Embed Size (px)
Citation preview
2 Teorie radiokomunikačních signálů ( část A – deterministické signálý)
2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ 2.1.1 Základní pojmy Uspořádaná dvojice
Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [t0, x(t0)]
Relace
Relace je množina uspořádaných dvojic.
A
Není vzoremMnožina vzorů
B
Množina obrazů
Obr. 1. Relace Kartézský součin A x B
Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je prvek množiny A a
druhou složkou je prvek množiny B.
Zobrazení
Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností: každý prvek x
A je prvkem nanejvýš jedné uspořádané dvojice (x, y)
⊂
∈ ∈ R .
Prosté zobrazení
Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B R∧ je zobrazení z B do A . R je inverzní relace.
Rozklad množiny
Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Si tak, že každý prvek S je právě v jedné
podmnožině (třídě).
Ekvivalence na množině
Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně reflexivní, symetrická a
tranzitivní ( x ~x, x ~y ⇒ y ~ x, x ~y ∧ y ~ z ⇒ x ~ z ).
Zápis množiny
Rovnost S = x; P označuje, že S je množina všech x, které mají vlastnost P .
1
2.1.2 Signál Norbert Wiener blíže určil pojmy informace a signál a souvislost mezi nimi. My se budeme
opírat o matematickou definici signálu [5].
Signál (jednorozměrný) nejčastěji znázorňujeme a vyjadřujeme jeho časovým průběhem, tj.
závislostí jeho hodnot na čase.
Signály dělíme na signály se spojitým časem (zobrazení z množiny R) a signály s diskrétním
časem (zobrazení z množiny Z). Signály číslicové jsou zobrazením z množiny Z do jisté
konečné podmnožiny množiny Z. Jsou to posloupnosti čísel vyjádřených konečným počtem
číslic.
0 t0
x(t0)
t
0 n
0 n
-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1-2 1 2 3 4 5 6 7
Obr. 2. Signál se spojitým časem, signál s diskrétním časem a signál číslicový.
Naším cílem je najít mnohorozměrné prostory, ve kterých bude každý konkrétní signál
zobrazen jediným bodem. Prvním krokem bude chápání signálu jako prvku jisté množiny
signálů.
2.1.3 Množiny signálů Jako příklady si uvedeme několik množin signálů s diskrétním časem. 1. Množina harmonických signálů (a konstantní posloupnosti)
[ ] RZS ∈++=∈∀= ωϕαωϕα ,,,)(expRe)(:;H njnxnx (1)
2. Množina periodických signálů ZZS ∈≥=+∈∀= NNnxNnxnxN ,1,)()(:;)(p (2)
3. Množina omezených signálů
2
0,|)(:|;)(L >≤∈∀= KKnxnxN ZS (3)
4. Množina signálů s konečnou energií
0,)(;)( 2E >
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤= ∑∞
−∞=
KKnxxKn
S (4)
Poznámka: Pojem energie zde nutno chápat ne ve fyzikálním, ale v přeneseném slova smyslu. Obdobné je to i s pojmem výkon a dalšími pojmy u signálů s diskrétním časem.
5. Množina signálů s konečnou dobou trvání (posloupnosti délky N)
ZS ∈≥=−∉∀= NNnxNnxN ,1,0)(:1,0;)(D (5)
6. Množina signálů s (periodicky) omezeným spektrem
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−=<<∀>∀= ∑∞
−∞=n
j njnxeXWWxW 0)exp()()(:,||,||;)(B ωππωω ωS (6)
Obdobné množiny signálů je možné zavést i pro signály se spojitým časem [1]. Zavedení těchto množin je snažší. Význam těchto množin je zřejmější než v případě diskrétního času. 7. Množina signálů s omezenou dobou trvání
SD(T) =x ; |t|>T: x(t) = 0, T > 0. ∀
8. Množina signálů s omezeným spektrem
SB(Ω) =x ; ∀ |ω| > Ω: = 0, Ω > 0. ∫+∞
∞−
− dtetx tjω)(
9. Množina signálů s omezenou energií
SE(K) =x ; ∀ t ∈ R: < K, K > 0. ∫+∞
∞−
dttx )(2
Zobecnění množin signálů s konečnou energií
Prostor signálů s konečnou energii se označuje symbolem , jde-li o signály se spojitým časem a , jde-li o signály s diskrétním časem. Pojem prostor signálů bude zaveden později v kapitole 1.4.
2L
2l
Zobecněním lze zavést prostory , jde-li o signály se spojitým časem a , jde-li o signály s diskrétním časem.
pL pl
Množiny signálů vyskytujících se v těchto prostorech lze zapsat takto [2, str. 41]:
0,)(;)(/1
P >⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫
∞+
∞−
KKdttxxKp
pS . (7)
Zde integrál je Riemanův integrál.
3
0,)(;)(/1
P >⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
∞
−∞=
KKnxxNp
n
pS . (8)
Množiny signálů lze získávat i jako sjednocení nebo průniky jiných množin. Příklad:
SD(T) ∩ SB(Ω) =0 = x ; ∀ t ∈ R: x(t) = 0 . (9)
Není to množina prázdná.
2.1.4 Rozklad množiny signálů Množina S1, S2, ….. podmnožin S1, S2, ….. množiny S tvoří rozklad množiny S, jestliže
platí:
(S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ….. ) (S∪ ∧ i ∩ Sj = 0 pro ji ≠ ). (13)
S1
S3
S2
Obr. 3. Rozklad množiny signálů
Každá ekvivalence na množině S může být základem rozkladu množiny S na podmnožiny Sx,
přičemž Sx = y; y~x kde x je jistý prvek množiny S.
Naopak, každý rozklad množiny generuje ekvivalence.
1. Rozklad množiny celých čísel
Množina S celých čísel n může být rozložena na konečný počet m podmnožin Si = n; n =
pm + i , i = 0, 1, ... m-1, p je libovolné celé číslo.
Odpovídající ekvivalence:
na ~ n b ⇔ modm(na) = modm(nb). Nazývá se kongruence podle modula m.
2. Příjem binárního signálu
Ekvivalence:
x ~ y [ ] (14) ⇔ [ ] .0)()( 00 >−− htyhtx
Podmnožiny:
S1 = x; x(t0) > h, (15a)
S0 = x; x(t0) < h, (15b)
4
Uvažování množiny S2 = x; x(t0) = h většinou nemá praktický smysl.
x(t)
0 t0 tT
h
Obr. 4. Příjem binárního signálu
3. Rozklad pomocí soustavy funkcí u signálů se spojitým časem
Nechť je dána soustava funkcí , i = 1, 2, ... , n. ig
Ekvivalence, nazývaná zobecněná kongruence,
x ~ y ⇔ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
= dttgtydttgtx ii )()()()( (16)
pro všechna i = 1, 2, ... n . Definujme množinu M
M = . (17) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==∫+∞
∞−
nidttgtzz i ....,,2,1 pro0)()(;
Nyní můžeme každou množinu ekvivalentnosti (třídu) zavést pomocí jednoho jejího prvku,
reprezentanta třídy x) , takto:
S = x; x ~ x) x) = x; M∈+= zzxx ,) , (18)
kde
∑=
=K
kkk tgatx
1
)()() , pro R∈ka .,....,2,1 Kk = (19)
4. Rozklad pomocí soustavy funkcí u signálů s diskrétním časem
Ekvivalence:
x je ekvivalentní y, když
.)()()()(:,,11
0
1
0∑∑
−
=
−
=
=∈∈∀N
nk
N
nk ngnyngnxkKk Z (20)
Je-li např.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= nk
Njngk
π2exp)( a ,,1,0 Z∈−∈ kNk ,,1,0 Z∈−∈ nNn N je liché,
RR ∈∈ yx , , jsou x a y délky N ekvivalentní, mají-li stejných prvních 2
1+N prvků
obrazu DFT.
5
2.2 ZOBRAZENÍ A FUNKCIONÁLY 2.2.1 Zobrazení Zobrazení z S1 do S2 f: S1 → S2
(y = f(x); ∈x S1, ∈y S2) (21)
D(f) je definiční obor zobrazení, H(f) je obor hodnot zobrazeni
Je-li S1 = D(f) a S2 = H(f), jedná se o zobrazení S1 na S2.
Zobrazení f z S1 do S2 je vzájemně jednoznačné zobrazení S1 na S2 právě když je f
zobrazení prosté a zároveň zobrazení S1 na S2.
Zobrazení složené
f: S1 → S3 ) . (22) ())(()( 122 xfxffyfz ===⇒
Libovolné zobrazení f: S1 → S2 generuje ekvivalenci x1~ x2 )()( 21 xfxf =⇐ .
Příklady rozkladu množin signálů
Množinu všech signálů se spojitým časem můžeme rozložit na signály se stejným středním
výkonem, na signály se stejnou energií apod. Obdobně můžeme rozložit i množiny signálů
s diskrétním časem.
Fourierova transformace
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∞<⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∞<= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
ωω dXXdttxx 22
21 )(; = S,)(;S . (23a, b)
∫+∞
∞−
−=→ dtetxXF tjωω )()(,SS : 21 . (24a, b)
je zobrazení typu "mnoho v jeden", protože funkce x(t) lišící se v konečném množství bodů
mají stejný obraz. Z praktického hlediska jsou to signály stejné. Rovnost mezi těmito signály
nazveme rovností skoro všude. Z tohoto hlediska pak můžeme Fourierovu transformaci
považovat za vzájemně jednoznačné přiřazení "na".
2.2.2 Funkcionály Funkce je zobrazení z R do R .
6
Funkcionál je zobrazení z množiny funkcí x(t) nebo x(n) do R nebo do C. Přepokládáme, že
jsou dány vhodné funkce Příklady funkcionálů: ).(a)(),(),( nwtwngtg
∫+∞
∞−
= dttgtxxf )()()(1 , , ∫+∞
∞−
= dttwtxxf )()()( 22
, , ∫+∞
∞−
−= dtetxxf tj 0)()(3ω ∫
+∞
∞−
−= dttttxxf )()()( 04 δ
∑−
=
=1
05 )()()(
N
n
ngnxxf , , ∑−
=
=1
0
26 )()()(
N
n
nxnwxf
∑−
=
−=1
07
0)()(N
n
njenxxf ω , . ∑−
=
−=1
008 )()()(
N
n
nnnxxf δ
2.2.3 Vyjádření signálu řadou Přibližné vyjádření signálu
∑ ∈≈k
kk ttttgxftx 21,),()()( ,
(25)
kde
...,2,1; =kfk je spočetná posloupnost funkcionálů a
...,2,1; =kgk je předem daná množina funkcí .
1. Vyjádření signálu časovou řadou
[∑ −≈n
nTtnTxtx )(Sa)()( ]. (26)
Sa(.) označuje Sampling function, vzorkovací funkci, T je vzorkovací interval.
2. Vyjádření signálu Fourierovou řadou.
∑+∞
−∞=
≅k
tjkkectx 1)( ω , 21, ttt ∈ , (27)
kde
.2,,)(1
121
12
2
1
1
ttkdtetx
ttc
t
t
tjkk −
=∈−
= ∫ − πωω Z (28)
Poznámka: Řada je zde zavedena původním způsobem, tj. pro funkci definovanou nad
intervalem. Nepožaduje se, aby funkce x(t) byla periodická. Jisté podmínky ovšem splňovat
musí.
7
2.2.4 Dualita času a kmitočtu Projevuje se symetrií dopředné a zpětné Fourierovy transformace. Každému vztahu funkcí
času odpovídá duální vztah pro spektrální funkce. Dualita se v teorii často využívá.
1. Vyjádření spektrální funkce množinou jejich diskrétních hodnot
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒∈ ∑
+∞
−∞= TmT
TmXXTx
m
πωπω Sa)()(SD . (29)
2. Vyjádření spektrální funkce Fourierovou řadou
,exp)()(SB ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒∈ ∑
+∞
−∞= WnjdXWx
nn
ωπω ,W<ω (30)
kde
.22exp)(
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−= ∫
− Wnx
Wd
WnjX
Wd
W
Wn
ππωωπω (31)
-W W0
( )ωX
ωWπ t
Obr. 7. K vyjádření spektrální funkce Fourierovou řadou
Dualita se projevuje také tím, že vzorkování časového průběhu signálu vyvolává periodizaci
spektra a duálně, vzorkování spektra vyvolává periodizaci časového průběhu.
fourzobr.m
2.3 PROSTORY SIGNÁLŮ 2.3.1 Metrické prostory Je dána množina signálů. Chceme posuzovat vzdálenost jejich prvků. Matematicky to lze
vyřešit zavedením vzdálenosti mezi prvky.
Množina signálů s příslušně zavedenou vzdáleností je prostor signálů.
Vzdálenost je funkcionál . Nazývá se metrikou, má-li vlastnosti: R→),(: yxd
a) jen když x = y , (32) 0),(,0),( =≥ yxdyxd
b) (symetrie) (33) ),,(),( xydyxd =
8
c) (trojúhelníková nerovnost). (34) ),,(),(),( zydyxdzxd +≤
Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d).
Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.
2.3.2 Příklady metrik. 1. Reálná osa je metrický prostor s metrikou
R∈−= yxyxyxd ,,),( . (35)
nn CR nebo uspořádaných n-tic čísel 2. Množina
).....,,,(),.....,,,( 2121 nn yx βββααα == .
Příklady metrik:
a) ,),(1
1 ∑=
−=n
iiiyxd βα (36)
b) ,),(2
12 ∑
=
−=n
iiiyxd βα (37)
c) ....,2,1;sup),(3 =−= iyxd ii βα . (38)
Tyto metriky lze rozšířit i na případy . ∞∞ CR a
Poznámka:
Věta [12], str. 100: Supremum číselné množiny M má tyto dvě vlastnosti:
a) pro každé platí , M∈x Msup≤xb) v každém levém okolí suprema leží alespoň jedno číslo M∈x .
Konec poznámky.
3. Hamingova vzdálenost viz teorie zabezpečujících kódů [8].
4. Množina reálných či komplexních funkcí času definovaných na intervalu T =
Příklady metrik:
btat ≤≤; .
a) ,)()(),(1 ∫ −=T
dttytxyxd (39)
b) ,)()(),( 22 ∫ −=
T
dttytxyxd (40)
c) .T;)()(sup),(3 ∈−= ttytxyxd (41)
U funkcí, které jsou si rovny skoro vždy, je . 021 == dd
5. Množina reálných či komplexních posloupností délky N. Příklady metrik.
9
a) ∑−
=
−=1
01 )()(),(
N
n
nynxyxd . (42)
b) 21
02 )()(),( ∑
−
=
−=N
nnynxyxd . (43)
c) Z∈−∈−= nNnnynxyxd ,1,0;)()(sup),(3 . (44)
2.3.3 Konvergence a spojitost
Nechť X je jistá množina. Posloupnost ....,2,1 X,; =∈ nxx nn konverguje, jestliže existuje
takové, že pro libovolné X∈x ε > 0 lze najít celé kladné takové, že 0n
ε<⇒≥ ),(0 xxdnn n . ( ) . xxnn=
→∞lim
Posloupnost cauchyovská: pro libovolné ε > 0 existuje kladné celé takové, že 0n
ε<⇒≥ ),(, 0 nm xxdnnm .
Každá konvergující posloupnost je cauchyovská.
Cauchyovská posloupnost nemusí být konvergující, protože prvek ke kterému se blíží nemusí
být prvkem X.
Metrický prostor se nazývá úplný, jestliže v něm všechny cauchyovské posloupnosti
konvergují. [7], str. 824.
Víme, že x je spojitá funkce t , jestliže pro libovolné ε > 0 a libovolný prvek jejího
definičního oboru lze najít
0t
δ > 0 takové, že ε<− )()( 0txtx , jestliže δ<− 0tt .
Spojitost u zobrazení jednoho metrického prostoru do druhého.
Nechť . Zobrazení f je spojité v okolí , jestliže pro libovolné ),Y(),X(: 21 ddf → 0x ε > 0
existuje δ > 0 takové, že
)(a)(,Y aX;),(),( 000201 xfyxfyyxyydxxd ==∈∈<⇒< εδ .
Zobrazení je spojité, je-li spojité ve všech bodech definiční oblasti.
Metrický prostor (X , d) je separabilní, jestliže pro libovolné ε > 0 lze najít spočetnou
posloupnost prvků množiny X takovou, že ....,, 21 xx ε<),( ixxd pro některé i a libovolné
∈x X. Separabilní prostor může být pokryt spočetným množstvím sfér s poloměrem ε a se
středy xi.
Metrický prostor kompaktní vystačí s konečnou posloupností. (Kompaktní prostor může být
pokryt konečným počtem sfér.
10
2.4 LINEÁRNÍ PROSTORY 2.4.1 Definice Lineární prostor nebo také vektorový prostor je tvořen množinou prvků, vektorů. Definiční
vlastnosti lineárního prostoru jsou následující ([12], str. 241 a dále, [4]):
A) Pro každý pár vektorů x a y existuje prvek (x + y) uvažované množiny takový, že
a) x + y = y + x ,
b) , zyxzyx ++=++ )()(
c) množina obsahuje jediný vektor 0 takový, že x + 0 = x pro libovolné x. Nazývá se
nulový prvek nebo nulový vektor.
d) pro libovolné x existuje jediný vektor (-x) takový, že x + (-x) = 0.
B) Je dána množina prvků (skalárů) , které tvoří těleso (field) a operace (násobení vektoru
skalárem ) přiřazující skaláru α a vektoru x vektor xα tak, že
a) )()( xx αββα = ,
b) 1x = x, 0x = 0,
c) yxyx ααα +=+ )( ,
d) xxx βαβα +=+ )( .
Jiný soubor axiomů je uveden v [10], str. 9 , další definici najdeme v [11], str. 10. Obdobné
definice lze najít v četných dalších knihách.
S lineárními prostory se setkáváme také v teorii kódování, kde se pracuje s konečnými tělesy
[8].
Pokud je těleso tvořeno prvky množiny R, mluvíme o reálném lineárním prostoru, pokud je
těleso tvořeno prvky množiny C, mluvíme o komplexním lineárním prostoru.
2.4.2 Lineární nezávislost a báze Lineární kombinací rozumíme výraz
∑=
=n
iii
1
xx α . (45)
Množina všech lineárních kombinací vektorů tvoří lineární prostor. nxxx ,....,, 21
Vektory jsou lineárně nezávislé, když je jejich lineární kombinace rovna 0 jen když jsou
všechny koeficienty 0=iα .
11
Bázi lineárního prostoru tvoří n lineárně nezávislých vektorů. Nechť M je libovolný
lineární n-rozměrný prostor s bází nii ,....,2,1; =u . Libovolný vektor x∈M má jediný
rozklad
∑=
=n
iii
1
ux α . (46)
Uspořádanou posloupnost skalárních koeficientů iα lze považovat za řádkovou nebo
sloupcovou matici. Ta sama o sobě ještě nereprezentuje vektor, navíc je nutno znát i bázi.
Množina všech reálných nebo komplexních funkcí času definovaných na intervalu T je
lineárním prostorem, v němž je sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem definováno
takto:
),()()(:T tytxtzt +=∈∀⇒+= yxz
)()(:T txtzt αα =∈∀⇒= xz .
2.4.3 Normovaný lineární prostor
Norma x vektoru x. Zavádí se pomocí zobrazení lineárního prostoru do R s vlastnostmi
[13], str. 175,
a) 0,0 =≥ xx jen při x = 0.
b) yxyx +≤+ ,
c) xx αα = .
Lze ukázat, že norma je metrikou yxyx −=),(d . Úplný lineární normovaný prostor se
nazývá Banachův prostor. Většinou jsou metriky získávány přes normy.
1. Norma prostorů Rn nebo Cn může být zavedena vztahem:
∑=
=n
ii
1
2αx . (47)
2. Norma prostoru reálných funkcí nebo komplexních funkcí definovaných nad intervalem T
je dána rovnicí
∫=T
2)( dttxx . (48)
Množina funkcí, pro které je tato veličina ohraničena, se nazývá prostor L2(T), (T je interval).
Počátkem souřadnic je funkce, která se v intervalu T rovná nule skoro všude.
12
2.4.4 Prostor se skalárním součinem Skalární součin označovaný (x, y) nebo < x, y> je zobrazení uspořádaných dvojic vektorů
lineárního prostoru do komplexní roviny C , zobrazení splňující podmínky ([14], 5.2 – 6):
a) (x, y) = (y, x)* ,
b) (α x + β y, z) = α (x, z) + β (y, z) ,
c) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 jen když x = 0 .
Důsledky:
(α x, y) = α (x, y) , (x, α y) = α *(x, y) a (x, x)∈ R.
Veličina ),( xxx = je normou.
Skalární součin generuje normu, ta generuje metriku.
Prostor se skalárním součinem, pokud je úplný, se nazývá Hilbertův.
Vektory x a y jsou ortogonální, pokud platí: (x, y) = 0.
Skalární součin pro prostor Cn může být zapsán vztahem
∑=
∈=n
i
niiba
1
* ,;),( Cyxyx . (49)
Skalární součin pro prostor L2(T):
)T(L,;)()(),( 2
T
* ∈= ∫ yxyx dttytx . (50)
2.4.5 Reprezentace prvků vektorového prostoru se skalárním součinem
Nechť je M n-rozměrný prostor s bází nii ,....,2,1; =u . Pak násobíme-li rovnici
∑=
=n
iii
1
ux α (51)
vektorem uj zprava skalárně, dostáváme
(∑=
==n
iijij nj
1
...,,2,1;),(),( αuuux ) . (52)
Jedná se o soustavu lineárních skalárních rovnic vzhledem k proměnným iα . Řešení dává
vyjádření x v Cn vzhledem k bázi nii ,....,2,1; =u . Zavedeme novou bázi párově
ortogonálních vektorů , pro které platí: jv
njijiji ...,,2,1,,),( , == δvu . (53)
Pak
13
),(,),(),(1
jj
n
ijiij vxvuvx =⇒= ∑
=
αα . (54)
Ortonormální báze je báze, pro jejíž prvky platí
njijiji ...,,2,1,,),( , == δuu , (55)
kde ji ,δ je Kroneckerovo delta,
⎩⎨⎧
≠=
=.pro0
apro1, ji
jijiδ
Pak
),( ii ux=α a . (56) ∑=
=n
iii
1
),( uuxx
Příklad: Vzorky analogového signálu a jejich vektorová representace Nechť je signál /4)2cos(2)( ππ −= tts vzorkován se vzorkovacím intervalem 8
1vz =T
v intervalu 1,0 . Tak je získána posloupnost:
01210121 −−− Přiřadíme vektoru s K-tici čísel iα tak, aby platilo
∑=
=K
iii
1
us α (57)
1. způsob Za iα volím přímo hodnoty vzorků s(n). Pak bude K=8 a )1( −= isiα . Báze bude tvořena vektory prostoru R8,.....2,1, =iiu 8
),10000000(..............................
),00000010(),00000001(
8
2
1
=
==
u
uu
Jim odpovídají signály (nakreslit!). )(nui
Je tedy )01210121( −−−=s .
(58)
2. způsob Zvolím si bázi
14
).12101210(
),10121012(
),11111111(
3
2
1
−−−=
−−−=
=
u
u
u
Vektorům báze odpovídají signály (nakreslit!). )(nui
Zde K =3. 2
12
1,0 321 === ααα a )2
12
10(=s .
Toto vyjádření signálu je úspornější. base.m
Úkol pro studenty: Ověřit ortogonalitu, zjistit, zda jde o ortonormalitu, udělat zkoušku na součet.
Využití vzájemné báze
1. způsob
( ) ijji δ=vu
),10000000(..............................
),00000010(),00000001(
8
2
1
=
==
v
vv
Ověřte si, že ),( ii vs=α .
2. způsob
ii uv81
= .
Ověřte si vlastnost ( ) ijji δ=vu . Ověřte, že ),( ii vs=α .
Konec příkladu. Příklad: Ortonormální báze
,,0pro1)(1 TtT
tu ∈=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∈−
∈=
.,pro1
,,0pro1
)(
21
21
2
TTtT
TtTtu
Nakreslete si a . )(1 tu )(2 tuOvěření ortonormality pro první vektor
15
∫∫ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
TT
dtT
dttu0
2
0
21 11)( .
Konec příkladu. Příklad: Lineárně nezávislé vektory
,,0pro1)(1 Tttv ∈= )
⎪⎩
⎪⎨⎧
∈−
∈+=
.,pro1
,,0pro1)(
41
41
2 TTt
Tttv
∑ = 0iivα jen pro .021 == αα ⇒ vektory jsou lineárně nezávislé
Jsou vektory ortogonální ?
( ) 021
43
41)1.(11.1,
4
4
021 ≠−=−=−+= ∫∫
T
T
T
TTTdtdtvv
Vektory nejsou ortogonální. Konec příkladu.
2.4.7 Lineární funkcioná1y Zobrazení komplexního lineárního prostoru X do množiny komplexních skalárů f: X C
s vlastností
→
f(α x + β y) = α f(x) + β f(y) , pro libovolné α , β ∈C a libovolné x, y∈X
se nazývá lineární funkcionál.
Je-li X prostor se skalárním součinem, je skalární součin lineárním
funcionálem, [7], str. 835.
),()( gxxg =f
Je-li navíc norma K<g , je fg spojitý lineární funkcionál. Důležité je, že pro úplný, tj.
Hilbertův prostor X lze libovolný spojitý funkcionál prezentovat jako skalární součin.
Norma funkcionálu
X,)(;inf ∈≤= xxx KfKf . (59)
Funkcionál s konečnou normou je ohraničený. Ohraničenost lineárního funkcionálu je
ekvivalentní spojitosti lineárního funkcionálu.
V některých prostorech signálů (např. v L2(T)) budeme využívat nespojité (neohraničené)
funkcionály.
Příkladem takového funkcionálu v L2(T) je vzorkovač. F(x) = x(t0) je funkcionál.
16
Aby byla zachována forma skalárního součinu, použijeme funkci )(tδ , která není prvkem
L2(T):
∫ ∈−==T
000 T,)()()()( tdttttxtxxf δ . (60)
V praxi není vzorkovací impuls nekonečně úzký.
Realizace libovolného funkcionálu
Realizace libovolného funkcionálu zadaného ve formě skalárního součinu fg (x) = (x, g ):
1. Uspořádání první
∑−
=
1
0
N
n
( )n x
( )n g
( ) ( )nnx g ( ) ny
Obr. 6
2. Uspořádání druhé
( )nx ( )ny( )nh vzorkovač
( )1−Ny
Obr. 7
Aby byl dosažen žádoucí výsledek, musí být ( ) ( )nNgnh −−= 1 . Signály a jsou
délky N. funkcnal.m
( )nx ( )ng
2.5 DISKRÉTNÍ VYJÁDŘENÍ SIGNÁLU 2.5.1 Signály, které lze vyjádřit přesně – spojitý čas ÚLOHA: Zobrazení (mnoho v jedno) prostoru L2(T) do prostoru Cn . Veličinu n volíme
kompromisně s ohledem na protichůdné požadavky: přesnost a hospodárnost.
Nechť je systém lineárně nezávislých funkcí, takže platí )(tgi
∑=
=n
iii tg
1
0)(α (61)
skoro vždy pro jen tehdy, když všechna T∈∀t 0=iα .
17
Bázi odpovídá podprostor M
)(tgi n.
Pokud je signál M∈x n , může být přesně a jednoznačně vyjádřen takto:
∑=
∈=n
iii ttgtx
1
T),()( α (62)
a vektor (řádková matice) nααα ....,,, 21=α je hledaným číselným vyjádřením signálu x.
Maticové vyjádření
Víme, že
)(L,;)()(),( 2
T
* Tdttytx ∈= ∫ yxyx a (63)
(∑=
==n
iijij nj
1
...,,2,1;),(),( αuuux ) . (64)
Pak po násobení rovnice
j
n
iii ggx skalárnězprava
1∑
=
= α (65)
můžeme psát pro každé j
∑=
=n
iijij
1
),(),( αgggx . (66)
V maticovém zápisu
jij
i
nnnnn
n
↓
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=↓
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡↓
→
),(
),(
),(),(
),(),(),( 1
2
1
1
11211
gx
gx
gggg
gggggg
α
αα
, (67)
zkráceně
β=αG , (68)
odtud
β=α −1G (69)
S použitím posledního vztahu zavedeme vzájemné bázové funkce nii ,2,1, =ϑ , které
mohou být, jako ostatně všechny funkce v uvažovaném prostoru, vyjádřeny jako lineární
kombinace funkcí gi (t):
∑=
=ϑn
kkjkj
1
gγ . (70)
18
Rovnici vynásobíme gi skalárně zleva
∑=
=ϑ, n
kkijkji
1
* ),()( ggg γ . (71)
pro vzájemnou bázi musí platit:
ijji δ=ϑ, )(g , (72)
takže
ij
n
kkijk δγ = ∑
=1
* ),( gg . (73)
Z této soustavy rovnic lze vypočítat všechna a dosadit pak do rovnice *jkγ jkγ
∑=
=ϑn
kkjkj
1
gγ (74)
a tím určit všechny signály )(tjϑ .
Vrátíme se k rovnici (62)
∑=
=n
iii
1
gx α
a vynásobíme ji zprava skalárně : jϑ
∑∑==
=ϑ=ϑn
iijij
n
iiij
11
),(),( δαα gx . (75)
Proto je
),( jj ϑ= xα . (76)
2.5.2 Signály, které nelze vyjádřit přesně – spojitý čas Co udělat se signály x, které leží mimo Mn? Přiřadíme jim vždy nejbližší x) , které prvkem
Mn je.
Teorém projekce: Pro libovolné L∈x 2(T) existuje jediný vektor
∑=
ϑ=n
iii
1
),( gxx) (77)
takový, že (x - x) ) je ortogonální ke všem vektorům z Mn a xxxx ~−<− ) , kde x~ je libo-
volný jiný vektor z Mn.
x) je ortogonální projekcí x na Mn. xx )−=η je chyba .
Přesnost je charakterizována normou 222 xx )−=η .
19
Vztah ekvivalence lze zapsat takto:
x~y ),(),( ii gygx =⇒ , pro i=1, 2, ...., n.
Jinak, x~y ∈−⇒ yx M, kde
M = x; (x, x~ ) = 0 pro všechna x~ ∈Mn .
M je ortogonální doplněk Mn.
Pro libovolné x lze psát
x = 0),( M,,M; =∈∈+ zxzxzx )))n .
L2(T) = Mn + M . Do Mn a M současně patří jen 0 .
gramm2.m(projekce) Příklad: Diskrétní vyjádření signálu s(t) jeho vzorky s(nTv) Vyjdeme ze vztahu
∑=i
ii tgtx )()( α .
Zde )( vi nTs=α
( )[ ]vci nTttg −= ωsinc)( Příklady tohoto vyjádření a jeho vlastností naleznete po spuštění skriptu.
dvsig1.m Konec příkladu.
2.5.3 Jiné diskrétní vyjádření diskrétního signálu Jedná se o zobrazení prostoru l2(0, N-1) do prostoru CL. Matematický popis je téměř shodný
s tím, co je uvedeno v předcházejících odstavcích.
Nechť je systém L lineárně nezávislých posloupností, takže )(ngi
∑=
=L
iii ng
1
0)(α (78)
skoro vždy pro 1,0 −∈∀ Nn jen tehdy, když všechna 0=iα .
Bázi odpovídá podprostor M)(ngi L.
Pokud je signál M∈x L , může být přesně a jednoznačně vyjádřen takto:
∑=
∈=L
iii Nnngnx
1
1- 0,),()( α (79)
a vektor (řádková matice) je hledaným číselným vyjádřením signálu x. Lααα ....,,, 21=α
20
Maticové vyjádření
Po násobení rovnice (62)
j
n
iii ggx skalárnězprava
1∑
=
= α
můžeme psát pro každé j
∑=
=n
iijij
1
),(),( αgggx . (80)
V maticovém zápisu
jij
i
LLLLL
L
↓
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=↓
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡↓
→
),(
),(
),(),(
),(),(),( 1
2
1
1
11211
gx
gx
gggg
gggggg
α
αα
, (81)
zkráceně
β=αG , (82)
odtud
β=α −1G (83)
S použitím posledního vztahu zavedeme vzájemné bázové funkce Lii ,...,2,1, =ϑ , které
mohou být, jako ostatně všechny funkce v uvažovaném prostoru, vyjádřeny jako lineární
kombinace funkcí gi (n):
∑=
=ϑL
kkjkj
1
gγ . (84)
Rovnici vynásobíme gi skalárně zleva
∑=
=ϑ, L
kkijkji
1
* ),()( ggg γ . (85)
Pro vzájemnou bázi musí platit:
ijji δ=ϑ, )(g , (86)
takže
ij
L
kkijk δγ = ∑
=1
* ),( gg . (87)
Z této soustavy rovnic lze vypočítat všechna a dosadit pak do rovnice *jkγ jkγ
21
∑=
=ϑL
kkjkj
1
gγ (88)
a tím určit všechny signály )(njϑ .
Vrátíme se k rovnici (62)
∑=
=L
iii
1
gx α
a vynásobíme ji zprava skalárně : jϑ
∑∑==
==L
iijij
L
iiij
11
),(),( δαα ϑϑ gx . (89)
Proto je
),( jj ϑ= xα . (90)
Příklad: Nalezení sdružené báze Nechť
)jexp()( 1tktgk ω= v intervalu T
T π2,,0 1 =ω .
Hledám
∑=
=n
kkjkj tgt
1
)()( γϑ .
Vím, že
∑=k
kijkji ),(),( * ggg γϑ
a
∑ δ=γk
ijkijk ),(* gg .
Pro naši bázi platí
kiki TkiTki
,propro0
),( δ=⎩⎨⎧
=≠
=gg .
Dosadíme a dostáváme
∑ =k
jikijkT ,,* δδγ
takže jen
Tjj1
, =γ , ostatní jsou rovny nule.
Proto
∑=
=L
kkjkj
1
gγϑ
22
dává výsledek
)jexp(1)( 1tkT
tk ωϑ = .
Koeficienty Fourierovy řady jsou dány nám známým vztahem [5]. Souhlasí s uvedenou teorií?
( ) ( ) .exp)(1)()(,0
10
k
TT
kk cdttjktxT
dtttx ∫∫ =−=== ∗κ ωα ϑϑx
Souhlasí. Konec příkladu.
Úkol pro studenty: Zjistit, jak je to se stanovením sdružené báze u ortonormální soustavy.
2.5.4 Úplné ortonormální soustavy Nechť gi je systém ortonormálních funkcí. Označíme ([14], 4.7)
∑=
=n
iiin
1
),( ggxx . (91)
Pak je
∑=
−=−n
iin
1
222 ),( gxxxx . (92)
Proto při libovolném n platí:
∑=
≤n
ii
1
22),( xgx . (Besselova nerovnost)
Pro tzv. úplný ortonormální systém gi je
∑∞
=
=1
22),(i
i xgx (93)
pro libovolné x∈ L2(T). (Podmínka úplnosti).
Pro úplný ortonormální systém platí: Pro libovolné ε > 0 a libovolné x∈ L2(T) existuje
takové n0, že
ε<− ∑=
i
n
ii ggxx
1
),( při n > n0. (94)
2.5.5 Příklady systémů ortonormálních funkcí Norma s vahou
Zavedeme skalární součin
∫=T
* ,)()()(),( dttytxtwwyx (95)
w(t) je reálná nezáporná funkce.
23
Norma s vahou
∫ −T
2)()()( dttxtxtw n (96)
se může jevit jako vhodnější míra přiblížení než norma obyčejná. Jinak řečeno: gi je
soustavou funkcí ortonormálních s vahou w(t) , jestliže (gi, gj)w = ijδ .
Funkce ortonormální v obyčejném smyslu jsou pak funkce
.....,2,1),()()( == itgtwt iiψ (97)
Příklady úplných ortonormálních systémů: komplexní harmonické funkce, Čebyševovy
polynomy, atd. [16]. Zvláštní skupinu představují signály tvořené konstantními úseky, o
kterých bude pojednáno ve druhé kapitole. Mnohočleny Legendrovy Interval 1,1−=T , . 1)( =twByly získány ortonormalizačním postupem G-S aplikovaným na posloupnost funkcí ..,.........,,,1 32 ttt [17].
21)(0 =tg , ttg
23)(1 = ,
21
23
25)( 2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ttg (98a, b, c)
Mnohočleny Čebyševovy
Interval 1,1−=T ,
]1[)( 2ttw −= . (99) Funkce Laguerrovy
Interval ∞= ,0T , )exp()( ttw −= . (100)
Funkce Legendrovy Interval ∞= ,0T Funkce Čebyševovy
Interval ∞= ,0T ,
21
]1)2[exp()(−
−−= pttw (101) Příklad: Ortogonální systém posloupností délky N
24
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ + )π2exp( kn
Nj “čas” 1,0 −∈ Nn , “pořadí kmitočtové složky” 1,0 −∈ Nk
Měli jsme pro skalární součin:
∑=
=N
iiiba
1
*),( yx NCyx ∈,
Zde
)π2exp( kiN
jai += (komplexní číslo) 110 ,....,...,, −== Nik aaaagx
)π2exp( miN
jbi += 110 ,....,...,, −== Nim bbbbgy
Proto je
∑−
=
−+=1
0
)π2exp()π2exp(),(N
imk mi
Njki
Njgg .
Pro mk =
∑−
=
=+=1
0
)0π2exp(),(N
ikk Ni
Njgg ,
pro mk ≠
∑−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
1
0
)(π2exp),(N
imk imk
Njgg = 0.
Konec příkladu.
2.6.1 Walshovy funkce Walshovy funkce se spojitým časem mohou být označeny walx(i, ), zde x je index, kterým je jedno z písmen w, p nebo h. Parametr i je celočíselný nezáporný a Θ je opět normovaný čas. Funkce rad(m, Θ ) můžeme chápat jako periodické s periodou 1. Mohou však být definovány a používány i jako funkce nad konečným intervalem
Θ
1,0 . Nabývají hodnot 1 a -1. Jejich podmnožinou jsou dříve probrané funkce Rademacherovy. Změnou shora zmíněného indexu x se nemění množina funkcí ze kterých jsou funkce walx(i, ) vybírány, mění se však pořadí ve kterém jsou vybírány.
Θ
Walshovy funkce tvoří úplný ortonomovaný systém funkcí nad intervalem )1,0 . Jsou periodické s periodou 1. Probereme postupně tři typy Walshových funkcí lišící se indexem x.
25
2.6.1.1 Uspořádání podle kmitočtu
Uspořádání funkcí walx(i, ) podle kmitočtu se také nazývá Walshovo nebo Walshovo – Kaczmarzovo. Pojem kmitočet zde označuje zobecněný kmitočet chápaný jako poloviční počet přechodů funkce přes nulovou hladinu v intervalu délky 1. Funkce uspořádané podle rostoucího kmitočtu se označují wal
Θ
w(i, ) . Průběhy prvních 16 z nich nalezneme na obr. 3. Mohou být odvozeny z Rademacherových funkcí takto:
Θ
walw(0, Θ ) = rad(0, ) (102) Θ
wal(i, Θ )
1
Θ0
iw ip ih 0 0 0
1 1 8
2 3 12
3 2 4
4 6 6
5 7 14
6 5 10
7 4 2
8 12 3
9 13 11
10 15 15
11 14 7
12 10 5
13 11 13
14 9 9
15 8 1
Obr. 8. Walshovy funkce
26
a pro kladné hodnoty parametrů i pak
∏∀
=j
ΘjΘi ) ,rad( ) ,(walw (103)
kde j nabývá těch hodnot, které udávají pozice jedniček při vyjádření čísla i Grayovým kódem. Příklad: Nechť i = 4. Víme, že 4 = (00110)Gray. Pozice jedniček, počítáno zprava doleva, jsou 2 a 3. Veličina j tedy nabývá hodnot 2 a 3. Podle vztahu (8) pak můžeme psát:
walw(4, Θ ) = rad(2, ) rad(3, Θ ) (104) Θ
O správnosti výsledku nás mohou přesvědčit obr. 1 a 3. Konec příkladu.
K signálům walw(i, ) se spojitým časem lze přiřadit posloupnosti WalΘ w(i, n) s diskrétním časem. Pro snazší rozlišení funkcí se spojitým časem a funkcí s diskrétním časem zde používáme u zkratky wal malé písmeno na začátku zkratky v případě funkcí se spojitým časem a velké písmeno W na začátku zkratky Wal označující posloupnost. Opět budeme předpokládat, že posloupnosti mají délku N a že N je rovno číslu 2 umocněnému na přirozené číslo. Posloupnosti Walw(i, n) bývají zapisovány do řádků čtvercové matice N x N, která může být označena Hw(log2N). Příkladem je matice Hw(2). Prvky matice byly získány odebíráním vzorků funkcí walw(i, ) v okamžicích 0,125, 0,375, 0,625 a 0,875, nejprve pro i = 0 pro prvky prvního řádku, pak pro i = 1, 2 a 3 u prvků dalších řádků.
Θ
(105) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
1111111111111111
2wH
Tabulka 1. Grayův kód
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 10 1 1 1 1 11 1 1 1 0 12 1 0 1 0 13 1 0 1 1 14 1 0 0 1 15 1 0 0 0
27
Grayův kód patří mezi kódy se změnou v jenom místě. Každé dvě sousední značky v tabulce kódu se liší jen v jednom místě. Tato vlastnost je výhodná v některých aplikacích. Pětimístný kód získáme tak, že před stávající značky napíšeme nulu. Tím získáme prvních 16 pětimístných značek. Pak obrátíme pořadí značek v tabulce čtyřmístných značek a napíšeme před ně 1. Tím získáme dalších 16 pětimístných značek. Konec poznámky. 2.6.1.2 Uspořádání dyadické
Toto uspořádání se také nazývá Paleyovo nebo dvojkové. Funkce se spojitým časem se v tomto případě označují walp(i, ). Nalezneme je opět na obrázku 3 s tím, že budeme za index i brát index i
Θ
p uvedený v prostředním sloupci. Na základě Rademacherových funkcí mohou být funkce walp(i, ) stanoveny takto: Θ
walp(0, Θ ) = rad(0, ), (106) Θa pro i > 0
∏∀
=k
ΘkΘi ) ,rad( ) ,(walp , (107)
kde k nabývá těch hodnot, které udávají pozice jedniček ve dvojkovém vyjádření čísla i. Příklad: Nechť i = 6. Víme, že 6 = (00110)2. Pozice jedniček, počítáno zprava doleva, jsou 2 a 3. Veličina k tedy nabývá hodnot 2 a 3. Podle vztahu (12) pak můžeme psát:
walp(6, Θ ) = rad(2, ) rad(3, Θ ). (108) ΘKonec příkladu.
Také k funkcím walp(i, ) můžeme přiřadit posloupnosti WalΘ p(i, n) délky N. Matice vytvořená prvky posloupností Walp(i, n) může být označena Hp(log2N). Pro N = 4 je to matice
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
111111111111
1111
log2p NH (109)
2.6.1.3 Uspořádání přirozené Přirozené uspořádání se také nazývá uspořádání podle Hadamarda nebo Kronekerovo uspořádání. Walshovy - Hadamardovy funkce se spojitým časem se označují walh(i, ). Časové průběhy jednotlivých funkcí opět nalezneme na obr. 3 s tím, že parametr i nyní budeme hledat ve třetím sloupci označeném i
Θ
h. Množinu N funkcí walh(ih, ) můžeme získat na základě funkcí wal
Θ
w(iw, ) takto: Θ
28
Parametr ih vyjádříme jako dvojkové číslo (ih)2 s log2N číslicemi. Obrátíme pořadí dvojkových číslic a získáme tak číslo (ih)2‘. Toto číslo považujeme za značku Grayova kódu a dekódujeme ho jako desítkové číslo iw. Pak je
walh (ih, ) = walΘ w(iw, Θ ), (110) Příklad: Nechť ih = 1 a N = 16. Pak je (ih)2 = (0001)2. Čtením čísla zprava doleva dostáváme (ih)2‘ = 1000. Posloupnost 1000 vyjadřuje v Grayově kódu číslo 15 v soustavě desítkové. Proto je iw = 15 a walh (1, Θ ) = walw(15, ). Správnost výsledku si lze ověřit pomocí obrázku 3. Konec příkladu.
Θ
Nyní opět přejdeme na případ diskrétního času a zavedeme posloupnosti Walh (i,n).
Zde je matice Hh(log N), jejíž řádky jsou tvořeny jednotlivými posloupnostmi Walh (i,n), maticí Hadamardovou. Hadamardovy matice lze sestavit rekurentně pomocí vztahů:
(111) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=11
111hH
a
( ) )1()1()1()1(
)1()1(hh
hh
hhh −⊗=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
−−= j
jjjj
j HHHH
HHH , (112)
kde j je přirozené číslo větší než 1. Poznámka: Symbol zde ⊗ označuje Kroneckerův součin (přímý součin, tensorový součin), (Kronecker product, direct product, tensor product) definovaný takto:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⊗
BBB
BBBBBB
BA
NMNN
M
M
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
:::
...
. (113)
Konec poznámky
Příklad: S využitím (16) na základě (17) pro j = 2 nalézáme
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
1111111111111111
2hH (114)
Konec příkladu.
Zvídavý čtenář si možná zkusí porovnat posloupnosti v řádcích matice s pomyslnými vzorky funkcí walh(ih, ) nakreslených na obr. 3 a bude zklamán zjištěným rozporem. Ten Θ
29
není způsoben chybou tisku či uvedené teorie ale tím, že složení soustavy N funkcí walh(ih, ) je závislé na hodnotě N. Θ Souvislost mezi Hadamardovými maticemi a posloupnostmi Walh(i,n), případně maticemi Hh(j), nám umožňuje tyto funkce, případně matice, poměrně snadno získávat. O uplatnění ortogonálních posloupností ve funkci rozprostíracích posloupností je pojednáno v elektronickém textu [20], kapitola 6. Rozprostírací posloupnosti.
30
( část B - stochastické signály)
2.7 POČET PRAVDĚPODOBNOSTI 2.7.1 Náhodná veličina Náhodná veličina bývá označena symbolem ξ nebo X. Nabývá hodnot x. Náhodnou veličinu můžeme popsat pomocí momentů.
Obecný moment
[ ] ∫∞
∞−
= dxxfxgXgE X )()()( . (1)
Střední hodnota (mean)
[ ] ∫∞
∞−
== dxxfxXEX X )( . (2)
Rozptyl (variance), disperse
[ ] ( )[ ]2var XXEX −= . (3)
Směrodatná odchylka σ (standard deviation) Středně kvadratická hodnota [ ]2XE 2.7.2 Dvojice náhodných veličin Pro druhou náhodnou veličinu můžeme použít označení η nebo Y. Snažíme se popsat statistickou závislost obou veličin. Kovariance (covariance)
[ ] [ ]))((,cov YYXXEYX −−= . (4) Činitel korelace (correlation coefficient)
[ ]YX
XYYX
σσρ ,cov
= . (5)
2.7.3 Náhodné vektory Pro náhodné veličiny , n = 1, 2, … N definujeme náhodný vektornX (random vector)
31
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
NX
XX
.
.2
1
X . (6)
Je to významný pojem, protože číslicový signál délky N, který je prakticky vždy předmětem čísového zpracování signálu, je většinou náhodným vektorem, případně, náhodný vektor je náhodnou složkou číslicového signálu délky N. Distribuční funkce
( ))(..............)()( 11 NN xXxXPF <∧∧<=xX . (7) Hustota pravděpodobnosti (joint probability density function)
N
N
xxxFf
∂∂∂∂
=.....
)()(21
xx XX . (8)
Střední hodnota
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
NN X
XX
X
XX
EE..
.
.2
1
2
1
XX . (9)
Variační matice
[ ] [ ]T))((var XXXXX −−= E . (10) Přitom
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
NNNN
NNN
dadaaafaag
dadaaafaag
E
...),....,(),...,(
.
.
...),....,(),...,(
)(
111
1111
X
X
Xg . (11)
Je tedy
[ T1
11
111
,........,
....),...,(
.
.
....),...,(
N
NNN
NN
XX
dadaaafa
dadaaafa
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
X
X
X ] , (12)
32
a varianční matice
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
NN
N
XXX
XXXXXXXX
var..,cov......var,cov
,cov,covvar
var
1
221
1211
X . (13)
Kovarianční matice
[ ] [ ] [ ]YXXXYYXY ,cov))((,cov TT =−−= E , (14) u dvou stejných vektorů
[ ] [ ]XXX var,cov = . (15) Normální rozdělení
[ ]( )( ) [ ]( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−− − XxXXx
XxX
1T var21exp
vardet)2(1)(
Nf
π) . (16)
2.8 NÁHODNÉ PROCESY Náhodné procesy se spojitým časem, obecné označení procesu: )(),( tXtξ , hodnoty náhodného procesu: x(t) . Korelační funkce
Autokorelační funkce
[ ])()(),( 2121 tXtXEttRX = . (17) Autokovarianční funkce
[ ]))()())(()((),( 221121 tXtXtXtXEttK X −−= (18)
2.9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ PROCESY Náhodné procesy s diskrétním časem. Uspořádaná N-tice prvků signálu délky N může být nazírána jako vektor – viz rovnice (6).
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(.
)()(
2
1
NtX
tXtX
X . (19)
Korelační matice
33
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
),(..),(......),(),(
),(.),(),(
1
2212
12111
NNN
N
ttRttR
ttRttRttRttRttR
XR . (20)
Pro stacionární náhodný proces jsou významné jen časové rozdíly jiij tt −=τ Navíc platí, že )()( ττ −= RR . Při číslicovém zpracování je , takže Titi )1( −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
)0(..))1((..)(..)()0()(
))1((.)()0(
RTNRTR
TRRTRTNRTRR
XR . (21)
Kovarianční matice
Používá se častěji. Nezřídka je totožná s korelační. Někdy se také nazývá korelační v důsledku nejednotnosti terminologie.
[ ]( ) [ ]( )[ ]TT XXXXK EEE −−= .
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= .
........
.
211
222112
11122121
NNN
NN
σρσσ
σρσσρσσρσσσ
K . (22)
Platí
[ ] [ ]TXXRK XX EE−= . (23) U stacionárních náhodných procesů je
σσσ == ji
jiij −= ρρ
a
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
1...
.1.1
11
11
11
11
2
ρρρρ
ρρρρ
σ
N
N
XK . (24)
Jedná se o Toeplitzovu matici. Příklad : Vzorky stacionárního náhodného procesu s korelační funkcí
9)exp(10)( +−= ττXR . T=1, N=3. Zapište autokorelační a autokovarianční matici.
34
35,109)2exp(1068,129)1exp(10
199)0exp(10
=+−=+−
=+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1968,1235,1068,121968,1235,1068,1219
XR . (25)
,102 =σ střední hodnota je 3 nebo –3
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1368,0135,0368,01368,0135,0368,01
10XK . (26)
Konec příkladu.
2.10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ PROCESY 2.10.1 Zavedení a charakteristiky Komplexní náhodný proces je uspořádaná dvojice dvou procesů:
)()()( tjYtXtZ += . (27)
Střední hodnota [ ] [ ] [ ])()()( tYjEtXEtZE += . (28)
Korelační funkce
[ ] [ ][ ] ),(),(),(),(
)()()()()()(),(
21212121
22112*
121
ttjRttjRttRttRtjYtXtjYtXEtZtZEttR
XYYXYYXX −++==−+==
. (29)
Poznámka: Mezi není vztah ani při stacionaritě procesu. Konec poznámky. XYYX RR a Případ ttt == 21
)()()(),( 222 tYEtXEtZEttR +== . (30)
),(),( ttRttR YXXY = . (31) 2.10.2 Analytický náhodný signál
)()()( tXjtXtZ)
+= , (32) kde )(tX
) je Hilbertův obraz procesu X(t).
35
Je-li proces X(t) stacionární v širokém smyslu a má střední hodnotu rovnu nule, je i jeho Hilbertův obraz stacionární a má střední hodnotu rovnu nule. Navíc pro korelační funkci platí, při označení XY
)= :
)()( ττ YYXX RR = , (33)
a )()( ττ YXXY RR −= . (34)
Díky tomu může být autokorelační funkce analytického signálu zapsána ve tvaru:
[ ])()(2)( τττ XYXXZZ jRRR += . (35) Je-li zaveden analytický náhodný signál, může být zavedena i náhodná komplexní obálka. Pro varianci komplexního náhodného procesu (27) platí:
[ ] [ ] [ ]YXZ varvarvar += , (36) neboli:
(37) 222YX σσσ +=
Pro vyjádření signálu v základním pásmu pomocí synfázní a kvadraturní a složky I a Q používáme nejčastěji komplexní signál. Někdy je potřeba přidat k tomuto komplexnímu signálu odpovídající aditivní šum pro požadovaný odstup signál-šum, např. při simulacích rádiových systémů. Jedním z řešení je použití funkce AWGN v Matlabu. Funkce k zadanému vektoru x přidá aditivní gaussovský šum odpovídající zadanému SNR v dB. Je-li vektor signálu x komplexní, je i přidávaný šum komplexní. Příklad: Pro SNR = 10 dB můžeme použít příkazy: y = awgn(x,10); výkon x je předpokládán 0 dB (výkon = 1 W), y = awgn(x,10,sigpower); výkon x v dBW je dán hodnotou sigpower, y = awgn(x,10,’measured’); výkon x je před přidáním šumu zjištěn funkcí awgn. y je signál x s přičteným šumem. Konec příkladu. Další možnosti čtenáři ukáže help awgn. 2.10.3 Ortogonální rozklad náhodného procesu – spojitý čas Tvoří-li funkce )(tkϕ ortogonální bázi pro Tt ≤ , T je kladná konstanta, můžeme náhodný proces vyjádřit vztahem
TttctXK
kkk ≤= ∑
=1
pro)()( ϕ , (38)
kc jsou náhodné veličiny. Zvláštní případ rozkladu
Zvláštním případem ortogonálního rozkladu je rozklad, ve kterém roli náhodných koeficientů hrají vzorky:
)]([sinc)()( nTtnTXtX mn
−≈ ∑∞
−∞=
ω . (39)
36
Rozklad lze aplikovat na stacionární náhodný proces s konečným středním výkonem a se spektrální hustotou výkonu omezenou kmitočtem mω . Nekorelované jsou vzorky X(nT) v případě, že proces X(t) vznikl průchodem bílého šumu ideální dolní propustí s mezním kmitočtem mω . Obecně jsou koeficienty rozkladu korelované náhodné veličiny. Aby byly koeficienty nekorelované, nutno volit funkce
kc)(tkϕ zvláštním způsobem a to jako řešení (vlastní funkce
)(tϕ ) homogenní lineární integrální rovnice
∫−
−=2/
2/
)()()(T
T
dtRt ττϕτλϕ , 2Tt ≤ , (40)
λ je vlastní číslo. Takovýto rozklad se pak nazývá rozkladem s optimální bází, neboli rozkladem
Karhunnenovým – Loevovým (KL) [13]. Rovnice typu (40) se nazývá rovnice Fredholmova
a je obtížně řešitelná. Většinou se neřeší. Pro stacionární bílý šum je splněna pro libovolnou
bázi.
Ortogonální rozklad lze aplikovat i na komplexní náhodné procesy. 2.10.4 Ortogonální rozklad náhodného procesu – diskrétní čas Nechť X je vektor náhodných pozorování s nulovou střední hodnotou a s korelační maticí R. X má rozměr Mx1. Nechť jsou vlastní vektory matice R. Vektor X může být vyjádřen takto:
Mqqq ..,,...., 21
∑=
=M
iiic
1
qX . (41)
Koeficienty rozvoje mají nulovou střední hodnotu a jsou nekorelované. Jsou dány skalárním součinem
Xq Hiic = , Mi ,....,2,1= . (42)
Vlastní vektory tvoří ortonormální množinu za předpokladu, že jsou normalizovány.
Mqqq ..,,...., 21
MicE i ...,2,1pro0][ == (43)
⎩⎨⎧
≠=
=jiji
ccE iji 0][ * λ
(44)
Každý koeficient má střední kvadratickou hodnotu rovnu odpovídající vlastní hodnotě. Vlastní vektory můžeme chápat jako bázi M-rozměrného prostoru. Reprezentují náhodný vektor X množinou jejich projekcí na tyto souřadnice, osy.
ic
Mqqq ..,,...., 21
Mccc ....,,, 21
Platí:
∑=
=M
iic
1
2 X , (45)
kde X je Eukleidovská norma X.
37
iicE λ=][ 2 Mi ,....,2,1= . (46)
karhu2.m Po spuštění m-file karhu2.m a první prohlídce výsledků se doporučují následující kroky: 1. Podívat se na autokorelační funkci (Fig. 7) 2. Změnit amplitudu harmonické složky signálu směrem k 1 a směrem k nule a přitom sledovat vlastní čísla, průběhy vlastních vektorů a autokorelační funkci. 3. Změnit velikost M matice . 4. Zkusit vynulovat malé prvky obrazu před rekonstrukcí.
2.11 CYKLOSTACIONÁRNÍ PROCESY U náhodných procesů se nejčastěji předpokládá, že jsou stacionární. V praxi předpoklad mnohdy není splněn. Obecný nestacionární popis je dosti komplikovaný a těžkopádný, takže jsme rádi, když můžeme předpokládat alespoň určitý druh nestacionarity. Na tom je postavena teorie cyklostacionárních signálů, signálů, které se ve sdělovací technice často vyskytují. Nechť X(n) je diskrétní náhodný proces (případně i komplexní). Jeho střední hodnotu označíme a(n) a jeho kovarianci c(n; m) . Zde m má význam zpoždění. DEFINICE 1 Proces se nazývá cyklostacionární (CS) v širokém slova smyslu, jestliže existuje celé číslo P takové, že : a(n) = a(n + iP) a c(n; m) = c(n + iP; m). Nejmenší taková možná hodota P se nazývá perioda.
Z∈∀ in,
Periodicita umožňuje na kovarianci aplikovat Fourierovský rozvoj (je to v podstatě DFŘ):
∑−
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
0
)2exp();(1;2 P
n
knP
jmncP
mkP
C ππ , (47)
∑−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
0
)2exp(;2);(P
k
knP
jmkP
Cmnc ππ . (48)
Při vzorkování harmonické složky signálu většinou není potřebný vztah mezi jejím kmitočtem a vzorkovacím kmitočtem, takže vzniklý proces není cyklostacionární. Proto se zavádí další volnější pojem. DEFINICE 2 Proces se nazývá skoro cyklostacionární (ACS, almost cyklostacionary) v širokém slova smyslu, jestliže a(n) a c(n; m) jsou skoro periodické. Pro X(n) reálné a s nulovou střední hodotou je časově proměnná a cyklická korelace definována zobecněnou Fourierovu transformací:
( ) ∑−
=∞→
−=1
0
)exp();(1lim;N
nkNk njmnc
NmC αα (49)
( )∑∈
=A
kkk
njmCmncα
αα )exp(;);( (50)
38
Počet cyklů παπαα ≤<−≠= kkk mCA ,0);(: je spočetný a předpokládá se, že limita existuje přinejmenším ve středně kvadratickém smyslu. Příklad: Harmonický signál s multiplikativním šumem u(n) a aditivním šumem v(n).
)(cos)()( c nvtnunx += ω (51)
kde a jsou reálné, stacionární a vzájemně nezávislé diskrétní náhodné procesy. Takový signál se objevuje například v kanálu s plochým únikem. Konec příkladu.
)(nu )(nv
2.12 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY 2.12.1 Pseudonáhodné signály pro simulace Počítačová simulace náhodných jevů a procesů je oblíbeným a často i jediným možným nástrojem pro řešení některých úloh. Vytvořit kvalitní generátor náhodné posloupnosti však není snadné. V dávných dobách se dokonce používaly generátory s radioaktivními prvky, později se využívaly šumové diody. Čísla jimi poskytovaná byla opravdu náhodná, u generátorů se ale mohlo projevovat stárnutí. Levnější se ukázala náhrada náhodných posloupností posloupnostmi pseudonáhodnými. Byla navržena spousta algoritmů pro jejich vytváření. V současné době se používají tzv. kongruentní generátory. Aby se omezila závislost na typu počítače, ustálilo se používání celočíselných generátorů. Generované posloupnosti jsou periodické s velmi dlouhou periodou. Pro zjišťování jejich kvality existuje celá řada testů. Ve sdělovací technice široce používáme simulace náhodných kanálů, datových signálů a šumů. V Matlabu jsou pro daný účel k disposici příkazy rand, randn a awgn. 2.12.2 Pseudonáhodné rozprostírací posloupnosti
Náhodné rozprostírací posloupnosti mají ideální autokorelační vlastnosti a méně příznivé vlastnosti vzájemné korelační funkce. Generování čistě náhodných posloupností není praktické, navíc není možné generovat repliku náhodné posloupnosti v místě příjmu. Proto používáme posloupnosti pseudonáhodné. Pro označení generátoru pseudonáhodné binární posloupnosti se používá zkratka PRBS (Pseudorandom Bit Generator)
Nejznámější diskrétní pseudonáhodné náhodné (PN) posloupnosti určené pro rozprostírání můžeme rozdělit do tří skupin: • m - sekvence • Goldovy sekvence • Sekvence Kasami m - sequence Pro vytváření se používají m-stupňové posuvné registry se zpětnými vazbami nastavenými tak, aby byla generována posloupnost maximální délky. Označují se často zkratkou LFSR (Linear Feedback Shift Register). Nejsou vhodné pro kryptografické účely, protože jimi
39
generované posloupnosti jsou dokonale předpověditelné na základě pozorovaní sekvence 2m po sobě jdoucích bitů. Generovaná sekvence je periodická s periodou . 12 −= mp
Tabulka 2. Počty m sekvencí. Délka registu Perioda Počet různých sekvencí 2 3 1 3 7 2 4 15 2 5 31 6 6 63 6 7 127 18 8 255 16 9 511 48 10 1023 60
Každá perioda obsahuje p2
1 jedniček a 121 −p nul. Autokorelační funkce je blízká ideální.
Nestejný počet nul a jedniček vede k tomu, že se často na konec periody přidává nula. Tím se ovšem autokorelční vlastnosti poněkud zhorší. Někdy, a to dost často, musíme brát v úvahu a sledovat autokorelační vlastnosti úseku kratších, než je perioda.
Obr. 9. Jednoduchý generátor m-sekvence.
0 5 10 15 20 25 30
-1
0
1
t
m-s
eque
nce
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5
0
0.5
1
Ra
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5
0
0.5
1
Rc
tau
Obr. 10. m-sekvence, její autorkorelační funkce a vzájemná korelační funkce s jinou m-sekvencí. Mseq2.m
40
O uplatnění ortogonálních posloupností ve funkci rozprostíracích posloupností je podrobněji pojednáno v elektronickém textu [20], kapitola 6. Rozprostírací posloupnosti.
LITERATURA [1] L. E. Franks, Signal theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, Inc., 1969.
[2]
N. Kalouptidis, Signal Processing Systems. Theory and Design. New York: John Wiley & Sons, INC., 1997.
[3]
S. K. Mitra, Digital Signal Processing. A Comuter-Based Approach. New York: McGraw-Hill, 1998.
[4]
T.K. Moon and W. C. Stirling, Mathematical Methods and Algorithms for Signal Processing. Upper Sadle River: Prentice Hall, 1999.
[5] V. Šebesta a Z. Smékal, Signály a soustavy. Brno: VUT 2003.
[6] S. MacLane, S. and G. Birkhoff, Algebra. Bratislava 1972.
[7] K. Rektorys, Přehled užité matematiky. 2. vydání. Praha: SNTL, 1968.
[8] J. Adámek, Kódování. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1989.
[9]
A. Pultr. Podprostory Eukleidovských prostorů. Matematický seminář. Praha: SNTL, 1986.
[10] J. Matušů, Ortogonální systémy. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1985.
[11]
Z. Horský, Vektorové prostory. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1980.
[12] J. Škrášek a Z. Tichý, Základy aplikované matematiky I. Praha, SNTL 1989.
[13]
J. Hlávka, J. Klátil a S. Kubík, Komplexní proměnná v elektrotechnice. Praha, SNTL 1990.
[14]
G. A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York, McGraw Hill 1968.
[15]
R. D. Hippenstiel, Detection Theory. Applicaions and Digital Signal Processing. CRC Press, 2002. ISBN: 0849304342
[16]
A. C. den Brinker and H. J. W. Belt, „Optimal Free Parameterst in Orthonormal Approximations, “ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 46, pp. 2081-2087, August 1998.
[17]
E. Brookner, „Equivalence Between Voltage-Processing Methods and Discrete Orthogonal Polynomial (DOLP) Approach, “ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47, pp. 2273-, August 1999.
[18] A. Kufner, Geometrie Hilbertova prostoru. Praha: SNTL, 1973.
[19] Ch. Boukis, et al., „A Novel Algorithm for the Adaptation of the Pole of Laguere Filters, “ IEEE Signal Processing Letters, vol. 13, pp. 429432, July 2006.
41
[20] Šebesta V. Vybrané statni z teorie signálu. Brno 2004. Webové stránky Laboratoře pro zpracování signálu, UREL FEKT, http://www.urel.feec.vutbr.cz//SPL2/index.html
[21] D. Lee, H. Lee and L. B. Milstein, “Direct Sequence Spread Spectrum Walsh-QPSK Modulation,” IEEE Trans. Commun., vol. 46, pp. 1227-1232, Sept. 1998.
[22] M. K. Tsatsanis and G. B. Giannakis, „Transmitter Induced Cyclostationarity for Blind Channel Equalization,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, pp. 1785-, July 1997.
[23] M. T. Terrovitis, K. S. Kundert and R. G. Meyer, „Cyclostationary Noise in Radio-Frequency Communication Systems,“ IEEE Trans. CaS I, vol 49, pp. 1666-1671, Nov. 2002.
[24] L. Izzo and A. Napolitano, „Linear Time-Variant Transformations of Generalized Almost-Cyclostationary Sognals – Part I: Theory and Method,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, pp. 2947-2961, Dec. 2002.
[25] L. Izzo and A. Napolitano, „Linear Time-Variant Transformations of Generalized Almost-Cyclostationary Sognals – Part II: Development and Applications,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, pp. 2962-, Dec. 2002.
[26] G. De Nicolao and G. Ferrari-Trecate, „On the Wold Decomposition of Discrete Cyclostationary Precesses. IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47, pp. 2041-2043, July 1999.
[27] F. Gini and G. B. Giannakis, „Frequency Offser and Symbol Timing Recovery in Flat-Fading Channels: A Cyclostationary Approach,“ IEEE Trans. Commun. vol. 46, pp. 400-, March 1998.
[28] A. V. Dandawaté and G. B. Giannakis, ”Statistical Tests for Presence of Cyclostationarity,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 42, pp. 2355-, Sept. 1994.
[29] L. Izzo and A. Napolitano, „The Higher Order Theory of Generalized Almost-Cyclostationary Time Series,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 46, pp. 2975-, Nov. 1998.
[30] Z. Hrdina, Statistická radiotechnika. Praha: ČVUT, 1996. [31] V. K. Madisetti and D. B. Williams, The Digital Signal Processing Handbook, Boca
Raton, CRC PRESS 1998. [32] B. Porat, Digital Processing of Random Signals. Theory and Methods. Englewood
Cliffs: Prentice-Hall, Inc., 1993. [33] K. Fukunaga, Introduction to Statistical Patern Recognition. Aan Diego: Margan
Kaufmann, 1990. [34] J. Navarro-Mesa, A. Moreno-Bilbao and E. Lleida-Solano, „An Improved Speech
Endpoint Detection System in Noisy Enviroments by means of Third-Order Spectra,“ IEEE Signal Processing Letters, vol. 6, pp. 224-226, Sept. 1999.
[35] M. Coulon, J-Y. Tourneret and A. Swami, „Detection of Multiplicative Noise in Stationary Random Processes Using Second- and Higher Order Statistics,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 48, pp. 2566-, Sept. 2000.
[36] L. M. Garth and H. V. Poor, „Detection of Non-Gaussian Signals: A Paradigm for Modern Statistical Signal Processing,“ Proceedings of the IEEE, vol 82, pp. 1061-1095, July 1994.
[37] D. Yellin and E. Weinstein, „Multichannel Signal Separation: Methods and Analysis,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 44, pp. 106-118, Jan. 1996.
[38] W. H. Tranter, et al., Principles of Communication Systems Simulation with Wireless Applications. Upper Sadle River: Prentice Hall, 2004.
[39] R. F. Brcich, D. R. Iskander and A. M. Zoubir, “The Stability Test for Symetric
42
Alpha-Stable Distributions,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 53, pp. 977-986, March 2005.
[40] I. Kaj, Stochastic Modeling in Broadband Communications Systems. 2002. ISBN 0-89871-519-9. Siam, Dept. BKFB02, 3600 University City Science Center, Philadelphia, PA 19104-2688.
[41] M. Ghavami, L. B. Michael and R. Kohno, Ultra Wideband Signals and Systems in Communication Engineering. Southern Gate: John Wiley & Sons, Ltd., 2004.
[42] I. Oppermann and B. S. Vucetic, “Complex Spreading Sequences with a Wide Range of Correlation Properties,” IEEE Trans. Commun., vol. 45, pp. 365-375, March 1997.
[43] T. Addabbo, et al., “Low-Hardware Complexity PRBG Based on a Piecewise-Linear Chaotic Map,” IEEE Trans.on Circuits and Systems - II, vol. 53, pp. 329-333, May 2006.
43
