K A I R I N 予備校

２０１８夏期講習

石橋数学

数 学 B 特 別 講 義

平面ベクトル導 入 編

KAIRIN予備校 石橋校

数学 B ベクトル

第１章導入編

1

§１．ベクトルの基礎基本

１．ベクトルとは・・・・？

→ 、 を持つ量を矢印を使って表現したもの。

使用例）「力」「速度」・・・物理学では超重要なアイテム

①力の合成 ②力の分解

３ N

重力 ６ N 30°90° ４ N

２．数学における「ベクトル」の考え方

→ を表す矢印（物理では｢変位｣と表現）

B

AB・・・点 Aから点 Bへの移動

どれくらいの距離？・・・ベクトルの長さ

どんな方向？・・・・・・ベクトルの向き

AAを , Bを という。

(1)「逆ベクトル」とは・・・？

→ 逆の移動 ＝

Q PQ と QP は互いに逆ベクトルである。

PQ

QP

Pまた、 とすると、

2PQ = a

(2)ベクトルの実数倍とは・・・・？

図で,AB=BC=CDとする D

図において、

C

AD の移動は ABと比べて、「向きが同じで距離が３倍」

B

A また、AC ＝ b と表すと、

AB＝ , AD ＝ , DB ＝ , BA =

３．ベクトルの性質

(1)「大きさ」と｢向き｣が等しいベクトル

は「同じベクトル」とする。

※始点・終点・経路によらず、

｢大きさ」「向き」が等しければ

それらのベクトルは「等しい」

例）①図１において、

AB と同じベクトルは・・？

② AF＝ b とすると、

b＝ ,

また、BE＝

③ AB＝ a とすると、

FC ＝ , DE ＝ , CF ＝

3

図１

A ・ ・F

B ・ ・EG

C ・ ・D

↑正六角形のつもりです。

(2)ベクトルの和は、

「移動の足し算」or「平行四辺形の対角線」

＋ b ＝ ？a

①移動の足し算 ②平行四辺形の対角線

B

A C b

b O

a

B a

A

例題１)図２において、

次の式によって表されるベクトルを

図中に記入せよ。

① p ＝ AB + AF

② q ＝ AB＋ BC

③ r ＝ AB + CD + CG + GD

④ s ＝ GD － GE

例題２)図３において、

AB＝ a , AF＝ b とするとき、

次のベクトルを a , b の和で表せ。

⑤ BC ＝

⑥ AE ＝

⑦ AD ＝

図２

A ・ ・F

B ・ ・EG

C ・ ・D

↑正六角形のつもりです。

図３

A ・ b ・F

a

B ・ ・EG

C ・ ・D

↑正六角形のつもりです。4

(3)ベクトルの差は、

「逆ベクトルの和」or「引かれる方を向くベクトル」

－ b ＝ ？a

①逆ベクトルの和 ②引かれる方を向くベクトル

b ba

b

a a

４．ベクトルの「和」・「差」の考え方

(1)まわり道の原理

右の図で、ＡＢを点Ｐを中継地点として、

２つのベクトルに分けると、 Ｂ

ＡＢ＝（ ）

同様に、ＣＤについて、

Ａ ・Ｐ

点Ｐを中継地点として、２つに分けると、

Ｃ

ＣＤ＝（ ）

点Ｑと点Ｒを通るように、３つに分けると、

・ Ｄ

ＣＤ＝（ ）Ｑ

・Ｒ

★重要★A

Aを始点とするベクトル APを,

Oを始点とするベクトルにしたい・・・

O・

OP ＝（ ） P 5

(2)右－左の法則 Ｂ

右の図で、ＡＢの始点をＯに変えたい・・・

・Ｓ

ＡＢ＝（ ） Ｏ・

同様に、ＡＢの始点を点Ｓに変えたい・・、

Ａ

ＡＢ＝（ ）

Point

ベクトルの始点を変える → 「まわり道の原理」「右－左の法則」

例題３）右の図の長方形 ABCDで、点 E,Fはそれぞれ AD,BCの中点である。

次の①～④のベクトルを E

ＡＢとＡＥを用いた式で表せ。 A D

① ACＧ

B C

② AGF

③ BG

④ EC

6

５．ベクトルの成分表示

→ ベクトルの「大きさ」と｢向き｣を２つの数字で表したもの

「ABは、どんなベクトルですか・・？」（大きさは？、向きは？）B

B

２

30°A A

y

B

a a

A 0 x

(1)ベクトルの和と差の成分表示

ｙ

Ａ3

Ｂ1

０ 1 2 ｘ

(2)ベクトルの実数倍の成分表示

ｙ

Ｐ4

2Ａ

０ 3 6 ｘ

7

例題４）

１． ａ ＝（２，３）， ｂ ＝（１，－４）のとき、次のベクトルを成分で表せ。

（１） ａ ＋ ｂ （２） ａ － ２ｂ （３） ４ｂ － ３ａ

２．次の２式を同時にみたすベクトル ａ ， ｂ の成分を求めよ。

（１） ２ａ ＋ ｂ ＝（ １，４） （２） ２ａ － ３ｂ ＝（５，８）

ａ ＋ ｂ ＝（－２，８） ３ａ － ２ｂ ＝（０，７）

６．ベクトルの絶対値

→ ベクトルの「大きさ」のみを計ったもの

ｙ ｙ

A（２，３）

B（－４，３）

０ ｘ ０ ｘ

8

例題５）

OA＝（２，０）、OB＝（１，２）として、

次の①～④のベクトルを作図し、また、その絶対値を求めよ。

① OC＝３ OA+２ OB ② OD＝－２ OA+３ OB ③ OE＝－２ OA－ OB

④ OF＝２ OA－ OB ⑤ OG＝５ OA－２ OB ⑥ OH＝ OB－３ OA

y

x

9

O A

B

７．平行なベクトルのきまり

(1)平行ならば実数倍 a // b （ a と b が平行）

ｙ

ａ

ｂ

０ ｘ

a // b

(2)平行ならば成分比が等しい

a = (x1 , y1) b = (x2 , y2)とするとき、

a // b

例題６）

ａ ＝（－２，１）， ｂ ＝（１，１）， ｃ ＝（３，２）のとき、

（ ａ ＋ ｔｂ ） // （ ｂ － ｃ ） となる実数ｔを求めよ。

10

(3)一直線上なら「１点共有かつ平行」

Ａ Ｂ Ｐ

右図において、ＯＰは ・ ・ ・

ＯＰ＝ｔＯＡ＋３ＯＢ

で表されるベクトルである。

３点、Ａ，Ｂ，Ｐが同一直線上にあるとき、 ・

ｔの値を求めよ。 Ｏ

８．「内積」とは・・・・？

ベクトルの積・・・・・a

とb

のかけ算？

大きさに注目した積 →

＊物理では「仕事量」を表す。

＊仕事の量はどのくらい？

向きに注目した積 →

＊物理では「力のモーメント」「ローレンツ力」を表す。

＊２本ベクトルにともに垂直なベクトルはどっち向き？

例)A子さんが、質量 20kgの荷物にひもを付けて５０ Nの力で引っ張ったところ、

荷物は床に沿って 20ｍ移動した。このときの A子さんの仕事量Wを求めよ。

50N30°

11

(1)内積は「大きさ、大きさ、コサインなす角」

B ｜ OA |＝２０, ｜ OB |＝５０, ∠ AOB＝３０°

のとき、

O OA・OB＝｜ OA｜｜ OB｜ cos30°A

例題７)右の１辺の長さが２の正六角形において、次の内積を求めよ。

①ＡＢ・ＡＯ Ａ

Ｂ Ｆ

②ＡＢ・ＡＦ

Ｏ

③ＡＯ・ＢＦ

Ｃ Ｅ

④ＯＡ・ＯＤ

Ｄ

(2)内積は「エックスエックス＋ワイワイ」

ｙ

B(x2,y2)

A(x1,y1)

0 x

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例題８）次の２つのベクトルのなす角をθとするとき、cosθを求めよ。

①ＯＡ＝（３，４）、ＯＢ＝（２，１）

②ＯＣ＝（２，－３）、ＯＤ＝（４，－６）

９．内積の計算法則 ～文字式とほとんど同じ～

＊注：内積は｢かけ算｣ではないので、

①｢×」の記号は使わない。

②｢・」の記号を付け忘れない。

③ベクトルは２乗できない（そもそも数字ではないので・・）

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例題９） 次の問に答えよ。

（１）｜ＯＡ｜＝２、｜ＯＢ｜＝３、｜ＯＡ－３ＯＢ｜＝ のとき、

ＯＡ・ＯＢを求めよ。

（２）｜ＯＡ｜＝２ 、｜ＯＢ｜＝１、｜２ＯＡ＋ＯＢ｜＝ のとき、

ＯＡとＯＢのなす角を求めよ。

（３）

14

　の内積を求めよ。　と　

　　のとき、　　　　

OBOA

OCOBOAOCOBOA 02,4||,3||,3||

13

31

例題１０）次の問に答えよ。

（１）

｜ＯＡ｜＝２，｜ＯＢ｜＝３， （ＯＡ－ＯＢ） ⊥ （６ＯＡ＋ＯＢ）のとき、

① ＯＡとＯＢのなす角を求めよ。

②｜３ＯＡ－２ＯＢ｜を求めよ。

（２）

ａ ＝（３，１）， ｂ ＝（１，２）， ｃ ＝ ａ ＋ ｔｂ とするとき、

│ｃ│ の最小値とそのときのｔの値を求めよ。

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１０．単位ベクトルは大きさで割れ！

（１）ＯＡ＝（３，２）と同じ方向の単位ベクトル e を作れ。

（２）ＯＢ＝（２，－４）に平行で、大きさが３のベクトル x を作れ。

１１．三角形の面積

Ａ

θ

Ｏ Ｂ

16

例題１１）

（１）次の２つのベクトルで作られる△ＯＡＢの面積を求めよ。

①ＯＡ＝（３，２）、ＯＢ＝（６，－１）

②ＯＣ＝（－５，－４）、ＯＤ＝（２、０）

（２）３点Ａ（１，－１）、Ｂ（２，１），Ｃ（－１，２）で作られる△ＡＢＣの面積を

求めよ。

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§２．位置ベクトル

１．位置ベクトルとは・・・・？

「１次独立」・・・・２本のベクトルが「平行でない」「ともに０でない」とき、

この２本のベクトルの関係を「１次独立である」という。

「位置ベクトル」・・平面上の点の位置を表すときに、

基準となる点（観測点）＝始点を決めて、そこからの方向・距離を

２本の１次独立なベクトルを用いて表現したもの。

＊基準なる２本のベクトルのことを「基底ベクトル」という。

例) P

左図で、２本の１次独立なベクトル

Q OA,OBを使うと、

点 P、Qの位置は、

B OP＝２ OA＋３ OB

OQ＝－ OA＋２ OB

と表すことができる。

O A

例題１）

右の正六角形において、Ｐ、Ｑ、Ｒ Ａ

は各辺の中点である。

ＡＢ、ＡＦを基底ベクトルとして Ｂ Ｆ

次のベクトルを表せ。

① AD ② AC ③ AP ④ AR

⑤ PQ Ｐ Ｏ

Ｃ Ｅ

Ｑ Ｒ

Ｄ

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２．位置ベクトルの本当の意味

例題２）

OA＝（２，０）、OB＝（１，２）として、

次の①～④のベクトルを作図し、また、その絶対値を求めよ。

① OC＝３ OA+２ OB ② OD＝－２ OA+３ OB ③ OE＝－２ OA－ OB

④ OF＝２ OA－ OB ⑤ OG＝５ OA－２ OB ⑥ OH＝ OB－３ OA

y

x

★位置ベクトルは座標と同じ OC＝３ OA＋２ OBは C(3,2)と何も変わらない

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O A

B

O A

B

例題３）

下の図で、点Ｃ～Ｆの位置を、ＯＡ、 ＯＢ を使った位置ベクトルで表せ。

D

F C

B

0 A E

H

G

例題４）

右の正六角形において、Ｐ、Ｑ、Ｒは各辺の中点である。ＡＢ、ＡＦを基底ベクトルとして

次のベクトルを表せ。 ① AD ② AC ③ AP ④ AR ⑤ PQ

E D

FC

A B

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３．内分点の位置ベクトル

ℓ 直線ℓ上の線分 ABをｍ：ｎに内分する点 Pの

B 位置(座標)を２つの基底ベクトル OA,OBで

ｎ 表す。

P

ｍ

A

・O

【公式】

始点を Aとする

１．２点 P,Qをｍ：ｎに内分する点 Rの位置ベクトルは・・・、

２． の式で表される点 D の位置は・・・、

例)

ＯＡ＝（２，４），ＯＢ＝（－４，６）として、次の問に答えよ。

①ＡＢを２：１に内分する点 Cの位置ベクトルをＯＡ，ＯＢで表せ。

② ①で求めた点 Cの座標を求めよ。

21

AD=aAC+bAD

a+b

例題５）

（１）△ＡＢＣの内部に点Ｐがあり、

２ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝２ＣＡ ・・・・・・・・・・・①

の関係が成り立つとき、点Ｐの位置を図示せよ。

Ｃ

Ａ Ｂ

（２）平面上に２つのベクトルＯＡ，ＯＢがあり、同じ平面上に点Ｐがある。

５ＰＯ－８ＰＡ－９ＰＢ＝０ のとき、図に点Ｐを作図し、

点 Pの位置について説明せよ。

Ａ

Ｏ Ｂ

22

（３）

△ＡＢＣの内部の点Ｐが、２ ＰＡ ＋ ＰＢ ＋ ３ ＰＣ ＝ ０ を満たすとき、Ｐは

どのような位置にあるか。

23

４．直線上の動点の位置ベクトル（＝直線のベクトル方程式）

点Ａ（２，１）と点Ｂ（１，３）があるとき、ＯＰ ＝α ＯＡ ＋β ＯＢ

で表される点Ｐの存在範囲は、α、βによってどのように変化するか。

(1)β＝０

(2)－１≦α≦２、β＝０

2 4

O

A

B

O

A

B

(3)α＋β＝１

(4)α＋β＝１，０≦α, ０≦β

25

O

A

B

O

A

B

５．何が何でも

ＯＰ ＝ △ ＯＡ ＋ □ ＯＢ △＋□＝１ の形にする！

(1) 平面上に、△ＯＡＢがあり、動点Ｐが

ＯＰ ＝ α ＯＡ ＋ β ＯＢ ， ４α＋３β＝２ を満たして動くとき、

点Ｐの動く領域を図示せよ。

B

O A

26

(2)ＯＡ ＝（２，２）， ＯＢ ＝（－１，２）を使って、ＯＰ を

ＯＰ ＝ α ＯＡ ＋ β ＯＢ ， ２α＋３β＝６， α≧０，β≧０

と定義するとき、点Ｐの動く領域を図示せよ。

27

O

AB

§３．ベクトル方程式

１．ベクトル方程式

① 定義

図形の方程式・・・図形上の動点を P（ｘ、ｙ）とし、ｘとｙの関係式を等式で表し

たもの。（例：ｘ＋２ｙ－３＝０、ｙ＝３ｘ２－１，ｘ２＋ｙ２＝１）

図形のベクトル方程式

・・・図形上の動点 Pの軌跡 （OP）を、位置ベクトル（OA,OB,など）

を用いて表したもの。

② 円のベクトル方程式

・中心が A（１，３）で半径２の円のベクトル方程式

③ 直線のベクトル方程式

ⅰ）傾き で、切片が３の直線

28

12

ⅱ）点 A（２，－４）を通り、傾き－３の直線

ⅲ）２点 A(1,3),B(3,7)を通る直線

29

２．直線のベクトル方程式作成

△ ABCの、辺 ABの中点をM、辺 ACを１：２に内分する点を Nとし、

CMと BNの交点を Pとする。C

ⅰ）直線 BNの式（媒介変数はｔを使用）

N

P

A M B

ⅱ）直線 CMの式（媒介変数はｓを使用）

30

ⅲ）点 Pの座標（位置ベクトル）

31

３．交点の位置ベクトル

例題１）

△ＯＡＢの辺ＯＡを２：１に内分する点をＣ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＤ、

辺ＡＤとＢＣの交点をＰとする。

B

O A

32

めよ。　　　ＡＱ：ＱＢを求

、の交点をＱとするとき　直線ＯＰと直線ＡＢ

　をもちいて表せ。　と　　を　　

。とし、次の問に答えよ　　

)2()1(

,

baOP

bOBaOA

33

例題２）

△ＡＢＣの辺ＡＢを２：１に内分する点をＭとし、辺ＡＣを３：２に内分する点を

Ｎとする。ＣＭとＢＮの交点をＰとし、ＡＰとＢＣの交点をＱとする。

（１） ＡＰ を ＡＢ ，ＡＣ で表せ。

（２） ＡＱ を ＡＢ ，ＡＣ で表せ。

C

A B

34

35

例題３）（センター試験より）

三角形ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＭ、辺ＡＣを１：２に内分する点をＮとする。

線分ＢＮと線分ＣＭの交点をＥとする。このとき、

である。

線分ＡＥの中点をＰ、線分ＢＣの中点をＱとするとき、

である。

直線ＡＭ上に点Ｇ、直線ＡＮ上に点Ｈをとり、線分ＧＨの中点をＲとする。そして、

とするとき、Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上にあれば

である。

C

A B

36

ANAMAE][][

][][

エ

ウ

イ

ア

ANAMPQ][][

][][

ク

キ

カ

オ

ANyAHAMxAG 　　,

][][ コケ xy

37

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