26/04/23 15:53 1

Aljabar LinearPAC 202

3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen

26/04/23 15:53 2

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG

Pokok Bahasan :1. Notasi dan Operasi Vektor2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Dan lain-lain

26/04/23 15:53 3

Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccckcjcicccc

c

Notasi panjang vektor

3

2

1

ccc

c

adalah 2

32

22

1 cccc

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu

26/04/23 15:53 4

Operasi Vektor meliputi :1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)• Hasil kali silang (Cross Product)

26/04/23 15:53 5

Penjumlahan Vektor

u

v vu

u

u v

vu

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka

26/04/23 15:53 6

u

u2

u2

Perkalian vektor dengan skalar

u uk

u

uu

Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah Jika k > 0 searah dengan

Jika k < 0 berlawanan arah dengan

26/04/23 15:53 7

Scaling

PP

P’P’

26/04/23 15:53 8

321 ,aaaa 321 ,, bbbb

332211 ,,.1 babababa

332211 ,,.2 babababa

321 ,,.3 kakakaak

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka

Misalkan

26/04/23 15:53 9

Perkalian antara dua vektor• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)

26/04/23 15:53 10

Dot Product

Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana : panjang : panjang

: sudut keduanya

cosbaba

,a b

a

b

a

b

26/04/23 15:53 11

Ilustrasi dot product vektor A dan BcosBABA

26/04/23 15:53 12

Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan

Jawab :

Karena tan = 1 , artinya = 450

= 4

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

cosbaba

2182

26/04/23 15:53 13

Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac

b

a

b

a

b

ab

cos2222

babaab

b

26/04/23 15:53 14

Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

cosba

22221 abba

cos1. baba

222

21

2....2 naaaa

222

21

2....3 nbbbb

2222

211

2....4 nn abababab

nnnn

nn

abababaaabbb

2...22......

11

222

21

222

21

nnbabababa ...2211

26/04/23 15:53 15

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2)= 4

Beberapa sifat hasilkali titik :1.2.3.

2211 bababa

nnbabababa ...2211

abba

cabacba

Rkbkabakbak dimana,

26/04/23 15:53 16

Proyeksi Ortogonal

Karenaaproyc b

a

b

w

cwa bcwba

bcbw

bbk

bbk

bkc

bahwaterlihat

2bbak

26/04/23 15:53 17

Jadi, rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor

342

u

431

v

bbbaaoyb 2Pr

26/04/23 15:53 18

Jawab :

431

431

2626

431

26)12()12(2

431

)4(314

31

342

Pr

222

2 vvvuuoyv

26/04/23 15:53 19

Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

321

321

ˆˆˆ

BBBAAAkji

BxAC

kBBAA

jBBAA

iBBAA ˆˆˆ

21

21

31

31

32

32

26/04/23 15:53 20

Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)BxAC

26/04/23 15:53 21

Contoh :Tentukan ,dimana

Jawab :

vuw

321

321

ˆˆˆ

vvvuuukji

w

2,2,1 u )1,0,3(v

103221

ˆˆˆ

kji

i)2(01.2 j)2(31.1 k2.30.1

kji ˆ6ˆ7ˆ2

26/04/23 15:53 22

Beberapa sifat Cross Product :a.b.c. 2222 vuvuvu

0 vxuu

0 vxuv

26/04/23 15:53 23

Dari sifat ke-3 diperoleh

2222 vuvuvu

222 cos vuvu

22222 cos vuvu

222 cos1 vu

222 sin vu

sin, vuvxuJadi

26/04/23 15:53 24

Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

u

v

sinv

u

sinGenjangJajaran Luas vuvxu

vu21segitigaLuas

26/04/23 15:53 25

Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !

Jawab :Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)

AB

AC

26/04/23 15:53 26

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB AC541223

ˆˆˆ kji

kji ˆ10ˆ13ˆ2

100169421

Luas

27321

26/04/23 15:53 27

Orientasi pada titik B

BA ba

BC bc

BCBA

322223

ˆˆˆ

kji

jki ˆ10ˆ13ˆ2

BCxBA21

100169421

27321

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :

=

26/04/23 15:53 28

Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh

pasangan vektor berikut : a. dan

b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan

b. dan

21

u

8

6v

73

1u

22

8v

12

a

23

b

31

2a

221

b

26/04/23 15:53 29

3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

2

3u

137

u

402

v