или размытой. ......

НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА: НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА: ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОДИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД

X0

CCВЯЗЬ МЕЖДУ ИЕРАРХИЕЙ И ВЯЗЬ МЕЖДУ ИЕРАРХИЕЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮНЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

HH = (= (XX++,,XX00), ), X+X+X, XX, X00 = X \ X= X \ X++

X+

ОбластьОбластьопределенностиопределенности

ОбластьОбластьнеопределенностинеопределенности

Нестандартные множества с областью недоопределенности или

переопределенности выражаются тройками вида X=X +, X , X 0, где X + = {x xX }, X = {x xX }, X 0 = {x x ? X }

Их можно представить трехзначной

характеристической функциейf (x){+1, 0.5,

0}Близкий подход:

Shadowed Sets:Pedrycz W., Gomide F.Fuzzy Systems Engineering: Towards Human-Centric Computing. – Hoboken N.J.: Wiley and Sons, 2007.

X

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВНЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим Обозначим XX++ через через A. A. Тогда:Тогда:

1. 1. Переопределенное множествоПереопределенное множество –– это множество с это множество с избыточной и противоречивой информацией избыточной и противоречивой информацией относительно принадлежностиотносительно принадлежности его элементовего элементов

+1, если +1, если xxXX++;;

ААod od ff((xx)) = = 0.5, если 0.5, если xxXX++ и и xxXX;; 0, если 0, если xxXX..

22. Недоопределенное множество. Недоопределенное множество –– это множество с это множество с неполной информацией относительно принадлежности неполной информацией относительно принадлежности его элементовего элементов

+1, если +1, если xxXX++;; ААudud ff((xx)) = = 0.5, если 0.5, если xxXX++ и и xxXX;; 0, если 0, если xxXX..

По А.С.Нариньяни,Аud = X +, X , l, u,

где l – нижняя оценкаu – верхняя оценка мощности множестваX 0

ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВОПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВОПусть Пусть ХХ – множество, а – множество, а RR      XXXX – – отношение неразличимости отношение неразличимости (эквивалентности).(эквивалентности).Тогда Тогда парапара=(=(ХХ, , RR) ) образует образует пространство приближенийпространство приближений..

Классы эквивалентности по отношению Классы эквивалентности по отношению RR называются называются элементарными множествами в пространстве приближений элементарными множествами в пространстве приближений , а любая совокупность элементарных множеств образует , а любая совокупность элементарных множеств образует составное множество в составное множество в . . Произвольное подмножество Произвольное подмножество AA XX можно точно определить можно точно определить на основе имеющейся информации, т.е. на основе имеющейся информации, т.е. классов классов эквивалентности.эквивалентности.Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами, Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами,

которые называются нижним приближением которые называются нижним приближением RRХХ = { = {xx xxRR XX} }

(наибольшее составное множество, содержащееся в (наибольшее составное множество, содержащееся в ХХ) )

и верхним приближением и верхним приближением RRХ Х = {= {xx  xxRRXX} } (наименьшее (наименьшее

составное множество, содержащее составное множество, содержащее XX) соответственно.) соответственно.

Pawlak Z. Rough Sets //

International Journal of

Computer and Information

Sciences. – 1982. – Vol.11. –

P.341-356.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО МНОЖЕСТВАМНОЖЕСТВА

Нижнее приближение есть множество всех объектов, которые определенно принадлежат Х, а верхнее приближение – множество всех объектов, которые возможно принадлежат Х.

Приближенное (аппроксимируемое) множество расположено между этими двумя приближениями

RХ Х RХ Для каждой пары приближений различаются три различных области:

1) POSR (Х) = RХ (R – положительная область X, в которой все объекты определенно принадлежат множеству X); 2) NEGR (Х) = U \ Х (R – отрицательная область X, в которой все объекты определенно принадлежат дополнению X' к множеству X); 3) BNDR(Х) = Х \ RХ (R-пограничная область X, где содержатся все объекты, которые не могут быть с определенностью отнесены ни к X, ни к его дополнению X'.

Павляк З. Приближенные

множества – основные

понятия// Логические

исследования. Вып.1. – М.:

Наука, 1993. – С.6-19.

СЛУЧАЙНОЕ МНОЖЕСТВОСЛУЧАЙНОЕ МНОЖЕСТВОСлучайное множество Случайное множество AA задается отображениемзадается отображением

AA: : 2 2YY

пространства элементарных событий пространства элементарных событий в в множество всех подмножеств конечного множество всех подмножеств конечного множества множества YY, если прообраз любого подмножества , если прообраз любого подмножества X X множества множества Y Y является измеримым, т.е. является измеримым, т.е. АА–1–1((XX) ) BB, ,

где где B B – поле борелевских множеств. – поле борелевских множеств.

Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.

– – М.: Наука, 1979.М.: Наука, 1979.

МЯГКОЕ МНОЖЕСТВОМЯГКОЕ МНОЖЕСТВОПусть Пусть UU – универсальное множество, а – универсальное множество, а P P – множество – множество параметров, которое может иметь произвольную природу. параметров, которое может иметь произвольную природу. ПараПара

((SS, , PP) )

называется называется мягким множеством мягким множеством над над UU, если , если S S является является отображением из множества отображением из множества PP в множество всех в множество всех подмножеств множества подмножеств множества UU, т.е. , т.е.

SS: : PP22UU ..

Таким образом, мягкое множество, тесно связанное с Таким образом, мягкое множество, тесно связанное с представлением нечеткости семейством обычных множеств представлением нечеткости семейством обычных множеств уровня, по сути, задает параметризованное семейство уровня, по сути, задает параметризованное семейство подмножеств универсума подмножеств универсума UU..

Молодцов Д.А. Теория мягких множеств. – М. Едиториал УРСС, Молодцов Д.А. Теория мягких множеств. – М. Едиториал УРСС, 2004.2004.

Molodtsov D.A. Soft Set Theory – First Results// Computers and Molodtsov D.A. Soft Set Theory – First Results// Computers and Mathematics with Applications. – 1999. – Vol.37, №4-5. – P.19-31.Mathematics with Applications. – 1999. – Vol.37, №4-5. – P.19-31.

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Zadeh L.A. Fuzzy SetsZadeh L.A. Fuzzy Sets// Information and Control. –// Information and Control. –1965. – Vol.8. – P. 338-353.1965. – Vol.8. – P. 338-353. Дано понятие Дано понятие нечеткого множестванечеткого множества, , изложеныизложеныразличные варианты определения бинарных различные варианты определения бинарных операций их операций их пересеченияпересечения ии объединенияобъединения. . Введены унарные операции Введены унарные операции дополнениядополнения, , растяжениярастяжения, , концентрированияконцентрирования, отношение , отношение включениявключения. . Рассмотрены Рассмотрены множества уровнямножества уровня нечетких нечетких множеств.множеств.Введены Введены нечеткие отношениянечеткие отношения и их и их проекциипроекции..ПредложенПредложен принцип обобщения принцип обобщения и рассмотреныи рассмотрены отображения нечетких множествотображения нечетких множеств..Введены Введены нечеткие множества типа 2.нечеткие множества типа 2.Определены Определены эластичные ограниченияэластичные ограничения и и правила трансляции нечетких предложенийправила трансляции нечетких предложений

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВНЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

1.1. Всем подмножествам универсального множества Всем подмножествам универсального множества X X

ccтавится в соответствие упорядоченная тавится в соответствие упорядоченная структура: структура:

xx FF yy x x есть в большей степени есть в большей степени FF, , чем чем yy

2. Упорядочение по принадлежности производится 2. Упорядочение по принадлежности производится нана

шкале принадлежностишкале принадлежности MM: : xx FFyy FF ((xx)) FF ((yy))

3. Шкала принадлежности может быть как числовой: 3. Шкала принадлежности может быть как числовой: интервалы интервалы [0, 1], [[0, 1], [1, +1], [0,1, +1], [0,),), подинтервалы подинтервалы этих интервалов, так и нечисловойэтих интервалов, так и нечисловой: : линейно линейно упорядоченное множество, решетка упорядоченное множество, решетка LL и пр.и пр.

25 ЛЕТ НАЗАД ВЫШЛА В СВЕТ КНИГА25 ЛЕТ НАЗАД ВЫШЛА В СВЕТ КНИГА«НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА В МОДЕЛЯХ «НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА В МОДЕЛЯХ

УПРАВЛЕНИЯ И ИСКУССТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА»ИНТЕЛЛЕКТА»// ПОД РЕД. Д.А.ПОСПЕЛОВА ПОД РЕД. Д.А.ПОСПЕЛОВА

Рассматривается применение аппарата Рассматривается применение аппарата теории нечетких множеств к таким теории нечетких множеств к таким областям математики, как теория матриц областям математики, как теория матриц и отношений, логика, теория автоматов и и отношений, логика, теория автоматов и алгоритмов, модели принятия решений и алгоритмов, модели принятия решений и др. др.

Описывается применение полученных Описывается применение полученных формальных методов к кластерному формальных методов к кластерному анализу, распознаванию образов, анализу, распознаванию образов, задачам рационального выбора, задачам рационального выбора, экспертным оценкам, экономическим экспертным оценкам, экономическим прогнозам, описанию биологических и прогнозам, описанию биологических и социальных процессов, моделированию социальных процессов, моделированию поведения человека-оператора, к поведения человека-оператора, к системам планирования и представления системам планирования и представления знаний в системах искусственного знаний в системах искусственного интеллекта, алгоритмам управления интеллекта, алгоритмам управления роботами и технологическими роботами и технологическими процессами, допускающим нечеткие процессами, допускающим нечеткие инструкции.инструкции.

ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ Л.Заде в 1970-е Л.Заде в 1970-е – – 191990-е годы90-е годы Формальная модель лингвистической переменнойФормальная модель лингвистической переменнойZadehZadeh L.A. The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate L.A. The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning. Reasoning. Parts 1 and 2//Information Sciences. –1975.Parts 1 and 2//Information Sciences. –1975. – Vol.8.– Vol.8. –– P.199-249, 301-357P.199-249, 301-357

Идеи плюрализма и локальности в логикеИдеи плюрализма и локальности в логике Bellman R., Zadeh L.A. Local and Fuzzy Logics// Modern Uses of Multiple-ValuedBellman R., Zadeh L.A. Local and Fuzzy Logics// Modern Uses of Multiple-Valued Logics/ Ed. by Logics/ Ed. by J.M.Dunn and G.Epstein. – Dordrecht: D.Reidel, 1977. – P.105-165.J.M.Dunn and G.Epstein. – Dordrecht: D.Reidel, 1977. – P.105-165.

Теория возможностиТеория возможностиZadeh L.A. Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility// Fuzzy Sets and Systems. – 1978. –Zadeh L.A. Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility// Fuzzy Sets and Systems. – 1978. –Vol.1. – P. Vol.1. – P. 3-283-28

Теория приближенных рассужденийТеория приближенных рассуждений Zadeh L.A. Zadeh L.A. A Theory of Approximate Reasoning// Machine Intelligence/ A Theory of Approximate Reasoning// Machine Intelligence/ Ed. byEd. by J. Hayes,J. Hayes, D. Michie and L.I. Mikulich. – New York: Halstead Press, 1979. – P.149-194.D. Michie and L.I. Mikulich. – New York: Halstead Press, 1979. – P.149-194.

Концепция мягких вычисленийКонцепция мягких вычисленийZadeh L.A. Fuzzy Logic, Neural Network and Soft Computing// Communications of the ACM.Zadeh L.A. Fuzzy Logic, Neural Network and Soft Computing// Communications of the ACM. – – 1994. – Vol.37, №3. – P.77-84.1994. – Vol.37, №3. – P.77-84.

Концепция вычислений со словамиКонцепция вычислений со словамиZadeh L.A. Fuzzy Logic = Computing With Words// IEEE Transactions on Fuzzy Zadeh L.A. Fuzzy Logic = Computing With Words// IEEE Transactions on Fuzzy Systems. – 1996. –Systems. – 1996. – Vol. 4. – P. 103-111. Vol. 4. – P. 103-111.

Теория нечетких информационных гранулТеория нечетких информационных гранулZadeh L.A. Toward a Theory of Fuzzy Information Granulation and its Centrality in Human Zadeh L.A. Toward a Theory of Fuzzy Information Granulation and its Centrality in Human Reasoning and Fuzzy Logic// Fuzzy Sets and Systems. – 1997. – Vol. 90. – P.111-127.Reasoning and Fuzzy Logic// Fuzzy Sets and Systems. – 1997. – Vol. 90. – P.111-127.

ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ Л.Заде в 2000-е годыЛ.Заде в 2000-е годы

Общая теория неопределенности Общая теория неопределенности

Zadeh L.A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU): an Outline// Zadeh L.A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU): an Outline// Information Sciences – Informatics and Computer Science. – 2005. – Vol.172, №1-2. Information Sciences – Informatics and Computer Science. – 2005. – Vol.172, №1-2. – – P.1-40.P.1-40.

Zadeh L.A. Generalized Theory of Uncertainty (GTU) – Principal Concepts and Ideas// Zadeh L.A. Generalized Theory of Uncertainty (GTU) – Principal Concepts and Ideas// Computational Statistics and Data Analysis. – 2006. – Vol. 51. – P.15-46.Computational Statistics and Data Analysis. – 2006. – Vol. 51. – P.15-46.\\

Теория неточных и гранулярных вероятностейТеория неточных и гранулярных вероятностейZadeh L.A. Toward a Perception-Based Theory of Probabilistic Reasoning with Imprecise Probabilities// Zadeh L.A. Toward a Perception-Based Theory of Probabilistic Reasoning with Imprecise Probabilities//

Journal of Statistical Planning and Inference. – 2002. – Vol.105. – P. 233–264.Journal of Statistical Planning and Inference. – 2002. – Vol.105. – P. 233–264.

Zadeh L.A Zadeh L.A From imprecise to granular probabilities// Fuzzy Sets and Systems. – 2005. – Vol.154, From imprecise to granular probabilities// Fuzzy Sets and Systems. – 2005. – Vol.154, №№33. –. –

P.370-374P.370-374..

Программа развития Программа развития гранулярной математикигранулярной математики, , в частности, реализация в частности, реализация гранулярных вычислений гранулярных вычислений на основе обобщенных ограниченийна основе обобщенных ограничений

Создание в 1997 г. специальной рабочей группы по гранулярным вычислениям в Создание в 1997 г. специальной рабочей группы по гранулярным вычислениям в рамках ранее организованной Л.Заде лаборатории рамках ранее организованной Л.Заде лаборатории BISC BISC в университете Беркли в университете Беркли (штат Калифорния)(штат Калифорния)

Для того, чтобы перейти от нестандартных множеств к Для того, чтобы перейти от нестандартных множеств к гранулярным вычислениям следует дать ответы на ряд гранулярным вычислениям следует дать ответы на ряд ключевых вопросов.ключевых вопросов.Зачем и для кого нужны информационных гранулыЗачем и для кого нужны информационных гранулы? ? Какие области и типы задач искусственного интеллекта Какие области и типы задач искусственного интеллекта затронуты этой проблематикой?затронуты этой проблематикой?Как формировать информационные гранулы?Как формировать информационные гранулы?Какие инструментальные средства нужны для разработки и Какие инструментальные средства нужны для разработки и поддержки гранулярной онтологииподдержки гранулярной онтологии??

ОБЛАСТИ ИИОБЛАСТИ ИИ Теория и приложения интеллектуальных агентов и Теория и приложения интеллектуальных агентов и многоагентных систем;многоагентных систем; Системы онтологий и, в частности, метаонтологии;Системы онтологий и, в частности, метаонтологии; Задачи интеллектуального анализа данных и Задачи интеллектуального анализа данных и обнаружения знаний, в частности, интеграцииобнаружения знаний, в частности, интеграцииданных, поступающий от сенсоров данных, поступающий от сенсоров

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ГРАНУЛЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ГРАНУЛЫ И ГРАНУЛЯЦИЯ В ИСКУССТВЕННОМГРАНУЛЯЦИЯ В ИСКУССТВЕННОМ

ИНТЕЛЛЕКТЕИНТЕЛЛЕКТЕ

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АГЕНТАОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АГЕНТА

Обычно определение искусственного агента сводится к Обычно определение искусственного агента сводится к выделению некоторого минимального набора его базовых выделению некоторого минимального набора его базовых характеристик, в число которых входят: характеристик, в число которых входят:

1) активность; 1) активность; 2) реактивность; 2) реактивность; 3) автономность; 3) автономность; 4) коммуникативность; 4) коммуникативность; 5) интенциональность5) интенциональность. .

Для интеллектуальных агентов в этот перечень добавляются такие Для интеллектуальных агентов в этот перечень добавляются такие качества как качества как формирование мнений и представление знаний, прогнозирование ситуации, принятие решений и планирование действий. Важным свойством человека как естественного интеллектуального Важным свойством человека как естественного интеллектуального агента является агента является способность к грануляции информации.способность к грануляции информации. как как основной подход к работе с основной подход к работе с НЕ-факторами.НЕ-факторами. Этой способностью Этой способностью следует наделять и искусственных интеллектуальных агентов - как следует наделять и искусственных интеллектуальных агентов - как физических агентов, например, интеллектуальных роботов, так и физических агентов, например, интеллектуальных роботов, так и программных агентов, в частности, инфоботов. программных агентов, в частности, инфоботов.

ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВИДЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ АГЕНТОВ КАК

ОТКРЫТЫХ АКТИВНЫХ СИСТЕМ

КОГНИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

СРЕДААГЕНТ

РЕГУЛЯТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

РЕСУРСНАЯ ФУНКЦИЯ

Когнитивные агенты – познающие (построение

внутренней модели внешней среды)

Коммуникативные агенты – общение с другими агентами

Дел

ибер

атив

ные

аген

ты –

ра

ссуж

дени

я дл

я де

йств

ий

АРХИТЕКТУРА КОГНИТИВНОГО АГЕНТААРХИТЕКТУРА КОГНИТИВНОГО АГЕНТАГлавная особенность когнитивного агента, отличающая его от других интеллектуальныхсистем, заключается в том, что он получает информацию из трех источников: 1) от датчиков сенсорной системы;2) от собственной базы знаний;3) от человека-оператора на ограниченном ЕЯ в виде целеуказаний и инструкций.

Интеграция этих информационныхпроцессов является необходимым условием диалогового управления.

ПОНЯТИЕ ГРАНУЛЫПОНЯТИЕ ГРАНУЛЫТерминТермин ««гранулагранула» » происходит от латинского слова происходит от латинского слова granumgranum, , что что означает «зерно» и описывает мелкую частицу реального мира. означает «зерно» и описывает мелкую частицу реального мира. Грануляция информации основана на неклассическом представлении множества. Классическое понятие множества опирается на два основных принципа: принцип принадлежности и принцип различимости его элементов. В то же время, гранула есть совокупность неразличимых объектов, определяемая только их типом и количеством.

Онтология гранул – это онтология представления сложных единиц информации и выявления знаний из данных.

Под гранулой понимается группа объектов, объединяемых неразличимостью, сходством, близостью (т.е. отношениями, обладающими, по крайней мере, свойствами симметричности и рефлексивности). По сути, термин «гранула» означает динамическую целостную информационную структуру, организованную для достижения некоторой цели.

Понятие «гранула» и термин Понятие «гранула» и термин «грануляция информации ввел Л.Заде «грануляция информации ввел Л.Заде в 1979 г., однако прямым в 1979 г., однако прямым предшественником теории грануляции предшественником теории грануляции может по праву считаться польский может по праву считаться польский ученый ученый Ст.Лесьневский – автор Мереологии.

ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В ИИ: ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В ИИ: ГРАНУЛЯЦИЯ КАК КЛЮЧЕВАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ КАК КЛЮЧЕВАЯ

СПОСОБНОСТЬ КОГНИТИВНЫХ СПОСОБНОСТЬ КОГНИТИВНЫХ АГЕНТОВАГЕНТОВ

1. 1. Информационные гранулы Информационные гранулы играют ведущую роль в играют ведущую роль в представлении и обработке знаний когнитивными агентами.представлении и обработке знаний когнитивными агентами.

2.2. Уровень грануляции (размер гранул) Уровень грануляции (размер гранул) имеет имеет существенное значение для описания агентом проблемы и существенное значение для описания агентом проблемы и выбора стратегии ее решения.выбора стратегии ее решения.

3. Не существует универсального уровня информационной 3. Не существует универсального уровня информационной грануляции; грануляции; размер гранулы размер гранулы является является проблемно-проблемно-ориентированнымориентированным и и зависящим от агентазависящим от агента. .

ИНТЕРПРЕТАЦИИ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ И КЛАССИФИКАЦИИ ГРАНУЛКЛАССИФИКАЦИИ ГРАНУЛ

Типичные интерпретации гранулТипичные интерпретации гранул естьесть: : часть целого, часть целого, подзадача задачи, кластер, переменное подзадача задачи, кластер, переменное ограничение (в смысле Л. Заде), единица знания.ограничение (в смысле Л. Заде), единица знания.Имеются различные классификации гранул: Имеются различные классификации гранул: физические физические и концептуальные гранулы, четкие и нечеткие гранулы, и концептуальные гранулы, четкие и нечеткие гранулы, одномерные и многомерные гранулы, гранулы данных и одномерные и многомерные гранулы, гранулы данных и гранулы знаний, временные и пространственные гранулы знаний, временные и пространственные (псевдофизические) гранулы и пр.(псевдофизические) гранулы и пр.

Гранулы отличаются друг от друга по своей природе, Гранулы отличаются друг от друга по своей природе, сложности, размеру, уровню абстрактности-детализации.сложности, размеру, уровню абстрактности-детализации.

Уровень грануляции можно задать как число объектов в Уровень грануляции можно задать как число объектов в грануле, поделенное на общее число гранул.грануле, поделенное на общее число гранул.

Термин «Грануляция» охватывает процессы композиции Термин «Грануляция» охватывает процессы композиции (формирование более крупных гранул) и декомпозиции (формирование более крупных гранул) и декомпозиции

(формирование более мелких гранул)(формирование более мелких гранул)

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ ГРАНУЛ: ИЕРАРХИЯ ПЛАНОВ ГРАНУЛ: ИЕРАРХИЯ ПЛАНОВ

((В СООТВЕТСТВИИ СО СТАНДАРТОМ В СООТВЕТСТВИИ СО СТАНДАРТОМ MRPII)MRPII)Уровень

планирования Объект Горизонт Интервал Оценка

выполнения

План продаж и операций

Товарно-номенклатурная

группа

1-2 года Квартал или месяц

Ежеквартальная

Главный календарный

планпроизводства

Изделия независимого

спроса и график конечной

сборки

Квартал - Год

Месяц или неделя

Ежемесячная

План потребностей в

материалах

Изделия зависимого

спроса

1-6 месяцев

Неделя, день

Еженедельная

Оперативное планирование и

управление производством

Технологическиеоперации,

детале-операции,

изделия, заказы

1-4 недели

День, час, минута

Ежедневная или ежесменная

Громов С.А. Разработка моделей, методов и программного обеспечение для оперативного планирования производства на основе теории адаптации и технологии программных агентов. Диссертация…к.т.н. – Москва: МГТУ им.Н.Э.Баумана,2011.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ГРАНУЛГРАНУЛ

),( baC

),(),( bcCacCc

),(),( abPbaP

),(),( abPbaP

),(),( bcPacPc

),(),(),( abPbaPbaO

),(),( baObaC

НазваниеОбозна-чения

Формальная записьГрафическаяИллюстрация

Несвязность DC

Часть P

Собственнаячасть

PP

Равенство EQ

Перекрытие O

Частичноеперекрытие

PO

Внешняясвязность

EC

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯЯзык описания сложной системы должен соответствовать характеру располагаемой о ней информации (уровню неопределенности).Грануляция информации – это ее представление согласно принципу соответствия на определенном уровне обобщенности – детализации. Например, теория пространственных гранул – это теория «бесточечных» пространственных областей.

ПРИНЦИП ГРАНУЛЯЦИИ Л.ЗАДЕПРИНЦИП ГРАНУЛЯЦИИ Л.ЗАДЕ

Для эффективной работы с неточной информации следует Для эффективной работы с неточной информации следует выбрать наибольший уровень грануляции, соответствующий выбрать наибольший уровень грануляции, соответствующий допустимому уровню неточности допустимому уровню неточности [Zadeh, 2000][Zadeh, 2000]

ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯГранулярные вычисления Гранулярные вычисления – это новая концептуальная и – это новая концептуальная и вычислительная парадигма обработки информации.вычислительная парадигма обработки информации.

Этот термин служит для обозначения различных методологий, Этот термин служит для обозначения различных методологий, теорий, методов и инструментальных средств, использующих теорий, методов и инструментальных средств, использующих гранулы при решении сложных задач. гранулы при решении сложных задач. Согласно Ю.Яо, гранулярные вычисления можно рассматривать с трех Согласно Ю.Яо, гранулярные вычисления можно рассматривать с трех сторон: как философию человеческого мышления, методологию сторон: как философию человеческого мышления, методологию решения задач и набор методов анализа информации.решения задач и набор методов анализа информации.

По мнению Л.Заде, гранулярные вычисления обеспечивают По мнению Л.Заде, гранулярные вычисления обеспечивают подходящее основание для подходящее основание для вычислений со словами, вычислений со словами, т.е. вычислений т.е. вычислений на основе информации, описываемой средствами ограниченного на основе информации, описываемой средствами ограниченного естественного языка.естественного языка.

Он связывает гранулярные вычисления с формированием, Он связывает гранулярные вычисления с формированием, агрегированием и распространением обобщенных агрегированием и распространением обобщенных ограниченийограничений..

Фундаментальными проблемами гранулярных вычислений являются Фундаментальными проблемами гранулярных вычислений являются построениепостроение, , представлениепредставление, , интерпретация интерпретация и и использование использование гранул гранул в соответствии с имеющимися знаниями.в соответствии с имеющимися знаниями.

Близкие концепции: Близкие концепции: ССomputational Intelligence, Naturalomputational Intelligence, Natural

Computations, Human-Centric Computing.Computations, Human-Centric Computing.

ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ: ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ: НЕКОТОРЫЕ ПЕРСОНАЛИИ И НЕКОТОРЫЕ ПЕРСОНАЛИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ

Основоположниками теории грануляции информации и Основоположниками теории грануляции информации и гранулярных вычислений являются гранулярных вычислений являются L.Zadeh, Yiyu Yao, L.Zadeh, Yiyu Yao, W.Pedrycz, T.-Y. Lin, R.Yager,W.Pedrycz, T.-Y. Lin, R.Yager, A.SkowronA.Skowron,, И.З.БатыршинИ.З.Батыршин, , В.КрейновичВ.Крейнович. . Базовые литературные источники:Базовые литературные источники:Монография Монография Bargiela A.Bargiela A.,, Pedrycz Pedrycz W.W. Granular Computing: an Granular Computing: an IntroductionIntroduction. . – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003.– Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003.

Капитальное руководство Капитальное руководство Handbook of Granular Computing/ Handbook of Granular Computing/ Ed.by Ed.by W.Pedrycz, A.Skowron and V.Kreinovich. W.Pedrycz, A.Skowron and V.Kreinovich. – New York: Wiley InterScience, – New York: Wiley InterScience, 2008. – 1116 c.2008. – 1116 c.

Proceedings of International Conferences Proceedings of International Conferences «Rough Sets, Fuzzy Sets, Data «Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing»Mining and Granular Computing» - - недавно в июне 2011 г. в Москве недавно в июне 2011 г. в Москве прошла уже прошла уже 1313-я-я конференция с таким названием.конференция с таким названием.

Международный журнал Международный журнал International Journal of Granular Computing, Rough Sets and Intelligent Systems (издается с 2010 г.)

ТИПИЧНЫЕ МОДЕЛИ ГРАНУЛТИПИЧНЫЕ МОДЕЛИ ГРАНУЛ ИнтервалыИнтервалы КластерыКластеры Вложенные множестваВложенные множества Недоопределенные множестваНедоопределенные множества Переопределенные множестваПереопределенные множества Приближенные множестваПриближенные множества МультимножестваМультимножества Нечеткие множестваНечеткие множества Лингвистические переменныеЛингвистические переменные

Примитивы языка гранулярных вычислений – Примитивы языка гранулярных вычислений – покрытия, разбиения, окрестностипокрытия, разбиения, окрестности

R

СТРУКТУРА ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИСТРУКТУРА ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ

Будем описывать общую схему грануляции информации когнитивным агентом пятеркой

GG = = X, GRX, GR, , MM, , R, T R, T ,,где X – проблемная область; GR – семейство информационных гранул; M – множество формальных методов грануляции; R – множество отношений между гранулами;T – множество переходов между уровнями грануляции (преобразований гранул).

Грануляцию информации можно осуществлять разными методами:1) на основе методов классификации и кластерного анализа;2) на базе мереологического подхода с помощью отношений вложенности и нестандартных множеств

ПРИМЕРЫ КЛАСТЕРОВПРИМЕРЫ КЛАСТЕРОВ

О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ ГРАНУЛОЙ И КЛАСТЕРОМ ГРАНУЛОЙ И КЛАСТЕРОМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕКЛАСТЕРА

Под кластером понимается такой набор объектов, где любой объект расположен ближе к центру, средней точке своего набора, чем к центру любого другого набора. Можно также определить кластер его как участок повышенной плотности в пространстве, отделенный от других участками низкой плотности.Аксиома различимости объектов не ставится под сомнение.

В кластерном анализе объединение объектов в группы производится, исходя из их сходства или различия, которое оценивается степенью близости объектов в метрических пространствах признаков.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ УРОВНЕЙ ИЛЛЮСТРАЦИЯ УРОВНЕЙ ГРАНУЛЯЦИИ И ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ГРАНУЛЯЦИИ И ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ

ГРАНУЛАМИГРАНУЛАМИ

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕТКИХ ГРАНУЛ: МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕТКИХ ГРАНУЛ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Простейший вариант грануляции информации есть разбиение универсального Простейший вариант грануляции информации есть разбиение универсального

множества, т.е. его разделение на множества, т.е. его разделение на nn непустых и неперекрывающихся непустых и неперекрывающихся подмножеств: подмножеств:

X X = = AA11 ... ... AAnn (покрытие), (покрытие),

где где AA11 ... ... AAnn = = ..Пример четкой гранулыПример четкой гранулы

Разбиение можно определить как фактор-множество, индуцируемое Разбиение можно определить как фактор-множество, индуцируемое отношением эквивалентности. отношением эквивалентности. Бинарное отношениеБинарное отношение RRXXX X называется отношением эквивалентности называется отношением эквивалентности EE, , если оно удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и если оно удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение эквивалентноститранзитивности. Отношение эквивалентности EE разбивает исходное разбивает исходное множествомножество X X на непересекающиеся подмножества. Это разбиение множества на непересекающиеся подмножества. Это разбиение множества X X называется фактор-множеством, индуцированным отношением называется фактор-множеством, индуцированным отношением эквивалентности эквивалентности EE и обозначается в виде и обозначается в виде

XX//E E ={[={[xx]]EE xxXX}, }, где [где [xx]]EE = {= {yy yyXX; ; xEyxEy} – класс эквивалентности, содержащий } – класс эквивалентности, содержащий xx. .

Примером функциональной грануляции служит антропоморфная грануляция автономного робота на базовые мехатронные компоненты: А1 – «тело» (двигательная система, обеспечивающая перемещение робота); А2 – «голова» или «мозг» – системы управления; А3 – «органы чувств» (сенсорные системы); А4 – «языки» (система коммуникации).

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ ПОНЯТИЯ ОКРЕСТНОСТИНА ОСНОВЕ ПОНЯТИЯ ОКРЕСТНОСТИ

Понятие гранулы можно задать как окрестность элемента (точки) x. Так на числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку.Пусть X, – метрическое пространство. В этом случае окрестностью с центром в точке y называют множество

Аε = { xX ρ (x, y) ε }. Таким образом, каждой точке xX можно поставить в соответствие некоторое подмножество, называемоеокрестностью точки, а семейство таких подмножеств образует систему окрестностей. В частности ε-окрестность можно описывать как расстояние.Бинарное отношение R называется расстоянием (метрикой) , если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) 1) RR((xx, , xx) = 0 ) = 0 , , ((xx, , xx)) XX X X (антирефлексивность); (антирефлексивность); 2) 2) RR((xx, , yy) = ) = RR((yy, , xx), ), ((xx, , yy), (), ( yy,, xx) ) XX X X (симметричность);(симметричность); 3)3) RR((xx, , zz) ) RR((xx, , yy) ) RR((yy, , zz)},)}, ((xx, , zz)),,((xx, , yy)),,((yy, , zz) ) XX XX (транзитивность).(транзитивность).По сути, понятияПо сути, понятия разбиения разбиения и и окрестностиокрестности являются примитивами являются примитивами языка гранулярных вычисленийязыка гранулярных вычислений, где им , где им соответствует терминсоответствует термин«гранула» «гранула»

ГРАНУЛЯРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРАНУЛЯРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМАСИСТЕМА

Определение. Гранулярная алгебраическая система есть Определение. Гранулярная алгебраическая система есть

тройкатройка

GAS= GAS= XXGG, , RRGG, , G G ,, гдегде XXGG есть непустое базовое гранулярное множество, понимаемое как есть непустое базовое гранулярное множество, понимаемое как основа грануляцииоснова грануляции ( (его можно задать семейством вложенных его можно задать семейством вложенных множеств, приближенных множеств, мультимножеств, нечетких множеств, приближенных множеств, мультимножеств, нечетких множеств и пр.),множеств и пр.),RRGG есть множество гранулярных отношений на есть множество гранулярных отношений на XXGG (например,(например, семейства бинарных, тернарных, …, семейства бинарных, тернарных, …, nn-арных отношений, выражаемых -арных отношений, выражаемых с помощью гиперграфов), с помощью гиперграфов), G G есть множество гранулярных операций наесть множество гранулярных операций на XXGG (в частности, (в частности, семейства обобщенные операции пересечения и объединения, семейства обобщенные операции пересечения и объединения, задаваемые треугольными нормами и конормами)задаваемые треугольными нормами и конормами)

Как задатьКак задать XXGG??

Гранулярное множество можно рассматривать как универсум Гранулярное множество можно рассматривать как универсум

вместе с семейством его подмножеств.вместе с семейством его подмножеств.

ГРАНУЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВОГРАНУЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО: : НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫНЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

1. Гранулярное множество – универсум вместе с фактор-множествомXG = (X, X/E ),

где фактор-множество X/E ={[x]E xX} индуцируется отношением

эквивалентности, [x]E ={y yX; xEy} – класс эквивалентности, содержащий x.

Итак, в простейшем случае гранулярное множество формируется путем разбиения универсального множества X, а именно X =(A1,…, An),где X = A1 ... An (покрытие) и Ai Aj = , i, j = 1,…,n

2. Гранулярное множество как универсум вместе с семейством вложенных множеств (ensemble flou) XG = (X, F ).

F = {A0, …, An}, гдe Ai X, i=0,…, n, A0= X, A0 A1… An

или в более общем случае как множество четких -сечений,определенных на решетке L

A: L2X, L.

МЕРЫ ГРАНУЛЯРНОСТИ МЕРЫ ГРАНУЛЯРНОСТИ (НЕТОЧНОСТИ) НА МНОЖЕСТВАХ(НЕТОЧНОСТИ) НА МНОЖЕСТВАХ

Меры неточностиМеры неточности (неспецифичности) на множествах тесно (неспецифичности) на множествах тесно связаны с понятием гранулярности и показывают степень детализации связаны с понятием гранулярности и показывают степень детализации используемой информации. используемой информации. Пусть Пусть XX – базовое множество, а – базовое множество, а 22XX – –множество всех подмножеств, множество всех подмножеств, определенных на определенных на X. X. ТогдаТогда мера гранулярности мера гранулярности (неточности) есть функция множества . (неточности) есть функция множества .

grgr:: 22XX R+, R+ = [0,),

такая чтотакая что1)1) gr gr ((AA) = ) = 00 тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда AA есть одноточечное есть одноточечное

множество, множество, AA=={{xx} } (c(cлучай сингулярной оценки)лучай сингулярной оценки)2)2) A,BA,B22XX, , AABB gr gr ((AA)) gr gr ((BB). ).

BA

ИЛЛЮСТРАЦИЯ СПОСОБОВ ИЛЛЮСТРАЦИЯ СПОСОБОВ ПОРОЖДЕНИЯ ГРАНУЛПОРОЖДЕНИЯ ГРАНУЛ

Классические формальные подходы к построению Классические формальные подходы к построению четких гранул опираются на понятия:четких гранул опираются на понятия: множества, множества, интервала, разбиения, иерархии, окрестности, интервала, разбиения, иерархии, окрестности, аппроксимации (теория приближенных множеств), аппроксимации (теория приближенных множеств), распределения (теория вероятности, теория распределения (теория вероятности, теория Демпстера-Шейфера) и пр. Демпстера-Шейфера) и пр. Хорошим примером гранулярной структуры является Хорошим примером гранулярной структуры является семейство подмножеств универсального множества.семейство подмножеств универсального множества.

Разбиение Вложенные множества: Приближенное Разбиение Вложенные множества: Приближенное множества множества множество:множество:

гранулярная модель гранулярная гранулярная модель гранулярная неопределенности модель неточности неопределенности модель неточности неточностинеточности Certainty Region

Uncertainty Region

A

B

Universal Set

Information Granules

Lower Approximation

Upper Approximation

Set

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО

ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИПостроение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности.Построение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности.ПустьПусть R R – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности

RR: : XXX X [0,1] [0,1].. Будем называть его нечетким отношением эквивалентности Будем называть его нечетким отношением эквивалентности EE, если выполняются, если выполняютсяследующие условия: следующие условия:

1) μ1) μRR((xx, , xx)=1)=1, , ((xx, , xx))XXX X (рефлексивность); (рефлексивность); 2) μ2) μRR((xx, , yy)= )= μμRR((yy, , xx), ), ((xx, , yy), (), (yy,, xx) ) XXX X (симметричность); (симметричность); 3) μ3) μRR((xx, , zz) ) ≥ ≥ maxmax { {minmin (μ (μRR((xx,,yy), μ), μRR((yy, , zz)},)}, ( (xx, , zz)), , ((xx, , yy)), , ((yy, , zz) ) XXX X

(транзитивность).(транзитивность).

Пара Пара APRAPR==XX, , EE называется называется нечетким пространством приближений. нечетким пространством приближений. Определим множество Определим множество -уровня (сечение) нечеткого отношения-уровня (сечение) нечеткого отношения R R в виде в видеRR={(={(xx,,yy)) RR((xx,,yy))}, }, ((xx,,yy))XXXX, 0, 01. 1. Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения нечеткого отношения эквивалентности на нечеткого отношения эквивалентности на -уровни. -уровни.

5050

ВЕРТИКАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ВЕРТИКАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ

МНОЖЕСТВА УРОВНЯМНОЖЕСТВА УРОВНЯОтношение полиморфизма: Грануляция вида Отношение полиморфизма: Грануляция вида «уровень решения – когнитивный интервал»«уровень решения – когнитивный интервал»

Обычное множество Обычное множество --уровня (уровня (--сечение) нечеткого сечение) нечеткого множествамножества

А А с функцией принадлежности с функцией принадлежности АА((xx)) определяется в видеопределяется в виде

AA ={={xxАА((xx))}, }, xxXX, , [0,1]. [0,1]. ЗдесьЗдесь ( (AA BB)) = = AA BB, (, (AA BB)) = = AA BB, , [0,1]. [0,1].

В то же времяВ то же время,, A A естьесть прообразпрообраз [ [,1] ,1] при отображениипри отображении -1-1, ,

т.ет.е.. A A = = -1-1([([,1]).,1]).

Имеем два специфических множества уровняИмеем два специфических множества уровня

Supp Supp AA={={xxАА((xx) ) 0} 0} (наименьший, самый (наименьший, самый

мелкозернистый уровень)мелкозернистый уровень)

Kernel Kernel AA= {= {xxАА((xx) =1} () =1} (наибольший уровень)наибольший уровень)

ТЕОРЕМА ИЗОМОРФИЗМАТЕОРЕМА ИЗОМОРФИЗМАКАК ОСНОВА ПЕРЕХОДА ОТ КАК ОСНОВА ПЕРЕХОДА ОТ

НЕЧЕТКИХ К ЧЕТКИМ ГРАНУЛАМНЕЧЕТКИХ К ЧЕТКИМ ГРАНУЛАМОбозначим класс всех нечетких множеств Обозначим класс всех нечетких множеств

((XX) = {) = {АААА:: XX [0,1]}. [0,1]}. В то же время, введем класс отображений вида В то же время, введем класс отображений вида

Ф([0, 1]) = {Ф([0, 1]) = {AAAA: [0, 1] : [0, 1] 2 2 XX}.}.

Любой элемент этого класса Любой элемент этого класса AA ставит в соответствие каждому ставит в соответствие каждому Числу Числу [0,1] некоторое подмножество множества [0,1] некоторое подмножество множества XX. . Если к тому же выполняются условия: Если к тому же выполняются условия: а) а) AA00 = = XX; ; б)б) 11, , 22 [0, 1], [0, 1], 1122 AA11AA22, то тогда справедлива , то тогда справедлива следующая теорема изоморфизма.следующая теорема изоморфизма.Теорема 1 Теорема 1 [[Негойцэ и Ралеску, 1975Негойцэ и Ралеску, 1975]]Классы Классы ((XX) и Ф([0, 1]) изоморфны относительно операций ) и Ф([0, 1]) изоморфны относительно операций пересечения и объединения.пересечения и объединения.

Следствие 1. Следствие 1. Любое Любое нечеткое множествонечеткое множество можно представить можно представить с помощью семейства егос помощью семейства его четкихчетких множеств уровня. множеств уровня.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ГРУППОВОМ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ГРУППОВОМ

ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Рассмотрим Рассмотрим частотный метод частотный метод определения функции принадлежности в определения функции принадлежности в ситуации бинарного опроса экспертов. Пусть имеется ситуации бинарного опроса экспертов. Пусть имеется nn экспертов экспертов, которые , которые могут отвечать «да» или «нет» на вопросы, касающиеся наличия у субъекта могут отвечать «да» или «нет» на вопросы, касающиеся наличия у субъекта некоторого свойства. Тогда метод сводится к подсчету числа некоторого свойства. Тогда метод сводится к подсчету числа mm ответов ответов «да» и определению отношения «да» и определению отношения m/nm/n, , которое понимается как степень которое понимается как степень принадлежности данного свойства субъекту. Когда все эксперты отвечают принадлежности данного свойства субъекту. Когда все эксперты отвечают «да», то степень принадлежности свойства субъекту равна 1.«да», то степень принадлежности свойства субъекту равна 1.

Однако, несовпадение оценок экспертов приводит к частичной, Однако, несовпадение оценок экспертов приводит к частичной, градуальной принадлежности.градуальной принадлежности.

Пусть имеется биномиальное распределение.Пусть имеется биномиальное распределение.

Тогда стандартное отклонение оценки числа ответов «да», обозначаемоеТогда стандартное отклонение оценки числа ответов «да», обозначаемое σσ, ,

задается в видезадается в виде

σ = σ = m m ((1– m1– m)/ )/ nn

а доверительный интервал определяется формулой а доверительный интервал определяется формулой [[m – m – σ, σ, m + m + σ].σ].

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО

ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИПостроение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности.Построение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности.ПустьПусть R R – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности

RR: : XXX X [0,1] [0,1].. Будем называть его нечетким отношением эквивалентности Будем называть его нечетким отношением эквивалентности EE, если выполняются, если выполняютсяследующие условия: следующие условия:

1) μ1) μRR((xx, , xx)=1)=1, , ((xx, , xx))XXX X (рефлексивность); (рефлексивность); 2) μ2) μRR((xx, , yy)= )= μμRR((yy, , xx), ), ((xx, , yy), (), (yy,, xx) ) XXX X (симметричность); (симметричность); 3) μ3) μRR((xx, , zz) ) ≥ ≥ maxmax { {minmin (μ (μRR((xx,,yy), μ), μRR((yy, , zz)},)}, ( (xx, , zz)), , ((xx, , yy)), , ((yy, , zz) ) XXX X

(транзитивность).(транзитивность).

Пара Пара APRAPR==XX, , EE называется называется нечетким пространством приближений. нечетким пространством приближений. Определим множество Определим множество -уровня (сечение) нечеткого отношения-уровня (сечение) нечеткого отношения R R в виде в видеRR={(={(xx,,yy)) RR((xx,,yy))}, }, ((xx,,yy))XXXX, 0, 01. 1. Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения нечеткого отношения эквивалентности на нечеткого отношения эквивалентности на -уровни. -уровни.

5454

НЕЧЕТКАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ: НЕЧЕТКАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ: ТЕРМ-МНОЖЕСТВО ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ТЕРМ-МНОЖЕСТВО ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ

ПЕРЕМЕННОЙПЕРЕМЕННОЙ КАК КОГНИТИВНЫЙ ФРЕЙМКАК КОГНИТИВНЫЙ ФРЕЙМВ качестве примера нечеткой грануляции можно взять В качестве примера нечеткой грануляции можно взять совокупность лингвистических значений лингвистической совокупность лингвистических значений лингвистической переменной «Ошибка навигации». Здесь 7 термов образуют переменной «Ошибка навигации». Здесь 7 термов образуют покрытие терм-множества, но не его разбиение, посколькупокрытие терм-множества, но не его разбиение, посколькусоседние термы пересекаются.соседние термы пересекаются.

Гранулированные значения ЛП: 0 – нулевая ошибка; +1 – малая положительная ошибка; +2 – средняя положительная ошибка; +3 – большая положительная ошибка; –1 – малая отрицательная ошибка; –2 – средняя отрицательная ошибка;

– 3 – большая отрицательная ошибка.

ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ НЕЧЕТКИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА – ХОРОШЕЕ СРЕДСТВО МНОЖЕСТВА – ХОРОШЕЕ СРЕДСТВО

ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИБудем рассматривать Будем рассматривать параметризованные нечеткие множества параметризованные нечеткие множества как формальную основу для различных моделей грануляции.как формальную основу для различных моделей грануляции.

Параметризованное нечеткое множество было введено нами в Параметризованное нечеткое множество было введено нами в работе работе [T[Tарасоварасов, 1987] , 1987] для формализации лингвистических оценок для формализации лингвистических оценок принадлежности и более гибкого представления нечетких принадлежности и более гибкого представления нечетких отношений в задачах принятия решенийотношений в задачах принятия решений. .

Затем вЗатем в [Ta [Taрасоврасов, 2008] , 2008] оно было расширено на случай, когда оно было расширено на случай, когда нечеткие множества и их параметры принимают значения в нечеткие множества и их параметры принимают значения в решетках. решетках.

ОпределениеОпределение 1 1 [Ta [Taрасоврасов, 2008]. , 2008]. Параметризованное нечеткое Параметризованное нечеткое множество множество ((ПНМПНМ) ) есть функцияесть функция

AA: : X X [0, 1], [0, 1], (1) (1)

гдегде есть множество значений параметра. В частности, есть множество значений параметра. В частности, можно можно рассматривать как рассматривать как уровень грануляцииуровень грануляции. .

Множество Множество можно легко нормализоватьможно легко нормализовать; ; припри = [0, 1] = [0, 1] имеемимеем

функцию принадлежностифункцию принадлежности

АА : : X X [0, 1] [0, 1] [0, 1]. [0, 1]. (2)(2)

СЕЧЕНИЕСЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННОГОПАРАМЕТРИЗОВАННОГО НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВАНЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА

ПустьПусть АА((xx,,) ) – функция принадлежности параметризованного – функция принадлежности параметризованного нечеткого множества. нечеткого множества.

TTогда огда --сечениесечение ( (множество множество --уровняуровня) ) ПНМ задается в видеПНМ задается в виде обычного множестваобычного множества

AA ={(={(xx,,))АА((xx,,))}, }, xxXX, , [0,1], [0,1], [0,1]. [0,1].

ЗдесьЗдесь ( (AA BB)) = = AA BB, (, (AA BB)) = = AA BB, , [0,1]. [0,1].

В то же времяВ то же время,, A A естьесть прообразпрообраз [ [,1] ,1] для отображениядля отображения -1-1, ,

т.ет.е.. A A = = -1-1([([,1]).,1]).

Параметризованные нечеткие множества представляют Параметризованные нечеткие множества представляют собой частный случай нечетких множеств типа 2. собой частный случай нечетких множеств типа 2.

Мицумото и Танака Мицумото и Танака [1975][1975], а также, а также НиеминенНиеминен [1977] [1977] показали, что алгебра нечетких множеств типа 2 есть показали, что алгебра нечетких множеств типа 2 есть квазирешеткаквазирешетка (не выполняются законы поглощения (не выполняются законы поглощения).).

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПНМ ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПНМ 1. 1. ПересечениеПересечение CC = =AA BB ААBB ( (xx,,) = sup {) = sup {АА((xx,, ), ), BB((xx,,)}, )},

=min{=min{,,}}

((xx,,))X X [0, 1], [0, 1], ,, [0,1][0,1]

2. 2. ОбъединениеОбъединение D D = =AA BB ААBB ( (xx,, ) = sup {) = sup {АА((xx,, ), ), BB((xx,,)}, )}, =max{=max{,,}}

((xx,,))X X [0, 1], [0, 1], , , [0,1][0,1]

3. 3. ДополнениеДополнение A’ A’ АА’’((xx,, ) = ) = АА((xx, 1, 1 – – ), ),

((xx,,))X X [0, 1].[0, 1].

ГРАНУЛЯЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАНУЛЯЦИЯ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКИХ НЕЧЕТКИХ --СЕЧЕНИЙСЕЧЕНИЙ

Нечеткую грануляцию информации можно провести с помощью нечеткихНечеткую грануляцию информации можно провести с помощью нечетких -сечений -сечений [Radecki, 1977]. [Radecki, 1977]. Построение такого сечения является удобной Построение такого сечения является удобной процедурой преобразования нечеткой гранулы.процедурой преобразования нечеткой гранулы.

Для многих практических приложений целесообразно определять частичные Для многих практических приложений целесообразно определять частичные нечеткие множества, определенные на подмножествах универсума нечеткие множества, определенные на подмножествах универсума X. X. Этот подход легко формализовать на базе нечетких Этот подход легко формализовать на базе нечетких -сечений (нечетких -сечений (нечетких множеств уровня).множеств уровня).

Вначале рассмотрим два способа формирования Вначале рассмотрим два способа формирования --сеченийсечений: : обычноеобычное верхнееверхнее -c-cечениеечение AA={={xxАА((xx))}, }, ии нижнеенижнее -c-cечениеечение AA={={xxАА((xx))}, }, гдн гдн [0,1]. [0,1].

Теперь определим два типа нечетких гранул как нечетких Теперь определим два типа нечетких гранул как нечетких --сечений сечений ((нечетких множеств уровня),нечетких множеств уровня), т.е. нечетких множеств с уровнемт.е. нечетких множеств с уровнемгрануляции грануляции ..

Следуя Т.Радецки, введем понятия Следуя Т.Радецки, введем понятия нечетких множеств уровнянечетких множеств уровня как как нечетких нечетких множеств, зависящих от параметра множеств, зависящих от параметра . . ОпределениеОпределение 2. 2. Нечетким множеством уровня Нечетким множеством уровня называется параметризованная называется параметризованная функция вида функция вида АА ((xx, , ), определяемая как ), определяемая как АА:: XX [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] или или (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар АА(() = {) = {xxАА, , АА(())((xx) = ) = АА((xx)}.)}.ОпределениеОпределение 3. 3. Нечетким множеством уровня Нечетким множеством уровня называется параметризованная называется параметризованная функция вида функция вида АА ((xx, , ), определяемая как ), определяемая как АА:: XX [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] или или (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар АА(() = {) = {xxАА, , АА(()) ( (xx) = ) = АА((xx)}.)}.

ПРИМЕРЫ НЕЧЕТКИХ ПРИМЕРЫ НЕЧЕТКИХ - - СЕЧЕНИЙСЕЧЕНИЙ

Пример Пример 11. .

Пусть имеется универсальное множество Пусть имеется универсальное множество

X X = {= {xx11, , xx22,, x x33,, x x44, , xx55} } и его нечеткое подмножество и его нечеткое подмножество

АА={(={(xx11, 0.7),(, 0.7),(xx22,, 0.4),(0.4),(xx33, 0.2),(, 0.2),(xx44,1),(,1),(xx55, 0.9)}. , 0.9)}.

Тогда нечеткое множество уровня Тогда нечеткое множество уровня =0.6=0.6 записывается в видезаписывается в виде

АА(0.6)={((0.6)={(xx11, 0.7), (, 0.7), (xx44, 1), (, 1), (xx55, 0.9)}, , 0.9)}, а нечеткое множество а нечеткое множество

уровня уровня =0.9 =0.9 – в виде – в виде АА(0.9) ={((0.9) ={(xx44, 1), (, 1), (xx55, 0.9)}. , 0.9)}.

Аналогично вводится нижнее Аналогично вводится нижнее -сечение, т.е. нечеткое -сечение, т.е. нечеткое множествомножество

уровня уровня = 0.6= 0.6 определяется как определяется как АА((0.60.6) = {() = {(xx22,, 0.4),(0.4),(xx33, 0.2)}, , 0.2)},

а нечеткое множество уровняа нечеткое множество уровня =0.9 =0.9 определяется в виде определяется в виде

АА(0.9)={((0.9)={(xx11, 0.7), (, 0.7), (xx22,, 0.4), (0.4), (xx33, 0.2)}., 0.2)}.

ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ НЕЧЕТКИЕ ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВАМНОЖЕСТВА

Подобно Подобно параметризованным нечетким множествомпараметризованным нечетким множеством, , расширяющим область определения нечеткого множестварасширяющим область определения нечеткого множества(функции принадлежности) путем введения специального(функции принадлежности) путем введения специальногопараметрического пространства, можно задатьпараметрического пространства, можно задатьобобщенное представление области значений нечеткого обобщенное представление области значений нечеткого множества с помощью множества с помощью произведения решетокпроизведения решеток..

Определение Определение 44. . Векторнозначное нечеткое множествоВекторнозначное нечеткое множество

есть функция есть функция AA: : XX LL11…… LLmm,, где где LLii – полная решетка, – полная решетка, ii=1, …, =1, …, mm..

ПримерПример 3 3.. Пусть Пусть LLii = [0, 1]. Тогда = [0, 1]. Тогда AA: : XX [0, 1] [0, 1]mm..

Здесь функция принадлежности Здесь функция принадлежности AAii нечеткого множества нечеткого множества AAii может рассматриваться как степень удовлетворения может рассматриваться как степень удовлетворения ii-го -го свойства рассматриваемого объекта.свойства рассматриваемого объекта.

ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННЫХС ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННЫХ

ОГРАНИЧЕНИЙ И ОГРАНИЧЕНИЙ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИНЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Понятие обобщенного ограничения является ключевым Понятие обобщенного ограничения является ключевым для для общей теории неопределенностиобщей теории неопределенности Л.Заде. Л.Заде.

Речь идет о переводе предложений, естественного языка на Речь идет о переводе предложений, естественного языка на языкязык

обобщенных ограниченийобобщенных ограничений ( (ЯООЯОО))

XX isisrr RR,,где где XX – переменная, – переменная, RR – гибкое, эластичное ограничение на эту – гибкое, эластичное ограничение на эту переменную, а переменную, а isisrr – переменная связка, в которой – переменная связка, в которой rr является является переменной, а ее значение определяет способ, которым переменной, а ее значение определяет способ, которым RR ограничивает ограничивает XX..

ВИДЫ ОБОБЩЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙВИДЫ ОБОБЩЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Обозначение Тип ограничения Формальная запись

r: = Равенство X = R

r: ≠ Неравенство X ≠ R

r: Возможностное ограничение

X is R возможностное

распределение Х

r: v Истинностное

ограничение

X isv R

r: p Вероятностное

ограничение

X isp R вероятностное

распределение X

r: fg Ограничение нечетким графиком

X isfg R Х – функция, R – ее нечеткий график

r: u Обычностное ограничение

X isu R означает, что обычно X is R

ОСНОВНЫЕ ВАРИАНТЫ ОСНОВНЫЕ ВАРИАНТЫ ОБОБЩЁННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙОБОБЩЁННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Среди основных типов ограничений выделяются Среди основных типов ограничений выделяются возможностные [возможностные [ZadehZadeh, 1978], истинностные, , 1978], истинностные, вероятностные ограничения, нечеткие графики вероятностные ограничения, нечеткие графики функций. Широкое разнообразие ограничений в функций. Широкое разнообразие ограничений в языке обобщенных ограничений делает его языке обобщенных ограничений делает его намного более выразительным языком, чем язык намного более выразительным языком, чем язык логики предикатов.логики предикатов.

ПРИМЕРЫ СИНГУЛЯРНЫХ И ПРИМЕРЫ СИНГУЛЯРНЫХ И ГРАНУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙГРАНУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ПРИКЛАДНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОГИКА. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ

ОБЪЕКТОВ

Взаимное положение объектов можно представить Взаимное положение объектов можно представить конъюнкцией обобщенных ограничений на расстояние и конъюнкцией обобщенных ограничений на расстояние и ориентацию:ориентацию:

Например, отношение «агент Например, отношение «агент аа находится находится далеко и справадалеко и справа от от объекта объекта bb» можно записать как» можно записать как

((XXabab is  is далекодалеко)) ((XXabab is is справасправа) = () = (XXabab is is далекодалеко) ) is is справасправа

или или ((XXabab is d is d44)) ((XXabab is f is f77) = () = (XXabab is d is d44) ) is fis f77.. Более тонкая градация ограничений получается как путем Более тонкая градация ограничений получается как путем

обобщения логического условия И благодаря применению обобщения логического условия И благодаря применению треугольных норм, так и с помощью модификаторов «треугольных норм, так и с помощью модификаторов «слегкаслегка», », ««немногонемного», «», «сильносильно» и пр. Например, «» и пр. Например, «впереди и немного впереди и немного правееправее», «», «чуть впереди и сильно левеечуть впереди и сильно левее» и т.п. » и т.п.

6666

]6;0[,);( jdisbaX j ]8;1[,);( ifisbaX i

ОТ СИНГУЛЯРНЫХ К ГРАНУЛЯРНЫМ ОТ СИНГУЛЯРНЫХ К ГРАНУЛЯРНЫМ МЕТАОНТОЛОГИЯММЕТАОНТОЛОГИЯМ

Будем проводить строгое различие между Будем проводить строгое различие между сингулярными и гранулярными метаонтологиями.сингулярными и гранулярными метаонтологиями.Под термином Под термином «сингулярная метаонтология» «сингулярная метаонтология» можно естественным образом понимать можно естественным образом понимать использование единственного формального языка использование единственного формального языка при задании онтологической системы. В более при задании онтологической системы. В более общем смысле сингулярная метаонтология общем смысле сингулярная метаонтология охватывает семейство однотипных языков охватывает семейство однотипных языков представления, ориентированных на обработку представления, ориентированных на обработку точной числовой информации, т.е. опирающихся на точной числовой информации, т.е. опирающихся на точечные объекты и взаимно-однозначные точечные объекты и взаимно-однозначные соответствия. соответствия. Напротив, в основе Напротив, в основе гранулярной метаонтологии гранулярной метаонтологии лежат не точки, а области;лежат не точки, а области; она включает она включает семейство интервальных, вероятностных, нечетких семейство интервальных, вероятностных, нечетких или лингвистических моделей представления или лингвистических моделей представления информации, работоспособных в условиях информации, работоспособных в условиях неопределенности, неточности, неполноты, неопределенности, неточности, неполноты, противоречивости, нечеткости индивидуальных противоречивости, нечеткости индивидуальных или коллективных концептуализаций.или коллективных концептуализаций.

ОНТОЛОГИЯ С ПРИМИТИВАМИ ВИДА ОНТОЛОГИЯ С ПРИМИТИВАМИ ВИДА ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВАОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА

Для онтологий, в которых примитивами являются области, можно выделить три главных типа отношений – геометрическое («конгруэнтность»), мереологическое («быть частью») и топологическое («связность»).Конгруэнтность позволяет определить отношение сходства

между областями. В геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одну из них можно перевести в другую с помощью

движения. В свою очередь, понятие связности есть математическое выражение интуитивного представления о целостности разных геометрических фигур. Топологическое отношение связности рефлексивно, симметрично и монотонно. В настоящее время построение общей онтологии пространства идет по линии интеграции подходов мереологии и топологии: Мереология + Топология = Мереотопология. При этом система мереотопологии строится на основе одного-единственного отношения связности.

ЛИТЕРАТУРАЛИТЕРАТУРАНечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллектаНечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ / А.Н.Аверкин, И.З.Батыршин, А.Ф.Блишун, В.Б.Силов, В.Б.Тарасов. А.Н.Аверкин, И.З.Батыршин, А.Ф.Блишун, В.Б.Силов, В.Б.Тарасов. – М.: Наука, 1986.– М.: Наука, 1986.

Тарасов В.Б. Моделирование предпочтений в задачах принятия решений Тарасов В.Б. Моделирование предпочтений в задачах принятия решений параметризованными нечеткими отношениями// Нечеткие системы: моделирование параметризованными нечеткими отношениями// Нечеткие системы: моделирование структуры и оптимизация. Межвузовский тематический сборник научных трудов. – структуры и оптимизация. Межвузовский тематический сборник научных трудов. – Калинин: КГУ, 1987. – С.17-30. Калинин: КГУ, 1987. – С.17-30.

Тарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациямТарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациям.. – – М.: М.: Эдиториал УРСС, 2002.Эдиториал УРСС, 2002.

Тарасов В.Б. От параметризованных нечетких множеств к нечетким Тарасов В.Б. От параметризованных нечетких множеств к нечетким мультимножествам уровня// Нечеткие системы и мягкие вычисления. Сборник мультимножествам уровня// Нечеткие системы и мягкие вычисления. Сборник научных трудов Второй Всероссийской научной конференции (НСМВ-2008, научных трудов Второй Всероссийской научной конференции (НСМВ-2008, Ульяновск, 27-29 октября 2008 г). – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – С.40-48.Ульяновск, 27-29 октября 2008 г). – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – С.40-48.

Тарасов В.Б. Грануляция информации, нестандартные и гибридные нечеткие Тарасов В.Б. Грануляция информации, нестандартные и гибридные нечеткие множества// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном множества// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов интеллекте. Сборник трудов VIVI-й Международной научно-практической конференции -й Международной научно-практической конференции (Коломна, 16-19 мая 2011 г.). – М.: Физматлит, 2011. – Т.1. – С.35-49 (Коломна, 16-19 мая 2011 г.). – М.: Физматлит, 2011. – Т.1. – С.35-49

Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Теория лингвистических переменных, нечеткая логика, Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Теория лингвистических переменных, нечеткая логика, гранулированные и мягкие вычисления: шаги на пути к психологической математике// гранулированные и мягкие вычисления: шаги на пути к психологической математике// Математическая психология: Школа В.Ю.Крылова. Коллективная монография. – М.: Математическая психология: Школа В.Ю.Крылова. Коллективная монография. – М.: Изд-во ИПРАН, 2010. С.261-278.Изд-во ИПРАН, 2010. С.261-278.

ЛИТЕРАТУРА (продолжение)ЛИТЕРАТУРА (продолжение)Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Моделирование взаимодействия искусственного агента с Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Моделирование взаимодействия искусственного агента с внешней средой на основе пространственных логик и обобщенных ограничений// внешней средой на основе пространственных логик и обобщенных ограничений// Интеллектуальные системы. Коллективная монография/ Под ред. В.М. Курейчика. Интеллектуальные системы. Коллективная монография/ Под ред. В.М. Курейчика. М.: Физматлит, 2010. М.: Физматлит, 2010. CC.105-142.105-142

Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярная онтология пространства для когнитивных Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярная онтология пространства для когнитивных мобильных роботов// Труды мобильных роботов// Труды XIIXII-й национальной конференции по искусственному -й национальной конференции по искусственному интеллекту интеллекту ((КИИ-2010КИИ-2010,, Тверь, 20-24 сентября 2010 г.). – М.: Физматлит, 2010. – Т.3. – Тверь, 20-24 сентября 2010 г.). – М.: Физматлит, 2010. – Т.3. – С.430-441.С.430-441.

Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Информационные гранулы и методы их построения: Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Информационные гранулы и методы их построения: применение при разработке интеллектуальных агентов// Интеллектуальный анализ применение при разработке интеллектуальных агентов// Интеллектуальный анализ информации ИАИ-2010. Сборник трудов информации ИАИ-2010. Сборник трудов XX-й международной научной информации -й международной научной информации им. Т.А.Таран (Киев, 18-21 мая 2010 г.). – Киев: Просвим. Т.А.Таран (Киев, 18-21 мая 2010 г.). – Киев: Просвiiта, 2010.та, 2010. – С.291-297.– С.291-297.

Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярные метаонтологии и онтологии пространства// Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярные метаонтологии и онтологии пространства// Реинжиниринг бизнес-процессов на основе современных информационных Реинжиниринг бизнес-процессов на основе современных информационных технологий. Системы управления знаниями. Сборник научных трудов Xтехнологий. Системы управления знаниями. Сборник научных трудов XIVIV-й научно--й научно-практической конференции (РБП-СУЗ-2011, Москва, МЭСИ, 28-29 апреля 2011 г.).практической конференции (РБП-СУЗ-2011, Москва, МЭСИ, 28-29 апреля 2011 г.). – – М.: МЭСИ, 2011. – С.136-145.М.: МЭСИ, 2011. – С.136-145.

Тарасов В.Б., Калуцкая А.П. Построение онтологии пространства для автономных Тарасов В.Б., Калуцкая А.П. Построение онтологии пространства для автономных мобильных роботов// Сборник докладов мобильных роботов// Сборник докладов XIIIXIII-й международной конференции по -й международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (мягким вычислениям и измерениям (SCMSCM’2010, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ», ’2010, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 23-25 июня 2010 г.). – СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. – Т.1. – С.81-93 .23-25 июня 2010 г.). – СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. – Т.1. – С.81-93 .