整数計画法によるパズル解法（実習報告）

岡本　吉央（豊橋技術科学大学情報工学系）

ミニ研究集会「組合せゲーム・パズル」

平成 19年　 3月 16日　（金）

豊橋技術科学大学について

• 設立：1976年• 目的：高専生受入　　↓↓

• 技術科学大学：「長岡」と「豊橋」

• 詳細：「三十年史」を参照http://www.tut.ac.jp/30th/book.html

豊橋技術科学大学：入学生高等学校 高専・短

大 外国人留学生 高専専攻科 　社会人　　他大学　

豊橋技術科学大学：出身地域

九州・沖縄

中国

外国

その他近畿

中部

関東

愛知

四国

北海道・東北

高専生体験実習• 開催時期：7月後半～8月前半

• 対象：高専4年生• 目的：「本学における教育研究分野の実習を体験することにより、学校教育の充実及び学生の学習意欲の喚起等」

• 受入期間：１週間• 注：大抵「インターン」の単位付与

全国の高専分布

私の実習テーマ•「整数計画法によるパズル解法」•目的：

– 整数計画モデルの初歩の習得–パズルの数理的側面に対する意識– 道具としてのプログラミングの利用

•受入条件：– C/C++言語によるプログラミング経験がある

– 数理的・論理的思考が好きである•藤戸敏弘先生との共同•大学院生４人の（とても親切な）手伝い

この発表では ...

•実習の流れの説明•実際の解法の説明　（数独を例として）

•その他注意事項

募集状況・受入状況

•募集人数：３人•応募人数：７人•受入人数：７人（電気、電子、制御、情報などの学科より）

•補足– 大学全体で58テーマ、約120名受入– 120÷58= およそ 2

スケジュール

•時間割– 朝　９：００～１２：００– 昼　１３：３０～１６：００– 夕　１６：３０～１８：００

•流れ– 月・火　導入– 水・木　個別実習　（班実習）– 金　　　 発表会　および　討論

スケジュール・時間割

月 火 水 木 金

朝 講義 講義 実習 実習 実習

昼 実習 実習 実習 実習 討論

夕 討論 討論 実習 実習 討論

実習で行なうことの流れ

1. パズルが持つ論理的な構造を抽出2. それを整数計画問題として定式化3. 整数計画問題ソルバによる求解• 使用したソルバ：

– GLPK (GNU Linear Programming Kit)– Andrew Makhorin (ロシア ) による– http://www.gnu.org/software/glpk/

• 自作テキスト（未完成）と GLPK レファレンス・マニュアル邦訳（未完成）を配布

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

ソルバに解かせる部分の詳細

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル実習生が作成する部

分

GLPK利用

実習で扱うパズル

•月曜日：　魔方陣と数独• 火曜日：　ののぐらむ　（お絵かきロジック）

• 水曜日、木曜日：　実習生が選択– 美術館– カックロ– ナンバーリンク– 覆面算– ウォールロジック

実習で扱うパズル

•月曜日：　魔方陣と数独• 火曜日：　ののぐらむ　（お絵かきロジック）

• 水曜日、木曜日：　実習生が選択– 美術館– カックロ– ナンバーリンク– 覆面算– ウォールロジック

定式化とプログラムは与える

実習生はプログラムを読んだり、変更することで感覚を掴む

実習で扱うパズル

•月曜日：　魔方陣と数独• 火曜日：　ののぐらむ　（お絵かきロジック）

• 水曜日、木曜日：　実習生が選択– 美術館– カックロ– ナンバーリンク– 覆面算– ウォールロジック

定式化とプログラムは与える

実習生はプログラムを読んだり、変更することで感覚を掴む

実習生は定式化とプログラムを自分で一から考えて作る

実習の流れを数独で説明• 空きマスに1から 9

までの数字をいれる• 同じ横行と縦列、そして 3x3のブロックには同じ数字を1つしか入れてはいけない

１

２３

４

５

６

７

９ ８２ ３７２８

８

８１

１

５

３

４

４９

４

５

５

５５

１１ ２

２

３

３

３３

４

４６

６

６６

６

７

７

７８９

９

９

９

９

９

解答→

パズル通信ニコリ 144 号， 114.26 ページ，例問より転載

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

数独入力ファイル

..6.....1

.7..6..5.

8..1.32..

..5.4.8..

.4.7.2.9.

..8.1.7..

..12.5..3

.6..7..8.

2.....4..

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

どんな変数を用意するか• 上から i 番目で

左から j 番目のマス目が k という数字になる

ということを 01 変数に

• 変数： x[i,j,k] (9x9x9 個 )

•解釈：上の通り

i = 123456789

1 2 3 4 5 6 7 8 9j =

どんな制約を用意するか？ 1

• 各マス目には数字がちょうど1つ入る

• 上から i 番目の横行と左から j 番目の縦列に対して、x[i,j,1]+x[i,j,2]+x[i,j,3]+x[i,j,4]+x[i,j,5]+x[i,j,6]+x[i,j,7]+x[i,j,8]+x[i,j,9] = 1

どんな制約を用意するか？ 2

• 各横行には各数字が1つずつ入る

• 上から i 番目の横行と数字 k に対して、x[i,1,k]+x[i,2,k]+x[i,3,k]+x[i,4,k]+x[i,5,k]+x[i,6,k]+x[i,7,k]+x[i,8,k]+x[i,9,k] = 1

どんな制約を用意するか？ 3

• 各縦列には各数字が1つずつ入る

• 左から j 番目の縦列と数字 k に対して、x[1,j,k]+x[2,j,k]+x[3,j,k]+x[4,j,k]+x[5,j,k]+x[6,j,k]+x[7,j,k]+x[8,j,k]+x[9,j,k] = 1

どんな制約を用意するか？ 4

• 各ブロックには各数字が1つずつ入る

•例えば左上のブロックに対して、x[1,1,k]+x[2,1,k]+x[3,1,k]+x[1,2,k]+x[2,2,k]+x[3,2,k]+x[1,3,k]+x[2,3,k]+x[3,3,k] = 1

どんな制約を用意するか？ 5

• 既に数字が入っているマス目にはそれに対応する変数を1にする

•例えばx[3,4,1] = 1x[5,2,4] = 1など

数独を解く問題•数独を解く問題が制約1、2、3、4、5をすべて満たす場合があるかどうか調べる整数計画問題になった

注：　整数計画問題といっても、　　「最適化問題」ではなく、　　「許容性判定問題」になっている

（「最適化問題」と「許容性判定問題」は多項式時間等価）

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

ソルバに解かせる部分の詳細

パズルをそのまま記述したファイル　　　　↓　整数計画問題出力プログラム　　　　↓整数計画問題として記述したファイル　　　　↓　整数計画問題求解プログラム　　　　↓パズルの解答ファイル

GLPK利用

数独解答ファイル

536827941

172964358

894153267

715349826

643782195

928516734

481295673

369471582

257638419

１

２３

４

５

６

７

９ ８２ ３７２８

８

８１

１

５

３

４

４９

４

５

５

５５

１１ ２

２

３

３

３３

４

４６

６

６６

６

７

７

７８９

９

９

９

９

９

実習の様子

実習の様子

実習の様子

実習の様子

•数独• 美術館• 魔方陣• 覆面算• カックロ•お絵かきロジック• ウォールロジック• ナンバーリンク

実習で扱ったパズル割と簡単

数が数字として意味を持つ

割と難しい

（集合被覆問題っぽい）

（論理的含意「ならば」 を定式化に用いる）

それ以外のパズル（超難しい？）

• 「分断ルール」系– へやわけ– ぬりがべ– 黒マスはどこだ– ひとりにしてくれ– ケイスケ– やじさんかずさん

• 「日本語の壁」系– スケルトン– シークワーズ– カナオレ

• 「言語知識必要」系– クロスワード– ナンクロ– 推理パズル– 推理クロス

• 「ループ」を作る系– スリザーリンク– ましゅ– ヤジリン– カントリーロード– ケイスケ

一部のパズルはWebニコリ「ニコリのパズル」より抜粋　http://www.nikoli.co.jp/

それ以外のパズル（実習でOK ？）

• サムライン• ナンスケ　（ナンバースケルトン）• 波及効果•タイルペイント• バトルシップ• ビルディングパズル

発展的な実習課題

•パズルの答えを1つ求めたとき、それ以外に答えがないことを確認したい。整数計画法でどのように行なえばよいか？

•「簡単に決まってしまうマス」を特定する方法を考えて、それによって決まったマスを予め定式化に組み込むことで、どれくらいの規模の問題が解けるようになるだろうか？

実習準備における心がけ

•実習生のプログラミング経験：配列、文字列が使える程度で OK

•整数計画法の導入：01整数計画のみ 「命題論理の算術化」として導入　（ CSP ？）アルゴリズムは説明しない

• オリジナルテキストの作成：　重視• フリーソフトウェアの利用：　重視

最後に• 評価：　おおむね好評　（ヒアリングによる）

• 継続性：　来年度も実施予定• 効果：　整数計画問題の導入として好例

•注意：　次を伝えることにも重点を– 「整数計画法でパズルを解く」ことがパズルに対するアプローチとして非標準的であること

– 「道具としてプログラミングを用いる」こと

おしまい

ありがとうございました

ここから予備スライド

ののぐらむを解いてみる

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

http://yuki-lab.jp/nonogram/RUN.HTM　より転載

ののぐらむ：ルール (1)• 白マスを以下の規則に従って黒く塗る

• 各横行の左、各縦列の上にある数字は、その行 ( 列 ) の中で連続して黒く塗る白マスの数を表す

2

1 2

1 5

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1 2 1

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3 4

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1

ののぐらむ：ルール (2)• 1つの行 ( 列 ) に対して数字が複数あるときは、数字の並び順どおりにその数字の数だけ連続して黒く塗る

• その場合、数字と数字の間に1マス以上の塗らないマスが入る

2

1 2

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5 2

1 2 1

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3 2 2 1 3 1

1

ののぐらむ：別の名前• お絵かきロジック• イラストロジック• ピクロス• Paint by Numbers• Crucipixel• Edel• FigurePic• Grafilogika

• Japanese Crosswords• Logic Art• Logic Square• Logicolor• Logik-Puzzles• Paint Logic• Pixel Puzzles• ...

定式化のための用語

• 第 i 番目の横行 =上から i 番目の横行

• 第 j 番目の縦列 =左から j 番目の縦列

• 第 i 番目の横行の第 k クラスタ =その横行の左から k 番目の黒マス塊

• 第 j 番目の縦列の第 k クラスタ = 同様

2

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5 2

1 2 1

3

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3 4

1

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3 2 2 1 3 1

1

第 2番目の横行の第 2クラスタ

以下の定式化は Bosch (200１ ) と本質的に同じ

変数の設定 (1)• 盤面の大きさは

nrow × ncol　とする

• x[i,j] = 1 を

上から i 番目、左から j 番目のマスが黒く塗られることとする

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

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3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

ncol

nrow

変数の設定 (2)

• y[i,j,k] = 1 を

第 i 番目の横行の第 k クラスタの左端が左から j 番目のマスにあることとする

• nclt_row[i] =第 i 番目の横行のクラスタ数　とする

2

1 2

1 5

5 2

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6

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3 4

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1

変数の設定 (3)

• z[i,j,k] = 1 を

第 j 番目の縦列の第 k クラスタの上端が上から i 番目のマスにあることとする

• nclt_col[j] =第 j 番目の縦列のクラスタ数　とする

2

1 2

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5 2

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3

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3 4

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3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (1)

• 第 i 横行の黒マスの数はその行のクラスタの数字の和

x[i,1] + x[i,2] +x[i,3] + ... x[i,ncol]= R[i,1] + R[i,2] + ... + R[i,nclt_row[i]]

• R[i,k] = 第 i 横行の第 k クラスタの数字

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

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3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (2)

• 第 j 縦列の黒マスの数はその列のクラスタの数字の和

x[1,j] + x[2,j] +x[3,j] + ... x[nrow,j]= C[j,1] + C[j,2] + ... + C[j,nclt_col[j]]

• C[j,k] = 第 j 縦列の第 k クラスタの数字

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

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3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (3)

• 第 i 横行の第 k クラスタの左端はどこかにある

y[i,1,k] + y[i,2,k] +y[i,3,k] + ... +y[i,ncol,k] = 1

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

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3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (4)

• 第 j 縦列の第 k クラスタの上端はどこかにある

z[1,j,k] + z[2,j,k] +z[3,j,k] + ... +z[nrow,j,k] = 1

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (5)　難しい

• 第 i 横行の第 k クラスタの左端が上から j マス目にあるならば、第 k+1 クラスタの左端は 左から j+R[i,k]+1 マス目か、それよりも右にないといけない

R[i,k] = 第 i 横行の第 k クラスタの数字

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (5)　続き

• 書き下してみると

y[i,j,k] ≦y[i,j+R[i,k]+1,k+1] +y[i,j+R[i,k]+2,k+1] +y[i,j+R[i,k]+3,k+1] +... +y[i,ncol,k+1]

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (6)　先と同様

• 第 j 縦列の第 k クラスタの上端が左から i マス目にあるならば、第 k+1 クラスタの上端は上から i+C[j,k]+1 マス目か、それよりも下にないといけない

C[j,k] = 第 j 縦列の第 k クラスタの数字

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (6)　続き

• 書き下してみると

z[i,j,k] ≦z[i+C[j,k]+1,j,k+1] +z[i+C[j,k]+2,j,k+1] +z[i+C[j,k]+3,j,k+1] +... +z[nrow,j,k+1]

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

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3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (7)　また難しい

• 上から i 番目、左から j 番目のマス目が黒いならば、第 i 横行のあるクラスタがそのマス目を覆っていないといけない

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (7)　続き

• 書き下す前に ...

第 i 横行の第 k クラスタが左から j 番目のマス目を覆うとは？

y[i,j-R[i,k]+1,k] +y[i,j-R[i,k]+2,k] +... +y[i,j,k] = 1

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

この左辺を C[i,j,k]と書こう

制約の設定　 (7)　続・続き

• よって、書き下すと

x[i,j] ≦C[i,j,1] + C[i,j,2] +C[i,j,3] + ... + C[i,j,nclt_row[i]]

• nclt_row[i] =第 i 横行のクラスタ数

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (7)　注意

• 書き下す前に ...

第 i 横行の第 k クラスタが左から j 番目のマス目を覆うとは？

y[i,j-R[i,k]+1,k] +y[i,j-R[i,k]+2,k] +... +y[i,j,k] = 1

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

この左辺を C[i,j,k]と書こう

ここが0になる場合は項自体無視

制約の設定　 (8)　同様

• 上から i 番目、左から j 番目のマス目が黒いならば、第 j 縦列のあるクラスタがそのマス目を覆っていないといけない

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

制約の設定　 (8)　続き

• 書き下す前に ...

第 j 縦列の第 k クラスタが上から i 番目のマス目を覆うとは？

z[i-C[j,k]+1,j,k] +z[i-C[j,k]+2,j,k] +... +z[i,j,k] = 1

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

この左辺を D[i,j,k]と書こう

制約の設定　 (8)　続・続き

• よって、書き下すと

x[i,j] ≦D[i,j,1] + D[i,j,2] +D[i,j,3] + ... + D[i,j,nclt_col[j]]

• nclt_col[j] =第 j 縦列のクラスタ数

2

1 2

1 5

5 2

1 2 1

3

6

1231

3 4

1

2 2 3 2 8 7 4 3 1 3

3 2 2 1 3 1

1

ののぐらむを解く問題

•ののぐらむを解く問題が制約 1～ 8をすべて満たす解があるかどうか調べる整数計画問題になった

•あとは解けばいい←本来は証明する必要がある！