2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 1 - bef.dk · aL 35,7 30,9 26,9 23,6 21,2 19,4 18,0 I eksemplet, afsnit 2.1.3.1, er vist hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et vilkårligt

BETONELEMENTER, SEP. 2009 BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

2.1

2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER

2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 1

2.1 Beton 2 2.1.1 Brudgrænsetilstande 3

2.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode 4 2.1.2 Anvendelsesgrænsetilstande 7 2.1.3 Krybning og svind 9

2.1.3.1 Eksempel – Beregning af slutkrybetal og slutsvind 12

2.2 Armeringsstål 17

2.3 Forspændingsstål 18


2.2

2.1 Beton

Arbejdslinjen er et nyttigt redskab til at karakterisere et materiales egenskaber, der angiver sammen-

hængen mellem spændinger og tøjninger. For beton er arbejdslinien imidlertid ikke en entydig størrel-

se. Den afhænger af betonens styrke, krybning i betonen som følge af langtidsvarende lastpåvirknin-

ger og af temperaturpåvirkninger i tilfælde af brand.

Først ses på betonens middelarbejdslinie for korttidspåvirkninger i kold tilstand. I det generelle tilfæl-

de er givet et analytisk udtryk for sammenhængen mellem betonens trykspænding, σc, og betonens

tryktøjning, εc:

cm

c

c

c

c

c

c

c fk

k⋅

⋅−+

−⋅=

1

21

2

1

)2(1εε

εε

εε

σ c cuε ε≤

εc1 er den tøjning, der svarer til toppunktet på arbejdslinjen

fcm er betonens middelcylindertrykstyrke

εcu er betonens brudtøjning, og parameteren k er bestemt ved:

cm

ccm

fEk 105,1 ε⋅⋅

= hvor Ecm er sekantelasticitetsmodulet.

Sekantelasticitetsmodulet, Ecm, defineres i EC2 som hældningen af sekanten mellem arbejdsliniens

begyndelse og punktet ved 0,4 fcm, hvor fcm er betonens middelcylinderstyrke.

For betoner med karakteristisk trykstyrke op til og med fck = 50 MPa anfører EC2 følgende udtryk for

de indgående parametre til fuldstændig fastlæggelse af middelarbejdslinien som funktion af fck:

MPaff ckcm 8+=

[ ] 3,010/)(22000 cmcm fE ⋅= Ecm og fcm i MPa

0028,00007,0 31,01 <⋅= cmc fε

0035,0=cuε

Dermed kommer en typisk middelarbejdslinie for betonen til at se ud som vist på Figur 2-. Det ses at

sammenhængen mellem spændinger og tøjninger er ikke-lineær.


2.3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c

σ c (MPa)

ε c1

f cm

2.1.1 Brudgrænsetilstande

Ved beregninger i brudgrænsetilstande anvendes formlerne til bestemmelse af arbejdslinien for beto-

ner med trykstyrke op til og med karakteristisk trykstyrke fck = 50 MPa på følgende form:

cd

c

c

c

c

c

c

c fk

k⋅

⋅−+

−⋅=

1

21

2

1

)2(1εε

εε

εε

σ c cuε ε≤

Parameteren k er i brudgrænsetilstanden bestemt ved:

cd

ccd

fEk 105,1 ε⋅⋅

=

hvor betonens regningsmæssige trykstyrke og sekantelasticitetsmodul i forhold til udtrykket for mid-

delarbejdslinien findes ved reduktion med partialkoefficienten γC:

/cd ck Cf f γ=

[ ]0,322000 ( 8 ) /10 /cd ck CE f MPa γ= ⋅ +

Figur 2-1: Typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa


2.4

0

5

10

15

20

25

30

0 0,001 0,002 0,003 0,004

ε c1

f cd

ε c

σ c (MPa)

For arbejdslinjen vist på Figur 2-2 er regnet med en partialkoefficient på γC = 1,4.

Til brug for tværsnitsdimensionering anviser EC2 forskellige forenklede udtryk for betonens arbejdsli-

nie. For betonelementer har valget af udtryk for arbejdslinien i praksis kun betydning ved beregning af

momentpåvirkede elementer. I de senere kapitler 6 - 8 vil det blive vist, at der ikke er særlige pro-

blemer med at anvende de generelle udtryk for arbejdslinjen i praktisk dimensionering. Det er derfor

til brug i brudgrænsetilstande her valgt at se bort fra de forenklede udtryk for arbejdslinien og i stedet

opnå fordelene ved en samlet, konsistent model, der har vist sig at føre til resultater i fin overens-

stemmelse med forsøg.

Det skal understreges, at udtrykkene i dette afsnit alene gælder for korttidspåvirkninger. Når under-

søgelser i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden omfatter langtidspåvirkninger, skal der også tages

hensyn til betonens krybning, jf. afsnit 2.1.3.

2.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode

En betonsøjle, væg eller bjælkes momentbæreevne bestemmes ud fra ligevægtsbetragtninger for et

kritisk tværsnit. I det følgende gennemgås, hvordan betonens trykbidrag til tværsnittets ligevægtslig-

ninger opstilles. I kapitlerne 6 og 8 omhandlende bjælker, vægge og søjler bestemmes armeringens

bidrag og ligningerne for den statiske ækvivalens opstilles og løses.

For brudgrænsetilstanden antages at betonens trækstyrke er nul.

Figur 2-2: Typisk regningsmæssig arbejdslinie for beton, fck = 25 MPa


2.5

Spændingsfordelingen i betontværsnittet bestemmes ud fra arbejdslinjen i brudgrænsetilstanden,

jævnfør afsnit 2.1.1. Tværsnittets tøjning varierer lineært, og ved den ene betonkant fås tøjningen ε0.

Spændingsvariationen fås ved at indføre tøjningen εc som betegner betonens tøjning i et givet punkt i

tværsnittet. Nullinjens dybde betegnes x. Hermed kan σc omskrives til den dimensionsløse form angi-

vet nedenfor. Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket giver εc = tε0.

( ) ( )cd

c

c

ccd

c

c

c

c

c

c

c ftktk

tk

fk

k

1

0

1

0

1

0

1

21

2

1

21

1...

21 εε

εε

εε

εε

εε

εε

σ−+

−==⋅

⋅−+

−⋅

=

hvor parameteren k er angivet i afsnit 2.1.1 for brudgrænsetilstanden.

For overskuelighedens skyld indføres følgende konstanter:

1

0

ckA

εε

= og ( )1

02c

kBεε

−=

Herved reduceres udtrykket for betonspændingen til:

( )2

0 0

1 1

11 1c cd cd

c c

At tkt f k f t A BBt Bt

ε εσ

ε ε −

= = − − − −

y

ε0

h

y’ x

Nc

εc σc

Figur 2-3: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse


2.6

Ud fra ovenstående udtryk er det muligt at bestemme resultanten af betontrykspændingerne ved in-

tegration over trykzonen:

1

c cN bx dt

ζ

σ= ∫

hvor b er betontværsnittets bredde, h er tværsnittets højde og

>−

≤= hx

xhx

hx

for

for 0ζ

Indsættes udtrykket for σc i udtrykket for betonens trykresultant fås:

( )

( ) ( ) ( )

ζ

εε

εζ ζ ζ

ε ζ

= − − ⇔

−

− −= − + − + − + −

∫1

20

1

2 2 203

1

...1

1 11 1 2 1 2ln

2 1

c cdc

c cdc

tN bxk f t A B dt

Bt

A B BN bxk f B B

B B

På dimensionsløs form kan trykresultanten skrives som:

' cc

cd

NNbxf

=

hvilket giver:

( ) ( ) ( )2 2 203

1

1 1' 1 1 2 1 2ln2 1c

c

A B BN k B BB B

εζ ζ ζ

ε ζ − −

= − + − + − + −

Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinien bestemmes. Dette gøres ved at be-

stemme resultantens moment omkring nullinien.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

ζ

ζ

σ

εε

ε ζ ζ ζ ζε ζ

= ⇔

= − − ⇔

−

− −= − − − − − − − − − −

∫

∫

1

2

13

2 20

1

2 3 3 3 2 204

1

'

' ...1

1 1' 1 2 1 3 1 6 1 6ln

3 2 1

c c

c cdc

c cdc

y N bx t dt

ty N bx k f t A B dt

Bt

A B By N bx k f B B B

B B


2.7

Betonresultantens moment om nullinien kan tilsvarende skrives dimensionsløst:

2

''' cc

cd

y NNbx f

=

hvilket giver:

( ) ( ) ( ) ( )'' 3 3 3 2 204

1

1 11 2 1 3 1 6 1 6ln3 2 1c

c

A B BN k B B BB B

εζ ζ ζ ζ

ε ζ − −

= − − − − − − − − − −

Resultantens placering målt fra nullinien kan herved bestemmes som:

= = =2' '' ''

'' '

c cd c c

c cd c c

y N bx f N Ny x

N bxf N N

2.1.2 Anvendelsesgrænsetilstande

Ved beregning af spændinger og nedbøjninger i anvendelsestilstanden kan med god tilnærmelse an-

vendes en lineærelastisk model, hvor der for betonen ved korttidspåvirkninger anvendes følgende

elasticitetsmodul for danske betoner:

13

510007,0, +⋅⋅=

ck

ckKc f

fE

På Figur 2-4 er den lineære arbejdslinje vist i forhold til den ikke-lineære.


2.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c

σ c (MPa)

ε c1

f cm

σ c = 0,7 E cok e c

Ved beregningerne anvendes ofte transformerede tværsnit, hvor armeringens elasticitetsmodul, Es,

benyttes som reference-elasticitetsmodul. For et punkt i betontværsnittet med en given tøjning, εc,

udtrykkes den tilhørende betonspænding typisk på formen:

Kscc E αεσ /⋅=

hvor

KcsK EE ,/=α

For langtidspåvirkninger skal der tages hensyn til effekten af krybning, hvilket kan ske ved at anvende

følgende værdi af betonens elasticitetsmodul:

)),(1/( 0,, tEE KcLc ∞+= ϕ

Hvor krybetallet, ϕ (∞,t0)=ϕ 0 på tidspunktet t=∞ for en konstant trykspænding, σ c, påført på et tids-

punkt udtrykt ved betonens modenhedsalder, t0, findes som beskrevet i afsnit 2.1.3. Ved tværsnits-

analysen medfører dette, at der svarende til rene langtidspåvirkninger benyttes:

Lscc E αεσ /⋅=

hvor

)),(1( 0tKL ∞+⋅= ϕαα

Figur 2-4: Den lineære arbejdslinje vist i forhold til en

typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa

σc = Ec,K⋅εc


2.9

For betonelementer kan ofte forudsættes en mindste typisk tværsnitsdimension af størrelsen 180 mm,

at betonens alder ved påføring af den permanente last mindst er t0=28 døgn, og at den relative luft-

fugtighed mindst er af størrelsen RH = 55%. Til praktiske beregninger af spændinger og deformatio-

ner i anvendelsesgrænsetilstanden kan derfor normalt tages udgangspunkt i værdierne for α anført i

nedenstående tabel.

fck 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa

αK 9,2 8,5 8,0 7,7 7,4 7,2 7,1

αL 35,7 30,9 26,9 23,6 21,2 19,4 18,0

I eksemplet, afsnit 2.1.3.1, er vist hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et vilkårligt tværsnit.

En given lastvirkning, eksempelvis et moment, M, kan regnes sammensat af en langtidsandel, ML, og

en korttidsandel, MK, på følgende form:

KL MMM +=

Ved beregningerne kan anvendes en effektiv værdi, αeff, bestemt ved vægtning:

M

MM KKLLeff

⋅+⋅=

ααα

Alternativt kan man først finde spændinger og udbøjninger for den rene langtidsandel, dernæst genta-

ge beregningerne svarende til den rene korttidsandel og sluttelig summere resultaterne. Dette er dog

en mere omstændelig metode, der ikke kan forventes at føre til mere præcise resultater end metoden

baseret på αeff.

2.1.3 Krybning og svind

Når beton belastes til en trykspænding af størrelsen σ c opstår der straks en tøjning i betonen af stør-

relsen ε c = ε c(σ c), som kan aflæses af betonens arbejdslinie gældende for korttidspåvirkninger. Hvis

trykspændingen opretholdes gennem længere tid vil denne tøjning langsomt øges. Dette fænomen

betegnes krybning. Med tiden vil tøjningen asymptotisk nærme sig slutværdien, der almindeligvis ud-

trykkes på formen:

, 0(1 )cc cε ϕ ε∞ = + ⋅

Hvor

0 0 0 0( , , , , )ct RH f h ctϕ ϕ=

Figur 2-5: Sædvanlige værdier af α for betonelementer i anvendelsesgrænsetilstande


2.10

betegnes slutkrybetallet, der ved normale drifttemperaturer er en funktion af følgende parametre:

t0 er betonens alder på tidspunktet for påføringen af spændingen σc

RH er omgivelsernes relative fugtighed

fc er betonstyrken

h0 er et teoretisk dimensionsmål, h0 = 2 Ac / u, hvor Ac er tværsnitsarealet og

u er tværsnittes omkreds

ct er cementtypen

For betonelementer vil man med god tilnærmelse kunne regne med, at betonens alder ved tidspunktet

for påføringen af de langtidsvirkende spændinger er af størrelsen t0 = 28 døgn. Sædvanligvis kan for

danske betoner desuden normalt regnes med, at der anvendes cementtyper af styrkeklasse N. Med

dette udgangspunkt kan slutkrybetallet for betonelementer overslagsmæssigt aflæses af Figur 2-6.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

Figur 2-6: Slutkrybetal for sædvanlige danske betoner for belastningsstart ved t0 = 28 døgn

h0 = 100 mm h0 = 150 mm

h0 = 250 mm h0 = 500 mm

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

ϕ0

fck fck

fck fck

ϕ0

ϕ0 ϕ0


2.11

For betonelementer kan effekten af krybningen eksempelvis være, at bjælkers nedbøjninger øges med

tiden, eller at søjler og vægges bæreevne med tiden reduceres, fordi udbøjningerne og dermed nor-

malkraftens udbøjningstillæg øges. For forspændte elementer vil krybningen desuden medføre, at

elementerne med tiden forkortes som følge af de tilhørende aksiale trykkræfter i elementet, hvilket

kan have stor betydning for forholdene ved samlinger mellem elementer.

I anvendelsesgrænsetilstanden, skal der foruden krybning også tages hensyn til betonens svind, der

dels forårsages af betonens udtørring med tiden, dels af de kemiske processer i forbindelse med beto-

nens hærdning. Svindet har primært betydning for betonbjælker, der er armeret med forskellig træk-

og trykarmering. For praktisk anvendelse er det sædvanligvis tilstrækkeligt at kende slutsvindet ud-

trykt ved svindtøjningen til tiden t=∞:

, , 0( , , , )cs cs cRH f h ctε ε∞ ∞=

Svindet er således en funktion af stort set de samme parametre, som indgår ved bestemmelse af kry-

betallet. Svindtøjningen er en empirisk bestemt størrelse, der overslagsmæssigt kan aflæses af Figur

2-6, for cementklasse N.


2.12

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

ε cs ,∞ ε cs ,∞

ε cs ,∞ ε cs ,∞

f ckf ck

f ckf ck

h 0 = 100 mm

RH=80%

RH=70%

RH=60%RH=50%

RH=80%

RH=70%RH=60%RH=50%

RH=80%RH=70%RH=60%RH=50%

RH=80%

RH=70%RH=60%RH=50%

h 0 = 150 mm

h 0 = 250 mm h 0 = 500 mm

2.1.3.1 Eksempel – Beregning af slutkrybetal og slutsvind

I dette eksempel udregnes slutkrybetal og slutsvind for et 300 mm x 420 mm betontværsnit. Bereg-

ningen sker ved hjælp af formelsættet angivet i EC2 og sammenlignes med kurverne Figur 2-6 og

Figur 2-7.

Beregningsforudsætninger

Tværsnit 300mm x 420 mm

Betonstyrke fck = 35 MPa, cementklasse N

Den relative luftfugtighed sættes til 50 %

Tværsnittet belastes først efter hærdning dvs. 28 døgn

Krybning

Slutkrybning afhænger af en række faktorer som her beregnes i henhold til EC2.

Figur 2-7: Slutsvind for sædvanlige danske betoner


2.13

Elementets teoretiske dimensionsmål:

( )0

2 2 300 420 1752 300 420

cA mm mmh mmu mm mm

⋅ ⋅= = =

⋅ +

α-faktorer:

0,7 0,7

135 35 0,866

35 8cmfα

= = = +

0,2 0,2

235 35 0,960

35 8cmfα

= = = +

0,5 0,5

335 35 0,902

35 8cmfα

= = = +

Den relative fugtigheds indvirken på krybetallet:

1 2 330

1 /100 1 50 /1001 1 0,866 0,960 1,700,1 0,1 175RH

RHh

ϕ α α − −

= + ⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ da 35cmf MPa>

Hvis 35cmf MPa≤ benyttes 3

0

1 /10010,1RH

RHh

ϕ −= +

⋅.

Faktor for betonstyrken:

( ) 16,8 16,8 2,5635 8cm

cm

ff

β = = =+

Der tages højde for cementtypen ved at regulere betonens alder ved belastning, t0. Dette gøres med

følgende formel:

0

0 0, 1,2 1,20,

9 91 28 1 282 282T

T

t t døgn døgnt

α = + = ⋅ + = ++

Hvor α er en potens, der afhænger af cementtypen:

α = -1 for cementklasse S

α = 0 for cementklasse N

α = 1 for cementklasse R

T0,T er den temperaturtilpassede alder i døgn ved belastning givet ved:

( )( )( )4000 / 273 13,65

1

in

T tT i

it e t− + ∆ −

=

= ⋅∆∑


2.14

Hvor

tT er betonens temperaturtilpassede alder

T(∆ti) er temperaturen i °C i tidsrummet ∆ti.

∆ti er antallet af døgn, hvor temperaturen T er fremherskende.

Der tages højde for betonens alder ved belastningstidspunktet:

( ) ( ) ( )0 0,20 0,200

1 1 0,490,1 280,1

tt

β = = =++

Slutkrybetallet fås nu som:

( ) ( )0 0 1,70 2,56 0,49 2,13RH cmf tϕ ϕ β β= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Den endelige krybetøjning afhænger nu af slutkrybetal og betonspænding.

Et alternativ til beregning af slutkrybetallet er at aflæse diagrammerne i Figur 2-6. Slutkrybetallet for

dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne for h0 = 150 mm og h0 = 250 mm.

( )02,04 2,20 175 150 2,20 2,16

250 150mm mm

mm mmϕ −

= ⋅ − + =−

Forskellen på det udregnede og det aflæste krybetal er uden praktisk betydning.

Svind

Svind bestemmes som en sum af to bidrag:

- Autogent svind, εca, der hovedsagligt forekommer når betonen hærder de første par dage efter

støbning.

- Udtørringssving, εcd, der udvikler sig langsomt i takt med at vandet forsvinder fra den hærdende

beton.

Autogent svind

Autogent svind afhænger af betonstyrken:

( ) ( ) ( )6 62,5 10 10 2,5 35 10 10 0,062ca ckfε − −∞ = − ⋅ = − ⋅ = ‰

Det autogene svinds afhængighed af tiden t i døgn fås af:

( ) 0,50,21 10 tas tβ −= −

I dette eksempel benyttes βas(∞) = 1


2.15

Det samlede autogene svind er givet ved:

( ) ( ) ( ) 1 0,062 0,062ca as catε β ε∞ = ∞ = ⋅ =‰ ‰

Udtørringssvind

Udtørringssvindet afhænger tværsnittets teoretiske dimensionsmål h0, givet ved faktoren kh, som be-

stemmes ved interpolering i følgende tabel:

h0 kh

100 1,00

200 0,85

300 0,75

≥ 500 0,70

For h0 = 175 mm fås:

( )0,85 1,00 175 100 1,00 0,89200 100hk −

= ⋅ − + =−

Tidsafhængigheden udtrykkes ved følgende faktor:

( ) ( )( ) 3

0

,0,04

sds s

s

t tt t

t t hβ

−=

− +

Hvor

t er betonens alder i døgn på det betragtede tidspunkt.

ts er betonens alder i døgn ved begyndelsen af udtørringssvindet.

Dette er normalt ved slutningen af hærdningen.

I dette eksempel benyttes βds(∞, 28) = 1.

Den nominelle værdi af uhindret udtørringssvind fås af:

( )

( )

2 6,0 1

35 80,12610

0,85 220 110 10

0,85 220 110 4 10 1,36 0, 455

cmds

ffcmo

cd ds RHe

e

α

ε α β

− −

+ − −

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

‰

Hvor

3 3

0

501,55 1 1,55 1 1,36100RH

RHRH

β = − = − =


2.16

Fcm er middelstyrken i MPa

Fcmo = 10 MPa

αds1 er en koefficient, der afhænger af cementtypen

= 3 for cementklasse S

= 4 for cementklasse N

= 6 for cementklasse R

αds2 er en koefficient, der afhænger af cementtypen

= 0,13 for cementklasse S

= 0,12 for cementklasse N

= 0,11 for cementklasse R

RH er den omgivende relative fugtighed i %

RH0 = 100 %

Tøjning fra udtørringdssvind fås nu af:

( ) ( )( )

,0,

1 0,89 0, 455 0, 405cd ds s h cd

cd

t t t kε β ε

ε

= ⋅ ⋅

∞ = ⋅ ⋅ =‰ ‰

Det samlede slutsvind εcs,∞, fås som summen af autogent svind og udtørringssvind:

, 0, 405 0,062 0,467cs cd caε ε ε∞ = + = + =‰ ‰ ‰

Som ved slutkrybetallet kan det samlede slutsvind bestemmes på alternativ vis ved aflæsning dia-

grammerne i Figur 2-7. Slutsvindet for dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne for h0 =

150 mm og h0 = 250 mm.

( ),0,420 0,480 175 150 0,480 0,465

250 150cs mm mmmm mm

ε ∞−

= ⋅ − + =−

‰ ‰ ‰ ‰

Forskellen på det udregnede og det aflæste slutsvind er uden praktisk betydning, specielt da en faktor

som det nominelle svind εcd,0 er et udtryk for en middelværdi med en variationskoefficient på ca. 30%.


2.17

2.2 Armeringsstål

I kold tilstand regnes i henhold til EC2 for armeringen generelt med et regningsmæssigt elasticitets-

modul på:

200000s skE E MPa= =

gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Esk er den karakteristiske værdi af arme-

ringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk op til den regningsmæssige flydespæn-

ding:

/yd yk Sf f γ= i brudgrænsetilstande

yd ykf f= i anvendelsesgrænsetilstande

Ved praktiske beregninger ses sædvanligvis bort fra tøjningshærdningen, der betyder at spændingen

svarende til meget store tøjninger i armeringen kan blive større end armeringens flydespænding. Ar-

meringen regnes således at være et idealt elastisk-plastisk materiale med typiske arbejdslinier som

vist på Figur 2-8 ved dimensionering i kold tilstand.

0

100

200

300

400

500

600

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Brudgrænsetilstande, f yd = f yk /γ s

Anvendelsesgrænsetilstande, f yd = f yk

σ s =ε s ×E sd

ε s

σ s (MPA)

Figur 2-8: Typiske arbejdslinjer for armering i kold tilstand

fyk = 550 MPa, γ S = 1,2

σs (MPa)


2.18

For armering uden udpræget flydegrænse som eksempelvis kolddeformeret stål anvendes samme

arbejdslinie, idet man sætter fyk = f0,2k, hvor f0,2k er den karakteristiske 0,2 %-spænding, dvs. den

spænding, hvor armeringen ved en førstegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0,2 %.

2.3 Forspændingsstål

I forspændte betonelementer anvendes normalt forspændingsstål i form af spændliner. I kold tilstand

regnes i henhold til EC2 for spændliner generelt med et regningsmæssigt elasticitetsmodul på:

195000p pkE E MPa= =

gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Epk er den karakteristiske værdi af arme-

ringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk op til den regningsmæssige flydespæn-

ding:

0,1 /pd p k Sf f γ= i brudgrænsetilstande

0,1pd p kf f= i anvendelsesgrænsetilstande

Hvor fp0,1k er den karakteristiske 0,1 %-spænding, dvs. den spænding, hvor armeringen ved en før-

stegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0,1 %. For linerne indregnes sædvanligvis tøj-

ningshærdningen som en lineær tilvækst op til spændingen ved linernes brudtøjning, εud. Uden nøjag-

tigere materialedata sættes εud = 0,02 og den tilhørende spænding kan sættes til fp0,1k = fpd/0,9. Der-

med kommer typiske arbejdslinier for spændlinerne til at se ud som vist på Figur 2-9.


2.19

Figur 2-9: Typiske arbejdslinjer for spændliner i kold tilstand

fp0,1k = 1600 MPa, γS = 1,2

0

500

1000

1500

2000

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

σ s = ε s ×E pd

ε s

σ s (MPA)

Anvendelsesgrænsetilstande, f pd = f p0,1k

Brudgrænsetilstande, f pd = f p0,1k / γ s

σs (MPa)

Documents

2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 1 - bef.dk · aL 35,7 30,9 26,9 23,6 21,2 19,4 18,0 I eksemplet, afsnit 2.1.3.1, er vist hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et vilkårligt