Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
@157
15. Goniometrické funkce
Pravoúhlý trojúhelník
Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku
přeponě.
pokračování
@160
Měření úhlů
Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou
Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků – stupně 1o ~ jeden stupeň
každý stupeň rozdělíme na 60 dílků – minuty 1’ ~ jedna minuta
každou minutu rozdělíme na 60 dílků – vteřiny 1“ ~ jedna vteřina
Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to
reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má 2 radiánů.
převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit)
stupně 0o 30
o 45
o 60
o 90
o 180
o 270
o 360
o
radiány 0 /6 /4 /3 /2 3/2 2
pokračování
zpět
@162
pokračování
zpět
@164a
pokračování
zpět
@164b
Goniometrické funkce obecně
pokračování
zpět
@164c
pokračování
zpět
@167
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky,
kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu?
cos 150o = - cos(180
o – 150
o) = - cos 30
o = - 3/2
pokračování
zpět
@170
Určete následující hodnoty
a) sin 150o = sin(180
o - 150
o) = sin 30
o = 1/2
b) cos 120o = - cos(180
o - 120
o) = - cos 60
o = - 1/2
c) sin 300o = - sin(360
o - 300
o) = - sin 60
o = - /2
d) cos 315o = cos(360
o - 315
o) = cos 45
o = 2/2
e) sin 225o = - sin(225
o - 180
o) = - sin 45
o = 2/2
f) cos 240o = - cos(240
o - 180
o) = - cos 60
o = - 1/2
Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory
hodnot.
výsledek
zpět
@173
Určete následující funkční hodnoty
cos(270o) = 0 cos(1575
o) = - 2/2
sin(-2385o) = 2/2 cotg(-3030
o) = 3
sin(1380o) = - 3/2 cos(-1260
o) = - 1
Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani
druhé.
výsledek
zpět
@176
průběh funkce tg a cotg
pokračování
zpět
@179
Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při
nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý.
Příklad: Dokažte, že platí (cos x 0)
1 + tg2x = cos
-2x
Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde
ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu.
Pxxx
xx
x
xxtgL
2
22
22
2
22
coscos
1
cos
sincos
cos
sin11
Příklad: Dokažte, že platí (cos t 0, sin t 1)
t
t
t
t
cos
sin1
sin1
cos
Řešení:
Pt
t
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
tL
cos
sin1
cos
)sin1(cos
sin1
)sin1(cos
sin1
sin1
sin1
cos
sin1
cos
2
2
Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl)
a) (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)
2 = 2
b) cos4x - sin
4x = 2 cos
2x - 1
c) t2
2
2
sin21tcotg1
1tcotg
d) xxx 2
sin
2
cos1
1
cos1
1
e) tg2t . cos
2t + cos
2t = 1
výsledek
zpět
@182
Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta.
Věta: Součtové vzorce
Pro každé a platí:
i) sin(+ ) = sin cos + sin cos
ii) sin(- ) = sin cos - sin cos
iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin
iv) cos(- ) = cos cos + sin sin
důkaz
zpět
@185a
Ověření podle iv) a známých hodnot
cos(x - /2) = cos x cos /2 + sin x sin /2 =
= cos x . 0 + sin x . 1 = sin x
Zaveďme substituci = x + /2 tj. x = – /2
Z právě dokázaného plyne
sin x = sin( - /2) = cos(x - /2) = cos( - /2 - /2) = cos( - ) =
= cos cos + sin sin =
= cos . (-1) + sin . 0 = - cos
Úkol: Z platnosti cos(x - /2) = sin x a sin(x - /2) = - cos x dokažte platnost
i) sin(+ ) = sin cos + sin cos
výsledek
zpět
@185b
L = sin(+ ) = cos(+ - /2) = cos(+ (- /2)) =
= cos cos(- /2) - sin sin( - /2) =
= cos sin - sin (-cos ) =
= cos sin + sin cos = P
Tím je dokázána identita
i) sin(+ ) = sin cos + sin cos
Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu
ii) sin(- ) = sin cos - sin cos
výsledek
zpět
@189
Platí cos(x + /2) = -sinx ? Ano, platí!
L = cos(x + /2) = cosx cos(/2) – sinx sin(/2) = cosx . 0 – sinx . 1 = -sinx = P
Věta: Vzorce pro poloviční úhel
Pro každé platí
2
cos1|
2cos|
2
cos1|
2sin|
Důkaz:
Víme: pro každé x platí cos2x + sin
2x = 1 a cos
2x – sin
2x = cos2x
Použijeme substituci x = /2, abychom do vzorců dostali poloviční úhel
cos2(/2) + sin
2(/2) = 1
cos2(/2) – sin
2(/2) = cos
sečteme
2cos2(/2) = 1 + cos
odečteme
2sin2(/2) = 1 - cos
a nyní stačí vydělit 2 a odmocnit
Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota?
výsledek
zpět
@193
Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců
L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin sin cos =
= 2 sin cos= P
ATD.
Zaveďme substituci x = + a y =
součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme = (x+y)/2 a = (x-y)/2
Tedy předchozí identitu lze také psát takto:
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty.
výsledek
zpět
@196
Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg = 12/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ).
Tedy úhel je ve III. kvadrantu a je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).
Máme určit
tgtg
tgtgtgtg
1))(()( (změna znamének, tg je lichá)
Potřebujeme tedy určit tg a tg , k čemuž užijeme vztahy
tg = 1/cotg = 5/12 a tg = sin /cos .
sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos2 + sin
2 = 1
cos2= 1 – sin
2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 15/17)(1 + 15/17) = 8
2/17
2
Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy
cos = -8/17 => tg = sin /cos = (15/17)/(-8/17) = -15/8
Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit
tg( – ) = 220/21
Úkol: Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ).
výsledek
zpět
@158
Úkol: Dokažte, že platí sin2 + cos
2= 1 .
výsledek
zpět
@160a
Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a
musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).
pokračování
zpět
@160b
pokračování
zpět
@160c
pokračování
zpět
@160d
pokračování
zpět
@160e
pokračování
zpět
@160f
pokračování
zpět
@160g
pokračování
zpět
@160h
Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále
pokračování
zpět
@163
Orientovaný úhel
Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá
neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0o do 360
o stupňů včetně.
V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme
dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční
rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel
vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola.
Takový úhel se nazývá orientovaný.
Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola
pokračování
zpět
@165
V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky
souřadnic u a v.
Úkol: Doplňte znaménka do tabulky
kvadrant I. II. III. IV.
interval (0; /2) (/2; ) (3/2) (3/2; 2)
sin x
cos x
tg x
cotg x
výsledek
zpět
@168a
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly
v III. kvadrantu?
sin 200o = - sin(200
o – 180
o) = - sin 20
o
pokračování
zpět
@168b
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly
v IV. kvadrantu?
cos 300o = cos(360
o – 300
o) = cos 60
o = - 1/2
pokračování
zpět
@171
Funkce sin:
úhel může být libovolný => definiční obor R
2. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>
Funkce cos:
úhel může být libovolný => definiční obor R
1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>
Funkce tg:
musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla /2
označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(2k+1)/2, kC}
podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,
může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R
Funkce cotg:
musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla /2 = celočíselné
násobky čísla
označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kC}
podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,
může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R
Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin,
cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice.
Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg.
výsledek
zpět
$ 172 0 0 170
@174
pokračování
zpět
@177
Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou
)2
cos(sin)2
sin(cos
xxxx
pokračování
zpět
@180
Dokažte, že platí
a) (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)
2 = 2
L = (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)
2 =
= sin2x +2sinxcosx +cos
2x +sin
2x -2sinxcosx +cos
2x =
= 2(sin2x + cos
2x) = 2 = P
b) cos4x - sin
4x = 2 cos
2x - 1
L = cos4x - sin
4x =
= (cos2x + sin
2x)(cos
2x - sin
2x) =
= 1.(cos2x - (1 - cos
2x)) = 2 cos
2x - 1 = P
c) t2
2
2
sin21tcotg1
1tcotg
pro cotg t ±1, sin x 0
Pt
tt
t
t
t
t
t
L
2
22
22
22
2
2
2
2
2
2
sin21
sint)sin1(tcossin
sintcos
sin
cos1
1sin
cos
tcotg1
1tcotg
d) xxx 2
sin
2
cos1
1
cos1
1
pro cos x ±1, sin x 0
Pxx
xx
xxL
22sin
2
cos1
cos1cos1
cos1
1
cos1
1
e) tg2t . cos
2t + cos
2t = 1 pro cos t 0
Ptt
ttt
tttttgL
1cossin
coscoscos
sincoscos.
22
22
2
2222
pokračování
zpět
@183
Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem
uvádět tak, jak jsme to udělali i my.
V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek.
Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin],
C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0]
Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit
s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou.
|AB|2 = |CD|
2
|AB|2 = (cos - cos)
2 + (sin - sin)
2 =
= cos2 - 2coscos + cos
2 + sin
2 - 2sinsin + sin
2 =
= (cos2 + sin
2) + (cos
2 + sin
2) - 2(coscos + sinsin) =
= 2[1 - (coscos + sinsin)]
|CD|2 = (cos(- ) - 1)
2 + sin
2(- ) = cos
2(- ) - 2cos(- ) + 1 + sin
2(- ) =
= (cos2(- ) + sin
2(- )) + 1 - 2cos(- ) = 2[1 - 2cos(- )]
Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv)
iv) cos(- ) = cos cos + sin sin
Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických
funkcí a dokažte platnost
iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin
výsledek
zpět
@186
L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin cos(-) + sin(-) cos =
= sin cos - sin cos = P
Tím je dokázána identita
ii) sin(- ) = sin cos - sin cos
Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti:
Součtové vzorce Pro každé a platí:
i) sin(+ ) = sin cos + sin cos
ii) sin(- ) = sin cos - sin cos
iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin
iv) cos(- ) = cos cos + sin sin
Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin2 a cos2 pomocí sin a cos. Výsledek
zformulujte do matematické věty.
výsledek
zpět
@191
Protože pro každé xR platí ||02
xx a nikdy jinak.
Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy
a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x)
b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x)
c) sin 105o
d) cos (/12)
výsledek
zpět
@194
Věta: Vzorce pro součty
Pro každé x, y R platí
i) 2
cos2
sin2sinsinyxyx
yx
ii) 2
sin2
cos2sinsinyxyx
yx
iii) 2
cos2
cos2coscosyxyx
yx
iv) 2
sin2
sin2coscosyxyx
yx
Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí
tgytgx
tgytgxyxtg
1)(
výsledek
zpět
@159
pokračování
zpět
@161
Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty
je nutné znát zpaměti.
Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat.
stupně 0
o 30
o 45
o 60
o 90
o
radiány 0 /6 /4 /3 /2
sin 0 2
1
2
2
2
3 1
cos 1 2
3
2
2
2
1 0
K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve
jmenovateli stále číslo 2 a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1, 2, 3, 4.
sin 2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva.
Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí
cos /4 = sin /4 = 2
2
výsledek
zpět
@164
pokračování
zpět
@166
kvadrant I. II. III. IV.
interval (0; /2) (/2; ) (3/2) (3/2; 2)
sin x + + - -
cos x + - - +
tg x + - + -
cotg x + - + -
pokračování
zpět
@169
Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce.
a) sin 150o
b) cos 120o
c) sin 300o
d) cos 315o
e) sin 225o
f) cos 240o
výsledek
zpět
@172
Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně
opakují)
p>0 xDf : f(x+p) = f(x)
Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0
splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.
Funkce sin a cos mají periodu 2 (360o)
sin = sin(+2k)
cos = cos(+2k)
Funkce tg a cotg mají periodu (180o),
tg = tg(+k)
cotg = cotg(+k)
Příklad: Určete hodnotu cos(1500o), tg(2400
o) , cotg(-750
o) .
Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných
násobků periody:
pro sin a cos <0o; 360
o)
pro tg a cotg <0o; 180
o)
cos(1500o) = cos(1500
o – 4.360
o) = cos(60
o)
tg(2400o) = tg(2400
o – 13.180
o) = tg(60
o)
cotg(-750o) = cotg(-750
o + 5.180
o) = cotg(150
o)
Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0o; 90
o>, musíme již sledovat znaménka
cotg(150o) = - cotg(30
o)
Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme
hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží
z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme.
cos(1500o) = cos(60
o) = - 1/2
tg(2400o) = tg(60
o) = sin(60
o)/ cos(60
o) = (3/2)/(1/2) = 3
cotg(-750o) = - cotg(30
o) = - cos(30
o)/sin(30
o) = - (3/2)/(1/2) = -3
Úkol: Určete následující funkční hodnoty
cos(270o) cos(1575
o)
sin(-2385o) cotg(-3030
o)
sin(1380o) cos(-1260
o)
výsledek
zpět
@175
průběh funkce sin a cos
pokračování
zpět
@178
Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi
Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce.
Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi
x
xx
x
xtgx
sin
coscotg
cos
sin
sin2x + cos2x = 1
očividně platí
cotg x = 1/tg x = tg-1
x => tgx . cotgx = 1
)2
cos(sin)2
sin(cos
xxxx
nebo ve stupních
cos = sin( + 90o) sin = cos( - 90
o)
pokračování
zpět
@181
Součtové vzorce
Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy
věty.
222
211 )()(|| ababAB
pokračování
zpět
@184
Máme dokázáno pro každé a platí cos(- ) = cos cos + sin sin
a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x
L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) =
= cos cos - sin sin = P
Tím je dokázána identita
iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin
Úkol: Již víme, že platí cos(x - /2) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí
sin(x - /2) = - cos x
výsledek
zpět
@187
Věta: dvojnásobný úhel
Pro každé a platí
i) sin2 = 2sincos
ii) cos2 = cos2 - sin
2
Řešení:
i) L = sin2 = sin(+ ) = sin cos + sin cos = 2sincos = P
ii) L = cos2 = cos(+ ) = cos cos - sin sin = cos2 - sin
2 = P
Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí
xxxxxx sin)2
cos(cos)2
sin(cos)2
sin(
Platí také xx sin)2
cos(
?
ano
ne
zpět
@192
Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy
a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x) = sin x - stačí použít součtové vzorce
L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] – [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] =
= 2 sin(/6) sin x = sinx = P
b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x) = 2 sinx - stačí použít součtové vzorce
c) sin 105o = (6 + 2)/4 - rozložíme na známé hodnoty 105
o = 60
o + 45
o
L = sin 105o = sin(60
o + 45
o) = sin 60
o cos 45
o + sin 45
o cos 60
o =
= 3/2 . 2/2 + 2/2 . 1/2 = (6 + 2)/4
d) cos (/12) = (2 + 6)/4 - rozložíme na známé hodnoty /3 – /4 = /12
L = cos (/12) = cos(/3 – /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) =
= 1/2 . 2/2 + 3/2 . 2/2 = (2 + 6)/4 = P
NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /12 = (/6)/2
a I. kvadrantu je cos(/12) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů
2
32
4
32
2
2
31
2
)6cos(1|)
12cos(|)
12cos(
L
Tím jsme mimoděk dokázali, že platí 4
62
2
32
Úkol: Dokažte, že pro každé a platí
i) sin(+ ) + sin( ) = 2 sin cos
ii) sin(+ ) sin( ) = 2 cos sin
iii) cos(+ ) + cos( ) = 2 cos cos
iv) cos(+ ) cos( ) = -2 sin sin
výsledek
zpět
@195
Máme dokázat, že platí tgytgx
tgytgxyxtg
1)( , pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li
ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné).
Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Ptgytgx
tgytgx
yx
yxyx
yx
xy
yx
yxyx
yxyx
xyyx
yx
yxyxtgL
1)
coscos
sinsin1(coscos
)coscos
cossin
coscos
cossin(coscos
sinsincoscos
cossincossin
)cos(
)sin()(
Úkol: Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg = 12/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ).
výsledek
zpět
@197
Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ).
Tedy úhel je ve II. kvadrantu a je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).
Máme určit cos( - ) = cos cos + sin sin .
sin = 3/5 známe, zbývá určit cos sin a cos
cos2= 1 – sin
2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 3/5)(1 + 3/5) = 4
2/5
2
Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy
cos = -4/5
Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg2x = cos
-2x, tedy
cos2 = 1/(1 + tg
2) = 1/(1 + 1/cotg
2) = 1/(1 + 15
2/8
2) = 8
2/17
2
a proto cos = 8/17
sin2 = 1 – cos
2 a je v I. kvadrantu => sin = 15/17
Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet
cos( – ) = 13/85
zpět
KONEC LEKCE