Термодинамика и статистическая физика Методические указания и контрольные задания для студен-тов заочного обучения Шелкунова З.В., Шелкунов Н.Г., Дандарон Г.-Н.Б. Методическое указания и контрольные задания для студен-тов заочного обучения инженерно-технических и техноло-гических специальностей. Содержат разделы программ ”Статистическая физика”, ”Термодинамика”, примеры ре-шения типовых задач и варианты контрольных заданий. Ключевые слова: Внутренняя энергия, теплота, работа; изо-процессы, энтропия: функции распределения: Максвелла, Больцмана, Бозе – Эйнштейна; Ферми – Дирака; Энергия Ферми, теплоемкость. Редактор Т.Ю.Артюнина Подготовлено в печать 1.06. 2004 г. Формат 60×80 1/16 Усл.п.л. 3,25; уч.-изд.л. 3,0; Тираж ____ экз. Заказ № 34. ___________________________________________________ РИО ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 40а Отпечатано на ротапринте ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 42.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Восточно-Сибирский государственный технологический университет

ФИЗИКА (Термодинамика и статистическая физика)

Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения

Составитель: Шелкунов Н.Г. Шелкунова З.В.

Дандарон Г.-Н.Б.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Тема 1 Динамические и статистические закономерности в физике. Термодинамический и статистический методы. Элементы молекулярно-кинетической теории. Макроскопическое со-стояние. Физические величины и состояния физических систем. Макроскопические параметры как средние значе-ния. Тепловое равновесие. Модель идеального газа. Урав-нение состояния идеального газа. Понятие о температуре. Тема 2 Явления переноса. Диффузия. Теплопроводность. Коэффи-циент диффузии. Коэффициент теплопроводности. Темпе-ратуропроводность. Диффузия в газах, жидкостях и твер-дых телах. Вязкость. Коэффициент вязкости газов и жидкостей. Тема 3 Элементы термодинамики. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Интенсивные и экстенсивные пара-метры. Тема 4 Обратимые и необратимые процессы. Энтропия. Второе на-чало термодинамики. Термодинамические потенциалы и условия равновесия. Химический потенциал. Условия хи-мического равновесия. Цикл Карно. Тема 5 Функции распределения. Микроскопические параметры. Вероятность и флуктуации. Распределение Максвелла. Средняя кинетическая энергия частицы. Распределение Больцмана. Теплоемкость многоатомных газов. Ограни-ченность классической теории теплоемкости.

Тема 6 Распределение Гиббса. Модель системы в термостате. Ка-ноническое распределение Гиббса. Статистический смысл термодинамических потенциалов и температуры. Роль сво-бодной энергии. Тема 7 Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц. Энтропия и вероятность. Определение энтропии равновесной системы через статистический вес микросо-стояния. Тема 8 Функции распределения Бозе и Ферми. Формула Планка для разновесного теплового излучения. Порядок и беспоря-док в природе. Энтропия как количественная мера хаотич-ности. Принцип возрастания энтропии. Переход от порядка к беспорядку о состоянии теплового равновесия. Тема 9 Экспериментальные методы исследования колебательного спектра кристаллов. Понятие о фононах. Законы дисперсии для акустических и оптических фононов. Теплоемкость кристаллов при низких и высоких температурах. Электрон-ные теплоемкость и теплопроводность. Тема 10 Электроны в кристаллах. Приближение сильной и слабой связи. Модель свободных электронов. Уровень Ферми. Элементы зонной теории кристаллов. Функция Блоха. Зон-ная структура энергетического спектра электронов. Тема 11 Поверхность Ферми. Число и плотность числа электронных состояний в зоне. Заполнения зон: металлы, диэлектрики и

полупроводники. Электропроводность полупроводников. Понятие о дырочной проводимости. Собственные и при-месные полупроводники. Понятие о p-n переходе. Транзи-стор. Тема 12 Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Элек-тронный ферми-газ в металле. Носители тока как квазича-стицы. Явление сверхпроводимости. Куперовское спарива-ние электронов. Туннельный контакт. Эффект Джозефсона и его применение. Захват и квантование магнитного потока. Понятие о высокотемпературной проводимости.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

1. Количество вещества однородного газа (в молях):

ν =N

N A

, или νµ

=m ,

где N-число молекул газа; NA- число Авогадро; m-масса га-за; µ-молярная масса газа. Если система представляет смесь нескольких газов, то количество вещества системы

ν ν ν ν= + + + = + + +1 21 2... ...nA A

n

A

NN

NN

NN

,

или

νµ µ µ

= + + +m m mn

n

1

1

2

2

... ,

где νi, Ni, mi, µi -соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-й компоненты смеси.

2. Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа):

pV m RT RT= =µ

ν ,

где m - масса газа; µ - молярная масса; R - универсальная га-зовая постоянная; ν = m/µ - количество вещества; T-термодинамическая температура Кельвина.

3. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева для изопро-цессов: a) закон Бойля-Мариотта

(изотермический процесс - Т=const; m=const): pV const= ,

или для двух состояний газа:

p V p V1 1 2 2= , где p1 и V1 - давление и объем газа в начальном состоя-

нии; p2 и V2 - те же величины в конечном состоянии; b) закон Гей-Люссака (изобарический процесс - p=const,

m=const):

VT

const= ,

или для двух состояний:

VT

VT

1

1

2

2

= ,

где V1 и Т1 - объем и температура газа в начальном со-стоянии; V2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии;

c) закон Шарля (изохорический процесс - V=const, m=const):

pT

const= ,

или для двух состояний:

pT

pT

1

1

2

2

= ,

где р1 и Т1 - давление и температура газа в начальном со-стоянии; р2 и Т2 - те же величины в конечном состоянии;

d) объединенный газовый закон (m=const): pVT

const= , p VT

p VT

1 1

1

2 2

2

= ,

где р1, V1, Т1 - давление, объем и температура газа в началь-ном состоянии; р2, V2, Т2 - те же величины в конечном со-стоянии. 4. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

р = р1 + р2 + ... +рn где pi - парциальные давления компонент смеси; n - число компонентов смеси.

5. Молярная масса смеси газов:

µν ν ν

=+ + ++ + +

m m mn

n

1 2

1 2

...

...

где mi - масса i-го компонента смеси; νi = mi/µi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси.

6. Массовая доля ωi i-го компонента смеси газа (в до-лях единицы или процентах):

ω iim

m= ,

где m - масса смеси.

7. Концентрация молекул (число молекул в единице объема):

n NV

N A= =µ

ρ ,

где N-число молекул, содержащихся в данной системе; ρ - плотность вещества. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

8. Основное уравнение кинетической теории газов:

ωnp32

= ,

где <ω> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

9. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

kT23

=ω ,

где k - постоянная Больцмана.

10. Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

ω ii kT=2

,

где i - число степеней свободы молекулы.

11. Зависимость давления газа от концентрации мо-лекул и температуры:

p = nkT.

12. Скорости молекул:

средняя квадратичная v kTm

RT

iк в = =

3 3µ

;

средняя арифметическая v kTm

RT

i= =

8 8π πµ

;

наиболее вероятная v kTm

RT

iв = =

2 2µ

,

где mi - масса одной молекулы.

13. Относительная скорость молекулы: u = v/ vв,

где v - скорость данной молекулы.

14. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и при постоянном давлении (ср):

c i Rv = ⋅

2 µ ; c i R

p =+

⋅2

2 µ.

15. Связь между удельной (с) и молярной (С) тепло-емкостями:

c C=µ

; C = c⋅µ.

16. Уравнение Роберта Майера: Cp -Cv = R.

17. Внутренняя энергия идеального газа:

U m i RT m C TV= ⋅ =µ µ2

.

18. Первое начало термодинамики: δ δQ dU A= + ,

где δQ - теплота, сообщенная системе (газу); dU - изменение внутренней энергии системы; δА - работа, совершенная сис-темой против внешних сил.

19. Работа расширения газа:

в общем случае A pdVV

V

= ∫1

2

;

при изобарическом процессе ( )A p V V= −2 1 ;

изотермическом процессе A m RTVV

= ⋅µ

ln 2

1;

при адиабатическом процессе A U m C Tv= − = −∆ ∆µ

,

или ART m V

V=

−⋅ −

−1 1

2

1

11

γ µ

γ

,

где γ = c cp v/ - показатель адиабаты.

20. Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатическом процессе:

pV constγ = ; TT

VV

2

1

1

2

1

=

−γ

;

pp

VV

2

1

1

2=

γ

; TT

pp

2

1

2

1

1

=

−γγ

;

21. Термический к.п.д. цикла:

η =−Q QQ

1 2

1; η =

−T TT

1 2

1

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n = n0 e-U/(kT), где n - концентрация частиц; U - их потенциальная энергия; n0 -концентрация частиц в точках поля, где U=0; k - посто-янная Больцмана; T - термодинамическая температура; е - основание натуральных логарифмов. 2. Барометрическая формула (распределение давле-ния в однородном поле силы тяжести)

p p e mg kTz= −0

/( ) , или )/(0

RTMgzepp −= , где р - давление газа; m - масса частицы; М - молярная мас-са; z - координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 - давление на этом уровне; g - ус-корение свободного падения; R - молярная газовая постоян-ная. 3. Вероятность того, что физическая величина x, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х+dx, определяется по формуле

dW x f x dx( ) ( ) *= , где f(x) - функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности). 4. Количество молекул, для которых физическая ве-личина х, характеризующая их, заключена в интервале зна-чений от х до х+dx,

dN N dW x N f x dx= ⋅ = ⋅( ) ( ) . 5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями: a) число молекул, скорости которых заключены в пределах

от v до v+dv,

( )dN v Nf v dv N mkT

e v dvmv kT( ) ( ) /= =

−42

32 2 22

ππ

,

где f(v) - функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v+dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N - об-щее число молекул; m - масса молекулы;

b) число молекул, относительные скорости которых заклю-чены в пределах от u до u+du

dN u Nf u du Ne u duu( ) ( ) ,= = −4 2 2

π

где u=v/vв - относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости vв ; f(u) - функ-ция распределения по относительным скоростям.

6. Распределение молекул по импульсам. Число мо-лекул, импульсы которых заключены в пределах от р до р+dp,

dppeTkm

NdppNfpdN mkTp 2)2/()(2/3

2

214)()( −

⋅⋅⋅==

ππ ,

где f(p) - функция распределения по энергиям. 7. Распределение молекул по энергиям. Число моле-кул, энергии которых заключены в интервале от ε до ε+dε,

dN Nf d N ekT

dkT

( ) ( )( )

/( )

//ε ε ε

πε ε

ε= =

−23 2

1 2 ,

где f(ε) - функция распределения по энергиям. 8. Среднее значение физической величины х в общем случае

xxf x dx

f x dx= ∫

( )

( ),

а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу,

x xf x dx= ∫ ( ) ,

где f(x) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х. Например, среднее значение скорости молекулы (т.е.

средняя арифметическая скорость) v vf v dv=∞

∫ ( )0

;

средняя арифметическая скорость212vvкв = , где

v v f v dv2 2

0

=∞

∫ ( ) ; средняя кинетическая энергия поступа-

тельного движения молекулы ε ε ε ε= ⋅∞

∫ f d( )0

.

9. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

z d n v= 2 2π , где d - эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; <v> - средняя арифметическая скорость молекул. 10. Средняя длина свободного пробега молекул газа

ld n

=1

2 2π.

11. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент по-верхности,

dp dvdz

Sdt= η ∆ ,

где η - динамическая вязкость газа; dvdz

- градиент (попе-

речный) скорости течения его слоев; ∆S - площадь элемента поверхности; dt - время переноса. 12. Динамическая вязкость

η ρ=13

v l ,

где ρ -плотность газа (жидкости); <v> - средняя скорость хаотического движения его молекул; <l> - их средняя длина свободного пробега. 13. Закон Ньютона.

F dpdt

dvdz

S= = η ∆ ,

где F - сила внутреннего трения между движущимися слоя-ми газа. 14. Закон Фурье.

∆ ∆Q dTdx

S t= −λ ,

где ∆Q - теплота, прошедшая посредством теплопроводно-сти через сечение площадью S за время ∆t; λ - теплопровод-ность; dT/dx - градиент температуры. 15. Теплопроводность (коэффициент теплопроводно-сти) газа

λ ρ=13

c v lv , или λ = ⋅16

k n v l ,

где cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ - плотность газа; <v> - средняя арифметическая скорость его молекулы; <l> - средняя длина свободного пробега мо-лекул. 16. Закон Фика

∆ ∆m D dndx

m S t= − 1 ,

где ∆m - масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время ∆t; D - диффузия ( коэффициент диффузии); dn/dx - градиент концентрации молекул; m1 - масса одной молекулы. 17. Диффузия (коэффициент диффузии)

D v l=13

.

ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА

Основные формулы

1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классиче-ской теории теплоемкости выражается формулой

Um=3RT, где R -молярная газовая постоянная; T - термодинамическая температура. 2. Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энер-гии U по температуре, т.е.

C = dU/dT. 3. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Сm химически простых твердых тел

Сm = 3R. 4. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)

Cm = n⋅3R, где n - общее число частиц в химической формуле соедине-ния. 5. Среднее значение энергии ⟨ε⟩ квантового осцилля-тора, приходящейся на одну ступень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой

( )[ ]ε ε ω

ω= +

−0 1h

hexp / kT,

где ε0 - нулевая энергия ( )ε ω01

2= h h; - постоянная План-

ка; ω - круговая частота колебаний осциллятора; k - посто-янная Больцмана; T - термодинамическая температура. 6. Молярная внутренняя энергия кристалла в кванто-вой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по фор-муле

U U R

Tm m

E

E= +

−

0 31

θθexp

,

где Um0=3/2 RθE - молярная нулевая энергия по Эйнштейну; θ ωE k= h / - характеристическая температура Эйнштейна. 7. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна

C RT

T

T

mE

E

E

=

−

3

1

2

2θ

θ

θ

exp

exp

.

При низких температурах (Т<<θE) Cm = 3R(θE/T)exp(-θE/T).

8. Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения час-тот g(ω). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от ω до ω+dω, определяется выражени-ем

dZ = g(ω)dv. Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,

dZ gN d=ω

ω ωmax3

2 ,

где ωmax -максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний. 9. Энергия U твердого тела связана с средней энерги-ей ⟨ε⟩ квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω) соотношением

( )U g d= ∫ ε ω ωω

0

max

.

10. Молярная внутренняя энергия кристалла по Де-баю

( )U U RT T xx

dxm mD

TD

= + ⋅

−∫0

3 2

0

3 31θ

θ

exp

/

,

где U Rm D09

8= θ - молярная нулевая энергия кристалла по

Дебаю; θ ωD k= h max / - характеристическая температура Дебая. 11. Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю

( )C R T x dx

xT

Tm

D

D

D

TD

=

−

−

−

∫3 121

3

1

3 3

0θ

θ

θ

θ

exp exp.

Предельный закон Дебая. В области низких температур (T<<θD) последняя формула принимает вид

C R Tm

D=

125

3 3π

θ.

12. Энергия ε фонона связана с круговой частотой ω колебаний классической волны соотношением

ωε ⋅= h . 13. Квазиимпульс фонона

λπ /2 h⋅=p . 14. Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле

u = dε /dp. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скоро-сти совпадут:

u = v = ε /p. Скорости продольных (vl) и поперечных (vt) волн в кристалле определяются по формулам

v El = ρ , v G

t = ρ ,

где Е и G - модули соответственно продольной и попереч-ной упругости. Усредненное значение скорости звука v связано с vl и vt соотношением

3 2 13 3 3v v vt l= + .

15. Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесен-ное через поверхность площадью S, перпендикулярную на-правлению теплового потока, за время dt, равно

( )SdtdxdTdQ λ−= ,

где λ - теплопроводность; dT/dx - градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление тепло-вого потока противоположно вектору градиента температу-ры. 16. Теплопроводность λ, теплоемкость С, рассчитан-ная на единицу объема, скорость v звука (усредненное зна-чение) и средняя длина свободного пробега Λ фононов свя-заны соотношением

λ = ⋅ ⋅13 C v Λ .

17. Относительное изменение частоты, обусловлен-ное эффектом Доплера,

∆ωω

ϑ=vc

cos (v<<c),

где v - скорость атома; с - скорость распространения элек-тро-магнитного излучения; ϑ - угол между вектором v и направлением наблюдения (от атома к наблюдателю). 18. Энергия отдачи ядра при испускании гамма-фонона

( ) ( )22 2/ cmR Яωh= , где ω⋅h - энергия гамма-фонона; mя - масса ядра. 19. Естественная ширина спектральной линии

Г = hτ ,

где τ - среднее время жизни ядра(атома) в возбужденном состоянии. 20. Сила f(x), возвращающая частицу в положение равновесия при ангармонических колебаниях, определяется выражением

( )f x x x= − ⋅ + ⋅β γ 2 , где β - коэффициент гармоничности, связанный с равновес-ным расстоянием r0 между атомами кристалла и модулем продольной упругости Е соотношением

β = r0E; γ -коэффициент ангармоничности, характеризующий асси-метрию колебаний атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять

γβ

= ⋅12 0r

.

21. Коэффициент линейного расширения, по опреде-лению,

α = ⋅1l

dldT

.

Теоретически он выражается через коэффициенты β

и γ формулой αγβ

=⋅ kr20

, или приближенно αβ

= ⋅12 0

2 2k

r,

где k - постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить число N молекул, содержа-щихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул. Решение. Число n молекул, содержащихся в некото-рой массе m, равно произведению числа Авогадро NA на ко-личество вещества ν:

N = νNA. Так как количество вещества

ν = m/µ, где µ - молярная масса, то

N m N A=µ

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

NV

N A=⋅ρµ

(1)

Подставим в формулу (1) следующие значения вели-чин: ρ=103 кг/м3; V= 1 мм3=10-9 м3; µ=18⋅10-3 кг/моль; NA=6,02⋅1023 моль-1 и произведем вычисления:

N =⋅

⋅⋅ ⋅

−

−

10 1018 10

6 02 103 9

323, молекул=3,34⋅1019 молекул.

Массу m1 одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

mN A

1 =µ .

Подставив сюда числовые значения µ и N, найдем массу молекулы воды:

m1

3

2318 10

6 02 10=

⋅

⋅

−

, кг = 2,99⋅10-26 кг.

Если молекулы воды, плотно прилегают друг к дру-гу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V1=d3, где d - диаметр молекулы. Отсюда

d V= 13 . (2)

Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vµ на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро NA:

V1 =Vµ /NA. Подставим полученное выражение V1 в формулу (2):

d V N A= µ /3 . Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением Vµ =µ /ρ. Тогда искомый диаметр молекулы

d N A= µ

ρ3 (3)

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:

[ ] [ ][ ][ ]

dN A

=

=

⋅

=

µρ

13

13

1

11

к гмо ль

1к гм

мо ль3-1

м.

Теперь подставим числовые значения физических величин в формулу (3) и произведем вычисления:

d =⋅

⋅ ⋅

−18 1010 6 02 10

3

3 233

, м = 3,11⋅10-10 м = 311 пм.

Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р1=1 МПа и при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2=290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся урав-нением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

p Vm

RT22

2=µ

, (1)

где m2-масса гелия в баллоне в конечном состоянии; µ - мо-лярная масса гелия; R - молярная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление р2:

pm RT

V22 2= ⋅µ

. (2)

Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из балло-на:

m2 = m1 - m. (3) Массу гелия m1 найдем также из уравнения Менде-леева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

mp V

RT11

1=

⋅µ. (4)

Подставляя в выражение (3) массу m1 из формулы (4), а за-тем полученное выражение m2 в формулу (2), найдем

pp V

RTm

RTV2

1

1

2=⋅

−

µµ

,

или после преобразования и сокращения

pTT

p m RTV2

2

11= − ⋅

µ. (5)

Пример 3. Баллон содержит m1=80 кг кислорода и

m2=320 г аргона. Давление смеси p=1 МПа, температура Т=300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона. Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав сме-си. Парциальным давлением газа называется давление, ко-

торое производил бы этот газ, если бы только он один нахо-дился в сосуде, занятом смесью. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциаль-ные давления кислорода p1 и аргона р2 выражаются форму-лами:

pm RT

V11

1=µ

; pm RT

V22

2=µ

.

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

р = р1+р2, или pm m RT

V= ,

откуда объем баллона

pRTmm

V

+=

2

2

1

1

µµ (1)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в формулу: m1=80 г=0,08 кг, µ1=32⋅⋅10-3 кг/моль, m2=320 г=0,32 кг, µ2=40⋅10-3 кг/моль, р=1 МПа=106 Па, R=8,31 Дж/(моль⋅К). Подставим числовые значения в формулу (1) и про-изведем вычисления:

.2,260262,010

300831104032,0

103208,0

2

3633

лм

мV

==

=⋅

⋅

⋅+

⋅=

−−

Пример 4. Вычислить удельные теплоемкости сv и cp

смеси неона и водорода, если массовая доля неона w2=20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыду-щего примера. Решение. Удельную теплоемкость смеси при посто-янном объеме cv найдем следующим образом. Теплоту, не-обходимую для нагревания смеси на ∆Т, выразим двумя способами:

Q=cV(m1+m2)∆T, (1) Q=(cV,1m1+cV,2m2)∆T, (2)

где сV,1 - удельная теплоемкость неона; сV,2 - удельная теп-лоемкость водорода. Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе час-ти полученного равенства на ∆Т, получим

сV(m1+m2)=cV,1 m1+cV,2 m2, откуда

c cm

m mc

mm mV V V=

++

+, ,11

1 22

2

1 2, (3)

или сV = cV,1 w1+cV,2 m2, (4)

где wm

m m11

1 2=

+ и w

mm m2

2

1 2=

+ - массовые доли неона и

водорода в смеси. Подставив в формулу (4) числовые значения вели-чин, найдем:

сV = (6,24⋅102⋅0,8+1,04⋅104⋅0,2) Дж/(кг⋅К) = = 2,58⋅103 Дж/(кг⋅К). Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

ср = ср,1 w1 + cp,2 w2. (5) Подставим в формулу (5) числовые значения вели-чин: ср= 1,04⋅103⋅0,8+1,46⋅104⋅0,2 Дж/(кг⋅К)=3,75⋅103 Дж/(кг⋅К).

Пример 5. Кислород массой m=2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением р1=0,2 МПа. Газ был на-грет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3=0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершен-ную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа выра-жается формулой

∆ ∆ ∆U c m T i R m Tv= =2 µ

(1)

где i-число степеней свободы молекул газа (для двухатом-ных молекул кислорода i=5); µ-молярная масса. Начальную и конечную температуру газа найдем из

уравнения Клапейрона-Менделеева pV m RT=µ

:

TpVmR

=µ . (2)

Выпишем заданные величины в единицах СИ: m=2 кг, µ=32⋅10-3 кг/моль, R=8,31 Дж/(моль⋅К), V1=1 м3, V2=V3=3 м3, р1=р2=0,2 МПа=2⋅105 Па, р3=0,5 Мпа = =5⋅105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:

T1

5 32 10 1 32 102 8 31

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

, К = 385 К;

T2

5 32 10 3 32 102 8 31

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

, К = 1155 К = 1,16 кК;

T3

5 35 10 3 32 102 8 31

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

, К = 2887 К = 2,89 кК.

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, и выполняя арифметические действия, на-ходим

∆U = ⋅⋅

⋅ −−52

8 3132 10

2 2887 3853, ( ) Дж= 3,24⋅106 Дж =3,24 МДж

Работа расширения газа при постоянном давлении

выражается формулой A R m T=µ∆ .

Подставив числовые значения величин, получим

( )A1 38 31 2

32 101155 385= ⋅

⋅⋅ −

−, Дж = 0,400⋅106 Дж.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме,

равна нулю, т.е. А2=0. Следовательно, полная работа, со-вершенная газом, равна А=А1+А2=0,4⋅106 Дж. Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энер-гии ∆U и работы А: Q = ∆U+A, следовательно, Q=0,4⋅106 Дж+3,24⋅106 Дж=3,64⋅106 Дж=3,64 МДж. График процесса приведен на рис.1. Пример 6. В цилиндре под поршнем находится во-дород массой m=0,02 кг при температуре T=300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем га-за уменьшился в n2=5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически. Решение. Температуры и объемы газа, совершающе-го адиабатический процесс, связаны между собой соотно-шением

TT

VV

2

1

1

2

1

=

−γ

, или TT n

2

11

1=

−γ,

где γ-отношение теплоемкости газа при постоянном давле-нии и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ=1,4):

n1 = V2/V1 = 5. Отсюда получаем следующее выражение для конеч-ной температуры Т2:

TT

n2

1

11

=−γ

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

T K K2 1 4 1 0 4300

53005

= =−, ,

.

Так как 50,4=1,91 (находится логарифмированием), то

T23001 91

=,

К= 157 К.

Работа А1 газа при адиабатическом расширении мо-жет быть определена по формуле

( ) ( )A m C T T m i R T Tv1 1 2 1 22= − = ⋅ −µ µ

,

где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объе-ме.

Подставив числовые значения величин: R=8,31

Дж/(моль⋅К), i=5 (для водорода как двухатомного газа), µ=2⋅10-3 кг/моль, m=0,02 кг, Т1=300 К, Т2=157 К в правую часть последней формулы и выполняя арифметические дей-ствия, получим

( )A1 30 5 82 10 2

300 157=⋅ ⋅

⋅ ⋅−

−

,02 ,31 Дж=2,98⋅104 Дж.

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

A m RTVV2 2

3

2=µ

ln , или A m RTn2 2

2

1=µ

ln ,

где n2=V2/V3=5. Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, и выполняя арифметические действия, находим

A2 30

2 108 157 1

5=

⋅⋅ ⋅

−

,02 ,31 ln Дж= = -2,10⋅104 Дж.

Знак “минус” показывает, что работа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рис.2

Пример 7. Тепловая машина работает по обратимо-му циклу Карно. Температура нагревателя Т1=500 К. Опре-делить термический к.п.д. η цикла и температуру Т2 охлади-теля тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает ра-боту А=350 Дж. Решение. Термический к.п.д. тепловой машины, на-зываемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревате-ля, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой

η =A

Q1,

где Q1 - теплота, полученная от нагревателя; А - работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, полу-чим

η = =350

10000,35.

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле η =−T TT

1 2

1 оп-

ределить температуру охладителя Т2: Т2=Т1(1-η).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д. и температуры Т1 нагревателя, получим

Т2=500(1-0,35) К=325 К.

Пример 8. В сосуде объемом V=30 л находится m=100 г кислорода под давлением р=3⋅105 Па. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии моле-кул О2. Решение. Вероятное значение кинетической энергии молекул соответствует максимум кривой распределения Максвелла по кинетическим энергиям

( )f EkT

E eEkT

k

=⋅

−2 1

32 1

2ππ

(1)

Задача сводится к нахождению экстремума функции f(E). Определим первую производную g’(E) и приравняем ее нулю, получим

( )f EkT

EkT

e

kTE e

EkT

EkT

k

''

=

−

+

+

=

−

− −

2 1 1

2 1 12

0

32 1

2

32 1

2

ππ

ππ

(2)

Отсюда Ев=kT/2 (3) температуру найдем из уравнения Менделеева-Клайперона

( )T pV

mR=

µ (4)

Подставим (4) в (3) и получим

E k pVmR

pVmN A

в =⋅

= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

− −

−µ µ

2 23 10 30 10 32 10

2 10 6 10

5 3 3

1 23,02=16⋅10-22Дж=

=1,6⋅10-21 Дж.

Пример 9. Определить массу воздуха в цилиндре с основанием ∆S=1 м2 и высотой h=1 км. Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Решение. Распределение Больцмана для одномерно-го случая имеет вид

( )d x mgkT

e dxU x

kTω =− ( )

Число молекул dN в слое воздуха толщиной dx на высоте х от поверхности Земли

( )dN x NmgkT

e dxmgx

kT=−

Проинтегрировав dN(x) по х в пределах от 0 до h, найдем полное число молекул в данном цилиндре

N NmgkT

e dx N e Spmg

emgh

kTh mgh

kTmgh

kT= = −

= −

− − −

∫0

01 1∆

Умножив N на массу одной молекулы, получим искомую массу

mS p

ge

mghkT=

⋅−

−∆ 0 1 ,

( ) кг31013,014102733,8

3108,931029exp1

8,9

510

exp18,9

510exp1

8,9

1510

≅−−⋅≈⋅

⋅⋅−⋅−=

=−−=−⋅

=

e

RT

Mgh

kT

mghm

Пример 10.

Кислород, масса которого m=20 г, нагревают от температуры t1=270C до t2=1270С. Найти изменение энтропии, если известно что начальное и конечное давление одинаковы и близки к атмосферному.

Решение. Найдем изменение энтропии при изобари-ческом процессе

∆SQpT

mCp

TT

m iR

TT

= = ∫∫ = ⋅+δ

µδ

µ1

2

1

2 22

21

ln

∆S =⋅ − ⋅

+⋅ ⋅ =

0 2

32 10 35 2

28 31

400300

52,

, ln Дж/К.

Пример 11.

Очень небольшой теплоизолированный сосуд разде-лен на две части, в каждой из которых находится углекис-лый газ в количестве 10-8 моль. Температура газа в одной части t1=280C, в другой части t2=270C. Определить во сколь-ко раз возрастает вероятность состояния системы при вы-равнивании температур. Решение. По соотношению Больцмана

∆S S S kWW

= − = ⋅2 12

1ln ,

откуда WW

Sk

2

1=

exp ∆.

В результате теплообмена температура в первой части уменьшается на ∆Т, а во второй возрастает на ∆Т

∆T T T=

−1 2

2.

При выравнивании температур Т’1 =T’2 или T1 - ∆Т = T2 + ∆Т. Найдем изменение энтропии ∆S учитывая, что объемы 1 и 2 части не изменяются

∫∫ +=−=∆'

2

2

'1

1

12

T

T

vТ

T

v

TQ

TQSSS δδ

Проинтегрируем с учетом значений '

1T и '

2T и получим

∆∆ ∆S m C TT

TTv= −

+ +

µ

ln ln1 11 2

Т.к. ∆Т<<Т2, то натуральные логарифмы разложенны в ряд и ограничимся первыми членами. Тогда

∆ ∆S m C TT Tv= − +

µ1 1

1 2

∆S = 1,38⋅10-12 Дж/К

Отношение WW

2

1

1110= ⋅exp .

I. Основы молекулярно-кинетической теории

1. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 5⋅10-3 м3 и находящегося под давлением 2,63⋅105 Па?

2. Баллон содержит водород массой 10 кг при темпе-ратуре 70С. Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения и полную энергию всех молекул газа.

3. Сколько молекул идеального газа содержится в баллоне емкостью 2⋅10-2 м3 при температуре 200С и давле-нии 5,065⋅106 Па?

4. Сколько степеней свободы имеет молекула, обла-дающая кинетической энергией 9,7⋅10-21 Дж при температу-ре 170С?

5. При температуре 210С в сосуде содержится 1024 молекул. Определить кинетическую энергию поступатель-ного движения молекул.

6. Определить среднее значение полной кинетиче-ской энергии одной молекулы гелия, кислорода, водяного пара при температуре 400К.

7. В баллоне емкостью 0,05 м3 находится 1,2⋅102 мо-лей газа при давлении 6⋅103кПа, определить среднюю кине-тическую энергию теплового движения молекул газа.

8. Сколько молекул содержится в 1 кг кислорода, на-ходящегося при температуре 170С и давлении 2,026⋅105Па?

9. Определить число киломолей и число молекул га-за, содержащегося в колбе емкостью 240 см3, если темпера-тура газа 200С и давление 5,054⋅104 Па.

10. Давление газа 1,33⋅104 Па, концентрация молекул равна 109 см-3. Найти среднюю кинетическую энергию по-

ступательного движения одной молекулы и температуру га-за.

11. Сосуд объемом 6,23 л заполнен смесью газов О2 и Kr. Масса крептона 24 г смесь находится под давлением 6,2·105 Па и при температуре 310 К. Определить массу ки-слорода.

12. Какой объем занимает смесь газов водорода (Н2) и неона (Ne), если масса водорода 8 г, масса неона 14 г? Смесь находится под давлением 4·103 Па и температурой 200 К.

13. Смесь газов аргона (Ar) m1=20 г и водорода (Н2) m2=10 г занимает объем 9,14·10-2 м3 при температуре 420 К. Определить давление сосуда.

14. Определить температуре смеси газов гелия (Не) и неона (Nе), если объем сосуда 5,82·10-2 м3. Смесь находится под давлением 150 кПа. Масса гелия m1=12 г, масса неона m2=10 г.

15. Смесь кислорода (О2) и углекислого газа (СО2) занимает объем 0,125 л при температуре 300 К. Смесь нахо-дится под давлением 100 кПа. Определить массу СО2, если масса кислорода 8 г.

16. В сосуде находится смесь газов азота (N2) m1=14 г и кислорода (О2) m2=16 г под давлением 7,5 кПа при темпе-ратуре 250 К. Какой объем занимает смесь?

17. Под каким давлением находится смесь газов при температуре 390 К, если в сосуде объемом 4.15 л находится крептон (Kr) массой m1=6 г и неон (Nе) массой m2=5 г.

18. В сосуде находится m1=3,2·10-12 кг кислорода и m2=2,8·10-10 кг азота. температуре смеси Т=300 К. Давление в сосуде р=0,15 Па. Определить объем V сосуда и концен-трацию n молекул смеси в нем.

19. Найдите давление р смеси газа в сосуде объемом v=5 л, если в нем находится N1=2·1015 молекул кислорода, N2=8·1015 молекул азота и m=1,0 нкг аргона. Температура смеси t=170С.

20. В сосуде находится m1=2 г водорода и m2=12 г азота при температуре t=170С и давлении р=0,18 МПа. Най-ти концентрацию n1 молекул водорода в смеси.

Физические основы термодинамики 21. Какое количество водяного пара можно нагреть

от 200С до 1000С при постоянном давлении количеством те-плоты, равным 220 Дж? На сколько изменится при этом его внутренняя энергия?

22. Один моль азота нагревают при постоянном дав-лении от 100С до 1100С. Найти изменение его внутренней энергии, работу, совершаемую при расширении, количество теплоты, сообщаемое газу.

23. Газ при постоянном давлении был нагрет от 70С до 1070С. Определить работу изобарического расширения газа, если в начале нагревания газ занимал объем 8 м3 при давлении 0,5 МПа.

24. Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился в 3 раза. Затем водород изо-хорически охлаждали так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найти изменение энтропии.

25. Одноатомному газу сообщено 41,9 Дж теплоты. При этом газ расширяется, сохраняя постоянное давление. Найти работу расширения газа.

26. Определить работу расширения 7 кг водорода при постоянном давлении и количество теплоты, переданное водороду, если в процессе нагревания его температура по-высилась на 2000С.

27. Атомарный кислород, молекулярный кислород О2 и озон О3 отдельно друг от друга расширяются адиабатиче-ски, при этом расходуется некоторое количество теплоты. Определить, какая доля тепла расходуется: 1) на работу расширения; 2) на изменение внутренней энергии О3.

28. Азот массой 200 г расширяется изотермически при температуре 70С, причем объем газа увеличивается в 2 раза. Найти: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) со-вершенную при расширении газа работу; 3) теплоту, полу-ченную газом.

29. Один киломоль воздуха при давлении 106Па и температуре 390 К изохорически изменяет давление так, что его внутренняя энергия изменяется на -71,7 кДж, затем изо-барически расширяется и совершает работу 745 кДж. Опре-делить параметры воздуха (считать теплоемкость равной 721 Дж/кг⋅К). Дать диаграмму процесса.

30. При нормальных физических условиях 1,25 кг азота подвергается изотермическому сжатию. Вычислить работу, необходимую для сжатия азота, если в результате сжатия объем его уменьшился в 3 раза.

31. Определить работу А2 изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, к.п.д. которого η=0,4, если работа изотермического расширения равна А1=8 Дж.

32. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту Q1=4,38 кДж и совершил работу А=2,4 кДж. Определить температуру нагревателя, если температура охладителя Т2=273 К.

33. Газ, совершающий цикл Карно, 3/4 теплоты, по-лученной от нагревателя, отдает холодильнику. Температу-ра холодильника 00С. Определить температуру нагревателя.

34. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная темпера-тура нагревателя в 3 раза выше абсолютной температуры

холодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?

35. Идеальная тепловая машина, работающая по цик-лу Карно, имеет температуру нагревателя 2270С, температу-ру холодильника 1270С. Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины увеличился в 3 раза?

36. Температура нагревателя тепловой машины, ра-ботающей по циклу Карно, 4270С, холодильника 2270С, причем холодильник этой тепловой машины служит нагре-вателем другой тепловой машины. У какой из машин КПД больше и во сколько раз, если разность температур нагрева-теля и холодильника у обеих машин одинакова?

37. КПД паровой машины составляет 50% от КПД идеальной тепловой машины, которая работает по циклу Карно в том же интервале температур. Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, 2270С, темпера-тура в конденсаторе 770С. Определить мощность паровой машины, если она за 1 ч потребляет уголь массой 200 кг с теплотворной способностью 31 МДж/кг.

38. Вычислить КПД цикла Карно, совершаемого трехатомным газом, состоящим из жестких (объемных) мо-лекул, если при адиабатическом расширении объем его уве-личивается от 6 до 7 дм3.

39. Двухатомный газ совершает цикл Карно. Опреде-лить КПД цикла, если известно, что на каждый моль этого газа при его адиабатическом сжатии затрачивается работа 2,0 кДж. Температура нагревателя 1270С.

40. Наименьший объем газа, совершающего цикл Карно, 12 дм3. Определить наибольший объем, если объем газа в конце изотермического расширения 60 дм3, в конце изотермического сжатия - 19 дм3.

Элементы статистической физики 41. Давление воздуха у поверхности Земли р=100

кПа. Считая температуру воздуха постоянной и равной Т=270 К. Определить концентрацию молекул n воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h=8 км.

42. В кабине вертолета барометр показывает давле-ние р1=86 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если у по-верхности Земли давление равно р2=0,10 МПа. Считать, что температура воздуха постоянна и равна 280 К.

43. На какой высоте h содержание водорода в возду-хе по сравнению с содержанием углекислого газа увеличит-ся вдвое? Среднюю по высоте температуру воздуха считать Т=300 К.

44. Определить число молекул в единице объема n воздуха на высоте h=2 км над уровнем моря. Температуру считать постоянной и равной 10о С. Давление на уровне мо-ря ро=101 кПа.

45. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Темпе-ратуру считать всюду одинаковой и равной 0о С.

46. На поверхности Земли барометр показывает 101 кПа. Каково будет показание барометра при подъеме его на Останкинскую телевизионную башню, высота которой 540 м? Температуру считать одинаковой и равной 7о С.

47.Подъеме вертолета на некоторую высоту баро-метр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воз-духа считать всюду одинаковой и равной 17о С.

48. У поверхности Земли молекул водорода почти в 1,0·106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте

число молекул водорода будет равно молекул азота? Сред-нюю температуру принять равной 00С.

49. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление а) на высоте 5 км, б) на высоте 10 км, в) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для Т=293 К. Давление на уровне моря принять равным ро.

50. Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентраций кислорода (О2) и азота (N2) в воздухе ηо=20,95/78,08=0,268. Полагая температуру атмосферы, не зависящей от высоты и равной 00С, определить это отноше-ние η на высоте h=10 м.

51. Пользуясь распределением Максвелла и поняти-ем относительной скорости u как отношения скорости мо-лекул v к наивероятнейшей скорости vв, получить то же распределение в приведенном виде:

dN u N e u duu( ) = −4 2 2

π.

52. Какая часть молекул кислорода обладает скоро-стями, отличающимися от наивероятнейшей не больше чем на 10 м/с, при температурах 0 и 300о С?

53. Написать выражение для среднего числа dN мо-лекул газа, кинетические энергии которых заключены меж-ду ε и ε+dε.

54. При каком значении температуры число молекул находящихся в пространстве скоростей в фиксированном интервале (v, v+dv), максимально?

55. Найти отношение числа молекул водорода n1 скорости которых лежат в пределах от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул n2, имеющих скорости в пределах от 1500 до 1510 м/с, если температура водорода 300о С.

56. Имеется N частиц, энергия которых может при-нимать лишь два значения Е1 и Е2. Частицы находятся в равновесном состоянии при температуре Т. Чему равна суммарная энергия Е всех частиц в этом состоянии?

57. При какой температуре Т воздуха средние скоро-сти молекул азота (N2) и кислорода (О2) отличаются на 300 м/с?

58. Преобразовать функцию распределения Максвел-ла, перейдя от переменной v к переменной u=v/vвер, где vвер - наиболее вероятная скорость молекул.

59. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости молекул кислорода (О2) при 20о С.

60. Найти сумму модулей импульсов молекул, дер-жащихся в моле азота (N2), при температуре 200 К.

61. Динамическая вязкость аргона при нормальных условиях η=22 мкПа⋅с. Вычислить длину свободного пробе-га λ молекулы аргона и коэффициент диффузии D аргона при нормальных условиях.

62. Кислород и углекислый газ находятся при одина-ковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов соответственно равны 0,35 нм и 0,40 нм. Найти для этих газов отношения: а) коэффициентов диффу-зии D1/D2; б) коэффициентов внутреннего трения η1/η2.

63. Коэффициент диффузии кислорода при 00С равен 0,19 см2/с. Определить длину свободного пробега молекул кислорода.

64. За сколько времени 720 мг углекислого газа про-диффундирует из чернозема в атмосферу через 1 м2 его по-верхности при среднем градиенте плотности азота в на-правлении, перпендикулярном площади, равном 0,5⋅10-6 г/см4? Коэффициент диффузии принять равным 0,04 см2/с.

65. Найти количество азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 10 см2 за время 5 с, если гради-ент плотности азота в направлении, перпендикулярном площади, равен 1,26⋅10-3 г/см4. Коэффициент диффузии 1,42 см2/с.

66. За сутки через 1 м2 поверхности дерева из подзо-листой почвы продиффундировало 145 г углекислого газа. Определить коэффициент диффузии углекислого газа, если градиент плотности равен 1,4⋅10-5 г/см4.

67. Коэффициент диффузии водорода при нормаль-ных условиях равен 0,91 см2/с. Определить коэффициент теплопроводности водорода при этих условиях.

68. Эффективный диаметр молекулы аргона 2,7⋅10-8 см. Определить коэффициент внутреннего трения для арго-на при 500С.

69. При нормальных условиях коэффициент внут-реннего трения азота равен 1,7⋅10-5 Па⋅с. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота.

70. Сколько молекул содержится в 1 см3 кислорода, находящегося при давлении 1,013⋅105 Па и температуре 270С? Чему равна средняя арифметическая скорость этих молекул? Сколько соударений в секунду испытывает мо-лекула, если ее эффективный диаметр 2,9⋅10-10 м?

Энтропия 71. Азот массой m=0,28 кг нагревается от температу-

ры t1=70С до температуры t2=1000С при постоянном давле-нии. Найти приращение энтропии азота.

72. Один моль двухатомного газа расширяется изо-барически до удвоения его объема. Вычислить приращение энтропии ∆S газа.

73. Вычислить приращение энтропии ∆S при изотер-мическом расширении 3 молей идеального газа от давления р1=100 кПа до давления р2=25 кПа.

74. В двух сосудах одного и того же объема находят-ся различные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде М1, во втором М2, давления газов и температуры их одина-ковы. Сосуды соединили друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное изменение ∆S энтропии рассматриваемой системы, если относительная молекуляр-ная масса первого газа µ1, а второго µ2.

75. Приводимые в тепловой контакт одинаковые массы вещества имеют разные температуры Т1 и Т2. Считая, что Ср=const, найти приращение энтропии в результате ус-тановления теплового равновесия при р=const.

76. 1,000 г кислорода первоначально заключен в объеме V1=0,200 л под давлением р1=500 Па. Затем газ рас-ширился, в результате чего объем газа стал равным V2=0,500 л, а давление - равным р2=200 Па. Считая газ иде-альным, определить:

а) приращение энтропии газа ∆S, б) приращение внутренней энергии газа ∆U.

77. Энтропия 1 г азота при 250С и давлении 105 Па равно S1=6,84 Дж/(моль⋅К). Определить энтропию 2 г азота при температуре 1000С и давлении 2⋅105 Па.

78. Найти изменения энтропии моля идеального газа при изохорическом, изотермическом и изобарическом про-цессах.

79. Идеальный газ, расширяясь изотермически (при Т=400 К), совершает работу А=800 Дж. Что происходит при этом с энтропией газа?

80. Найти приращение энтропии ∆S при превраще-нии массы m=200 г льда, находившегося при температуре

t1=-10,70С, в воду при t2=00C. Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. Температуру плавления принять равной 273 К.

81. Вычислить энергию нулевых колебаний, прихо-дящуюся на один грамм меди, дебаевская температура ко-торой θD=300 К.

82. Определит максимальную частому ωmax собствен-ных колебаний в кристалле золота, дебаевская температура которого θD=300 К.

83. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре Т<< θD, где θD – дебаевская температура,

определяется соотношением3

4

512

=θ

π TRС .

84. Найти энергию Е фонона, соответствующего мак-симальной частоте ωmax Дебая, если дебаевская температура θD=250 К.

85. При давлении р=1013 гПа аргона затвердевает при температуре, равной 84 К. Температура Дебая для арго-на θD=92 К. Экспериментально установлено, что при Т1=4,0 К молярная теплоемкость аргона С1=0,174 Дж/(моль·К). Оп-ределить значение молярной теплоемкости аргона С2 при Т2=2,0 К.

86. Приняв для серебра значение температуры Дебая θD=208 К, определить

а) максимальное значение энергии εm фонона;

б) среднее число <nm> фононов с энергией εm при температуре Т=300 К.

87. Найти молярную энергию нулевых колебаний кристалла, для которого характеристическая температура Дебая θD=320 К.

88. Найти максимальную энергию εm фонона, кото-рый может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температуре Дебая θD=300 К. Фонон какой длины волны λ обладал бы такой же энергией?

89. Характеристическая температура Дебая для хло-рида калия θD=230 К, а для хлорида натрия θD=280 К. Во сколько раз удельная теплоемкость KCl больше удельной теплоемкости NaCl при температуре 40 К?

90. Определить энергию U0 нулевых колебаний ох-лажденного до затвердения моля аргона (температура Дебая θD=92 К).

91. Определить температуру и энергетическую све-тимость абсолютно черного тела, если максимум излучения приходится на длину волны 600 нм.

92. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела максимум спектральной плотности энергети-ческой светимости сместился с 2,4 мкм на 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость тела и максимальное значение спектральной плотности энергети-ческой светимости.

93. Поток излучения абсолютно черного тела ФЭ=10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны 0,8 мкм. Определить площадь излучения поверхно-сти.

94. Температура абсолютно черного тела равна 2000 К. Определить: 1) спектральную плотность энергетической светимости для длины волны 600 нм; 2) энергетическую светимость в интервале для волн от 590 нм до 610 нм. При-нять, что среднее значение спектральной плотности энерге-тической светимости тела в этом интервале равно значению, найденному для длины волны 600 нм.

95. Температура абсолютно черного тела равна 2 кК. Определить длину волны, на которую приходится макси-мум энергии излучения, и спектральную плотность энерге-тической светимости для этой длины волны.

96. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т=0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны εf =11,7 эВ, εf =7 эВ.

97. Металл находится при температуре Т=0 К. Опре-делить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от εf/2 до εf больше числа электронов с энергией от 0 до εf/2.

98. По функциям распределения d п(Р) электронов в металле по импульсам установить распределение п(V) по скоростям: 1) при любой температуре; 2) при Т=0 К.

99. выразить среднюю скорость <V> электронов в металле при Т=0 К через максимальную скорость Vmax. Вы-числить <V> для металла, уровень Ферми εf которого при Т=0 К равен 6 эВ.

100. Концентрация свободных электронов проводи-мости в металле п=5·1022см -3. Найти среднее значение энер-гии свободных электронов при Т=0 К.

Таблица вариантов

№ Номера вариантов

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Плотность веществ Вещество ρ, 103

кг/м3 Вещество ρ, 103

кг/м3 Твердое тело Жидкость

Алмаз Алюминий Вольфрам Графит Дерево Железо (сталь) Золото Кобальт Кирпич Лед Олово Медь Никель Платина Пробка Свинец Серебро Титан Уран Фарфор Цинк

3,5 2,7 19,1 1,6 0,8 7,8 19,3 8,9 1,8 0,9 7,8 8,9 8,8 21,5 0,2 11,3 10,5 4,5 19,0 2,3 7,0

Бензол Вода Глицерин Касторовое масло Керосин Ртуть Спирт Тяжелая вода Эфир

Газы Азот Аммиак Водород Воздух Гелий Кислород Метан Углекислый газ Хлор

0,88 1,00 1,26 0,90 0,80 13,6 0,79 1,1 0,72

1,25⋅10-3

0,77⋅10-3

0,09⋅10-3

1,293⋅10-

3

1,43⋅10-3

0,72⋅10-3

1,98⋅10-3

3,21⋅10-3

2. Коэффициенты теплового расширения (при комнатной температуре)

Твердое тело

Коэффициент линейного расширения α, 10-6 К-1

Жидкость Коэффициент объемного расширения β,10-4 К-1

Алюминий Латунь Медь Сталь (железо) Стекло обычное Свинец

22,9 18,9 16,7

11

8,5 29,0

Вода Глицерин Керосин Ртуть Спирт этиловый Серная ки-слота

2,1 5,0 10,0 1,8

11,0

5,6

Примечание: α ∂∂

β ∂∂

= ⋅ = ⋅1 1l T V

VT

l ,

3. Температура плавления и удельная теплота

плавления некоторых газов Вещество Температура

плавления Т,К Удельная теплота плав-

ления q, кДж/кг Алюминий Вольфрам Железо Лед Медь Олово Свинец Серебро

933 3660 1803 273 1356 505 600 1233

400,0 184,6 277,0 335,0 213,0 60,7 25,0 105,0

4. Удельная теплота сгорания Вещество Удельная те-

плота сгора-ния q, 107 Дж/кг

Вещество Удельная те-плота сгора-ния q, 107 Дж/кг

Бензин Дерево Каменный уголь

4,61 1,26

2,39

Керосин Нефть Спирт

4,61 4,61 2,93

5. Постоянные некоторых жидкостей Жидкость Поверхно-

стное на-тяжение α (при ком-натной темпера-туре), 10-2

Н/м

Вязкость η, мПа⋅с

Темпера-тура паро-образова-ния (кипе-ния) Т,К

Удельная теплота парообра-зования

(при тем-пературе кипения)

q, 105 Дж/кг

Вода Глицерин Ртуть Спирт

7,4 6,6 47,1 2,2

1,0 8,5⋅102

1,6

373 -

630 351

22,60 -

2,82 9,05

6. Удельная теплоемкость веществ Вещество с, кД/кг⋅К Вещество с, кД/кг⋅К Твердое тело

Алюминий Бронза Вольфрам Дерево (дуб) Железо Золото Латунь Лед Медь Нихром Олово Парафин Платина Пробка Свинец Серебро Сталь Стекло Углерод (гра-фит) Фарфор Цинк Чугун Эбонит

0,90 0,38 0,13 2,40 0,46 0,13 0,38 2,09 0,39 0,46 0,20 3,20 0,13 2,05 0,13 0,23 0,50

0,67-0,83

0,46-0,71 0,75 0,38 0,54 1,38

ЖидкостьБензин Вода Глицерин Масло (трансформатор-ное) Нефть Ртуть Скипидар Спирт Эфир этиловый

ГазыАзот Водяной пар Водород Воздух Гелий Двуокись углерода (СО2) Кислород Метан Окись углерода

2,09 4,18 2,42

2,09 1,67-2,09

0,14 1,76 2,42 2,34

1,04 2,13 14,27 1,01 5,20

0,88 0,91 2,48 1,04

7. Характеристики некоторых газов Газ Отно-

си-тель-ная моле-кулярная масса

γ =C pCV

Теплопро-вод-ность

ℵ мВтм К⋅

Вяз-кость η,

мкПа⋅с

Диа-метр d, нм

Постоянные Ван-дер-Ваальса

а, Па м 6

м о ль2⋅

b,10-6

м3

мо ль

Не 4 1,67 141,5 18,9 0,20 - - Ar 40 1,67 16,2 22,1 0,35 0,132 32 H2 2 1,41 168,4 8,4 0,27 0,024 27 N2 28 1,40 24,3 16,7 0,37 0,137 39 O2 32 1,40 24,4 19,2 0,35 0,137 32

CO2 44 1,30 23,2 14,0 0,40 0,367 43 H2O 18 1,32 15,8 9,0 0,30 0,554 30 Воз-дух

29 1б40 24б1 17б2 0б35 - -

Примечание. Значение γ,ℵ и η - при нормальных условиях.

8. Критические температура и давление Газ tк, 0С pк, МПа Азот -146 3,3

Водяной пар 374 22 Кислород -119 5,0

Углекислый газ 31 7,4

9. Диэлектрическая проницаемость (относительная) Диэлектрик ε Диэлектрик ε Вода воздух Керосин Парафин Плексиглас Полиэтилен

81 1,00058

2,0 2,0 3,5 2,3

Слюда Спирт Стекло Фарфор Эбонит

7,5 26 6,0 6,0 2,7

10. Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков Парамагнетики χ, 10-6 Диамагнетики χ, 10-6 Азот Алюминий Воздух Вольфрам Жидкий кисло-род Кислород Марганец Платина Эбонит

0,013 23

0,38 176

3400 1,9 121 360 14

Водород Бензол Висмут Вода Каменная соль Кварц Медь Стекло

-0,063 -7,5 -176 -9,0 -12,6 -15,1 -10,3 -12,3

11. Потенциал ионизации атомов Z Атом Потенциал

ионизации ϕ, В

Z Атом Потенциал ионизации ϕ, В

1 2 3 4 5 6

H He Li Be B C

13,59 24,58 5,39 9,32 8,30 11,27

7 8 9 10 11 12

N O F

Ne Na Hg

14,54 13,62 17,42 21,56 5,14 10,44

12. Подвижность ионов (см2/В⋅с) Вещество Положительные

ионы Отрицательные

ионы Азот Водород Воздух Кислород Оксид углерода Хлор

1,3 5,4 1,4 1,3 1,0 0,6

1,8 7,4 1,9 1,8 1,1 0,5

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. - М., Наука, 1989. 2. Савельев И.В. Курс физики. Т.3. - М., Наука, 1989. 3. Трофимов Т.И. Курс физики. - М., Высшая школа,

1990. 4. Яворский Б.Я, Детлаф А.А. Справочник по физике.-

М.: Наука, 1985. 5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. -

М., Высшая школа, 1991. 6. Физика. Задания к практическим занятиям / Под ред.

Ж.П. Лагутиной. – Минск: Высшая школа, 1988. 7. Сборник задач по курсу общей физики / Под ред.

М.С. Цедрика. - М.: Просвещение, 1989. 8. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей

физике. - М.: Наука, 1988. 9. Сена Л.А. Сборник вопросов и задач по физике. - М.:

Высшая школа, 1986. 10. Сборник задач по курсу общей физики «Термодина-

мика и молекулярная физика». - М.: Наука, 1976. 11. Чертов А.Н., Воробьев А.А.. Задачник по физике. -

М.: Высшая школа, 1988. 12. Бешков Б.С.. Решение задач по физике, общие ме-

тодв.- М.: Высшая школа, 1988. 13. Фирганг Е.В.. Руководство к решению задач по кур-

су общей физики. - М.: Высшая школа, 1978. 14. Кузьмичев В.Е.. Законы и формулы физики. Спра-

вочник. - Киев, Наукова думка, 1989. 15. Волькенштейн В.С.. Сборник задач по общему курсу

физики. - М.: Наука, 1973.