04 Respuesta 1 GL Fza Cte Duhamel

7/24/2019 04 Respuesta 1 GL Fza Cte Duhamel

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Universidad Federico Santa Mara

Departamento de Obras Civiles

Dinmica de Estructuras (CIV235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Respuesta de Sistemas de 1

Grado de Libertad Sometidos a

Fuerzas Generales Parte 1


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Introduccin

Hasta este punto se ha estudiado la solucin de la ecuacin demovimiento para sistemas de 1 grado de libertad para 2 situaciones

particulares

Caso de vibraciones libres

Caso de vibraciones debido a fuerzas armnicas

El objetivo de este captulo es estudiar la solucin de la ecuacin de

movimiento de sistemas de 1 grado de libertad para casos ms

generales de fuerzas

USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 2

Objetivos


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Introduccin

Casos a estudiar en este captulo Sistema sometido a la accin de una fuerza constante

Sistema sometido a una fuerza arbitraria


Objetivos


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Caso de Fuerza Constante

Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad

En una primera etapa, se asume amortiguamiento nulo ( = 0)

Se asume sistema inicialmente en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0

Sbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la

estructura


Formulacin Caso sin amortiguamiento

k

m


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La ecuacin diferencial de movimiento de este sistema es la siguiente(para >0)

La solucin de esta ecuacin diferencial ()puede ser expresada en

como la suma de las soluciones homognea ()y particular ()

Luego, la ecuacin que describe el movimiento de la estructura es:


Solucin Caso sin amortiguamiento


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Al imponer las condiciones iniciales, es posible determinar el valor delas constantesy de la solucin de la ecuacin de movimiento. En

particular, para condiciones 0 = 0 = 0, es posible demostrar que:




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Grfico (adimensional) de la funcin de desplazamiento ()

Note que la respuesta dinmica mxima de la estructura es el dob lede

la respuesta esttica asociada



0

0.5

1

1.5

2

2.5

T 2T


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Asuma nuevamente un sistema estructural caracterizado mediante ungrado de libertad, sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente en reposo.

Es decir, 0 = 0 = 0


estructura durante un tiempo 0 < <


Formulacin Caso = 0y duracin de la carga


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La ecuacin diferencial de movimiento para tiempo menor que es:

Y su respectiva solucin es:

Para > 0, la ecuacin diferencial de movimiento es:

Claramente, la solucin de la ecuacin de movimiento para tiemposmayores que tiene la forma:


Solucin Caso = 0y duracin de la carga

Caso de vibraciones libres


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Para determinar las constantesy de la solucin para , seimpone con t inuidad de desplazam iento y velocidadentre la solucin

para < y . Dichas condiciones son:

Considerando estas condiciones, se puede demostrar que la solucin

de la ecuacin de movimiento para tiempos mayores que es:



Condiciones para

determinary


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Caso particular 1 Asuma que la

duracin de aplicacin

de la fuerza constante

es igual al perodo

natural de laestructura. Es decir,

= 2/=

Se puede verificar

fcilmente que en

este caso



Tiempo

Esto implica que la solucin para tiempo mayor que es nula

( = 0, > )

2


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Tiem o

Forzado

Libre


Caso particular 2 Asuma que la

duracin de aplicacin

de la fuerza constante

es igual a la mitad del

perodo natural de laestructura. Es decir,

= /= /2

Se puede verificar

fcilmente que en

este caso



Esto implica que la solucin para tiempo mayor que posee una

amplitud de oscilacin igual a 2/

2


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Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad, subamortiguado (0 < < 1) e inicialmente en reposo. Es

decir, 0 = 0 = 0


estructura

La ecuacin diferencial de movimiento del sistema es:


Formulacin Caso 0


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Tomando en cuenta las condiciones iniciales, es posible demostrar quela solucin de la ecuacin de movimiento es:


Solucin Caso 0

Donde


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Al graficar lasolucin, se puede

apreciar que

funcin de

desplazamiento

tiende al valor de larespuesta esttica

para tiempos muy

grandes. O sea,

lim

() = /

(solucin esttica)


Solucin Caso 0

0Tiempo


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Caso de Fuerza Arbitraria

Considere un sistemaestructural caracterizado

mediante un grado de

libertad, sub

amortiguado (0 < < 1)

El sistema es sometido a

la accin de una fuerza

completamente arbitraria

El objetivo es determinar

la funcin de

desplazamiento ()


Formulacin

k

c

m

0

tiempo


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Ciertamente, el tratamiento de una cargaarbitraria es complejo

Simplificacin

En primera instancia, se analiza la

carga arbitraria en un perodo muy

breve entre y (note que= + )

Durante dicho perodo tan corto, la

carga es constante e igual a (es

decir, la carga corresponde a un

pulso) Para el instante de tiempo , se

asume desplazamiento y velocidades

nulas ( = = 0)


Solucin Paso 1: Simplificacin

El objetivoes resolver

la ecuacin de

movimiento para >

tiempo


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De acuerdo a la segunda ley de Newton, si una carga acta sobreuna masa , la razn de cambio del momentum es:

Integrando dicha ecuacin entre y (donde t< < ), es posible

determinar el valor de la velocidad de la masa en un instante

En particular, es posible evaluar la velocidad en el instante



(): velocidad

0


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Adicionalmente, es posible integrar la expresin de la velocidad paradeterminar la posicin

En particular, es posible evaluar la posicin en el instante

Note que el problema de determinar la solucin de la ecuacin de

movimiento para > se reduce a:



0

Ecuacin diferencialde movimiento

Condiciones iniciales


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Note que la condicin inicial de posicin es una funcin cuadrticarespecto del intervalo de tiempo (trmino de segundo orden se

puede despreciar en el anlisis)

Por lo tanto, la solucin de la ecuacin de movimiento considerando

= 0y = /es:

Se introduce la definicin de func in impulso (o alternativamente

funcin de Green) ()




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Considerando laltima definicin, la

solucin de la

ecuacin de

movimiento es:

Note la forma

cualitativa de dicha

solucin



0

t1

()

tiempo

Solucin de la ecuacin

de movimiento para una

excitacin tipo pulso


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Asuma que en vez deexistir un nico pulso

actuando sobre la

estructura, existe una

familia de pulsos

actuando sobre laestructura, cada uno en

un tiempo , , , , con

magnitud , , , y de

duracin , , , ,

respectivamente


Solucin Paso 2: Superposicin

tiempo


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Dado que el sistema en anlisis es lineal, el principio de superposicinpuede ser aplicado

Por lo tanto, la solucin de la ecuacin de movimiento es:


Solucin Paso 2: Superposicin


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El caso continuo(fuerza arbitraria

aplicada en el

tiempo) puede ser

interpretado como

la aplicacin deuna serie de

infinitos pulsos.

Es decir, el

nmero de pulsos

es tal que ,

cada uno de

duracin 0


Solucin Paso 3: Caso Continuo

F(t)

Tiempo

Caso Continuo


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En este caso lmite, la respuesta del sistema se calcula mediante unaintegral (superposic in)

O alternativamente:

Otra manera ms de representar la respuesta es mediante la expresin:


Solucin Paso 3: Caso Continuo

Integral de convolucin o

integral de Duhamel

Indica convolucin


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Considere un sistema estructuralcaracterizado mediante un grado de libertad,

sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente

en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0

Sbitamente, una fuerza constante de

magnitud se aplica sobre la estructura Solucin mediante integral de convolucin


Ejemplo 1

Esta solucin es

idntica a la obtenida

con anterioridad


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magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <

Solucin mediante integral de convolucin

Para <


Ejemplo 2


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magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <

Solucin mediante integral de convolucin

Para


Ejemplo 2

Esta solucin es

idntica a la obtenida

con anterioridad


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La solucin de la ecuacin de movimiento deducida anteriormente pormedio de la integral de convolucin supone condiciones iniciales nulas

0 = 0 = 0

En caso que dichas condiciones no s ean nu las, la solucin de la

ecuacin de movimiento mediante la integral de convolucin para

0 = y 0 = es:

USM Dinmica de Estructuras (CIV 235) 29

Caso de Condiciones Iniciales Diferentes de Cero

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