1． (2011· 徐州模拟 ) 给出下列四个命题： (1) 平行于同一 平面的两条直线平行； (2) 垂直于同一直线的两条直 线平行； (3) 过已知平面外一点，有且只有一个平面 与已知平面平行； (4) 过已知平面外一条直线，必能 作出与已知平面平行的平面； 则其中真命题的序号为 ____________( 写出所有真命 题的序号 ) ．

解析：平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以 (1) 是假命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以 (2) 是假命题；对于(4) ，若直线和平面相交，则过该直线不能作出与已知平面平行的平面，所以 (4) 是假命题．答案： (3)

2 ．在四面体 ABCD 中， M、 N 分别为△ ACD 和△ BCD 的重心， 则四面体的四个面中与 MN 平行的是 ________ ．

答案：平面 ABC ，平面 ABD.

3 ．设 m， n 是平面 α 内的两条不同直线； l1， l2 是平面 β

内 的两条相交直线，有下列四个命题：

①m∥ β且 l1∥ α ；② m∥ l1且 n∥ l2 ；③ m∥ β且 n∥ β ；

④ m∥ β且 n∥ l2.

其中是 α∥ β 成立的充分而不必要条件的命题的序号是 ________ ．

解析：要得到 α∥ β ，必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行．若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．对于选项①，不是同一平面的两直线，显然是既不充分也不必要条件．对于选项

②，由于 l1与 l2 是相交直线，而且由于 l1∥ m且 n∥ l2 ，故

可得 α∥ β ，充分性成立，而 α∥ β 不一定能得到 l1∥ m ，

它们也可以异面，故必要性不成立．对于选项③，由于 m，

n 不一定是相交直线，故是必要不充分条件．对于选项④，

由 n∥ l2 可转化为③，故不符合题意．综上填② .答案：②

4 ．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，

E， F， G， H， N 分别是棱 CC1， C1D1 ，

D1D， DC， BC 的中点，点 M 在四边

形 EFGH 及其内部运动，则点 M 只需满足条件________

时，就有 MN∥ 平面 B1BDD1.( 填上正确的一个条件即

可，不必考虑全部可能情况 )

解析：∵ HN∥ BD， HF∥ DD1 ，

∴ 平面 NHF∥ 平面 BB1D1D ，

故线段 FH 上任意点 M与 N 相连，均有 MN∥ 平面 BB1D1D.答案： M∈ 线段 FH

5 ．给出下列关于互不相同的直线 l，m， n 和平面α， β， γ 的三个命题：

①若 l与m 为异面直线， l⊂ α，m⊂ β ，则 α∥ β ；②若 α∥ β， l⊂ α，m⊂ β ，则 l∥ m ；③若 α∩β＝ l， β∩γ＝m， γ∩α＝ n， l∥ γ ，则m∥ n.

其中真命题的序号为 ______( 写出所有真命题的序号 ) ．

解析：①由线面关系知 α， β 也可能相交，故错；② 由线面关系知 l，m 还可能异面；③ 三个平面两两相交，由线面平行关系知， m∥ n 正确．

答案：③

一、直线与平面平行 1 ．判定定理

文字语言 图形语言 符号语言

判

定

定

理

如果平面外的一条直线和这个平面内的 平行，那么这条直线和这个平面平行 .

⇒ l∥ α一条直线

2 ．性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

性

质

定

理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 平行 .

⇒ a∥ b

交线

二、平面与平面平行1 ．判定定理

文字语言图形

语言符号语言

判

定

定

理

如果一个平面内有两条

都平行于另一

个平面，那么这两个平面

平行

⇒ α∥ β

相交的直线

2 ．性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

性质

定理

如果两平行平面

同时和第三个平

面 ，那么

它们的 平行

⇒ a∥ b相交

交线

考点一 直线和平面平行的判定

(2010· 安徽高考改编 ) 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为平行四边形， EF∥ AB， AB＝ 2EF， H为 BC 的中点．求证： FH∥ 平面 EDB.

[自主解答] 设AC与BD交于点G，则G为AC的

中点．连EG、GH，又H为BC的中点，

∴ GH綊12AB.又EF綊

12AB，∴ EF綊GH，

∴ 四边形EFHG为平行四边形，

∴ EG∥ FH.而EG⊂ 平面EDB，

∴ FH∥ 平面EDB.

如图所示，四棱锥 P－ABCD的底面

是边长为 a的正方形，侧棱 PA⊥底面 AB

CD，侧面 PBC内，有 BE⊥PC于 E，且

BE＝6

3 a，试在 AB上找一点 F，使 EF∥

平面 PAD，并求 AF的长．

解：在平面 PCD 内，过 E作 EG∥ CD交 PD于 G ，连结 AG ，在 AB 上取点 F ，使 AF＝ EG ，则 F 即为所求作的点．EG∥ CD∥ AF， EG＝ AF ，∴ 四边形 FEGA 为平行四边形，∴ FE∥ AG， AG⊂ 平面 PAD ，FE⊄ 平面 PAD.∴ EF∥ 平面 PAD.

又在△ BCE 中，

CE＝ BC2－BE2

＝ a2－23a2＝

33 a.在Rt△ PBC中，BC2＝CE·CP

∴ CP＝a2

33 a＝ 3a，又

EGCD＝

PEPC，

∴ EG＝AF＝23a，

∴ 点F为AB的一个三等分点．

在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， M、 N、 P

分别是 C1C、 B1C1、 C1D1 的中点，求证：平面 MNP∥

平面 A1BD.

考点二 平面与平面平行的判定

[ 自主解答 ] 　连结 B1D1， B1C ，

∵ P、 N 分别是 D1C1、 B1C1 的中点，

∴ PN∥ B1D1.

又 B1D1∥ BD ，

∴ PN∥ BD.

又 BD⊂面 A1BD ，

∴ PN∥ 平面 A1BD.

同理 MN∥ 平面 A1BD ，又 PN∩MN＝ N ，

∴ 平面 PMN∥ 平面 A1BD.

如图所示，三棱柱 ABC－ A1B1C1， D是 BC 上一点，且

A1B∥ 平面 AC1D， D1是 B1C1 的中点，

求证：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D.

证明：如图所示，连接 A1C交 AC1 于点 E ，

∵ 四边形 A1ACC1 是平行四边形，

∴ E是 A1C 的中点，连接 ED ，

∵ A1B∥ 平面 AC1D ，平面 A1BC∩

平面 AC1D＝ ED ，

∴ A1B∥ ED.∵ E是 A1C 的中点，

∴ D是 BC 的中点．又∵ D1是 B1C1 的中点，

∴ BD1∥ C1D， A1D1∥ AD.

又 A1D1∩BD1＝ D1 ，∴平面 A1BD1∥ 平面 AC1D.

(文 ) 如图，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB和 CD ，且 AB

⊥CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

考点三 直线和平面平行的性质应用

[自主解答] ∵ AB∥ 平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD

分别交于FG、EH，

∴ AB∥ FG，AB∥ EH，∴ FG∥ EH，

同理可证EF∥ GH，

∴ 截面EFGH是平行四边形．又EF⊥ FG，

∴ ▱EFGH为矩形，

设AB＝a，CD＝b，又设FG＝x，GH＝y，

则由平面几何知识可得xa＝

CGBC，

yb＝

BGBC，

两式相加得xa＋

yb＝1，即y＝

ba(a－x)，

∴ S矩形EFGH＝FG·GH＝x·ba(a－x)＝

bax(a－x)．

∵ x＞0，a－x＞0且x＋(a－x)＝a为定值，

∴ 当且仅当x＝a－x时，

bax(a－x)＝

ab4为最大值，此时x＝

a2，

即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的

中点时，截面面积最大．

(理 ) 如图， P 为▱ ABCD 所在平面外一点， M， N 分别为 AB， PC 的中点，平面 PAD∩ 平面 PBC＝ l.

(1) 判断 BC与 l 的位置关系，并证明你的结论；(2) 判断 MN 与平面 PAD 的位置关系，并证明你的结论．

[ 自主解答 ] (1) 结论： BC∥ l ，因为 AD∥ BC， BC⊄ 平面 PAD， AD⊂ 平面 PAD ，所以BC∥ 平面 PAD.

又因为 BC⊂ 平面 PBC ，平面 PAD∩ 平面 PBC＝ l ，所以BC∥ l.

(2) 结论： MN∥ 平面 PAD.

设 Q为 CD 的中点，如下图所示，连结 NQ，MQ ，

则 NQ∥ PD，MQ∥ AD.

又因为 NQ∩MQ＝ Q， PD∩AD＝ D ，所以平面 MNQ∥ 平面 PAD.

又因为 MN⊂ 平面 MNQ ，所以 MN∥ 平面 PAD.

如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过G和 AP 作平面交平面 BDM于 GH. 求证： AP∥ GH.

证明：如图，连接 AC ，设 AC交 BD于 O ，连接 MO.

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ O是 AC 的中点．又∵ M是 PC 的中点，∴ MO∥ PA.

又∵ MO⊂ 平面 BDM， PA⊄ 平面 BDM ，∴ PA∥ 平面 BDM.

又经过 PA 与点 G 的平面交平面 BDM于 GH ，∴ AP∥ GH.

考点四 平面与平面平行的性质应用

如图所示，平面α∥ 平面β，A、C∈α，B、D∈β，

点E、F分别在线段AB、CD上，且AEEB＝

CFFD，求证：EF∥

平面β.

[自主解答] 当AB和CD在同一平面内时，

由α∥ β可知AC∥ BD，ABDC 是梯形或

平行四边形．由AEEB＝

CFFD，得EF∥ BD.

又BD⊂ β，所以EF∥ β.

当AB和CD异面时，作AH∥ CD交β于H，则AHDC是平行四

边形，

作FG∥ DH交AH于G，连接EG，于是CFFD＝

AGGH.

因为AEEB＝

CFFD，所以

AEEB＝

AGGH，

所以EG∥ BH，又BH⊂ β，所以EG∥ β，又FG∥ DH，DH⊂

β，所以FG∥ β.

所以平面EFG∥ β，而EF⊂ 平面EFG，所以EF∥ 平面β.

线段 PQ 分别交两个平行平面 α、 β于 A 、B 两点，线段 PD 分别交 α、 β于 C、 D 两点，线段 QF 分别交 α、 β于 F、 E 两点．若 PA

＝ 9， AB＝ 12， BQ＝ 12 ，△ ACF 的面积为 72 ，求△ BDE 的面积．

解：因为平面QAF∩ α＝AF，

平面QAF∩ β＝BE，

又α∥ β，所以AF∥ BE.

同理可证：AC∥ BD，所以∠ FAC与∠ EBD相等或互补，即

sin∠ FAC＝sin∠ EBD.

由FA∥ BE，得BE∶ AF＝QB∶ QA＝12∶ 24＝1∶ 2，所以BE

＝12AF.

由BD∥ AC得AC∶ BD＝PA∶ PB＝9∶ 21＝3∶ 7，所以BD

＝73AC.

又因为△ ACF的面积为72，即12AF·AC·sin∠ FAC＝72，

所以S△ DBE＝12BE·BD·sin∠ EBD

＝12·

12AF·

73AC·sin∠ FAC＝

76·

12AF·AC·sin∠ FAC＝

76× 72＝84.

所以△ BDE的面积为84.

线面平行的判定、面面平行的判定是高考对直线、平

面平行的判定及其性质的常规考向，从近几年的高考题来看，

常与垂直关系的判定及其性质相结合，综合考查学生的推理

论证能力和空间想象能力．

[考题印证] (13分) (2010·北京高考)如图，

正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面

互相垂直，EF∥ AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥ 平面 BDE；

(2)求证：CF⊥平面 BDE.

[规范解答] (1)设 AC与 BD交于点 G.

因为 EF∥ AG，且 EF＝1，AG＝12AC＝1，

所以四边形 AGEF为平行四边形，… … … … … … … … … … (2分)

所以 AF∥ EG.… … … … … … … … … … … … … … … … … … … (3分)

因为 EG⊂ 平面 BDE，AF⊄平面 BDE，

所以 AF∥ 平面 BDE.… … … … … … … … … … … … … … … … (6分)

(2) 连结 FG. 因为 EF∥ CG， EF＝ CG＝ 1 ，且 CE＝ 1 ，所以四边形 CEFG 为菱形．所以 CF⊥EG.……………………………………………(9分 )

因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD⊥AC.

又因为平面 ACEF⊥ 平面 ABCD ，且平面 ACEF∩ 平面 ABCD＝ AC ，所以 BD⊥ 平面 ACEF.…………………………………(11分 )

所以 CF⊥BD.又 BD∩EG＝ G ，所以 CF⊥ 平面 BDE.……………………………………(13分 )

1 ．判定直线与平面平行的方法(1) 利用定义 ( 常用反证法 ) ．(2) 利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线．

2 ．证明面面平行的方法：(1) 用定义，常用反证法完成；(2) 用面面平行的判定定理；

3 ．线面平行性质的应用利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找 ( 或作 ) 过已知直线与已知平面相交的平面，这样就可以由性质定理实现平行转化．

4 ．平行关系的转化平面与平面平行的判定与性质和直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图．

性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．

1． (2010· 苏锡常镇模拟 )设 a， b 为不重合的两条直线， α ， β 为不重合的两个平面，给出下列命题： (1)若 a⊥α， a⊥b ，则 b∥ α； (2)若 a⊥α， b⊥α ，则 a∥ b ； (3)若 a∥ α且 a∥ β ，则 α∥ β； (4)若 a⊥α且 a⊥β ，则 α∥ β.

上面命题中，所有真命题的序号是 ________ ．

解析：对于 (1) ，直线 b 也可能在平面 α 内，故 (1) 是假命题；平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交，故 (3) 是假命题．

答案： (2)(4)

2 ．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 ________ ． 解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．

答案：平行

3 ．设 α、 β、 γ 为三个不同的平面， m、 n 是两条不同的直

线，在命题“ α∩β＝m， n⊂ γ ，且 ________ ，则m∥ n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥ γ， n⊂ β ；② m∥ γ， n∥ β ；③ n∥ β，m⊂ γ.

可以填入的条件有 ________ ．

解析：由面面平行的性质定理可知①正确；当 n∥ β，m

⊂ γ 时， n和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，

③正确．

答案： ①或③

4． (2011·马鞍山模拟 )设m、 n 是异面直线，则 (1) 一定存在

平面 α ，使 m⊂ α且 n∥ α； (2) 一定存在平面 α ，使 m

⊂ α且 n⊥α； (3) 一定存在平面 γ ，使 m、 n到 γ 的距离相等； (4) 一定存在无数对平面 α与 β ，使 m⊂ α， n⊂ β ，且 α∥ β. 上述 4 个命题中正确命题的序号为 ________ ．解析： (1) 成立； (2) 不成立， m、 n 不一定垂直； (3)过

m 、n公垂线段中点分别作 m、 n 的平行线所确定平面到m、 n

距离就相等， (3) 正确；满足条件的平面只有一对， (4) 错．

答案：①③

5 ．下列四个正方体中， A、 B 为正方体的两个顶点， M、 N 、

P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥面MNP 的图形的序号是 ________( 写出所有符合要求的图形序号 ) ．

解析：①∵面 AB∥面MNP.

∴ AB∥面MNP.

②过 N作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O， NO 面MNP ，∴ AB 与面 MNP 不平行．③ 易知 AB∥ MP ，∴ AB∥面MNP.

④过M作MC∥ AB ，∵ MC 面MNP ，∴ AB 与面 MNP 不平行．

答案：①③

Ú

Ú

6． (2011·汕头模拟 ) 如图，在直三棱柱 (侧棱与底面垂直的三棱柱 )ABC－

A1B1C1 中，点 D是 AB 的中点，求证：

AC1∥ 平面 CDB1.

证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E ，连接 DE ，

∵ D是 AB 的中点， E是 BC1 的中点，

∴ DE∥ AC1.

∵ DE⊂ 平面 CDB1 ，

AC1⊄ 平面 CDB1 ，

∴ AC1∥ 平面 CDB1.