Upload
aldy0001
View
503
Download
54
Embed Size (px)
Citation preview
1Matematika Kelas XI Program IPA
IndikatorNilai
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
IndikatorStandar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai
1. Menggunakan aturan
statistika, kaidah
pencacahan, dan
sifat-sifat peluang
dalam masalah.
1.1 Membaca data dalam
bentuk tabel dan dia-
gram batang, garis,
lingkaran, dan ogive.
1.2 Menyajikan data
dalam bentuk tabel
dan diagram batang,
garis, lingkaran, ogive,
serta penafsirannya.
1.3 Menghitung ukuran
pemusatan, ukuran
letak, dan ukuran pe-
nyebaran data, serta
penafsirannya.
Kritis
Cermat
Membaca data dalam bentuk tabel dan dia-
gram secara kritis sehingga cepat memahami
makna dari data.
Melakukan penghitungan ukuran pemusatan,
letak, dan penyebaran data secara cermat
dan teliti sehingga diperoleh penafsiran yang
tepat.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram pastel, histogram, poligon frekuensi, dan
ogive2. Rata-rata, modus, dan median3. Kuartil, desil, dan persentil4. Jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku5. Penyelesaian masalah sehari-hari yang berkaitan dengan statistika
Statistika
Membaca dan menyajikan data
Siswa dapat membaca dan menyajikan data, menghitung nilai ukuran pemusatan
data, nilai ukuran letak data, dan nilai ukuran penyebaran data
Menghitung ukuran pemusatan
data dan penafsirannya
Menghitung ukuran letak data
dan penafsirannya
Menghitung ukuran penyebaran
data dan penafsirannya
• Memahami istilah-istilah dalam
statistika
• Memahami cara mengumpulkan
data
• Membaca data dalam bentuk
tabel dan diagram
• Menyajikan data dalam bentuk
tabel dan diagram
• Memahami arti mean, median,
dan modus
• Menghitung nilai mean, median,
dan modus data tunggal
• Menghitung nilai, mean, median,
dan modus data berkelompok
• Menghitung nilai kuartil data
tunggal
• Menghitung nilai kuartil data
berkelompok
• Menghitung nilai persentil data
tunggal
• Menghitung nilai persentil data
berkelompok
• Menghitung jangkauan,
jangkauan antarkuartil, dan
simpangan kuartil data tunggal
dan data berkelompok
• Menghitung simpangan rata-
rata, ragam, dan simpangan
baku data tunggal dan data
berkelompok
Siswa mampu membaca dan
menyajikan data dalam bentuk
tabel dan diagram
Siswa mampu menghitung nilai
mean, median, dan modus
suatu data
Siswa mampu menghitung
jangkauan, jangkauan antarkuartil,
simpangan kuartil, simpangan rata-
rata, ragam, dan simpangan baku
suatu data
Siswa mampu menghitung nilai
kuartil dan persentil suatu
data
2 Statistika
Banyak Pengunjung
18
10
12
14
13
67
Usia (Tahun)
10–13
14–17
18–21
22–25
26–29
Jumlah
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Titik tengah kelas interval IV
= �
� (61 + 67)
= �
� × 128 = 64
2. Jawaban: b
Kelas interval II adalah 47–53.
Kelas interval III adalah 54–60.
Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53,5.
Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 53,5.
Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi atas
kelas interval II dan sekaligus sebagai tepi bawah
kelas interval III.
3. Jawaban: a
Jumlah siswa = 9 + 9 + 7 + 7 + 4 = 36
Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60
= 7 + 4 = 11.
Persentase banyak siswa yang memiliki berat
badan lebih dari 60 kg = ��
�� × 100%
= 30,555. . .%
≈ 30,56%
4. Jawaban: d
Jumlah telur yang dihasilkan pada periode IV, V,
dan VI = 12 + 20 + 18
= 50 kuintal
5. Jawaban: c
Banyak telur pada periode III = 8 kuintal.
Banyak telur pada periode IV = 12 kuintal.
Persentase kenaikan banyak telur yang dihasilkan
periode III–IV = �� �
�
− × 100%
= �
� × 100%
= 50%
6. Jawaban: b
Misalkan Burhan memasukkan bola ke dalam ring
sebanyak n kali.
Jumlah frekuensi bola masuk ke dalam ring = 130.
⇔ 15 + 18 + 19 + 15 + n + 15 + 14 + 16 = 130
⇔ 112 + n = 130
⇔ n = 18
Jadi, Burhan memasukkan bola ke dalam ring
sebanyak 18 kali.
7. Jawaban: c
Persentase juring bulu tangkis
= 100% – (25% + 28% + 9% + 22%)
= 100% – 84%
= 16%
����� � ����� ���� � ����
����� � ����� �� � ��� =
� �� � �� ���� ���� � ����
� �� � �� ���� �� � ���
⇔ ���
���=
�
��
⇔ n = ���
��� × 50 = 32
Jadi, banyak siswa yang hobi bulu tangkis 32 anak.
8. Jawaban: c
Jadi, banyak pengunjung yang berusia kurang dari
30 tahun 67 orang.
9. Jawaban: e
Poligon frekuensi merupakan diagram yang
menyajikan titik-titik tengah nilai data.
Titik tengah 152–157 = �
�(152 + 157) = 154,5
Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6.
Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan
152–157 cm ada 6 anak.
10. Jawaban: e
Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari).
Banyak siswa yang berat badannya kurang dari
55,5 kg ada 7 anak.
Banyak siswa yang berat badannya kurang dari
60,5 kg ada 13 anak.
55,5 merupakan tepi bawah dan 60,5 merupakan
tepi atas. Dengan demikian kelas intervalnya
56–60.
Banyak siswa yang berat badannya 56–60 kg =
13 – 7 = 6 anak.
B. Uraian
1. a.
Dari tabel kenaikan penjualan buku di atas,
terlihat kenaikan penjualan tertinggi terjadi
pada bulan Mei–Juni sebanyak 25 eksemplar.
b. Banyak penjualan buku pada bulan April = 110
eksemplar.
Banyak penjualan buku pada bulan Mei = 80.
Jumlah Kenaikan Penjualan
(Eksemplar)
120 –100 = 20
110 – 95 = 15
105 – 80 = 25
Bulan
Januari–Februari
Maret–April
Mei–Juni
3Matematika Kelas XI Program IPA
Persentase penurunan penjualan buku pada bulan
April–Mei
= ��� ��
���
− × 100% =
��
��� × 100% ≈ 27,27%
2. Misal
Banyak hasil ternak ikan dan kolam III = 3n.
Banyak hasil ternak ikan dari kolam VI = 5n.
Jumlah hasil ternak ikan dari keenam kolam = 72
kuintal.
⇔ 8 + 6 + 3n + 16 + 10 + 5n = 72
⇔ 40 + 8n = 72
⇔ 8n = 32
⇔ n = 4
Hasil ternak ikan dari kolam III
= 3n = 3 × 4 = 12 kuintal
Hasil ternak ikan dari kolam VI
= 5n = 5 × 4 = 20 kuintal
Jadi, banyak hasil ternak ikan dari kolam III dan
VI berturut-turut 12 kuintal dan 20 kuintal.
3. Persentase juring 1 dan 4
= 100% – (18% + 20% + 30%) = 32%
Persentase juring 1 = persentase juring 4
= ���
�
= 16%
����� � ������
����� � ����� �=
����� � � � � �� � � ��
����� � � � � �� � � � �
⇔ ���
���=
�
��
⇔ n = ���
��� × 63 = 56
Jadi, populasi gajah di daerah 1 adalah 56 ekor.
4.
5.
Tabel distribusi frekuensi:
Histogram:
Frekuensi
Panjang Bambu (m)
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
3,15 4,55 5,95 7,35 17,5
Titik Tengah
3,15
4,55
5,95
7,35
17,5
Panjang Bambu (m)
2,5–3,8
3,9–5,2
5,3–6,6
6,7–8,0
8,1–9,4
Frekuensi
12
16
11
15
20
fi
19 – 17 = 2
17 – 14 = 3
14 – 9 = 5
9 – 7 = 2
7 – 0 = 7
Nilai
41–45
46–50
51–55
56–60
61–65
fk
19
17
14
9
7
Skor
41–45
46–50
51–55
56–60
61–65
fi
2
3
5
2
7
f
7
5
3
2
Nilai
40,5 45,5 50,5 55,5 60,6 65,6
4 Statistika
fi
7
8
3
5
4
3
Usia
Tahun
5
6
7
8
9
10
fk
7
15
18
23
27
30
fi
2
8
12
7
3
32
fk
2
10
22
29
32
Nilai
10–19
20–29
30–39
40–49
50–59
Jumlah
← ��
�!
5. Jawaban: d
Me
= nilai data ke-�� �
�
+
= nilai data ke-16,5
Nilai data ke-16,5 terletak pada kelas interval
30–39.
Me
= L + ��
���
��
� !
!
⋅ −
· p
= 29,5 +
��
���
��
−
· 10
= 29,5 + �� ��
��
− · 10
6. Jawaban: c
Modus data terletak pada kelas interval 21–25
karena frekuensi data pada kelas tersebut paling
banyak.
d1 = 25 – 22 = 3
d2 = 25 – 21 = 4
Mo
= L + �
� �
�
� �
+
· p
= 20,5 + �
� �
+
· 5
= 20,5 + �
" · 5
7. Jawaban: d
Kelas interval yang mempunyai frekuensi paling
banyak adalah 50–59 sehingga kelas modus adalah
50–59.
Frekuensi kelas modus = 12
d1
= 12 – 8 = 4
d2
= 12 – 9 = 3
p = 59,5 – 49,5 = 10
L = 49,5
Mo= L +
�
� �
�
� �
+
· p
= 49,5 + �
� �
+
· 10
= 49,5 + ��
"
Jadi, nilai modus data 49,5 + ��
".
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b
Modus pada diagram batang adalah nilai data yang
mempunyai batang paling tinggi.
Nilai 6 mempunyai batang paling tinggi, maka
modus data = 6.
2. Jawaban: c
Banyak data = 30.
Oleh karena banyak data genap maka:
Median = �
�(nilai data ke-
��
� + nilai data ke-(
��
�+ 1))
= �
�(nilai data ke-15 + nilai data ke-16)
= �
�(6 + 7) = 6,5 tahun
Jadi, median usia anak 6,5 tahun.
3. Jawaban: c
Rata-rata usia
= � �
�
! #
!
∑∑
= " � � � � " � � � $ � ��
��
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= �� �� �� �� �� ��
��
+ + + + + =
���
�� = 7 tahun
Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis di
sanggar tersebut 7 tahun.
4. Jawaban: d
Rata-rata hasil panen teh = 75.000
⇔ &"�� � $�� � "�� $��' ���
�
+ + + + + ⋅= 75.000
⇔ �*��� ��
�
+= 750
⇔ 3.300 + 2n = 4.500
⇔ n = 1.200
⇔ n = 600
Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton.
Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton.
Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008
= $�*��� ��*���
��*���
− × 100%
= ��*���
��*��� × 100%
≈ 58,3%
5Matematika Kelas XI Program IPA
10. Jawaban: e
Rata-rata usia karyawan bagian produksi�
� �� �
�
�� �
! #
!
=
=
⋅∑
∑ =
�*���
�� = 35,5 tahun
B. Uraian
1. Misal banyak siswa yang memerlukan waktu
5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukan
waktu 20 menit = n.
Rata-rata waktu = 11,9
⇔ �� � � �� �� �� �� �� �� ���
� � �� �� �� �
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ + + + + = 11,9
⇔ ��� �� ��� ��� ���
�� ��
+ + + ++ = 11,9
⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38)
⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2
⇔ 1,2 n = 7,2
⇔ n = 6
Jumlah siswa = 50
Median = �
�(nilai data ke-
��
� + nilai data ke-(
��
� + 1))
= �
�(nilai data ke-25 + nilai data ke-26)
= �
�(12 + 12)
= 12 menit
Jadi, median waktu yang diperlukan siswa dari
rumah ke sekolah 12 menit.
8. Jawaban: d
Selisih terbesar antara dua fk yang berdekatan
= 20 – 8 = 12 sehingga frekuensi kelas modus = 12.
Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mem-
punyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5.
Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus
= 8 – 5 = 3.
Frekuensi kelas interval setelah kelas modus
= 26 – 20 = 6.
Dengan demikian diperoleh:
L = 13,5
p = 16,5 – 13,5 = 3
d1
= 12 – 3 = 9
d2
= 12 – 6 = 6
Mo
= L + �
� �
�
� �
+
· p
= 13,5 + $
$ �
+
· 3
= 13,5 + $
�
= 13,5 + 1,8 = 15,3
Jadi, modus panjang ikan 15,3 cm.
9. Jawaban: c
Banyak data = 72
Median = nilai data ke-�
�(72 + 1)
= nilai data ke-36,5
Nilai data ke-36,5 terletak pada kelas interval yang
memuat titik tengah 37.
Tepi bawah kelas median L = �
�(34 +37) = 35,5
Tepi atas kelas median = �
�(37 + 40) = 38,5
p = 38,5 –35,5 = 3
��! = 18
���! = 12 + 15 = 27
Me
= L + ��
�
�
��
�
� !
!
−
· p
= 35,5 + �
�"� �"
��
⋅ −
· 3
= 35,5 + �
� = 35,5 + 1,5 = 37
Jadi, median volume benda 37 cm3.
fi
12
15
18
8
6
13
fk
12
27
45
53
59
72
xi
31
34
37
40
43
46
← Kelas Me
fi
6
8
9
18
13
6
�
�� / �
! / ��∑
fi x
i
132
216
288
666
546
282
�
� �� /�
!# / �*���∑
Titik Tengah (xi)
�
�(19,5 + 24,5) = 22
�
�(24,5 + 29,5) = 27
�
�(29,5 + 34,5) = 32
�
�(34,5 + 39,5) = 37
�
�(39,5 + 44,5) = 42
�
�(44,5 + 49,5) = 47
fi
fk
Waktu
(Menit)
← Letak median
5
8
10
12
15
20
6
5
12
10
11
6
6
11
23
33
44
50
6 Statistika
fi
3
5
3
2
4
5
fk
3
8
11
13
17
22
xi
202
207
212
217
222
227
← Kelas Me
2. Kelas modus adalah 82–98.
L = 81,5
d1
= 22 – (3n + 1) = 21 – 3n
d2
= 22 – (2n + 1) = 21 – 2n
p = 98,5 – 81,5 = 17
Mo
= L + �
� �
�
� �
+
· p
⇔ 85,75 = 81,5 + �� ��
�� �� �� ��
− − + −
· 17
⇔ 4,25 = �� ��
�� ��
− −
· 17
⇔ 0,25 = �� ��
�� ��
−−
⇔ 0,25(42 – 5n) = 21 – 3n
⇔ 10,5 – 1,25n = 21 – 3n
⇔ 1,75n = 10,5
⇔ n = 6
Banyak data = 100
Median = nilai data ke-�
�(100 + 1)
= nilai data ke-50,5
Nilai data ke-50,5 terletak pada kelas interval
82–98.
L = 81,5
��! = 22
���! = 20 + 19 = 39
Me
= L + ��
�
���
�
� !
!
−
· p
= 81,5 +
�
���� �$
��
⋅ −
· 17
= 81,5 + ��
�� · 17
= 81,5 + 8,5
= 90
Jadi, median tebal buku 90.
3. Kelas modus pada histogram adalah kelas interval
yang mempunyai batang tertinggi.
Kelas interval dengan tepi bawah 80,5 dan tepi atas
90,5 mempunyai batang tertinggi, maka kelas
modus adalah 81–90.
L = 80,5
d1
= 10 – 2 = 8
d2
= 10 – 6 = 4
p = 90,5 – 80,5 = 10
Mo
= L + �
� �
�
� �
+
· p
= 80,5 + �
� �
+
· 10
= 80,5 + �
� · 10
≈ 80,5 + 6,67
= 87,17
Jadi, modus data 87,17.
4.
Banyak data n = 22
Median = nilai data ke-�
�(22 + 1)
= nilai data ke-11,5
Nilai data ke-11,5 terletak pada kelas interval yang
memuat titik tengah 217 gram.
L = �
�(212 + 217) = 214,5
��! = 2
���! = 3 + 5 + 3 = 11
p = �
�(217 + 222) – 214,5
= 219,5 – 214,5
= 5
Me
= L + ��
�
���
�
� !
!
−
· p
= 214,5 +
�
��� ��
�
⋅ −
· 5
= 214,5 + 0
= 214,5
Jadi, median berat apel 214,5 kg.
fi
fk
Tebal Buku
(Halaman)
← Kelas Me
48–64
65–81
82–98
99–115
116–132
133–149
20
19
22
13
15
11
20
39
61
74
89
100
7Matematika Kelas XI Program IPA
5.fi
100 – 85 = 15
85 – 68 = 17
68 – 47 = 21
47 – 27 = 20
27 – 11 = 16
11 – 0 = 11
�
�� / �
! / ���∑
fix
i
180
289
462
540
512
407
�
� �� /�
!# / �*�$�∑
Titik Tengah (xi)
�
�(9,5 + 14,5) = 12
�
�(14,5 + 19,5) = 17
�
�(19,5 + 24,5) = 22
�
�(24,5 + 29,5) = 27
�
�(29,5 + 34,5) = 32
�
�(34,5 + 39,5) = 37
Rata-rata usia karyawan bagian produksi
�
� �� �
�
�� �
! #
!
=
=
⋅∑
∑ =
�*�$�
��� = 23,9 cm
Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota
tersebut 23,9 cm.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Data yang telah diurutkan sebagai berikut.
60 65 66 68 72 78 80 83 86 88 90
n = 11
Q1
= nilai data ke-� �
�
+
= nilai data ke-�� �
�
+
= nilai data ke-3
Nilai data ke-3 = 66.
Jadi, kuartil bawah data tersebut 66.
2. Jawaban: e
n = 74
D9
= nilai data ke-$
��(74 + 1)
= nilai data ke-67,5
= x67
+ 0,5(x68
– x67
)
= 40 + 0,5 (41 – 40)
= 40 + 0,5 = 40,5
Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5.
3. Jawaban: d
# = " " � � "
�
+ + + + =
��
� = 7
S =
��
� �&# #'
�
=∑ −
= � � � � �&" "' &" "' &� "' &� "' &" "'
�
− + − + − + − + −
= � � � � �
�
+ + + +
= �
� ×
�
�
= �
���
Jadi, simpangan bakunya �
��� .
4. Jawaban: c
Q1
= nilai data ke-��;<;�
�
= nilai data ke-8
fi
3
7
10
12
16
19
7
Ukuran Sepatu
35
36
37
38
39
40
41
fk
3
10
20
32
48
67
74
fi
6
4
8
6
3
4
Tinggi Badan (cm)
160–163
164–167
168–171
172–175
176–179
180–183
fk
6
10
18
24
27
31
8 Statistika
Nilai data ke-8 terletak di kelas interval 164–167.
Q1
= L1 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 163,5 +
��
��
�
−
· 4
= 163,5 + (7,75 – 6)
= 163,5 + 1,75
= 165,25
Jadi, kuartil pertama data tersebut 165,25.
5. Jawaban: d
n = 47
Q1
= nilai data ke-� �
�
= nilai data ke-12
Nilai data ke-12 terletak di kelas interval 88–91.
Q1
= L1 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 87,5 +
�
���
�
−
· 4
= 87,5 + ���� ��
�
− · 4
= 87,5 + 0,75
= 88,25
Q3
= nilai data ke-� � ��
�
= nilai data ke-36
Nilai data ke-36 terletak di kelas interval 100–103.
Q3
= L3 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 99,5 +
���
���
�
−
· 4
= 99,5 + ����� ��
�
− · 4
= 99,5 + 2,25
= 101,75
Jangkauan antarkuartil:
H = Q3 – Q
1
= 101,75 – 88,25
= 13,5
Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5
6. Jawaban: a
D6
= nilai data ke-�
��(39 + 1)
= nilai data ke-�
�� × 40
= nilai data ke-24
Nilai data ke-24 terletak di kelas interval 17–24.
D6
= L6
+ ��
�
�
�
��
���
�
⋅ −
· p
= 16,5 + �
���� ��
��
⋅ −
· 8
= 16,5 + ���
��
· 8
= 16,5 + 4,7 = 21,2
Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,2.
7. Jawaban: a
P35
= nilai data ke-��
���(20 + 1)
= nilai data ke-7,35
Nilai data ke-7,35 terletak di kelas interval yang
mempunyai tepi bawah 30,5 dan tepi atas 40,5.
n = 20
����� = 5
���� = 9 – 5 = 4
p = 40,5 – 30,5 = 10
P35
= L35
+ ���
��
�
�
��
���� �
�
⋅ −
· p
= 30,5 +
��
����� �
�
⋅ −
· 10
= 30,5 + 0,5 · 10
= 30,5 + 5
= 35,5
Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5.
fi
3
11
16
6
1
2
Banyak Pengunjung
1–8
9–16
17–24
25–32
33–40
41–48
fk
3
14
30
36
37
39fk
5
11
15
25
33
37
47
Nilai
80–83
84–87
88–91
92–95
96–99
100–103
104–107
fi
5
6
4
10
8
4
10
9Matematika Kelas XI Program IPA
Simpangan kuartil:
Qd =
�
�(Q
3 – Q
1) =
�
�(29,39 – 12,17)
= �
�(17,22) = 8,61
9. Jawaban: a
x– =
�
� �� �
�
�� �
��
�
=
=
∑
∑ =
���
��= 21
�
� �� �
� � � � �=∑ − = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| +
4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21|
= 8 · 13 + 6 · 8 + 5 · 3 + 4 · 2 + 9 · 7
+ 8 · 12
= 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96
= 334
SR =
�
� �� �
�
�� �
� � � � �
�
=
=
−∑
∑ =
���
�� = 8,35
10. Jawaban: d
�
� �� �
� � ��=∑ − 2 = 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18 – 21)2
+ 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2
= 8 (–13)2 + 6(–8)2 + 5(–3)2 + 4 · 22
+ 9 · 72 + 8 · 122
= 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152
= 3.390
Ragam:
S2 =
��
� �� �
�
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑ =
�����
�� = 84,75
B. Uraian
1.
8. Jawaban: c
Banyak data n =40
Q1
= nilai data ke-�
�(40 + 1)
= nilai data ke-10,25
Nilai data ke-10,25 terletak pada kelas interval yang
memuat titik tengah 13.
L1 =
�
�(8 + 13) = 10,5
���� = 8
��� = 6
p = �
�(13 + 18) –
�
�(8 + 13)
= 15,5 – 10,5 = 5
Q1
= L1 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 10,5 +
�
��� �
�
⋅ −
· 5
= 10,5 + �
� · 5
≈ 10,5 + 1,67 = 12,17
Q3
= nilai data ke-�
�(40 + 1)
= nilai data ke-30,75
Nilai data ke-30,75 terletak pada kelas interval yang
memuat titik tengah 28.
L3
= �
�(23 + 28) = 25,5
���� = 8 + 6 + 5 + 4 = 23
��� = 9
Q3
= L3 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 25,5 +
�
��� ��
�
⋅ −
· 5
= 25,5 +
� · 5
≈ 25,5 + 3,89 = 29,39
← Kelas Q1
← Kelas Q3
fk
8
14
19
23
32
40
fi
8
6
5
4
9
6
xi
8
13
18
23
28
33x
i
8
13
18
23
28
33
�
� �=∑
fi
8
6
5
4
9
8
40
fix
i
64
78
90
92
252
264
840
xk
7
10
12
13
17
20
21
23
Usia (Tahun)
10
11
12
13
14
15
16
17
Jumlah
fi
7
3
2
1
4
3
1
2
23
10 Statistika
fi
2
2
3
4
3
4
2
20
Panjang (cm)
45–54
55–64
65–74
75–84
85–94
95–104
105–114
� �=∑
xi
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
109,5
fi · x
i
99
119
208,5
318
268,5
398
219
1.630
S =
��
� �� �
�
�� �
� � � � �
�
=
=
−∑
∑
= ��
�� = �� = � �⋅ = � �
Jadi, simpangan baku data � � .
3.
a. � =
� �� �
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑
= �����
�� = 81,5
S2=
�
� �� �
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑
= �����
�� = 326
Jadi, variansi data tersebut 326.
b. S = �� = ��� ≈ 18,1
Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1.
4. a.
D8 = nilai data ke-
�
��(60 + 1)
= nilai data ke-48,8
Nilai data ke-48,8 terletak di kelas interval
22–25.
Q1
= nilai data ke-� �
�
+
= nilai data ke-��
�
= nilai data ke-6
= 10
Q3
= nilai data ke-� � ��
�
+
= nilai data ke-������
�
= nilai data ke-18
= 15
H = Q3 – Q
1 = 15 – 10 = 5
Jadi, jangkauan antarkuartil data 5.
2.
a. x– =
�
� �� �
�
�� �
��
�
=
=
∑
∑ =
���
��= 21
�
� �� �
� � � � �=∑ − = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21|
+ 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21|
= 8 · 6 + 5 · 3 + 3 · 1 + 5 · 3 + 6 · 4
+ 3 · 9
= 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27
= 132
SR =
�
� �� �
�
�� �
� � � � �
�
=
=
−∑
∑
= ���
�� = 3,3
Jadi, simpangan rata-rata data 3,3.
b.� �
� �� �
� � ��=∑ − = 8(15 – 21)2 + 5(18 – 21)2
+ 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2
+ 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2
= 8(–6)2 + 5(–3)2 + 3(–1)2 + 5 · 32
+ 6 · 42 + 3 · 92
= 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243
= 720
fi
8
5
3
5
6
3
30
Banyak Pengunjung (xi)
15
18
20
24
25
30
�
� �=∑
fix
i
120
90
60
120
150
90
630
xi – xx–
–32
–22
–12
–2
8
18
28
fi(x
i – xx–)2
2.048
968
432
1 6
192
1.296
1.568
6.520
← Kelas P39
fi
9
6
7
21
9
8
fk
9
15
22
43
52
60
Tinggi (m)
6–9
10–13
14–17
18–21
22–25
26–29
← Kelas D8
11Matematika Kelas XI Program IPA
D8 = L
8 +
��
�
�
�
�
���� �
�
⋅ −
· p
= 21,5 + �� ��
�
− · 4
= 21,5 + �
� · 4
≈ 21,5 + 2,2 = 23,7
Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm.
b. P79
= nilai data ke-��
���(60 + 1)
= nilai data ke-23,79
Nilai data ke-23,79 terletak di kelas interval
18–21.
L39
= 17,5
����� = 22
���� = 21
P39
= L39
+ ���
��
�
�
��
���� �
�
⋅ −
· p
= 17,5 + ��
����� ��
��
⋅ −
· 4
= 17,5 + ���
�� · 4
≈ 17,5 + 0,27 = 17,77
Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77.
xi
12
17
22
27
32
37
Nilai
10–14
15–19
20–24
25–29
30–34
35–39�
� �=∑
fi
3
6
2
1
5
3
20
fi · x
i
36
102
44
27
160
111
480
fi
3
6
2
1
5
3
20
Nilai
10–14
15–19
20–24
25–29
30–34
35–39�
� �=∑
xi
12
17
22
27
32
37
xi – �
–12
–7
–2
3
8
13
fi(x
i – � )2
432
294
8
9
320
507
1.570
Penurunan hasil panen terendah terjadi pada tahun
2006–2007.
Persentase penurunan hasil panen tahun 2006–2007
= ����� �����
�����
− × 100%
= ���
����� × 100% = 12,5%
3. Jawaban: c
Misalkan banyak angkatan kerja di provinsi
Sumatra Selatan = x
23.370.000 = (2,07 + 6,41 + 2,28 + 2,59 + 1,53 +
x + 0,89 + 3,85) × 1.000.000
⇔ 23,37 = 19,62 + x
⇔ x = 3,75
Jadi, banyak angkatan kerja di Provinsi Sumatra
Selatan 3,75 juta atau 3.750.000 orang.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
Penurunan hasil panen tertinggi terjadi pada bulan
VI–VIII.
Banyak penurunan = 15 – 10 = 5 ton.
2. Jawaban: c
Kenaikan hasil panen tertinggi terjadi pada tahun
2008–2009.
Persentase kenaikan hasil panen tahun 2008–2009
= ����� ���
���
− × 100%
= �����
��� × 100%
= 312,5%
5. a.
� =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑ =
���
�� = 24
Jadi, rata-rata data 24.
b.
S2 =
��
� �� �
�
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑ =
����
�� = 78,5
Jadi, variansi data tersebut 78,5.
12 Statistika
fi
3
6
5
7
9
Tinggi Tanaman (cm)
10–13
14–17
18–21
22–25
26–29
fk
3
9
14
21
30– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Tinggi
tanaman
kurang
dari 26 cm
4. Jawaban: d
Jumlah nilai ekspor
= (2.615 + 11.991,2) + (2.612,5 + 11.802,8)
+ (3.061,9 + 13.304,1) + (x + 12.925,9)
+ (4.072,8 + 14.214,6)
⇔ 80.229,1 = 76.600,8 + x
⇔ x = 3.628,3
Jadi, nilai ekspor migas pada bulan April 3.628,3
juta dolar Amerika.
5. Jawaban: a
Misalkan seluruh alat yang digunakan = y.
Persentase juring laptop = 25%.
Pengguna laptop = 25 orang sehingga:
25 = 25% × y
⇔ 25 = ��
��� × y
⇔ y = 100
Perentase juring tablet
= 100° – (15% + 25% + 45% + 10%)
= 100% – 95%
= 5%
Banyak pengguna tablet = 5% × 100
= 5 orang
6. Jawaban: c
Juring dusun D dan dusun C menempati �
� lingkaran,
besar sudut juring dusun D dan dusun C = 180°.Besar sudut juring dusun D= 180° – 80°= 100°Juring dusun A, dusun B, dan dusun E menempati
�
� lingkaran, besar sudut juring dusun A, dusun B,
dan dusun E = 180°.
Besar sudut juring dusun A
= 180° – (60° + 50°)
= 180° – 110° = 70°
���!� �"#"$ &"���' #"�"��
���!� �"#"$ &"���' #"�"� * =
�!�/!���!;��#��#"�"���
�!�/!���!;��#��#"�"��*
⇔ ���
�
°°
= ��
�
⇔ n = �
���
°°
× 50
⇔ n = 35
Jadi, banyak sapi di dusun A ada 35 ekor.
7. Jawaban: d
Misal N = hasil penjualan seluruh barang
Persentase juring minyak
= 100% – (6% + 39% + 21% + 14%)
= 100% – 80%
= 20%
fi
8
12
20
11
9
Jarak per Liter Bensin
40–45
46–51
52–57
58–63
64–69
fk
8
20
40
51
60
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Tidak irit
Irit
Penjualan minyak = 1.260.000 + penjualan beras
⇔ 20% × N = 1.260.000 + 6% × N
⇔ (20% – 6%) N = 1.260.000
⇔ 14% N = 1.260.000
⇔ N = ���
�� × 1.260.000
= Rp9.000.000,00
Penjualan alat tulis = 21% × N
= ��
��� × 9.000.000
= Rp1.890.000,00
Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyak
Rp1.890.000,00.
8. Jawaban: c
Sepeda motor yang tidak tergolong irit mengguna-
kan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurang
dari 58 km.
Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada
40 unit.
Persentase banyak sepeda motor yang tidak tergolong
irit = ��
�� × 100%
= 66,67%
9. Jawaban: c
Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai
berikut.
Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurang
dari 26 cm adalah 21.
Persentase = ��
�� × 100%
= 70%
10. Jawaban: c
Frekuensi kumulatif kurang dari 164,5 = 65.
Frekuensi kumulatif kurang dari 159,5 = 25.
Dari grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatif
ini paling besar, yaitu 65–25 = 40.
Jadi, tinggi badan siswa terbanyak adalah
160–164 cm.
13Matematika Kelas XI Program IPA
11. Jawaban: b
Oleh karena banyak data genap, nilai median:
Me
= #!$! ��<�� #!$! ��<��
�
+
= � �
�
+ = 27
Jadi, median data tersebut 27.
12. Jawaban: c
� = ��� ��� ���
�
+ +
= ��
� = 242
Jadi, rata-rata hasil susu kambing etawa pada
3 periode terakhir 242 liter.
13. Jawaban: c
Sumbangan kelompok I:
x1
= 6 × 5.000
= Rp30.000,00
Sumbangan kelompok II:
x2
= 8 × 4.500
= Rp36.000,00
Sumbangan kelompok III:
x3
= 10 × 3.500
= Rp35.000,00
Sumbangan kelompok IV:
x4
= 11 × 4.000
= Rp44.000,00
Sumbangan kelompok V:
x5
= 15 × 2.000
= Rp30.000,00
Rata-rata sumbangan seluruh kelompok:
� = � � � � �� � � � �
� � �� �� ��
+ + + ++ + + +
= ������ ������ ������ ������ ������
��
+ + + +
= ������
�� = 3.500
Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok
Rp3.500,00.
14. Jawaban: a
Banyak siswa di kelas A = nA = 15
Banyak siswa di kelas B = nB = 10
Banyak siswa di kelas C = nC = 25
Rata-rata nilai gabungan = � = 58,6
Rata-rata nilai di kelas A = �A = 62
Rata-rata nilai di kelas C = �C = 60
� = * * � � > >
* � >
� � � � � �
� � �
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = ��� �� �� � �� ��
�� �� ��
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = ���� � ���
��
+ ⋅
⇔ 2.930 = ���� + 2.430
⇔ ���� = 500
⇔ �B
= 50
Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50.
15. Jawaban: c
Me
= nilai data ke-�� �
�
+
= nilai data ke-15,5
Nilai data ke-15,5 terletak di kelas interval 11–15.
Me
= L + ?�
�
�
?
�
�� �
�
−
· p
= 10,5 + �
��� �
��
⋅ −
· 5
= 10,5 + �
�� · 5
= 10,5 + 3 = 13,5
Jadi, mediannya adalah 13,5.
16. Jawaban: e
� =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑
= ��
�� = 12,5
Jadi, rata-rata poin pemain tersebut 12,5.
fi
20
14
21
30
6
9
Data
25
26
27
28
29
30
fk
20
34
55
85
91
100
fi
4
5
10
6
5
30
fk
4
9
19
25
30
→ Kelas Median
Nilai
1–5
6–10
11–15
16–20
21–25
Jumlah
xi
6
9
12
15
18
21
Poin
5–7
8–10
11–13
14–16
17–19
20–22�
� �=∑
fi
6
5
4
10
3
2
30
fi · x
i
36
45
48
150
54
42
375
14 Statistika
17. Jawaban: b
Mo terletak di kelas interval 58–63 karena
frekuensinya paling besar.
Mo
= L + �
� �
#
# #
+
· p
= 57,5 + �� �
�� �� �� �
− − + −
· 6
= 57,5 + �
� �
+
· 6
= 57,5 + ��
�
Jadi, modus dari data pada tabel adalah 57,5 + ��
� kg.
18. Jawaban: d
Median = nilai data ke-�����
�
= nilai data ke-15,5
Nilai data ke-15,5 terletak di kelas interval 45–49.
Me
= L + ?�
�
�
?
�
�� �
�
−
· p
= 44,5 + �� ��
�
− · 5
= 44,5 + 1
= 45,5
Jadi, median data tersebut 45,5 cm.
19. Jawaban: e
� =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑ =
���
�� = 9,15
Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15.
20. Jawaban: c
Mo terletak pada kelas interval yang memuat titik
tengah 114,5.
Tepi bawah kelas modus L = �
�(104,5 + 114,5)
= �
�(219) = 109,5
Tepi atas kelas modus = �
�(114,5 + 124,5)
= �
�(239) = 119,5
p = 119,5 – 109,5 = 10
Mo
= L + �
� �
#
# #
+
· p
= 109,5 + �� ��
�� ��� �� ���
− − + −
· 10
= 109,5 + ��
�� · 10
= 109,5 + 6
= 115,5
Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak
115,5 kg.
21. Jawaban: d
Rata-rata berat badan siswa:
x– =
�
� �� �
�
�� �
��
�
=
=
∑
∑
= �����
�� = 65 kg
22. Jawaban: b
Banyak data n = 5 + 11 + 10 + 6 + 8 = 38
Median = nilai data ke-�
�(38 + 1)
= nilai data ke-19,5
Nilai data ke-19,5 terletak pada kelas interval yang
mempunyai titik tengah 32,5.
xi
3
6
9
12
15
Skor
2–4
5–7
8–10
11–13
14–16
�
� �=∑
fi · x
i
6
30
54
48
45
183
fi
2
5
6
4
3
20
fi
4
6
8
10
8
4
40
fix
i
208
342
496
670
576
308
2.600
xi
�
�(49,5 + 54,5) = 52
�
�(44,5 + 59,5) = 57
�
�(59,5 + 64,5) = 62
�
�(64,5 + 69,5) = 67
�
�(69,5 + 74,5) = 72
�
�(74,5 + 79,5) = 77
�
� @ �∑
xi
3
9
14
19
26
30
Tinggi (cm)
30–34
35–39
40–44
45–49
50–54
55–59
fi
3
6
5
5
7
4
15Matematika Kelas XI Program IPA
L = �
�(28,5 + 32,5) = 30,5
?��� = 5 + 11 = 16
�?� = 10
p = �
�(32,5 + 36,5) –
�
�(28,5 + 32,5)
= 34,5 – 30,5
= 4
Me
= L + ?�
�
���
?
� �
�
−
· p
= 30,5 +
�
��� ��
��
⋅ −
· 4
= 30,5 + �
�� · 4
= 30,5 + 1,6 = 32,1
Jadi, median data 32,1.
23. Jawaban: b
Data setelah diurutkan:
2 2 4 5 5 5 6 6 7 7 8
Q1
= nilai data ke-�����
�
= nilai data ke-3 = 4
Q3
= nilai data ke-� ������
�
= nilai data ke-9 = 7
Jadi, kuartil atas dan kuartil bawah berturut-turut
7 dan 4.
24. Jawaban: c
Data setelah diurutkan:
5 6 7 7 9 9 10 10
11 12 12 15 18 18 21 21
Q1
= nilai data ke-�����
�
= nilai data ke-4,25
= x4 + 0,25(x
5 – x
4) = 7 + 0,25(9 – 7)
= 7 + 0,5 = 7,5
Q3
= nilai data ke-� ������
�
= nilai data ke-12,75
= x12
+ 0,75(x13
– x12
) = 15 + 0,75(18 – 15)
= 15 + 2,25 = 17,25
Simpangan kuartil = �
�(Q
3 – Q
1)
= �
�(17,25 – 7,5)
= �
�(9,75) = 4,875
Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875.
25. Jawaban: a
n = 23
Q1
= nilai data ke-�����
�
= nilai data ke-6
Nilai data ke-6 terletak di kelas interval 7–11.
Q1 = L
1 +
��
�
�
�
�
�� �
�
−
· p
= 6,5 + ��
��
�
−
· 5
= 6,5 + ��� �
�
−
· 5
= 6,5 + 3,75 = 10,25
Jadi, kuartil bawah data tersebut 10,25 tahun.
26. Jawaban: c
Q3
= nilai data ke-� �� ��
�
+
= nilai data ke-30,75
Nilai data ke-30,75 terletak pada kelas interval
70–79.
Q3
= L3 + ��
�
�
�
�
�� �
�
⋅ −
· p
= 69,5 +
�
��� ��
�
⋅ −
· 10
= 69,5 +
� · 10 = 69,5 + 8,75 = 78,25
Jadi, kuartil atas dari data pada tabel adalah 78,25.
27. Jawaban: d
← Kelas Q1
fk
2
7
10
14
16
17
23
Usia (Tahun)
2–6
7–11
12–16
17–21
22–26
27–31
32–36
fi
2
5
3
4
2
1
6
Nilai
40–49
50–59
60–69
70–79
80–89
Frekuensi
7
6
10
8
9
fk
7
13
23
31
40
← Kelas kuartil atas
← Kelas D3
fk
4
7
9
15
18
20
Nilai
15–17
18–20
21–23
24–26
27–29
30–32
fi
4
3
2
6
3
2
16 Statistika
D3
= nilai data ke-�
��(20 + 1)
= nilai data ke-6,3
Nilai data ke-6,3 terletak pada kelas interval 18–20.
D3
= L3 + ��
�
�
�
�
���� �
�
⋅ −
· p
= 17,5 + � �
�
−
· 3
= 17,5 + 2
= 19,5
Jadi, desil ke-3 data tersebut 19,5.
28. Jawaban: a
P30
= nilai data ke-��
���(30 + 1)
= nilai data ke-9,3
Nilai data ke-9,3 terletak di kelas interval 28–31.
P30
= L30
+ ���
��
�
�
��
���� �
�
⋅ −
· p
= 27,5 +
���
���
�
−
· 4
= 27,5 + 2
= 29,5
Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5.
29. Jawaban: d
� =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑ =
���
�� = 23
S2 =
��
� �� �
�
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑ =
���
�� = 9,9
Jadi, ragam data tersebut 9,9.
30. Jawaban: c
x– =
�
� �� �
�
�� �
��
�
=
=
∑
∑ =
�����
��= 23
�
� �� �
� � � � �=∑ − = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23|
+ 12|27 – 23| + 18|32 – 23|
= 15 · 11 + 6 · 6 + 9 · 1 + 12 · 4 + 18 · 9
= 165 + 36 + 9 + 48 + 162
= 420
Simpangan rata-rata:
SR =
�
� �� �
�
�� �
� � � � �
�
=
=
−∑
∑ =
���
�� = 7
B. Uraian
1. Diagram batang:
Diagram lingkaran:
fi
9
4
5
2
20
Tinggi (meter)
19–21
22–24
25–27
28–30
�
� �=∑
xi
20
23
26
29
fi · x
i
180
92
130
58
460
xi – x–
–3
0
3
6
fi(x
i – x–)2
81
0
45
72
198
fi
15
6
9
12
18
60
fix
i
180
102
198
324
576
1.380
xi
�
�(9,5 + 14,5) = 12
�
�(14,5 + 19,5) = 17
�
�(19,5 + 24,5) = 22
�
�(24,5 + 29,5) = 27
�
�(39,5 + 34,5) = 32
�
� @ �∑
Ba
ny
ak
S
isw
a
Sa
str
a
Fis
ip
Eko
no
mi
Te
kn
ik
Pera
nia
n
50
40
10
30
20
0
Fakultas
PertanianFakultas
Sastra
Fakultas
Fisip
Fakultas
Ekonomi
Fakultas
Teknik
60° 70°
80°100°
50°
Fakultas
← Kelas P30
fk
3
7
11
21
23
30
Usia (Tahun)
20–23
24–27
28–31
32–35
36–39
40–43
fi
3
4
4
10
2
7
17Matematika Kelas XI Program IPA
2.
� =
� �� �
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑
= ���
�� = 7,5
Benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas
rata-rata berat benda adalah benda yang
mempunyai berat minimal 8,5 kg.
Banyak benda yang mempunyai berat minimal
8,5 kg = 4 + 8 = 12.
Jadi, terdapat 12 benda yang mempunyai berat
minimal 1 kg di atas rata-rata berat.
3. a.
x– =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑
= ��
�� = 4
Jadi, rata-rata data tersebut 4.
b.
Ragam:
S2 =
��
� �� �
�
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑ =
��
�� = 1,5
Jadi, ragam data tersebut 1,5.
4. a.
� =
�
� �� �
�
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑
⇔ 168,4 = ������ ���
�� �
++
⇔10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x
⇔ 100,8 = 5,6x
⇔ x = 18
Jadi, banyak orang bertinggi badan antara
171 cm dan 177 cm ada 18 orang.
b. Orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm
adalah orang yang bertinggi badan 164–170 cm,
171–177 cm, dan 178–184 cm.
Banyak orang yang bertinggi badan lebih dari
163 cm = 16 + 18 + 20 = 54 orang.
Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebih
dari 163.
5. Me
= nilai data ke-�� �
�
+
= nilai data ke-18
Nilai data ke-18 terletak pada kelas interval yang
mempunyai tepi bawah 64,5 dan tepi atas 69,5.
L = 64,5
p = 69,5 – 64,5
= 5
?��� = 13
�?� = 23 – 13
= 10
Me
= L + ?�
�
�
?
�
��
�
−
· p
= 64,5 +
��
���
��
−
· 5
= 64,5 +
�
�
�� · 5
= 64,5 + 2,25 = 66,75
Jadi, median data di atas adalah 66,75 cm.
xi
4
5
6
7
8
9
10
� �=∑
fi
2
6
4
1
5
4
8
30
fi · x
i
8
30
24
7
40
36
80
225
Nilai (xi)
2
3
4
5
6
�
� �=∑
fi
3
4
5
6
2
20
fi · x
i
6
12
20
30
12
80
fi
3
4
5
6
2
20
Nilai (xi)
2
3
4
5
6
�
� �=∑
xi – x
–
–2
–1
0
1
2
fi (x
i – x
–)2
12
4
0
6
8
30
xi
153
160
167
174
181
Tinggi Badan (cm)
150–156
157–163
164–170
171–177
178–184
�
� �=∑
fi · x
i
2.448
1.600
2.672
174x
3.620
10.340 + 174x
fi
16
10
16
x
20
62 + x
18 Statistika
6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak
adalah 28. Berarti modus data terletak di kelas
interval yang memuat titik tengah 28.
Tepi bawah kelas modus L = �
�(23 + 28) = 25,5
Tepi atas kelas modus = �
�(28 + 33) = 30,5
p = 30,5 – 25,5 = 5
d1 = 13 – 4 = 9
d2 = 13 – 7 = 6
Mo
= L + �
� �
#
# #
+
· p
= 25,5 + �
� �
+ · 5
= 25,5 + 3
= 28,5
Jadi, modus data 28,5.
7.
Q1 = nilai data ke-
�
�(80 + 1)
= nilai data ke-20,25
Nilai data ke-20,25 terletak di kelas interval 149–152.
Q1
= L1 +
��
�
���
�
� �
�
−
· p
= 148,5 + �
��� ��
��
⋅ −
· 4
= 148,5 + �
�� · 4
= 148,5 + 1
= 149,5
Q3
= nilai data ke-�
�(80 + 1)
= nilai data ke-60,75
Nilai data ke-60,75 terletak di kelas interval 157–160.
Q3
= L3
��
�
���
�
� �
�
−
· p
= 156,5 + �
��� ��
��
⋅ −
· 4
= 156,5 +
�� · 4
= 156,5 + 2
= 158,5
Simpangan kuartil:
Qd
= �
�(Q
3 – Q
1)
= �
�(158,5 – 149,5)
= �
�(9) = 4,5
Jadi, simpangan kuartil tinggi siswa putri 4,5 cm.
8.
D7
= nilai data ke-
��(70 + 1)
= nilai data ke-49,7
Nilai data ke-49,7 terletak pada kelas interval 37–41.
D7
= L7 +
�
�
�
��� �
�
⋅ −
· p
= 36,5 +
��� �
��
⋅ −
· 5
= 36,5 + �
��
· 5
= 36,5 + 1 = 37,5
Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5.
9.
P30
= nilai data ke-��
���(40 + 1)
= nilai data ke-12,3
Nilai data ke-12,3 terletak di kelas interval
105–109.
P30
= L30
+ ���
��
�
�
��
���� �
�
⋅ −
· p
= 104,5 + ��
����� �
�
⋅ −
· 5
= 104,5 + �� �
�
− · 5 = 104,5 + 4 = 108,5
Jadi, nilai persentil ke-30 data tersebut 108,5.
← Kelas D7
fi
10
5
8
6
18
10
13
Nilai
12–16
17–21
22–26
27–31
32–36
37–41
42–46
fk
10
15
23
29
47
57
70
← Kelas Me
fi
8
5
3
10
1
6
7
Berat (gram)
100–104
105–109
110–114
115–119
120–124
125–129
130–134
fk
8
13
16
26
27
33
40
← Kelas Q1
← Kelas Q3
f
15
20
18
14
8
5
Tinggi Badan (cm)
145–148
149–152
153–156
157–160
161–164
165–168
fk
15
35
53
67
75
80
19Matematika Kelas XI Program IPA
fi
6
10
5
15
20
5
9
70
Panjang (cm)
10–14
15–19
20–24
25–29
30–34
35–39
40–44
� �=∑
xi
12
17
22
27
32
37
42
fi · x
i
72
170
110
405
640
185
378
1.960
10. a.
� =
� �� �
�� �
� �
�
=
=
⋅∑
∑ =
�����
� = 28
Jadi, rata-rata panjang potongan bambu
28 cm.
b. �
� �� �
� � ��=∑ − = 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2
+ 5(22 – 28)2 + 15(27 – 28)2
+ 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2
+ 9(42 – 28)2
= 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2
+ 15(–1)2 + 20(4)2 + 5(9)2
+ 9(14)2
= 1.536 + 1.210 + 180 + 15
+ 320 + 405 + 1.764
= 5.430
Variansi:
S2 =
�
� �� �
�� �
� � ��
�
=
=
−∑
∑ =
�����
� = 77
�
Jadi, variansi panjang potongan bambu 77�
cm.
20 Peluang
1. Menggunakan aturan
statistika, kaidah
pencacahan dan sifat-
sifat peluang dalam
pemecahan masalah.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
Jujur Menunjukkan perilaku jujur dalam
percobaan menentukan ruang
sampel.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi2. Ruang sampel suatu percobaan3. Peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian4. Frekuensi harapan suatu kejadian5. Peluang gabungan dua kejadian6. Peluang dua kejadian yang saling asing7. Peluang dua kejadian yang saling bebas8. Peluang kejadian bersyarat9. Penafsiran peluang suatu kejadian
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
1.4 Menggunakan aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi dalam pe-
mecahan masalah.
1.5 Menentukan ruang sampel suatu per-
cobaan.
1.6 Menentukan peluang suatu kejadian
dan penafsirannya.
Peluang
Menggunakan aturan
perkalian, permutasi, dan
kombinasi
Menentukan ruang sampel
suatu percobaan
Menentukan peluang suatu
kejadian dan penafsirannya
Menyelesaikan permasalahan
yang berkaitan dengan aturan
perkalian, permutasi,
kombinasi, dan peluang
• Mendefinisikan pengertian
aturan perkalian
• Menggunakan aturan
perkalian
• Mendefinisikan pengertian
permutasi
• Menggunakan permutasi
• Mendefinisikan pengertian
kombinasi
• Menggunakan kombinasi
• Mendefinisikan pengertian
ruang sampel suatu
percobaan
• Menentukan ruang sampel
suatu percobaan
• Mendefinisikan pengertian
peluang suatu kejadian
• Menentukan peluang
suatu kejadian
• Menentukan kisaran nilai
peluang
• Menentukan frekuensi
harapan
• Mendefinisikan pengertian
kejadian majemuk
• Menentukan peluang
kejadian majemuk
• Menyelesaikan perma-
salahan yang berkaitan
dengan aturan perkalian
• Menyelesaikan perma-
salahan yang berkaitan
dengan permutasi
• Menyelesaikan perma-
salahan yang berkaitan
dengan kombinasi
• Menyelesaikan perma-
salahan yang berkaitan
dengan peluang
Siswa mampu menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan
dengan aturan perkalian,
permutasi, kombinasi, dan
peluang
Siswa mampu menentukan
peluang suatu kejadian
Siswa mampu menentukan
ruang sampel suatu
percobaan
Siswa mampu menggunakan
aturan perkalian, permutasi,
dan kombinasi
Siswa dapat menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan (aturan perkalian,
permutasi, kombinasi) dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
21Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
���
���� +
��
����=
�� � ��
�� � � �
× × ×× × × × +
� � � ��
��� �� �
× × ×× ×
= �� �
� � �
× ×× × × +
� � �
� �
× ×× ×
= 30 + 20
= 50
2. Jawaban: b
n + 1P
3= 9 ×
nP
2
⇔�� ���
�� � ���
++ − = 9 ×
��
�� ��−
⇔�� ���
�� ��
+− = 9 ×
��
�� ��−
⇔ �� ���
�� ��
+−
× �� ��−
��= 9
⇔ �� ����
��
+= 9
⇔ n + 1 = 9
⇔ n = 8
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8.
3. Jawaban: e
Permasalahan tersebut dapat diselesaikan
menggunakan aturan perkalian.
Banyak pasangan menu makanan dan minuman
= banyak menu makanan × banyak menu minuman
= 6 × 10
= 60
4. Jawaban: e
Angka yang tersedia 1, 2, 3, 5, 6, dan 7.
Akan disusun bilangan terdiri atas 4 angka dengan
angka-angka yang berlainan.
Angka I dapat diisi oleh 6 angka yang tersedia.
Setelah satu angka digunakan untuk mengisi
angka I, tersisa 5 angka. Angka II dapat diisi oleh
5 angka yang tersisa.
Setelah dua angka digunakan untuk mengisi angka
I dan II, tersisa 4 angka. Angka III dapat diisi oleh 4
angka yang tersisa.
Setelah tiga angka digunakan untuk mengisi angka
I, II, dan III, tersisa 3 angka. Angka IV dapat diisi
oleh 3 angka yang tersisa.
Banyak susunan bilangan 4 angka yang tersusun
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360
Cara lain:
Bilangan 1.235 berbeda dengan bilangan
2.531.Artinya penyusunan bilangan tersebut
memperhatikan urutan (permutasi).
Banyak bilangan 4 angka yang dapat disusun dari
6 angka yang tersedia
= permutasi 4 dari 6
= 6P
4 =
��
� =
� � � � �
�
× × × × = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
5. Jawaban: d
Segitiga dapat dibentuk dengan menghubungkan
3 titik yang tidak segaris.
Pemilihan 3 titik tidak memerhatikan urutan
sehingga digunakan kombinasi.
Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 7 titik
= 7C
3 =
��
���� =
� � � ��
�� � �
× × ×× × × = 35 buah.
6. Jawaban: c
Akan dipilih 5 anak sebagai ketua, wakil ketua,
sekretaris, bendahara, dan humas.
Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris,
bendahara, dan humas merupakan pemilihan yang
memperhatikan urutan (permutasi).
Banyak cara memilih 5 pengurus dari 7 pengurus
= permutasi 5 dari 7
= 7P
5
= ��
�
= � � � � � �
�
× × × × ×
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2.520
Jadi, banyak cara memilih pengurus 2.520 cara.
7. Jawaban: a
Resa selalu ada di salah satu ujung sehingga ada
2 cara. Sisanya ada 4 anak yang dapat diatur
dengan 4P
4 cara. Sehingga banyak urutannya
= 2 × 4P
4
= 2 × 4!
= 2 × 4 × 3 × 2 × 1
= 48 urutan
8. Jawaban: a
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari
kata WIYATA
= permutasi 6 elemen dengan 2 elemen sama
= ��
�
= � � � � �
�
× × × × = 360
Jadi, ada 360 kata yang dapat dibentuk.
Angka I Angka II Angka III Angka IV
6 cara 5 cara 4 cara 3 cara
22 Peluang
9. Jawaban: b
Ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 anggota
dewan akan duduk melingkar.
Ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipandang
sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi
permutasi siklis dari 1 + 3 = 4 unsur.
Banyak susunan duduk ketua, wakil ketua, dan
sekretaris di tengah = 2!
Banyak susunan duduk dari ketujuh anggota DPRD
= (4 – 1)! × 2!
= 3! × 2!
= 6 × 2
= 12
Jadi, banyak cara duduk dalam rapat tersebut ada
12 cara.
10. Jawaban: b
Soal nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan
sehingga tersisa 10 – 4 = 6 soal yang dapat dipilih.
Siswa memilih 8 – 4 = 4 soal.
Banyak pilihan yang diambil siswa
= memilih 4 soal dari 6 soal
= kombinasi 4 dari 6
= 6C
4
= ��
���
= � � ��
� ��
× ×× ×
= � �
× = 15
Jadi, banyak pilihan yang dapat diambil siswa
15 cara.
11. Jawaban: c
Banyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidup
ada 5C
3.
Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada
10C
3.
Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yang
sudah terpilih ada 6P
6 = 6!.
Banyak kata sandi yang dapat disusun
= 5C
3 ×
10C
3 × 6!
12. Jawaban: d
Banyak cara menyusun ketiga merek motor = 3!
Banyak cara menyusun motor Honda = 4!
Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3!
Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2!
Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek
tidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728
13. Jawaban: e
n1
= banyak cara mengambil 2 potongan kue dari
8 potongan kue
= kombinasi 2 dari 8
=8C
2
= �
���
= � ��
���
× ×
= �
�
×× = 28
n2
= banyak cara mengambil 3 potongan
semangka dari 10 potongan semangka
= kombinasi 3 dari 10
= 10
C3
= ���
����
= �� � ��
�� � �
× × ×× × ×
= 120
Banyak cara Andi mengambil 2 potongan kue dan
3 potongan semangka adalah
= n1 × n
2
= 28 × 120
= 3.360
14. Jawaban: b
Kemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1
putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri),
(1 putra dan 2 putri), atau (3 putri).
n1
= banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan
1 putri
= memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih
1 putri dari 6 putri
= 5C
2 ×
6C
1
= ��
��� ×
��
����
= 10 × 6
= 60
n2
= banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan
2 putri
= memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih
2 putri dari 6 putri
= 5C
1 ×
6C
2
= ��
���� ×
��
���
= 5 × 15
= 75
n3
= banyak kemungkinan anggota tim 3 putri
= memlih 3 putri dari 6 putri
= 6C
3
= ��
����
= 20
Banyak cara memilih anggota tim
= n1 + n
2 + n
3
= 60 + 75 + 20
= 155
23Matematika Kelas XI Program IPA
Angka I Angka II Angka III Angka IV
5 cara 5 cara 5 cara 5 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
1 cara 5 cara 5 cara 1 cara
15. Jawaban: a
n1
= banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka
(boleh berulang) yang dapat dibuat dari
5 angka
= 5 × 5 × 5 × 5
= 625
n2
= banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka
(boleh berulang) dengan angka terakhir 0 dan
angka pertama 0
= 1 × 5 × 5 × 1
= 25
Banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka
dengan angka pertama atau terakhir tidak nol
= n1 – n
2
= 625 – 25
= 600
B. Uraian
1. a. 2 · 2n + 1
C2 = 3! ·
nP
2
⇔ �� ���
��� � ��
⋅ ++ − =
����
�� ��−
⇔ �� ���� � ���� � ��
�� � ��
+ + − + −+ − =
���� ���� ��
�� ��
− −−
⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1)
⇔ 2n + 1 = 3(n – 1)
⇔ 2n + 1 = 3n – 3
⇔ n = 4
Jadi, nilai n = 4.
b. n · 6P
2 =
nP
3
⇔ � ��
��
⋅=
��
�� ���−
⇔ 30n = ��� ���� ��� ���
�� ���
− − −−
⇔ 30 = (n – 1)(n – 2)
⇔ n2 – 3n + 2 = 30
⇔ n2 – 3n– 28 = 0
⇔ (n – 7)(n + 4) = 0
⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 0
⇔ n = 7 atau n = –4
nP
3 mempunyai syarat n ≥ 3.
Jadi, nilai n yang memenuhi 7.
c. � �
�� � �
�
� + =
�
��
⇔ 10 · 9C
n= 3 ·
10C
n + 1
⇔�� ��
���� ���
⋅− =
� ���
�� ������ � ���
⋅+ − −
⇔���
���� ���− = � ���
�� ������ ���
⋅+ −
⇔ �
�=
�
� �+⇔ n + 1 = 3
⇔ n = 2
Jadi, nilai n = 2.
2. Bilangan terdiri atas 3 angka yang dapat disusun
dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 tanpa berulang.
Banyak bilangan 3 angka yang nilainya di antara
520 dan 600 disusun dari ke-8 angka tersebut
= 1 × 5 × 6
= 30 bilangan
Bilangan 520 tidak termasuk karena syaratnya
lebih dari 520.
n1
= banyak bilangan yang lebih dari 520 dan
kurang dari 600
= 30 – 1
= 29
n2
= banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebih
besar dari 599
= 2 × 7 × 6
= 84
Banyak bilangan 3 angka yang bernilai lebih besar
dari 520 dan tidak boleh berulang
= n1 + n
2
= 29 + 84
= 113
Jadi, ada 113 bilangan yang dapat disusun.
Angka 5 dan sebuah angka
sudah digunakan.
Jadi, tersisa 8 – 2 = 6 cara.
Dapat diisi angka 2, 3, 4, 6, atau 7.
Jadi, ada 5 cara.
Angka I Angka II Angka III
1 cara 5 cara 6 cara
Diisi angka 5.
Jadi, ada 1 cara.
Dua angka sudah digunakan.
Jadi, tersisa 6 cara.
Dapat diisi angka selain 6 atau 7.
Jadi, ada 7 cara.
Angka I Angka II Angka III
2 cara 7 cara 6 cara
Dapat diisi angka 6 atau 7.
Jadi, ada 2 cara.
24 Peluang
3. a. Bola merah ada 9 buah.
Banyak cara pengambilan tiga bola merah
= kombinasi 3 dari 9
= 9C
3
= ��
����
= � � ��
��� �� �
× × ×× × = 84
b. Bola biru ada 5 buah.
Banyak cara pengambilan 3 bola biru
= 5C
3
= ��
���
= � � ��
� ��
× ×× × = 10
c. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola
biru. Artinya, bola yang terambil 2 bola biru
dan 1 bola merah.
Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan
1 bola merah
= 5C
2 ×
9C
1
= ��
��� ×
��
���
= � � ��
� ��
× ×× × ×
� �
� �
××
= 10 × 9 = 90
d. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola
merah. Artinya bola yang terambil 2 bola
merah dan 1 bola biru.
Banyak cara pengambilan 2 bola merah dan
1 bola biru
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
Banyaknya hasil yang mungkin:
Jadi, hasil yang mungkin ada 63 = 216.
2. Jawaban: a
Pengambilan bola merupakan pengambilan tanpa
memerhatikan urutan sehingga dalam pengambilan
bola digunakan kombinasi.
Banyak ruang sampel pengambilan 2 bola dari 8
bola
= 8C
2 =
�
��� =
� ��
���
× × = 28
Jadi, banyak ruang sampel percobaan tersebut ada
28.
3. Jawaban: e
Frekuensi muncul gambar = 9.
Frekuensi relatif muncul gambar = �
�� = 0,3.
4. Jawaban: e
S = kejadian pelemparan 2 dadu
n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya 6
A = {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}
n(A) = 4
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
�
Jadi, peluangmuncul mata dadu yang hasil kalinya
6 adalah �
�.
Lemparan I Lemparan II Lemparan III
6 cara 6 cara 6 cara
= 9C
2 ×
5C
1
= ��
��� ×
��
����
= � ��
���
× × ×
� ��
�� ��
××
= 36 × 5
= 180
4. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkar
dengan (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara.
2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara.
4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara.
2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara.
Jadi, seluruhnya = 3! 3! 2! 4! 2! = 3.456 cara.
5. Banyak huruf konsonan yang dapat dipilih
= 5C
3 =
��
��� =
� � ��
��
× ××
= 10 cara
Banyak huruf vokal yang berbeda yang dapat dipilih
= 3C
2 =
��
���� =
� �
� �
××
= 3 cara
Banyak 5 huruf yang berbeda yang dapat disusun
= 5P
5
= 5! = 120 cara
Banyak 5 huruf berbeda dengan 3 huruf konsonan
dan 2 huruf vokal yang terbentuk
= 5C
3 ×
3C
2 ×
5P
5
= 10 × 3 × 120
= 3.600 cara
25Matematika Kelas XI Program IPA
n(S) = 10
C3 =
���
���� =
�� � ��
��� � �
× × ×× × × = 120
A = kejadian terambil 3 kelereng merah dari
7 kelereng merah
n(A) = 7C
3 = 35
P(A) = ����
���� =
��
�� =
�
�
Jadi, peluang terambil ketiga kelereng berwarna
merah adalah �
�.
10. Jawaban: e
Jumlah siswa seluruhnya = 11 orang.
S = kejadian dipilih 3 siswa untuk lomba cerdas
cermat
n(S) = 11
C3 =
���
� �� = 165
A = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dan 2 siswa
perempuan
n(A) = 5C
1 ×
6C
2
= ��
�� � ×
��
�� �
= 5 × 15 = 75
P(A) = ����
���� =
��
���
Jadi, peluang terpilih tim terdiri atas 1 siswa laki-
laki dan 2 siswa perempuan adalah ��
���.
11. Jawaban: d
S = kejadian pelemparan 2 dadu secara bersamaan
n(S) = 36
A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu
merupakan bilangan prima
= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),
(3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1),
(6, 5)}
n(A) = 15
P(A) = ����
���� =
��
��
Fh(A) = P(A) × n
= ��
�� × 180 = 75 kali
Jadi, frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata
dadu merupakan bilangan prima adalah 75 kali.
12. Jawaban: c
S = percobaan melempar empat mata uang
logam
n(S) = 2 × 2 × 2 × 2
A = kejadian muncul 3 angka dan 1 gambar
= {(A, A, A, G), (A, A, G, A), (A, G, A, A),
(G, A, A, A)}
n(A) = 4
5. Jawaban: d
S = kejadian pelemparan 3 uang logam secara
bersamaan
= {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}
n(S) = 8
Misal A = kejadian muncul sisi yang sama
= {GGG, AAA}
n(A) = 2
P(A) = ����
���� =
=
�
�
Jadi, peluang muncul ketiga sisi mata uang sama
adalah �
�.
6. Jawaban: d
S = kejadian pelemparan 2 dadu bersama-sama
n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian jumlah mata kedua dadu yang
muncul habis dibagi 5
= kejadian jumlah mata kedua dadu yang
muncul adalah 5 atau 10
= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}
n(A) = 7
P(A) = ����
���� =
�
��
Jadi, peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul
habis dibagi 5 adalah �
��.
7. Jawaban: b
Jumlah ikan = 21 + 12 + 27 = 60
S = kejadian terambil 1 ikan dari jumlah ikan
n(S) = 60
C1 = 60
A = kejadian terambil 1 ikan mas dari 12 ikan mas
n(A) = 12
C1 = 12
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
�
Jadi, peluang mendapatkan ikan mas pada hasil
pancingan pertama kali adalah �
�.
8. Jawaban: a
S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartu
n(S) = 52
C2 = 1.326
A = kejadian terambil dua kartu king
n(A) = 4C
2 = 6
P(A) = ����
���� =
�
���� =
�
�
Jadi, peluang terambil dua kartu King �
�.
9. Jawaban: c
Jumlah kelereng = 10 kelereng
S = kejadian pengambilan 3 kelereng secara
acak dari 10 kelereng
26 Peluang
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
�
Fh(A) = P(A) × N
= �
� × 60
= 15 kali
Jadi, frekuensi harapan muncul 3 angka dan
1 gambar adalah 15 kali.
13. Jawaban: c
Bibit yang hidup = 75 – 4 = 71
A = kejadian bibit yang disemai hidup
P(A) = ��
��
Fh(A) = n × P(A)
= 4.500 × ��
�� = 4.260
Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup.
14. Jawaban: a
S = kejadian terbentuknya susunan 3 angka
berbeda dari 6 angka
n(S) = 6P
3 = 120
A = kejadian terbentuknya angka genap kurang
dari 500
Untuk menyusun angka kurang dari 500, angka I
yang dapat dipilih 1, 2, atau 4.
Untuk angka I adalah 1 ada 1 cara. Angka III dapat
dipilih dan 2, 4, 6, 8, = 4 cara
Banyak cara = 1 × 4 × 4 = 16 cara.
Untuk angka I adalah 2 atau 4 ada 2 cara.
Angka III dapat dipilih 2, 4, 6, 8, = 4 cara (dikurangi
1 karena telah dipakai di angka I). Jadi, ada 3 cara.
Banyak cara = 2 × 4 × 3 = 24 cara.
n(A) = 16 + 24 = 40 cara
P(A) = ����
���� =
��
�� =
�
�
Jadi, peluang muncul angka genap kurang dari 500
adalah �
�.
15. Jawaban: c
Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas angka
ganjil-ganjil atau genap-genap.
Banyak angka berjumlah genap
= banyak angka ganjil-ganjil + banyak angka
genap-genap
=5C
2 +
4C
2
= 10 + 6 = 16
Diperoleh n(S) = 16
A = kejadian terpilih kedua angka ganjil
n(A) = 5C
2 = 10
P(A) = ����
���� =
��
�� =
�
Jadi, peluang kedua angka bilangan ganjil �
.
B. Uraian
1. Tabel berikut ini menunjukkan ruang sampel untuk
kejadian pelemparan sebuah dadu dan sekeping
uang logam.
n(S) = 12
a. A = kejadian muncul mata dadu kelipatan 3
= {(A, 3), (A, 6), (G, 3), (G, 6)}
n(A) = 4
P(A) = ����
���� =
�
� =
�
�
Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan
kelipatan 3 adalah �
�.
b. B = kejadian muncul gambar dan mata dadu
bilangan kuadrat
= {(G, 1), (G, 4)}
n(B) = 2
P(B) = ����
���� =
� =
�
�
Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu
bilangan kuadrat adalah �
�.
c. C = kejadian muncul mata dadu bilangan
komposit
= {(A, 4), (A, 6), (G, 4), (G, 6)}
n(C) = 4
P(C) = ����
���� =
�
� =
�
�
Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu
bilangan komposit adalah �
�.
Angka I Angka II Angka III
2 4 cara 3
Angka I Angka II Angka III
1 cara 6 – 2 = 4 cara 4 cara
1
A
G
(A, 1)
(G, 1)
2
(A, 2)
(G, 2)
3
(A, 3)
(G, 3)
4
(A, 4)
(G, 4)
5
(A, 5)
(G, 5)
6
(A, 6)
(G, 6)
Dadu
Ma
ta U
an
g
27Matematika Kelas XI Program IPA
P(A) = ����
���� =
��
�� =
�
�
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih
besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat
berulang adalah �
�.
b. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari
angka 1, 2, 3, 4, dan angka tidak boleh
berulang
n(S) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
B = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari
angka 1, 2, 3, 4, angka tidak boleh
berulang dan bilangan bernilai lebih dari
2.000
n(B) = 3 × 3 × 2 × 1 = 18
P(B) = ����
���� =
�
� =
�
�
Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih
besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat
berulang adalah �
�.
4. S = kejadian terambil 4 huruf dari 13 huruf
n(S) = 13
C4 =
���
�� �� =
�� � �� �� ��
�� � � �
× × × ×× × × ×
= 715
a. Banyak huruf vokal = 7
Banyak huruf konsonan = 6
A = kejadian terambil 1 huruf vokal dan
3 huruf konsonan
n(A) = 7C
1 ×
6C
3
= ��
�� �� ×
��
�� ��
= � ��
�� �
×× ×
� � � ��
�� � �
× × ×× × ×
= 7 × 20
= 140
P(A) = ����
���� =
���
��� =
���
Jadi, peluang terambil 1 huruf vokal dan
3 huruf konsonan adalah
���.
b. Banyak huruf konsonan = 6
Banyak huruf A = 3
B = kejadian terambil 2 huruf konsonan dan
2 huruf A
2. Dadu bermata 8 dilempar sebanyak 2 kali
n(S) = 8 × 8 = 64
a. A = kejadian muncul angka lemparan pertama
lebih kecil dari lima
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(1, 7), (1, 8), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 1), (3, 2),
(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(4, 7), (4, 8)}
= 32
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama
lebih kecil dari lima adalah �
.
b. B = kejadian muncul angka lemparan pertama
lebih kecil dari angka lemparan kedua
= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7),
(1, 8), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7),
(2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7),
(5, 8), (6, 7, (6, 8), (7, 8)}
= 28
P(B) = ����
���� =
�� =
�
��
Jadi, pelang muncul angka lemparan pertama
lebih kecil angka lemparan kedua adalah �
��.
3. a. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari
angka 1, 2, 3, 4, dan boleh berulang
n(S) = 4 × 4 × 4 × 4 = 256
A = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari
angka 1, 2, 3, 4, angka boleh berulang
dan bilangan bernilai lebih dari 2.000
n(A) = 3 × 4 × 4 × 4 = 192
Angka I Angka II Angka III Angka IV
4 cara 4 cara 4 cara 4 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
3 cara 4 cara 4 cara 4 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
4 cara 3 cara 2 cara 1 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
3 cara 3 cara 2 cara 1 cara
Lemparan
I
Lemparan
II
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(7, 1)
(8, 1)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(7, 2)
(8, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(7, 3)
(8, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(7, 4)
(8, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(7, 5)
(8, 5)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
(7, 6)
(8, 6)
(1, 7)
(2, 7)
(3, 7)
(4, 7)
(5, 7)
(6, 7)
(7, 7)
(8, 7)
(1, 8)
(2, 8)
(3, 8)
(4, 8)
(5, 8)
(6, 8)
(7, 8)
(8, 8)
28 Peluang
n(B) = 6C
2 ×
3C
2
= ��
�� � ×
��
�� �
= � � ��
��
× ×× ×
� �
� �
××
= 15 × 3 = 45
P(B) = ����
���� =
��
��� =
�
���
Jadi, peluang terambil 2 huruf konsonan dan
2 huruf A adalah �
���.
c. Banyak huruf vokal = 7
C = kejadian terambil keempatnya huruf vokal
n(C) = 7C
4
= ��
�� ��
= � � � ��
� � ��
× × ×× × × = 35
P(C) = ����
���� =
��
���
C′ =kejadian keempatnya bukan huruf vokal
P(C′) = 1 – P(C)
= 1 – ��
���
= ��
��� =
���
���
Jadi, peluang terambil keempat kartu bukan
huruf vokal adalah ���
���.
5. Jumlah bendera = 7 + 4 + 6 = 17
S = kejadian terambil 3 bendera dari 17 bendera
n(S) = 17
C3 =
���
��� �� =
�� �� �� ���
��� � �
× × ×× × × = 680
a. A = kejadian terambil 3 bendera kuning
n(A) = 4C
3 =
��
�� �� =
� ��
� ��
×× = 4
P(A) = ����
���� =
�
��
Fh(A) = P(A) × n =
�
�� × 680 = 4
Jadi, frekuensi harapan terambil 3 bendera
kuning adalah 4 kali.
b. B = kejadian terambil 1 bendera hijau dan
2 bendera merah
n(B) = 7C
1 ×
6C
2
= ��
�� �� ×
��
�� �
= � ��
�� ��
× ×
� � ��
�� �
× ×× ×
= 7 × 15 = 105
P(B) = ����
���� =
���
��
Fh(B) = P(B) × n =
���
�� × 680 = 105
Jadi, frekuensi harapan terambil 1 bendera
hijau dan 2 bendera merah adalah 105 kali.
c. C = kejadian terambil semua bendera
berwarna berbeda
Hal ini berarti terambil 1 bendera hijau,
1 bendera kuning, dan 1 bendera merah.
n(C) = 7C
1 ×
4C
1 ×
6C
1
= ��
�� �� ×
��
�� �� ×
��
�� ��
= � ��
�� ��
× ×
� ��
��
× ×
� ��
�� ��
×
= 7 × 4 × 6 = 168
P(C) = ����
���� =
��
��
Fh(C) = P(C) × n =
��
�� × 680 = 168
Jadi, frekuensi harapan terambil semua
bendera berwarna berbeda adalah 168.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
A = kejadian muncul angka genap pada dadu
pertama
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
P(A) = ����
���� =
�
��
B = kejadian muncul angka ganjil pada dadu kedua
= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (1, 3),
(2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5),
(3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
P(B) = ����
���� =
�
��
A ∩ B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5),
(6, 1), (6, 3), (6, 5)}
29Matematika Kelas XI Program IPA
P(A ∩ B) = ���� ���
����
∩ =
�
�� =
�
�
P(A) × P(B) = �
�� ×
�
�� =
�
�
Oleh karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B) maka A dan
B merupakan dua kejadian saling bebas.
Jadi, dua kejadian pada pilihan e merupakan dua
kejadian saling bebas.
2. Jawaban: b
Jumlah bola = 4 + 3 + 3 = 10 bola
S = kejadian terambil 1 bola dari 10 bola
n(S) = 10
C1 = 10
A = kejadian terambil 1 bola merah dari 4 bola
merah
n(A) = 4C
1 = 4
P(A) = ����
���� =
�
��
B = kejadian terambil 1 bola hitam dari 3 bola hitam
n(B) = 3C
1 = 3
P(B) = ����
���� =
�
��
A dan B merupakan dua kejadian saling asing.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
= �
�� +
�
�� =
�
��
Jadi, peluang terambil bola merah atau hitam
adalah �
��.
3. Jawaban: c
S = kejadian melempar dua dadu sebanyak
satu kali
n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5
= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(A) = 4
P(A) = ����
���� =
�
��
B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9
= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(B) = 4
P(B) = ����
���� =
�
��
A ∩ B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5
dan 9
= { } = 0
P(A ∩ B) = ���� ���
����
∩ =
�
��
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= �
�� +
�
�� –
�
�� =
��
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau
9 adalah
��.
4. Jawaban: e
S = kejadian terambil 1 kartu bernomor
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(S) = 10
A = kejadian muncul bilangan komposit
= {4, 6, 8, 9, 10}
n(A) = 5
B = kejadian muncul bilangan ganjil
= {1, 3, 5, 7, 9}
n(B) = 5
A ∩ B = [9]
n(A ∩ B) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ����
���� +
����
���� –
��� ��
����
∩
= �
�� +
�
�� –
�
��
= �
�� = 0,9
Jadi, peluang muncul bilangan komposit atau
bilangan ganjil adalah 0,9.
5. Jawaban: e
n(S) = 32
Banyak anak lulus ujian Matematika = n(M) = 17
Banyak anak lulus ujian Fisika = n(F) = 19
Banyak anak yang tidak lulus keduanya
= n(M ∪ F)′ = 4
Anak yang lulus keduanya
= n(M ∩ F)
= n(M) + n(F) + n(M ∪ F) – n(S)
= 17 + 19 + 4 – 32 = 8
P(M ∩ F) = ��� ��
����
∩ =
� =
�
�
Jadi, peluang siswa yang terpilih lulus Matematika
dan Fisika adalah �
�.
6. Jawaban: c
Misalkan:
A = himpunan murid yang mengikuti IMO
B = himpunan murid yang mengikuti IBO
C = himpunan murid yang mengikuti IChO
x = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO,
maupun IChO
n(S) = 40
n(A) = 22
n(B) = 17
n(C) = 20
n(A ∩ B) = 12
n(A ∩ C) = 9
n(B ∩ C) = 8
n(A ∩ B ∩ C) = 5
n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x
⇔ 40 = 35 + x
⇔ x = 40 – 35 = 5
ASB
C
67
54
2
8 x3
30 Peluang
D = himpunan murid yang tidak mengikuti IMO,
IBO, maupun IChO
n(D) = x = 5
P(D) = ����
���� =
�
��
Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak
mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah �
��.
7. Jawaban: e
S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 murid
n(S) = 30
C1 = 30
A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid
laki-laki
n(A) = 10
C1 = 10
P(A) = ����
���� =
��
��
B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari
15 murid berambut keriting
n(B) = 15
C1 = 15
P(B) = ����
���� =
��
��
A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki
berambut keriting dari 5 murid laki-laki
berambut keriting
n(A ∩ B) = 5C
1 = 5
P(A ∩ B) = ��� ��
����
∩ =
�
��
A ∪ B = kejadian terpilih 1 murid itu laki-laki atau
berambut keriting
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ��
�� +
��
�� –
�
��
= �
��
Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau
berambut keriting adalah �
��.
8. Jawaban: b
S1
= kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di
kotak A
K = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola
merah di kotak A
P(K) = �
����
��� � = �
� �
�
� =
�
S2
= kejadian terambil 1 bola dari 8 bola di
kotak B
L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putih
di kotak B
P(L) =
����
��� � = � �
�
�
� =
�
K dan L merupakan dua kejadian yang saling
bebas.
P(K ∩ L) = P(K) × P(L) =
� ×
�
=
�
�
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A
dan 1 bola biru dari kotak B adalah �
�.
9. Jawaban: e
Jumlah buku = 4 + 7 + 5 = 16
n(S) = kejadian terambil 3 buku dari 16 buku
= 16
C3
= ���
��� ��
= �� �� �� ���
��� � �
× × ×× × ×
= 560
Kemungkinan pasangan yang terambil adalah
(buku komik, buku komik, buku novel) atau (buku
komik, buku komik, buku dongeng).
A = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku novel
n(A) = 7C
2 ×
4C
1
= ��
�� � ×
��
�� ��
= � � ��
�� �
× ×× × ×
�� ��
�� �
××
= 21 × 4 = 84
P(A) = ����
���� =
�
���
B = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku
dongeng
n(B) = 7C
2 ×
5C
1
= ��
�� � ×
��
�� ��
= � � ��
�� �
× ×× × ×
�� ��
�� �
××
= 21 × 5 = 105
P(B) = ����
���� =
���
���
Peluang terambil 2 buku komik
= P(A) + P(B)
= �
��� +
���
���
= ��
���
Jadi, peluang terambil 2 buku komik adalah ��
���.
Berambut keriting
Berambut tidak
keriting
Jumlah
JumlahMurid
Laki-Laki
Murid
Perempuan
10
10
20
5
5
10
15
15
30
31Matematika Kelas XI Program IPA
10. Jawaban: e
Jumlah kelereng = 3 + 4 = 7
S = kejadian pengambilan 3 kelereng sekaligus
secara acak
= kejadian pengambilan 3 kelereng dari
7 kelereng
n(S) = 7C
3 =
��
���� = 35
Kemungkinan terambil paling sedikit 2 kelereng
putih adalah (2 kelereng putih, 1 kelereng merah)
dan (3 kelereng putih).
A = kejadian terambil 2 kelereng putih dan
1 kelereng merah
= kejadian terambil 2 dari 4 kelereng putih dan
1 dari 3 kelereng merah
n(A) = 4C
2 ×
3C
1
= 6 × 3 = 18
P(A)= ����
���� =
�
��
B = kejadian terambil 3 kelereng putih
= kejadian terambil 3 dari 4 kelereng putih
n(B) = 4C
3 = 4
P(B) = ����
���� =
�
��
Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih
= P(A) + P(B)
= �
�� +
�
�� =
��
Jadi, peluang terambil paling sedikit 2 kelereng
putih adalah
��.
11. Jawaban: c
Jumlah bola = 3 + 6 = 9
S1 = kejadian terambil 1 bola
n(S1) =
9C
1 = 9
A = kejadian terambil 1 bola kuning pada
pengambilan pertama
n(A) = 6C
1 = 6
P(A) = ����
���� =
�
� =
�
Jumlah bola di kotak sekarang = 9 – 1 = 8
S2= kejadian terambil 1 bola setelah terambil 1 bola
n(S2) =
8C
1 = 8
B = kejadian terambil 1 bola merah pada
pengambilan kedua
P(B) =
����
��� � =
�
A ∩ B = kejadian terambil bola kuning pada
pengambilan pertama dan bola merah
pada pengambilan kedua
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) =
� ×
�
=
�
�
Jadi, peluang terambil bola kuning kemudian merah
adalah �
�.
12. Jawaban: d
P(G) = P(gol) = �
�
P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – �
� =
�
A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penalti
dengan 2 tendangan gol
= {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)}
Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakan
kejadian saling bebas.
P(G, G, T) = �
� ×
�
� ×
� =
�
��
P(G, T, G) = �
� ×
� ×
�
� =
�
��
P(T, G, G) =
� ×
�
� ×
�
� =
�
��
Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol
= P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G)
= �
�� +
�
�� +
�
�� =
��
��
Jadi, peluang Ali untuk membuat 2 gol dalam
3 kali tendangan penalti adalah ��
��.
13. Jawaban: b
Banyak kartu kuning = n(K) = 2
Banyak kartu merah = n(M) = 4
Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 6
Kemungkinan kartu yang terambil M1K
2K
3,
K1M
2K
3, atau K
1K
2M
3.
M1K
2K
3= kejadian terambil pertama kartu merah,
kedua kartu kuning, ketiga kartu kuning
P(M1K
2K
3) = P(M
1) × P(K
2) × P(K
3)
= ����
���� ×
����
���� ×
����
����
= �
� ×
� ×
� =
�
K1M
2K
3= kejadian terambil pertama kartu kuning,
kedua kartu merah, ketiga kartu kuning
P(K1M
2K
3) = P(K
1) × P(M
2) × P(K
3)
= ����
���� ×
����
���� ×
����
����
=
� ×
�
� ×
� =
�
K1K
2M
3= kejadian terambil pertama kartu kuning,
kedua kartu kuning, ketiga kartu merah
P(K1K
2M
3) = P(K
1) × P(K
2) × P(M
3)
= ����
���� ×
����
���� ×
����
����
=
� ×
� ×
�
� =
�
Peluang terambil satu kartu merah:
P = P(M1K
2K
3) + P(K
1M
2K
3) + P(K
1K
2M
3)
=
� +
� +
� =
�
32 Peluang
14. Jawaban: c
S = kejadian Ari, Beta, Cika, Devi, dan Erna duduk
secara acak pada 5 kursi
n(S) = 5P
5 = 120
A = kejadian Ari duduk di pinggir
n(A) = 2 × 4P
4 = 48
B = kejadian Erna duduk di pinggir
n(B) = 2 × 4P
4 = 48
A ∩ B = kejadian Erna dan Ari duduk di pinggir
= 2 × 3P
3 = 12
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ����
���� +
����
���� –
���� ���
����
∩
= �
�� +
�
�� –
�
��
= �
��
= �
��
Jadi, peluang Ari atau Erna duduk di kursi paling
pinggir adalah �
��.
15. Jawaban: d
S = kejadian penyusunan ketua, sekretaris, dan
bendahara
n(S) = 10
P3 = 720
A = kejadian terpilih ketua laki-laki
n(A) = 6 × 9 × 8 = 432
B = kejadian terpilih sekretaris wanita
n(B) = 9 × 4 × 8 = 288
A ∩ B = kejadian terpilih ketua laki-laki dan
sekretaris wanita
n(A ∩ B) = 6 × 4 × 8 = 192
A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepas
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ����
���� +
����
���� –
���� ���
����
∩
= ��
�� +
�� –
��
�� =
�
�� =
��
��
Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris
wanita adalah ��
��.
B. Uraian
1. a. Misalkan dadu pertama = dadu merah dan
dadu kedua = dadu putih
A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu
merah
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n(A) = 6
P(A) = ����
���� =
�
��
4P
4
↑Ari
4P
4
↑Ari
4P
4
↑Erna
4P
4
↑Erna
P3
↑Ari
↑Erna
P3
↑Erna
↑Ari
2 orang telah terpilih.
Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
9 cara 4 cara 8 cara
Dipilih dari 4 wanita
1 orang telah terpilih sebagai sekretaris.
Sisa 9 orang.
2 orang telah terpilih.
Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
6 cara 9 cara 8 cara
1 orang telah terpilih sebagai ketua.
Sisa 9 orang.
Dipilih dari 6 laki-laki
2 orang telah terpilih.
Sisa 8 orang.
Ketua Sekretaris Bendahara
6 cara 4 cara 8 cara
Dipilih dari 4 wanita
Dipilih dari 6 lelaki
33Matematika Kelas XI Program IPA
B = kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu
putih
= 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
A ∩ B = {(3, 5)}
n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = ���� ���
����
∩ =
�
��
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= �
�� +
�
�� –
�
�� =
��
��
Jadi, peluang muncul mata dadu 3 pada dadu
merah atau muncul mata dadu 5 pada dadu
putih adalah ��
��.
b. Misal:
A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 6
= {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}
n(A) = 5
P(A) = ����
���� =
�
��
B = kejadian muncul jumlah mata dadu 10
= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}
n(B) = 3
P(B) = ����
���� =
�
��
A ∩ B = { } → P(A ∩ B) = 0
A dan B dua kejadian yang saling asing
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = �
�� +
�
�� =
�� =
�
Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu
6 atau 10 adalah
�.
c. Misal:
A = muncul mata dadu genap pada dadu
merah
B = muncul mata dadu genap pada dadu
putih
A ∩ B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4),
(4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
n(A ∩ B) = 9
P(A ∩ B) = �
�� =
�
�
Jadi, peluang muncul kedua mata dadu genap
adalah �
�.
d. Misal:
A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu
merah
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
P(A) = �
�� =
�
�
B = Kejadian muncul jumlah mata dadu 7
= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
A ∩ B = B ∩ A = {(3, 4)}
P(A ∩ B) = �
��
P(B | A) = ��� ��
����
∩ =
��� ��
����
∩ =
�
���
�
= �
�
Jadi, peluang muncul jumlah mata dadu 7 jika
muncul 3 pada dadu merah adalah �
�.
2. a. P(A) = peluang terambil kubus dari kotak A
= �
� =
�
P(B) = peluang terambil kubus dari kotak B
=
� =
�
�
P(C) = peluang terambil kubus dari kotak C
= �
�
P(A ∩ B ∩ C) =
� ×
�
� ×
�
� =
��
�
Jadi, peluang terambil ketiganya kubus ��
�.
b. P(D) = peluang ketiganya kubus = ��
�
P(E) = peluang ketiganya kerucut
= �
� ×
�
� ×
�
=
��
�
P(F) = Peluang ketiganya limas
= �
×
�
� ×
�
� =
��
�
Peluang ketiganya bangun yang sama:
P(D ∪ E ∪ F) = P(3K) + P(3Kr) + P(3L)
= ��
� +
��
� +
��
� =
�
�� =
�
�
Jadi, peluang terambil ketiganya bangun yang
sama �
�.
3. Diagram Venn:
Misal S = kejadian terpilih 1 siswa dari 36 siswa
n(S) = 36
C1 = 36
a. A = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga
voli dari 22 siswa gemar olahraga voli
n(A) = 22
C1 = 22
P(A) = ����
���� =
��
Jadi, peluang terpilih seorang siswa gemar
olahraga voli
��.
S V T
15 7 10
4
34 Peluang
b. B = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga
tenis dari 17 siswa gemar olahraga tenis
n(B) = 17
C1 = 17
P(B) = ����
���� =
��
��
Jadi, peluang terpilih 1 siswa gemar olahraga
tenis ��
��.
c. C = kejadian terpilih 1 siswa hanya gemar
olahraga voli dari 15 siswa hanya gemar
olahraga voli
n(C) = 15
C1 = 15
P(C) = ����
���� =
��
��
Jadi, peluang terpilih seorang siswa hanya
gemar olahraga tenis ��
��.
d. D = kejadian terpilih 1 siswa hanya gemar
olahraga tenis dari 10 siswa hanya gemar
olahraga tenis
n(D) = 10
C1 = 10
P(D) = ����
���� =
��
��
Jadi, peluang terpilih seorang siswa hanya
gemar olahraga tenis ��
��.
e. E = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga
voli dan tenis dari 7 siswa
n(E) = 7C
1 = 7
P(E) = ����
���� =
�
��
Jadi, peluang terpilih 1 siswa gemar olahraga
tenis �
��.
4. a. Pengambilan dilakukan secara acak dua
sekaligus.
Banyak buah = 9 + 6 = 15 buah
A = kejadian terambil 2 jeruk
P(A) = ����
���� =
�
��
�
� = ��
���
B = kejadian terambil 2 apel
P(B) = ����
���� =
�
��
�
� = ��
���
Peluang terambil dua buah dengan jenis yang
sama
= P(A) + P(B) = ��
��� +
��
��� =
��
���
b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa
pengembalian.
Peluang terambil dua jeruk:
P(Q) = P (jeruk pada pengambilan I)
× P (jeruk pada pengambilan II)
= � �
�� �
�
� × �
�� �
�
� =
�
�� ×
�� =
�
��
Peluang terambil dua apel:
P(R) = P (apel pada pengambilan I) × P (apel
pada pengambilan II)
=� �
�� �
�
� × � �
�� �
�
� = �
�� ×
�
�� =
��
��
Peluang terambil dua buah dengan jenis yang
sama
= P(Q) + P(R) = ��
�� +
�
�� =
��
�� =
��
��
5. Kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin:
B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu
= kejadian selalu muncul mata uang
= {Gambar, Gambar, Gambar}
P(B) = �
×
�
×
�
=
�
Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu �
.
Uang logam I
Gambar
Uang logam II
Gambar
Uang logam II
Angka
Uang logam III
Gambar
Uang logam III
Angka
Dadu genap
Dadu ganjil
Dadu genap
Dadu ganjil
Dadu genap
Dadu ganjil
Dadu genap
Dadu ganjil
Dadu genap
Dadu ganjil
Uang logam I
AngkaDadu genap
Dadu ganjil
35Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b
Banyak warna = 7
Banyak warna baru yang dapat dibuat = 7C
2 = 21
2. Jawaban: e
Banyak cara menempatkan bendera-bendera
tersebut
= 9P
7=
��
�� ���− = ��
�
= � � � � � � �
�
× × × × × × ×
= 181.440 cara
3. Jawaban: b
Tempat juara I sudah terisi, sehingga ada 2 tempat
yang tersisa.
Banyak cara menempatkan 4 anak pada 2 tempat
yang tersisa = 4P
2 = 12.
Jadi, ada 12 foto berbeda yang mungkin tercetak.
4. Jawaban: c
Anggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3
pemudi sebagai satu kelompok. Banyak cara
duduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P
4.
Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satu
kelompok adalah 3P
3.
Banyak cara duduk selang-seling pemuda dan
pemudi.
= 4P
4 ×
3P
3
= 4! × 3!
= 144
5. Jawaban: a
Banyak cara duduk 4 laki-laki mengelilingi meja
bundar (4 – 1)! = 3!
Banyak cara duduk 4 perempuan mengisi 4 tempat
di antara laki-laki = 4P
4 = 4!
Banyak cara duduk mengelilingi meja bundar
setiap perempuan duduk di antara dua laki-laki:
= 3! × 4!
= 6 × 24
= 144 cara
6. Jawaban: e
Banyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari
24 huruf = 24
P2
= 552.
Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari
10 angka = 10
P4.
Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10
P4.
= pemuda = 4! cara
= pemudi = 3! cara
P
L P
L
P
LP
L
7. Jawaban: c
1) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A
= 78
nC
2 = 78
⇔��
�� �� �− = 78
⇔��� ���� ��
�� ��
− −− = 78
⇔ n(n – 1) = 156
⇔ n2 – n – 156 = 0
⇔ (n + 12)(n – 13) = 0
n = –12 (tidak memenuhi)
n = 13
Banyak siswa sekolah A = 13 orang.
2) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B
= 105
nC
2 = 105
⇔��
�� �� �− = 105
⇔��� ���� ��
�� �� �
− −− ⋅ = 105
⇔ n(n – 1) = 210
⇔ n2 – n – 210 = 0
⇔ (n – 15)(n + 14) = 0
n = 15 atau n = –14 (tidak memenuhi)
Banyak siswa sekolah A = 15 orang.
Banyak siswa seluruhnya = 13 + 15 = 28 orang
Banyak jabat tangan dari 28 orang
= 28
C2 =
�
�� � = 378 cara.
8. Jawaban: c
n1
= banyak bilangan 35xx
= 1 × 1 × 3P
2
= 1 × 1 × 6 = 6
n2
= banyak bilangan di antara 3.600 dan 4.000
= 1 × 3 × 3P
2
= 1 × 3 × 6 = 18
n3
= banyak bilangan lebih dari 4.000
= 4 × 4P
3
= 4 × 24 = 96
Angka I Angka II Angka III Angka IV
1 cara 3P
2 cara1 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
1 cara 3P
2 cara3 cara
Angka I Angka II Angka III Angka IV
4 cara 4P
3 cara
36 Peluang
Banyak bilangan bernilai lebih dari 3.500
= n1 + n
2 + n
3
= 6 + 18 + 96 = 120
9. Jawaban: d
Bilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angka
dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan
permutasi.
Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka:
a. 0, 0, dan 6 ada ��
���= 3 bilangan
b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilangan
c. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan
d. 0, 3, dan 3 ada ��
���= 3 bilangan
e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan
f. 1, 4, dan 1 ada ��
���= 3 bilangan
g. 2, 2, dan 2 ada ��
��= 1 bilangan
Banyak bilangan kurang dari 1.000 dengan jumlah
angka penyusunnya 6
= 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 28
Jadi, ada 28 bilangan.
10. Jawaban: d
Banyak cara mengambil 3 buku = 5C
3
Banyak cara meletakkan 3 buku secara berderet
= 3P
3
Banyak cara mengambil dan meletakkan buku
= 5C
3 ×
3P
3
= 10 × 6 = 60
Cara lain:
Permasalahan tersebut merupakan permutasi 3 dari 5.
Banyak cara mengambil dan meletakkan buku
= 5P
3 = 60
Jadi, ada 60 cara.
11. Jawaban: b
Kata ANALISIS terdiri atas 8 huruf.
Banyak huruf A = 2
Banyak huruf I = 2
Banyak huruf S = 2
Banyak kata yang dapat dibentuk
= �
������� =
�����
= 5.040
Jadi, ada 5.040 kata yang dapat dibentuk.
12. Jawaban: b
Terdapat 3 kelas. Banyak susunan duduk
berdasarkan kelasnya ada 3! cara.
Wakil kelas XI IPA 1 dapat duduk dengan 4! cara.
Wakil kelas XI IPA 2 dapat duduk dengan 2! cara.
Wakil kelas XI IPA 3 dapat duduk dengan 3! cara.
Banyak cara mereka duduk
= 3! × 4! × 2! × 3!
= 6 × 24 × 2 × 6 = 1.728
13. Jawaban: e
Banyak cara mengambil 2 buah jeruk = 5C
2
Banyak cara mengambil 1 buah apel = 3C
1
Banyak cara mengambil 2 buah jeruk dan 1 buah
apel
= 5C
2 ×
3C
1
= 10 × 3
= 30
14. Jawaban: b
S = pelemparan dua dadu secara bersamaan
n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian hasil kali mata dadu yang muncul 12
= {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}
n(A) = 4
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
�
Jadi, peluang hasil kali mata dadu yang muncul
12 adalah �
�.
15. Jawaban: c
Ruang sampel urutan dua anak dengan satu anak
laki-laki
S = {LP, PL, LL} ⇒ n(S) = 3
A = kejadian 2 anak berjenis kelamin laki-laki
= {LL}
n(A) = 1
P(A) = ����
���� =
�
�
Jadi, peluang semuanya anak laki-laki �
�.
16. Jawaban: a
A = kejadian terpilih dua orang merupakan
suami istri
= kejadian terpilih 1 pasangan suami istri dari
6 pasang suami istri
n(A) =6C
1 = 6
n(S) = banyak kemungkinan terpilih dua orang
dari 6 pasangan (12 orang)
=12
C2 = 66
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
��
Peluang terpilih pasangan suami istri dari
6 pasangan yang ada �
��.
17. Jawaban: b
A = kejadian jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 10
= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3),
(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (5, 1), (4, 2),
(3, 3), (2, 4), (1, 5), (6, 1), (5, 2), (4, 3),
(3, 4), (2, 5), (1, 6), (6, 2), (5, 3), (4, 4),
(3, 5), (2, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)}
37Matematika Kelas XI Program IPA
P(A) =����
���� =
��
��
B = kejadian jumlah mata dadu yang muncul
bilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11)
= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),
(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),
(1, 6), (6, 5), (5, 6)}
P(A) =����
���� =
��
��
A ∩ B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),
(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),
(1, 6)}
P(A ∩ B) =��� ��
����
∩ =
��
��
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ��
�� +
��
�� –
��
�� =
�
�� =
�
Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 10 atau bilangan prima
�.
18. Jawaban: c
Jumlah bola = 3 + 2 = 5.
S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bola
n(S) = 5C
2 = 10
Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau
2 hitam.
A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putih
n(A) = 3C
2 = 3
P(A) = ����
���� =
�
��
B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bola
hitam
n(B) = 2C
2 = 1
P(B) = ����
���� =
�
��
Peluang bola yang terambil berwarna sama
= P (2 putih) + P (2 hitam)
= P(A) + P(B)
= �
�� +
�
�� =
�
�� =
�
Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama
�.
19. Jawaban: d
Misal:
S1
= kejadian terambil 1 kelereng dari 8 kelereng
n(S1) =
8C
1 = 8
A = kejadian terambil 1 kelereng putih dari
2 kelereng putih
n(A) = 2C
1 = 2
P(A) =
=
�
�
Setelah terambil kelereng putih, kelereng putih
tidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalam
kotak ada 7.
S2
= kejadian terambil 1 kelereng dari 7 kelereng
yang tersisa
n(S2) =
7C
1 = 7
B = kejadian terambil 1 kelereng putih dari
1 kelereng putih yang tersisa
n(B) = 1C
1 = 1
P(B) = �
�
Peluang terambil 2 kelereng putih:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
=�
� ×
�
� =
�
Jadi, peluang terambil dua-duanya berwarna putih�
.
20. Jawaban: d
Kemungkinan panitia yang terbentuk (2 putri,
2 putra), (1 putri, 3 putra), atau 4 putra.
Jumlah siswa = 5 + 5 = 10.
Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 10
C4
P(A) = peluang panitia yang terbentuk 2 putri dan
2 putra
= � �
�� �
� �
�
×
= �� ��
��
× =
��
�
P(B) = peluang panitia yang terbentuk 1 putri dan
3 putra
= � � � �
�� �
� �
�
×
= � ��
��
× =
�
�
P(C) = peluang panitia yang terbentuk 4 putra
= � �
�� �
�
�
= �
�� =
�
�
Peluang panitia yang terbentuk terdiri paling banyak
2 siswa putri
= P(A) + P(B) + P(C) = ��
� +
�
� +
�
� =
��
�
21. Jawaban: d
Peluang terpilih dompet I = �
.
Dompet I berisi 5 keping uang logam lima ratusan
dan 2 keping ratusan rupiah.
Peluang terpilih uang ratusan =
�.
A = kejadian terpilih dompet I dan terpilih uang
ratusan rupiah
38 Peluang
P(A) = �
×
� =
�
�
Peluang terpilih dompet II = �
.
Dompet II berisi 1 keping lima ratusan dan 3 keping
ratusan rupiah.
Peluang terpilih uang ratusan = �
�.
B = kejadian terpilih dompet II dan terpilih uang
ratusan
P(B) = �
×
�
� =
�
Peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah
= P(A) + P(B)
= �
� +
�
=
�� +
�
�� =
�
��
Jadi, peluang mendapatkan uang logam ratusan
rupiah adalah �
��.
22. Jawaban: a
Lisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 elemen,
maka permasalahan menjadi permutasi siklis
dari 4 elemen. Adapun cara duduk Lisa, Tera, dan
Wisnu ada 3! cara.
A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahan
n(A) = 3! × permutasi siklis 4 elemen
= 3!(4 – 1)! = 36
n(S) = permutasi siklis 6 elemen
= (6 – 1)! = 5! = 120
P(A) =����
���� =
��
�� =
�
��
Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahan �
��.
23. Jawaban: c
Dalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan
16 bola lampu hidup.
A = kejadian pengambilan pertama mendapat dua
bola lampu mati
P(A) = ����
���� = �
�
�
� =
�
��� =
�
��
Dua bola lampu mati yang telah terambil tidak
dikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat
2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup.
B = kejadian pengambilan kedua mendapat dua
bola lampu hidup
P(B) = ����
���� =
��
�
�
� = ��
��� =
��
��
A ∩ B = kejadian pengambilan pertama mendapat
dua bola lampu mati dan pengambilan
kedua mendapat dua bola lampu hidup
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= �
�� ×
��
��
=
��
Jadi, peluang pengembalian dengan kedua bola
lampu mati dan pengambilan kedua dengan kedua
bola lampu hidup adalah
��.
24. Jawaban: e
S = kejadian terpilih 3 orang dari 30 orang
n(S) = 30
C3 =
���
�� �� =
�� � ��
�� � �
× × ×× × ×
= 4.060
A = kejadian terpilih 3 pria dari 10 pria
n(A) =10
C3
= ���
�� �� =
�� � ��
�� � �
× × ×× × × = 120
B = kejadian terpilih 3 orang berambut keriting
dari 15 orang
N(B) = 15
C3 =
���
�� �� =
�� �� �� ��
�� � �
× × ×× × × = 455
A ∩ B = kejadian terpilih 3 orang pria dan berambut
keriting
n(A ∩ B) = 5C
3 =
��
� �� =
� � ��
� ��
× ×× × = 10
A ∪ B = kejadian terpilih ketiganya pria atau
berambut keriting:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ����
���� +
����
���� –
��� ��
����
∩
= ��
����� +
���
����� –
��
����� =
���
�����
Jadi, peluang terpilih ketiganya pria atau berambut
keriting adalah ���
�����.
25. Jawaban: e
Misalkan x = banyak siswa tidak gemar basket
dan futsal
Berambut keriting
Berambut tidak keriting
Jumlah
JumlahWanitaPria
5
5
10
10
10
20
15
15
30
S A B
45 – 25 25 50 – 25
x
39Matematika Kelas XI Program IPA
n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)′⇔ 100 = ((45 – 25) + 25 + (50 – 25)) + x
⇔ 100 = 70 + x
⇔ x = 30
C = kejadian terpanggil 1 siswa yang tidak gemar
basket dan futsal
n(C) = 30
C1 = 30
S = kejadian terpanggil 1 siswa dari 100 siswa
n(S) = 100
C1 = 100
P(C) = ����
���� =
��
��� =
�
��
Jadi, peluang siswa yang terpanggil tidak gemar
basket dan futsal adalah �
��.
26. Jawaban: b
P(B) = 1 – P(Bc) = 1 – 0,45 = 0,55
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇔ 0,85 = P(A) + 0,55 – 0,45
⇔ P(A) = 0,85 – 0,55 + 0,45 = 0,75
P(Ac) = 1 – P(A)
= 1 – 0,75
= 0,25
27. Jawaban: a
Banyak percobaan: N = 165
Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11
Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 11
C2 = 55
Kemungkinan uang logam yang terambil 2 uang
logam seribuan atau 1 uang logam seribuan dan
1 uang logam lima ratusan.
A = kejadian terambil 2 uang logam seribuan
n(A) = 8C
2 = 28
P(A) = ����
���� =
��
B =kejadian terambil 1 uang logam seribuan dan
1 uang logam lima ratusan
n(B) = 8C
1 ×
3C
1 = 8 × 3 = 24
P(B) = ����
���� =
�
��
Peluang terambil uang logam seribuan:
P = P(A) + P(B) =
�� +
�
�� =
�
��
Fh
= P × N = �
�� × 165 = 156
Jadi, frekuensi harapan selalu terambil uang logam
seribuan adalah 156 kali.
28. Jawaban: b
A = kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya
bilangan ganjil
= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1),
(5, 3), (5, 5)}
n(A) = 9
n(S) = 36
P(A) = ����
���� =
�
�� =
�
�
Fh(A) = P(A) × n =
�
� × 100 = 25 kali
Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu yang
hasil kalinya bilangan ganjil adalah 25 kali.
29. Jawaban: a
Jumlah bola = 5 + 4 = 9
S = kejadian terambil 3 bola dari 9 bola
n(S) = 9C
3
= �
��
= � � ��
�� �
× × ××
= 84
A = kejadian terambil sekurang-kurangnya 2 bola
putih
Kemungkinan bola yang terambil:
• 2 bola putih, 1 bola hitam
• 3 bola putih
A1 = kejadian terambil 2 bola putih, 1 bola hitam
n(A1) =
5C
2 ×
4C
1
= ��
�� � ×
��
�� ��
= � � ��
�� �
× × ×
� ��
�� ��
×
= 10 × 4 = 40
P(A1) =
���� �
���� =
��
�
A2 = kejadian terambil 3 bola putih
n(A2) =
5C
3
= � � ��
�� �
× ×
= 10
P(A2) =
��� �
���� =
��
�
P(A) = P(A1) + P(A
2)
= ��
� +
��
�
= ��
�
Fh(A) = n × P(A)
= 84 × ��
�
= 50 kali
Jadi, frekuensi harapan terambil sekurang-
kurangnya 2 bola putih adalah 50 kali.
40 Peluang
30. Jawaban: d
A = kejadian pelamar hanya lulus tes tertulis
P(A) = 0,4
Banyak pelamar yang hanya lulus tes tertulis
= Fh(A)
= P(A) × n
= 0,4 × 40
= 16 orang
B = kejadian pelamar hanya lulus tes wawancara
P(B) = 0,2
Banyak pelamar yang hanya lulus tes wawancara
= Fh(B)
= P(B) × n
= 0,2 × 40
= 8 orang
Banyak pelamar yang hanya lulus tes tertulis atau
wawancara = 16 + 8 = 24 orang.
B. Uraian
1. a. (n + 3)! = 6(n + 2)!
⇔ (n + 3) (n + 2)! = 6(n + 2)!
⇔ n + 3 = 6
⇔ n = 3
Jadi, nilai n yang memenuhi 3.
b. 7 · nP
2 = 4 ·
n + 2C
3
⇔ 7 · ��
�� ��− = 4 · �� ��
���� ���
+−
⇔ 7 ·��� ���� ��
�� ��
− −− = 4 ·
�� ��� ����� ���
���� ���
+ + −−
⇔ 7n(n – 1) =
�(n + 2)(n + 1)n
⇔ 21(n – 1) = 2(n2 + 3n +2)
⇔ 21n – 21 = 2n2 + 6n + 4
⇔ 2n2 – 15n + 25 = 0
⇔ (2n – 5)(n – 5) = 0
⇔ 2n – 5 = 0 atau n – 5 = 0
⇔ n = 2�
atau n = 5
Oleh karena n ∈ bilangan bulat maka n = 5.
Jadi, nilai n yang memenuhi 5.
2. a. 2 foto yang disusun selalu bersama-sama
dianggap sebagai 1 benda.
Permasalahan menjadi permutasi dari 6 – 1 =
5 benda yaitu ada 5P
5 cara.
Penyusunan 2 foto yang selalu bersama-
sama ada 2P
2 cara.
Banyak cara seluruhnya
= 2P
2 ×
5P
5
= 2! × 5!
= 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 240 cara
Jadi, banyak cara menyusun foto dengan
2 foto selalu bersama-sama ada 240 cara.
b. Banyak 6 foto dipasang dengan tidak ada
batasan cara = 6P
6
= 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720 cara
Banyak foto dipasang dengan 2 foto selalu
bersama-sama = 2P
2 ×
5P
5
= 2! × 5!
= 2 · 1 × 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= 240 cara
Jadi, banyak cara menyusun 6 foto
dengan 2 foto tidak pernah bersama-sama
= 720 – 240 = 480 cara.
3. a. Banyak cara membentuk kelompok
= banyak cara memilih 7 siswa dari 12 siswa
= 12
C7
= 792
b. n1
= banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 4 putra dan 3 putri
= 8C
4 ×
4C
3
= 70 × 4
= 280
n2
= banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 5 putra dan 2 putri
= 8C
5 ×
4C
2
= 56 × 6
= 336
n3
= banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 6 putra dan 1 putri
= 8C
6 ×
4C
1
= 28 × 4
= 112
n4
= banyak cara membentuk kelompok
beranggotakan 7 putra
= 8C
7
= 8
Banyak cara membentuk kelompok dengan
anggota kelompok putra paling sedikit empat
= n1 + n
2 + n
3 + n
4
= 280 + 336 + 112 + 8
= 736
4. Bentuk taman yang diinginkan
Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)!
= 2!
= 2
Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)!
= 5!
= 120
I
II II
II II
I II II I
41Matematika Kelas XI Program IPA
Banyak cara menanam pohon-pohon itu
= 2 × 120 = 240 cara.
5. Password terdiri atas 4 huruf. Huruf pertama diawali
dengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih dari
huruf p, q, r, t, u, dan v.
Banyak huruf yang dapat dipilih
= 6C
3
= ��
�� ��
= � � � ��
�� ��
× × ××
= 20 cara
Banyak angka yang dapat dipilih:
= 4C
2
= ��
� �
= � � �
�
× × ××
= 6 cara
Banyak susunan password yang dapat disusun
= 5
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara.
Banyak password yang dapat dibentuk
= 20 × 6 × 120
= 14.400 cara
Jadi, banyak password yang dapat disusun ada
14.400 cara.
6. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartu
n(S) = 52
C13
R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack
= kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan
9 kartu sembarang dari 48 kartu selain Jack
n(R) = 4C
4 ×
48C
9
P(R) = ����
����=
� � � �
� ��
� �
�
×
=
��
��� ��
��
��� ���
�×
= ��
�� ×
���
��
= �� � �� ��
�� �� �� ��
× × ×× × × =
��
�����
Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack ��
�����.
7. Jumlah uang logam = 8 + 3 = 11
Kemungkinan uang logam yang terambil pertama
seribuan dan kedua lima ratusan, atau pertama
lima ratusan dan kedua seribuan.
P(A) = peluang terambil uang logam seribuan pada
pengambilan pertama dan uang logam lima
ratusan pada pengembalian kedua
P(A) =
�� ×
�
�� =
�
���
B = kejadian terambil uang logam lima ratusan
pada pengambilan pertama dan uang logam
seribuan pada pengambilan kedua
P(B) = �
�� ×
�� =
�
���
Peluang terambil uang logam seribuan satu kali:
P = P(A) + P(B)
= �
��� +
�
���
= �
���
= �
��
8. Jumlah bola = 6 + 4 + 8 = 18
S = kejadian terambil 2 bola dari 18 bola
n(S) = 18
C2
= ��
��� �
= � �� ���
���
× ××
= 153 kali
Kemungkinan bola yang terambil adalah
(1P, 1H), (1P, 1K), dan (1K, 1H)
A = kejadian bola yang terambil 1 putih dan 1 hijau
n(A) = 6C
1 ×
4C
1
= 6 × 4
= 24
B = kejadian bola yang terambil 1 putih dan
1 kuning
n(B) = 6C
1 ×
8C
1
= 6 × 8
= 48
C = kejadian bola yang terambil 1 kuning dan
1 hijau
n(C) = 8C
1 ×
4C
1
= 8 × 4
= 32
Peluang terambil bola berbeda warna:
P = P(A) + P(B) + P(C)
= ����
���� +
����
���� +
����
����
= �
��� +
�
��� +
�
���
= ���
���
Fh(P) = P × n
= ���
��� × 306
= 208
Jadi, frekuensi harapan terambil bola berbeda
warna 208.
42 Peluang
9. A = kejadian Ratna lulus ujian Matematika
P(A) = 0,82
B = kejadian Ratna lulus ujian Fisika
P(B) = 0,64
B′ = kejadian Ratna tidak lulus ujian Fisika
P(B′) = 1 – 0,64
= 0,36
a. Peluang Ratna lulus ujian Matematika atau
Fisika
= P(A) + P(B)
= 0,82 + 0,64
= 1,46
b. Peluang Ratna lulus ujian Matematika tetapi
tidak lulus ujian Fisika
= P(A ∩ B′)= P(A) × P(B′)= 0,82 × 0,36
= 0,2952
10. a. A = kejadian nasabah tidak bermasalah
dalam angsuran kreditnya
A′ = kejadian nasabah yang macet angsuran-
nya
P(A) = 0,82
P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0,82 = 0,18
Jadi, peluang kejadian nasabah macet
angsurannya 0,18.
b. Fh(A) = n × P(A) = 20.000 × 0,82 = 16.400
Jadi, 16.400 nasabah akan tepat waktu dalam
membayar angsuran.
43Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
Banyak karyawan
= ����
�������� �� × banyak karyawan SMA
= ����
��� × 24
= 5 × 24
= 120 orang
2. Jawaban: c
Persentase karyawan lulusan sarjana
= 100% – (20% + 25% + 10%)
= 100% – 55%
= 45%
Banyak karyawan lulusan sarjana
n = persentase sarjana × banyak karyawan
= 45% × 120
= 54 orang
3. Jawaban: b
Jumlah siswa ada 40.
Jumlah siswa yang memperoleh nilai 70 dan 80
= 40 – (2 + 7 + 4 + 2)
= 40 – 15 = 25
Perbandingan banyak siswa yang memperoleh nilai
70 dan 80 adalah 2 : 3.
Banyak siswa yang memperoleh nilai 70
= �
� �+ × 25
= �
� × 25
= 10
4. Jawaban: a
� = �
� �
�� �
� ��
⋅∑=Σ
= �� � �� � �� �� � �� � �� � �� � ��
���
× + × + × + × + × + × + ×
= ���
���
= 8,3
Jadi, rata-rata dari data tersebut 8,3.
5. Jawaban: b
Banyak data: n = 25
Median di kelas interval 20–23.
Me
= L + ��
���
��
� �
�
⋅ −
· p
= 19,5 +
�
��� �
�
⋅ −
· 4
= 19,5 + 3 = 22,5
Modus di kelas interval 16 – 19.
M0
= L + �
� �
�
� �
+
· P
= 15,5 + �
� �
+
· 4 ≈ 18,9
Jadi, median dan modus pendapatan tahunan
pekerja berturut-turut $22.500 dan $18.900.
6. Jawaban: b
x° + 3x° = 360° – (90° + 70°)
⇔ 4x° = 360° – 160°
⇔ 4x° = 200°
⇔ x = 50
Anak yang memilih sepak bola
3x° = 150°
��
�=
��
���
°°
⇔ y = ��� ��
��
° ×° =
�����
�� = 60
Jadi, jumlah anak yang memilih sepak bola
60 orang.
7. Jawaban: d
� = � � � � � � � � � � � ��
� � � � � �
× + × + × + × + × + ×+ + + + +
= �� �� �� �� � ��
��
+ + + + +
= ���
�� = 7
Jadi, jumlah siswa yang nilainya di atas rata-rata
(nilai 7) adalah 6 + 1 + 1 = 8.
8. Jawaban: e
Banyak siswa laki-laki : banyak siswa perempuan
= 7 : 8
Banyak siswa laki-laki = n1 =
�
�� × 30 = 14 orang
44 Ulangan Tengah Semester
Banyak siswa perempuan = n2
= �
�� × 30
= 16 orang
Rata-rata nilai siswa laki-laki = �1 = 7,6
Rata-rata nilai siswa perempuan = �2 = 8
Nilai rata-rata siswa dalam kelas
= � � � �
� �
� � � �
� �
++
= �� ��� �� �
�� ��
× + ×+
= ����� ���
��
+
= �����
�� = 7,813
9. Jawaban: c
�� =
�
�� �
�
�
=Σ
⇔�
�� �
�=Σ = 8 × �� = 8 × 94
= 752 kg
�� =
�
� �� �
� �
�
=Σ +
⇔ 92 = ���� �
�
+
⇔ x9
= 9 × 92 – 752
= 828 – 752 = 76
Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut
76 kg.
10. Jawaban: e
Modus di kelas interval 09.33–09.35.
Mo
= L + �
� �
�
� �
+
· p
= 09.32'.30'' + ��
�� �
+
· 3
= 09.32'.30'' + ��
��
= 09.32'.30'' + 2,25
= 09.32'.30'' + 2'.15''
= 09.34'.45''
Jadi, modus dari waktu kedatangan bus tersebut
09.34'.45''.
11. Jawaban: d
Banyak data: n = 25
Median di kelas interval ketiga (5 – 6).
Me
= L + ��
���
��
� �
�
⋅ −
· P
= 4,5 +
�
��� �
�
⋅ −
· 2
≈ 4,5 + 0,78 = 5,28
12. Jawaban: a
Diperoleh tabel berikut.
Q1
= nilai data ke-���� ��
�
+
= nilai data ke-125,25
Q1 di kelas interval 21 – 30.
Q1
= L + �
�
��!�
!
��� �
�
⋅ −
· p
= 20,5 + ��� ��
��
−
· 10
= 20,5 + ��
��
· 10
= 20,5 + 6,25 = 26,75
Jadi, kuartil bawah data tersebut 26,75.
13. Jawaban: e
Q1
= nilai data ke-�� �
�
+
= nilai data ke-15,25
Q1 di kelas interval 61 – 70.
Q1
= L + �
�
��!�
!
� �
�
−
· p
= 60,5 + �� ��
��
−
· 10
= 60,5 + 5 = 65,5
Q3
= nilai data ke-���� ��
�
+
= nilai data ke-45,75
Q3 di kelas interval 81 – 90.
Q3
= L + �
�
��!�
!
� �
�
−
· p
= 80,5 + �� ��
��
−
· 10
= 80,5 + 1 = 81,5
Tinggi Tumbuhan
1 – 10
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
fk
29
75
155
263
395
458
500
fi
29
75 – 29 = 46
155 – 75 = 80
263 – 155 = 108
395 – 263 = 132
458 – 395 = 63
500 – 458 = 42
xi
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
101 – 110
Jumlah
fi
3
7
10
24
10
4
2
60
fk
3
10
20
44
54
58
60
45Matematika Kelas XI Program IPA
Jangkauan antarkuartil
= Q3 – Q
1
= 81,5 – 65,5
= 16
14. Jawaban: d
Kuartil pertama (Q1)
Q1 di kelas interval 55 – 59.
Q1
= L + �
�
��!�
!
� �
�
−
· p
= 54,5 + �
��� �
�
× −
· 5
≈ 54,5 + 0,83
= 55,33
Kuartil atas (Q3) di kelas interval 65 – 69.
Q3
= L + �
�
��!�
!
� �
�
−
· p
= 64,5 + �
��� ��
�
× −
· 5
= 64,5 + 2,5
= 67
Rataan kuartil:
Rk
= �
� (Q
1 + Q
3)
= �
� (55,33 + 67)
= 61,165
≈ 61,17
15. Jawaban: b
Desil ke-6 = D6 terletak di kelas 60–64.
L6
= 59,5
fD6
= 5
ΣfD6
= 15
D6
= L6 + �
�
�"��
"
� �
�
− Σ
· p
= 59,5 +
�#
���� ��
�
−
· 5
= 59,5 + �� ��
�
−
· 5
= 59,5 + 3 = 62,5
16. Jawaban: b
� = � � � � � �
�
+ + + + +
= ��
� = 6
Simpangan rata-rata
= �& � �&
�
Σ −
= & � � & & � � & & � � & & � � & & � � & & � � &
�
− + − + − + − + − + −
= � � � � � �
�
+ + + + +
= �
� = 1
�
�
17. Jawaban: e
� = � � � � � � � � �
��
⋅ + ⋅ + + ⋅ + +
= ��
�� = 6
���
�� �
�� ��=
−∑ = 2(4 – 6)2 + 3(5 – 6)2 + (6 – 6)2 +
2(7 – 6)2 + (8 – 6)2 + (9 – 6)2
= 2 · 4 + 3 · 1 + 0 + 2 · 1 + 4 + 9
= 26
Simpangan baku:
s =
���
�� �
�� ��
�
=−∑
= ��
��
= ��
�
18. Jawaban: d
� = � �
� ��
�� �
�� �
�
=
=
⋅∑
∑
= � �� � �� � �� � �� � �� � ��
� � � � � �
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +
= ���
��
= 17
��
� �� �
� �� ��=
−∑ = 6(15 – 17)2 + 3(16 – 17)2 + 3(17 – 17)2
+ 3(18 – 17)2 + 3(19 – 17)2
+ 2(20 – 17)2
= 6 · 4 + 3 · 1 + 3 · 0 + 3 · 1 + 3 · 4
+ 2 · 9
= 60
Variansi: s2 =
��
�� �
�
�� �
� �� ���
�
=
=
−∑
∑ =
��
�� = 3
46 Ulangan Tengah Semester
19. Jawaban: a
Simpangan rata-rata
=
�
� � �� �
�
�� �
� & � � &
�
=
=
−∑
∑
= � & �� �� & � & �� �� & � & �� �� & � & �� �� & � & �� �� & � & �� �� &
� � � � � �
− + − + − + − + − + −+ + + + +
= � � � � � � � � � � � �
��
× + × + × + × + × + ×
= �� � � � � �
��
+ + + + +
= ��
��
= �
�
= 1,5
20. Jawaban: d
�� = � � � �� � � � � � �
�
+ + + +
= 15
�� = � � � �� � � � � � � � � � �
�
− + − + − + + −
= � � � �� � � � � � � � � � � � � �
�
+ + + + − − − − −
= � � � �� � � � � � �
�
+ + + + –
� �
�
= 15 – 2
= 13
21. Jawaban: c
Banyak kaos = 4
Banyak celana = 3
Banyak kaos kaki = 2
Banyak variasi kostum = 4 × 3 × 2 = 24
22. Jawaban: e
Banyak huruf = 12
Banyak huruf N = 2
Banyak huruf A = 2
Banyak huruf I = 2
Banyak huruf S = 2
Banyak susunan huruf = ��*
�* �*�*�*
= �� ��*
��
×
= �
� × 11!
23. Jawaban: e
Tiga orang yang selalu duduk berdampingan
dianggap 1 unsur sehingga permasalahan menjadi
permutasi siklis dari 6 unsur.
Banyak cara duduk 3 orang yang berdampingan =
3P
3 = 3!
Banyak cara duduk delapan orang
= 3! (6 – 1)!
= 3! 5!
= 720
24. Jawaban: c
n + 1P
3 = 7 ·
nP
2
⇔ �� ��*
�� � ��*
++ −
= � �*
�� ��*
⋅−
⇔ �� �� �*
�� ��*
+−
= ��*
�� ��*−⇔ n + 1 = 7
⇔ n = 6
25. Jawaban: d
Banyak bilangan yang dapat dibentuk
= 10 × 3P
2
= 10 × 6 = 60
26. Jawaban: b
Kemungkinan yang terpilih 2 anak laki-laki dan 3
anak perempuan, 1 anak laki-laki dan 4 anak
perempuan, dan 5 anak perempuan.
Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dan 3 anak
perempuan
= 10
C2 ×
5C
3
= ��*
�* �* ×
�*
�* �*
= �� � �*
�* � �
× ×× ×
× � � �*
�* � �
× ×× ×
= 45 × 10
= 450
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
3
5
1
5
1
3
5
1
3
3P
2
I II III IV
n suku
47Matematika Kelas XI Program IPA
Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dan 4 anak
perempuan = 10
C1 ×
5C
4
= ��*
�* �* ×
�*
�*�*
= �� �*
�*
× ×
� �*
�* �
××
= 10 × 5 = 50
Banyak cara memilih 5 anak perempuan
= 5C
5
= �*
�* �*
= 1
Jadi, banyaknya cara memilih paling banyak 2 anak
laki-laki disertakan adalah 450 + 50 + 1 = 501
cara.
27. Jawaban: b
Misal:
A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 2
B = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 3
C = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 5
D = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 7
E = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 11
A = {(1, 1)}
B = {(1, 2), (2, 1)}
C = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
D = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
E = {(5, 6), (6, 5)}
Peluang muncul jumlah kedua mata dadu prima
sebagai berikut.
P = �� � ��;� ��<� ��"� ��>�
����
+ + + +
= � � � � �
��
+ + + +
= ��
�� =
�
��
28. Jawaban: a
A = kejadian muncul angka genap pada dadu
pertama
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua
= {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)}
A ∩ B = {(2, 4), (4, 4), (6, 4)}
n(A) = 18, n(B) = 6, n(A ∩ B) = 3
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= �� �
���� +
��;�
���� –
�� ;�
����
∩
= ��
�� +
�
�� –
�
��
= ��
�� =
�
��
29. Jawaban: c
M = kejadian muncul bilangan prima pada dadu
pertama dan bilangan ganjil pada dadu
kedua
= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5),
(5, 1), (5, 3), (5, 5)}
n(M) = 9
P(M) = ����
���� =
�
�� =
�
�
30. Jawaban: d
Pada pengambilan pertama terambil kelereng biru,
sehingga tersisa 2 kelereng merah, 3 kelereng
putih, dan 4 kelereng hijau.
A = kejadian terambil kelereng hijau jika pada
pengambilan pertama terambil kelereng biru
P(A) = � �
� �
<
< = �
�
31. Jawaban: a
M = kejadian terambil bola putih pada pengambil-
an pertama
P(M) = � �
�� �
<
< = �
�� =
�
�
N = kejadian terambil bola kuning pada
pengambilan kedua setelah kejadian
pengambilan bola pertama
P(N) = � �
�� �
<
< = �
��
P(M ∩ N) = P(M) × P(N)
= �
� ×
�
�� =
�
��
32. Jawaban: e
n(S) = banyak cara mengambil 4 kelereng dari 12
kelereng
=12
C4
=��*
�* �*
=�� �� �� � �*
�* � � � �
× × × ×× × ×
= 11 × 5 × 9 = 495
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6,6)
48 Ulangan Tengah Semester
A = kejadian terambil 3 kelereng merah dan
1 hijau
n(A) = banyak cara mengambil 3 kelereng merah
dan 1 hijau
n(A) =4C
3 ×
4C
1
=�*
�* �* × 4
=� �*
�*
× × 4
= 16
P(A) = �� �
����
= ��
���
33. Jawaban: a
Banyak bola = 5 + 8 + 7 + 4 = 24
Banyak bola merah dan bola putih
= 5 + 8 = 13
A = kejadikan terambil baik bola merah atau bola
putih
P(A) = �� �
�� �
<
< = ��
��
34. Jawaban: d
Banyak bola selain bola kuning
= 8 + 3 + 4 = 15
A = kejadikan terambil bola selain bola kuning
P(A) = �� �
�� �
<
<
= ���
���
= ��
��
35. Jawaban: a
Misal B kejadian muncul mata dadu bilangan
komposit.
B = {4, 6} ⇒ n(B) = 2
Frekuensi harapan
= P(B) × n
= ��;�
���� × 72
= �
� × 72
= 24
36. Jawaban: d
A = {bilangan tidak ganjil maupun prima}
= {bilangan genap} – {2}
= {4, 6, 8, . . . , 50}
n(A) = 25 – 1 = 24
P(A) = �� �
����
= ��
��
= ��
��
37. Jawaban: c
A = kejadian terambil kartu berwarna hitam
n(A) = 26
B = kejadian terambil kartu berangka 10
n(B) = 4
n(A ∩ B) = 2
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ��
�� +
�
�� –
�
��
= ��
��
= �
��
38. Jawaban: e
Pada pengambilan pertama terambil kartu 10.
Pada pengambilan kedua diperoleh:
n2 = n – 1 = 51
A = kejadian terambil kartu angka lebih dari 5 pada
pengambilan kedua
n(A) = 4 × 5 – 1 = 19
P(A) = �
�� �
� =
��
��
39. Jawaban: c
B = kejadian tidak muncul gambar atau angka pada
kedua uang logam
= {(A, A), (G, G)}
n(B) = 2
P(B) = ��;�
�
= �
� =
�
�
40. Jawaban: b
Misal:
A = kejadian muncul mata dadu bilangan prima
B = kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil
Diperoleh:
A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3
B = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3
A G
A (A, A) (A, G)
G (G, A) (G, G)
49Matematika Kelas XI Program IPA
Peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima
atau ganjil:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= �� �
���� +
��;�
���� –
�� ;�
����
∩
= �
� +
�
� –
�
�
= �
� =
�
�
Frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan
prima atau ganjil
= P(A ∪ B) × n
= �
� × 108
= 72
B. Uraian
1. Besar sudut pada merek D
= 360° – (25° + 30° + 15° + 75° + 60°)
= 360° – 315°
= 45°
Besar sudut pada merek E = 75°
;��� ?���� "
;��� ?���� >=
��
��
°°
Banyak merek D = ��
��
°° × banyak merek E
= �
� × 240
= 144
Jadi, komputer merek D terjual 144 unit.
2.
� = � �
�
��
�
ΣΣ
⇔ 20,5 = ����� ����
�� ��
++
⇔ 1.332,5 + 143,5n = 1.450 + 120n
⇔ 23,5 n = 117,5
⇔ n = 5
Banyak data = 65 + 7n = 65 + 7 · 5 = 100.
Me = nilai data ke-
�
�(100 + 1) = nilai data ke-50,5
Median di kelas interval 18 – 22.
Me
= L2 + �
�
����
�
�
�
−
· p
= 17,5 + �� ��
��
−
· 5
= 17,5 + ��
�� · 5
= 17,5 + 4 = 21,5
Jadi, median data tersebut 21,5.
3.
Kuartil atas terletak pada data urutan
ke-�
� (70 + 1) = 52,25, yaitu pada interval
150 – 154.
Q3
= L + �
�
�!
!
�
�� �
�
− × p
= 149,5 + ���� ��
��
−
· 5
≈ 149,5 + 4,11 = 153,61
P30
= nilai data ke-��
��� (70 + 1) = nilai data
ke-21,3
P30
di kelas interval 145 – 149
P3
= L + ��
��
�������
�
� �
�
−
= 144,5 +
��
����� ��
��
⋅ −
· 5
= 144,5 + 0
= 144,5
4. � = @H?OU �
W��� �
⇔ q = �� � �� �� �� ��
�
+ + + + +
⇔ 5q = 110 + 3p
�� =
� � � � �
� � � � �� �� �� � �� ��� �� � �� �� � �� �� � �� ��
�
⋅ + + + + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +
⇔ 20 = �
���� � �� �� �� ��� � �
�
+ + + + + + ⋅
xi
5
10
15
20
25
30
Jumlah
5
2n
15
5n
30
15
65 + 7n
25
20n
225
100n
750
450
1.450 + 20n
fi
fix
i
Ukuran fk
135 – 139
140 – 144
145 – 149
150 – 154
155 – 159
160 – 164
9
21
41
55
64
70
fi
9
21 – 9 = 12
41 – 21 = 20
55 – 41 = 14
64 – 55 = 9
70 – 64 = 6
50 Ulangan Tengah Semester
⇔ 20 = �
�
��� � �� �� �� ���
�
+ + + + + + 3
⇔ 20 = �
�q + 3
⇔ �
�q = 17
⇔ q = 34
Substitusi q = 34 ke 5q = 110 + 3p diperoleh:
5 · 34 = 110 + 3p
⇔ 3p = 60
⇔ p = 20
Jadi, nilai p = 20 dan q = 34.
5. � = 4
⇔ W � � W
�
− + + + += 4
⇔ 2a = 4
⇔ a = 2
Data menjadi: 2 – b, 4, 8, 2 + b
Variansi = 6,5
⇔��
�
Σ – ( � )2 = 6,5
⇔� � � ��� W� � � �� W�
�
− + + + + – 42 = 6,5
⇔� �� �W W �� �� � �W W
�
− + + + + + + = 22,5
⇔ 2b2 + 88 = 90
⇔ 2b2 = 2
⇔ b = ±1
Jadi, nilai a = 2 dan b = –1 atau b = 1.
6. Komite yang terbentuk kemungkinan terdiri atas 5
guru laki-laki dan 1 guru perempuan atau 4 guru
laki-laki dan 2 guru perempuan.
Banyak cara membentuk komite
= 7C
5 ×
5C
1 +
7C
4 ×
5C
2
= �*
�*�* ×
�*
�*�* +
�*
�*�* ×
�*
�*�*
= � �
� �
×× ×
�
� +
� � �
� � �
× ×× × ×
� �
� �
××
= 105 + 350
= 455
7. Jumlah kelereng dalam kotak = 20.
Pasangan kelereng yang mungkin terambil adalah
(putih, kuning), (putih, merah), (putih, biru), atau
(putih, putih).
Peluang terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua kuning:
P (putih, kuning) = �
�� ×
�
�� =
��
���
Peluang terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua merah:
P (putih, merah) = �
�� ×
�
�� =
��
���
Peluang terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua biru:
P (putih, biru) = �
�� ×
�
�� =
�
���
Peluang terambil kelereng pertama putih dan
kelereng kedua putih:
P (putih, putih) = �
�� ×
�
�� =
��
���
Peluang terambil kelereng pertama putih:
P = P (putih, kuning) + P (putih, merah)
+ P (putih, biru) + P (putih, putih)
= ��
��� +
��
��� +
�
��� +
��
���
= ��
��� =
�
�
8. Banyak percobaan: n = 170.
Banyak anggota ruang sampel: n(s) = 52
C2 = 1.326.
A = kejadian terambil 2 kartu bukan hati
n(A) = 39
C2 = 741
Frekuensi harapan terambil 2 kartu bukan hati:
Fh
= P(A) × n
= ���
����� × 170
= 95
9. Misal:
Q = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 5
R = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8
Q = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} → n(Q) = 4
R = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → n(R) = 5
Q dan R kejadian saling lepas, maka:
P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)
= ��!�
���� +
��X�
����
= �
�� +
�
�� =
�
�� =
�
�
Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah
5 atau 8 adalah �
�.
10. Kotak I = 5 merah, 3 biru
Kotak II = 7 merah, 4 putih
Peluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan
1 bola putih dari kotak II
= �
�
� × �
��
= �
��
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak I
dan 1 bola putih dari kotak II adalah �
��.
51Matematika Kelas XI Program IPA
2. Menurunkan rumus
trigonometri dan
penggunaannya.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
2.1 Menggunakan rumus sinus dan kosinus
jumlah dua sudut, selisih dua sudut,
dan sudut ganda untuk menghitung si-
nus dan kosinus sudut tertentu.
2.2 Menurunkan rumus jumlah dan selisih
sinus dan kosinus.
2.3 Menggunakan rumus jumlah dan
selisih sinus dan kosinus.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut2. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap (ganda)3. Rumus yang menghubungkan bentuk jumlah dan selisih trigonometri dengan bentuk perkalian trigonometri
Rasa ingin
tahu
Pantang
Menyerah
Mengembangkan rasa ingin tahu
tentang cara menjabarkan rumus
sinus dan kosinus jumlah dua sudut
dan selisih dua sudut, serta
operasinya.
Pantang menyerah dalam me-
nyelesaikan soal dan membuktikan
identitas trigonometri.
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Trigonometri
Menggunakan rumus sinus dan
kosinus jumlah dua sudut, selisih dua
sudut, dan sudut rangkap/ganda
untuk menghitung sinus dan kosinus
sudut tertentu
Menurunkan rumus jumlah dan
selisih sinus dan kosinus
Menggunakan rumus jumlah dan
selisih sinus dan kosinus
• Menurunkan rumus sinus, kosinus,
dan tangen jumlah dua sudut
• Menurunkan rumus sinus, kosinus,
dan tangen selisih dua sudut
• Mengubah bentuk a cos x + b sin x
menjadi bentuk k cos (x – a)
• Menentukan rumus sinus, kosinus,
dan tangen sudut rangkap/ganda
• Menentukan rumus sinus, kosinus,
dan tangen sudut pertengahan
• Menurunkan rumus penjumlahan
sinus dan kosinus
• Menurunkan rumus pengurangan
sinus dan kosinus
• Mengubah bentuk perkalian sinus
dan kosinus menjadi bentuk
penjumlahan
• Mengubah bentuk penjumlahan
atau pengurangan sinus dan
kosinus menjadi bentuk perkalian
• Menggunakan rumus jumlah dan
selisih sinus untuk memecahkan
masalah
• Menggunakan rumus jumlah dan
selisih kosinus untuk memecahkan
masalah
Siswa mampu menggunakan rumus
sinus dan kosinus jumlah dua sudut,
selisih dua sudut, dan sudut rangkap/
ganda untuk menghitung sinus dan
kosinus sudut tertentu
Siswa mampu menurunkan rumus
jumlah dan selisih sinus dan kosinus
Siswa mampu menggunakan rumus
jumlah dan selisih sinus dan kosinus
Siswa dapat menurunkan dan menggunakan rumus trigonometri
52 Trigonometri
�1
1
α
��
3
1
β
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
cos (p – q) = cos ((3x – y) – (2x + 3y))
= cos (x – 4y)
= cos x cos 4y + sin x sin 4y
2. Jawaban: e
2 cos (�
�π – 3A)
= 2(cos �
�π cos 3A + sin
�
�π sin 3A)
= 2(�
�� cos 3A +
�
� sin 3A)
= � cos 3A + sin 3A
3. Jawaban: b
tan (x + y) = 33
⇔��� ���
� ��� ���
+− = 33
⇔� ���
� � ���
+− = 33
⇔ 3 + tan y = 33 – 99 tan y
⇔ tan y + 99 tan y = 33 – 3
⇔ 100 tan y = 30
⇔ tan y = ��
���
⇔ tan y = �
��
Jadi, nilai tan y = �
��.
4. Jawaban: a
p = sin 105°
= sin (60° + 45°)
= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
= �
�� ×
�
� � + �
� ×
�
� �
= �
�� +
�
��
p – �
�� = (
�
�� +
�
�� ) –
�
��
= �
��
5. Jawaban: b
tan 315° = tan (360° – 45°)
= ��� ��� ��� ��
� ��� ��� ��� ��
° − °+ ° °
= � �
� � ��
−+ −
= �
�
− = –1
6. Jawaban: a
sin (–75°)
= sin ((–30°) + (–45°))
= sin (–30°) cos (–45°) + cos (–30°) sin (–45°)
= –sin 30° cos 45° – cos 30° sin 45°
= –�
� ×
�
�� –
�
�� ×
�
��
= –�
�� –
�
��
7. Jawaban: b
tan α = 1, α sudut lancip
sin α = �
�
cos α = �
�
tan β = �
�, β sudut lancip
sin β = �
��
cos β = �
��
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
= �
� ×
�
�� –
�
� ×
�
��
= �
�� –
�
��
= �
�� =
�
� � ×
�
� =
�
��
8. Jawaban: b
sin x = �
�, x sudut tumpul
cos x = –�
�
cos y = ��
��, y sudut lancip
sin y = �
��
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
= �
�
− × ��
�� +
�
� ×
�
��
= –��
�� +
��
��
= –��
��
3
4
5
x
5
12
13
y
53Matematika Kelas XI Program IPA
9. Jawaban: d
sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q
⇔ sin 30° = sin p cos q – �
�
⇔ sin p cos q = sin 30° + �
�
= �
� +
�
� =
�
�
10. Jawaban: e
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
⇔ cos �
π= cos A cos B –
�
�
⇔ �
�= cos A cos B –
�
�
⇔ cos A cos B = �
�+
�
�=
�
�
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= �
�+
�
� = 1
Jadi, nilai cos (A – B) = 1.
11. Jawaban: d
Dari sin C = �
��,
diperoleh cos C = �
��
dan tan C = �
�.
Pada segitiga berlaku:
A + B + C = 180°
⇔ A + B = 180° – C
tan (A + B) = ��� � ��� �
� ��� � ��� �
+−
⇒ tan (180° – C) = ��� � ��� �
� ��� � ��� �
+−
⇔ –tan C = ��� � ��� �
� ��� � ��� �
+−
⇔ tan A + tan B = –tan C (1 – tan A tan B)
= –�
�(1 – 13)
= –�
�(–12) = 8
Jadi, nilai tan A + tan B = 8.
12. Jawaban: d
Pada segitiga ABC berlaku:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇔ ∠A + ∠B = 180° – ∠C
⇔ ∠A + ∠B = 180° – 45°
⇔ ∠A + ∠B = 135°
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
⇔ cos 135° = cos A cos B – �
�
⇔ –cos 45° = cos A cos B – �
�
⇔ –�
�� = cos A cos B –
�
�
⇔ cos A cos B = �
� –
�
��
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= (�
� –
�
�� ) +
�
�
= �
� –
�
��
= �
� (2 – � )
13. Jawaban: e
sin A = �
�cotan B = 7
cos A = �
�cos B =
�
� �
sin B = �
� �
cos C = cos (180° – (A + B))
= –cos (A + B)
= –(cos A cos B – sin A sin B)
= –� � � �
� �� � � �
× − ×
= –�� �
�� � �� �
−
= –��
�� �
= –�
� = –
�
��
Oleh karena cos C negatif berarti sudut C me-
rupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.
14. Jawaban: c
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
⇔ cos �
π=
�
� – sin A sin B
⇔ �
�=
�
� – sin A sin B
⇔ sin A sin B = �
� –
�
�
⇔ sin A sin B = � �
�
−
⇔ sin A sin B = �
�
3
4
5
A B
1
7�� � �=
2
3
��
C
54 Trigonometri
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= �
� +
�
� =
�
� =
�
�
15. Jawaban: e
tan A tan B = ��� � ��� �
��� � ��� �
⇔ cos A cos B = ��� � ��� �
��� � ��� � =
�
��
�
= �
�
��� � ��
��� � ��
−+ =
��� � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� � ��� �
+−
=
� �
� �� �
� �
+
− =
�
��
�
= �
� = 2
16. Jawaban: a
∠ACB = 180° – (60° + 75°)
= 45°
sin 75° = sin (30° + 45°)
= sin 30° cos 45°
+ cos 30° sin 45°
=�
� ×
�
�� +
�
�� ×
�
��
=�
�� +
�
��
Ingat aturan sinus: �
��� � =
�
���� =
�
��� �.
��
��� ��° = °��
��� ��⇔ AC =
��� ��
��� ��
°° × AB
=
� �
� ��
�
� �
�
+ × 300
= (�
� +
�
�� ) × 300
= 150(1 + � ) cm
Jadi, panjang AC = 150(1 + � ) cm.
17. Jawaban: b
Bentuk � cos x – sin x mempunyai nilai a = �
dan b = –1.
k = � � �� ��+ − = � �+ = � = 2
tan α = �
�⇒ tan α =
�
�
−
⇔ tan α = �
�− �
Oleh karena a positif dan b negatif maka α terletak
di kuadran IV sehingga:
tan α = –�
�� ⇔ α =
��
�π
a cos x + b sin x = k cos (x – α)
⇔ � cos x – sin x = 2 cos (x – ��
�π)
18. Jawaban: c
–2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°) mempunyai nilai
a = –2 dan b = –2
k = � � �� ��− + − = � �+ = � = 2 �
Oleh karena a negatif dan b negatif maka αterletak di kuadran III
tan α = �
�⇔ tan α =
�
�
−−
⇔ tan α = 1
⇔ α = 225°
a cos x + b sin x = k cos (x – α)
–2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°)
= 2 � cos ((x + 30°) – 225°)
= 2 � cos (x – 195°)
Jadi, –2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°) dapat
disederhanakan menjadi 2 � cos (x – 195°).
19. Jawaban: c
cos x + sin x = �
�
a = 1 dan b = 1
k = � �� �+ = �
tan α = �
� = 1 = tan
�
π
⇔ α = �
π
cos x + sin x = �
�
⇔ � cos (x – �
π) =
�
�
⇔ cos (x – �
π) =
�
�
⇔ cos (x – �
π) = cos
�
π
1) x1 – �
π=
�
π + k · 2π
⇔ x1 = �
��π + k · 2π
k = 0 → x = �
��π
2) x – �
π= –
�
π + k · 2π
⇔ x = �
��π + k · 2π
k = 0 → x = �
��π
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi �
��π atau
�
��π.
20. Jawaban: d
� sin x – � cos x = –2
⇔ – � cos x + � sin x = –2
A B
M
60° 75°
300 cm
55Matematika Kelas XI Program IPA
a = – � dan b = �
k = � � �� ��− +
= � �+
= � = 2 �
tan α = �
� =
�
�− = – � (α di kuadran II)
⇔ α = �
�π
⇔ – � cos x + � sin x = –2
⇔ 2 � cos (x – �
�π) = –2
⇔ cos (x – �
�π) = –
�
��
⇔ cos (x – �
�π) = cos
�
�π
1) x – �
�π =
�
�π + k · 2π
⇔ x = ��
��π + k · 2π
k = 0 → x = ��
��π
2) x – �
�π = –
�
�π + k · 2π
⇔ x = –�
��π + k · 2π
k = 1 → x = –�
��π + 2π =
��
��π
Jadi, nilai x yang memenuhi ��
��π dan
��
��π.
B. Uraian
1. a. cos A = –��
�� dan A di kuadran III sehingga:
p = � ��� ��−
= ��� ���−
= ���
= 16
sin A = –��
��
tan A = ��
��
sin B = �
� dan B di kuadran II sehingga:
q = � �� �−
= �� �−
= ��
= 4
cos B = –�
�
tan B = –�
�
tan (A + B) = ��� � ��� �
� ��� � ��� �
+−
=
�� �
�� ��� �
�� �
�
� �
+ −
− × −
=
�� �
��
� �
−
+
= �
��
b. sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= –��
�� × (–
�
�) – (–
��
��) ×
�
�
= ��
��� +
��
���
= ���
���
= 1
2. a. sin 75° + sin 195°
= sin (30° + 45°) + sin (240° – 45°)
= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
+ (sin 240° cos 45° – cos 240° sin 45°)
=�
�×
�
�� +
�
�� ×
�
��
+ (–�
�� ×
�
�� – (–
�
�) ×
�
�� )
=�
�� +
�
�� –
�
�� +
�
��
=�
�� +
�
��
=�
��
Jadi, nilai sin 75° + sin 195° = �
�� .
b. cos 165° – cos 15°
= cos (120° + 45°) + cos (45° – 30°)
= (cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°)
– (cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°)
= ((–�
�) ×
�
�� –
�
�� ×
�
�� )
– (�
�� ×
�
�� +
�
�� ×
�
�)
= (–�
�� –
�
�� ) – (
�
�� +
�
�� )
= –�
�� –
�
�� –
�
�� –
�
��
= –�
�� –
�
��
20
12
A
p
53
Bq
56 Trigonometri
3 2
α
� �� �− = �
4
3
α
� �� �− = �
c. tan 345° × tan 15°
= tan (300° + 45°) × tan (60° – 45°)
=��� ��� ��� ��
� ��� ��� ��� ��
° + °− ° ° ×
��� �� ��� ��
� ��� �� ��� ��
° − °+ ° °
= �� �
� �� �
− +− − ×
× � �
� � �
−+ ×
=� �
� �
− ++
× � �
� �
−+
= � � � �
� � � �
− + + −+ +
= � � �
� � �
− ++
× � � �
� � �
−−
= �� � � � � ��
�� ��
− + + −−
= �� �� �
�
− +
= –7 + � �
3. a.���������������� ����������������
���������������� ����������������
−−
= ���������������� ����������������
���������������� �����������������
−− −
= ���� ��� ����
���� �����������
−− =
�������
��������−
= ( )�
�
�
�
�
�− − = �
� =
�
��
b.������ ������
���������� ������
° − °° °
= tan (25° – 85°)
= tan (–60°)
= –tan 60°
= – �
4. a. Diketahui sin α = �
�, cos β =
�
��, α dan β di
kuadran I
Oleh karena α di kuadran I maka cos α dan
tan α bernilai positif.
cos α = �
� dan tan α =
�
�
Oleh karena β di kuadran I maka cos β dan
tan β bernilai positif.
sin β = ��
�� dan tan β =
��
�
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= �
� ×
�
�� +
�
� ×
��
��
= ��
�� +
��
��
= ��
��
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= �
� ×
�
�� –
�
� ×
��
��
= ��
�� –
��
��
= –��
��
tan (α – β) = ��� ���
� ��� ���
α − β+ α β
=
�
�
�
�
��
���
��
−
+ ×
=
��
��
��
��
��
��
�
−
+
=
��
����
��
−
= ��
��−
b. Diketahui sin α = �
�, cos β =
�
�, α di
kuadran II dan β di kuadran IV.
Oleh karena α di kuadran II maka cos α dan
tan α bernilai negatif.
cos α = –�
� dan tan α = –
�
�
Oleh karena β di kuadran IV maka sin β dan
tan β bernilai negatif.
sin β = –�
� dan tan β =
�
�−
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= �
� ×
�
� + (–
�
�) × (–
�
�)
= � ��
��
+
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= (–�
�) × (
�
�) – (
�
�) × (–
�
�)
= � � � �
��
− +
� �� �− = � = 3
54
α
13
5
β
� ��� �− = ���
= 12
57Matematika Kelas XI Program IPA
tan (α + β) = ��� ���
� ��� ���
α − β+ α β
=
� �
��
� �
��
� �
� � �
− − −
+ − −
=
� �
��
� �
� ��
− +
+ =
� ��
� �
� � � �
� �
− +
+
= � ��
� � � �
− ++
5. cos (A + B) = �
�
⇔ cos A cos B – sin A sin B = �
�. . . (1)
cos (A – B) = �
�
⇔ cos A cos B + sin A sin B = �
�. . . (2)
Tambahkan persamaan (1) ke persamaan (2):
cos A cos B – sin A sin B = �
�
cos A cos B + sin A sin B = �
�––––––––––––––––––––––––––– +
2 cos A cos B = �
�
⇔ cos A cos B = �
��
Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
cos A cos B – sin A sin B =�
�
cos A cos B + sin A sin B = �
�––––––––––––––––––––––––––– –
–2 sin A sin B = �
�
⇔ sin A sin B = –�
��
tan A tan B = ��� � ����
��� � ��� �
=
�
��
�
��
− = –
�
�
Jadi, nilai tan A tan B = –�
�.
6. tan A = �
�
sin A = �
�
cos A = �
�
cos B = ��
��−
B di kuadran II
sin B = �
��
tan B = �
��−
a. tan (A – B) = ��� � ��� �
� ��� � ��� �
−+
=
� �
� ��
� �
� ��
�
� �
− −
+ × −
= � �
� ��� �
� ���
+
− ×
=
�
���
��
= ��
��
b. tan C = tan (180° – (A + B))
= –tan (A + B)
= –��� � ��� �
� ��� � ��� �
+ −
= –
� �
� ��� �
� ��
�
� �×
+ − − −
= –
�
���
��
= –��
��
7. a. sin (45° + θ) – sin (45° – θ)
= (sin 45° cos θ + cos 45° sin θ) – (sin 45° cos θ– cos 45° sin θ)
= (�
�� cos θ +
�
�� sin θ) – (
�
�� cos θ
– �
�� sin θ)
=�
�� cos θ +
�
�� sin θ –
�
�� cos θ
+ �
�� sin θ
=�
�� sin θ +
�
�� sin θ
= � sin θ (terbukti)
b. sin (30° + θ) + cos (60° + θ)
= (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ)
+ (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ)
= ( �
�cos θ +
�
�� sin θ) + ( �
�cos θ
– �
�� sin θ)
=�
�cos θ + �
�� sin θ +
�
�cos θ –
�
�� sin θ
=�
�cos θ +
�
�cos θ
= cos θ (terbukti)
1213
5
B
53
A
4
58 Trigonometri
c. tan (45° – θ)
= ��� �� ���
� ��� �� ���
° − θ+ ° θ
= � ���
� � ���
− θ+ × θ
= � ���
� ���
− θ+ θ
(terbukti)
d. tan (45° + θ)
= ��� �� ���
� ��� �� ���
° + θ− ° θ
= � ���
� � ���
+ θ− × θ
= � ���
� ���
+ θ− θ
=
���
���
���
���
�
�
θθθθ
+
−
=
��� ���
���
��� ���
���
θ + θθ
θ − θθ
= ��� ���
��� ���
θ + θθ − θ (terbukti)
8. a.��� � ��
��� � ��
+−
= ��� � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� � ��� �
++
×
�
��� � ��� �
�
��� � ��� �
=
��� � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� � ��� �
+
+
=
��� � ��� �
��� � ��� �
��� � ��� �
��� � ��� ��
+
+ ⋅
= ��� � ��� �
� ��� � ��� �
++
(terbukti)
b.��� � �� ��� � ��
��� � �� ��� � ��
− − ++ + −
= ��� � ��� � ��� � ��� �� ��� � ��� � ��� � ��� ��
��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� �
+ − −+ + −
= � ��� � ��� �
� ��� � ��� �
= ��� �
��� �
= tan B (terbukti)
9.
AD = � ��� ��−
= �� ��−
= �
= 3 cm
DB = AB – AD
= 7 – 3
= 4 cm
BC = +� ��� ��
= +�� ��
= ⋅�� �
= 4 �
Diperoleh:
sin α = �
�, cos α =
�
�, tan α =
�
�, sin β =
�
� �
= �
�� , cos β =
�
� � =
�
�� , dan tan β = 1.
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= �
� ×
�
�� +
�
� ×
�
��
= �
�� +
�
���
= �
���
tan (α – β) = ��� ���
� ��� ���
α − β+ α β
= �
��
�
�
� �
−
+ ×
=
�
��
�
= �
�
Jadi, nilai sin (α + β) + tan (α – β) = �
��� +
�
�.
10. a.�
�cos x +
�
�� sin x =
�
�
Diperoleh nilai a = �
� dan b =
�
�� .
k = � �� �+
= � �� �
� � � ��+
= � �
� �+
= ��
�
= �
A B
C
D
5 cm
4 cm
7 cm
α β
59Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
I. sin 2x = 2 sin x cos x
sin 38° = 2 sin 19° cos 19° (benar)
II. cos 2x = 1 – 2 sin2 x
cos 26° = 1 – 2 sin2 13° ≠ 2 sin2 13° – 1
cos 26° = 2 sin2 13° – 1 (salah)
III. cos 2x = 2 cos2 x – 1
cos 14° = 2 cos2 7° – 1 ≠ 2 cos2 14° – 1
cos 14° = 2 cos2 14° – 1 (salah)
IV. tan 2x = �
� ���
� ��� −
tan 12° = �
� ��� �
� ��� �
°− °
(benar)
Jadi, pernyataan yang benar I dan IV.
2. Jawaban: d
Oleh karena tan 2x = �
� ���
� ��� − maka berlaku:
�
� �����
� ��� ��
°− °
= tan (2 × 15°)
= tan 30°
= �
� �
Jadi, �
� �����
� ��� ��
°− °
= �
� � .
3. Jawaban: b
sin2 75° – cos2 75°
= –(cos2 75° – sin2 75°)
= –(cos 2 × 75°)
= –(cos 150°)
= –(cos (90° + 60°))
= –(–sin 60°) = sin 60° = �
��
Oleh karena a positif dan b positif maka αberada di kuadran I.
tan α = �
� =
�
�
�
�
� =
�
�
⇔ α = 30°
Diperoleh:
�
� cos x +
�
�� sin x = � cos (x – 30°)
Dengan demikian dapat ditulis:
�
� cos x +
�
�� sin x =
�
�
⇔ � cos (x – 30°) = �
�
⇔ cos (x – 30°) = �
�
⇔ cos (x – 30°) = cos 30°
1) x – 30° = 30° + k · 360°
⇔ x = 60° + k · 360°
k = 0 → x = 60°
2) x – 30° = –30° + k · 360°
⇔ x = 0° + k · 360°
k = 0 → x = 0°
k = 1 → x = 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 60°, 360°).
b. sin x – � cos x – � = 0
⇔ – � cos x + sin x = �
Diperoleh nilai a = – � dan b = 1
k = � �� �+
= � � �� �− +
= � = 2
Oleh karena a negatif dan b positif maka αberada di kuadran II.
tan α = �
�⇔ tan α = �
�−
⇔ tan α = –�
��
⇔ α = 150°
Diperoleh – � cos x + sin x = 2 cos (x – 150°)
– � cos x + sin x = �
⇔ 2 cos (x – 150°) = �
⇔ cos (x – 150°) = �
�
⇔ cos (x – 150°) = cos 45°
1) x – 150° = 45° + k · 360°
⇔ x = 195° + k · 360°
k = 0 → x = 195°
2) x – 150° = –45° + k · 360°
⇔ x = 105° + k · 360°
k = 0 → x = 105°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {105°, 195°).
60 Trigonometri
4. Jawaban: b
a. 2 sin 67,5° cos 67,5°
= sin (2 × 67,5°)
= sin 135°
= sin (90° + 45°)
= cos 45° = �
��
b. 2 sin 112,5° cos 112,5°
= sin (2 × 112,5°)
= sin 225°
= sin (180° + 45°)
= –sin 45° = –�
��
c. 2 cos2 22,5° – 1
= cos (2 × 22,5°)
= cos 45° = �
��
d. 1 – 2 sin2 157,5° = cos (2 × 157,5°)
= cos 315°
= cos (360° – 45°)
= cos 45°
= �
��
e. �
� ��� ����
� ��� ����
°− °
= tan 2 × 22,5°
= tan 45°
= 1
Jadi, bentuk trigonometri yang bernilai –�
��
adalah 2 sin 112,5° cos 112,5°.
5. Jawaban: d
sin α = �
��� =
��
�, α sudut lancip
cos 2α = 1 – 2 sin2 α
= 1 – 2 × �
��
�
= 1 – ��
��
= –�
��
6. Jawaban: e
cos α = 0,6 = �
�
Oleh karena α di
kuadran IV maka tan αbernilai negatif.
tan α = –�
�
tan 2α = �
� ���
� ���
α− α
=
�
�� �
�
� �
� �
−
− −
=
�
���
��
−
−
=
�
�
�
�
−
− =
�
�
− ×
�
�
−
= ��
� = 3
�
�
7. Jawaban: b
sin a – cos a = 2p
⇔ (sin a – cos a)2 = (2p)2
⇔ sin2 a – 2 sin a cos a + cos2 a = 4p2
⇔ sin2 a + cos2 a – 2 sin a cos a = 4p2
⇔ 1 – 2 sin a cos a = 4p2
⇔ 1 – 4p2 = 2 sin a cos a
⇔ 1 – 4p2 = sin 2a
Jadi, nilai sin 2a = 1 – 4p2.
8. Jawaban: b
1 – tan θ sin 2θ = –�
��
⇔ 1 – ���
���
θθ
· 2 sin θ cos θ= –�
��
⇔ 1 – 2 sin2 θ = –�
��
⇔ cos 2θ = –�
��
cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1
= 2(�
��− )2 – 1
= 2(��
���) –
���
���
= –���
���
Jadi, nilai cos 4θ = –���
���.
9. Jawaban: c
tan 2a = –�
�
⇔�
� ��� �
� ��� �−= –
�
�
⇔ 8 tan a = –3 + 3 tan2 a
⇔ 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0
⇔ (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0
⇔ tan a = –�
� atau tan a = 3
α3
5� �� �−
= �� = 4
61Matematika Kelas XI Program IPA
Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi
tan a = 3.
tan (a – b) = �
�
⇔ ��� � ��� �
� ��� � ��� �
−+
= �
�
⇔ � ��� �
� � ��� �
−+ =
�
�
⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b
⇔ –5 tan b = –5
⇔ tan b = 1
Jadi, nilai tan2 a – tan2 b = (3)2 – (1)2 = 8.
10. Jawaban: d
cos 2x = 2 cos2 x – 1
⇔ cos x = ±��� � �
�
+
Oleh karena �
�π berada di kuadran I maka cos
�
�π bernilai positif.
cos�
�π =
�
���� � � �
�
⋅ π +
= �
���� �
�
π +
= �
���
�
+
= � �
�
+ =
�
�� �+
11. Jawaban: a
Diketahui tan θ = ��
�
Oleh karena �
�π < θ < 2π
(θ terletak di kuadran IV) maka sin θbernilai negatif dan cos θ bernilai
positif.
sin θ = –��
�� dan cos θ =
�
��
�
�π < θ < 2π
⇔ �
�(
�
�π) <
�
�θ<
�
� (2π)
⇔ �
�π <
�
�θ < π
Oleh karena �
�π <
�
�θ < π (θ terletak di kuadran II),
sin �
�θ bernilai positif.
17 15
8
θ
sin �
�θ = ±
� ���
�
− θ
⇔ sin �
�θ =
�
���
�
− =
�
��
� =
�
�� =
�
����
12. Jawaban: b
cos 2x – 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0
⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0
⇔ 2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 1 = 0
Untuk 2 cos x – 1 = 0, diperoleh nilai x berikut.
2 cos x – 1 = 0
⇔ 2 cos x = 1
⇔ cos x = �
�
⇔ cos x = cos �
π
x = �
π + k · 2π
k = 0 ⇒ x = �
π
x = (2π – �
π) + k · 2π
= �
�π + k · 2π
k = 0 ⇒ x = �
�π
Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.
cos x – 1 = 0
⇔ cos x = 1
⇔ cos x = cos 0
x = 0 + 2kπk = 0 ⇒ x = 0
k = 1 ⇒ 0 + 2π = 2πx = (2π – 0) + k · 2π
= 2π + k · 2πk = 0 ⇒ x = 2π
Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x – 3 cos x
+ 2 = 0 adalah {0, �
π,
�
�π, 2π}.
13. Jawaban: a
cos 2x – 2 cos x = –1
⇔ 2 cos2 x – 1 – 2 cos x = –1
⇔ 2 cos2 x – 2 cos x = 0
⇔ 2 cos x (cos x – 1) = 0
⇔ 2 cos x = 0 atau cos x – 1 = 0
Untuk 2 cos x = 0 diperoleh nilai x berikut.
2 cos x = 0
⇔ cos x = 0
⇔ cos x = cos �
π
x = ±�
π + k2π
62 Trigonometri
Untuk k = 0 diperoleh:
x = �
π
Untuk k = 1 diperoleh:
x = –�
π + 2π
= �
�π
Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.
cos x – 1 = 0
⇔ cos x = 1
⇔ cos x = cos 0
⇔ x = ± 0 + k2πUntuk k = 0 ⇒ x = 0
Untuk k = 1 ⇒ x = 2πJadi, himpunan penyelesaian persamaan
tersebut adalah {0, �
�π,
�
�π, 2π}.
14. Jawaban: d
sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0
⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0
⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0
⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2
sin 2x = 2 → tidak ada nilai x yang memenuhi
sin 2x = –1 = sin 270°
1) 2x = 270° + k · 360°
⇔ x = 135° + k · 180°
k = 0 → x = 135°
k = 1 → x = 315°
2) 2x = (180° – 270°) + k · 360°
⇔ 2x = –90° + k · 360°
⇔ x = –45° + k · 180°
k = 1 → x = 135°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.
15. Jawaban: b
cos 2x – sin x = 0
⇔ (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0
⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0
⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0
⇔ sin x = �
� atau sin x = –1
Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π:
sin x = �
� berlaku untuk x =
�
π dan x =
�
�
π
sin x = –1 berlaku untuk x = �
�
π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {�
π,
�
�
π,
�
�
π}.
B. Uraian
1. a. Diketahui sin θ = –�
� dan θ di kuadran IV.
Oleh karena θ di kuadran
IV maka tan θ bernilai
negatif dan cos θ bernilai
positif.
tan θ = –�
� dan cos θ =
�
�
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
= 2(–�
�)(
�
�)
= –�
�
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
= (�
�)2 – (–
�
�)2
= �
� –
�
� =
�
� =
�
�
tan 2θ = �
� ���
� ���
θ− θ
=
�
�
� �
�
� �
� �
−
− −
=
�
�
�
��
−
− =
�
�
�
�
−
= – �
b. Diketahui tan θ = –�
�dan θ di kuadran II.
Oleh karena θ di kuadran II maka sin θbernilai positif dan cos θ bernilai negatif.
sin θ = �
�� dan cos θ =
�
��
−
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
= 2(�
��)(
�
��
−)
= ��
��− =
�
��−
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
= (�
��− )2 – (
�
��)2
= ��
�� –
�
�� =
��
�� =
��
��
tan 2θ = �
� ���
� ���
θ− θ
=
�
�� �
�
� �
� �
−
− − =
�
���
��
− =
�
��−
c. Diketahui cos θ = –�
� dan θ di kuadran III.
Oleh karena θ di kuadran III maka sin θbernilai negatif dan tan θ bernilai positif.
sin θ = –�
� dan tan θ =
�
�
21
θ�
5
1θ
��
63Matematika Kelas XI Program IPA
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
= 2(–�
�)(–
�
�)
= ��
��
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
= (–�
�)2 – (–
�
�)2
= �
�� –
��
��
= �
��−
tan 2θ = �
� ���
� ���
θ− θ
=
�
�� �
�
� �
� �− =
�
���
��−
=
�
��
�−
= �
� ×
�
�− =
��
�−
2. Diketahui sin α = �
�� dengan
�
π < α < π (α terletak
di kuadran II).
p = � ��� �−
= ��� ��−
= �� = 8
α di kuadran II sehingga:
cos α = –�
��
sin �
α =
� ���
�
− α=
�
���
�
+
=
��
��
�
= ��
�� =
�
�
�
�
cos �
α =
� ���
�
+ α=
�
���
�
−
=
�
��
� =
�
��
sin �
α · cos
�
α=
�
�
�
� ×
�
��
= �
�
�
��
= �
� ×
�
��
= �
� ×
�
� =
�
��
3. a. 2 – 4 sin2 112,5° = 2(1 – 2 sin2 112,5°)
= 2(cos 2 × 112,5°)
= 2(cos 225°)
= 2(cos (180° + 45°))
= 2(–cos 45°)
= 2(–�
�� ) = – �
b.� ��� ����
� ��� ���� � � ��� ���� �
°− ° + °
= �
� ��� ����
� ��� ����
°− °
= tan 2 × 67,5°
= tan 135°
= tan (90° + 45°)
= –cotan 45° = –1
c. 10 sin 78,75° cos 78,75°
= 5 × 2 sin 78,75° cos 78,75°
= 5 sin 2 × 78,75°
= 5 sin 157,5°
Oleh karena sin 157,5° bernilai positif, bentuk
di atas dapat dinyatakan:
= 5(� ��� � �����
�
− ×)
= 5(� ��� ���
�
−)
= 5(� ��� ��� �� �
�
− ° − °)
= 5� ��� ��
�
− °
= 5�
�� �
�
−
= 5� �
�
− =
�
�� �−
4. a.� ��� �
� ����
−+ =
��� �
��� �
��� �
��� �
�
�
−
+
=
��� � ��� �
��� �
��� � ��� �
��� �
−
+
= ��� � ��� �
��� � ��� �
−+
× ��� � ��� �
��� � ��� �
−−
= � �
� �
��� � � ��� � ��� � ��� �
��� � ��� �
− +−
= � �
� �
��� � ��� � � ��� � ��� �
��� � ��� �
+ −−
= � ��� ��
��� ��
− (terbukti)
45
3
θ
106
pα
64 Trigonometri
b. Ingat a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Dengan demikian� ���� ���
��� ���
−−
= � � ��� ��� � ��� ��� ��� ��� �
��� ���
− + +−
= sin2 x + cos2 x + sin x cos x
= 1 + sin x cos x
= 1 + �
� × 2 sin x cos x
= 1 + �
� sin 2x (terbukti)
c.� ��� � ��� �
� ��� � ��� �
+ α − α+ α + α
= �
�
� � ��� ��� � � ��� �
� � ��� ��� � ��� ��
+ α α − − α+ α α + α −
= �
�
� ��� ��� � ���
� ��� ��� � ���
α α + αα α + α
= � ��� ��� ��� �
� ��� ��� ��� �
α α + αα α + α
= ���
���
αα
= tan α (terbukti)
5. sin8 75° – cos8 75°
= (sin4 75°)2 – (cos4 75°)2
= (sin4 75° – cos4 75°)(sin4 75° + cos4 75°)
= (sin2 75° – cos2 75°)(sin2 75° + cos2 75°)
((sin2 75° + cos2 75°)2 – 2 sin2 75° cos2 75°)
= –(cos2 75° – sin2 75)(1)(12 – �
�(2 sin 75° cos 75°)2)
= –(cos 2 × 75°)(1 – �
�(sin 2 × 75°)2)
= – cos 150° (1 – �
�sin2 150°)
= –(–�
�� )(1 –
�
� ×
�
�)
= �
�� ×
�
�
= �
���
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
sin x cos y = �
�(sin (x + y) + sin (x – y))
Pernyataan I dan II salah
cos x cos y = �
�(cos (x + y) + cos (x – y))
Pernyataan III dan V salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah IV.
2. Jawaban: c
sin x sin y = –�
�(cos (x + y) + cos (x – y))
sin 37,5° sin 7,5°
= –�
�(cos (37,5° + 7,5°) – cos (37,5° – 7,5°))
= –�
�(cos 45° – cos 30°)
= –�
�(
�
�� –
�
�� )
= –�
�( � – � )
3. Jawaban: a
12 sin 75° cos 125°
= 12 × �
�(sin (75° + 195°) + sin (75° – 195°))
= 12 × �
�(sin 270° + sin (– 120°))
= 6(sin 270° – sin 120°)
= 6(–1 – �
�� ) = –6 – � �
4. Jawaban: c
sin 4p + sin 2p
= 2 sin �
� (4p + 2p) cos
�
� (4p – 2p)
= 2 sin �
� (6p) cos
�
� (2p)
= 2 sin 3p cos p
5. Jawaban: a
��� ��� � ��� ���
��� ���� � ��� ����
=
� �
� �� �
� �
� ��� ��� � ���� ��� ��� ����
� ��� ���� � ����� ��� ���� �����
−
−
= � ��� ��� ��� ����
� ��� ���� ��� ���
−
= ��� ���
��� ����
=
�
��
�
�
− = – �
65Matematika Kelas XI Program IPA
6. Jawaban: e
��� ���� ��� ����
������� �������
−−
=
� �
� �� �
� �
� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� �
� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� �
− ° + ° ° − °
° + ° ° − °
= � ������ ��� ��
� ��� ��� ��� ��
− ° °° °
= ������
��� ���
− °°
= ��� �� �� �
��� �� �� �
− ° + °° + °
= ��� ��
��� ��
− °− °
=
�
�
�
�
�−
− = �
7. Jawaban: d
���� �� ���������� ��������
���� ��������������� �� ���
−−
=
� �
� �� �
� �
������ �� ����� ������� ������ �� ��� �� ����
������ ����������� �� �� ������ ������� �� ����
− ° − − +
− ° ° − −
= ������ ����� ��
�������������
° −
=
�
��
�
�������
������� = 1
8. Jawaban: d
sin 75° – sin 165°
= 2 cos �
� (75° + 165°) sin
�
� (75° – 165°)
= 2 cos 120° sin (–45°)
= –2 cos 120° sin 45°
= –2 × (–�
�) ×
�
��
= �
��
9. Jawaban: e
sin 20° sin 40° sin 80°
= (sin 20° sin 40°) sin 80°
= –�
�(cos (20° + 40°) – cos (20° – 40°)) sin 80°
= –�
�(cos 60° – cos (–20° )) sin 80°
= –�
�(
�
� – cos (–20°)) sin 80°
= –�
� sin 80° +
�
� cos (–20°) sin 80°
= –�
� sin 80° +
�
� × (
�
�(sin (–20° + 80°)
– sin (–20° – 80°))
= –�
� sin 80° +
�
� sin 60° –
�
� sin (–100°)
= –�
� sin 80° +
�
� ×
�
�� +
�
� sin 100°
= –�
� (sin 80°– sin 100°) +
�
� ×
�
��
= –�
�(2 cos 90° sin (–10°)) +
�
��
= –�
�(2 × 0 × sin (–10)) +
�
��
=�
��
10. Jawaban: e
cos 15° – sin 15°
= cos 15° – sin (90° – 75°)
= cos 15° – cos 75°
= –2 sin �
�(15° + 75°) sin
�
�(15° – 75°)
= –2 sin 45° sin (–30°)
= –2 sin 45° (–sin 30°)
= –2 × �
�� × (–
�
�)
= �
��
11. Jawaban: e
tan 195° + tan 105°
= ° + °
° + ° + ° − °� ��� ��� ��� �
��� ��� ��� � ��� ��� ��� �
= °
° + °� ��� ���
��� ��� ��� ��
= × −
+
�
��
�
� ��
� = –2 �
12. Jawaban: a
sin A = �
� ⇔ cos A =
�
�
tan (�
π + A) – tan (
�
π – A)
= tan (�
π + A) + tan (–(
�
π – A))
= � �
� � � �
� ��� � �� ! ! ��"
��� � �� ��" ��� � �� ! ��"
π π
π π π π
+
+ − − + + +
= �
�
� ��� ��
��� �� ���π+
= ( )� �
�
� � ��� � ��� �
� ��� � ! �� !
⋅
+
= ��
�
� ��� � ��� �
� ��� �+−
= × ×
+ × �
� �
� �� �
� �
�
! � �
45
3
A
66 Trigonometri
=
��
��!� ��
� ��+
= ��
���� ��
�� ��+−
= ��
����
��−
= –��
��
13. Jawaban: c
��� � ��� �
��� � ��� �
++ =
��
��
��
⇔( ) ( )( ) ( )� � � �
� �
� � � �
� �
� ��� ���
� ��� ���
+ −
+ − = �
�
⇔ ( )( )� �
�
� �
�
���
���
+
+ = �
�
⇔ tan � �
�
+ =
�
�
sin � �
�
+ =
�
�
cos � �
�
+ =
�
�
sin A + sin B = �
��
⇔ 2 sin � �
�
+ cos
� �
�
− =
�
��
⇔ 2 (�
�) cos
� �
�
− =
�
��
⇔ cos � �
�
− =
�
��
cos (A – B) = cos � �
��
−
= 2 cos2 � �
�
− – 1
= 2(�
�� )2 – 1
= 0
14. Jawaban: e
sin (2x + 110)° + sin (2x – 10)° = �
�
⇔ 2 sin �
�(4x + 100)° cos
�
�(120°) =
�
�
⇔ 2 sin (2x + 50)° × �
�=
�
�
⇔ sin (2x + 50)° = �
� = sin 30°
2x + 50 = 30 + k × 360
⇔ 2x = –20 + k × 360
⇔ x = –10 + k × 180
k = 1 → x = 170
k = 2 → x = 350
2x + 50 = (180 – 30) + k × 360
⇔ 2x = 100 + k × 360
⇔ x = 50 + k × 180
k = 0 → x = 50
k = 1 → x = 230
Jadi, himpunan penyelesaiannya {50, 170, 230,
350}.
15. Jawaban: a
cos (x + �
�π) – cos (x –
�
�π) =
�
��
⇔ –2 sin �
�(2x) sin
�
� (2 ×
�
�π) =
�
��
⇔ –2 sin x sin �
�π =
�
��
⇔ –2 sin x × �
�� =
�
��
⇔ sin x = –�
�
⇔ sin x = sin �
�
− π
1) x = –�
�π + k · 2π
k = 1 → x =
��
�π
2) x = (π – (–�
�π)) + k · 2π
⇔ x = �
�π + k · 2π
k = 0 → x = �
�π
Jadi, nilai x yang memenuhi �
�π dan
��
�π .
B. Uraian
1. a. –4 sin α sin β= 2(–2 sin α sin β)
= 2(cos (α + β) – cos (α – β))
= 2(cos (75° + 15°) – cos (75° – 15°))
= 2(cos 90° – cos 60°)
= 2(0 – �
�)
= –1
b. 2 cos α sin β= sin (α + β) – sin (α – β)
= sin (75° + 15°) – sin (75° – 15°)
= sin 90° – sin 60°
= 1 – �
��
�
� �
�
+
21
67Matematika Kelas XI Program IPA
2. a. 4 sin 20° sin 40° sin 80°
= 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80°
= 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80°
= 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80°
= 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°
= (sin 100° + sin 60°) – 2 · �
� sin 80°
= sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°
= sin 80° + �
�� – sin 80° =
�
��
b. 4 sin 10° sin 50° sin 70°
= 4 sin 70° sin 50° sin 10°
= 2 (2 sin 70° sin 50°) sin 10°
= 2(cos 20° – cos 120°) sin 10°
= 2 (cos 20° – (–�
�)) sin 10°
= 2 cos 20° sin 10° + sin 10°
= (sin 30° – sin 10°) + sin 10°
= sin 30° = �
�
3. a. (cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°)
= (2 cos 315° cos (–150°))(2 sin 60° cos (–
45°))
= 2 × 2 cos 315° cos 150° sin 60° cos 45°
= 4 × cos (270° + 45°) cos (90° + 60°) sin
60° sin 45°
= 4 sin 45°(–sin 60°) sin 60° sin 45°
= 4 × �
�� ×
�
��
− ×
�
�� ×
�
��
= –�
� × 2 × 3 = –
�
�
b. cos 20° – cos 80° – cos 40°
= (cos 20° – cos 80°) – cos 40°
= (–2 sin 50° sin (–30°)) – cos 40°
= –2 sin 50°(–sin 30°) – cos 40°
= 2 sin 50° sin 30° – cos 40°
= 2 sin 50° × �
� – cos 40°
= sin 50° – cos 40°
= cos 40° – cos 50° = 0
4. a. sin 52° sin 68° – sin 47° cos 77°
– cos 65° cos 81°
= –�
�(cos 120° – cos (–16°)) –
�
� (sin 124°
+ sin (–30°)) – �
� (cos 146° + cos (–16°))
= –�
�(cos 120° – cos 16°) –
�
� (sin 124°
– sin 30°) – �
� (cos 146° + cos 16°)
= –�
�cos 120° +
�
� cos 16°
– �
� sin 124° +
�
� sin 30° –
�
�cos 146°
– �
� cos 16°
=�
�
− × �
�
− – �
� sin 124° +
�
� ×
�
�
– �
� cos 146
=�
� +
�
� –
�
� sin 124° –
�
� cos 146°
=�
� –
�
� sin (180° – 56°) –
�
� cos (90° + 56°)
=�
� –
�
� sin 56° –
�
� (–sin 56°)
=�
� –
�
� sin 56° +
�
�sin 56° =
�
�
b. sin2 195° sin 75° cos 75°
= (sin 195° sin 75°)(sin 195° cos 75°)
= –�
�(cos (195 + 75)° – cos (195 – 75)°)
× �
�(sin (195 + 75)° + sin (195 – 75)°)
= –�
�(cos 270° – cos 120°) (sin 270° + sin 120°)
= –�
�(0 – (–
�
�)) (–1 +
�
�� )
= –�
�(–1 +
�
�� )
= �
�(1 –
�
�� )
5. a.��� � ��� �
��� � ��� �
+−
=
� �
� �
� �
� �
� ��� � �� ��� � ��
��� ���� � �� � ��
+ −
+ −
=
� �
� �
� �
� �
��� � �� ��� � ��
��� ��� � �� � ��
+ −
+ −
= tan �
�(A + B) cotan
�
�(A – B)
=
�
�
�
�
��� � ��
��� � ��
+
−(terbukti)
b.��� � ��� �
��� � ��� �
+−
= � �
� �� �
� �
� ��� � �� ��� � ��
� ��� � �� ��� � ��
+ −
− + −
= �
��
�
��� � ��
��� � ��
+
− + ×
�
��
�
��� � ��
��� � ��
−
−
= –cotan �
�(A + B) cotan
�
�(A – B) (terbukti)
68 Trigonometri
6. x = sin 3q + sin q
= 2 sin �
�(3θ + θ) cos
�
�(3θ – θ)
= 2 sin 2θ cos θy = cos 3θ + cos θ
= 2 cos �
�(3θ + θ) cos
�
�(3θ – θ)
= 2 cos 2θ cos θ
a. x + y = 2 sin 2θ cos θ + 2 cos 2θ cos θ
= 2 cos θ (sin 2θ + cos 2θ) (terbukti)
b.
=
������� �����
������� �����
θ θθ θ
= �����
�����
θθ
= tan 2q (terbukti)
c. x2 + y2= (2 sin 2θ cos θ)2 + (2 cos 2θ cos θ)2
= 4 sin2 2θ cos2 θ + 4 cos2 2θ cos2 θ= 4 cos2 θ (sin2 2θ + cos2 2θ)
= 4 cos2 θ · 1
= 4 � ��� �
�
+ θ
= 2 + 2 cos 2θ (terbukti)
7. a. cos5 θ= cos θ cos θ cos3 θ
=�
�(cos 2θ + cos 0) cos3 θ
= �
�(cos 2θ + 1) cos3 θ
=�
�(cos 2θ cos θ + cos θ) cos2 θ
=�
�(
�
�(cos 3θ + cos θ) + cos θ) cos2 θ
=�
�(
�
� cos 3θ +
�
�cos θ) cos2 θ
=�
�(cos 3θ + 3 cos θ) cos2 θ
=�
�(cos 3θ cos θ + 3 cos θ cos θ) cos θ
=�
�(
�
�(cos 4θ + cos 2θ)
+ 3 × �
�(cos 2θ + cos 0)) cos θ
=�
�(cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ + 3) cos θ
=�
�(cos 4θ cos θ + 4 cos 2θ cos θ + 3 cos θ)
= �
�(
�
�(cos 5θ + cos 3θ)
+ 4 × �
�(cos 3θ + cos θ) + 3 cos θ)
=�
��(cos 5θ + cos 3θ + 4 cos 3θ
+ 4 cos θ + 6 cos θ)
=�
��(cos 5θ + 5 cos 3θ + 10 cos θ)
= �
��(10 cos θ + 5 cos 3θ + cos 5θ) (terbukti)
b. sin5 θ= sin θ sin θ sin3 θ
= –�
�(cos 2θ – cos 0) sin3 θ
= –�
� (cos 2θ – 1) sin3 θ
= –�
�(cos 2θ sin θ – sin θ) sin2 θ
= –�
�(
�
� (sin 3θ – sin θ) – sin θ) sin2
θ
= –�
�(
�
� sin 3θ –
�
� sin θ) sin2 θ
= –�
�(sin 3θ – 3 sin θ) sin2 θ
= –�
�(sin 3θ sin θ – 3 sin θ sin θ) sin θ
= –�
�(–
�
�(cos 4θ – cos 2θ) – 3 × (–
�
�)
(cos 2q – cos 0)) sin q
= –�
�(–cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ – 3) sin θ
= –�
�(–cos 4θ sin θ + cos 2θ sin θ
+ 3 cos 2θ sin θ – 2sin θ)
= –�
�(–
�
�(sin 5θ – sin 3θ) +
�
�(sin 3θ – sin θ)
+ 3 × �
�(sin 3θ – sin θ) – 3 sin θ)
= –�
��(–sin 5θ + sin 3θ + sin 3θ – sin θ
+ 3 sin 3θ – 3 sin θ – 6 sin θ)
= –�
��(–sin 5θ + 5 sin 3θ – 10 sin θ)
= �
��(10 sin θ – 5 sin 3θ + sin 5θ) (terbukti)
8. a.��� �
��� � ��� − = 1
⇔ cos 2x = sin 3x – sin x
⇔ cos 2x = 2 cos 2x sin x
⇔ 1 = 2 sin x
⇔ sin x = �
�
⇔ sin x = sin �
�π
69Matematika Kelas XI Program IPA
1) x = �
�π + k × 2π
k = 0 → x = �
�π
2) x = (π – �
�π ) + k × 2π
= �
�π + k × 2π
k = 0 → x = �
�π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {�
�π, �
�π}.
b. cos (x + �
π) – cos (x –
�
π) = �
⇔ –2 sin x sin �
π= �
⇔ –2 sin x × 1 = �
⇔ sin x = –�
��
⇔ sin x = sin (–�
�π)
x = –�
�π + k × 2π
k = 1 → x = �
�π
x = (π – (–�
�π)) + k × 2π
⇔ x = �
�π + k × 2π
k = 0 → x = �
�π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {�
�π,
�
�π}.
9. Jumlah besar sudut segitiga = 180°
A + B + C = 180°
⇔ B + C = 180° – A
⇔ � �
�
+= 90° –
�
�
A + B + C = 180°
⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C
⇔ B – C = 180° – (A + 2C)
⇔ � �
�
−= 90° – (
�
� + C)
sin B + sin C = 2 sin A
⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C))
⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)
⇔ 2 sin (� �
�
+) cos (
� �
�
−) = 2 sin 2(
� �
�
+)
⇔ 2 sin (� �
�
+) cos (
� �
�
−)
= 2 × 2 sin (� �
�
+) cos (
� �
�
+)
⇔ cos (� �
�
−) = 2 cos (
� �
�
+)
⇔ cos �
� cos
�
� + sin
�
�sin
�
�
= 2 (cos �
� cos
�
� – sin
�
� sin
�
�)
⇔ sin �
� sin
�
� + 2 sin
�
� sin
�
�
= 2 cos �
� cos
�
� – cos
�
� cos
�
�
⇔ 3 sin �
� sin
�
�= cos
�
�cos
�
�
⇔� �
� �� �
� �
��� ���
��� ���=
�
�
⇔ tan �
� tan
�
�=
�
�
Jadi, nilai tan �
� tan
�
� adalah
�
�.
10.�������������
�������������=
��
��
�
��
�
⇔� �
� �� �
� �
������ ����������� � ��
������ ����������� � ��
−
−= �
⇔�
��
�
���� ������
���� ������= �
⇔ cotan �
�(a + b) = cotan 30°
⇔ �
�(a + b) = 30°
⇔ a + b = 60°
Jadi, sin (a + b) = sin 60° = �
�� .
70 Trigonometri
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
8 (sin �
��π sin
�
��π + cos
�
��π cos
�
��π)
= 8 (cos �
��π cos
�
��π + sin
�
��π sin
�
��π)
= 8 (cos (�
��π –
�
��π))
= 8 (cos (�
��π))
= 8 (cos (�
�π))
= 8 × �
� = 4
2. Jawaban: b
cos 225° = cos (180° + 45°)
= cos 180° cos 45° – sin 180° cos 45°
= –1 × �
�� – 0 ×
�
�� = –
�
��
3. Jawaban: d
sin A = �
�sin B =
�
��
A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = �
�.
B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = –��
��.
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= �
� × (–
��
��) +
�
� ×
�
��
= –��
��� +
��
��� = –
��
���
4. Jawaban: b
sin α = ��
�� (α lancip) cos β = –
�
� (β tumpul)
cos α = �
��sin β =
�
�
54
3A
25
24
7
B
4
3
5
β
12
5
13
α
sin λ = sin (180° – (α + β))
= sin (α + β)
= sin α cos β + cos α sin β
= ��
�� × (–
�
�) +
�
�� ×
�
�
= –��
�� +
��
��
= –��
��
5. Jawaban: b
tan (α + β) = ��� ���
� ��� ���
α + β− α β
=
� �
� ��
� �
� ���
+
×−
=
��
��
�
���−
= ��
��
��
��
= 1
tan (α + β) = 1 ⇔ (α + β) = 45°
Jadi, besar sudut (α + β) adalah 45°.
6. Jawaban: e
tan α – tan β = �
�
⇔���
���
αα –
���
���
ββ =
�
�
⇔ ��� ��� ��� ���
��� ���
α β − β αα β
= �
�
⇔ ��
��
��� ��� ��� ���α β − α β=
�
�
⇔ sin α cos β – cos α sin β = �
� ×
��
��
⇔ sin (α – β) = ��
��
7. Jawaban: e
α – β = �
π
⇔ cos (α – β) = cos �
π
⇔ cos α cos β + sin α sin β = �
�
⇔ cos α cos β + �
�=
�
�
⇔ cos α cos β = �
�
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= �
� –
�
�
= 0
71Matematika Kelas XI Program IPA
8. Jawaban: c
sin (α – β) = �
�
⇔ sin α cos β – cos α sin β = �
�
⇔ �
� – cos α sin β =
�
�
⇔ –cos α sin β = �
�
⇔ cos α sin β = –�
�
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= �
� –
�
�
= –�
�
9. Jawaban: e
Diketahui sin 3° = p.
Diperoleh cos 3° = �� #
�
− = �� #−
sin 276° = sin (270° + 6°)
= –cos 6°
= –cos (2 × 3°)
= –(cos2 3° – sin2 3°)
= –(( �� #− )2 – p2)
= –(1 – p2 – p2)
= –(1 – 2p2)
= 2p2 – 1
Jadi, nilai sin 276° = 2p2 – 1.
10. Jawaban: e
cos x = a
cos 2x = 2 cos2 x – 1
= 2a2 – 1
cos 4x = 2 cos2 2x – 1
= 2(2a2 – 1)2 – 1
= 2(4a4 – 4a2 + 1) – 1
= 8a4 – 8a2 + 2 – 1
= 8a4 – 8a2 + 1
11. Jawaban: c
sin2 62° – cos2 62°
= –(cos2 62° – sin2 62°)
= –(cos 2 × 62°)
= –(cos 124°)
= –(–0,6)
= 0,6
12. Jawaban: e
sin α = �
� � sehingga:
1 p
3°
�� #−
p = � �� ��−
= � �−
= � = 2
cos α = �
�
α adalah sudut lancip sehingga �
�α juga berupa
sudut lancip. Akibatnya, cos �
�α pasti berupa
bilangan positif.
cos �
�α =
� ���
�
+ α
= �
��
�
+
= �
� =
�
� ×
�
� =
�
� ��
13. Jawaban: d
2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ⇔ os 2θ = 2 sin 2θ
⇔ tan 2θ = �
�
Oleh karena 2θ sudut lancip maka diperoleh
sin 2θ = �
� dan cos 2θ =
�
�.
Oleh karena 2θ sudut lancip maka θ juga sudut
lancip sehingga tan θ bernilai positif.
tan θ = � ��� �
� ��� �
− θ+ θ
=
�
��
�
�
�
−
+
=
� �
�
� �
�
−
+
= � � � �
� � � �
− −×+ −
= � � ��
� �
−− = � � ��−
= � – 2
Jadi, nilai tan θ = � – 2.
�3
pα
2
�
2θ
1
72 Trigonometri
14. Jawaban: b
sin α + cos α = �
�
⇔ (sin α + cos α)2 = (�
�)2
⇔ sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = �
��
⇔ 1 + 2 sin α cos α = �
��
⇔ 2 sin α cos α = –�
��
⇔ sin 2α = –�
��
15. Jawaban: d
���
� ���
θ− θ = a
⇔� �� �
� �
� � � �� �
� � � �
��� ���
��� ��� � ��� ���
θ − θ
θ + θ − θ θ= a
⇔� � � �
� � � �� � � �
� � � �
��� ��� � ��� ��� �
��� ��� � ��� ��� �
θ + θ θ − θ
θ − θ θ − θ= a
⇔� �
� �� �
� �
��� ���
��� ���
θ + θ
θ − θ ×
�
�
�
�
�
���
�
���
θ
θ
= a
⇔�
�
�
�
� ���
� ���
+ θ
− θ= a
⇔ 1 + tan �
�θ = a – a tan
�
�θ
⇔ a tan �
�θ + tan
�
�θ = a – 1
⇔ (a + 1) tan �
�θ = a – 1
⇔ tan �
�θ =
� �
� �
−+
16. Jawaban: d
cos 2α = 2 cos2 α – 1
⇔ cos α = ±��� � �
�
α +
Oleh karena 157,5° berada di kuadran II maka
cos 157,5° bertanda negatif.
⇔ cos 157,5° = –��� ��� �
�
° +
= –�
�� �
�
+
= –� �
�
+
= –�
� � �+
17. Jawaban: a
2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4
tan A – 3 tan B = –��
�× 2 2 tan A – 6 tan B = –17
––––––––––––––––– –7 tan B = 21
⇔ tan B = 3
2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4
⇔ 2 tan A = 1
⇔ tan A = �
�
tan 2A = �
�������
� ��� ��−
=
�
��
�
�
�
�� �
×
−
= �
�
�
�−
= �� �
�
� =
�
�
tan (2A + B) = ��������������
� ������������−
= �
��
�
�
���
�� ��− ×
=
��
�
� ��− = –��
�
18. Jawaban: a
6 sin 112,5° sin 22,5°
= –3(cos 135° – cos 90°)
= –3(cos (90 + 45°) – 0)
= –3(–sin 45°)
= –3(– �
�� )
= �
��
19. Jawaban: a
° + °° + °
��� �� ��� ��
��� �� ��� ��
= ° + ° ° − °
° + ° ° − °
� �
� �� �
� �
� ��� �� �� � ��� �� �� �
� ��� �� �� � ��� �� �� �
= � ��� �� ��� �
� ��� �� ��� �
° °° °
= ��� ��
��� ��
°°
=
�
��
�
�
�
= 1
73Matematika Kelas XI Program IPA
20. Jawaban: e
cos 195° – sin 15°= cos (270° – 75°) – sin 15°
= –sin 75° – sin 15°
= –(sin 75° + sin 15°)
= –(2 sin 45° cos 30°)
= –2 × �
�� +
�
��
= –�
��
21. Jawaban: a
Diketahui tan x = �
�.
Oleh karena x lancip maka
cos x = �
� dan sin x =
�
�.
cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x
= 2(2 cos2 x – 1) cos x
= 4 cos3 x – 2 cos x
= 4(�
�)3 – 2(
�
�)
= 4(��
���) – (
�
�)
= –��
���
22. Jawaban: b
cos 4x + 3 sin 2x = –1
⇔ (1 – 2 sin2 2x) + 3 sin 2x = –1
⇔ 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0
⇔ (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0
⇔ 2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 2 = 0
⇔ sin 2x = –�
�atau sin 2x = 2
sin 2x = –�
�
⇔ sin 2x = sin 210°
⇔ 2x = 210° + k · 360°
⇔ x = 105° + k · 180°
k = 0 ⇒ x = 105°
sin 2x = –�
�
⇔ sin 2x = (180° – 210°) + k · 360°
⇔ 2x = –30° + k · 360°
⇔ x = –15° + k · 180°
k = 1 ⇒ x = 165°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°,
165°}.
23. Jawaban: b
sin C = �
�⇔ sin (180° – (A + B)) =
�
�
⇔ sin (A + B) = �
�
sin (A – B) = sin 30° = �
�
sin A cos B = �
�(sin (A + B) + sin (A – B))
= �
�(
�
� +
�
�)
= �
� ×
�
� =
�
�
24. Jawaban: d
cos �
�(A + B) =
�
� maka sin
�
�(A + B) =
�
�
cos �
�(A – B) =
�
�� maka sin
�
�(A – B) =
�
�
cos A – cos B = –2 sin �
�(A + B) sin
�
�(A – B)
= –2 × �
� ×
�
� = –
�
�
25. Jawaban: c
Diketahui α + β = 90° maka sin α = cos β dan
cos α = sin β.
��� � ��� �
��� �
α − βα
= − α + β α − β
α α
� �
� �� ��� � � � ��� � � �
� ��� ���
= − α + β α − β
α α� ��� � ��� �
� ��� ���
= –��� �� ��� �
��� ���
° α − βα α
= � ��� ��� ��� ��� �
��� ���
− α β − α βα α
= ��� ���
��� ���
− α βα α
+ ��� ���
��� ���
α βα α
= ���
���
− βα
+ ���
���
βα
= ���
���
− αα
+ ���
���
ββ
= – tan α + tan β= tan β – tan α
26. Jawaban: b
��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� �
− −− −
= ��� � ��� � ��� �
��� � ��� � ��� �
− −− −
= � ��� � ��� �� ��� �
� ��� � ��� � ��� �
− − −−
= � ��� � ��� � ��� �
� ��� � ��� � ��� �
−−
= ��� � � ��� � ��
��� � � ��� � ��
−−
= ��� �
��� � = tan 6x
74 Trigonometri
27. Jawaban: b
� cos x – 3 sin x
Diperoleh a = � dan b = –3
k = � � �� ��+ −
= � �+
= ��
= 2 �
Oleh karena a positif dan b negatif maka α berada
di kuadran IV.
tan α = �
�
− = – � ⇔ α = 300°
� cos x – 3 sin x = �
⇔ 2 � cos (x – 300°) = �
⇔ cos (x – 300°) = �
�
⇔ cos (x – 300°) = cos 60°
x – 300° = 60° + k · 360°
⇔ x = 360° + k · 360°
k = –1 → x = 0°
k = 1 → x = 360°
x2 – 300° = –60° + k · 360°
⇔ x2 = 240° + k · 360°
k = 0 → x = 240°
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {0°, 240°,
360°).
28. Jawaban: d
2 cos (x + �
π) = cos (x –
�
π)
⇔ 2(cos x cos �
π – sin x sin
�
π)
= cos x cos �
π + sin x sin
�
π
⇔ 2 cos x cos �
π – cos x cos
�
π
= sin x sin �
π + 2 sin x sin
�
π
⇔ cos x cos �
π= 3 sin x sin
�
π
⇔ cos x × �
�� = 3 sin x ×
�
��
⇔ 3 sin x = cos x
⇔���
��� =
�
�
⇔ tan x = �
�
29. Jawaban: a
3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0
⇔ 3(1 – 2 sin2 x) + 5 sin x + 1 = 0
⇔ 3 – 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0
⇔ –6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0
⇔ (–3 sin x + 4)(2 sin x + 1) = 0
⇔ sin x = –�
� atau sin x = –
�
�
Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan
sin x = –�
� karena batas nilai minimum sin x
adalah –1.
sin x = –�
�
⇔ sin x = sin ( –�
�π)
x = –�
�π + k · 2π
k = 1 → x = ��
�π
x = (π – (–�
�π) + k · 2π
⇔ x = �
�π + k · 2π
k = 0 → x = �
�π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {�
�π,
��
�π}.
30. Jawaban: d
cos 4x + cos 2x = 0
⇔ 2 cos 3x cos x = 0
⇔ cos 3x = 0 atau cos x= 0
a. Untuk cos 3x = 0
cos 3x = 0 ⇔ cos 3x = cos �
π
3x = �
π + k · 2π
⇔ x = �
π + k ·
�
�π
k = 0 → x = �
�π
k = 1 → x = �
�π
k = 2 → x = �
�π
3x = –�
π + k · 2π
⇔ x = –�
π + k ·
�
�π
k = 1 → x = �
�π
k = 2 → x = �
�π
k = 3 → x = ��
�π
75Matematika Kelas XI Program IPA
b. Untuk cos x = 0
cos x = 0 ⇔ cos x = cos �
π
x = �
π + k · 2π
k = 0 → x = �
π
x = �
π + k · 2π
k = 1 → x = �
�π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {�
�π,
�
�π,
�
�π,
�
�π,
�
�π,
��
�π}.
B. Uraian
1. a.��� �� ��� �� � ��� �� ��� ��
��� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� ���
° ° ° °° ° ° °
= ��� �� �� �
��� ��� ��� �
° − °° + °
= ��� ��
��� ���
°°
=
�
��
�
�
�−
= �
�− = –
�
� �
b.� �
�
��� ����� ��� ����
� ��� ����� ��� ���� �
° − °− °
= ��� ����� ��� ���� � ��� ����� ��� ���� �
� ��� ����� ��� ���� � � ��� ����� ��� ���� �
° + ° ° − °− ° + ° °
= tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°)
= tan 240° tan 135°
= � (–1)
= – �
2. a.��� �� ��� ��
������ ��� ��
° − °° + °
= � ��� �� ��� �� �
� ������ ��� ��
− ° − °° °
= � ��� �� ��� ��
� ��� �� ��� ��
° °° °
=
� �
� �
� �
� �
� �
� �
× ×
× × = 1
b.������ �����
��� ��� ��� ���
° − °° + °
= � ��� �� ��� ��
� ��� ��� ��� ��
° °° °
= � ��� �� ��� ��
� ��� �� � ��� ��
° °− ° °
=
� �
� �� �× ×
� �
� � �� � �× ×−
= �
�− = –
�
��
3. a. sin (200° + a) cos (20° – a) – cos (200° + a)
sin (20° – a)
= sin ((200° + a) – (20° – a))
= sin (180° + 2a)
= –sin 2a
b. cos (200° – a) cos (70° – a) – sin (200° – a)
sin (70° – a)
= cos ((200° – a) + (70° – a))
= cos (270° – 2a)
= –sin 2a
4. a. tan 2θ = 3�
� =
��
�
90° < θ < 135° ⇔ 180° < 2θ < 270°
Oleh karena 180° < 2θ < 270° maka tan 2θbernilai positif, sin 2θ bernilai negatif, dan
cos 2θ bernilai negatif.
Diperoleh sin 2θ = –��
�� dan cos 2θ = –
�
��
sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ
= 2 × (–��
��) × (–
�
��)
= ���
���
cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1
= 2(–�
��)2 – 1
= ��
��� – 1 = –
���
���
b. Oleh karena 90° < θ < 135° maka sin θ ber-
nilai positif, cos θ bernilai negatif, dan tan θbernilai negatif.
sin θ = � ��� �
�
− θ
= �
��� �
�
− −
= ��
�� =
�
�
2θ7
25 24
76 Trigonometri
cos θ = –� ��� �
�
+ θ
= –�
��� �
�
+ −
= �
��
= –�
�
5. a. tan x = ��
� sehingga:
p = � ��� �+
= ��� ��+
= ���
= 13
sin x = ��
��
cos x = �
��
sin y = �
�� sehingga:
p = � ��� �−
= ��� ��−
= ��
= 8
cos y = �
��
tan y = �
�
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
= �
�� ×
�
�� –
��
�� ×
�
��
= ��
��� –
��
���
= –��
��� = –
��
��
b. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= ��
�� ×
�
�� +
�
�� ×
�
��
= ��
��� +
��
���
= ���
��� =
��
��
6. a.��� � ��
��� � ��
−+
= �
�
⇔ 5 cos (A – B) = 9 cos (A + B)
⇔ 5(cos A cos B + sin A sin B)
= 9(cos A cos B – sin A sin B)
⇔ 5 cos A cos B + 5 sin A sin B
= 9 cos A cos B – 9 sin A sin B
⇔ 14 sin A sin B = 4 cos A cos B
⇔ 14 ����
��� �= 4
��� �
����
⇔ 7 tan A = 2 cotan B (dapat di-
tunjukkan)
b. tan B = 2
tan B = 2 ⇔ cotan B = �
�
7 tan A = 2 cotan B
⇔ 7 tan A = 2(�
�)
⇔ tan A = �
�
tan (A + B) = ���� ����
� ���� ����
+−
=
�
�
�
�
�
��
+
×−
= ��
�
�
�
= 3
7. A + B + C = 180°
⇔ A + B = 180° – C
⇔ C = 180° – (A + B)
sin 2A + sin 2B + sin 2C
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C
= 2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C
12
5
p
106
p
77Matematika Kelas XI Program IPA
= 2 sin (180° – C) cos (A – B) + 2 sin C cos C
= 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C
= 2 sin C (cos (A – B) + cos C)
= 2 sin C (cos (A – B) + cos (180° – (A + B)))
= 2 sin C (cos (A – B) – cos (A + B))
= 2 sin C (–2 sin A sin (–B))
= 2 sin C (2 sin A sin B)
= 4 sin A sin B sin C (terbukti)
8.
CD = � ��� ��−
= � ��� �−
= ���
= 12 cm
sin α = ��
��
cos α = �
��
tan α = ��
�
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)
⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)
⇔ ∠C = 180° – 2α
a. sin C = sin (180° – 2α)
= sin (2α)
= 2 sin α cos α
= 2 (��
��)(
�
��)
= ���
���
b. tan (180° – 2α)
= –tan 2α
= �
� ���
� ���
− α− α
=
( )( )�
��
�
��
�
�
�
−
− =
��
����
��
−
−
= ��
� ×
��
��� =
���
���
9. cos 2x = 2 cos2 x – 1
Oleh karena �
�π < 2x < 2π ⇔
�
�π< x < π maka
cos x bernilai negatif.
cos x = –��� � �
�
+
= –
� �
� ��
�
−+
+
= –� � � �
� � ��
− + ++
= –�
� �+
= –�
� �+
sin x = �
� �+
tan x = ���
���
=
�
� �
�
� �
+
−+
= –�
�
= –�
��
10. a. sin x – � cos x = 1
⇔ – � cos x + sin x = 1
a = – � , b = 1, k = � � �� �− + = 2
tan α = �
�,
�
�− = –�
�� (α di kuadran II)
⇔ α = 150°
sin x – � cos = 1
⇔ 2 cos (x – 150°) = 1
⇔ cos (x – 150°) = �
�
A 5 cm D 5 cm B
C
α α
13 cm13 cm
� �+ 1
�
x
78 Trigonometri
⇔ cos (x – 150°) = cos 60°
x – 150° = 60° + k · 360°
⇔ x = 210° + k · 360°
k = 0 → x = 210°
x – 150° = –60° + k · 360°
⇔ x = 90° + k · 360°
k = 0 → x = 90°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°}.
b. cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0
⇔ –2 sin �
�(90° – 2x) sin
�
�(60°) = 0
⇔ –2 sin (45° – x) sin 30° = 0
⇔ –2 sin (45° – x) × �
�= 0
⇔ sin (45° – x) = 0
⇔ sin (45° – x) = sin 0°
45° – x = 0° + k · 360°
⇔ –x = –45° + k · 360°
⇔ x = 45° – k · 360°
k = 0 → x = 45°
45° – x = 180° + k · 360°
⇔ –x = 135° + k · 360°
⇔ x = –135° – k · 360°
k = –1 → x = 225°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.
79Matematika Kelas XI Program IPA
3. Menyusun persama-
an lingkaran dan garis
singgungnya.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai
3.1 Menyusun persamaan
lingkaran yang me-
menuhi persyaratan
yang ditentukan.
3.2 Menentukan persama-
an garis singgung pada
lingkaran dalam ber-
bagai situasi.
Menghargai
perbedaan
Kreatif
Menentukan berbagai persamaan lingkaran ber-
dasarkan pusat dan jari-jarinya.
Mencoba berbagai cara untuk menentukan
persamaan garis singgung.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya2. Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran3. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran4. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran5. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Indikator
Persamaan Lingkaran dan Garis singgung Lngkaran
Menyelesaikan permasalahan berkaitan
dengan lingkaran dan persamaannya
Siswa dapat menyusun persamaan
lingkaran dan garis singgung lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung
lingkaran
• Menentukan persamaan garis singgung
lingkaran di suatu titik pada lingkaran
• Menentukan persamaan garis singgung
lingkaran di suatu titik di luar lingkaran
• Menentukan persamaan garis singgung
lingkaran yang diketahui gradiennya
• Menentukan persamaan lingkaran yang
berpusat di O(0, 0) dan P(a, b)
• Menentukan unsur-unsur lingkaran
apabila diketahui persamaannya
• Menentukan kedudukan titik terhadap
lingkaran
• Menentukan kedudukan garis terhadap
lingkaran
Siswa mampu menyelesaikan
permasalahan berkaitan dengan lingkaran
dan persamaannya
Siswa mampu menentukan persamaan
garis singgung lingkaran
80 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah
x2 + y2 = r2.
Lingkaran melalui titik (4, –2):
x2 + y2 = r2 ⇒ (4)2 + (–2)2 = r2
⇔ r2 = 16 + 4 = 20
Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20.
2. Jawaban: d
Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran
P(10, –6) dan jari-jarinya 10. Persamaan lingkarannya:
(x – 10)2 + (y – (–6))2 = 102
⇔ (x – 10)2 + (y + 6)2 = 100
3. Jawaban: b
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8):
(x – (–4))2 + (y – 8)2 = r2
⇔ (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2
Lingkaran melalui titik N(1, 5):
(x + 4)2 + (y – 8)2 = r2
⇔ (1 + 4)2 + (5 – 8)2 = r2
⇔ r2 = (5)2 + (–3)2
= 25 + 9 = 34
Diperoleh persamaan lingkaran:
(x + 4)2 + (y – 8)2 = 34
⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 – 34 = 0
⇔ x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0
4. Jawaban: a
Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,
koordinatnya:
�����
�
− , �����
�
− = (1, –1)
Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
Lingkaran melalui titik (6, 1), berarti:
(6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2
⇔ r2 = 25 + 4 = 29
Persamaan lingkaran:
(x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29
⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0
5. Jawaban: a
x2 + y2 – 6x – 4x – 3 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 3 + 9 + 4
⇔ (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 16
Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (3, 2) dan
jari-jarinya 4. Grafik lingkaran yang sesuai ada
pada pilihan a.
6. Jawaban: d
Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik
(1, 4), berarti:
(1)2 + (4)2 + 6(1) – 2(4) + a = 0
⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0
⇔ a = –15
Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15
= 0.
Jari-jari lingkaran:
r = � �� �
� �� � � �− + − −
= � �� �
� �� � � �
−− + − − −
= � � � + += �
= 5
7. Jawaban: c
Lingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di
titik
–�
�p, –4
.
r = ( )� ��
�� � � � �− + −
= ��
�� �� � �+ =
��
�� �+
Lingkaran menyinggung sumbu X maka
r = |ordinat pusat|
Diperoleh:
��
�� �+ = |–4|
⇔�
��
�� �
+
= |–4|2
⇔�
�p2 + 7 = 16
⇔�
�p2 = 9
⇔ p2 = 36
⇔ p = ± 6
Jadi, pusat lingkaran adalah (3, –4) atau (–3, –4).
8. Jawaban: b
x – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2y
Substitusi x = 5 + 2y ke persamaan lingkaran
x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh:
(5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0
⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0
⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0
⇔ y2 + 4y + 3 = 0
⇔ (y + 3)(y + 1) = 0
⇔ y1 = –3 atau y
2= –1
81Matematika Kelas XI Program IPA
Y
X
y = 2x
6r
P
30
-------
----
----
----
b. Persamaan lingkaran dengan pusat A(1, 3)
adalah (x – 1)2 + (y – 3)2 = r2.
Lingkaran melalui titik (–4, 7):
(x – 1)2 + (y – 3)2 = r2
⇔ (–4 – 1)2 + (7 – 3)2 = r2
⇔ r2 = 25 + 16 = 41
Jadi, persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y – 3)2
= 41.
2. a. L1 : x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5
Lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan
berjari-jari r = .
b. Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di
(2, –4) dan berjari-jari 2 adalah:
(x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 )2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20
⇔ x2 + y2 – 4x + 8y = 0
3. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0
a. Lingkaran melalui titik (–1, 3) berarti:
(–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0
⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0
⇔ n = 18
b. x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0
Pusat: –
�
�(–8), –
�
�(–12)
= (4, 6)
Jari-jari: r = � �� ���� ��−
= ������� ��−
= ��
Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6).
d = � �� ���� = ������� = �
Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di
luar lingkaran.
c. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke
titik pusat lingkaran (4, 6) adalah:
s = � �
��� ��
� ���� �
− −−
= � �
�����
− − =
�
− =
�
×
=
�
Oleh karena s = �
≈ 1,34 < r = �� ≈ 5,83
maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran di
dua titik.
4. Pusat lingkaran = (2, –4).
a. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik
pusat (2, –4) ke garis 3x – 4y + 3 = 0, yaitu:
y1 = –3 ⇒ x
1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3)
y2 = –1 ⇒ x
2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1)
Panjang ruas garis AB
= � ��� � ��� ���� ���+
= � �� �+
= �� �+
= ��
= 2
9. Jawaban: e
Lingkaran L menying-
gung sumbu Y di titik
(0, 6) dan pusatnya di
garis y = 2x.
y = 6 ⇔ 2x = 6
⇔ x = 3
Pusat lingkaran P(3, 6)
dan jari-jari 3.
Jadi, persamaan ling-
karan L adalah
(x – 3)2 + (y – 6)2 = 32
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9
⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0
10. Jawaban: b
Persamaan lingkaran L dengan pusat (–1, 3) dan
jari-jari r = 1:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 12
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 . . . (1)
Garis g: ax + y = 0 ⇔ y = –ax . . . (2)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh:
x2 + (–ax) 2 + 2x – 6(–ax) + 9 = 0
⇔ x2 + a2x2 + 2x + 6ax + 9 = 0
⇔ (a2 + 1)x2 + (2 + 6a)x + 9 = 0
Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0.
(2 + 6a)2 – 4(a2 + 1) · 9 = 0
⇔ 4 + 24a + 36a2 – 36a2 – 36 = 0
⇔ 24a = 32
⇔ a = �
�
Jadi, syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung
lingkaran L adalah nilai a = �
� .
B. Uraian
1. a. Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan
menyinggung garis x = 8 berarti jari-jarinya r = 8.
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
dan jari-jari r = 8 adalah:
x2 + y2 = 82
⇔ x2 + y2 = 64
82 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
r = � �
��� �� � �
� � �
− − +
+ − =
� �� �
�
+ + =
�
= 5
b. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –4) dan
jari-jari r = 5:
(x – 2)2 + (y + 4)2 = 52
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0
⇔ x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
5. Titik pusat lingkaran: P(–2, 1).
Jari-jari lingkaran: r = � �� � � �− + + = 3
a. Jarak titik P(–2, 1) ke garis x + y – 8 = 0:
d = � �
� � �
� �
− + −
+ =
�
�
Oleh karena d1 =
�
� > r = 3 maka garis
x + y – 8 = 0 tidak berpotongan dengan
lingkaran L.
b. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x – y + 1 = 0:
d = � �
� � � � �
� � �
⋅ − − +
+ − =
�
Oleh karena d = �
< r = 3 maka garis
2x – y + 1 = 0 memotong lingkaran L.
c. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 3x – 4y – 5 = 0:
d = � �
� � � � �
� � �
⋅ − − ⋅ −
+ − =
�
− = 3
Oleh karena d = r = 3 maka garis 3x – 4y – 5 = 0
menyinggung lingkaran L.
d. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x + 2y – 1 = 0:
2x + 2y – 1 = 0:
d = � �
� � � � � �
� �
⋅ − + ⋅ −
+ =
�
� �
Oleh karena d = �
� � < r = 3 maka garis
2x + 2y – 1 = 0 memotong lingkaran L.
6. l: 2x + y = k Û y = k – 2x
Substitusi ke persamaan lingkaran L:
x2 + (k – 2x)2 = 4
⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4
⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0
Syarat garis tidak memotong lingkaran L di dua
titik yaitu D < 0.
(–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0
⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0
⇔ –4k2 + 80 < 0
⇔ k2 – 20 > 0
⇔ (k – �� )(k + �� ) > 0
⇔ (k – 2 )(k + 2 ) > 0
⇔ k < –2 atau k > 2
Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 atau
k > 2 .
7. Lingkaran menyinggung garis y = 10 di titik (5, 10)
berarti koordinat titik pusatnya (5, b) dan jari-jarinya
r = 10 – b. Persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2
+ (y – b)2 = (10 – b)2.
Lingkaran melalui titik (1, 2), berarti:
(1 – 5)2 + (2 – b)2 = (10 – b)2
⇔ 16 + 4 – 4b + b2 = 100 – 20b + b2
⇔ 20 – 4b = 100 – 20b
⇔ 16b = 80
⇔ b = 5
Jadi, persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2 + (y – 5)2
= 25.
8.
OB = OA = � �� � �+ − = �� � � = � = 5
Titik pusat lingkaran: P(r, –5).
Panjang jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik
P ke garis 3x + 4y = 0, yaitu:
r = � �
�� � �
� �
+ ⋅ −
+
⇔ r2 = �
�� ��
−
⇔ r2 = ���� ��
�
−
⇔ 25r2 = 9r2 – 120r + 400
⇔ 16r2 + 120 r – 400 = 0
⇔ 2r2 + 15r – 50 = 0
⇔ (2r – 5)(r + 10) = 0
⇔ r =
� atau r = –10
Oleh karena r > 0 maka r =
�.
+ – +
–2 2
X
Y
Pr
r
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
•3x + 4y = 0
8
A
B
O
83Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah
x2 + y2 = r2.
Lingkaran melalui titik A(3, 1):
x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (1)2 = r2
⇔ r2 = 9 + 1 = 10
Persamaan lingkaran berpusat di P(
�, 5) dan
berjari-jari r =
�:
x – �
�
+ (y – 5)2 =
�
�
⇔ x2 – 5x + �
� + y2 – 10y + 25 =
�
�
⇔ x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya:
x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0.
9.
Titik pusat kedua lingkaran pada garis y = �
berarti ordinat titik pusat adalah � .
Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0),
maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).
Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, � ) dan per-
samaannya:
(x – r)2 + (y – � )2 = r2
Lingkaran juga menyinggung garis y = �
�x � .
Substitusi y = �
�x � ke persamaan lingkaran:
(x – r)2 +
�
�x � – �
2
= r2
⇔ x2 – 2rx + r2 + �
�x2 – 2x + 3 = r2
⇔ �
�x2 – (2r + 2)x + 3 = 0
Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka
diskriminan (D) = 0, yaitu:
b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · �
� · 3 = 0
⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0
⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0
⇔ r2 + 2r – 3 = 0
⇔ (r + 3)(r – 1) = 0
⇔ r = –3 atau r = 1
Diperoleh titik pusat P1(–3, �) dan P
2(1, �).
Jarak kedua titik pusat:
P1P
2= � ��� � � � � �− − + −
= � �� �+= 4
10. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang
melalui ketiga titik sudut segitiga. Diketahui segitiga
ABC dengan A(0, 0), B(6, 0), dan C(0, 12). Tentukan
persamaan lingkaran luar segitiga ABC.
Jawaban:
Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BC
merupakan diameter lingkaran.
Titik tengah diameter BC merupakan titik pusat
lingkaran, yaitu titik (3, 6).
Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu:
d = BC = � ��� � �� ��− + −
= �� ���+
= ���
Jari-jari: r = �
�d =
�
���� =
���
� = �
Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dan jari-
jari r = � :
(x – 3)2 + (y – 6)2 = ( � )2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 45
⇔ x2 + y2 – 6x – 12y = 0
Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalah
x2 + y2 – 6x – 12y = 0.
P1 P P
2
r1r
1
r2 r
2
T2
O
y = �
���
y = �
Y
X
Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 10.
Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(3, 1):
x1x + y
1y = r2 ⇒ (3)x + (1)y = 10
⇔ 3x + y = 10
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik
A adalah 3x + y = 10.
84 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
5. Jawaban: e
Titik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena
(0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4.
Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadap
lingkaran L:
(0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 4
⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4
⇔ –2x + 2y = –2
⇔ x – y = 1
⇔ y = x – 1
Substitusi y = x – 1 ke persamaan lingkaran L:
(x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4
⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0
⇔ 2x2 – 4x = 0
⇔ 2x(x – 2) = 0
⇔ x = 0 atau x = 2
Untuk x1 = 0 maka y
1 = 0 – 1 = –1.
Untuk x2 = 2 maka y
2 = 2 – 1 = 1.
Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1).
6. Jawaban: d
Diketahui lingkaran x2 + y2 = 4 berpusat di titik (0, 0)
dan berjari-jari r = 2.
Untuk x = 0 dan y = 4 diperoleh:
02 + 42 = 0 + 16 = 16 > 4
Titik (0, 4) berada di luar lingkaran.
Misalkan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4
bergradien m, persamaannya:
y = mx + 2 �� �+Garis tersebut melalui titik (0, 4), maka:
4 = m · 0 + 2 �� �+
⇔ 4 = 2�� �+
⇔ �� �+ = 2
⇔ 1 + m2 = 4
⇔ m2 = 3
⇔ m = ± �
Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan
bergradien m = � adalah y = �x + 4.
Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan
bergradien m = – � adalah y = – �x + 4.
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya
y = – � x + 4.
7. Jawaban: c
x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
⇔ x2 – 6x + y2 – 4y = 12
⇔ x2 – 6x + 32 + y2 – 4y + 22 = 12 + 32 + 22
⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5.
Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yang
tegak lurus dengan garis tersebut bergradien –1.
2. Jawaban: d
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
Untuk x = 7 dan y = 1 diperoleh:
72 + 12 – 6(7) + 4(1) – 12
= 49 + 1 – 42 + 4 – 12
= 0
Diperoleh titik (7, 1) terletak pada lingkaran
sehingga persamaan garis singgungnya:
7x + 1y – �
�(x + 7) +
�
�(y + 1) – 12 = 0
⇔ 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0
⇔ 4x + 3y – 31 = 0
3. Jawaban: a
Lingkaran: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20
Memotong sumbu X berarti:
y = 0 ⇒ (x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20
⇔ (x + 4)2 + 4 = 20
⇔ (x + 4)2 = 16
⇔ x + 4 = ± 4
⇔ x = –4 ± 4
⇔ x = –8 atau x = 0
Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu X
adalah (–8, 0) dan (0, 0).
Persamaan garis singgung di titik (–8, 0):
(–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20
⇔ –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20
⇔ –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0
⇔ –4x – 2y – 32 = 0
⇔ 2x + y + 16 = 0
Persamaan garis singgung di titik (0, 0):
(0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20
⇔ 4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20
⇔ 4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0
⇔ 4x – 2y = 0
⇔ 2x – y = 0
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya
2x + y + 16 = 0.
4. Jawaban: a
Garis y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m = 2.
Titik pusat lingkaran: P(3, –5).
Jari-jari lingkaran: r = ��
Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m1.
Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis
y – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2.
Persamaan garis singgung lingkaran:
y – yP
= m(x – xP) ± r �� �+
⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± �� · �� �+
⇔ y + 5 = 2x – 6 ± �� ⋅
⇔ y = 2x – 11 ± ���
⇔ y = 2x – 11 ± 20
85Matematika Kelas XI Program IPA
Y
X
A
B1
B2
P
r
r
4
3
21
0–1–2
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–6
Persamaan garis singgung:
y – 2 = m(x – 3) ± 5 �� �+
⇔ y – 2 = –1(x – 3) ± 5 �� � �+ −
⇔ y – 2 = –x + 3 ± 5 �
⇔ y = –x + 5 ± 5 �
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya
y = –x + 5 – 5 � .
8. Jawaban: d
L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
y = 3 ⇒ (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9
⇔ (x + 1)2 = 9
⇔ x + 1 = ±3
⇔ x = –1 ± 3
⇔ x = 2 atau x = –4
Diperoleh titik potong (2, 3) dan (–4, 3).
Persamaan garis singgung di titik (2, 3):
(2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9
⇔ 3x + 3 + 0 = 9
⇔ x = 2
Persamaan garis singgung di titik (–4, 3):
(–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9
⇔ –3x – 3 + 0 = 9
⇔ x = –4
Persamaan garis singgungnya x = 2 dan x = –4.
9. Jawaban: c
Misalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.
Titik pusat lingkaran L: P –
�
�, 2
.
Jari-jari lingkaran L: r = �
��
�� � −
+ −
= �
��+
= �
� =
�
Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis AB
merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik
dari titik A.
Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran
L di titik B1 dan B
2.
Panjang garis AB1= AB
2 = s.
s = � ��� �−
= � � � � ��� � �� � �− + − −
= � �
�
� �� �
+ − −
= �� = 4
Jadi, panjang garis AB adalah 4.
10. Jawaban: d
x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0
Garis melalui O(0, 0): y = mx
Substitusi ke persamaan lingkaran:
x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0
⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 6)x + 5 = 0
Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti:
D = 0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0
⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0
⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0
⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0
⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0
⇔ m = �
� atau m = –2
Jadi, gradiennya �
� dan –2.
B. Uraian
1. a. Persamaan: x2 + y2 = 34
Untuk x = –3 dan y = 5 diperoleh:
(–3)2 + (5)2 = 9 + 25 = 34
Titik (–3, 5) terletak pada lingkaran sehingga
persamaan garis singgungnya:
x1x + y
1y = 34 ⇒ –3x + 5y = 34
⇔ 3x – 5y + 34 = 0
b. Persamaan: x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0
Untuk x = 1 dan y = 2 diperoleh:
(1)2 + (2)2 + 4(1) – 2(2) – 5
= 1 + 4 + 4 – 4 – 5 = 0
Titik (1, 2) terletak pada lingkaran sehingga
persamaan garis singgungnya:
x1x + y
1y +
�
�(x + x
1) +
�
�
−(y + y
1) – 5 = 0
⇒ 1x + 2y + 2(x + 1) – 1(y + 2) – 5 = 0
⇔ x + 2y + 2x + 2 – y – 2 – 5 = 0
⇔ 3x + y – 5 = 0
2. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
adalah x2 + y2 = r2.
Lingkaran melalui titik (–1, 2):
x2 + y2 = r2 ⇒ (–1)2 + (2)2 = r2
⇔ r2 = 1 + 4 = 5
86 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 5.
Persamaan garis singgung lingkaran di titik
A(–1, 2):
x1x + y
1y = r2 ⇒ (–1)x + (2)y = 5
⇔ –x + 2y = 5
Jadi, persamaan lingkaran x2 + y2 = 5 dan
garis singgungnya di titik A adalah –x + 2y = 5.
b. Lingkaran dan garis singgungnya:
3. Misal titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2
= 13 adalah T(–1, b) maka:
(–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13
⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0
⇔ b2 + 2b – 3 = 0
⇔ (b + 3)(b – 1) = 0
⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0
⇔ b = –3 atau b = 1
Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T
2(–1, 1).
Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) pada
lingkaran L:
(–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13
⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13
⇔ –3x – 2y – 9 = 0
⇔ 3x + 2y + 9 = 0
Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) pada
lingkaran L:
(–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13
⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13
⇔ –3x + 2y – 5 = 0
⇔ 3x – 2y + 5 = 0
4. Titik T(–4, 1) terletak pada lingkaran L1 karena:
(–4)2 + 12 + 10(–4) + 4(1) + 19
= 16 + 1 – 40 + 4 + 19
= 0
Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik T:
g: –4x + y + 5(x – 4) + 2(y + 1) + 19 = 0
⇔ –4x + y + 5x – 20 + 2y + 2 + 19 = 0
⇔ x + 3y + 1 = 0
Jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titik
P(4, –1) ke garis singgung g.
Jari-jari lingkaran L2:
r2 =
� �
� � � � �
� � �
+ ⋅ − +
+ − =
�
��
Persamaan lingkaran L2:
(x – 4)2 + (y + 1)2 = �
�
��
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = �
⇔ 5x2 + 5y2 – 40x + 10y + 83 = 0
5. L: x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0
⇔ x2 – 8x + y2 – 8y = –24
⇔ x2 – 8x + 42 + y2 – 8y + 42 = –24 + 42 + 42
⇔ (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8
Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jari r
= � .
Garis y = x melalui titik pusat lingkaran, maka garis
singgung lingkaran yang melalui titik potong antara
lingkaran L dan garis y = x tegak lurus dengan
garis y = x.
Oleh karena garis y = x bergradien 1, garis singgung-
nya bergradien –1.
Persamaan garis singgungnya:
y – 4 = –1(x – 4) ± � �� � �+ −
⇔ y – 4 = –x + 4 ± � �
⇔ y = –x + 8 ± 4
⇔ y = –x + 12 atau y = –x + 4
Jadi, persamaan garis singgungnya y = –x + 12
dan y = –x + 4.
6. a. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 80
yang bergradien m = –�
� adalah:
y = –�
�x ± ��
��
��
+
⇔ y = –�
�x ± ��
�
⇔ y = –�
�x ± 10
Diperoleh persamaan garis singgung
y = –�
�x + 10 dan y = –
�
�x – 10.
b. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0
⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9
⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100
Garis singgung dengan m = �
�
y + 3 = �
�(x – 5) ± ���
��
��
+
⇔ y + 3 = �
�(x – 5) ± 10
�
�
Y
X
A2,5
2
–5 –1 0
87Matematika Kelas XI Program IPA
Y
X
P1
P2
Q
2
–2
–7
10
⇔ y + 3 = �
�x –
��
� ±
�
�
⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50
⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0
⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0
atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0
⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya 4x – 3y
+ 21 = 0 dan 4x – 3y – 7 = 0.
7. L: x2 + y2 + 2x – 6y = 0
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 1 + 9
⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 10
Diperoleh koordinat titik pusat (–1, 3) dan jari-jari r
= �� .
g: 2x + 6y – 5 = 0
⇔ y = –�
�x +
�
Diperoleh gradien garis g adalah –�
�.
Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien 3.
Persamaan garis singgung lingkaran L yang
bergradien m = 3 adalah:
y – 3 = 3(x + 1) ± ���� �+
⇔ y – 3 = 3x + 3 ± �� ��
⇔ 0 = 3x – y + 6 ± 10
Jadi, persamaan garis singgungnya 3x – y + 16
= 0 dan 3x – y – 4 = 0.
8. Titik pusat lingkaran L1: P
1(–2, 2).
Jari-jari lingkaran: r1 = � �� � � ��− + + = � = 5.
Titik pusat lingkaran L2: P
2(10, –7).
Jari-jari lingkaran: r2 = � ��� � � ��+ − − = ���
= 10.
Lingkaran L1 dan L
2 bersinggungan di titik Q.
Garis adalah garis singgung persekutuan
lingkaran L1 dan L
2.
Gradien garis P1P
2.
m1 = � �
� �
� �
� �
� �
� �
−−
= � � �
� ��
− −− −
= –�
�� = –
�
�
Misalkan gradien garis adalah m.
Garis tegak lurus garis P1P
2 maka
m1m = –1 ⇒ –
�
�m = –1 ⇔ m =
�
�
Menentukan koordinat titik Q.
L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0
L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0
––––––––––––––––––––––––– –24x – 18y – 66 = 0
⇔ 4x – 3y – 11 = 0
⇔ y = �� ��
�
−
Substitusi y = �� ��
�
− ke persamaan L
1:
x2 +
�� ��
�
−
2 + 4x – 4
�� ��
�
− – 17 = 0
⇔ x2 + ���� ��� ���
�
− + + 4x –
��
�x +
��
� – 17 = 0
⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132
– 153 = 0
⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0
⇔ x2 – 4x + 4 = 0
⇔ (x – 2)2 = 0
⇔ x = 2
Substitusi x = 2 ke y = �� ��
�
−:
y = � � ��
�
⋅ − = –1
Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).
Persamaan garis yang bergradien m dan melalui
titik (x1, y
1):
y – y1 = m(x – x
1)
Garis bergradien �
� dan melalui titik Q(2, –1)
maka persamaan garis :
y + 1 = �
�(x – 2)
⇔ 3y + 3 = 4x – 8
⇔ 4x – 3y – 11 = 0
Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung
lingkaran L1 dan L
2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.
9. Lingkaran: (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16
Titik pusat (2, 6) dan jari-jari r = 4.
Titik (–1, 2) berada di luar lingkaran.
Persamaan garis kutub dari titik (–1, 2):
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 – 6)(y – 6) = 16
⇒ (–1 – 2)(x – 2) + (2 – 6)(y – 6) = 16
⇔ (–3)(x – 2) + (–4)(y – 6) = 16
⇔ –3x + 6 – 4y + 24 = 16
⇔ –4y = 3x – 14
⇔ y = �� ��
�
−−
88 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Substitusi persamaan garis kutub ke persamaan
lingkaran:
(x – 2)2 + (y – 6)2 = 16
⇒ (x – 2)2 + (�� ��
�
−− – 6)2 = 16
⇔ x2 – 4x + 4 + (�� �� ��
�
− +− )2 – 16 = 0
⇔ x2 – 4x – 12 + (�� ��
�
+− )2 = 0
⇔ x2 – 4x – 12 + ��� ��� ��
��
+ += 0
⇔ 16x2 – 64x – 192 + 9x2 + 60x + 100 = 0
⇔ 25x2 – 4x – 92 = 0
⇔ (x – 2)(25x + 46) = 0
⇔ x = 2 atau x = –��
�
x = 2 ⇒ y = ��� ��
�
−−
= �
�
−− = 2
x = –��
� ⇒ y = –
��
� �� ��
�
− −−
= ��� � �
���
− −−
= ���
���
−− =
���
�
Persamaan garis singgung di titik (2, 2):
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 – 6)(y – 6) = 16
⇒ (2 – 2)(x – 2) + (2 – 6)(y – 6) = 16
⇔ (0)(x – 2) + (–4)(y – 6) = 16
⇔ –4y + 24 = 16
⇔ –4y = –8
⇔ y = 2
Persamaan garis singgung di titik (–��
� ,
���
� ):
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 – 6)(y – 6) = 16
⇒(–��
� – 2)(x – 2) + (
���
� – 6)(y – 6)= 16
⇔(–��
� )(x – 2) + (–
��
� )(y – 6)= 16
⇔ (–96)(x – 2) + (–28)(y – 6) = 400
⇔ –96x + 192 – 28y + 168 = 400
⇔ –96x – 28y = 40
⇔ 24x + 7y = –10
Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2 dan
24x + 7y = –10.
10. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2
= r2 dengan gradien m = –�
�:
y = –�
�x ± r
��
�� − +
⇔ y = –�
�x ± r
��
�� +
⇔ y = –�
�x ± r
�
�
⇔ y = –�
�x ±
�
�
⇔ 3y = –4x ± 5r
Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung maka:
3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r
⇔ –12 = –36 ± 5r
⇔ 24 = ± 5r
⇔ r = ±��
= ±4,8
Oleh karena jari-jari (r) menyatakan panjang, r ber-
nilai positif.
Jadi, jari-jari lingkaran adalah r = 4,8.
A. Pilihlan Ganda
1. Jawaban: d
Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran
O(0, 0) dan jari-jarinya 4. Persamaan lingkaran:
x2 + y2 = 42
⇔ x2 + y2 = 16
2. Jawaban: e
y = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0
Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0)
ke garis 2x – y – 3 = 0, yaitu:
r = � �
��� �� �
� � �
− −
+ − =
�
− ⇔ r2 =
�
Persamaan lingkaran L:
x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = �
�
⇔ x2 + y2 = ��
�
⇔ 25x2 + 25y2 = 81
3. Jawaban: e
2x2 + 2y2 = 49
⇔ x2 + y2 = ��
�
r = ��
� =
�
� =
�
��
Jadi, jari-jari lingkaran r = �
�� .
89Matematika Kelas XI Program IPA
4. Jawaban: b
Lingkaran berdiameter 12 berarti jari-jarinya r = 6.
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 7) dan jari-
jari r = 6 adalah:
(x – 2)2 + (y – 7)2 = 62
⇔ (x – 2)2 + (y – 7)2 = 36
5. Jawaban: b
Lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan
menyinggung sumbu X sebagai berikut.
Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran
(2, –3) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran:
(x – 2)2 + (y – (–3))2 = 32
⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0
⇔ x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
6. Jawaban: c
x2 + y2 + 4x – 12y – 9 = 0
⇔ x2 + 4x + y2 – 12y = 9
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 9 + 4 + 36
⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 49
⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 72
Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 6) dan jari-jari 7.
7. Jawaban: a
Titik pusat lingkaran: 2, –
�
�p
.
Lingkaran menyinggung sumbu Y maka
r = |||||absis titik pusat|||||
⇒�
� �
�� � � −
+ − = 2
⇔��
�� � + − = 2
⇔��
� – 21 = 22
⇔��
�= 25
⇔ p2 = 100
⇔ p = ± ��� = ±10
Jadi, nilai p adalah ± 10.
8. Jawaban: a
Lingkaran x2 + y2 + nx – 8y – 64 = 0 melalui titik
(2, –6), berarti:
Y
X0 2
–3
r = 3
(2)2 + (–6)2 + n(2) – 8(–6) – 64 = 0
⇔ 4 + 36 + 2n + 48 – 64 = 0
⇔ 2n = –24
⇔ n = –12
Persamaan lingkaran:
x2 + y2 – 12x – 8y – 64 = 0
⇔ x2 – 12x + 36 + y2 – 8y + 16 = 64 + 36 + 16
⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 116
Diperoleh koordinat titik pusat (6, 4).
9. Jawaban: a
x2 + y2 – 6x + 2 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = –2 + 9
⇔ (x – 3)2 + y2 = 7
Diperoleh koordinat titik pusat (3, 0).
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 0)
dan berjari-jari 1 adalah:
(x – 3)2 + y2 = 12
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = 1
⇔ x2 + y2 – 6x + 8 = 0
10. Jawaban: c
x2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0
Titik (x1, y
1) berada di dalam lingkaran, berarti
x12 + y
12 – 8x
1 + 5y
1 – 17 < 0.
(0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0
(4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0
(–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0
(4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0
(–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0
Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2)
berada di dalam lingkaran, sedangkan titik (–4, 2)
di luar lingkaran.
11. Jawaban: c
Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3)
dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.
r = � �
�� � ��� �
� � �
− − +
+ − =
� �����
�
− − =
��
− = |–2| = 2
Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4.
12. Jawaban: d
Lingkaran x2 + y2 + 8x – 2y + a = 0 berpusat di
titik (–�
�, –
�
�
−) = (–4, 1).
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–4, 1)
dan berjari-jari 6 adalah
(x + 4)2 + (y – 1)2 = 62
⇔ x2 + 8x + 64 + y2 – 2y + 1 = 36
⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 64 + 1 – 36 = 0
⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 29 = 0
Jadi, nilai a = 29.
13. Jawaban: e
Lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y
berpusat di titik (a, a) atau (a, –a) dan berjari-jari a.
90 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
1) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis
4x – 2y = 8, maka:
4a – 2a = 8
⇔ 2a = 8
⇔ a = 4
Persamaan lingkaran dengan pusat (4, 4) dan
berjari-jari 4 adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42.
2) Misalkan titik pusatnya (a, –a) terletak pada
garis 4x – 2y = 8, maka:
4a – 2(–a) = 8
⇔ 4a + 2a = 8
⇔ 6a = 8
⇔ a = �
�
Persamaan lingkaran dengan pusat (�
�, –
�
�)
dan berjari-jari �
� adalah:
(x – �
�)2 + (y +
�
�)2 =
��
�
.
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
(x – 4)2 + (y – 4)2 = 42 dan (x – �
�)2 + (y +
�
�)2 =
��
�
.
14. Jawaban: c
Titik pusat L1: P
1(5, –1)
Jari-jari L1: r
1= � � � � ��+ − + = �� = 6
Titik pusat L2: P
2(–4, 11)
Jari-jari L2: r
2= � �� � �� �− + + = ��� = 12
Jarak kedua titik pusat:
d = |P1P
2| =
� � � �
� �� � � ��� � �� � − + −
= � �� � � � � ��− − + − −
= �� = 15
r1 + r
2 = 6 + 12 = 18
|r1 – r
2| = |6 – 12| = 6
Oleh karena r1 – r
2 < d < r
1 + r
2 maka kedua
lingkaran saling berpotongan.
15. Jawaban: d
Misalkan lingkaran L1 di kuadran I maka titik
pusatnya: P(2, 2).
Lingkaran L2 bersinggungan di dalam dengan L
1 di
titik A.
Jari-jari L2:
r2
= OP + PA = � ��� � �� �− + − + r1
= � + 2 = 2 � + 2
Persamaan L2:
x2 + y2 = r22
⇔ x2 + y2 = (2 � + 2)2
⇔ x2 + y2 = 8 + 8 � + 4
⇔ x2 + y2 = 12 + 8 �
16. Jawaban: b
x2 + y2 = 13
Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:
(–3)2 + 22 = 9 + 4 = 13
Titik (–3, 2) terletak pada lingkaran, sehingga
persamaan garis singgungnya:
x1x + y
1y = r2 ⇒ –3x + 2y = 13
Garis memotong sumbu Y, berarti:
x = 0 ⇒ –3(0) + 2y = 13
⇔ 2y = 13
⇔ y = ��
�
Jadi, garis singgung memotong sumbu Y di titik
(0, ��
�).
17. Jawaban: c
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26
Untuk x = –3 dan y = 6 diperoleh:
(–3 + 2)2 + (6 – 1)2
= 1 + 25 = 26
Diperoleh titik (–3, 6) terletak pada lingkaran,
sehingga persamaan garis singgungnya:
(x1 + 2)(x + 2) + (y
1 – 1)(y – 1) = 26
⇔ (–3 + 2)(x + 2) + (6 – 1)(y – 1) = 26
⇔ (–1)(x + 2) + (5)(y – 1) = 26
⇔ –x – 2 + 5y – 5 – 26 = 0
⇔ –x + 5y – 33 = 0
⇔ x – 5y + 33 = 0
18. Jawaban: a
Persamaan: x2 + y2 + 3x + 4y – 12 = 0
Untuk x = 0 dan y = 2 diperoleh:
(0)2 + (2)2 + 3(0) + 4(2) – 4
= 0 + 4 + 0 + 8 – 12 = 0
Diperoleh titik (0, 2) terletak pada lingkaran,
sehingga persamaan garis singgungnya:
x1x + y
1y +
�
�(x + x
1) +
�
�(y + y
1) – 12= 0
⇒ 0x + 2y + �
�(x + 0) + 2(y + 2) – 12 = 0
⇔ 2y + �
�x + 2y + 4 – 12 = 0
⇔ 4y + 3x + 4y – 16 = 0
⇔ 3x + 8y – 16 = 0
Y
X
A
P
O 2
r1r
1
r1
2
L1
L2
91Matematika Kelas XI Program IPA
y = 0 ⇒ 3x + 8(0) – 16 = 0
⇔ 3x = 16
⇔ x = 5�
�
Jadi, garis singgung lingkaran berpotongan dengan
sumbu X di titik (5�
�, 0).
19. Jawaban: c
Misalkan titik singgung lingkaran L:
x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2) maka
a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15 = 0
⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0
⇔ a2 – 4a + 3 = 0
⇔ (a – 3)(a – 1) = 0
⇔ a = 3 atau a = 1
Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T
2(3, –2).
Persamaan garis singgung di T1 (1, –2):
x – 2y – �
�(x + 1) +
�
�(y – 2) + 15 = 0
⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0
⇔ –x + 2y + 5 = 0
⇔ x – 2y – 5 = 0
Persamaan garis singgung di T2 (3, –2):
3x – 2y – �
�(x + 3) +
�
�(y – 2) + 15 = 0
⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0
⇔ x + 2y + 1 = 0
Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya
x – 2y – 5 = 0.
20. Jawaban: b
Lingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu:
(x – 2)2 + (y + 2)2 = r2
Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti:
(3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2
⇔ r2 = 12 + 12 = 2
Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2.
Persamaan garis singgung di titik (3, –1):
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 + 2)(y + 2) = 2
⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2
⇔ x – 2 + y + 2 – 2 = 0
⇔ x + y – 2 = 0
21. Jawaban: a
Lingkaran: x2 + y2 = 36
Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = �� = 6
3x + 4y – 20 = 0
⇔ y = –�
�x – 5
Diperoleh gradien m = –�
�.
Persamaan garis singgung:
y = –�
�x ± 6
��
�� −
+
⇔ y = –�
�x ± 6
� ��
�� ��+
⇔ y = –�
�x ± 6 ·
�
⇔ 4y = –3x ± 30
Salah satu persamaan garis singgungnya:
4y = –3x – 30
⇔ 3x + 4y + 30 = 0
22. Jawaban: c
Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 10
Persamaan garis singgung yang bergadien m = –3:
y – b = m(x – a) ± r �� �+
⇒ y + 4 = –3(x – 2) ± ���� � �+ −
⇔ y + 4 = –3x + 6 ± �� ��
⇔ 3x + y = 2 ± 10
⇔ 3x + y = 2 + 10 dan 3x + y = 2 – 10
⇔ 3x + y = 12 dan 3x + y = –8
Jadi, persamaan garis singgungnya 3x + y = 12
dan 3x + y = –8.
23. Jawaban: e
Selidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran
L: x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0.
Substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L:
02 + 02 – 6 · 0 – 8 · 0 + 20
= 0 + 0 – 0 – 0 + 20
= 20 > 0
Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) ke
persamaan lingkaran L lebih dari nol maka titik
(0, 0) terletak di luar lingkaran L.
Persamaan garis kutub titik (0, 0) terhadap
lingkaran L:
0 · x + 0 · y – �
�(x + 0) –
�
�(y + 0) + 20 = 0
⇔ –3x – 4y + 20 = 0
⇔ y = �� ��
�
−
Substitusi y = �� ��
�
− ke persamaan lingkaran L:
x2 +
�� ��
�
−
2
– 6x – 8
�� ��
�
−
+ 20 = 0
⇔ x2 + ���� ���� ��
��
− + – 6x – 40 + 6x + 20 = 0
⇔ 16x2 + 400 – 120x + 9x2 – 320 = 0
⇔ 25x2 – 120x + 80 = 0
⇔ 5x2 – 24x + 16 = 0
⇔ (5x – 4)(x – 4) = 0
⇔ 5x – 4 = 0 atau x – 4 = 0
⇔ x = �
atau x = 4
Untuk x1 =
�
maka y
1=
�
�� �
�
− ⋅
= 5 – �
=
��
92 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Untuk x2 = 4 maka y
2 =
�� � �
�
− ⋅ = 2
Diperoleh titik singgung
�
,
��
dan (4, 2).
Persamaan garis singgung pada lingkaran L:
(i) Di titik
�
,
��
:
�
x +
��
y –
�
�
x +
�
–
�
�
y +
��
+ 20 = 0
⇔ �
x +
��
y – 3x –
��
– 4y –
��
+ 20 = 0
⇔ 4x + 22y – 15x – 20y = 0
⇔ –11x + 2y = 0
⇔ 11x – 2y = 0
(ii) Di titik (4, 2):
4x + 2y – �
�(x + 4) –
�
�(y + 2) + 20 = 0
⇔ 4x + 2y – 3x – 12 – 4y – 8 + 20 = 0
⇔ x – 2y = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 di titik (0, 0) adalah
11x – 2y = 0 atau x – 2y = 0.
24. Jawaban: c
Misalkan koordinat titik P(x1, y
1).
Titik P di luar lingkaran L.
Garis singgung di titik A melalui AP dan garis
singgung di titik B melalui BP.
Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub dari
titik P pada lingkaran L.
Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran
L: x1x + y
1y = 25. Sehingga diperoleh x
1 = 7 dan
y1 = –1.
Jadi, koordinat titik P(7, –1).
25. Jawaban: d
Garis singgung 1 tegak lurus PB
1 dan garis
singgung 2 tegak lurus PB
2.
Jarak PQ = � �
� ��� ��+
� �� � � ��� � �� � − + − = � �� �+
⇔ � �� � � �− − + − = �
⇔ (–7)2 + (5 – b)2 = 65
⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65
⇔ b2 – 10b + 9 = 0
⇔ (b – 1)(b – 9) = 0
⇔ b = 1 atau b = 9
Jadi, nilai b = 1 atau b = 9.
26. Jawaban: e
L: (x + 5)2 + (y – 6)2 = 9
Substitusi x = –5 ke L:
(–5 + 5)2 + (y – 6)2 = 9
⇔ (y – 6)2 = 9
⇔ y – 6 = ±3
⇔ y = 6 ± 3
⇔ y = 9 atau y = 3
Diperoleh titik potong (–5, 9) dan (–5, 3).
Persamaan garis singgung di titik (–5, 9):
(–5 + 5)(x + 5) + (9 – 6)(y – 6) = 9
⇔ 0(x + 5) + 3(y – 6) = 9
⇔ y – 6 = 3
⇔ y = 9
Persamaan garis singgung melalui (–5, 3):
(–5 + 5)(x + 5) + (3 – 6)(y – 6) = 9
⇔ 0(x + 5) – 3(y – 6) = 9
⇔ y – 6 = –3
⇔ y = 3
Jadi, garis singgungnya y = 3 dan y = 9.
27. Jawaban: d
Titik pusat lingkaran: (3, –2).
Jari-jari lingkaran: r = � �� � � + − +
= �� = 3 � .
Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0.
02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0
⇔ y2 + 4y – 5 = 0
⇔ (y + 5)(y – 1) = 0
⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0
⇔ y = –5 atau y = 1
Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).
Persamaan garis singgung di titik A:
0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0
⇔ y – 3x + 2y + 2 – 5 = 0
⇔ –3x + 3y – 3 = 0
⇔ x – y + 1 = 0
Persamaan garis singgung di titik B:
0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0
⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0
⇔ –3x – 3y – 15 = 0
⇔ x + y + 5 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah
x – y + 1 = 0 dan x + y + 5 = 0.
28. Jawaban: d
Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0
diperoleh:
Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).
Jari-jari lingkaran: r = � �� � � �− + − = 2.
Y
X
Q(–
2, 5
)
O
B1
B2
P(5, b)
r
1
2
47
93Matematika Kelas XI Program IPA
Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan
x = a atau x – a = 0.
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3)
ke garis x – a = 0.
r = �
� �
�
− − = |||||–1 – a |||||
⇔ r2 = |||||–1 – a |||||2
⇔ 22 = 1 + 2a + a2
⇔ a2 + 2a – 3 = 0
⇔ (a + 3)(a – 1) = 0
⇔ a + 3 = 0 atau a – 1 = 0
⇔ a = –3 atau a = 1
Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 atau
x = 1.
29. Jawaban: b
Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A
adalah g dan gradiennya mg = –
�
�.
OA merupakan jari-jari lingkaran L.
Persamaan garis yang melalui OA:
� �
� �
−− =
� �
� �
−−
⇔ �
�=
�
�
⇔ y = �
�x
Gradien garis yang melalui OA: m = �
�
Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka
mg · m = –1
⇒ –�
� ·
�
�= –1
⇔ a = 1
Jadi, nilai a = 1
30. Jawaban: d
L: x2 + y2 – 24x – 12y + 168 = 0
⇔ x2 – 24x + 144 + y2 – 12y + 36 = –168 + 144
+ 36
⇔ (x – 12)2 + (y – 6)2 = 12
Diperoleh koordinat titik pusat (2, 3) dan jari-jari r
= �� = 2 � .
Titik A dan B merupakan titik singgung dari dua
garis singgung yang sejajar sehingga panjang AB
sama dengan panjang diameter.
Jadi, panjang AB = d = 2r = 4 �.
B. Uraian
1. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
adalah x2 + y2 = r2.
Lingkaran melalui titik (3, –2):
x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (–2)2 = r2
⇔ r2 = 9 + 4 = 13
Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 13.
b. Lingkaran berdiameter 8 berarti jari-jarinya
r = 4.
Persamaan lingkaran dengan pusat P(–3, 1)
dan jari-jari r = 4 adalah:
(x – (–3))2 + (y – 1)2 = 42
⇔ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 16
⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 – 16 = 0
⇔ x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0
2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0
a. Pusat: –
�
�(6), –
�
�(–14)
= (–3, 7)
Jari-jari: r = − −� �� � ���� �
= −������ � = �� = 7
Jadi, pusat lingkaran L(–3, 7) dan jari-jarinya 7.
b. Persamaan lingkaran dengan pusat (–3, 7) dan
r = 5:
(x + 3)2 + (y – 7)2 = 52
⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0
⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0
Jadi, persamaan lingkarannya
x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0.
3. Titik pusat L1: P
1(0, –4).
Jari-jari L1: r
1 = � �� � � �+ − − = �� .
Titik pusat L2: P
2(4, 2).
Jari-jari L2: r
2 = � �� � �+ − = �� .
Oleh karena jari-jari r1 = r
2 maka titik P
3 merupakan
titik tengah garis P1P
2.
Koordinat titik pusat: P3
� �� �� �
�
+, � �� �� �
�
+
= P3
� �
�
+,
� �
�
− +
= P3(2, –1)
Jari-jari L3: r
3 = 2r
1 = 2r
2 = 2 �� .
Persamaan lingkaran L3:
(x – xP3
)2 + (y – yP3
)2 = r32
⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 �� )2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52
⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0
Jadi, persamaan lingkaran L3:
x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0
4. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0
a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti:
22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12 = 0
⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0
⇔ 3p = –3
⇔ p = –1
94 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
b. L: x2 + y2 – 2x – y – 12 = 0
B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12
= 16 + 0 + 8 – 12
= 12 > 0
Sehingga kedudukan titik B di luar lingkaran.
C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12
= 4 + 9 – 4 – 3 – 12
= –6 < 0
Sehingga kedudukan titik C di dalam lingkaran.
5. a. Pusat lingkaran: P(–2, 3)
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat
ke garis x + y = 0, yaitu:
r = � �
� � �
� �
− + +
+ =
�
�
⇔ r2 = �
�
Persamaan lingkaran:
(x – (–2))2 + (y – 3)2 = �
�
⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = �
�
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = �
�
⇔ 2x2 + 8x + 8 + 2y2 – 12y + 18 = 1
⇔ 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0
b. 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0
Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:
2(–3)2 + 2(2)2 + 8(–3) – 12(2) + 25
= 18 + 8 – 24 – 24 + 25
= 3 > 0
Oleh karena hasilnya positif, maka titik Q di
luar lingkaran L.
6. a. Persamaan lingkaran L dengan pusat O(0, 0)
adalah x2 + y2 = r2.
Lingkaran L melalui titik (1, –3):
x2 + y2 = r2 ⇒ (1)2 + (–3)2 = r2
⇔ r2 = 1 + 9 = 10
Jadi, persamaan lingkaran L: x2 + y2 = 10.
b. Persamaan garis singgung lingkaran L yang
bergadien 2:
y = mx ± r �� �+
⇒ y = 2x ± ���� �+
⇔ y = 2x + ���� �+
⇔ y = 2x ± �
⇔ y = 2x ± 5 �
Jadi , persamaan gar is s inggungnya
y = 2x + 5 � dan y = 2x – 5 � .
7. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
a. Untuk x = –2 dan y = –6 diperoleh:
(x – 2)2 + (y + 3)2 = (–2 – 2)2 + (–6 + 3)2
= 16 + 9 = 25
Jadi, titik (–2, –6) terletak pada lingkaran.
b. Persamaan garis singgung lingkaran di titik
P(–2, –6) yaitu:
(x1 – 2)(x – 2) + (y
1 + 3)(y + 3) = 25
⇔ (–2 – 2)(x – 2) + (–6 + 3)(y + 3) = 25
⇔ –4(x – 2) – 3(y + 3) = 25
⇔ –4x + 8 – 3y – 9 = 25
⇔ 4x + 3y + 26 = 0
8. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 15 + 4 + 1
⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 20
Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 1) dan jari-jari
r = �� .
g: 6x + 3y – 1 = 0
⇔ y = –2x + �
�
Diperoleh gradien garis g adalah –2.
a. Garis singgung yang sejajar garis garis g
bergradien m = –2.
Persamaan garis singgung lingkaran L yang
bergradien m = –2 adalah:
y – 1 = –2(x + 2) ± ���� � �+ −
⇔ y – 1 = –2x – 4 ± ��
⇔ y = –2x – 3 ± 10
⇔ 2x + y = –3 ± 10
Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y
= –3 ± 10.
b. Garis singgung yang tegak lurus garis g
bergradien m = �
�.
Persamaan garis singgung lingkaran L yang
bergradien m = �
� adalah:
y – 1 = �
�(x + 2) ± ��
� �
�� � +
⇔ y – 1 = x + 1 ± ��
�
⇔ y = x + 2 ± 5
⇔ 2y = x + 4 ± 10
⇔ x – 2y = –4 ± 10
Jadi, persamaan garis singgungnya x – 2y
= –4 ± 10.
9. Ordinat titik pusat = 2.
Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2).
Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaran
berarti titik P(a, 2) terletak pada garis g.
95Matematika Kelas XI Program IPA
Sehingga:
a – 3 · 2 + 5 = 0 ⇔ a = 1
Diperoleh titik pusat: P(1, 2).
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2)
ke titik A(0, –1):
r = � �� � �� � �� � − + −
= � ��� � �� � �− + − −
= � �� �+ = � �+ = ��
⇔ r2 = 10
Persamaan lingkaran:
(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10
Persamaan garis singgung di titik A(0, –1):
(0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10
⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10
⇔ –x – 3y – 3 = 0
⇔ x + 3y + 3 = 0
Jadi, persamaan garis singgung di titik A
x + 3y + 3 = 0.
10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
Titik pusat: P(2, –4)
a. : x – 2y + 6 = 0
⇔ 2y = x + 6
⇔ y = �
�x + 3
Gradien garis : m = �
�
Garis g tegak lurus garis maka gradien garis g
adalah m1 = –2.
Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0
karena memotong sumbu Y positif.
Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0.
Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah
2 maka:
2 = � �
� � � �
� �
⋅ − −
+⇔ (2 )2 =
��
−
⇔ 20 = ��
⇔ c2 = 100
⇔ c = ± 10
Oleh karena c > 0 maka c = 10.
Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0
⇔ y = –2x + 10
b. Mencari koordinat titik potong M dan N.
Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan L:
x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0
⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0
⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0
⇔ x2 – 12x + 35 = 0
⇔ (x – 7)(x – 5) = 0
⇔ x = 7 atau x = 5
Untuk x1 = 7 maka y
1 = –2 · 7 + 10 = –4
Untuk x2 = 5 maka y
2 = –2 · 5 + 10 = 0
Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0).
c. Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4):
7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0
⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0
⇔ 5x – 35 = 0
⇔ x = 7
Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0):
5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0
⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0
⇔ 3x + 4y – 15 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya x = 7 dan
3x + 4y – 15 = 0.
96 Ulangan Akhir Semester
3. Jawaban: e
Median di kelas interval 76–80.
L = 75,5; fme
= 15; fkme
= 11; n = 40; dan p = 5.
Me = L + ��
���
��
� �
�
−
· p
= 75,5 +
�
�� ��
��
−
· 5
= 75,5 + �
��
· 5
= 75,5 + 3
= 78,5
Jadi, median data tersebut 78,5.
4. Jawaban: c
Σfi = 106 + n
Σfix
i = 7.242 + 57n
x– =
� �
�
ΣΣ ⇔ 67 =
���� ���
�� �
++
⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n
⇔ 10n = 140
⇔ n = 14
Banyak mobil yang berkecepatan kurang dari
60 km/jam = 14 + 2 = 16.
A. Pilhan Ganda
1. Jawaban: b
n1 = 46 → �� = 6,5
n2 = 4
n = 46 + 4 = 50 → � = 6,5 + 0,04 = 6,54
� = � � � �
� �
� � � �
� �
++
⇔ 6,54 = ������� �
�
++
⇔ 6,54 = ���� �
�
+
⇔ 327 = 299 + ��
⇔ �� = 28
⇔ �� = 7
Jadi, nilai rata-rata ulangan susulan 4 siswa adalah 7.
2. Jawaban: c
�� = c
⇔ � � � � �
�
+ + + + += c
⇔ �� ��
�
+= c
⇔ 15 + 2a = 6c
⇔ 2a – 6c = –15 . . . (1)
�� = 2a
⇔ � � � � � �
�
+ + + + + += 2a
⇔ �� ��
�
+= 2a
⇔ 15 + 2c = 14a
⇔ 14a – 2c = 15 . . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2):
2a – 6c = –15 × 1 2a – 6c = –15
14a – 2c = 15 × 3 42a – 6c= 45
–––––––––––– –
–40a = –60
⇔ a = 1,5
Substitusikan a = 1,5 ke persamaan (1).
2a – 6c = –15
⇔ 2(1,5) – 6c = –15
⇔ 3 – 6c = –15
⇔ –6c = –18
⇔ c = 3
Jadi, nilai a + c = 1,5 + 3 = 4,5.
Nilai Frekuensi Kumulatif
61–65
66–70
71–75
76–80
81–85
86–90
91–95
1
6
11
26
34
38
40
Frekuensi
1
5
5
15
8
4
2
fi
2
n
30
36
18
14
6
fix
i
104
57n
1.860
2.412
1.296
1.078
492
xi
52
57
62
67
72
77
82
Kecepatan
50–54
55–59
60–64
65–69
70–74
75–79
80–84
97Matematika Kelas XI Program IPA
Tinggi Badan (cm)
145–149
150–154
155–159
160–164
165–169
170–174
175–179
Banyak Siswa
7
13 – 7 = 6
21 – 13 = 8
27 – 21 = 6
32 – 27 = 5
38 – 32 = 6
41 – 38 = 3
5. Jawaban: c
Modus di kelas interval 155–159.
Lo = 154,5; d
1 = 2; d
2 = 2; dan p = 5.
Modus: Mo
= Lo +
�
� �
�
� �
+
· p
= 154,5 + �
� �
+
· 5
= 154,5 + 2,5 = 157
6. Jawaban: a
Kuartil atas (Q3) di kelas interval 24 – 25.
L3 = 23,5; fQ3 = 15; fkQ
3
= 40; p = 2; dan n = 60.
Q3 = L3 + ��
�
��
�
� �
�
−
· p
= 23,5 + �
�
��
⋅ −
· 2
= 23,5 + �
� = 24
�
�
7. Jawaban: c
Q1 di kelas interval 45–49.
L1 = 44,5; f
Q1 = 5; f
kQ1
= 6; dan p = 5.
Q1
= L1 +
��
�
��
�
� �
�
−
· p
= 44,5 + �
�� �
�
⋅ −
· 5
= 44,5 + 0,25 = 44,75
Q3 di kelas interval 55–59.
L3 = 54,5; f
Q3 = 3; f
kQ3
= 18; dan p = 5.
Q3
= L3 +
��
�
��
�
� �
�
−
· p
= 54,5 + �
�� ��
�
⋅ −
· 5
= 54,5 + 1,25 = 55,75
Jangkauan semi antarkuartil:
Qd
= �
�(Q
3 – Q
1) =
�
�(55,75 – 44,75) = 5,5
8. Jawaban: d
Σfi = 25
Σfi · x
i = 145
� =
� � �
�
ΣΣ
= ��
��
= 5,8
Σ|xi – � | = |3 – 5,8| + |4 – 5,8| + |5 – 5,8|
+ |6 – 5,8| + |7 – 5,8| + |8 – 5,8|
+ |9 – 5,8|
= 2,8 + 1,8 + 0,8 + 0,2 + 1,2 + 2,2 + 3,2
= 12,2
SR = � �
�
Σ −Σ
= ����
��
= 0,488
Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 0,488.
9. Jawaban: c
� = 7
⇔ � � �� � � � � � � �
�
− + − + + + − + += 7
⇔ �� �
�
−= 7
⇔ 6n – 1 = 35
⇔ 6n = 36
⇔ n = 6
Data menjadi: 4, 9, 8, 5, 9
Σ(xi – � )2 = (4 – 6)2 + (9 – 6)2 + (8 – 6)2 + (5 – 6)2
+ (9 – 6)2
= (–2)2 + (3)2 + (2)2 + (–1)2 + (3)2
= 4 + 9 + 4 + 1 + 9
= 27
Panjang (cm) Frekuensi Kumulatif
16–17
18–19
20–21
22–23
24–25
26–27
5
18
25
40
55
60
Frekuensi
5
18–5 = 13
25–18 = 7
40–25 = 15
55–40 = 15
60–55 = 5
Berat Badan
(kg)
Frekuensi
Kumulatif
40–44
45–49
50–54
55–59
60–64
6
11
18
21
25
Banyak
Siswa
6
5
7
3
4
Nilai (x)
Frekuensi (f)
fx
3
4
12
4
3
12
5
3
15
6
5
30
7
5
35
8
4
32
9
1
9
98 Ulangan Akhir Semester
S2 = �
�� ��
�
Σ −
= ��
�
= 5,4
Jadi, variansi data tersebut 5,4.
10. Jawaban: b
Σfi = 30
Σfix
i = 1.920
� =
��
�
ΣΣ
= ����
�
= 64
Σfi (x
i – � )2 = 4(53 – 64)2 + 5(58 – 64)2
+ 9(63 – 64)2 + 5(68 – 64)2
+ 7(73 – 64)2
= 4(–11)2 + 5(–6)2 + 9(–1)2 + 5(4)2
+ 7(9)2
= 4(121) + 5(36) + 9(1) + 5(16) + 7(81)
= 484 + 180 + 9 + 80 + 567
= 1.320
S = ( )�
� � �
�
Σ −Σ
= ����
�
=
= 2 ��
Jadi, simpangan baku data tersebut 2 �� .
11. Jawaban: b
�� �� ���
�� ���
− −− = 1
⇔��� ���� ��� �� ���
�� ���
− − − −− = 1
⇔�� ��� ���� �� ��
�� ���
− − −− = 1
⇔��� ��� �� � ��
�� ���� ���
− − −− − = 1
⇔ n2 – n – 1 = n – 1
⇔ n2 – 2n = 0
⇔ n(n – 2) = 0
⇔ n = 0 (tidak memenuhi) atau n = 2
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 2.
12. Jawaban: c
Angka = 4, 5, 6, 7, 8, 9
Banyak angka = 6
Bilangan tiga angka
Kolom I dapat diisi oleh dua angka, yaitu 4 dan 5.
Kolom II dapat diisi oleh lima angka, karena satu
angka sudah digunakan pada kolom I.
Kolom III dapat diisi oleh empat angka, karena dua
angka sudah digunakan pada kolom I dan kolom II.
Banyak bilangan = 2 × 5 × 4 = 40.
13. Jawaban: c
Susunan benda yang mungkin:
A x x x x x F = 5!
F x x x x x A = 5!
Cara mengatur bendera = 2 · 5!
= 2 · 120
= 240
14. Jawaban: a
Banyak anak yang masih harus dipilih
= 5 – (1 + 2) = 2 anak
Kemungkinan 2 anak yang terpilih 2 anak laki-laki
atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan atau 2
anak perempuan.
Banyak cara memilih 2 anak laki-laki
= 7C
2 =
��
�� �� =
� � ��
�� ��
⋅ ⋅ = 21
Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dan 1 anak
perempuan = 7C
1 ×
4C
1 = 7 × 4 = 28
Banyak cara memilih 2 anak perempuan
= 4C
2 =
�
�� �� =
� ��
�� ��
⋅ ⋅ = 6
Jadi, banyak cara memilih = 21 + 28 + 6 = 55
cara.
15. Jawaban: a
Banyak soal yang harus dikerjakan = 5.
Sisa soal yang harus dikerjakan adalah 3 dari 5
soal.
Banyak pilihan = 5C
3
= ��
����
= � � � ��
�� ��
= 10
16. Jawaban: e
A = kejadian terambil kedua kartu bernomor prima
= {53, 59, 61, 67)
A′ = kejadian terambil kedua kartu tidak bernomor
prima
fi
fix
ix
iBerat (kg)
51–55
56–60
61–65
66–70
71–75
4
5
9
5
7
53
58
63
68
73
212
290
567
340
511
I II III
99Matematika Kelas XI Program IPA
Banyak anggota ruang sampel:
n(S) = 20C2
= 190
P(A) = ����
����
= ��
��
= �
��
P(A′) = 1 – P(A)
= 1 – �
��
= ��
��
= ��
��
Jadi, peluang terambil kedua kartu tidak bernomor
prima ��
��.
17. Jawaban: b
Kemungkinan kelereng yang terambil (2 biru,
1 kuning) atau (2 biru, 1 merah).
Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12.
Banyak anggota ruang sampel:
n(S) = 12C3 = 220
P(A) = peluang terambil 2 kelereng biru dan
1 kelereng kuning
= � � �� �
����
× =
� �
��
× =
��
��
P(B) = peluang terambil 2 kelereng biru dan
1 kelereng merah
= � � �� �
����
× =
� �
��
× =
�
��
Peluang terambil 2 kelereng biru
= P(A) + P(B)
= ��
�� +
�
��
= �
�� =
��
��
18. Jawaban: a
Banyak kelereng = 7 + 5 = 12
n(S) = 12
C3
Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng
putih
= P(1p, 2m) + P(2p, 1m) + P(3p)
= � � � � � � �
�� �
� � � �� � �� ��
�
+ +
= � � �� � � � �
��
+ +
= �� � �
��
+ +
= ���
�� =
��
19. Jawaban: a
Kemungkinan bola yang terambil (pertama kuning,
kedua kuning, ketiga kuning) atau (pertama
kuning, kedua kuning, ketiga merah).
P(A) = kejadian terambil bola pertama kuning,
kedua kuning, dan ketiga kuning
=
� ×
�
� ×
�
�
= �
��
P(B) = kejadian terambil bola pertama kuning,
kedua kuning, dan ketiga merah
=
� ×
�
� ×
�
�
= �
�
Peluang terambil bola pertama dan kedua kuning:
P = P(A) + P(B)
= �
�� +
�
�
= �
�
20. Jawaban: b
n(S) = 36
A = mata dadu berjumlah kelipatan 4
= {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),
(6, 2), (6, 6)}
n(A) = 9
P(A) = ����
����
= �
��
= �
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah
kelipatan 4 adalah �
.
21. Jawaban: c
p = � �� � ��−
= � �−
= �
tan (�
�π – α) + 3 cos α
= cotan α + 3 cos α
= �
� + 3(
�
�)
= � + �
= � + �
3
αp
�
100 Ulangan Akhir Semester
22. Jawaban: c
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= �
�
�
��
− +
�
��
��
= ��
��− +
�
�� =
��
��
23. Jawaban: a
Perhatikan ∆ABC siku-siku di B.
AB = � ��� ��−
= � ��� ��−
= ��� ���−
= = 20
Perhatikan ∆ACD siku-siku di D.
AD = � ��� �"−
= � ��� �−
= ��� �−
= ��� = 24
sin x° = ��
�� =
��
�� =
�
�
cos x° = ��
�� =
�
�� =
�
sin y° = �"
�� =
�
��
cos y° = �"
�� =
�
��
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= �
�
�
��
+
�
�
��
= ��
��� +
��
���
= �
��� =
�
24. Jawaban: c
Jumlah besar sudut segitiga = 180°
⇔ A + B + C = 180°
⇔ C = 180° – (A + B)
tan C = tan (180° – (A + B))
= –tan (A + B)
= –#�� � #�� �
� #�� � #�� �
+ −
= –�� �
� ���� �
� ��
� �
� � �
+ − − −
= –
� �
���
���
− +
= –��
���
���
+
= –�� ��
� ��
×
= –�
���
25. Jawaban: e
p = � �� �+
= � �+
= �
sin x = �
$ =
�
�
cos x = �
$ =
�
�
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 · �
� ·
�
�
= �
�
= �
�
45
3A
sin A =
�
cos A = �
�
12 13
B5
cos B = –�
��
sin B = ��
��
25
7
15
x°
y°
D
B
C
A
1715
8A
tan A = ��
�tan B = –
�
��
13
12
5
B
x3
1p
101Matematika Kelas XI Program IPA
26. Jawaban: d
� �%& ��
� �%& ��
+− =
�
�
� �� �%& � ��
� �� � & � ��
+ −− −
= �
�
� �%& �
� & � � = cotan2 x
27. Jawaban: b
���%& & � �
& � � �%& � �
θ + θθ + θ +
= �
���%& ' & � �
� & � �%& � �%& � �
θ θθ θ + θ − +
= ��& � ' �%& �
� �%& �& � �%& �
θ θθ θ + θ
= �
�%& θ = sec θ
28. Jawaban: d
Jumlah besar sudut segitiga = 180°
⇔ A + B + C = 180°
⇔ A + B = 180° – C
sin A cos B = �
� (sin (A + B) + sin (A – B))
= �
� (sin (180° – C) + sin (A – B))
= �
� (sin C + sin 30°)
= �
� (
�
� +
�
�)
= �
� (
�
�)
= �
�� =
�
�
29. Jawaban: e
& � �� & � �
�%& �� �%& �
+− =
� �
� �� �
� �
� & � ��� �� �%& ��� ��
� & � ��� �� & � ��� ��
+ −
− + −
= � & � �� �%& �
� & � �� & � �−= –cotan A
30. Jawaban: c
� cos x – sin x = k cos (x – α)
k = � �� �� � ��+ − = � �+ = 2
tan α = �
�
− = –
�
��
Oleh karena koefisien cos x positif dan koefisien
sin x negatif (di kuadran IV) maka α = 330°.
� cos x – sin x = 2 cos (x – 330°)
= 2 cos (x – 360° + 30°)
= 2 cos (–360° + x + 30°)
= 2 cos (–(360° – (x + 30°))
= 2 cos (x + 30°)
� cos x – sin x + � = 0
⇔ 2 cos (x + 30°) + � = 0
⇔ cos (x + 30°) = –�
�� = cos 150°
(i) x + 30° = 150° + k · 360°
⇔ x = 120° + k · 360°
k = –1 ⇒ x = 120° – 360° = –240° (TM)
k = 0 ⇒ x = 120° + 0° = 120°
k = 1 ⇒ x = 120° + 360° = 480° (TM)
(ii) x + 30° = –150° + k · 360°
⇔ x = –180° + k · 360°
k = 0 ⇒ x = –180° + 0° = –180° (TM)
k = 1 ⇒ x = –180° + 360° = 180°
k = 2 ⇒ x = –180° + 720° = 540° (TM)
Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360°, nilai x yang memenuhi
120° dan 180°. Jadi, himpunan penyelesaiannya
{120°, 180°}.
31. Jawaban: d
Persamaan umum lingkaran:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Melalui titik (4, 2):
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
⇔ 42 + 22 + A(4) + B(2) + C = 0
⇔ 16 + 4 + 4A + 2B + C = 0
⇔ 4A + 2B + C = –20 . . . (1)
Melalui titik (–3, –5):
x2 + y2 + Ax + By + C= 0
⇔ (–3)2 + (–5)2 + A(–3) + B(–5) + C = 0
⇔ 9 + 25 – 3A – 5B + C = 0
⇔ 3A + 5B – C = 34 . . . (2)
Melalui titik (1, 3):
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
⇔ 12 + 32 + A(1) + B(3) + C = 0
⇔ 1 + 9 + A + 3B + C = 0
⇔ A + 3B + C = –10 . . . (3)
Dari persamaan (1) dan (2):
4A + 2B + C = –20
3A + 5B – C = 34
––––––––––––––– +
7A + 7B = 14
⇔ A + B = 2 . . . (4)
Dari persamaan (2) dan (3):
3A + 5B – C = 34
A + 3B + C = –10
––––––––––––––– +
4A + 8B = 24
⇔ A + 2B = 6 . . . (5)
Dari persamaan (4) dan (5):
A + B = 2
A + 2B = 6
–––––––––– –
–B = –4
⇔ B = 4
Substitusikan B = 4 ke A + B = 2.
A + B = 2
⇔ A + 4 = 2
⇔ A = –2
Substitusikan A = –2 dan B = 4 ke persamaan (1).
102 Ulangan Akhir Semester
4A + 2B+C = –20
⇔ 4(–2) + 2(4) + C = –20
⇔ –8 + 8 + C = –20
⇔ C = –20
Diperoleh persamaan lingkaran:
x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0
Panjang jari-jari lingkaran:
r = � �� �
� �� �� � �� �− −
= � �� �� � � ��− + − −
= � �+ +
= �� = 5
Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 5.
32. Jawaban: a
Jarak titik pusat kedua lingkaran: d = 8
d2 = (p – 1)2 + (q + 4)2
⇔ 82 = p2 – 2p + 1 + q2 + 8q + 16
⇔ p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 . . . (1)
Panjang jari-jari lingkaran L2:
r = d – 5 = 8 – 5 = 3
r2 = (p – 6)2 + (q + 4)2
⇔ 32 = p2 – 12p + 36 + q2 + 8q + 16
⇔ p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 . . . (2)
Eliminasi p2, q2, dan q dari persamaan (1) dan (2).
p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0
p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0–––––––––––––––––––––– –
10p – 90 = 0
⇔ p = 9
Substitusi p = 9 ke persamaan (2).
p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0
⇔ 92 + q2 – 12 · 9 + 8q + 43 = 0
⇔ q2 + 8q + 16 = 0
⇔ (q + 4)2 = 0
⇔ q = –4
Diperoleh pusat lingkaran L2: (9, –4).
Persamaan lingkaran L2:
(x – 9)2 + (y + 4)2 = 32
⇔ x2 – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 9 = 0
⇔ x2 + y2 – 18x + 8y + 88 = 0
33. Jawaban: d
Jari-jari lingkaran L sama dengan AP atau BP.
r = AP
⇔ r = � �* � * ��� � � �< < �− + −
⇔ �� = � ��� �� � � ��− + − −⇔ 17 = (a – 3)2 + 16
⇔ (a – 3)2 – 1 = 0
⇔ (a – 3 – 1)(a – 3 + 1) = 0
⇔ (a – 4)(a – 2) = 0
⇔ (a – 4) = 0 atau (a – 2)= 0
⇔ a = 4 atau a = 2
Diperoleh pusat lingkaran L:
P1(4, –2) atau P2(2, –2)
Persamaan lingkaran L berpusat di P1(4, –2):
(x – 4)2 + (y + 2)2 = 17
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0
⇔ x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0
Persamaan lingkaran L berpusat di P2(2, –2):
(x – 2)2 + (y + 2)2 = 17
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0
⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0
Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 8x
+ 4y + 3 = 0 atau x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0.
34. Jawaban: e
Garis : 2x + 3y – 31 = 0 mempunyai gradien
m = –�
�.
Garis g tegak lurus garis , maka mg = �
�.
Persamaan garis g:
y + 4 = mg(x – 2)
⇔ y + 4 = �
�(x – 2)
⇔ 2y + 8 = 3x – 6
⇔ 3x – 2y – 14 = 0
Jari-jari lingkaran r sama dengan jarak titik pusat
lingkaran ke garis g.
r = � �
� � � � �
� � ��
⋅ − ⋅ −
+ − =
��
��
− = ��
Persamaan lingkaran L:
(x – 1)2 + (y – 1)2 = ( �� )2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0
⇔ x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0
35. Jawaban: b
Lingkaran berpusat di (2, 3) dan r = 3.
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 32
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9
Lingkaran memotong sumbu Y sehingga x = 0.
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9
⇔ (0 – 2)2 + (y – 3)2 = 9
⇔ (–2)2 + (y2 – 6y + 9) = 9
Y
XA
B
(2, 3)
(2, 0)
r = 3
103Matematika Kelas XI Program IPA
⇔ 4 + y2 – 6y + 9 = 9
⇔ y2 – 6y + 4 = 0
Jarak AB = yB – y
A
yB – y
A=
"
=
�� �� �����
�
− −
= �� ��−
= �
= 2 �
Jadi, jarak AB = 2 � .
36. Jawaban: c
x – y = 4 ⇔ y = x – 4
Substitusikan y = x – 4 ke persamaan lingkaran.
x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0
⇔ x2 + (x – 4)2 – 8x – 8(x – 4) + 24 = 0
⇔ x2 + (x2 – 8x + 16) – 8x – 8x + 32 + 24 = 0
⇔ 2x2 – 24x + 72 = 0
⇔ x2 – 12x + 36 = 0
⇔ (x – 6)2 = 0
⇔ x = 6
Substitusikan x = 6 ke y = x – 4.
y = x – 4
= 6 – 4
= 2
Jadi, titik singgungnya adalah (6, 2).
37. Jawaban: d
Pusat lingkaran L: P(–3, 1)
Jari-jari lingkaran L:
r = � �� �� � ��− + + = � = 3 �
Garis y = –2x + p menyinggung lingkaran L, maka
jarak titik pusat P(–3, 1) ke garis y = –2x + p sama
dengan panjang jari-jari lingkaran L.
y = –2x + p ⇔ 2x + y – p = 0
d = r ⇔� �
� � �� � � $
� �
⋅ − + ⋅ −
+= 3 �
⇔ � $
�
− − = 3 �
⇔�
� $
�
− − = (3 � )2
⇔��� $�
�
+= 32 · 5
⇔ (5 + p)2 = 32 · 52
⇔ 5 + p = ±15
⇔ p = –5 ±15
⇔ p = –20 atau p = 10
38. Jawaban: d
Titik pusat lingkaran: P(1, 0)
Jari-jari lingkaran L: r = � �� ��+ +
= �� = 6
Gradien garis g: m = –2
Garis singgung lingkaran sejajar garis g maka
gradiennya m1 = –2.
Persamaan garis singgung lingkaran:
y – yP = m1(x – xP) ± r ��� �+
⇔ y – 0 = –2(x – 1) ± 6 �� � ��+ −
⇔ y = –2x + 2 ± 6 �
⇔ 2x + y – 2 ± 6 � = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya
2x + y – 2 + 6 � = 0 atau 2x + y – 2 – 6 � = 0
39. Jawaban: a
Panjang jari-jari lingkaran L:
r = |AB|
= � �
� � � ��� � � �< < �− + −
= � ��� �� � ��− + −
= � �+ = 3 �
Persamaan lingkaran L:
(x – xA)2 + (y – y
A)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = (3 � )2
Persamaan garis singgung lingkaran L di titik
B(5, 0):
(xB – 2)(x – 2) + (y
B – 3)(y – 3) = (3 � )2
⇔ (5 – 2)(x – 2) + (0 – 3)(y – 3) = 18
⇔ 3(x – 2) – 3(y – 3) = 18
⇔ 3x – 6 – 3y + 9 = 18
⇔ 3x – 3y = 15
⇔ x – y = 5
40. Jawaban: d
Kedudukan titik A terhadap lingkaran:
x2 + (y – 1)2 = 12 + (4 – 1)2
= 1 + 9
= 10 > 2
Titik A berada di luar lingkaran.
Persamaan garis kutub di A(1, 4) sebagai berikut.
x1x + (y
1 – 1)(y – 1) = 2
⇔ 1 · x + (4 – 1)(y – 1) = 2
⇔ x + 3(y – 1) = 2
⇔ x + 3y – 3 = 2
⇔ x + 3y = 5
⇔ x = 5 – 3y
104 Ulangan Akhir Semester
Substitusikan x = 5 – 3y ke persamaan lingkaran.
x2 + (y – 1)2 = 2
⇔ (5 – 3y)2 + (y – 1)2 = 2
⇔ 25 – 30y + 9y2 + y2 – 2y + 1 = 2
⇔ 10y2 – 32y + 24 = 0
⇔ 5y2 – 16y + 12 = 0
⇔ (5y – 6)(y – 2) = 0
⇔ y = �
� atau y =2
Untuk y = 2 ⇒ x = 5 – 3y
= 5 – 3(2)
= 5 – 6 = –1
Diperoleh titik singgung (–1, 2).
Persamaan garis singgung:
x1x + (y
1 – 1)(y – 1) = 2
⇔ –1 · x + (2 – 1)(y – 1) = 2
⇔ –x + y – 1 = 2
⇔ –x + y = 3
⇔ x – y = –3
Jadi, salah satu persamaan garis singgung
lingkaran adalah x – y = –3.
B. Uraian
1. a. Rata-rata
� =
��
�
ΣΣ
= �����
� = 59,7
Jadi, rata-rata data tersebut 59,7 kg.
b Median
Median di kelas interval 56–62.
L = 55,5; fme
= 20; fkme
= 13; n = 50; dan p = 7.
Me = L + ��
���
��
� �
�
−
· p
= 55,5 + �
�� ��
�
⋅ −
· 7
= 55,5 + �� ��
�
−
· 7
= 55,5 + ��
� · 7
= 55,5 + 4,2 = 59,7
Jadi, median data tersebut 59,7 kg.
2. a. Sajian data dalam bentuk tabel
Q1 di kelas interval 22 – 26.
L1 = 21,5; fQ1 = 18; fkQ
1
= 0; dan p = 5.
Q1 = L1 + ��
�
��
�
� �
�
⋅ −
· p
= 21,5 + �
�
��
⋅ −
· 5
= 21,5 + 4�
�
= 25�
�
Q3 di kelas interval 37 – 41.
L3 = 36,5; fQ3 = 5; fkQ
3
= 42; dan p = 5.
Q3 = L3 + ��
�
��
�
� �
�
⋅ −
· p
= 36,5 + �
� �
�
⋅ −
· 5
= 36,5 + 3
= 39�
�
Jangkauan antarkuartil
= Q3 – Q1 = 39�
� – 25
�
� = 13
�
�
b.
� =
� �
�
ΣΣ =
����
� = 33
Ragam: S2 = �
� �� ��
�
Σ −Σ
= ��
� = 70
�
�
Jadi, jangkauan antarkuartil data 13�
� dan
ragam data 70�
�.
Berat Badan (kg)
42–48
49–55
56–62
63–69
70–76
fi
3
10
20
13
4
xi
45
52
59
66
73
fix
i
135
520
1.180
858
292
42–48
49–55
56–62
63–69
70–76
f
3
10
20
13
4
fk
3
13
33
46
50
Berat Badan (kg)
Nilai fk ≥≥≥≥≥ Kelas Interval f
≥ 21,5 6022 – 26 60 – 42 = 18≥ 26,5 4227 – 31 42 – 29 = 13≥ 31,5 2932 – 36 29 – 18 = 11≥ 36,5 1837 – 41 18 – 13 = 5≥ 41,5 1342 – 46 13 – 6 = 7≥ 46,5 647 – 51 6 – 0 = 6≥ 51,5 0
fi
xi
fix
i(x
i – � )2 f
i (x
i – � )2
18 24 432 81 1.458
13 29 377 16 208
11 34 374 1 11
5 39 195 36 180
7 44 308 121 847
6 49 294 256 1.536
105Matematika Kelas XI Program IPA
�
Kotak A
3 M
4 K
Kotak B
3 M
5 K
Kotak B
2 M
6 K
K – (MK)
M – (KM)
M
K
�
�
�
�
�
�
Peluang pengambilan I Peluang pengambilan II
3. a. Cara pemilihan sekurang-kurangnya 1 wanita.
= (1 wanita, 2 pria) + (2 wanita, 1 pria)
+ (3 wanita)
=4C
1 ·
6C
2 +
4C
2 ·
6C
1 +
4C
3
= 4 · 15 + 6 · 6 + 4
= 60 + 36 + 4
= 100
Jadi, pemilihan sekurang-kurangnya 1 wanita
ada 100 cara.
b. Cara pemilihan 2 pria
= (2 pria, 1 wanita)
=6C
2 ·
4C
2
= 15 · 4 = 60
Jadi, pemilihan 2 orang pria ada 60 cara.
4.
P1 = peluang terambil bola merah dari kotak A dan
bola kuning dari kotak B
=�
� ×
�
� =
��
��
P2 = peluang terambil bola kuning dari kotak A dan
bola merah dari kotak B
=
� ×
�
� =
�
��
Peluang terambil satu bola kuning
= P1 + P2 = ��
�� +
�
�� =
��
��
5. � tan A tan B = tan A – tan B – �
⇔ � tan A tan B + � = tan A – tan B
⇔ � (1 + tan A tan B) = tan A – tan B
⇔ � = #�� � #�� �
� #�� � #�� �
−+
⇔ � = tan (A – B)
⇔ A – B = 60°
cos (A – B) = cos 60°
⇔ cos A cos B + sin A sin B = �
�
⇔ cos A cos B + �
=
�
�
⇔ cos A cos B = �
� –
�
= –
�
cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B
= –�
–
�
= –1
Jadi, nilai cos (A + B) = –1.
6. Jumlah besar sudut segitiga = 180°
⇔ α° + β° + 90° = 180°
⇔ α° + β° = 90°
⇔ β = 90° – α
tan α = � sin β
⇔& �
�%&
αα = � sin (90 – α)
⇔& �
�%&
αα = � cos α
⇔ sin α = � cos2 α
⇔ sin α = � (1 – sin2 α)
⇔ sin α = � – � sin2 α
⇔ � sin α + sin α – � = 0
⇔ ( � sin α – 1)(sin α + � ) = 0
⇔ sin α = �
� atau sin α = – �
sin α = �
�=
�
��
sin α = – � (tidak me-
menuhi)
Jadi, nilai sin α = �
�� .
7. 2 cos x + 2 sin x = k cos (x – α)
k = � �� �+
= +
= �
= 2 �
tan α = �
� = 1
⇔ α = 45° (α di kuadran I)
2 cos x + 2 sin x = �
⇔ 2 � cos (x – 45°) = �
⇔ cos (x – 45°) = �
� �
⇔ cos (x – 45°) = �
�
⇔ cos (x – 45°) = cos 60°
106 Ulangan Akhir Semester
a. x1 – 45° = 60° + k · 360°
⇔ x1 = 105° + k · 360°
untuk k = 0 ⇒ x1 = 105°
k = 1 ⇒ x1 = 465° (tidak memenuhi)
b. x2 – 45° = –60° + k · 360°
⇔ x2 = –15° + k · 360°
untuk k = 0 ⇒ x2 = –15° (tidak memenuhi)
k = 1 ⇒ x2 = 345°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {105°, 345°}.
8. Persamaan garis :
�
� �
< <
< <
−−
= �
� �
� �
� �
−−
⇒ <
−− −
= �
�
++
⇔ <
−=
�
�
+
⇔ <
�−=
�
�
+
⇔ 3y = –2x – 8
⇔ 2x + 3y + 8 = 0
Panjang jari-jari lingkaran L sama dengan jarak
titik P(7, –3) ke garis l.
r = � �
� � � � �� �
� �
⋅ + ⋅ − +
+ = ��
�� = ��
Persamaan lingkaran L:
(x – 7)2 + (y + 3) = ( �� )2
⇔ (x – 7)2 + (y + 3)2 = 13
9. Kedudukan (7, –5) titik terhadap lingkaran:
x2 + y2 – 6x + 4y – 12
= 72 + (–5)2 – 6(7) + 4(–5) – 12
= 49 + 25 – 42 – 20 – 12
= 0
Titik (7, –5) terletak pada lingkaran.
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
⇔ x2 – 6x + y2 + 4y – 12 = 0
⇔ (x – 3)2 – 9 + (y + 2)2 – 4 – 12 = 0
⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Persamaan garis singgung di titik (7, –5):
(x1 – 3)(x – 3) + (y
1 + 2)(y + 2) = 25
⇔ (7 – 3)(x – 3) + (–5 + 2)(y + 2) = 25
⇔ 4(x – 3) + (–3)(y + 2) = 25
⇔ 4x – 12 – 3y – 6 = 25
⇔ 4x – 3y – 18 = 25
⇔ 4x – 3y = 43
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
4x – 3y = 43.
10. (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40
Pusat lingkaran (4, –3)
r = = 2 �
Garis: x + 3y + 5 = 0
⇔ 3y = –x – 5
⇔ y = –�
�x –
�
�
Gradien garis = m1 = –
�
�.
Oleh karena tegak lurus, diperoleh:
m1 × m
2= –1
⇔ –�
� × m
2= –1
⇔ m2
= 3
Persamaan garis singgung lingkaran:
(y – b) = m2(x – a) ± r �
�� �+
⇔ y + 3 = 3(x – 4) ± 2 � �� �+
⇔ y + 3 = 3x – 12 ± 2 � · �
⇔ y + 3 = 3x – 12 ± 20
⇔ y = 3x – 15 ± 20
Persamaan garis singgung pertama:
y = 3x – 15 + 20
⇔ y = 3x + 5
Persamaan garis singgung kedua:
y = 3x – 15 – 20
⇔ y = 3x – 35
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y = 3x + 5 dan y = 3x – 35.
221Matematika Kelas XI Program IPA
Silab
us
Bab
I S
tati
sti
ka
Seko
lah
:. . . .
Kela
s/S
em
este
r:
XI/1 P
ro
gram
IP
A
Mata
Pela
jaran
:M
ate
mati
ka
Sta
nd
ar K
om
pete
nsi
:1.
Menggunakan a
tura
n s
tatistika, kaid
ah p
encacahan, dan s
ifat-
sifat pelu
ang d
ala
m p
em
ecahan m
asala
h.
1.1
Me
mb
aca
da
ta
da
lam
b
en
tuk
tab
el
da
n d
ia-
gra
m
ba
tan
g,
garis,
lingkara
n,
dan o
giv
e.
Sta
tistika
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
is
tila
h-
isti
lah
da
lam
sta
-
tistika
.
–M
em
baca d
ata
tung-
ga
l d
ala
m b
en
tuk
tabel.
–M
em
baca d
ata
tung-
ga
l d
ala
m b
en
tuk
dia
gra
m b
ata
ng.
–M
em
baca d
ata
tung-
ga
l d
ala
m b
en
tuk
dia
gra
m g
aris.
–M
em
baca d
ata
tung-
ga
l d
ala
m b
en
tuk
dia
gra
m l
ing
ka
ran
dan p
aste
l.
–M
em
baca d
ata
ber-
ke
lom
po
k
da
lam
bentu
k t
abel.
–M
em
baca d
ata
ber-
ke
lom
po
k
da
lam
be
ntu
k h
isto
gra
m.
–M
em
baca d
ata
ber-
kelo
mpok
dala
m b
en-
tuk
polig
on fre
kuensi
.
–M
em
baca d
ata
ber-
ke
lom
po
k
da
lam
be
ntu
k o
giv
e.
1.1
.1M
am
pu m
endefi-
nis
ikan s
tatis
tika.
1.1
.2M
am
pu
m
em
-
baca
data
tunggal
da
lam
b
en
tuk
tab
el
da
n
dia
-
gra
m.
1.1
.3M
am
pu
m
em
-
ba
ca
da
ta b
er-
kelo
mpok
dala
m
bentu
k ta
bel d
an
dia
gra
m.
Te
s
tert
ulis
Pili
han
ga
nd
a
Ura
ian
Ha
sil te
rna
k ik
an
P
ak
Nanang d
isajik
an d
ala
m
dia
gra
m b
eriku
t.
Pe
nin
gka
tan
ha
sil i
ka
n
terb
es
ar
terj
ad
i p
ad
a
periode . . .
a.
2d
.5
b.
3e
.6
c.
4
Dia
gra
m
be
rik
ut
me
-
nu
nju
kk
an
d
ata
h
as
il
perikanan d
i enam
kola
m
di
kelo
mpok M
inaja
ya.
Te
ntu
ka
n
pe
rse
nta
se
hasil
perikanan d
i kola
m
IV.
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–50
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–32
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
4 jp
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pe
nd
idik
an
ka
rakte
r
(*)
Kri
tis
222 Silabus
Te
s
tert
ulis
Pili
han
ga
nd
a
Ura
ian
1.
Dia
gra
m b
eri
ku
t m
e-
rup
ak
an
d
iag
ram
ba
tan
g
me
ng
en
ai
ba
ny
ak
g
ol
ya
ng
dic
eta
k
be
be
rap
a
pe
ma
in s
ep
ak b
ola
da
lam
2
0
pe
r-
tan
din
ga
n.
Jik
a j
um
lah g
ol
yang
dic
eta
k
8
pe
ma
in
ters
eb
ut
50
, b
an
ya
k
go
l y
an
g
dic
eta
k
Burh
an . . . .
a.
7d
.1
0
b.
8e
.1
1
c.
9
2.
Dik
eta
hui d
ata
panja
ng
ruas-r
uas b
am
bu s
e-
bagai
beriku
t.
Buatlah p
olig
on y
ang
menggam
bark
an d
ata
ters
eb
ut.
1.2
.1M
am
pu m
enya
ji-
kan d
ata
tunggal
dala
m t
abel
dan
dia
gra
m.
1.2
.2M
am
pu m
enya
ji-
ka
n
da
ta
be
r-
kelo
mpok
dala
m
tab
el
da
n d
ia-
gra
m.
1.2
.3M
am
pu
me
na
f-
sirk
an d
ata
tung-
gal
dala
m t
abel
dan d
iagra
m.
1.2
.4M
am
pu m
enafs
ir-
kan
da
ta
be
r-
kelo
mpok
dala
m
tab
el
da
n
dia
-
gra
m.
–M
enya
jikan d
ata
tung-
ga
l d
ala
m
be
ntu
k
tabel.
–M
enya
jikan d
ata
tung-
gal dala
m b
entu
k dia
-
gra
m b
ata
ng.
–M
enya
jikan d
ata
tung-
gal d
ala
m b
entu
k dia
-
gra
m g
aris.
–M
enya
jikan d
ata
tung-
gal d
ala
m b
entu
k dia
-
gra
m l
ingkara
n d
an
past
el.
–M
en
afs
irka
n
da
ta
tunggal dala
m t
abel.
–M
en
afs
irka
n
da
ta
tunggal d
ala
m b
entu
k
dia
gra
m b
ata
ng,
dia
-
gra
m g
aris,
dia
gra
m
lin
gka
ran
, d
an
dia
-
gra
m p
ast
el.
–M
en
ya
jik
an
d
ata
berk
elo
mpok d
ala
m
bentu
k t
abel.
–M
en
ya
jik
an
d
ata
berk
elo
mpok d
ala
m
be
ntu
k h
isto
gra
m.
–M
en
ya
jika
n
da
ta
berk
elo
mpok d
ala
m
be
ntu
k
po
lig
on
frekuensi.
–M
en
ya
jik
an
d
ata
berk
elo
mpok d
ala
m
be
ntu
k o
giv
e.
–M
en
afs
irk
an
d
ata
berk
elo
mpok d
ala
m
tabel.
–M
en
afs
irka
n
da
ta
berk
elo
mpok d
ala
m
be
ntu
k h
isto
gra
m,
po
lig
on
fre
ku
en
si,
dan o
giv
e.
Sta
tistika
1.2
Me
ny
aji
ka
n
da
ta
da
lam
be
ntu
k
tab
el
da
n
dia
gra
m
ba
tan
g,
ga
ris,
lingkara
n, ogiv
e,
se
rta
pe
na
fsir
-
annya.
1.
Buku
PG
M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–50
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–32
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Freku
en
si
12 16 11 15 20
Pan
jan
g R
uas
(cm
)
11–14
15–18
19–22
23–26
27–30
. . .
jp
223Matematika Kelas XI Program IPA
–M
en
gh
itu
ng
ra
ta-
rata
, m
od
us,
da
n
me
dia
n d
ata
tu
ng
-
gal.
–M
en
gh
itu
ng
ra
ta-
rata
, m
od
us,
da
n
me
dia
n
da
ta
be
r-
kelo
mpok.
–M
en
gh
itu
ng
ku
art
il
(pertam
a,
kedua,
ke-
tiga), d
esil,
dan p
er-
sentil
data
tunggal.
–M
en
gh
itu
ng
ku
art
il
(pertam
a,
kedua,
ke-
tiga), d
esil,
dan p
er-
se
ntil
da
ta
be
r-
kelo
mpok.
–M
enghitu
ng jangka
u-
an,
jangka
uan a
nta
r-
ku
art
il,
sim
pa
ng
an
ku
art
il,
sim
pa
ng
an
rata
-rata
, ragam
, dan
sim
pa
ng
an
b
aku
data
tunggal.
–M
enghitu
ng jangka
u-
an,
jangka
uan a
nta
r-
ku
art
il,
sim
pa
ng
an
ku
art
il, s
imp
an
ga
n
rata
-rata
, ragam
, dan
sim
pa
ng
an
b
aku
data
berk
elo
mpok.
1.3
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n
uku
ran
pem
usa
tan d
ata
tun
gg
al
(ra
ta-
rata
, m
od
us,
dan m
edia
n).
1.3
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n
uku
ran
pem
usa
tan d
ata
be
rke
lom
po
k
(me
an
, m
od
us,
dan m
edia
n).
1.3
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n
uku
ran
leta
k data
tunggal
(kuartil,
desi
l, dan
pers
entil
).
1.3
.4M
am
pu m
enen-
tuka
n
uku
ran
leta
k
data
ber-
kelo
mpok
(kuar-
til,
d
esil,
da
n
pers
entil
).
1.3
.5M
am
pu m
enen-
tuk
an
u
ku
ran
pe
ny
eb
ara
n
data
tunggal.
1.3
.6M
am
pu m
enen-
tuka
n
uku
ran
penye
bara
n d
ata
berk
elo
mpok.
1.
Da
ta
be
rat
be
nd
a
dib
eri
ka
n p
ad
a t
ab
el
be
riku
t.
Rata
-rata
bera
t benda
. . . gra
m.
a.
16
,1d
.1
6,7
b.
16
,3e
.1
6,9
c.
16
,5
2.
Be
be
rap
a s
isw
a d
i-
min
ta u
ntu
k m
engerja-
kan 1
soal y
ang s
am
a.
Lam
a w
aktu
pengerja-
an s
etia
p a
nak d
isaji-
ka
n d
ala
m d
iag
ram
berikut.
a.
Te
ntu
ka
n
rata
-
rata
la
ma
wa
ktu
pengerjaan s
oal.
b.
Tentu
kan b
anyak
sis
wa y
ang m
em
-
bu
tuh
ka
n w
aktu
ku
ran
g d
ari r
ata
-
rata
la
ma
wa
ktu
pengerjaan.
1.
Buku
PG
M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–50
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
–32
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
Pili
han
ga
nd
a
Ura
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Te
s
tert
ulis
Sta
tistika
1.3
Me
ng
hit
un
g
uk
ura
n p
em
u-
sa
tan
, u
ku
ran
leta
k,
dan u
kur-
an
pe
nye
ba
ran
da
ta,
se
rta
pe
-
na
fsir
an
nya
.
8 jp
Freku
en
si
4 2 2 4 2 3 1 8 4
Berat
(gra
m)
12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pe
nd
idik
an
ka
rakte
r
(*)
Ce
rma
t
224 Silabus
Bab
II
Pelu
an
g
Seko
lah
:. . . .
Kela
s/S
em
este
r:
XI/1 P
ro
gram
IP
A
Mata
Pela
jaran
:M
ate
mati
ka
Sta
nd
ar K
om
pete
nsi
:1.
Menggunakan a
tura
n s
tatistika,
kaid
ah p
encacahan,
dan s
ifat-
sifat
pelu
ang d
ala
m p
em
ecahan m
asala
h.
1.4
Me
ng
gu
na
ka
n
atu
ran
pe
rka
li-
an
p
erm
uta
si
da
n k
om
bin
asi
da
lam
p
em
e-
cahan m
asala
h.
Pelu
ang
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngert
ian a
tura
n p
er-
kalia
n.
–M
enye
butk
an r
um
us
atu
ran p
erk
alia
n.
–M
enyele
saik
an s
oal
yang b
erh
ubungan
dengan a
tura
n p
er-
kalia
n.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ngert
ian f
akto
rial.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngert
ian p
erm
uta
si.
–M
em
bukt
ikan r
um
us
pe
rmu
tasi
me
ng
-
gunaka
n a
tura
n p
er-
kalia
n.
–M
en
jela
ska
n p
en
-
ge
rtia
n p
erm
uta
si
de
ng
an
be
be
rap
a
ele
men y
ang s
am
a.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngert
ian p
erm
uta
si
sik
lis.
–M
enyele
saik
an s
oal
yang b
erh
ubungan
dengan p
erm
uta
si.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngertia
n k
om
bin
asi
.
–M
em
bukt
ikan r
um
us
kom
bin
asi.
–M
enyele
saik
an s
oal
yang b
erh
ubungan
dengan k
om
bin
asi.
1.4
.1M
am
pu m
enen
-
tuka
n
ba
nya
k
ke
mu
ng
kin
an
/
cara
mengguna-
ka
n a
tura
n p
er-
ka
lian
.
1.4
.2M
am
pu m
enen
-
tuka
n
ba
nya
k
ke
mu
ng
kin
an
/
cara
mengguna-
ka
n p
erm
uta
si.
1.4
.3M
am
pu m
enen
-
tuka
n
ba
nya
k
ke
mu
ng
kin
an
/
cara
mengguna-
ka
n k
om
bin
asi.
Te
s
tert
ulis
Pili
han
ga
nd
a
Ura
ian
1.
Du
a o
ran
g p
era
wa
t
aka
n m
em
erik
sa p
asi
en
yang b
era
da d
i 6 ruang
be
rbe
da
. B
an
ya
k
pa
sa
ng
an
p
era
wa
t
de
ng
an
pa
sie
n y
an
g
dip
eriksa a
dala
h . . . .
a.
8d
.3
0
b.
12
e.
36
c.
24
2.
Ba
ny
ak
s
us
un
an
an
gk
a y
an
g d
ap
at
dib
en
tuk d
ari
an
gka
3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, dan
1 a
dala
h . . . .
a.
1.8
60
b.
1.8
40
c.
1.7
80
d.
1.6
80
e.
1.4
70
Dala
m s
ebuah p
ert
em
uan
inte
rna
sio
na
l, 1
1 o
ran
g
pe
se
rta
te
rlib
at
da
lam
dis
ku
si. 3
ora
ng
pe
se
rta
be
rasa
l d
ari
Am
eri
ka
, 2
ora
ng
pe
se
rta
be
rasa
l
da
ri Ir
lan
dia
, 4
o
ran
g
pe
se
rta
b
era
sa
l d
ari
Ko
rea
, d
an
2
o
ran
g
pe
se
rta
b
era
sa
l d
ari
Filip
ina
. B
era
pa
ba
nya
k
ca
ra m
en
ga
tur
me
reka
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
ha
lam
an
51
–
94
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
ha
lam
an
33
–
53
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
4 jp
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
225Matematika Kelas XI Program IPA
–M
enentu
kan b
anya
k
ke
mu
ng
kin
an
/ca
ra
menggunakan a
tur-
an
pe
rka
lia
n,
pe
r-
mu
tasi, a
tau
ko
m-
bin
asi
.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
pe
rco
ba
-
an
.
–M
enje
lask
an p
enger-
tian r
uang s
am
pel.
–M
enentu
kan r
uang
sam
pel
su
atu
pe
r-
co
ba
an
.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngertia
n ti
tik s
am
pel.
–M
enentu
kan b
anya
k
titik s
am
pe
l su
atu
pe
rco
ba
an
.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ngert
ian k
eja
dia
n.
–M
en
en
tuka
n a
ng
-
go
ta
him
pu
na
n
suatu
keja
dia
n.
–M
enghitu
ng b
anyak
kem
ungkin
an m
un-
cul
suatu
keja
dia
n.
–M
enghitu
ng b
anyak
perc
obaan y
ang d
i-
laku
ka
n.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ng
ert
ian
fre
ku
en
si
rela
tif s
uatu
keja
dia
n.
–M
en
en
tuka
n
fre
-
kuensi
rela
tif m
uncu
l
suatu
keja
dia
n.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
p
elu
an
g
suatu
keja
dia
n.
–M
enghitu
ng p
elu
ang
suatu
keja
dia
n d
e-
ng
an
me
ng
hit
un
g
ba
nya
k
an
gg
ota
1.5
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n
rua
ng
sa
mp
el
su
atu
pe
rco
ba
an
.
1.5
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n b
anya
k tit
ik
sa
mp
el
su
atu
perc
obaan.
1.5
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n a
ng
go
ta
him
punan s
uatu
keja
dia
n.
1.6
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n p
elu
an
g
suatu
keja
dia
n.
1.6
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n
pe
lua
ng
ko
mp
lem
en
suatu
keja
dia
n.
1.6
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n
kis
ara
n
nila
i pelu
ang.
1.6
.4M
am
pu m
enen-
tukan f
reku
en
si
ha
rap
an
su
atu
ke
jad
ian
.
1.6
.5M
am
pu m
enen-
tuka
n p
elu
an
g
ga
bu
ng
an
du
a
ke
jad
ian
.
Te
s
tert
ulis
Te
s
tert
ulis
Pili
han
ga
nd
a
Pili
han
ga
nd
a
duduk m
elin
gkar sehin
gga
pese
rta b
era
sal d
ari
negara
ya
ng
sa
ma
du
du
k b
er-
de
ka
tan
?
Se
bu
ah
da
du
dile
mp
ar
tiga k
ali.
Banyaknya h
asil
yang m
ungkin
terjadi p
ada
perc
obaan ini ada . . . .
a.
18
d.
14
4
b.
36
e.
21
6
c.
72
1.
Sekepin
g u
ang lo
gam
dil
em
pa
r 3
0
ka
li.
Fre
ku
en
si
mu
nc
ul
angka 2
1.
Fre
kuensi
rela
tif m
uncul g
am
bar
. . . .
a.
0,9
d.
0,4
b.
0,7
e.
0,3
c.
0,6
2.
Dari 5
sis
wa laki-la
ki
dan 6
sis
wa p
ere
mpuan
aka
n d
ipili
h 3
sis
wa
untu
k m
engik
uti
lom
ba
cerd
as
cerm
at.
Pelu
ang
terp
ilihnya t
im t
erd
iri
ata
s 1
sis
wa laki-la
ki
dan 2
sis
wa p
ere
mpuan
adala
h . . . .
1.5
Me
ne
ntu
ka
n
rua
ng
s
am
pe
l
su
atu
pe
rco
ba
-
an
.
1.6
Me
ne
ntu
ka
n
pe
lua
ng
su
atu
ke
jad
ian
d
an
pe
na
fsir
an
nya
.
Pelu
ang
Pelu
ang
2 jp
4 jp
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 5
1–94
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 3
3–53
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
ha
lam
an
5
1–
94
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 3
3–53
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsite
ya
ng
rele
van
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pe
nd
idik
an
ka
rakte
r
(*)
Ju
jur
226 Silabus
ke
jad
ian
te
rse
bu
t
da
n b
an
ya
k a
ng
-
gota
-anggota
ruang
sa
mp
el
terl
eb
ih
dahulu
.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ng
ert
ian
p
elu
an
g
ko
mp
lem
en
su
atu
keja
dia
n.
–M
enentu
kan p
elu
ang
ko
mp
lem
en
su
atu
keja
dia
n.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
k
isa
ran
nila
i pelu
ang.
–M
en
ye
bu
tka
n ke
-
jadia
n y
ang m
usta
hil
terjadi.
–M
en
ye
bu
tka
n k
e-
jad
ian
ya
ng
pa
sti
terjadi.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
fre
ku
en
si
ha
rap
an
.
–M
en
gh
itu
ng
fr
e-
ku
en
si
ha
rap
an
suatu
keja
dia
n.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ng
ert
ian
ke
jad
ian
ma
jem
uk.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ngert
ian g
abungan
dua k
eja
dia
n.
–M
en
jela
sk
an
p
e-
ngert
ian i
risan d
ua
ke
jad
ian
.
–M
en
gh
itu
ng
p
e-
lua
ng
ir
isa
n
du
a
ke
jad
ian
.
–M
em
bukt
ikan r
um
us
pe
lua
ng
ga
bu
ng
an
dua k
eja
dia
n d
engan
dia
gra
m V
enn.
a.
�
���
d.
��
���
b.
��
���
e.
��
���
c.
��
���
1.
Dala
m s
ebuah k
ota
k
terd
ap
at
7 b
en
de
ra
hij
au
, 4
b
en
de
ra
ku
nin
g,
da
n 6
be
n-
dera
mera
h.
Dia
mbil
se
ca
ra
ac
ak
3
bendera
secara
ber-
sa
ma
an
s
eb
an
ya
k
68
0 k
ali.
Te
ntu
ka
n
fre
ku
en
si
ha
rap
an
tera
mb
ilnya
:
a.
ketig
anya
bendera
ku
nin
g;
b.
1 b
en
de
ra h
ija
u
da
n 2
b
en
de
ra
mera
h;
dan
c.
se
mu
a b
en
de
ra
be
rwa
rna
b
er-
be
da
.
2.
Se
bu
ah
ko
tak b
eri
si
7 k
art
u y
an
g d
ibe
ri
no
mo
r 1
sa
mp
ai
7.
Jik
a 4
ka
rtu
dia
mb
il
se
ka
lig
us,
ten
tuka
n
pe
lua
ng
te
ram
bil
ke
em
pa
t ka
rtu
be
r-
nom
or
ganjil
, genap,
ganjil
, ganjil
.
Ura
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
1.6
.6M
am
pu m
enen-
tuka
n p
elu
an
g
du
a
ke
jad
ian
salin
g a
sin
g.
1.6
.7M
am
pu m
enen-
tuka
n p
elu
an
g
du
a
ke
jad
ian
salin
g b
ebas.
1.6
.8M
am
pu m
enen-
tuka
n p
elu
an
g
ke
jad
ian
b
er-
sya
rat.
227Matematika Kelas XI Program IPA
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
–M
enghitu
ng p
elu
ang
ga
bu
ng
an
du
a k
e-
jadia
n.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ng
ert
ian
ke
jad
ian
salin
g a
sin
g.
–M
enghitu
ng p
elu
ang
ke
jad
ian
sa
lin
g
asin
g.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ng
ert
ian
ke
jad
ian
salin
g b
ebas.
–M
enghitu
ng p
elu
ang
ke
jad
ian
sa
lin
g
bebas.
–M
en
jela
ska
n
pe
-
ng
ert
ian
ke
jad
ian
be
rsya
rat.
–M
enghitu
ng p
elu
ang
keja
dia
n b
ers
yara
t.
228 Silabus
Bab
III
Trig
on
om
etr
i
Seko
lah
:. . . .
Kela
s/S
em
este
r:
XI/1 P
ro
gram
IP
A
Mata
Pela
jaran
:M
ate
mati
ka
Sta
nd
ar K
om
pete
nsi
:2.
Menuru
nkan rum
us tr
igonom
etr
i dan p
enggunaannya.
8 jp
2.1
Me
ng
gu
na
ka
n
rum
us
s
inu
s
da
n
ko
sin
us
jum
lah
du
a s
u-
du
t, s
elis
ih d
ua
su
du
t, d
an
su
-
dut ganda u
ntu
k
me
ng
hitu
ng
si-
nus d
an k
osin
us
sudut
tert
entu
.
Tri
go
no
me
tri
–M
enuru
nkan r
um
us
kosin
us j
um
lah d
an
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
kosin
us j
um
lah d
an
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n ca
ra
menggunaka
n rum
us
kosin
us j
um
lah d
an
se
lisih
d
ua
s
ud
ut
un
tuk m
en
gh
itu
ng
nila
i ko
sin
us s
ud
ut
tert
en
tu.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
kosi
nus
sudut t
ertentu
menggunaka
n rum
us
kosin
us j
um
lah d
an
selis
ih d
ua s
udut.
–M
enuru
nkan r
um
us
sin
us ju
mla
h
da
n
selis
ih d
ua s
udut.
–M
enghitung n
ilai si-
nu
s
jum
lah
d
an
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
menggunaka
n rum
us
sin
us
ju
mla
h d
an
se
lis
ih d
ua
s
ud
ut
un
tuk m
en
gh
itu
ng
nil
ai
sin
us
s
ud
ut
tert
en
tu.
–M
enghitung n
ilai si-
nu
s s
ud
ut
tert
en
tu
menggunaka
n r
um
us
sin
us ju
mla
h d
an
selis
ih d
ua s
udut.
2.1
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n n
ila
i ko
-
sin
us s
udut
ter-
ten
tu
me
ng
-
gunakan r
um
us
ko
sin
us j
um
lah
dan s
elis
ih d
ua
su
du
t.
2.1
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n n
ilai sin
us
su
du
t te
rte
ntu
me
ng
gu
na
ka
n
rum
us
sinus
jum
-
lah
da
n s
elisih
dua s
udut.
2.1
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n n
ila
i ta
-
ngen s
udut
ter-
ten
tu
me
ng
-
gunakan r
um
us
tan
ge
n j
um
lah
dan s
elis
ih d
ua
su
du
t.
2.1
.4M
am
pu m
enen-
tuka
n h
impunan
pe
ny
ele
sa
ian
dari p
ers
am
aan
a s
in x
+ b
cos
x =
c.
2.1
.5M
am
pu m
enen-
tuka
n n
ilai sin
us
su
du
t te
rte
ntu
me
ng
gu
na
ka
n
rum
us
s
inu
s
su
du
t ra
ng
ka
p.
Te
s
tert
ulis
Pili
han
ga
nd
a
1.
Nila
i d
ari
ta
n 3
15
°
adala
h . . . .
a.
–�
d.
1
b.
–1
e.
�
c.
0
2.
Jik
a tan α
= 1
dan tan
β =
� �
dengan α
dan
β sudut
lancip
maka
sin
(α
– β
) =
. .
. .
a.
� ��
d.
� �
b.
� ��
e.
� �
c.
� �
3.
Dik
eta
hui
tan A
=
� �
dan t
an B
=
� �.
Nila
i
�
��
�
�
��
�
+ − a
dala
h . . . .
a.
1d
.6
b.
� �e
.7
c.
�� �
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
21–
17
2
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
ha
lam
an
59
–
80
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
Website-w
ebsite
ya
ng
re
leva
n
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pendid
ikan
Ka
rakte
r
(•)
Rasa
Ingin
Tahu
229Matematika Kelas XI Program IPA
–M
enuru
nkan r
um
us
tan
ge
n j
um
lah
da
n
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
tan
ge
n j
um
lah
da
n
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
menggunaka
n r
um
us
tan
ge
n j
um
lah
da
n
se
lisih
d
ua
s
ud
ut
un
tuk m
en
gh
itu
ng
nila
i ta
ng
en
su
du
t
tert
en
tu.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
tangen s
udut t
ertentu
menggunaka
n r
um
us
tan
ge
n j
um
lah
da
n
selis
ih d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ng
ub
ah
be
ntu
k
a c
os x
+ b
sin
x
me
nja
di
be
ntu
k k
cos (
x –
α).
–M
en
gu
ba
h b
en
tuk
a c
os x
+ b
sin
x
me
nja
di
be
ntu
k k
cos (
x –
α).
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ny
ele
sa
ika
n
pers
am
aan a
cos x
+ b
sin
x =
c.
–M
en
en
tuka
n h
im-
punan p
enyele
saia
n
ya
ng
m
em
en
uh
i
a c
os x
+ b
sin
x =
c.
–M
en
je
la
sk
an
pe
ng
ert
ian
s
ud
ut
ran
gka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
sinus
sudut ra
ngka
p.
–M
enghitung n
ilai si-
nus s
udut
rangkap.
2.1
.6M
am
pu
m
e-
ne
ntu
ka
n n
ila
i
ko
sin
us s
ud
ut
tert
en
tu m
en
g-
gunakan r
um
us
ko
sin
us s
ud
ut
ran
gka
p.
2.1
.7M
am
pu
m
e-
nentu
kan n
ilai t
a-
ng
en
su
du
t
tert
en
tu m
en
g-
gunakan r
um
us
tan
ge
n
su
du
t
ran
gka
p.
Ura
ian
1.
Te
ntu
ka
n n
ila
i d
ari
be
ntu
k t
rig
on
om
etr
i
be
riku
t.
a.
sin
75°
+ s
in 1
95°
b.
co
s 1
65
° –
co
s
15°
c.
tan 3
45°
× ta
n 1
5°
2.
Carila
h n
ilai s
in (α
+ β
),
cos (α
+ β
), d
an t
an
(α –
β)
jika d
iketa
hui:
a.
sin
α =
� �
, cos β
=
� ��
, α
dan β
di
ku
ad
ran
I;
b.
sin
α =
� �
, cos β
= � �
, α d
i kuadra
n II
dan β
di k
uadra
n IV
.
3.
Te
ntu
ka
n h
imp
un
an
pe
ny
ele
sa
ian
p
er-
sa
ma
an
tri
go
no
me
tri
berikut
untu
k 0
≤ x
≤360°.
a.
� �co
s x
+
� ��
sin
x =
� �
b.
sin
x –
�
cos x
–
� =
0
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
230 Silabus
–M
enghitung n
ilai si-
nu
s s
ud
ut
tert
en
tu
menggunaka
n r
um
us
sinus
sudut ra
ngka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
kosinus
sudut r
angka
p.
–M
enghitung n
ilai k
o-
sinus
sudut ra
ngka
p.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
kosi
nus
sudut t
ertentu
menggunaka
n r
um
us
kosinus
sudut r
angka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
tangen s
udut r
angka
p.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
tangen s
udut r
angka
p.
–M
en
gh
itu
ng
n
ila
i
tangen s
udut te
rtentu
menggunaka
n r
um
us
tangen s
udut r
angka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
sin
us j
ika d
iketa
hui
rum
us s
inu
s s
ud
ut
ran
gka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
kosi
nus
jika d
iketa
hui
rum
us
kosi
nus
sudut
ran
gka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
tangen ji
ka d
iketa
hui
rum
us
kosi
nus
sudut
ran
gka
p.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
be
ntu
k
pe
rka
lia
n
ko
sin
us
d
an
k
o-
sin
us d
apat
diu
bah
me
nja
di
be
ntu
k
pe
nju
mla
ha
n
ko
sin
us.
2.2
.1M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an
be
ntu
k p
er-
ka
lia
n k
osin
us
da
n k
osin
us.
2.2
.2M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an
be
ntu
k p
er-
kalia
n s
inus d
an
sin
us.
1.
Nila
i 1
2 s
in 7
5°
co
s
195°
adala
h . . . .
a.
–6 –
3�
b.
–6 –
�
c.
–6 +
3�
d.
6 –
3�
e.
6 +
3�
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
21–
17
2
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 5
9–80
2.2
Me
nu
run
ka
n
rum
us ju
mla
h
da
n s
elisih
si-
nu
s d
an
ko
si-
nus.
Tri
go
no
me
tri
Pili
han
ga
nd
a
4 jp
Te
s
tert
ulis
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pendid
ikan
Ka
rakte
r
(*)
Pa
nta
ng
Me
nye
rah
231Matematika Kelas XI Program IPA
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
bentu
k p
erk
alia
n s
i-
nus d
an s
inus m
en-
jad
i b
en
tuk s
elisih
ko
sin
us.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
bentu
k p
erk
alia
n s
i-
nu
s
da
n
ko
sin
us
menja
di b
entu
k p
en-
jum
lahan s
inus.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
be
ntu
k
pe
rka
lia
n
ko
sin
us d
an
sin
us
me
nja
di
be
ntu
k
se
lisih
sin
us.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
be
ntu
k p
en
jum
lah
-
an k
osin
us m
enja
di
be
ntu
k
pe
rka
lia
n
ko
sin
us.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
me
ng
ub
ah
be
ntu
k s
elisih
ko
-
sinus
menja
di b
entu
k
perk
alia
n s
inus.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
m
en
gu
ba
h
bentu
k p
enju
mla
han
sinus
menja
di b
entu
k
perk
alia
n s
inus d
an
ko
sin
us.
–M
enuru
nkan r
um
us
un
tuk
me
ng
ub
ah
bentu
k s
elis
ih s
inus
menja
di bentu
k p
er-
ka
lian
ko
sin
us d
an
sin
us.
2.2
.3M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an
be
ntu
k p
er-
ka
lia
n
sin
us
da
n k
osin
us.
2.2
.4M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an
be
ntu
k p
er-
ka
lia
n k
osin
us
dan s
inus.
2.2
.5M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an b
entu
k p
en-
jum
lah
an
k
o-
sin
us.
2.2
.6M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an b
entu
k s
elis
ih
ko
sin
us.
2.2
.7M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an b
entu
k p
en-
jum
lahan s
inus.
2.2
.8M
am
pu m
enen-
tukan p
eru
ba
h-
an b
entu
k s
elis
ih
sin
us.
2.
cos 1
5°
– s
in 1
5°
= . . .
a.
–� �
�
b.
–� �
c.
0
d.
� �
e.
� ��
1.
Tu
nju
kka
n b
ah
wa
:
a.
sin
52
° sin
68
°
– s
in 4
7°
cos 7
7°
–
co
s
65
° c
os
81°
=
� �
b.
sin
2 1
95°
sin
75°
cos 7
5°
=
� �(1
–
� ��
)
2.
Te
ntu
ka
n h
imp
un
an
pe
ny
ele
sa
ian
d
ari
pe
rsa
ma
an
tri
go
no
-
me
tri
be
riku
t u
ntu
k
0 ≤
x ≤
2p.
a.
���
��
��
��
��
�−
= 1
b.
co
s (x
+
�π
) –
cos (
x –
�π)
=�
3.
Jik
a x
= s
in 3θ
+ s
in θ
dan y
= c
os
3θ
+ c
os θ,
bu
kti
ka
n
ide
nti
tas
be
riku
t.
a.
x +
y =
2 c
os θ
(sin
2θ
+ c
os 2θ)
b.
� � =
tan 2θ
c.
x2 +
y2 =
2 +
2
co
s 2θ
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
Ura
ian
232 Silabus
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
perk
alia
n k
osi
nus
dan
kosin
us d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
er-
ka
lian
ko
sin
us d
an
kosin
us d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
perk
alia
n s
inus d
an
sin
us d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
er-
kalia
n s
inus d
an s
i-
nus d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
perk
alia
n s
inus d
an
kosin
us d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
er-
ka
lia
n s
inu
s d
an
kosin
us d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
pe
rka
lia
n k
osin
us
dan s
inus
dua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
er-
ka
lian
ko
sin
us d
an
sin
us d
ua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
pe
nju
mla
ha
n
kosin
us d
ua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
en
-
jum
lah
an
ko
sin
us
dua s
udut.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
selis
ih k
osin
us d
ua
su
du
t.
–M
en
gh
itu
ng
se
lisih
kosin
us d
ua s
udut.
2.3
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
per-
ka
lia
n k
osin
us
da
n k
osin
us.
2.3
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
per-
kalia
n s
inus d
an
sin
us.
2.3
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
per-
kalia
n s
inus d
an
ko
sin
us.
2.3
.4M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
per-
ka
lia
n k
osin
us
dan s
inus.
2.3
.5M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
pen-
jum
lahan k
osi
nus
dua s
udut.
2.3
.6M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asi
l selis
ih
kosinus
dua s
udut.
2.3
.7M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asil
pen-
jum
lahan s
inus
dua s
udut.
2.3
.8M
am
pu m
enen-
tuka
n h
asi
l selis
ih
dua s
udut.
1.
Nila
i cos 1
30°
+ c
os
110°
+ c
os 1
0°
adala
h
. . . .
a.
–1
b.
–� �
c.
0
d.
� �
e.
� ��
2.
sin
20°
sin
40°
sin
80°
a.
–� � –
� �
�
b.
–� � –
� �
�
c.
–� �
�
d.
–� � +
� �
�
e.
� ��
1.
Ta
np
a
ka
lku
lato
r,
hitu
ngla
h h
asil
opera
si
trig
on
om
etr
i b
eri
ku
t.
a.
4 s
in 2
0°
sin
40°
sin
80°
b.
4 s
in 1
0°
sin
50°
sin
70°
2.
Tentu
kan n
ilai bentu
k
trig
on
om
etr
i b
eri
ku
t.
a.
4 s
in 6
7� �°
sin
22
� �°
–
2
co
s
187
� �°
cos 5
2� �°
b.
sin
105°
cos 1
5°
+ 8
co
s 7
5°
sin
195°
2.3
Me
ng
gu
na
ka
n
rum
us
ju
mla
h
da
n s
elisih
si-
nus
dan k
osi
nus.
Tri
go
no
me
tri
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
21–
17
2
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 5
9–80
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsit
e y
an
g
rele
va
n
Pili
han
ga
nd
a
Ura
ian
Te
s
tert
ulis
4 jp
Pendid
ikan
Ka
rakte
r
(*)
Pa
nta
ng
Me
nye
rah
233Matematika Kelas XI Program IPA
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
pe
nju
mla
ha
n s
inu
s
dua s
udut.
–M
en
gh
itu
ng
p
en
-
jum
lahan s
inus d
ua
su
du
t.
–M
en
jela
ska
n c
ara
me
ne
ntu
ka
n h
asil
se
lis
ih s
inu
s d
ua
su
du
t.
–M
en
gh
itu
ng
se
lisih
sin
us d
ua s
udut.
234 Silabus
Ba
b IV
P
ers
am
aa
n L
ing
ka
ra
n d
an
G
aris
S
ing
gu
ng
L
ing
ka
ra
n
Seko
lah
:. . . .
Kela
s/S
em
este
r:
XI/1 P
ro
gram
IP
A
Mata
Pela
jaran
:M
ate
mati
ka
Sta
nd
ar K
om
pete
nsi
:3.
Menyusun p
ers
am
aan li
ngkara
n d
an g
aris s
inggungnya.
3.1
Me
ny
us
un
pe
rs
am
aa
n
lin
gka
ran
ya
ng
me
me
nu
hi
pe
r-
sya
rata
n y
an
g
dite
ntu
ka
n.
Pe
rsa
ma
an
Lin
gka
ran
–M
en
en
tuka
n
pe
r-
sa
ma
an
lin
gka
ran
ya
ng
b
erp
us
at
di
titi
k
O(0
, 0
) d
an
berjari-jari r
.
–M
en
en
tu
ka
n
pers
am
aan l
ingkar-
an y
ang b
erp
usat di
titi
k
P(a
, b
) d
an
berjari-jari r
.
–M
enentu
kan b
entu
k
um
um
pe
rsa
ma
an
ling
ka
ran
.
–M
en
en
tuk
an
ti
tik
pu
sa
t d
an
ja
ri-j
ari
lingkara
n j
ika d
ike-
tah
ui
pe
rsa
ma
an
ling
ka
ran
nya
.
–M
en
ye
bu
tk
an
syara
t suatu
titik
di
da
lam
lin
gka
ran
,
pada lin
gkara
n, dan
di
luar
lingkara
n.
–M
en
gh
itu
ng
ja
rak
suatu
titik
terh
adap
titik p
usat lin
gkara
n.
–M
em
ba
nd
ing
ka
n
jara
k
su
atu
ti
tik
terh
adap t
itik
pusat
lin
gka
ran
d
en
ga
n
jari-jari l
ingkara
n.
3.1
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n
pe
rsa
-
maan l
ingkara
n
ya
ng
dik
eta
hu
i
titi
k p
usa
t d
an
jari-jarinya.
3.1
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n k
eduduka
n
titi
k
terh
ad
ap
ling
ka
ran
.
3.1
.3M
am
pu m
enen-
tuka
n k
eduduka
n
ga
ris t
erh
ad
ap
ling
ka
ran
.
Te
s
tert
ulis
1.
Pe
rsa
ma
an
lin
gka
r-
an
pa
da
ga
mb
ar
di
ata
s a
dala
h . . . .
a.
x2 +
y2 =
3
b.
x2 +
y2 =
9
c.
x2 +
y2 =
18
d.
x2 +
y2 =
36
e.
x2 +
y2 =
81
2.
Pers
am
aan lin
gkara
n
de
ng
an
k
oo
rdin
at
uju
ng
-uju
ng
s
ala
h
sa
tu d
iam
ete
rny
a
(–4
, –
3)
da
n (
6,
1)
adala
h . . . .
a.
x2 +
y2 –
2x +
2y
– 2
7 =
0
b.
x2 +
y2 +
2x –
2y
– 2
7 =
0
c.
x2 +
y2 –
2x +
2y
+ 2
9 =
0
d.
x2 +
y2 –
2x +
2y
+ 3
1 =
0
e.
x2 +
y2 +
2x –
2y
+ 3
1 =
0
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
73–
20
2
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
ha
lam
an
81
–
94
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsit
e y
an
g
rele
va
n
4 jp
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pili
han
ga
nd
a
Y
X
9
–90
9
–9
Pe
nd
idik
an
ka
rakte
r
(*)M
engharg
ai
Perb
edaan
235Matematika Kelas XI Program IPA
3.2
Me
ne
ntu
ka
n
pers
am
an g
aris
sin
gg
un
g p
ad
a
lingkara
n d
ala
m
berb
agai s
ituasi.
Pe
rsa
ma
an
Ga
ris
Sin
gg
un
g
Lin
gka
ran
–M
en
ye
bu
tk
an
sya
rat
su
atu
ga
ris
me
mo
ton
g,
me
-
ny
ing
gu
ng
, d
an
tid
ak
m
em
oto
ng
ling
ka
ran
.
–M
en
gh
itu
ng
ja
rak
titik p
usat lin
gkara
n
terh
ad
ap
s
ua
tu
ga
ris.
–M
em
ba
nd
ing
ka
n
jara
k
titi
k
pu
sa
t
ling
ka
ran
te
rha
da
p
suatu
garis d
engan
jari-jari l
ingkara
n.
–M
en
en
tu
ka
n
pe
rsa
ma
an
g
ari
s
sin
ggung l
ingkara
n
di
su
atu
titik
pa
da
lingkara
n y
ang b
er-
pusat
di
O(0
, 0).
–M
en
en
tu
ka
n
pe
rsa
ma
an
g
ari
s
sin
gg
un
g l
ing
ka
ran
di
su
atu
titik
pa
da
lingkara
n y
ang b
er-
pusat
di
P(a
, b).
–M
en
en
tu
ka
n
pe
rsa
ma
an
g
ari
s
ku
tub
s
ua
tu
titi
k
terh
ad
ap
lin
gka
ran
ya
ng
b
erp
us
at
di
titik O
(0,
0).
–M
en
en
tuk
an
ti
tik
po
ton
g g
ari
s k
utu
b
de
ng
an
lin
gka
ran
-
nya b
erp
usat
di titik
O(0
, 0
).
3.2
.1M
am
pu m
enen-
tuka
n pers
am
aan
ga
ris s
ing
gu
ng
lingka
ran d
i suatu
titik
pada lingka
r-
an
.
3.2
.2M
am
pu m
enen-
tuka
n pers
am
aan
ga
ris s
ing
gu
ng
lingka
ran d
i suatu
titik
di luar l
ingka
r-
an
.
3.2
.3M
am
pu
me
ne
ntu
ka
n
pe
rs
am
aa
n
ga
ris s
ing
gu
ng
li
ng
ka
ra
n
dengan g
radie
n
tert
en
tu.
Te
ntu
ka
n
pe
rsa
ma
an
ling
ka
ran
be
riku
t.
a.
Berp
usa
t di t
itik
O(0
, 0)
dan m
ela
lui t
itik
(3, –
2).
b.
Be
rpu
sa
t d
i ti
tik
P(–
3,
1)
da
n b
er-
dia
mete
r 8.
1.
Pe
rsa
ma
an
g
ari
s
sin
gg
un
g l
ing
ka
ran
x2 +
y
2 –
6
x +
4y
– 1
2 =
0 d
i titik (
7,
1)
adala
h . . . .
a.
3x –
4y –
41 =
0
b.
4x +
3y –
55 =
0
c.
4x –
5y –
53 =
0
d.
4x +
3y –
31 =
0
e.
4x –
3y –
40 =
0
2.
Sala
h s
atu
pers
am
aan
ga
ris s
ing
gu
ng
lin
g-
kara
n (x
+ 4
)2 +
(y
– 2
)2
= 2
0 d
i titi
k p
oto
ngnya
de
ng
an
su
mb
u
X
adala
h .
. . .
a.
2x +
y +
16 =
0
b.
x +
2y +
16 =
0
c.
2x –
y +
16 =
0
d.
2x +
y =
0
e.
x –
2y =
0
1.
Buku
PG
Mate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IP
A,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 1
73–
20
2
2.
Buku P
R M
ate
-
ma
tika
K
ela
s
XI P
rogra
m IPA
,
Inta
n P
ariw
ara
,
hala
man 8
1–94
3.
BS
E M
ate
ma
-
tika u
ntu
k S
MA
/
MA
K
ela
s X
I
Pro
gra
m IP
A,
De
pd
ikn
as
4.
We
bs
it
e-
we
bsit
e y
an
g
rele
va
n
8 jp
Ura
ian
Pili
han
ga
nd
a
Te
s
tert
ulis
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
Pendid
ikan
Ka
rakte
r
(*)
Kre
atif
236 Silabus
–M
enentu
kan p
ers
a-
maan g
aris s
inggung
lin
gk
ara
n
di
titi
k
po
ton
g g
ari
s k
utu
b
de
ng
an
li
ng
ka
ran
ya
ng
b
erp
us
at
di
titik O
(0,
0).
–M
enentu
kan p
ers
a-
ma
an
ga
ris k
utu
b
suatu
titik
terh
adap
lingkara
n y
ang b
er-
pusat di titik P
(a, b).
–M
en
en
tuk
an
ti
tik
po
ton
g g
ari
s k
utu
b
de
ng
an
li
ng
ka
ran
ya
ng
b
erp
us
at
di
titik P
(a,
b).
–M
enentu
kan p
ers
a-
maan g
aris s
inggung
lin
gk
ara
n
di
titi
k
po
ton
g g
ari
s k
utu
b
de
ng
an
li
ng
ka
ran
ya
ng
b
erp
us
at
di
titik P
(a,
b).
–M
enentu
kan p
ers
a-
maan g
aris s
inggung
lingkara
n y
ang b
er-
gra
die
n
m
pa
da
lingkara
n y
ang b
er-
pusat di t
itik
O(0
, 0).
–M
enentu
kan p
ers
a-
maan g
aris s
inggung
lingka
ran y
ang s
eja
jar
ata
u
teg
ak
lu
rus
su
atu
g
ari
s p
ad
a
lingkara
n y
ang b
er-
pusat di t
itik
O(0
, 0).
3.
Pe
rsa
ma
an
g
ari
s
sin
gg
un
g l
ing
ka
ran
x2
+
y2
=
4
ya
ng
me
lalu
i ti
tik
(0
, 4
)
adala
h . . . .
a.
y =
–3x +
4
b.
y =
–�
x +
4
c.
y =
–�
x –
4
d.
y =
–�
x +
4
e.
y =
–�
x –
4
4.
Ga
ris
y
an
g d
ita
rik
da
ri
titi
k
A(1
, –
2)
me
nyin
gg
un
g lin
g-
ka
ran
x2 +
y2 +
3x
– 4
y =
0 d
i ti
tik B
.
Pa
nja
ng
ru
as g
ari
s
AB
adala
h . . . .
a.
3
b.
2�
c.
4
d.
2�
e.
4,5
1.
Se
bu
ah
li
ng
ka
ran
berp
usa
t di t
itik
O(0
, 0)
mela
lui titik A
(–1,
2).
a.
Te
ntu
ka
n p
ers
a-
ma
an
lin
gka
ran
dan g
aris
sin
ggung-
nya d
i titik A
.
b.
Luki
slah li
ngka
ran
dan g
aris
sin
ggung-
nya d
i titik A
.
2.
Tentu
kan p
ers
am
aan
ga
ris s
ing
gu
ng
lin
g-
ka
ran
(x
–
2
)2 +
(y +
1)2
= 1
3 d
i titik
yang b
era
bsis
–1.
Ura
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
237Matematika Kelas XI Program IPA
Ko
mp
ete
ns
i
Da
sa
r
Ma
teri
Po
ko
k/
Pe
mb
ela
jara
n
Ke
gia
ta
n
Pe
mb
ela
jara
n
Ind
ika
tor P
en
ca
pa
ian
Ko
mp
ete
ns
i
Pe
nil
aia
n
Te
kn
ikB
en
tu
k
Instr
um
en
Co
nto
h In
str
um
en
Alo
ka
si
Wa
ktu
Ala
t d
an
S
um
be
r
Be
laja
r
Nil
ai
da
n
Ma
teri
ya
ng
Dii
nte
gra
sik
an
–M
en
en
tuka
n p
ers
a-
maan g
aris s
inggung
ling
ka
ran
ya
ng
be
r-
gra
die
n
m
pa
da
ling
ka
ran
ya
ng
be
r-
pusat
di titik P
(a,
b).
–M
en
en
tuka
n p
ers
a-
maan g
aris
singgung
lin
gka
ran
ya
ng
se
-
jaja
r ata
u tegak lu
rus
su
atu
g
ari
s
pa
da
ling
ka
ran
ya
ng
be
r-
pusat
di titik P
(a,
b).
–M
enentu
kan g
radie
n
garis s
inggung l
ing-
ka
ran
di
su
atu
titik
pada s
uatu
lingkara
n.
3.
Tentu
kan p
ers
am
aan
ga
ris s
ing
gu
ng
lin
g-
ka
ran
(x
–
2
)2 +
(y –
6)2
= 1
6 y
an
g
mela
lui titik (
–1,
2).
238 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Bab I Statistika
Sekolah : . . . . . . . . . .
Kelas/Semester : XI/1 Program IPA
Mata Pelajaran : Matematika
Alokasi Waktu : 12 × 45 menit
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : 1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan dan
ogive.
1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive,
serta penafsirannya.
1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta
penafsirannya.
Indikator Pencapaian Kompetensi
1.1.1 Mampu mendefinisikan statistika.
1.1.2 Mampu membaca data tunggal dalam bentuk tabel dan diagram.
1.1.3 Mampu membaca data berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram.
1.2.1 Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram.
1.2.2 Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram.
1.2.3 Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram.
1.2.4 Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.
1.3.1 Mampu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (rata-rata, modus, dan median).
1.3.2 Mampu menentukan ukuran pemusatan data berkelompok (mean, modus, dan median).
1.3.3 Mampu menentukan ukuran letak data tunggal (kuartil, desil, dan persentil).
1.3.4 Mampu menentukan ukuran letak data berkelompok (kuartil, desil, dan persentil).
1.3.5 Mampu menentukan ukuran penyebaran data tunggal.
1.3.6 Mampu menentukan ukuran penyebaran data berkelompok.
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik mampu:
1. menjelaskan cara mencari suatu data;
2. menjelaskan dan menafsirkan data yang disajikan;
3. menyajikan data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran;
4. menentukan nilai rata-rata (mean) suatu data;
5. menentukan nilai median suatu data;
6. menentukan nilai modus suatu data;
7. menentukan kuartil suatu data;
8. menentukan desil suatu data;
9. menentukan persentil suatu data;
10. menentukan simpangan baku suatu data;
11. menentukan varian suatu data.
Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Kritis dan Cermat
Materi Pembelajaran
Statistika
Metode Pembelajaran
1. Model Pembelajaran
a. Cooperative Learning (CL)
b. Direct Instruction (DI)
2. Metode
a. Tanya jawab
b. Diskusi
c. Tugas
239Matematika Kelas XI Program IPA
Langkah-Langkah Kegiatan
Pertemuan Pertama
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Menyajikan beberapa data dalam bentuk gambar/diagram, kemudian siswa disuruh membaca dan
memberikan deskripsi diagram tersebut.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang data dan cara membaca data.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang arti data dan jenis-jenis data.
• Guru menjelaskan tentang statistik dan statistika.
• Guru menjelaskan sampel dan populasi.
• Guru menjelaskan tentang cara mengumpulkan data.
• Guru dan siswa melakukan cara menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram
garis, dan diagram lingkaran.
• Guru memberikan penafsiran suatu data tunggal yang telah disajikan.
b. Elaborasi
Guru dan siswa membuat data dalam bentuk diagram dari data yang berbentuk tabel kemudian
menafsirkannya.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan tentang hasil yang dibuat siswa dalam membuat diagram.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Kedua
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan permasalahan baru tentang data kumulatif dari suatu data berkelompok.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa memahami cara membaca data dan menyajikan data dalam bentuk ogive.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang tabel distribusi frekuensi data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang histogram dan poligon frekuensi.
• Guru menjelaskan tentang penyajian data.
b. Elaborasi
Guru bersama siswa mendemonstrasikan cara membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon
frekuensi, dan ogive. Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan hasil yang diperoleh siswa dari menggambar diagram-diagram tersebut.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)
• Guru meminta siswa untuk membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive.
• Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Ketiga
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari ukuran pemusatan data (mean, median, modus) dalam
suatu penelitian.
240 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang data tunggal dan data berkelompok.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang rata-rata (rataan) data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang median data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang modus data tunggal.
• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data tunggal.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan dan menentukan mean, median, dan modus dari
suatu data tunggal.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan tentang hasil penghitungan yang telah dilakukan.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan sebagai evaluasi belajar.
Pertemuan Keempat
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan manfaat dari mempelajari suatu data, terutama mean, median, dan modus pada data
berkelompok.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang mean, median, dan modus suatu data tunggal.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang rata-rata (mean) dari data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang median dari data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang modus dari data berkelompok.
• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus pada data berkelompok.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa melakukan cara menghitung rata-rata, median, dan modus pada suatu data
berkelompok.
c. Konfirmasi
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan
siswa.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.
Pertemuan Kelima
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan contoh fakta/kejadian tentang pemanfaatan suatu ilmu statistik terutama ukuran letak.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang urutan data dan cara mengurutkan data.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang arti ukuran letak suatu data.
• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang desil suatu data tunggal dan data berkelompok.
241Matematika Kelas XI Program IPA
• Guru menjelaskan tentang persentil suatu data tunggal dan data berkelompok.
• Guru mendemonstrasikan cara menghitung dan menentukan kuartil, desil, dan persentil.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menghitung nilai kuartil, desil, atau persentil secara tertuntun.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan tentang kepemahaman siswa terhadap materi yang diajarkan.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.
Pertemuan Keenam
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru menjelaskan tentang ukuran penyebaran suatu data dan manfaat ukuran penyebaran data dalam
penelitian.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang kuartil dan rata-rata.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang jangkauan pada data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil pada data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang langkah, pagar dalam, dan pagar luar pada data tunggal.
• Guru menjelaskan tentang simpangan rata-rata pada data tunggal dan data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang ragam pada data tunggal dan data berkelompok.
• Guru menjelaskan tentang simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok.
• Guru mendemonstrasikan cara menentukan nilai-nilai ukuran penyebaran pada data tunggal maupun
data berkelompok.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menghitung nilai-nilai ukuran penyebaran suatu data berbentuk diagram
secara tertuntun.
c. Konfirmasi
Guru mendiskusikan hasil yang diperoleh dari kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.
Alat Sumber Belajar
1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013
2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013
3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdiknas, 2009
4. Website-website yang relevan
Penilaian Hasil Belajar
1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen
a. Teknik Penilaian
Tes tertulis
b. Bentuk Instrumen
1) Pilihan ganda
2) Uraian
242 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
2. Contoh Instrumen
a. Pilihan Ganda
1) Diagram berikut merupakan diagram batang mengenai banyak gol yang dicetak beberapa pemain
sepak bola dalam 20 pertandingan.
Jika jumlah gol yang dicetak 8 pemain tersebut 50, banyak gol
yang dicetak Burhan . . . .
a. 7 d. 10
b. 8 e. 11
c. 9
2) Data berat benda diberikan pada tabel berikut.
Rata-rata berat benda . . . gram.
a. 16,1 d. 16,7
b. 16,3 e. 16,9
c. 16,5
b. Uraian
1) Diketahui data panjang ruas-ruas bambu sebagai berikut.
Buatlah poligon yang menggambarkan data tersebut.
2) Beberapa siswa diminta untuk mengerjakan 1 soal yang sama. Lama
waktu pengerjaan setiap anak disajikan dalam diagram di samping.
a. Tentukan rata-rata lama waktu pengerjaan soal.
b. Tentukan banyak siswa yang membutuhkan waktu kurang dari
rata-rata lama waktu pengerjaan.
________, ______________
Mengetahui,
Kepala SMA ______________ Guru Mata Pelajaran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
___________________________ ___________________________
NIP _______________________ NIP _______________________
Frekuensi
4
2
2
4
2
3
1
8
4
Berat (gram)
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Frekuensi
12
16
11
15
20
Panjang Ruas (cm)
11–14
15–18
19–22
23–26
27–30
243Matematika Kelas XI Program IPA
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Bab II Peluang
Sekolah : . . . . . . . . . .
Kelas/Semester : XI/1 Program IPA
Mata Pelajaran : Matematika
Alokasi Waktu : 8 × 45 menit
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : 1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.
1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.
1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.
Indikator Pencapaian Kompetensi
1.4.1 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian.
1.4.2 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan permutasi.
1.4.3 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan kombinasi.
1.5.1 Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan.
1.5.2 Mampu menentukan banyak titik sampel suatu percobaan.
1.5.3 Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian.
1.6.1 Mampu menentukan peluang suatu kejadian.
1.6.2 Mampu menentukan peluang komplemen suatu kejadian.
1.6.3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang.
1.6.4 Mampu menentukan frekuensi harapan suatu kejadian.
1.6.5 Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian.
1.6.6 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling asing.
1.6.7 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling bebas.
1.6.8 Mampu menentukan peluang kejadian bersyarat.
Tujuan Pembelajaran
Peserta didik mampu:
1. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan perkalian;
2. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan permutasi;
3. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan kombinasi;
4. menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan;
5. menentukan peluang suatu kejadian;
6. menentukan kisaran nilai peluang;
7. menentukan frekuensi harapan;
8. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling asing;
9. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling bebas.
Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Jujur
Materi Pembelajaran
Peluang
Metode Pembelajaran
1. Model Pembelajaran
a. Cooperative Learning (CL)
b. Direct Instruction (DI)
2. Metode
a. Tanya jawab
b. Diskusi
244 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Langkah-Langkah Kegiatan
Pertemuan Pertama
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan contoh permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan aturan perkalian,
permutasi, dan kombinasi.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui dan menguasai konsep faktorial.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang konsep aturan perkalian.
• Guru menjelaskan tentang konsep faktorial.
• Guru menjelaskan tentang aturan permutasi dan memberikan contoh-contohnya.
• Guru menjelaskan tentang aturan kombinasi dan memberikan contoh-contohnya.
• Guru melakukan penghitungan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan aturan
perkalian, permutasi, dan kombinasi. Kejadian ini dilakukan secara tertuntun.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan yang telah dilakukan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan latihan soal untuk dikerjakan siswa.
Pertemuan Kedua
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan beberapa contoh kejadian, kemudian siswa ditunjuk untuk menentukan titik sampul
dan ruang sampul.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang percobaan statistika.
• Guru menjelaskan tentang pengertian ruang sampel.
• Guru menjelaskan tentang pengertian titik sampel.
• Guru melakukan penghitungan terhadap titik sampel suatu kejadian.
• Guru menentukan anggota himpunan suatu kejadian.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menyebutkan titik sampel dari suatu kejadian.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan tentang hasil yang diperoleh dalam kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi tentang hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.
Pertemuan Ketiga
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru menjelaskan tentang gambaran peluang dalam kehidupan sehari-hari dan menyebutkan manfaat
mempelajari peluang.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian.
245Matematika Kelas XI Program IPA
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang kejadian dalam suatu percobaan.
• Guru menjelaskan tentang peluang kejadian.
• Guru menjelaskan tentang kisaran nilai peluang dan memberikan contoh-contohnya.
• Guru menjelaskan tentang hubungan frekuensi harapan dan peluang.
• Guru melakukan penghitungan cara menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menyelesaikan masalah untuk menentukan nilai peluang.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan kepada siswa tentang kepemahamannya dalam menentukan nilai peluang suatu
kejadian.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Keempat
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. Motivasi
Guru memberikan gambaran-gambaran atau contoh-contoh kejadian yang berkaitan dengan kejadian
majemuk. Kemudian guru memberi pertanyaan kepada siswa tentang cara menentukan peluang
kejadiannya.
b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang peluang kejadian tunggal.
2. Kegiatan Inti (75 menit)
a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian.
• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling asing dan menjelaskan syarat-
syaratnya.
• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling bebas dan menjelaskan syarat-
syaratnya.
• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian bersyarat.
• Guru melakukan penghitungan nilai peluang dua kejadian majemuk di berbagai situasi.
b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan nilai peluang kejadian majemuk secara tertuntun.
c. Konfirmasi
Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)
Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.
Guru bisa memberi tugas kepada siswa.
Alat Sumber Belajar
1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013
2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013
3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdikas, 2009
4. Website-website yang relevan
Penilaian Hasil Belajar
1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen
a. Teknik Penilaian
Tes tertulis
b. Bentuk Instrumen
1) Pilihan ganda
2) Uraian
246 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
2. Contoh Instrumen
a. Pilihan Ganda
1) Dua orang perawat akan memeriksa pasien yang berada di 6 ruang berbeda. Banyak pasangan
perawat dengan pasien yang diperiksa adalah . . . .
a. 8 d. 30
b. 12 e. 36
c. 24
2) Banyak susunan angka yang dapat dibentuk dari angka 3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, dan 1 adalah . . . .
a. 1.860 d. 1.680
b. 1.840 e. 1.470
c. 1.780
3) Sebuah dadu dilempar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan ini ada . . . .
a. 18 d. 144
b. 36 e. 216
c. 72
b. Uraian
1) Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut.
a. 2 · 2n + 1
C2 = 3! ·
nP
2
b. n · 6P
2 =
nP
3
c.� �
�� � �
�
� + =
�
��
2) Dalam sebuah pertemuan internasional, 11 orang peserta terlibat dalam diskusi. 3 orang peserta
berasal dari Amerika, 2 orang peserta berasal dari Irlandia, 4 orang peserta berasal dari Korea, dan
2 orang peserta berasal dari Filipina. Berapa banyak cara mengatur mereka duduk melingkar sehingga
peserta berasal dari negara yang sama duduk berdekatan?
3) Dalam sebuah kotak terdapat 7 bendera hijau, 4 bendera kuning, dan 6 bendera merah. Diambil
secara acak 3 bendera secara bersamaan sebanyak 680 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya:
a. ketiganya bendera kuning;
b. 1 bendera hijau dan 2 bendera merah;
c. semua bendera berwarna berbeda.
4) Dari 32 siswa terdapat 22 siswa gemar voli, 17 siswa gemar tenis, dan 7 siswa gemar keduanya. Jika
tiga siswa dipilih secara acak, tentukan peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis.
________, ______________
Mengetahui,
Kepala SMA ______________ Guru Mata Pelajaran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
___________________________ ___________________________
NIP _______________________ NIP _______________________