Компанієць Н.П., м. Барвінкове, Харківська областьвчитель математики Барвінківської ЗОШ I-III №2

Тема уроку. Теорема ПіфагораМета. Ознайомити учнів з однією з найвідоміших теорем - теоремою

Піфагора. Показати різні способи доведення цієї теореми. Вчити застосовувати набуті знання в практичній діяльності. Розвивати вміння аналізувати, робити висновки, знаходити власні оригінальні способи доведення. Привчати працювати творчо. Виховувати охайність, самостійність.

Обладнання. Портрет Піфагора; вислови; ілюстрація стародавньої Еллади; картки з кросвордом; презентація на комп’ютері

Тип уроку. Урок засвоєння нового матеріалу

Хід урокуДобрий день, друзі мої!Сьогодні у нас з вами незвичайний урок, але мені хочеться знати, які

асоціації у вас викликає слово «урок»? Давайте розкладемо його по літерах.У – успіх, Р – радість, О – обдарованість, К – кмітливість. І я сподіваюсь, що сьогодні на уроці на нас чекає і успіх, і радість, і ви

зможете продемонструвати свою обдарованість і кмітливість.

Урок проходить у комп’ютерному класі. Тож давайте згадаємо правила поводження у комп’ютерному класі

Наш урок - не фізкультура,Тут складна апаратура.Не біжи, не поспішай, За учнівський стіл сідай.

Пам’ятай завжди і всюдиТут висока в нас напруга.Щоби струм тебе не вразив,Краще б ти туди не влазив.

Заборонено суворо – не чіпайте проводів, Кабелів і монітора, хоч би ти того хотів.

Вимикати і вмикати треба вчителя чекати.

Класти речі лиш на стіл, Щоб ніхто в нас не згорів.Верхній одяг не бериІ взуття своє зміни.

За столом ти не кривись, В монітор здаля дивись.Пам’ятай завжди і всюдиПісля тебе прийдуть люди.

Збережи шкільне майно Гарно коштує воно

Молодці!

Девізом уроку хай стануть слова: «Світ, що нас оточує, - це світ геометрії. Тож давайте його пізнавати!»

Перед нами стародавня Еллада за 6—7 століть до нашої ери. Її міста розкидані по численних островах і півостровах Середземного моря. До цього часу один з єгипетських фараонів відкриває вільний доступ в свою країну. Безліч еллінів прямують туди, серед них і Піфагор з острова Самоса (564—473).

Вони прагнуть до Єгипту для того, щоб познайомиться з тим запасом знань, який накопичився за тисячоліття в цій стародавній країні. Переказ говорить, що Піфагор їде далі, на схід, до казкового Вавілона. Усюди по крупицях він збирає математичні знання і повертається на батьківщину. Так і проникають ці знання з Єгипту і Вавілона до Греції, де зароджується геометрія як наука.

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. І я вважаю, що з даних висловів і ви зможете щось почерпнути для себе (плакати на дошці)

Живи з людьми так, щоб твої друзі не столи недругами, а недруги стали друзями.

Твори велике, не обіцяючи великого.

Не заплющуй очей, коли хочеш спати, не проаналізувавши всіх своїх учинків за минулий день.

Тимчасова невдача краще за тимчасову удачу.

Не роби нічого ганебного ні в присутності інших, ні таємно.

Першим твоїм законом має бути повага до самого себе.

Лише неблагородна людина здатна в очі хвалити, а поза очі злословити.

Роби лиш те, що в майбутньому не засмутить тебе.

Теорема Піфагора – основа евклідової геометрії. Завдяки їй можна довести більшість теорем геометрії. Тому її треба добре засвоїти. Сьогодні у нас урок однієї теореми, на якому ви будете знаходити різні способи доведення теореми Піфагора, використовуючи для цього знання різних розділів планіметрії; розв’язувати задачі на застосування цієї теореми.

(записуємо число, класна робота, тему уроку)

У світі відомо понад 100 різних доведень теореми. Можливо, і ви знайдете свій оригінальний спосіб доведення, тож хай вам щастить!

У середні віки теорема Піфагора вважалася настільки складною, що її називали pons asinorum («ослячий місток»), або elefuga («втеча нікчемних»), оскільки далеко не кожний міг її довести, тобто перейти через «ослячий місток». Сподіваюся, що ми перейдемо його без проблем.

(включення презентації)Перед вивченням теореми згадаємо її автора. Зупинятися надовго на

його біографії ми не будемо. Нагадаю лише, що народився він на острові Самос близько 500 р. до н. є. Багато подорожував Єгиптом, пробувши там 22 роки, вивчав різні науки. Потім його, як полоненого, відправили до Вавилона, де Піфагор перебував 12 років, вивчаючи астрономію та астрологію. Після полону переселився до Північної Італії і в Кротоні (грецькій колонії) відкрив відому Піфагорійську школу, яка називалася «Союз дружби», де його учні займалися наукою і політикою. У союзі панувала дисципліна, слухняність, слово вчителя — закон.

З ім'ям Піфагора пов'язано багато різних розповідей і легенд. У деяких з них приписуються заслуги, які йому не належать. Це пов'язано з тим, що його учні приписували йому багато що, щоб прославити свого вчителя в очах народу.

Про вклад цієї школи у розвиток математики відомі деякі факти. Насамперед, це несумірні відрізки, теорема про суму кутів трикутника, вчення про правильні многогранники тощо. Але найвідомішим відкриттям цієї школи вважається саме теорема Піфагора.

Легенда говорить, що коли Піфагор сформулював і довів теорему, то приніс у жертву богам 100 биків, звідки й пішла друга назва теореми —«гекатомба» (сто биків).

В чому ж вона полягає?Евклід в книзі 1 «Начал»» формулював цю теорему так:«Твердження 47. В прямокутних трикутниках квадрат на стороні, що

стягує прямий кут, дорівнює разом узятим квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут».

(слайд 3)Як називаються сторони прямокутного трикутника, що утворюють

прямий кут? (катети)Як називається катет, який лежить проти гіпотенузи? (протилежний)А другий? (прилеглий)Як називається третя сторона? (гіпотенуза)Отже, ми з вами будемо формулювати її так:«У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі

квадратів катетів: с² = а² +в²» Теорема Піфагора чудова тим, що сама по собі вона зовсім не

очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна бачити безпосередньо на малюнку. Проте скільки не дивися на прямокутний

трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: С²=А²+В²

Але це співвідношення стає очевидним, якщо вдало побудувати малюнок. В цьому і є найкращий геометричний стиль: за допомогою дотепної побудови зробити неочевидне очевидним. В математичних трактатах Древньої Індії, доводячи теорему, часто наводили тільки рисунок. Супроводжували його лише одним словом: «Дивись!»

( слайд 4)Давайте і ми подивимось і доведемо теорему Піфагора а в в с с

В індійському доведенні вимагалося «Дивись!». Ми з вами зараз все поставимо на наукову основу. Для цього нам необхідно згадати формули для обчислення площ квадрата та прямокутного трикутника, а також формули скороченого множення.

Чому дорівнює площа внутрішнього квадрату? S=с²Як ще можна знайти площу цього квадрату? Від площі зовнішнього

квадрату відняти площі 4 прямокутних трикутників.Чому дорівнює площа прямокутного трикутника? Площа прямокутного

трикутника дорівнює пів добутку катетів.Отже: (а+в)²-4ав/2=с² а²+2ав+в²-2ав=с² а²+в²= с²Сформулюйте теорему Піфагора.Вважають, що теорему знали набагато раніше за Піфагора. Так, за 1500

років до Піфагора жителі Стародавнього Єгипту знали, що трикутник зі сторонами 3, 4, 5 є прямокутним, і користувалися цим для побудови прямих кутів. Такий трикутник називається єгипетським. Інформацію про прямокутний трикутник також знали люди, коли будували до Піфагора чудові храми в Єгипті, Вавилоні, Китаї, Мексиці. Ще раніше теорема була відома в Індії.

Як бачимо, Піфагор не відкрив сформульовану в теоремі властивість прямокутного трикутника, а помітив, узагальнив і довів, перевів з практичної галузі в наукову.

Доведемо теорему методом координат (слайд 5)

с

Введемо систему координат: катети трикутника лежать на осях, початок координат у вершині прямого кута. Тоді А (0; а), В (в; 0), С (0;0).

Знайдемо відстані АВ, АС, ВС:АВ²=(в-0)²+(0-а)²= в² +а²АС²=(0-0)²+(0-а)²=а²ВС²=(в-0)²+(0-0)²=в², звідси АВ²= АС²+ ВС²Сформулюйте теорему Піфагора.Доведемо теорему, використовуючи знання з теми «Тригонометричні

функції», але спочатку пригадаємо слово, яке «заховане» серед слів кросворда.

Хто швидше розв’яже кросворд отримає 7 балів, які зможе збільшити до кінця уроку.

1                    2            

3        4                

5            6                  

7    

1. Назва прямокутного трикутника зі сторонами 3, 4, 5.2. Учений, ім’ям якого названа теорема про суму квадратів катетів

прямокутного трикутника.3. Острів на якому народився цей учений.4. Катет, який не лежить проти даного кута.5. Там Піфагор прожив 12років.6. Сторона прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого

кута.7. Кількість биків, принесена Піфагором у жертву богам після

доведення теореми. Приховане слово – косинус. (Відповіді перевірити на комп’ютері),(слайд 6)Що називається косинусом гострого кута прямокутного трикутника?Доведемо теорему Піфагора, використовуючи поняття косинуса. C

B D A

Розглянемо прямокутний трикутник АСВcosA=AC/AB

cosB=BC/ABВиразимо cosA та cosB із прямокутних трикутників ВСД та АСД:cosB=ВД/ВС, cosA=АД/АСПрирівняємо рівностіAC/AB= АД/АС BC/AB= ВД/ВС АС²=АВ*АД ВС²=АВ*ВД

АС²+ ВС²= АВ*АД+ АВ*ВДАС²+ ВС²=АВ*(АД+ВД)АС²+ ВС²=АВ*АВАС²+ ВС²=АВ²

Існує ще доведення теореми де використовується подібність трикутників (буде вивчатися у 9 класі), можно довести теорему векторним методом, використовуючи формули площ квадрата, прямокутного трикутника та трапеції та багато інших способів.

Это было в середине лета,Может быть, чуть раньше или позже,-Вопреки прогнозам и приметамВдруг закапал треугольный дождик.

Тронул зелень листьев мокрой лапойИ умчался дальше легкой тенью,Отразив в углах прозрачных капельВсех задачек верное решенье.

Вы еще с ним встретитесь, возможно,А сейчас скажите на прощанье:«До свиданья, треугольный дождик!»,И он вам ответит: «До свиданья!»Завдання: знайдіть невідомі елементи трикутника.(слайд 7)(учні працюють по варіантах за комп’ютерами 1, 3, 5 – перший варіант;

2, 4, 6 – другий варіант)Перевірка всім класом.

Прямокутні трикутники, сторони яких виражаються цілими числами, називаються піфагоровими (це трикутники зі сторонами 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 тощо).

Тепер поміркуйте, чому землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута використовували такий спосіб: брали мотузку, ділили її вузликами на 12 рівних частин і кінці зв'язували. Потім мотузку натягували на кілки, щоб отримати трикутник зі сторонами 3, 4, 5.

Вважатимемо, що «ослячий місток» ми з вами перейшли. Залишилося від теорії перейти до практики. Де і як застосовувалася, застосовується і застосовуватиметься теорема Піфагора? Поміркуємо над цим також.

Як говорить легенда, Піфагор був непоганим спортсменом і навіть чемпіоном олімпійських ігор з кулачного бою. Існує версія, що Піфагора спочатку не хотіли допускати до змагань, казали, що в нього «ні зросту, ні сили, ні зовнішності». «Так, — сказав на це Піфагор, — але я буду наносити удари з математичною точністю!» Він брав участь у кулачному бої на 58-й олімпіаді в 548р. до н. е.. і став олімпійським чемпіоном. Тому перша задача, яку розв'яжемо, буде про спорт.

Задача 1. На протилежних берегах річки стоять двоє стрільців. Зріст одного — 180см, другого — 120см. Ширина річки 500см. Обидва стрільці одночасно випускають стрілу з лука, влучаючи в один момент у мішень на поверхні води, що лежить на прямій, яка сполучає ступні стрільців. Знайти довжини шляхів стріл та місце знаходження мішені.

Розв'язання

В

D

А С К

Нехай АС = х, тоді КС = 500 - х. Оскільки ВС = ДС, то1802+х2=1202+(500-х)2,х = 232. Отже, ВС = ДС≈ 294 (см).(слайд 8)

Друга задача — також не випадкова. Адже Піфагор залишив про себе згадку й у мистецтві та літературі. Можна вірити, а можна й ні, але легенди кажуть, що Піфагор надзвичайно гарно грав на арфі, захоплювався віршами і був непоганим оратором. Тому задача — віршована, вона належить стародавнім індійцям, в яких був звичай формулювати задачі у віршованій формі.

Задача 2.Над озером тихим,С полфута размером, высился лотоса цвет.Он рос одиноко. И ветер порывомОтнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водою,Нашел же рыбак его ранней весноюВ двух футах от места, где рос.Итак, предложу я вопрос:Как озера водаЗдесь глубока?

Розв'язанняНехай а та в — відповідно лінії поверхні й дна озера, PL — висота

лотоса над поверхнею, РL = 0,5, R — положення лотоса після віднесення його вітром, РО = х — глибина озера.

L a P L1

b O

OP= x; LP = 0.5: P L1 = 2OL = OP+LP, OL = x+0.5(x+0.5)² = x² + 4x = 3.75Отже, глибина озера 3.75 фута.(слайд 9)

Уже за сучасності теорема Піфагора сягнула й космосу.А чи можна обійтися без теореми Піфагора?Значення її досить вагоме, адже за її допомогою можна доводити безліч

теорем у математиці, розв’язувати прямокутні трикутники та визначати площі многокутників.

Теорема Піфагора знайшла своє застосування в архітектурі і будівництві.

У будинках готичного стилю верхні частини вікон розділяються кам’яними ребрами, які не тільки виконують роль орнамента, але й сприяють міцності вікон.

(слайд 10) Собор Паризької Богоматері

У 1955році у Греції було випущено поштову марку, що ілюструє теорему Піфагора. Дивлячись на неї, можна наочно пересвідчитись у тому, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

(слайд 11)А ще я рекомендую користуватися теоремою Піфагора для економії

часу, що потім можна використати для улюблених справ. У нових поселеннях країни Німеччини асфальтові доріжки прокладають лише тоді, коли вони будуть протоптані жителями, а вони, вибираючи коротший шлях, «ходять гіпотенузами».

А чи вірите ви, що

існує острів Піфагорейон? ( Так. Батьківщину Піфагора острів Самос в Егейському морі перейменовано в острів Піфагорейон.

Піфагор вважав, що

Число 5 символізує колір, 6 – холод, 7 – розум, здоров’я та світло, 8 – кохання та дружбу, 9 – постійність; ненависними для нього були числа 13 та 17.

Спостерігаючи за боєм Піфагора, на 58-й олімпіаді від хвилювання на трибуні помер відомий математик? (Так. Фалес)

Ім’я якого відомого математика складається з трьох складів? Причому перший склад – число, другий – нота, а третій – одне з імен давньоєгипетського бога Сонця. (Давньоєгипетський бог Сонця – Гор, якщо взяти нота фа і число π, то отримаємо Піфагор)

А що чекає теорему Піфагора у майбутньому? Немає сумніву, що й тоді вона матиме велике поширення і застосування. Де? Як? Це вже судити не нам. Але поміркувати над цим можна. Це і буде одним із пунктів вашого домашнього завдання.

Домашнє завдання. Пропоную вам удома довести теорему Піфагора за малюнками.

Дано дошку з паралельними краями. Тесляреві треба відрізати кінець дошки під кутом 45º. Як це зробити? (від вершини прямого кута відкласти по довжині дошки відстань, що дорівнює її ширині)

Скласти задачу практичного змісту, для розв’язування якої необхідно використати теорему Піфагора.

Сьогодні ви зробили ще один крок до того, щоб вважати себе людиною розумною… Навіть єгипетські жерці, віддаючи своїх дітей для навчання мистецтву, хотіли передусім, щоб вони вивчали геометрію. А Гіппократ вважав, що для того, аби стати добрим лікарем і знати як розміщені органи, слід вивчати геометрію. Один із послідовників Сократа, опинившись на безлюдному (на його думку) острові та побачивши на піску накреслені геометричні фігури, радісно вигукнув: «Я бачу геометричні малюнки, отже, я бачу сліди людей розумних».

Недарма Паскаль сказав, що «серед рівних по розуму за однакових умов переважає той, хто знає геометрію».

Вам іти в світ, вам доводити не одну математичну і не одну життєву теорему. Можливо, з часом теорема Піфагора буде здаватися вам до сміху простою. Але сьогодні ви подолали певний рубіж, ви стали розумнішими на цілу теорему – на теорему Піфагора, цікаву, могутню і вічну!