Upload
haquynh
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATERI KEGIATAN PEMBELAJARAN 6
ALJABAR BOOLEAN
Postulat sistem aljabar Boolean diperoleh dengan cara membuat asumsi-asumsi dari tabel kebenaran gerbang logika.6.1. Postulat Aljabar Boolean yang diturunkan dari Gerbang logika
And0 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1Or0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1Not
= 1
= 0
6.2. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan 1 variabel.
Postulat 1 diturunkan dari gerbang And
Pembuktian postulat 1.Bila X = 0 maka, X . 0 = 0 . 0 = 0Bila X = 1 maka, X . 0 = 1 . 0 = 0
Page 1 of 9
Postulat 2 diturunkan dari gerbang And
Pembuktian postulat 2.Bila X = 0 maka, X . 1 = 0 . 1 = 0Bila X = 1 maka, X . 1 = 1 . 1 = 1
Postulat 3 diturunkan dari gerbang And
Pembuktian postulat 3.Bila X = 0 maka, X . X = 0 . 0 = 0Bila X = 1 maka, X . X = 1 . 1 = 1
Postulat 4 diturunkan dari gerbang And dan Not
Pembuktian postulat 4.Bila X = 0 maka, X . = 0 . 1 = 0
Bila X = 1 maka, X . = 1 . 0 = 0
Postulat 5 diturunkan dari gerbang Or
Pembuktian postulat 5.Bila X = 0 maka, X + 0 = 0 + 0 = 0
Page 2 of 9
Bila X = 1 maka, X + 0 = 1 + 0 = 1
Postulat 6 diturunkan dari gerbang Or
Pembuktian postulat 6.Bila X = 0, maka X + 1 = 0 + 1 = 1Bila X = 1, maka X + 1 = 1 + 1 = 1
Postulat 7 diturunkan dari gerbang Or
Pembuktian postulat 6.Bila X = 0, maka X + X = 0 + 0 = 0Bila X = 1, maka X + X = 1 + 1 = 1
Postulat 8 diturunkan dari gerbang Or dan Not
Pembuktian postulat 8.Bila X = 0 maka, X + = 0 + 1 = 1
Bila X = 1 maka, X + = 1 + 0 = 1
Variabel X pada postulat 1 sampai 8 dapat dipakai untuk menyatakan suatu exspresi yang mengandung lebih dari satu variabel.ContohA . B = 0
Penyelesaian
Page 3 of 9
Jika A dianggap X maka, B =
Pada postulat 4, X . = 0 jadi A . B = 0
Dengan cara yang sama semua postulat 1 sampai 8 dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu ekspresi yang mengandung lebih dari satu variabel seperti
6.3. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan Multivariabel.
Postulat 9 diturunkan dari hukum komutatif.(9) X + Y = Y + XUrutan variabel dalam suatu penjumlahan tidak akan mengubah hasil penjumlahan.
Postulat 10 diturunkan dari hukum komutatif. (10) X . Y = Y . XUrutan variabel dalam suatu perkalian tidak akan mengubah hasil perkaliannya.
Postulat 11 diturunkan dari hukum asosiaatif.(11) X + (Y + Z)= (X + Y) + Z = X + Y + Z Pengelompokan variabel dalam suatu penjumlahan dapat diubah sesuai dengan yang diinginkan tanpa merubah hasil penjumlahannya.
Postulat 12 diturunkan dari hukum asosiaatif. (12) X (YZ)= (X Y)Z = XYZPengelompokan variabel dalam suatu perkalian dapat diubah sesuai dengan yang diinginkan tanpa merubah hasil perkaliannya.
Postulat 13 diturunkan dari hukum distributif.(13) X + (Y + Z)= (X + Y) + Z = X + Y + Z
Page 4 of 9
Suatu ekspresi dapat dijabarkan dengan cara mengalikan term demi term atau menguraikan term demi term apabila ada dua atau lebih term yang mengandung suatu variabel yang sama.Contoh
A C + = ( A C + )
A B C + A B D = A B ( C + D )Contoh soal dan penyelesaian
Sederhanakan persamaan,1. Y = A D + A
Dengan menggunakan Postulat 13 variabel-variabel A dapat dikeluarkan sehingga,Y = A (D + )
Dengan menggunakan Postulat 8 term dalam kurung nilainya = 1 jadi,Y = A (D + ) = A . 1 = A
2. Z = ( + B ) ( A + )
= A + + B A + B
Dengan menggunakan Postulat 4 term-term A dan B nilainya = 0 jadi,
Z = 0 + + B A + 0
= + B A
6.4. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan pembuktian kasus.
Postulat 14 diturunkan dari pembuktian kasus (14) X + (XY)= XPembuktian postulat 14.Bila X = 0, Y = 0 maka, X +(X Y) = 0 + (0 . 0 ) = 0Bila X = 0, Y = 1 maka, X +(X Y) = 0 + (0 . 1 ) = 0Bila X = 1, Y = 0 maka, X +(X Y) = 1 + (1 . 0 ) = 1
Page 5 of 9
Bila X = 1, Y = 1 maka, X +(X Y) = 1 + (1 . 1 ) = 1Pembuktian postulat 14 dapat juga dilakukan dengan postulat 6 sebagai berikut,X +(X Y) = X (1 + Y) = X . 1 (disederhanakan dengan postulat 6) = X (disederhanakan dengan postulat 2)
Postulat 15 (a) dan (b) diturunkan dari pembuktian kasus(15 a) + ( Y)= + Y
Pembuktian postulat 15(b).Bila X = 0, maka X +( Y) = X + Y = 0 + (1. Y ) = Y
Bila X = 1, maka X +( Y) = X + Y = 1 + (0. Y ) = 1
(15 b) + XY)= + Y
Pembuktian postulat 15(a).Bila X = 0, maka + (XY)= + Y = 1 + (0 . Y ) = 1 + 0 = 1
Bila X = 1, maka + (XY)= + Y = 0 + (1 . Y ) = 0 + Y = Y
Contoh Penyederhanaan X = A C D + C D
= C D ( A + B) Variabel C D dikeluarkan
= C D ( A + B) dengan postulat 15 a ( A + B) diganti ( A + B)
= A C D + B C D
6.5. Postulat Aljabar Boolean dari Teorema DeMorgan.
Postulat 16 diturunkan dari Teorema DeMorgan.(16) ( ) = .
Page 6 of 9
Komplemen dari suatu penjumlahan Or sama dengan perkalian And dari komplemen-komplemennya.
Postulat 17 diturunkan dari Teorema DeMorgan.(17) ( ) = +
Komplemen dari suatu perkalian And sama dengan penjumlahan Or dari komplemen-komplemennya.
6.6. Postulat Aljabar Boolean dengan Peta Karnough
Page 7 of 9