2º de Ciencias I.E.S. Teobaldo Powerteobaldopower.org/matematicas/cuadernillos/Cuadernillo b2c 18-19.pdf · 2º de Ciencias Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 6 1.-

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2º de Ciencias

Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power

1

1.- Calcular los siguientes límites:

1

25lim)3

5lim)7

35lim)6

127lim)2

2

4

4

4

3

�

��

��

��

fofofofo x

xdx

xxcxx

xbx

xxaxxxx

2.- Calcular los límites:

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§�

��

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§ ��¸̧

¹

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§ ��

�¸̧¹

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§ ��

fofofofox

xxxd

xxxc

xxx

xxb

xxxa

xxxx 63lim)12lim)3lim)12lim)

2

3

4

2

322

¿Es lo

mismo calcular estos límites si rfox ? 3.- Calcular los límites:

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©§ ��¸

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©§ ��¸̧

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¹

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§

��

fofofofo3lim)3lim)1·

5lim)

25·1lim) 22

3

4

2

xxdxxcxx

xbxx

xaxxxx

4.- Calcular los límites:

� ��

2

2

32

1

2

2

2

2

2

35

22

2

223

2

113lim)12913lim)2lim)

4214lim)

52lim)

1111lim)

313lim)

57lim)

75lim)

11lim)

731lim)1lim)

42lim)11lim)

3621lim)lim)

2�

fofo

�

fofo

fofo

�

fofo

fofo

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foo

rofoofo

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x

xx

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xax

xxxx

xxoxxxñ

xxxxn

xxxm

xxl

xxxxk

xxji

hxx

xgx

fax

axaxe

xxdxxc

xxbxxxa

5.- Dadas las siguientes funciones representarlas gráficamente y calcular los límites en los puntos que se indican:

1,2,02)()0,3,3315

33431

)()

7,00104)()3,0

0101)()

2

2

22

� �� °¯

°®

�

t��

�d�

¯®

� t��

¯®

!�d�

xxxenxxxtdxxxenxsix

xsixsix

xrc

xxenxsixxsixxgbxxen

xsixxsixxfa

2º de Ciencias


2

Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de una función f en un punto x= a representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto � �)(, afaA .La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto � �)(, afaA es: )·()(')( axafafy � �

Cálculo de derivadas

Suma gfy � ''' gfy �

Producto gfy · '·'·' gfgfy �

Cociente gfy 2

'·'·'g

gfgfy �

Potencia nxy 1·' � nxny nfy '··' 1 ffny n�

Raíz cuadrada

xy x

y2

1'

fy ffy

2''

Logaritmo neperiano

xy ln x

y 1'

fy ln ffy ''

Exponencial xx ayey , aayey xx ·ln',' ff ayey , aafyefy xf ·ln'·','·'

Seno xseny xy cos' fseny ffy '·cos'

Coseno xy cos senxy � ' fy cos xsenfy '·' �

Tangente

xtgy xtgx

y 22 1

cos1' �

ftgy ')·1(cos

'' 22 fftg

ffy �

Arco seno xsenarcy 21

1'x

y�

Arco coseno xarcy cos 21

1'x

y�

�

Arco tangente xtgarcy 21

1'x

y�

Nota: En las funciones potencial-exponencial recordar que primero se aplica logaritmo neperiano

y después se deriva.

2º de Ciencias


3

Derivar las funciones siguientes:

� � � � � ��

� �

� ��

� �

� �

� � � �22

2

2

2ln

332

3

25233

232

2

2

3332

322232

.301

2.291.28

21.27

1

1ln.26.25

.24.231.22

.21ln.201

ln.19

23.18.171.16

2.15ln.14

11ln.13

.122141.1113.10

51.91ln.8

cos1.7

11ln.6

1ln.5.4

1.34

1.241.1

xsenarcyxxtgarcyxtgarcy

xsenarcyxx

xxyxy

xsenyxyeseny

xyxseneye

ey

eeyeyxey

xsenarcyxyxsenxsen

y

xba

xba

xyxxyx

xxy

xxyxxyx

xseny

xxy

xxx

yxxxy

xyx

xyxxy

x

xxsenx

xxx

x

xxxsenx

�

�

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��

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��

�

��

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� ��

�

Y para entretenerse:

22

2

41

2

22

2222

222

122

2121ln)

21

11ln)

2ln

21

2cos)

42ln24)ln)

22)

24ln

21

cos2)

xxtgarc

xxxxyg

xtgarcxxyfxtg

xsenxye

xxxyd

xxaaaxayc

xtgbabatgarc

baybxtg

xsenxya

��

��

��

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��

��

��

��

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��

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¨©§ �� S

2º de Ciencias


4

RECUERDA: Continuidad de funciones:

1. Las funciones polinómicas son continuas en R. 2. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan al denominador 3. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no existen en los valores que hacen al

radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en R 4. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión de la que

queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. 5. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es f(x)= tg x, ya que no

existe en

Derivabilidad de funciones: Para calcular extremos absolutos en un intervalo [a,b]:

1. Si la función es continua y derivable, se estudiará en los puntos de abscisas que anulen a la derivada y en los extremos f(a) y f(b).

2. Si la función no es derivable en algún punto del intervalo, se deberá estudiar también. 3. Y si no es continua en algún punto, se deberá estudiar en las cercanías de dicho punto.

2º de Ciencias


5

1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones y estudiar su continuidad:

� � xsenydxxycx

eybxxya

x

� �

��

5)ln)

)1313)

2

2.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:� � 1

55)1

) 22

3

��

�

xxyb

xxya

3.- La función ¯®

t��

3432)(

23

xsixxsiaxxxf es continua en R. Hallar el valor de a.

4.- Esbozar la gráfica de una función que sea continua en R, salvo en x=1, donde tiene una discontinuidad. Estudiar todas las posibilidades.

5.- Se sabe que la función > @ Rf

o5,0 dada por: ¯®

d��dd�

52120)(

2

xsixbxsiaxxxf es continua en el intervalo

[0,5] y además verifica que f(0)=f(5). Hallar a y b y dibujar la gráfica.

6.- Calcular a y b para que

°°¯

°°®

!

d��d�

12

10201

)( 2

xsix

bxsiax

xsiexf

x

sea continua en x=0 y en x=1.

7.- Dada °¯

°®

t��

�d

2161121

10)( 3

xsixxsibxax

xsixf , hallar a y b para que sea continua en R. Gráfica de f.

8.- Dada la función xxxf )( , determinar su dominio, dibujar su gráfica y razonar si se puede asignar un

valor a f(0) para que la función sea continua en todo R. 9.- Sea la función xxf 749)( � . Estudiar su continuidad. Hallar su conjunto imagen en el intervalo > @14,0 10.- El consumo de potencia eléctrica de una fábrica durante un día está representado por la función (x en

horas):°¯

°®

dd��d��d

2421944.3161

216245006080

)( 2

xsixxsixxxsi

xf

Representar la gráfica y hallar el consumo máximo en ese día, así como la hora en la que se alcanza. 11.- Un cierto día, la fuerza de las olas, medidas en newtons, en función del tiempo t (en horas) es

ttF 50400)( � . Si la fuerza es menor que 50 newtons, no se puede practicar surfing, porque la mar está demasiado en calma. Si es superior a 200 newtons, las normas de seguridad impiden practicarlo. Con estos datos, si t varía desde las 0 a las 24 horas de ese día, ¿en qué horario puede practicarse surfing?

2º de Ciencias


6

1.- Hallar a y b para que la función: °¯

°®

t��d��

��

02301

12)(

2 xsixxsibax

xsiaxxf sea continua. Para esos valores de a y b

estudiar la derivabilidad de f. 2.- ¿Es derivable en el punto x = 1 la función 1)( �� xxxf ? Justificar la respuesta. 3.- Determinar de manera razonada todas las funciones f que son polinómicas de tercer grado y verifican que f’(-1)=f’(1)=0. ¿Puede existir alguna de las funciones determinadas anteriormente que verifique que f(0)=f(1)=0? 4.- Determinar los coeficientes a y b de la parábola cbxaxy �� 2 , sabiendo que la recta tangente en el punto en que x = 1 es la recta y = -2x. 5.- Hallar la tangente a la elipse 422 � yx en el punto en donde corta a la bisectriz del primer cuadrante. 6.- Determinar los valores del parámetro b, para que las tangentes a la curva de la función

93)( 232 �� xbxxbxf en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

7.- Dada la función: °̄

°®

!

d� 12

13)(

2

xsiax

xsiaxxf ;a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para

qué valores de a es derivable? 8.- Hallar los valores de a y b para que la función 1)( 23 �� xbxaxxf tenga un máximo en el punto x = 1 y un mínimo en x = 2. 9.- hallar dos números positivos cuya suma sea 20 y su producto sea máximo. 10.- Estudiar el crecimiento de � � xexxxf �� 223)( . Obtener los máximos y mínimos relativos. 11.- Hallar el valor de x que hace máxima la función � �1ln 2 �� xxy . ¿Cuál es el dominio de dicha función? 12.- Un depósito abierto de latón, con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? (suponer que el depósito tiene forma de prisma y después de cilindro) 13.-Encontrar de entre todas las rectas que pasan por el punto (1,2) aquella que forma con las partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.

2º de Ciencias


7

14.- Una página rectangular ha de contener 2300 cm de letra impresa. Los márgenes superior e inferior de la página tienen cada uno una anchura de 2’5 cm. Los márgenes laterales tienen 2 cm. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel a emplear sea mínima? 15.- Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de la función 462)( 23 �� xxxf en su punto de inflexión. 16.- Sea 7)( 23 �� bxaxxxf . Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f tenga para x = 1 una inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45o con el eje OX. 17.- Obtener los máximos, mínimos y puntos de inflexión de 22)( 23 �� xxxxf . 18.- Estudiar el crecimiento de xexxf �� )1()( . Determinar los máximos, mínimos y los puntos de inflexión. 19.- La curva cbxaxxy �� 23 corta el eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en ¸

¹·

¨©§

91,

32 .

Hallar a, b y c. 20.- ¿Existe alguna función dcxbxaxxf �� 23)( que tenga un mínimo relativo en (0,0), un máximo relativo en (2,2) y un punto de inflexión en (3,3)?

21.- Consideremos la función 1

)(2

�

xxxf . Se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. b) Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. c) Asíntotas.

22.- Dada la función � �2

3

1)(

�

xxxf

a) Calcular las asíntotas de la función. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Calcular los máximos y mínimos de la función. d) Calcular los puntos de inflexión y la tangente a la curva en estos puntos. e) Dibujar la gráfica de la función con todos los datos obtenidos.

23.- Hallar el dominio de definición, los límites cuando �fox y cuando �fox , los ceros, las asíntotas

y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 18

)( 2

2

��

x

xxxf . Dibujar un esquema sencillo

de su gráfica.

24.- Representar gráficamente la curva 1

232

2

��

x

xxy

25.- Calcular el punto en que la curva � �2

3

1�

xxy y su asíntota oblicua se cortan.

26.- Dada la función � �21

2)(�

x

xxf , calcular:

a) Dominio y asíntotas horizontales y verticales. b) Máximos y mínimos.

27.- Calcular los puntos de corte con los ejes de coordenadas y las asíntotas de la función

21ln)(

��

xxxf .

2º de Ciencias


8

28.- Dada la función 222)( �� xxf , estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x) en el punto x = 1. 29.- Hallar los valores de a y b para que la función

¯®

!��d

00

)( 2 xsibaxxxsisenx

xf sea continua y

derivable.

30.- Calcular los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función ¯®

!d�

1ln1)(

2

xsixxsicaxxf

sea derivable. 31.- Hallar los valores de a y b para los que la recta tangente a la curva baxxy �� 2 en el punto P(3,0) tenga de pendiente 2.

32.- Se considera la función

°°

¯

°°

®

!��

d��d

22

322

200

)(

2

xsixxsibax

xsixxf . Calcular los valores de a y b para que sea

continua en R. ¿En qué puntos es derivable esta función? 33.- ¿En qué puntos las rectas tangentes a la curva 433 �� xxy tienen la menor pendiente? 34.- Se considera la función

xxxf�

1

)( . Estudiar su derivabilidad. Calcular f’’(x).

35.- Dada la función ¯®

!��d�

axsiaaxaxsixxf

1221)(

2, se pide:

a) Estudiar para qué valores de a es continua. b) En caso de ser continua dibujar su gráfica. c) ¿Es derivable en a en algún caso?

36.- Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de ortoedro sabiendo que el volumen ha de ser 9 m3, su altura 1 m y el coste de construcción por m2 es de 30 € para la base, 35 € para la tapa y 20 € para las paredes laterales. 37.- Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes tales que sea mínima la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas. 38.- Un segmento de longitud 5 cm apoya sus extremos en los semiejes positivos OX y OY, de manera que forma un triángulo rectángulo. Hallar las dimensiones del triángulo de área máxima así construido. 39.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y absolutos de la función 22)( 2 �� xxxf en el intervalo

»¼º

«¬ª�

23,

21 .

40.- Hallar el valor de k que hace que la función kx

exfx

� 2)( tenga un extremo relativo único. ¿Se trata

de un máximo o un mínimo?

2º de Ciencias


9

1.- Calcular qué punto de la parábola 221 xy � está más cerca del punto P(2,0). 2.- Averiguar qué punto P(x,0), del semieje positivo de abscisas hace mínima la suma de distancias a A(0,3), B(1,4). ¿Y si no se especifica el punto del eje? 3.- Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo que se ha desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos de 32 y 40 cm, respectivamente. Hallar las dimensiones del espejo rectangular de área máxima que se puede obtener recortando el espejo roto. 4.- Se consideran todos los rectángulos que tienen un lado sobre el semieje positivo de abscisas, otro sobre el semieje positivo de ordenadas y u vértice sobre la gráfica de la función xey 2� . Calcular el área del que la tenga máxima. ¿Hay algún rectángulo de área mínima? Razonar la respuesta. 5.- Determinar el punto de la recta x + 2y + 5 = 0 cuya distancia al punto P(3,1) es mínima. 6.- Determinar el punto P de la curva xxy 33 �� en el que la recta tangente tiene pendiente máxima. 7.- Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un triángulo isósceles cuya altura es el triple que la base. 8.- Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6’6 m, hallar sus dimensiones para que su superficie sea máxima. 9.- Una piedra preciosa pesa 12 g. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 1.440 €, calcular, cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el peso de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máxima. 10.- Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura correspondiente al lado desigual y engendra un cono. Hallar los lados para que el cono tenga volumen máximo. 11.- Calcula dos números positivos de modo que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno deellos menos el inverso del otro sea máxima. 12.- Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar obreros y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “x” máquinas y contrata “y” obreros, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función:

2··90),( yxyxf . Cada máquina le supone una inversión de 2.500 € y cada contrato de un nuevo obrero le cuesta 1.500 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 22.500 € para este fin, determina el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.

2º de Ciencias


10

13.- Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? 14.- Queremos vallar un terreno de forma rectangular que tenga una superficie de 400 metros cuadrados. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Qué Dimensiones debemos dar a dicho terreno para que el coste de la valla utilizada sea mínimo? 14.- Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 metros cuadrados y uno de Sus lados, a lo largo del río, requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Quédimensiones darán el coste más bajo? 15.- Un aparejador sabe que el rendimiento de los operarios de una constructora, a medida que avanza la jornada laboral, viene dado por 32·5,1030)( tttR �� , siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral (0 < t < 8). Determina cuándo se producen los rendimientos máximo y mínimo. 16.- Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de “lubina” en una planta de cultivo de peces es 204,02000)( qqql � , y los costes de alimentación vienen dados por la función

2001,01001000000)( qqqC �� , donde q=nº unidades de lubina. Halla: a) La función beneficio. b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo?

Para pensar: ¿A qué distancia debe ubicarse un observador cuyos ojos están situados a una altura de 1’80 m para divisar, bajo un ángulo máximo, una estatua de 3 m de altura, colocada sobre un pedestal de 2 m?

2º de Ciencias


11

Regla de L’Hôpital: Sean dos funciones f y g, derivables en E(a) (Entorno de a), salvo, quizás en x=a, Si

0)(lim,0)(lim oo

xgxfaxax

, y existe )(')('lim

xgxf

axo, entonces:

)(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax oo

Si al aplicar la regla de L’Hôpital se produce una segunda indeterminación, puede aplicarse otra vez dicha regla.

Interpretación geométrica: Si existe

)(')('lim

xgxf

axo, significa que las pendientes de las rectas tangentes de las dos funciones

tienden a estabilizarse, por lo tanto el cociente de las ordenadas de las gráficas también tiende a estabilizarse en el mismo valor.

Aplicaciones de la regla de L’Hôpital en otras indeterminaciones:Podemos transformas distintas indeterminaciones en

indeterminaciones de la forma 00

x Indeterminación ff

o )(

)(limxgxf

ax: En este caso

)(1

)(1

lim)()(lim

xf

xgxgxf

axax oo

x Indeterminación f o

·0)()·(lim xgxfax

: En este caso si f oo

)(lim,0)(lim xgxfaxax

,

entonces:

)(1

)(lim)()·(lim

xg

xfxgxfaxax oo

x Indeterminaciones de la forma ff 1,0, 00 , se reducen a las formas anteriores aplicando primero logaritmos neperianos.

Infinitésimos: Una función f definida en un entorno de a, esun infinitésimo en a si se verifica que:

0)(lim o

xfax

x Si f y g son infinitésimos en a diremos que f es de orden superior a g si: 0)()(lim

o xgxf

ax. En

este caso se escribe )(0 gf .

x Si f y g son infinitésimos en a diremos que f es equivalente a g si: 1)()(lim

o xgxf

ax. En este

caso se escribe gf ~ . x Si en un límite aparece un infinitésimo como factor, éste puede sustituirse por otro

equivalente. No es cierto que un infinitésimo pueda sustituirse por un equivalente en una suma o en una diferencia.

2º de Ciencias


12

Tabla de infinitésimos equivalentes:

0ox � ��

� ��

� �

� �

nxx

axax

axaxaxeaxaxtgarcaxaxsenarcaxaxtgaxaxsen

n

ax

o��

o�

o�o�oooo

11

2cos1

1ln1

2

1ox

� � 111ln

�o��o

xxsenxx

Ejemplos:

� ��

� �

� � 21

121lim

22lnlim1~ln

00

22lnlim

2

2

·limcos1·lim

2~cos1

~~

00

cos1·lim

1lim1

1lnlim~1

~1ln

00

11lnlim

55lim5lim5~5005lim

111

2002

0

000

000

� ��

�

��

�

�

°°°

¯

°°°

®

�

�

� �

��

¯®

�

�

��

ooo

ooo

ooo

ooo

xx

xxxx

xx

xxx

xxtgxsen

xx

xxtgxxsen

xxtgxsen

xx

ex

xe

xx

ex

xx

xxsenxxsen

xxsen

xxx

xxx

xxxx

xx

xxx

2º de Ciencias


13

1.- Resolver los siguientes límites:

� �

� � � �»»¼

º

««¬

ª

��

��

��

��

��

��

��

��

��

oo

oo

ofo

�oo

11:

11lim)

33lim)

1lim)lim)

11lim)

11lim)

13312lim)

14965lim)

3

3

2

2

13223

3223

22

2

33

66

7

5

17

5

23

2

12

2

2

xx

xxh

axaaxxaxaaxxg

axaxaxf

axaxe

xxd

xxc

xxxxxb

xxxxa

xax

axax

xx

xx

2.- Resolver los límites:

22233lim)3242lim)

2132lim)

3234lim)

1111lim)12913lim)

41639lim)

321lim)

11lim)

3

22

3

2

01

2

030

��

�¸¹·¨

©§ ��

��

��

��

��

��¸¹·¨

©§ ��

��

��

��

ofoo

oofo

ooo

xxixxxh

xxxg

xxxf

xxxxexxxd

xxc

xxb

xxa

xxx

xxx

xxx

3.- Resolver:

2

2

2

232

2

2312

2lim)12

1lim)112lim)

52lim)

11lim)

11lim)

2

�

fofofo

fo

��

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��

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xxf

xxe

xxd

xxc

xxb

xxa

4.- Hallar el valor de k para que se verifiquen las igualdades correspondientes:

32

2

8

122lim)

21lim)37lim)

ex

kxc

xkxxb

exxa

px

x

x

kx

x

¸¹·

¨©§

��

¸¹·¨

©§ ��

¸¹·

¨©§

��

�

fo

fo

fo

5.- Poner ejemplos de una función que tenga: a) Una discontinuidad evitable en x = 2. b) Una discontinuidad esencial en x = -2. c) Una discontinuidad de salto finito en x = 1. d) Una discontinuidad evitable en x = 2, una discontinuidad esencial en x = -2.

2º de Ciencias


14

1.- Calcular, aplicando la regla de L’Hôpital, los límites:

� � � �

� �

� ��

� �

� � � �

� � xx

xsen

x

x

x

xtg

xxx

xx

xx

xxx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xx

x

xxx

axx

xxsenf

xtgxxx

xxe

eectgxxd

xsenx

xxxx

eec

xsenxx

senxexe

xeeb

xtgx

xx

xxxxxa

1·lim21

1limlim)

lim1·lnlnlim1·lnlim)

22lim·cos1lim15lim)

1lim

cos11lnlim

1lnlim)

cos1lim

1coslim2lim)

321lnlim1lnlim

236116lim)

0

1

00

01

0

1

2

2

003

2

2

0020

002

23

2

�¸¸¹

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§

��

�¸¹·

¨©§ �

��

�¸¸¹

·¨¨©

§�

��

�

��

��

��

ooo

oofo

foo�fo

oo�fo

oo

�

o

ooo

��

2.- Resolver los límites:

� �

� �

� �xxxxx

xxxe

xxx

xxx

xxx

xd

xxxxxsen

xxc

xxexxsenxxarxsenxb

xee

axaxaxxarctgxa

xxx

xxx

x

x

tgx

x

x

x

xxxx

senxx

xaxx

·lnlim4111lim··lim)

1·lnlimlim11ln1lim)

1lnlimlim

11lim)

11

11lim

11

11lim

coslim)

lim1lim·ln2

lim)

006

532

2

00

12

1

0

21110

3033

2

�oofo

ofoo

ooo

o�oo

oo�fo

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��

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��

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��

�

��

��¸¹·

¨©§ �

S

S

Y una bobería: x Si 21lim 2 ¸

¹·¨

©§ ��

foxaxx

x, ¿cuánto vale a?

x ¿Cómo se calcula � � ¸¹·¨

©§ ��

foxx

a

x1lim 2 ?

2º de Ciencias


15

RECUERDA: Para representar gráficamente una funcióny = f(x) hay que calcular: 1º Dominio de f.

2º Puntos de corte con los ejes de coordenadas:¯®

0:0:

xOYyOX

3º Regiones:¯®

�!

OXdedebajoPorxfOXdeencimaPorxf

0)(0)(

4º Asíntotas:

� �°°°°°

¯

°°°°°

®

°¯

°®

�

�

f

fo

fo

o

fo

mxxfnxxfm

sinmxyOblicuas

xfsiaxVerticalesbxfsibyesHorizontal

x

x

ax

x

)(lim

)(lim:

)(lim:)(lim:

5º Cálculo de la primera derivada:°¯

°®

! �

crecienteFunciónyextremoposibley

edecrecientFuncióny

0'0'0'

6º Cálculo de la segunda derivada:

°°°

¯

°°°

®

z ¯®

�!

¯®

!�

o

..0''',0''0''0''

0''0''

0'

IPyyCóncavayConvexay

myMy

y

7º Simetrías respecto a:¯®

� � �

)()()()(xfxfsiO

xfxfsiOY

8º Periodicidad: Una función es periódicacon período P si verifica que:� � )(xfPxf �

2º de Ciencias


16

AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO 1. a) Derivar las siguientes funciones, dando los resultados simplificados al máximo:

� � xx

xx

eeeexg

xsenxxarcsenxf 22

2222 ln)(14)(

�

�

��

¸¹·

¨©§�

b) Calcular los siguientes límites: b1)

; b2)

2. Se considera la función definida por:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad, en función de los parámetros a y b

b) Para los valores de los parámetros, en donde la función sea derivable en R, expresar como sería la función f’(x)

3. Representar gráficamente la función 1

2

�

xxy , calculando dominio, puntos de corte con los ejes de

coordenadas, asíntotas, regiones, intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

4. En un concurso se da a cada participante un alambre de 2 m de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

5. Sabiendo que la recta tangente a la gráfica de la función en su punto de

inflexión es y = 2x+3. a) Calcular las coordenadas del punto de inflexión. b) Calcular los valores de a y b.

baxxxy �� 23 122

2º de Ciencias


17

El CálculoInfinitesimal tiene dos ramas: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

El Cálculo Diferencial surgió durante el intento de resolver problemas aparentemente diversos pero intrínsecamente relacionados y urgentes para la Ciencia del siglo XVII: el problema del movimiento no uniforme y el del cálculo de la recta tangente a una curva por uno de sus puntos. El problema del movimiento no uniforme, consiste en calcular la velocidad de un móvil en un instante dado, es decir, la velocidad instantánea. El segundo problema consiste en trazar la tangente a una curva en cualquiera de sus puntos. Ambos problemas fueron resueltos mediante un método general llamado antiguamente “método de las tangentes” o “diferenciación” y que actualmente se conoce con el nombre de derivación. Dicho método fue descubierto por el inglés Isaac Newton y por el alemán Leibniz, independientemente uno del otro. El Cálculo Integral surgió durante el intento de resolver el problema de la integración que consiste en calcular longitudes de arcos de curva, áreas limitadas por curvas, y volúmenes limitados por superficies curvas. Cierto es que los griegos habían encontrado un engorroso método llamado de exhaución para resolver algunos casos particulares: longitud de una circunferencia, área de un círculo, volumen de una esfera, etc. Sin embargo, el descubrimiento crucial de Newton y Leibniz consistió en relacionar el antiguo método de exhaución con el recientemente inventado método de derivación, demostrando que el problema de la integración podía resolverse mediante un proceso inverso de la derivación, es decir, calculando primitivas. No obstante, desde que Newton y Leibniz comenzaron a desarrollar y manejar las, nociones del Cálculo Infinitesimal, hubo de pasar casi siglo y medio hasta que Cauchy, a comienzos del siglo XIX, sistematizó estas ideas en un cuerpo teórico bien construido y prácticamente con la misma forma en que hoy lo utilizamos para iniciarnos en los primeros pasos del Análisis.

Nuestro agradecimiento a Cauchy (principios del siglo XIX), Riemman (mediados del siglo XIX) y Lebesgue (principios del XX) será eterno, puesto que han sido los orfebres sucesivos que se han dedicado a perfeccionar esta joya clásica que es la integral.

Como curiosidad diremos que en el siglo XX ha habido extensiones muy importantes de la teoría, con lo que se ha podido abordar problemas inaccesibles para la teoría clásica. La teoría de la medida es una prolongación natural del Cálculo Integral. Una de sus creaciones interesantes es la medida de Hausdorff. Se trata de medir y estudiar ciertos conjuntos de puntos tan pequeños que, desde el punto de vista de la integral de Lebesgue, son despreciables, de medida cero. La medida de Hausdorff viene a ser como un nuevo “microscopio” capaz de calibrar conjuntos que para el de Lebesgue pasan desapercibidos. La irrupción del ordenador en la segunda mitad del siglo XX (especialmente del microordenador, posibilitando el cálculo numérico rápido, la iteración de procesos de cálculo y la representación gráfica de objetos matemáticos), ha favorecido la creación de nuevas e inexploradas teorías como la de los fractales, que se han convertido en un instrumento muy adecuado para estudiar otro de los fenómenos científicos que han surgido a partir de los años 60, la aparición del caos matemático en multitud de campos diferentes como la Biología, la Meteorología, ... Podemos terminar diciendo que:

“El Cálculo infinitesimal, como edificio conceptual básico fabricado por el hombre a lo largo de más de tres siglos, merece tanto aprecio, o más, que las obras de arte más estimadas de la historia de la humanidad”.

2º de Ciencias


18

La historia del problema del área resulta interesante. En los primeros tiempos de la antigua

Babilonia se creía que el área de una figura dependía de su perímetro. Sin embargo, los métodos correctos para obtener áreas de rectángulos y de triángulos rectángulos eran conocidos antes del 2200 a.C. El paso siguiente, el de hallar áreas de figuras planas limitadas por curvas específicas, tales como un arco parabólico, no se alcanzó (que se sepa) hasta los tiempos de Arquímedes. Se dio cuenta que el problema de la determinación de volúmenes limitados por superficies curvas era análogo al problema de la determinación del área y que ambos podían plantearse haciendo uso de aproximaciones cada vez mayores. Mucho más adelante, en el siglo XVII, Newton entre otros, formalizó la integración, estableciendo su relación con la derivación. Intuitivamente, definamos el área de un rectángulo como el producto de las longitudes de dos lados adyacentes. Tomando esto como punto de partida, vamos a definir áreas de figuras cada vez más complejas, pero que estén en concordancia con lo que intuitivamente podemos esperar. Empezando por figuras rectilíneas, dos triángulos rectángulos iguales forman un rectángulo, por lo

tanto el área del triángulo tiene que ser alturaxbase21 . Teniendo en cuenta esto, se puede calcular el

área de cualquier figura rectilínea considerando ésta como formada por triángulos rectángulos y rectángulos. Sin embargo surgen dificultades al considerar el área de una región limitada por una curva. Para estudiar este caso vamos a ver un ejemplo concreto:Las piscinas Dollan (piscinas escocesas para pruebas olímpicas), cuyo edificio se alza en un inmenso arco parabólico, con una luz de 100 m y con una altura máxima de 20 m por encima del nivel del suelo. Una vez decidida la forma, el arquitecto tuvo que calcular el área de la sección transversal para poder hallar la presión sobre la estructura. Para estudiar el área primero debemos ver la función cuya gráfica coincida, en parte, con la curva

del edificio. Se deduce fácilmente que la función es125

20)(2xxf �

Intentamos calcular el área que queda por debajo de la gráfica. El dibujo se dividirá en dos partes: 1. Aproximaremos el área mediante rectángulos, obteniendo aproximaciones por defecto y por

exceso del área buscada y los haremos en dos casos: i. Cuando OC se divide en 5 intervalos iguales.

ii. Cuando OC se divide 10 intervalos iguales. 2. Determinación de los intervalos para que el error sea menor que 1 m2.

20

50 -50

2º de Ciencias


19

1.- Cálculo por aproximaciones: El arco parabólico es simétrico, por lo tanto el área representada por AOBC es el doble de la representada por OBC.Haciendo, por comodidad, una tabla de valores:

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 f(x) 20 19’8 19’2 18’2 16’8 15 12’8 10’2 7’2 3’8 0

i) Utilizando 5 intervalos para la semiárea calculamos el área formada por los rectángulos: El área total por exceso será: � � 2520.12'78'128'162'1920102 mx ��

El área total por defecto será: � � 2120.102'78'128'162'19102 mx ��

Así pues, para 5 intervalos, la mejor aproximación del área será: 213202

120.1520.1 m � y el error

cometido será: 22002

120.1520.1 m �

ii) Para 10 intervalos: El área total por exceso será: � � 2430.18'3...8'192052 mx ��

El área total por defecto será: � � 2230.108'3...8'1952 mx ��

Así pues, para 10 intervalos, la mejor aproximación del área será: 213302

230.1430.1 m � y el error

cometido será: 21002

230.1430.1 m �

2.- Determinación de los intervalos para que el error sea menor que 1 m2. Analizando los casos del apartado anterior, se observa que el error máximo posible coincide con el área del mayor rectángulo, por lo tanto, en este caso, el área del mayor rectángulo debe ser menor o igual que 1 m2, con lo que el “ancho” debe ser, a lo sumo, de 0’05 m, ya que 2 x 0’05=1 m2.Es decir, el

número total de intervalos para que el error sea menor o igual que 1 m2, debe ser 000.105'0

50

Análogamente, para que el área tuviera una aproximación mayor que, por ejemplo, 0’1 m2, se necesitarían, por lo menos, 10.000 intervalos. De lo expuesto anteriormente, se deduce que, a medida que se aumenta el número de intervalos, el valor del área se hace cada vez más precisa. Se observa también que las diferencias entre las área de los rectángulos pequeños y grandes son cada vez menores.

Supongamos que utilizamos este método para obtener aproximaciones del área por defecto y por exceso, considerando conjuntos de rectángulos cada uno con n términos. Si a la suma de los rectángulos grandes la llamamos Sn y a la de los pequeños sn, siendo n un número natural, de modo que si a n se le van dando sucesivamente los valores 1, 2, 3, ... obtenemos las sucesiones:

S1, S2, S3,... de límite S. s1, s2, s3, ... de límite s.

Los términos de la primera sucesión serán mayores que el área buscada y los de la segunda serán menores, pero la diferencia entre ambas sucesiones, a medida que aumenta el valor de n, son cada vez más pequeñas, por lo que ambas tendrán el mismo límite, límite que podemos considerar como el área de la región. Debido a que este límite tiene aplicaciones muy importantes en cuestiones distintas del cálculo de áreas le daremos un nombre muy especial: integral definida entre a y b de la función f y lo

escribiremos de la forma: ³b

a

dxxf )(

El símbolo ³ , una “S” alargada, representa un sumatorio y se llama integral porque el sumatorio

recibía el nombre de “integer”, a y b son los extremos de la integral, o límites.

2º de Ciencias


20

Sumas de Riemann:Dada una función acotada > @ �obaf ,: , para cada partición

^ `nxxx ,...,, 10 de [a,b] se consideran unos ciertos puntos nttt ,...,, 21 con iii xtx dd�1 (para i = 1, 2, ..., n) que se llamarán puntos intermedios, se llama suma de Riemann a la expresión

� �¦

'n

iii xtf

1.

Se demuestra que la función f es integrable en [a,b] si y sólo si, para fon se verifica que la suma de Riemann tiene límite, este límite es la integral de f en el intervalo, es decir:

� � ¸̧¹

·¨̈©

§' ¦³

fo

n

iiin

b

axtfdxxf

1

lim)(

Propiedades de la integral:Las propiedades de la integral definida son:

x Aditividad respecto al intervalo. Sean a, b, c tres números reales, tales que

a<b<c. Una función integrable en [a,b] verifica que: ³³³ � b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

x Linealidad de la integral. Si existen ³b

adxxf )( y ³

b

adxxg )( , entonces:

> @ ³³³ � �b

a

b

a

b

adxxgkdxxfkdxxgkxfk )('·)(·)('·)(·

x Integración y relación de orden. . Si existen ³b

adxxf )( y ³

b

adxxg )( , entonces:

³³ d�¸̧¹

·¨̈©

§d

d b

a

b

adxxgdxxf

baxgxf

)()()()(

x Integral del valor absoluto.Si f(x) es integrable en [a,b] también lo es )(xf y se

verifica que: ³³ db

a

b

adxxfdxxf )()(

Regla de Barrow:Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f en dicho intervalo,

entonces: @ ba

b

axFaFbFdxxf )()()()( � ³

2º de Ciencias


21

Función primitiva: Dada la función y = f(x), se llama primitiva de f a toda función y = F(x) que verifique que F’(x) = f(x).

Integral indefinida:Al conjunto de primitivas de una función se le denomina integral

indefinida de la función y se escribe: CxFdxxf � ³ )()(

Propiedades de la integral indefinida: De la definición se deducen las siguientes propiedades:

x Si K = cte: ³³ dxxfkdxxfk )(·)(·

x > @ ³³³ � � dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Tabla de integrales inmediatas Tipo Simple Compuesta Potencial

1�zn Cnxdxx

nn �

�

�

³ 1

1

Cnf

dxffn

n ��

�

³ 1'·

1

Logarítmico Cxdxx

� ³ ln1 Cfdx

ff

� ³ ln'

Exponencial Cedxe xx � ³ Cedxef ff � ³ '·

Seno Cxdxxsen �� ³ cos Cfdxfsenf �� ³ cos'·

Coseno Csenxdxx � ³ cos Cfsendxff � ³ '·cos

Tangente � �

Cxtgdxx

Cxtgdxxtg

Cxtgdxx

�

� �

�

³

³

³

2

2

2

cos1

1

sec

� �

Cftgdxf

f

Cftgdxftgf

Cftgdxff

�

� �

�

³

³

³

2

2

2

cos'

1'·

'·sec

Arco seno Cxsenarcdxx

� �

³ 21

1 Cfsenarcdx

f

f�

�³ 21

'

Arco tangente Cxtgarcdxx

� �³ 211 Cftgarcdx

ff

� �³ 21

'

Neperiano- Arco tangente

eirreduciblcbxaxM

gentearconeperianodxcbxax

NMx

��z

� ��

�³

2

2

0

tan

2º de Ciencias


22

Por partes: La integración por partes se basa en la derivada de un producto de funciones:

� � )(')·()()·('')()·( xgxfxgxfxgxf �

³ ³� dxxfxgxgxfdxxgxf )(')·()()·()(')·(

Tipo: dx ; dx; dx ; dx (cíclicas): dx ; dx

Integración por sustitución o cambio de variable: Consiste en efectuar un cambio de variable. Estos cambios pueden ser:

x x = h(t), por lo que la integral queda de la forma > @³ ³ dtththfdxxf )(')()(

x t = h(x) Hay que tener en cuenta que una vez resuelta la integral hay que «deshacer los cambios»

Transformación de funciones racionales: Para integrar funciones racionales (de la forma

)()(

xQxP

, donde P(x) y Q(x) son

polinomios) el grado del polinomio del numerador tiene que ser estrictamente menor que el grado del polinomio del denominador, en caso contrario, se realizará la división y se descompondrá la integral en una polinómica y otra racional en la que el grado del polinomio numerador es estrictamente menor que el del denominador. Se estudiarán los casos siguientes:

1. Denominador de grado uno: Es una integral inmediata: ³ ��

Cbaxabax

dxln

1

2. Denominador con raíces reales simples: Se descompone en fracciones simples:

� �� ³³³ ��

�

��dx

bxBdx

axAdx

bxaxxP )(

,

con lo que resultan dos integrales del caso anterior. 3. Denominador con raíces múltiples: Se descompone en suma de fracciones de la

siguiente forma: � � � � � �³ ³³³ �

��

��

��

dxbx

Ddxax

Bdxax

Adxbxax

xP22

)(

con lo que resultan dos integrales del primer caso y una potencial. 4. Denominador de segundo grado irreducible: Es una integral del neperiano-arco

tangente.

2º de Ciencias


23

Integrales irracionales: Son integrales de la forma � �³ �� dxbaxbaxxR qp ...,,, (R función racional)

Estas integrales se resuelven haciendo el cambio ax + b = tM, siendo M = m.c.m. (p, q, ...)

Integración de funciones trascendentes: Consideraremos en este caso dos tipos de funciones:

5. Funciones trigonométricas del tipo � �³ �Nmndxxxsen mn ,,cos

x Si n es impar: se hace el cambio cos x = t x Si m es impar: se hace el cambiosen x = t x Si m y n son pares: hay que hacer transformaciones trigonométricas. En este caso hay que

tener en cuenta las fórmulas del ángulo doble y ángulo mitad:

22cos1

cos2

2cos1

2

2

xx

xxsen

�

�

6. Funciones exponenciales del tipo � �³ � dxeR bax (R función raciona)

x Se hace el cambio te bax �

2º de Ciencias


24

Cambio de variable: dxx³ � 21

En este caso podemos hacer el cambio dttdxsentx cos �

Sustituyendo nos queda:

Cxxxsenarc

CttsentCtsentdttdt

dttdttdtttsendxx

��

�

��

�

� �

³³³³³³

21

2

2cos

242

222cos

21

22cos1coscos11

2

222

Para resolver esta última parte se han utilizado las siguientes fórmulas trigonométricas:

DDDDDDD 22 1cos,cos22,cos2

12cos sensensen � �

¿Qué sucede si no se recuerdan las expresiones anteriores? Se podría resolver la integral por partes.

Integración por partes: ³ xdx2cos

Supongamos que en el caso anterior se ha llegado a la integral ³ tdt2cos y no se recuerda las

fórmulas trigonométricas; entonces:

³ ³ ¯®

� � �

� sentvtdtdvsentdtdutu

tdtttdtcos

cos·coscoscos 2 Por tanto:

� �³ ³ ³³ �� tdtttsentdtttsenttdtsentsenttdt 2222 cos·coscos1·cos·coscos

Despejando: Cttsenttdt �� ³ 22·coscos 2

2º de Ciencias


25

Integración de funciones racionales 1. Denominador con raíces reales simples:

� �� ³³ ��

��

�� dxxxx

xxdxxxx

xx321

41210652

41210 2

23

2

En este caso:

� ��

� �� 321213132

32132141210 2

��

�

��

��

��

��xxx

xxDxxBxxAx

Dx

Bx

Axxx

xx Teniendo

en cuenta que: � �� 21313241210 2 �� xxDxxBxxAxx Para calcular los valores de A, B y C se puede o bien darle valores a x o resolver el

sistema formado por los coeficientes de ambos polinomios dado que al ser iguales deben ser iguales los coeficientes correspondientes a términos del mismo grado.

x Cálculo de los coeficientes por valores de x:

� �

� �� 55052:34605·3·:2162·3:1

� ��

DDxBBxAAx

x Resolución del sistema:°¯

°®

� ��

4236124

10

DBADBA

DBA

La integral por lo tanto queda de la forma:

³³³³³

��

�

��

��

¸¹·

¨©§

��

��

�

��

Cxxx

xdx

xdx

xdxdx

xxxdx

xxxxx

3ln52ln41ln

35

24

135

24

11

6524.1210

23

2

2. Denominador con raíces reales múltiples:� �³ �

� dxxxx

212

En este caso: � � � ��

� �22

22 111

1112

��

�

��

� ��

xxDxxBxxA

xD

xB

xA

xxx

Una vez calculados los

coeficientes (A = 2, B = -2, D = 3) la integral queda de la forma:

� � � �C

xxx

xdx

xdx

xdxdx

xxx

��

��

��

� �

�³³³³ 1

31ln2ln21

31

2212

22

2º de Ciencias


26

3. Denominador con algún factor de grado 2 irreducible: � �³ �� 12 xxxdx

En este caso: � ��

� �11

111

2

2

22 ��

��

��

�� xxxxNMxxxA

xxNMx

xA

xxx

Sustituyendo los valores obtenidos (A = 1, M = -1, N = -1) se obtiene:

� � ³³³³ ��

� ��

��

��dx

xxxxdx

xxx

xdxdx

xxxdx

11ln

11

1 222

Basta pues resolver la integral ³ �� dxxx

x1

12 :

En este caso, mediante transformaciones sencillas podemos descomponer la integral en dos, una inmediata y la otra que se resuelve por cambio de variable:

³³³³ ��

��

��

�

��

121

112

21

122

21

11

2222 xxdxdx

xxxdx

xxxdx

xxx

� �

³ ³ ³³³

³

»»¼

º

««¬

ª�¸

¹·

¨©§

¸¹·

¨©§ �

�

�¸

¹·

¨©§ �

��

��

�

13

234

134

43

43

43

211

1ln1

12

222

22

22

u

du

u

du

u

du

x

dxxx

dx

xxdxxx

x

,

(Se hizo elcambio de variable dudxux � �21 ), haciendo un nuevo cambio de variable

dtdutu23

32

� , nos queda:

¸¹

·¨©

§¸¹·

¨©§ � ¸

¹·

¨©§

�

»»¼

º

««¬

ª�¸

¹·

¨©§

³ ³ 21

32

332

32

332

332

123·

34

13

234

22xtgarcutgarcttgarc

tdt

u

du

Sustituyendo en la integral inicial, se obtiene:

� � � � Cxtgarcxxxxxx

dx�»

¼

º«¬

ª¸¹·

¨©§ ��

��³ 21

32

331ln

21ln

12

2

2º de Ciencias


27

Integrales inmediatas:

� �

� � � �

� �

� � � � � �³³³³³

³³³³³

³³³³³

³³³³³

³³³³³

��

��

��¸̧¹

·¨̈©

§�

�

��

� dxx

xdxxtgdxx

xsendxeedxxx

dxeedxxsendxx

xdxx

xxx

dx

dxxdxxdxxxdxx

xdxx

xx

dxxdxx

xxdxxxdxxdxx

dxx

xdxxdxxxdxdxx

xx

xx

2lncos2512242322

ln21

12012193

181

1712

16

215214132212211

1023293238877

36

54321

22

3 22222

10232

32

23 22

43 2

23

Integrales racionales:

³³³

³³³

³³³

��

��

��

��

��

��

39

28

237

4416

43325

654

43

3542

2321

22343

2232

2

2

xdx

xxxdxdx

xxx

dxxx

xdxxxx

xxx

dxx

dxdxx

xxdxxx

Integrales por cambio de variable:

³³³³��

� dxe

edxxxxsen

e

dxdxxx

xx

x

x 14

cos1cos

32

2112

Integración por partes:

� � � � ³³³³ �� dxxxdxxdxsenxxdxxe x 22 ln4ln123221

2º de Ciencias


28

Integrar:

� �

� � � ��

³³³

³³³

³³³³³³³³³³³

³³³³³³

��

��

�

��

�

�

��

��

�

dxx

xdxx

xdxe

exx

dxdxx

xdxe

e

dxxtgdxx

dxx

dxexsendxxsenxdxx

dxexdxexdxxe

dxdxdxe

dxxctgdxxtgdxxsen

xsen

dxx

xdxx

xdxxx

x

x

x

x

x

xxxsenx

x

xxx

46

2

26

2

2

22

2

2

41

12

2

3

2

23

2

124

123

122

ln121

1

3201

19

6618cos

417sec316

153·1412cos13

212cos1110329387

651

24

83

12

5131

22

1.- Hallar una primitiva de f(x) = 2x cuya gráfica pase por el punto P(1,3). ¿Y si pasa por el origen de coordenadas? 2.- Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función xxxf 4)( 2 �� y el eje OX. 3.- Las funciones xxgxxf � � 3)(,1)( 3 determinan dos recintos acotados en el primer cuadrante. Calcular el área de los dos recintos. 4.- Hallar el área limitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo > @S2,0 . 5.- Hallar el área limitada por la curva xxxy 86 23 �� y el eje OX. 6.- Hallar el área limitada por las gráficas de las funciones:

2)(,1)())(,)())(,)() 2322 � �� xxgxxxfcxxgxxfbxxgxxfa 7.- Calcular el valor de a para que el área limitada por la curva axxf �� 2)( y la recta y=0 sea igual a 4 u.s. 8.- Sea el recinto limitado por la parábola de ecuación 12 �� xy y la recta y = a, donde a es un número

menor que 1. Determinar el valor de a para que el área del recinto sea 3

28

2º de Ciencias


29

9.- Dada la función °¯

°®

!�d�

d

2421

1)(

xsixxsix

xsixxxf

a) Hallar los puntos en los que f es derivable. b) Estudiar si existen máximos y mínimos relativos y, en su caso, obtenerlos.

c) Calcular ³4

0)(3 dxxf

10.- Encontrar el área del recinto limitado por la parábola yx 22 , el eje de ordenadas y la tangente a la parábola de pendiente –1. Hacer un dibujo de este recinto. 11.- Hallar el área limitada por las curvas xyexy � 22 . 12.- Hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función 34)( 2 �� xxxf y el eje OX.

13.- a) Representar gráficamente la función 1)( �� xxxf

b) ¿En qué puntos es diferenciable dicha función? c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función anterior y la recta y = 2. ¿Se podría

obtener el resultado sin la ayuda del cálculo integral? ¿Por qué? 14.- Calcular el área de la región del plano limitada por la parábola 562 �� xxy , la recta tangente en x = 2 y el eje de ordenadas. 15.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola 22xy y la secante a dicha parábola que pasa por los puntos de abscisas x = 2, x = 8. 16.- Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

3,31),)

4,4

,1)

2

23

� � � �

xxrectaslasyxycxxyxxyb

xyxyx

ya

2º de Ciencias


30

Resolver las siguientes integrales:

� �

� � � � � �

� �

� � � � � ��

� ��

� � � � ³³³

³³³

³³³

³³³

³³³

³³³

��

��

��

�

��

�

��

dxxsen

xxsendxxdxxe

dxxsenxgdx

xxsendxxxsen

xx

dxxx

dxdxxx

dxxxdxtgxarcxdxxsenx

xxdxdx

xxx

e

dxxxdx

x

dxxx

dx

x

x

2

3323

2

322

343

22

1

cos.181ln.17.16

22cot.15

2cos2.142cos2.13

11.12

1313.11

11.10

11ln.9.822.7

1.61.5

2.4

1.3

4.2

ln2.1

19.- Encontrar una función y = f(x) sabiendo que f’’(x) = 12x – 12,y que, además, se cumple que f’(1) = f(1) = -1.

20.- Hallar una función y = f(x) sabiendo que se verifica effexf x 4)1(,2)0(,)('' . 21.- De una función y = f(x) se sabe que � �xxf 2sec)('' 2 , que su gráfica pasa por el punto (0,1) y que

23

8' ¸

¹·

¨©§Sf . Obtener razonadamente la expresión de la función.

22.- Determinar una función y = f(x) sabiendo que f’’’(x) = 24x, f(0) = 3, f’(1) = 1, f’’(0)=2. 23.- Hallar el área del recinto limitado por las funciones:

xyxyycxxyxxybxxyxya 4,4

,41),)4,3) 2332 � � � �

Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado cuadrado de 40 m de lado. Sabiendo que la longitud de la cuerda es de 50 m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.

2º de Ciencias


31

1.- Como no sabe usted calcular ³1

2dx

xe x

, puede hallar sus sumas

superiores e inferiores respecto de la partición ¿¾½

¯® 2,

47,

23,

45,1P del intervalo [1,2]. ¿Qué información

dan esta sumas respecto de la integral? Explíquelo con un ejemplo.

2.- Calcular el área comprendida entre la curva x

x

eey�

1

y las rectas y =-1, x = 1, x = 2.

3.- Considérese la región acotada que determinan las curvas xx eyey 2, y la recta x=a. Hallar el área de dicha región para a = 1 y hallar a > 0 para que el área sea 2 u.s.

4.- Hallar el área limitada por la curva 2xxey � , el eje de abscisas, la ordenada en x = 0 y la ordenada en

el máximo de la curva. 5.- Calcular el área de la región del plano limitada por las curvas xyxy 2,3 2 � .

6.- Representar la curva 12

2

�

xxy y calcular el área del recinto limitado por la curva, su asíntota y las

rectas x = 0, x = 1. 7.- Calcular el área del recinto plano, contenido en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de las funciones: xxyxxybxxyxya 2,6)810,) 2223 � � �� 8.- ¿Y si en el problema anterior se elimina la frase “contenido en el primer cuadrante”?

Para pensar: Sean A y B dos puntos de la parábola 2xy . Sea C el punto de intersección de las tangentes a la parábola en los puntos A y B. Si el área de la región del plano comprendida entre la parábola y la recta AB es 20 u.s., calcular el área del triángulo ABC.

Y otro: Buscar dos puntos de la parábola 2xy de manera que las tangentes a la parábola en dichos puntos sean perpendiculares y que el área comprendida entre la parábola y el segmento AB sea 36 u.s.

2º de Ciencias


32

Inmediatas:

� �

� �

³³³

³³³

³³³

³³³

��

�¸¹·

¨©§ ��

��¸¸¹

·¨¨©

§�

�

�

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¨©§ �¸

¹·

¨©§ ��

��

�

dxx

xxdxxtgdx

xsendx

xdxdxx

x

dxxedxxx

dxxsenx

dxx

dxxx

xxxdxx

x

xx

exx

121

1052

85511

21

1

14

53513863

5 22

11

225 3

2

22

33 232

Cambio de variable:

� ��

dxxtgdxxedxxxdxx

xee

dxxdx

xsendx

eedxxxsen

xdxx

xdxx

dxxsenx

xdxx

x

xx

x

³³³

³³³³

³³³³

��

��

��

�

23 322

22

42

1ln

12

cos

4231212cos

21

Por partes:

� �³³³³³³³³

�� dxxtgxsendx

xx

dxedxxxx

dxtgxarcxdxxtgarcxdxxdxx

xsenarc lnln

11ln

cosln

3

Racionales:

� ��

� �� ³³³

³³³³³³

��

��

��

��

��

��

dxx

xxdxxx

xxx

dxx

dxxxx

dxdxxx

xxx

xxx

dxdxxx

x

11

111

1

11285232

9673

961275

2

3

2

3

2

22

222

2º de Ciencias


33

� �> @� �

� � � �> @

� �

� �

� �

� ��

� ��

� �� C

exedxxe

Cxxxx

dx

Cxxdx

x

xx

Cxxx

xdxx

xx

Cxx

dxxxx

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Cx

xxdxxxxx

Cxarctgxdxxx

Cx

xdxxxx

xx

Cxxxxarctgdxxxx

xx

Cxdxx

x

Ceee

dxe

eee

Cxxxdxx

xx

Cedxee

e

Cxxdxx

x

Cxedxex

Cxedxex

exex

xxxx

xxx

xxx

x

xx

xx

��

� �

��

��

��

� �

��

��

� ��

�

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

³

³

³

³

³

³

³

³

³

³³

³

³

³³³

1.16

13ln33333

.15

343

2

3.14

1ln21211.13

123

12

13312.12

111ln3ln

1312.11

211.10

131ln2

1172.9

1ln1ln3

123

32122

133.8

1ln21

1.7

31

211.6

1ln6241

468.5

112

.4

1lnln·lnlnln.3

121.2

11.1

1

33

3 23

21

32

65

31

21

223

2

2

2

2

23

2

223

2

22

324

32

22

1

2

23

22

22

2º de Ciencias


34

1.- Resolver:

� � � �

Cxsenxsenxxdxxsene

Cxdxsenxxd

Cxctgxtgxxsen

dxc

Cxdxx

senxb

Cxsen

dxxsen

xsena

��

��

��

��

��

� �

³

³

³

³

³

482

644

16cos)

4coscos)

cos)

cos21cos21

)

1318

1

13

2)

342

43

22

6272

2.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de 2

)(,1

1)(2

2xxg

xxf

� . ..

623 suS �

S

3.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de 3,0,42 �� xyxy . ..3

22 suS

4.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de xxxgxxf 2)(,5)( 22 �� y las

rectas x = a, x = b, siendo a y b las abscisas de los extremos de f y g respectivamente. ..3

14 suS

5.- La recta x = a divide a la región limitada por las gráficas de la funciones 2)( xxf y

xxxg 62)( 2 �� en dos recintos de igual área. Hallar el valor de a. 1 a 6.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de 23 23 �� xxy , el eje OX y las abscisas

correspondientes a los extremos de la función. ..25 suS

7.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de xxxf 3)( 2 �� y las tangentes a f(x) en

los puntos de corte con el eje de abscisas. ..49 suS

2º de Ciencias


35

Matriz:Una matriz es una tabla numérica rectangular, es decir, una “caja de números” distribuidos en filas y columnas:

¸¸¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨¨¨

©

§

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

..................

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

La matriz A es una matriz de m y n columnas. Diremos que es una matriz mxn. Los elementos aij son números reales y los subíndices indican la fila (i) y la columna (j) a la que pertenece el elemento. Para simplificar, una matriz se puede expresar de la forma � � � �

nmijnjmiij aa

,,...,1,...,1

Matrices cuadradas:Si en una matriz m = n, se dice que la matriz es cuadrada de orden n:

Los elementos a11, a22,...,ann se denominan elementos diagonales y la línea que los une diagonal principal.

La línea que une los elementos a1n, a2n-1,...,an1 se denomina diagonal secundaria. Se llama matriz diagonal a una matriz cuadrada en la sus elementos no diagonales son nulos:

¸¸¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨¨¨

©

§

nna

aa

a

0000............

000000000000

33

22

11

Igualdad de matrices:Dos matrices son iguales si son del mismo orden y además coinciden término a término:

� �� ijij

ij

ij baBAbB

aA �

¿¾½

Traspuesta de una matriz: Dada una matriz A se llama Traspuesta de � �nmijaA

, , y se

escribe � �mnji

t aA,

, a la matriz que se obtiene al cambiar en A filas por columnas conservando el

orden:

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

mnnn

m

m

t

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

aaa

aaaaaa

A

...

......

...

...

...

......

...

...

21

22212

12111

21

22221

11211

¸¸¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨¨¨

©

§

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

..................

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

2º de Ciencias


36

Operaciones con matrices: Para sumar matrices es necesario que éstas tengan el mismo orden. En este caso se suman término a

término: � ��

nmijijnmij

nmijbaBA

bB

aA,

,

, � �°¿

°¾½

Las propiedades de la suma de matrices son: x Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) x Conmutativa: A + B = B + A x Elemento neutro: La matriz nula (la que tiene todos sus elementos nulos) es el elemento

neutro de la suma: A + 0 = A. x Elemento opuesto: A + (-A) = 0 si � � � �ijij aAaA � ��

Para multiplicar un escalar (número) por una matriz, se multiplica por el número cada término de la matriz: � � � �ijij kaakAk ·· Las propiedades del producto de un escalar por una matriz (siendo a y b escalares y A y B matrices) son:

x a·(b·A) = (a·b)·A x (a + b)·A = a·A + b·A x a·(A + B) =a·A + a·B x 1·A = A

Para multiplicar matrices es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número

de filas de la segunda: � �� CbaBA

pnbB

aA

pm

n

kkjik

kj

nmik ¸

¹

·¨©

§

°¿

°¾½

¦ ,1

, ··,

La matriz C resultante tiene tantas filas como A (m) y tantas columnas como B (p). Las propiedades del producto de matrices son:

x Asociativa: � � � �qppnnmqppnnm CBaCBA ,,,,,, ····

x NO es conmutativa: De hecho, dadas dos matrices A y B puede existir el producto A·B y no existir el producto B·A. En el caso en el que existan ambos productos, éstos pueden ser distintos.

x Distributiva respecto de la suma: � �� ¯®

� ��

CBCACBACABACBA······

Matriz unidad:Se llama matriz unidada una matriz diagonal en la que sus elementos diagonales son 1, es decir: Matriz inversa:Diremos que una matriz cuadrada A tiene inversa si existe otra matriz A-1 tal queA·A-

1 = A-1·A = I. NO todas las matrices cuadradas tienen inversa. Si una matriz tiene inversa, ésta es única, y la caracterización de una matriz inversible viene dada por el siguiente teorema: “Una matriz es inversible, si y sólo si, su determinante es distinto de cero”. Uno de los métodos para calcular la inversa de una matriz es el llamado método de los determinantes, que se basa en la aplicación de la siguiente fórmula: dondeAij es el adjunto del elemento aij de la matriz A.

Rango de una matriz: Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) linealmente independientes.

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

1...000...0...100...01

nI

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

�

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AA

...

......

...

...

1

21

22212

12111

1

2º de Ciencias


37

Determinante:A una matriz cuadrada

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

......

...

...

21

22221

11211

se le asocia un número

llamado determinante de A � �A , que se escribe:

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

......

...

...

21

22221

11211

Menor complementario:Se llama menor complementario de un elemento aij de la matriz A, al determinante que resulta de suprimir en A la fila y la columna correspondiente al elemento aij. Se designará como Mij.

Adjunto: Se llama adjunto de un elemento aij al número � � ijji

ij MA ·1 ��

Cálculo de un determinante:Si A es una matriz cuadrada, el determinante de A se obtiene de la siguiente forma:

x 1111,1 aaAnSi

x nnn

nn MaMaMaAaAaAaAnSi 111

121211111112121111 ·)1(...···...··,1 �� !

Regla de Sarrus:Un determinante de orden 3 consta de 6 productos, 3 precedidos del signo “+” y otros 3 por el signo “-“. Para desarrollar este determinante hay que multiplicar cada elemento por los otros dos que no pertenecen a su misma fila y columna, llevando el signo “+” los productos paralelos a la diagonal principal y el signo “-“ los paralelos a la diagonal secundaria.

Propiedades de los determinantes:Dado que el desarrollo de un determinate de orden n tendría un total de n! (n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1) sumandos, raras veces se recurre a la fórmula para resolverlo; lo usual es aplicar las diversas propiedades, de ahí la importancia de dominarlas.

x Un determinante no varía si se intercambian filas por columas conservando el orden:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

...

......

...

...

...

......

...

...

21

22212

12111

21

22221

11211

x Si una columna (o fila) se multiplica por un número k, el valor del determinante queda

multiplicado por k:

nnnjn

nj

nj

nnnjn

nj

nj

aaa

aaaaaa

k

aaka

aakaaaka

.........

......

......

·

...·......

...·...

...·...

1

2221

1111

1

2221

1111

2º de Ciencias


38

x Si cada elemento de una columna (o fila) es suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes que se forman al sustituir dicha columna (o fila) por cada uno de los sumandos:

nnnin

ni

nnnin

ni

nnninin

nii

aba

aba

aaa

aaa

abaa

abaa

.........

......

.........

......

.........

......

1

1111

1

1111

1

11111

� �

�

x Un determinante que tenga dos columnas (o filas) iguales, vale cero:

0

.........

.........

.........

.........

1

22221

11111

nnninin

nii

nii

aaaa

aaaaaaaa

x El determinante de la matriz unidad vale 1:

1

1...000........

0...1000...0100...001

nI

x Un determinante que tenga una columna (o fila) de ceros, vale cero:

0...0............0...

1

111

nnn

n

aa

aa

x Si se intercambian dos columnas (o filas) el determinante cambia de signo:

nnninjn

nij

nnnjnin

nji

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.........

.........

.........

...............

.........

1

11111

1

11111

�

x Si a una columna (o fila) se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varía:

nnnkknin

nkki

nnnin

ni

aaaa

aaaa

aaa

aaa

......

......

......

......

......

......

1

11111

1

1111

¦

¦

�

�

D

D

x Los vectores columnas (o filas) de un determinante son linealmente independientes (L.I.) si y sólo si el determinante es distinto de cero.

Observación:En general, el modo correcto de elegir los signos de los adjuntos de los elementos de una matriz se obtiene sin dificultad, siguiendo el siguiente esquema:

.......

.......

...

...��

2º de Ciencias


39

1.- Dadas las matrices ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

�

¸¸¸

¹

·

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©

§�

¸¸¸

¹

·

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©

§�

514101312

,676514321

,512501231

CBA , se pide:

� � � �CBAcACBAbCBAa tt ·6)·)6·) ��

2.- Dadas las matrices ¸̧¹

·¨̈©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

p

BnAp

n

00004

,100

10004

, calcular:

� � � � � �� BAhBAgBAdABc

BAcBAcBbAatt

tttt

·)·)·)·)·)·)))

2

22222

3.- Hallar las matrices A y B, sabiendo que ¯®

� �

DBACBA

32, siendo ¸̧

¹

·¨̈©

§ ¸̧

¹

·¨̈©

§�

504204

,053102

DC

4.- Hallar la matriz X tal que XX 2870532

31

210321

�¸̧¹

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§ � �¸̧

¹

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§�


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§�

¸̧¹

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§�

31

60,

1503

BA , calcular X si tBIAX 52· �

6.- Calcular 22 YX � , siendo X e Y las matrices solución del sistema ¯®

� �

BYXAYX

2332

, donde

¸̧¹

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§�

� ¸̧

¹

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§�

9211

15402

BA

7.- Hallar una matriz A de dimensión 2 tal que: ¸̧¹

·¨̈©

§��

42232A

8.-a) Hallar todas las matrices cuadradas de dimensión 2 tales que: IA 2

b) Calcular � � AAAt ··21� , siendo ¸̧

¹

·¨̈©

§

5321

A .

9.- Hallar, si existen, todas las matrices A de dimensión 2 tal que: ¸̧¹

·¨̈©

§

00102A

10.- Resolver la ecuación matricial AXB = C, siendo ¸¸¸

¹

·

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§

�

�

¸¸¸

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·

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§

��

�

¸¸¸

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·

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§

200121012

,122011112

,100110011

CBA

2º de Ciencias


40

11.- Dada la matriz ¸̧¹

·¨̈©

§

2113

A , hallar otra B tal que: ABBAbBABAa ··)·) �

12.- Se sabe que A es una matriz cuadrada que verifica 0352 �� IAA , comprobar que A es inversible y calcular su inversa.

13.- Encontrar, si existen, las inversas de ¸¸¸

¹

·

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§

¸¸¸

¹

·

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§

��

6541383321

,347235

562BA .

14.- a) Calcular 37A si¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

000100010

A . b) Calcular 100A si¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

621831

1452A .

c) Calcular 35A si

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

10001071

711

A .

15.- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

¸¸¸

¹

·

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§

��

¸¸¸

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·

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§

��

¸¸¸

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§ �

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§ �� ¸̧

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§��

031211211

110011001

··100110

011)

17553

2132

··1523

)

6251

·42

53)

Xc

Xb

Xa

16.- Calcular el rango de la matriz ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

2111

1

kkkkk

A en función de los valores del parámetro. ¿Para qué

valores del parámetro la matriz admite inversa? En caso de ser posible, calcular la inversa para k = 0, k = 2. 17.- Resolver los siguientes determinantes:

963842741

)444

444444

)504880302460201210

)

153315531

)541321111

)coscos

)

fed

cbsensen

a

��

��

EEDD

18.- Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:

bacacbcbadc

zzsenzyysenyxxsenx

bbaccababa

a��

��

�� 555

)027023215

40258)

2coscos2coscos2coscos

)111

)22

22

22

19.- Calcular los valores de t para los que el determinante 1031202

tt

toma valores positivos. ¿Cuál es el

mayor valor que alcanza el determinante?

2º de Ciencias


41

1.- Demostrar que 53936674125

,528174231

xx .

2.- Obtener una expresión simplificada de los determinantes:

aaaaaaaaa

abccbcbabbcb

aababc

cbacba

��

�

��

�

11

1,

32,555

101010

222

22

2

222

3.- Resolver la ecuación 0122112121212

��

xxxxxxxxx

4.- Hallar el rango de la matriz

¸¸¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨¨¨

©

§

�

�

36031414061530121201

A

5.- Comprobar, aplicando propiedades, que � �� cdbdbcadacab

dcbadcbadcba

��

3333

2222

1111

6.- Calcular:� � � � � �222222 300log30log3log

300log30log3log111

)555101010

) bcba

cbaa

7.- Obtener, en función de a, b y c, el determinante

1111111111111111

cb

a

��

�

8.- Resolver los determinantes:

dc

ba

f

ba

dce

xzzyyx

d

cdcba

brzyxrxzzyy

a

000321700690

)

200120

003405

)

0101

011110

)

5501700013120105012120010

)

3143

22341342

)

100002050004003

)

��

��

2º de Ciencias


42

1.- Todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n se multiplican por –1. ¿En qué afecta a su determinante? 2.- Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + A = I. Calcular (simplificada) la matriz (A + I)2 – (A + I). 3.- Siendo A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden, es sabido que de la igualdad A·B =A·C no puede deducirse que sea B = C. Probar, no obstante, que si 0zA sí puede obtenerse como conclusión que B = C. 4.- Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n vale D, ¿cuál es el valor del determinante que se obtiene multiplicando por 5 todos los elementos de dicha matriz? Razonar la respuesta. 5.- Si A es una matriz cuadrada de orden n, At es su traspuesta y A-1 su inversa ¿qué relación tienen sus determinantes? ¿Por qué?

6.- Si la matiz ¸̧¹

·¨̈©

§

fedcba

A , tiene rango 2, ¿La matriz ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�� fed

cfbeadcba

B puede ser también de

rango 2? 7.- Sabiendo que una matriz cuadrada A es tal que A2 = A, demostrar que 01 AóA .

8.- Sabiendo que 5111203 zyx

, calcular, sin desarrollar, los siguientes determinantes:

111314

111)

11133333)

111

1023

222

)��

��

zyxc

zyxzyxzyx

b

zyx

a

9.- Se sabe que A es una matriz cuadrada tal que 0352 �� IAA , comprobar que A es inversible y hallar su inversa.

10.- Calcular AB –BA, siendo ¸¸¸

¹

·

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§�

�

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

100211112

,142

521333

BA

2º de Ciencias


43

1.- Hallar una matriz A tal que A·B = C, siendo ¸̧¹

·¨̈©

§ � ¸̧

¹

·¨̈©

§ �

5051371

,412321

CB

2.- Resolver las ecuaciones matriciales siguientes:

¸̧¹

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§ ¸̧

¹

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§�

� ¸̧

¹

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§

¸̧¹

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§

�� ¸̧

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¸¸¸

¹

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§ �

142246

,2324

,4311

)

642531

,315

124,

210303

020)

111121011

,112113

,101221

2)

CBACAXBc

CBACBXAb

CBACCXABXa

3.- Siendo ¸¸¸

¹

·

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§

�

�

¸¸¸

¹

·

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©

§ �

¸¸¸

¹

·

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§

�

�

301204231

,610412100

,216814251

CBA , calcular:

� ��

ttt

ttt

tt

AAfBABAeCBCdBBCAc

CBAAbCBAa

��

��

)··)3·7)67)3)36)

4.- Hallar las matrices inversas de :

¸¸¸

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·

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§ �

¸¸¸

¹

·

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§ �

¸¸¸

¹

·

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§

��¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

1000cos0cos

)521130211

)113024112

)110230

001) DD

DDsen

sendcba

5.- Resolver las ecuaciones siguientes:

07512753641164243322

)01259253511

)

016413

413121212

)099938442111

)

2

32

32

32

��

��

��

��

xxxxxxxxx

dxxc

xxxxxx

xxxb

xxxxxxxxx

a

2º de Ciencias


44

1.- a) Dada la matriz ¸̧¹

·¨̈©

§

4321

A , calcular � � AAAt 21�

b) Dada la matriz ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

010001100

A , calcular � �2006AAt

2.- Hallar YX �2 , donde X e Y son las soluciones del sistema

°°

¯

°°

®

¸̧¹

·¨̈©

§�

� �

¸̧¹

·¨̈©

§�

�

9211

23

15402

35

YX

YX

3.- Calcular X, sabiendo que:

a) ¸¸¸

¹

·

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©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§ �

113110

,211011

,100021011

, CBACBAX

b) ¸̧¹

·¨̈©

§�

¸̧¹

·¨̈©

§� ¸̧

¹

·¨̈©

§��

� 1

0,

2113

,0221

, CBACBXAX

4.- Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I.

a) Demostrar que tiene inversa y calcularla en función de A.

b) Dada la matriz ¸̧¹

·¨̈©

§�

�

mm

B11

11, hallar los valores de m que verifican la igualdad B2 = 2B + I.

Para dichos valores, calcular la inversa.

5.- Sabiendo que xAihgfedcba

A ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§ , , hallar el valor de:

cabighfde

cihigfefdcbca

bAa t

96332642

)222

)3)��

�

2º de Ciencias


45

Sistemas de ecuaciones lineales: Un sistema de ecuaciones lineales de tipo (m,n) es un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, relacionadas de la forma:

°°¯

°°®

��

��

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.................

...

...

2211

22222121

11212111

Las letras nxxx ...,,, 21 se llaman incógnitas, los números ija coeficientes y los jb términos independientes. Clasificación de sistemas:Según las soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones, se clasifican de la siguiente manera:

x Compatible (S. C.): Si el sistema tiene solución, y a su vez de la forma: o Determinado (S.C.D.): Si tiene solución única. o Indeterminado (S.C.I.): Si tiene infinitas soluciones.

x Incompatible (S. I.): Si no tiene solución. Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones: Los coeficientes y los términos independientes de un sistema de ecuaciones lineales forman las matrices A y A’, llamadas, respectivamente, matriz del sistema y matriz ampliada, la expresión de dichas matrices es la siguiente:

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

mmnmm

n

n

mnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

',

...............

...

...

21

222221

111211

21

22221

11211

Teorema de Rouché-Frobenius: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si se verifica que:rang (A) = rang (A’) Si el sistema es compatible y r = rang (A) y n es el número de incógnitas, entonces:

¯®

��

......

ICSnrDCSnr

Sistemas con parámetros:En algunos sistemas de ecuaciones lineales existen coeficientes que no tienen un valor constante, en estos casos dichos coeficientes se denominan parámetros. En estas ocasiones hay que estudiar el sistema para todos los valores posibles del parámetro, resolviéndolo para aquellos valores que lo hacen compatible e indicando qué valores del parámetro hacen incompatible el sistema. Lo que se estudia en estos casos no es propiamente un sistema sino que es un conjunto de sistemas, que se obtiene al darle distintos valores al parámetro. Sistemas homogéneos:un sistema se llama homogéneo si todos sus términos independientes son nulos. Evidentemente todos los sistemas homogéneos son compatibles puesto que admiten, al menos, la solución trivial. La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo admita solución distinta de la trivial es que 0 A .

2º de Ciencias


46

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro escalonado y después resolverlo de abajo arriba. Para conseguirlo se efectúan cuatro transformaciones lineales:

x Multiplicar una ecuación (o fila de la matriz) por un número distinto de cero. x Sumar a una ecuación (o fila de la matriz) otra multiplicada por un número. x Intercambiar ecuaciones (o fila de la matriz). x Cambiar el orden de las incógnitas.

Dado que las transformaciones sólo afectan a los coeficientes de las incógnitas y a los términos independientes, se puede trabajar con la matriz ampliada del sistema. Al proceso por el que se eliminan algunos términos se le suele llamar hacer ceros. Si una fila está formada toda ella de ceros se elimina. La matriz asociada al sistema toma finalmente, una de las formas siguientes:

x

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

ZIZZIZZZIZZZZI

¡000¡0'0¡0¡

Es un S.C.D., hay tantas ecuaciones como incógnitas.

x ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

ZZIZZZIZZZZI

¡00¡0¡

Es un S.C.I., hay menos ecuaciones que incógnitas.

x Si aparece una fila de ceros, salvo el último elemento, significa que se ha llegado a una ecuación de la forma 00...00 z �� ktyx , que es una igualdad imposible, por tanto es un S.I. Ejemplos:

...56199

700230121

13199

150230

121

5109

112111

121

521092

22533

12312 DCS

zyxzyx

zyx

FFF

FFFF

¸¸¸

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·

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§|

¸¸¸

¹

·

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©

§

��

��|

¸¸¸

¹

·

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§�

��

°¿

°¾

½

��

��

��

Tiene una única solución, que se da en forma de terna (x, y, z).

...13

110021

013

000110021

513

550110021

143

512131021

15243

32

253123

12 ICSzyxzyx

yx

FFFF

FF ¸̧¹

·¨̈©

§ ��|

¸¸¸

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·

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§ ��|

¸¸¸

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·

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§ ��|

¸¸¸

¹

·

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§

�

��

�

°¿

°¾

½

� ��

� �

��

Tiene infinitas soluciones. Se obtienen dos de las incógnitas en función de los valores de la tercera.

� � ..211

000101111

411

212101111

4221

1

2213 ISzyx

zxzyx

FFF¸¸¸

¹

·

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§|

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

°¿

°¾

½

��

��

��

No tiene solución.

2º de Ciencias


47

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por determinantes

Se llama sistema de Cramer a cualquier sistema de ecuaciones lineales cuya matriz A sea cuadrada y cuyo determinante sea distinto de cero.

Regla de Cramer: Todo sistema de Cramer es compatible y determinado, además si lo escribimos de la forma:

°°¯

°°®

��

��

nnnnnn

nn

nn

bxaaaxa

bxaxaxabxaxaxa

...............

...

...

2211

22222121

11212111

los valores de las incógnitas xi vienen dados por las expresiones:

Aaabaa

aabaa

x nnninnin

nii

......

............

......

111

11111111

��

��

(donde A es el determinante de la matriz de los coeficientes)

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por determinantes: La resolución de un sistema lineal compatible se puede reducir a un sistema de Cramer: Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

°°¯

°°®

��

��

mnmnmm

nn

nn

bxaaaxa

bxaxaxabxaxaxa

...............

...

...

2211

22222121

11212111

Para resolverlo por determinantes, hay que empezar por calcular los rangos de A (matriz de los coeficientes) y de A’ (matriz ampliada), supongamos rang (A) = r; sabemos que para que el sistema sea compatible los rangos de ambas matrices tienen que ser iguales. Por tanto supongamos que los rangos coinciden. Entonces se podrán suprimir todas aquellas ecuaciones que sean combinaciones lineales de las demás, por otra parte se tomarán como incógnitas aquellas cuyos coeficientes sirvieron para el cálculo del menor complementario. Por tanto el sistema quedará de la forma:

°°¯

°°®

��

��

rrrrrr

rr

rr

cxaaaxa

cxaxaxacxaxaxa

...............

...

...

2211

22222121

11212111

2º de Ciencias


48

1.- Resolver, por el método de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

°¯

°®

��

°¯

°®

��

°¯

°®

��

333121

)033

021

)7233

021

)zyx

zyxzyx

czyx

zyxzyx

bzyx

zyxzyx

a

2.- Resolver, por el método de Cramer, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

°¯

°®

��

°¯

°®

� ��

°¯

°®

� ��

322212

)15

2253

)323

232132

)zyx

zyyx

czy

zyxzyx

bzyxzyxzyx

a

3.- Escribir como sistema de ecuaciones la ecuación matricial: ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

¸¸¸

¹

·

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©

§�

21

0

120221305

X

4.- Escribir los siguientes sistemas en forma matricial (AX=B):

°¯

°®

� � �

¯®

� ��

000

)2132

)yxzxzx

bzyx

zyxa

5.- Escribir y resolver el sistema cuya matriz ampliada es

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

��

3¡2101¡004

0¡3211¡111

.

6.- Discutir, y resolver en su caso, los siguientes sistemas según los valores del parámetro:

� �

� ��

� ��

� � � � °¯

°®

��

°¯

°®

��

� � ��

°¯

°®

��

°¯

°®

��

°°¯

°°®

� ��

� ��

� ��

°¯

°®

��

� ��

1212

2)

92112

2222121

)0

2335123

)

1)

31

31

31

)013

1352123

)

2

2

34

23

2

zyxzyx

zyxf

zyx

yxzyx

ezyx

zyxzyx

d

zyxzyxzyx

c

zyx

zyx

zyx

bzyx

zyxzyx

a

OO

O

OOOO

ONOOOOO

O

O

OOOOO

OOO

OOO

OOO

O

OO

7.- Dadas el sistema ¯®

� ��

432523

zyxzyx , añadir una ecuación para que el sistema sea:

a) Incompatible; b) Compatible indeterminado; c) Compatible determinado.

8.- Hallar las soluciones comunes de los sistemas ¯®

� �

¯®

� ��

12226

,8

02zx

zxyx

zyx .

2º de Ciencias


49

9.- Resolver los siguientes sistemas homogéneos:°¯

°®

��

°¯

°®

��

09870654

032)

02302

0)

zyxzyx

zyxb

zyxyx

zyxa

10.-a) Discutir y resolver el sistema °¯

°®

��

03221

zyxzyxzyax

según los valores del parámetro a.

b) Hallar para qué valores de a el sistema °¯

°®

��

09

3

zyaxzyx

zayx es de Cramer.

11.- Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 9’80 €/kg; el de clase B, que cuesta 8’75 €/kg; y el de clase C, que cuesta 9’50 €/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1.050 kg a 9’40 €/kg. ¿Cuántos kg de cada clase hay que poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos? 12.- Fulano de Tal quiere hacer una fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va a la venta y compra una docena de huevos, una bolsa de papas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido decide repetir la fiesta, y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a su casa, se acuerda de que no tiene papas. Vuelve a la venta para comprar papas y decide llevar otra docena de huevos. En la primera ocasión gastó 12 €, en la segunda 13 € y en la tercera 7 €. Calcular, si es posible, los precios de los huevos, las papas y el aceite.

Para pensar: Un librero vende libros de tres precios: 10, 20 y 30 €. Cuando un alumno de 2º de Bachillerato de Ciencias le pregunta qué tal le va, el librero contesta que la semana pasada vendió igual número de los libros más baratos que de los más caros, y que en total

vendió 400 libros. Pide que le perdonen por no decir exactamente cuántos libros vendió de cada tipo, pero no considera adecuado que se sepa cuánto dinero ingresa. El alumno le contesta que lo comprende y se va de lo más divertido porque, sin saber cuántos libros de cada tipo vendió, sí sabe que la semana pasada ingresó 8.000 €. ¿Cómo lo sabe este alumno?

14.- Dada la matriz ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

�

321101123

A , determinar todas las matrices no nulas ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

zyx

X que verifican la

igualdad AX = mX para algún valor de m. 15.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro a, los sistemas:

� � � � � �°¯

°®

��

��

°¯

°®

��

�

2

2

2

211,

22321

azyaxazayaax

azyax

zyazyxa

ayax

16.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro m, los sistemas.

� � °¯

°®

��

�

°°¯

°°®

��

��

°¯

°®

� ��

�

33

22)

032

142

)11

01

)yxmyx

myxc

zyxmzx

mzyzyx

bmmzymx

zmxyx

a

2º de Ciencias


50

17.- Dado el sistema � �¯

®

��

46222

zyxzyx

OO:

a) Estudiar si para algún valor deO el sistema es compatible. b) Escribir, en función de O , la expresión general de todas las soluciones del sistema en los casos

en los que sea compatible.

Para razonar:Encontrar todas las A matrices cuadradas de orden 2 que verifican: a) Sus elementos son números naturales. b) Los elementos de la diagonal principal son iguales. c) Verifica la igualdad 0522 �� IAA .

19.- Hallar los valores de a, b y c para que la matriz ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

cbba

00000

coincida con su inversa.

20.- Resolver la ecuación matricial M·X + N = P siendo

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

�

�

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§�

�

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

�

121031102

100113

211

110122101

PNM

2º de Ciencias


51

AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO 1.-Estudiar las posibles soluciones del siguiente sistema para los distintos valores de m:

°¿

°¾

½

1+m=z+y+xm=1)z-(m+y+mx

1=z+my+x

2.- Calcular usando las propiedades de los determinantes el valor de: 1

11

��

�

aaaaaaaaa


·¨̈©

§�

¸̧¹

·¨̈©

§��

14

11,

1211

BA , comprobar que � � 222 BABA � � .

4.- Calcular la matriz X que verifica A·X=B, siendo ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

321232213

,100010101

BA

5.- Resolver las siguientes integrales: a) ³ xdxx 3cos ; b)� � � �³ �� 11

222 xx

xdx

6.- Resolver las siguientes integrales: a) ³ �� 122 xx

x

eedxe ; b) dx

xxxx

³ ��

3

7.- Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de: 3,322 �� yxxy

8.- Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función 12

2

�

xxy , su asíntota y las rectas

x = -1, x = 1.

2º de Ciencias


52

Vectores y componentes: En el espacio, los vectores se definen como en el plano. Si � � � �321321 ,,,, bbbByaaaA son dos

puntos cualesquiera del espacio, las componentes de o

AB son: � �332211 ,, ababab �� El

módulo del vector � �321 ,, vvvv o

es: 23

22

21 vvvv ��

o

Los vectores � � � �321321 ,,,, uuuuyvvvv oo

tienen la misma dirección o son

paralelos si 3

3

2

2

1

1

vu

vu

vu

El conjunto de vectores libres del espacio se denomina V3. Suma y producto por un escalar: Dados dos vectores � � � �321321 ,,,,, uuuuvvvv

oo y un escalar O , se define la suma de vectores

de la siguiente forma: � �332211 ,, vuvuvuvu �� oo

.

El producto de un escalar por un vector se define: � �321 ,, vvvv OOOO o

.

Si el vector o

o

ooo �z v

vuv 10 es un vector unitario.

Base de vectores: Tres vectores,

ooowvu ,, , son coplanarios si uno es combinación lineal de los otros dos, es decir,

ooo� vuw ED , esto equivale a:

0

333

222

111

wvuwvuwvu

Si ooowyvu , no son coplanarios forman una base. Todo vector

o

x se puede expresar de la

forma oooo

�� wxvxuxx 321 , para unos únicos escalares, x1, x2, x3, que se denominan

componentes de ox .

Producto escalar de vectores: Dados dos vectores libres, no nulos,

ooyx , , se define su producto escalar, y se escribe

ooyx· , como

el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, es decir:

¸¹·

¨©§

ooooooyxyxyx ,·cos·· .

Si alguno de los vectores es el vector nulo, el producto escalar vale cero.

2º de Ciencias


53

Propiedades del producto escalar: x Conmutativa:

oooooo �� xyyxVyx ··:, 3

x Distributiva respecto de la suma:oooooooooo

� ¸¹·

¨©§ �� zxyxzyxVzyx ···:,, 3

x Para cualquier número real O se verifica: ¸¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§ oooooo

yxyxyx OOO ···

Vectores ortogonales: Dos vectores libres no nulos son ortogonales si su producto escalar vale cero

Vectores ortonormales: Dos vectores libres son ortonormales si son ortogonales y unitarios. Los vectores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), unitarios y ortogonales, forman una base del espacio llamada

base canónica y se representa: ¿¾½

¯®

oookjiB ,, , siendo � � � � � �1,0,0,0,1,0,0,0,1

oookji

Expresión analítica del producto escalar:Sea ¿¾½

¯®

ooo

321 ,, uuuB una base ortonormal de

V3, los vectores oooooooo

�� 332211332211 , uyuyuyyuxuxuxx , entonces:

332211332211332211 ·· yxyxyxuyuyuyuxuxuxyx �� ¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ ��

oooooooo

Espacio euclídeo tridimensional:El espacio V3 de los vectores libres del espacio dotado del

producto escalar recibe el nombre de espacio euclídeo y se representa por: � �,·,3 �V (donde (+) representa la suma de vectores libres y (·) el producto de escalares por vectores.

Producto vectorial de vectores: Sean ¿¾½

¯®

ooo

321 ,, uuuB una base ortonormal de V3 y

oooooooo�� 332211332211 , uyuyuybuxuxuxa , se llama producto vectorial de

oa y

ob , y se escribe

oobxa ,

al vector: ooooo

�� 321

212

13

131

32

32 uyyxx

uyyxx

uyyxx

bxa

En la práctica se escribe de la forma:

321

321

321

yyyxxxuuu

bxa

ooo

oo

2º de Ciencias


54

Propiedades del producto vectorial:

x Es evidente que °̄

°®

A

Aooo

ooo

bbxa

abxa

x ¸¹·

¨©§

oooooobasenbabxa ,·· . Es muy interesante su interpretación geométrica, es decir: el

módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo de lados los módulos de los vectores.

x ¸¹·

¨©§�

ooooaxbbxa (Esta propiedad se conoce con el nombre de anticonmutativa)

x oooo

� aaxa ,0 . El módulo es cero puesto que sen 0 = 0. x Los vectores de la base canónica se relacionan de la siguiente forma:

ooooooooo jixkikxjkjxi ,,

Aplicaciones del producto vectorial:

x Cálculo del área de un triángulo ABC: oo

ACxABS ABC 21

x Obtención de un vector ortogonal a otros dos: Para calcular un vector ortogonal a dos dados basta calcular el producto vectorial de dichos vectores.

x Distancia de un punto a una recta: Se puede recurrir al producto vectorial construyendo un paralelogramo a partir del punto y un vector director de la recta y del punto dado. Bastaría, en este caso, calcular la altura de dicho paralelogramo a través del área del mismo.

x Distancia entre rectas que se cruzan: A través de la distancia de un punto a un plano.

Producto mixto de vectores: Dados tres vectores de V3:

ooocba ,, se llama producto mixto, y se escribe ¸

¹·

¨©§ ooo

cba ,, , al número que se

obtiene de la siguiente forma: ¸¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§ oooooo

cxbacba ·,,

Si � � � � � �321321321 ,,,,,,,, ccccbbbbaaaa ooo

la expresión analítica del producto mixto será:

� �321

321

321

21

21

31

31

32

32321 ,,·,,·,,

cccbbbaaa

ccbb

ccbb

ccbb

aaacxbacba ¸̧¹

·¨̈©

§� ¸

¹·

¨©§ ¸

¹·

¨©§ oooooo

2º de Ciencias


55

Ecuaciones de la recta: Sea A un punto del espacio y

ov un vector libre no nulo. La recta que pasa por A y tiene

la dirección del vector ov es el conjunto de todos los puntos Xdel espacio tales que:

oo vtAX · . El par ¸

¹·

¨©§ o

vA, se denomina determinación lineal de la recta. Si tomamos como

sistema de referencia el sistema de ejes cartesianos podemos obtener la:

x Ecuación vectorial de la recta: ooo

� vtax

Si � � � � � �zyxXyzyxAvvvv ,,,,,,, 000321 o

podemos escribir las :

x Ecuaciones paramétricas de la recta:°¯

°®

� � �

30

20

10

tvzztvyytvxx

Si 0,0,0 321 zzz vvv , despejando t en las ecuaciones anteriores, se obtiene la:

x Ecuación continua de la recta:3

0

2

0

1

0

vzz

vyy

vxx �

�

�

Es evidente que un punto X pertenecerá a la recta si y solo si el sistema de tres ecuaciones con

una incógnita (t): °¯

°®

� � �

03

02

01

zztvyytvxxtv

es compatible determinado, lo que significa que

1

03

02

01

3

2

1

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

zzvyyvxxv

rgvvv

rg . Por transformaciones sencillas en el sistema se obtienen las:

x Ecuaciones reducidas de la recta:¯®

� � qnxzpmxy

Si sólo se conocen dos puntos, A y B, de la recta, es sencillo comprobar que se obtiene la:

x Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

� � � �33

3

22

2

11

1321321 :,,,,,

abaz

abay

abaxbbbBaaaA

��

��

��

Ecuaciones del plano:

Sea P un punto de espacio y oovyu dos vectores libres linealmente independientes. El plano

que pasa por P determinado por oovyu es el conjunto de puntos X del espacio que verifican:

ooo� vtusPX . La terna ¸

¹·

¨©§ oo

vuP ,, se denomina determinación lineal del plano. Tomando como

sistema dce referencia el sistema de ejes cartesianos del espacio podemos escribir la :

x Ecuación vectorial del plano: oooo

�� vtusax

Si � � � � � �000321321 ,,,,,,, zyxPuuuuvvvv oo

se obtienen las:

2º de Ciencias


56

x Ecuaciones paramétricas del plano: °¯

°®

��

{

330

220

110

tvsuzztvsuyytvsuxx

S

Los parámetros s y t, al variar, proporcionan las coordenadas (x,y,z) de cada punto del plano.

Recíprocamente , si (x,y,z) son las coordenadas de un punto del plano, existen dos valores, uno de s y otro de t que sustituidos en las ecuaciones paramétricas las verifican. Por tanto un punto X(x,y,z) pertenece al

plano S si y solo si el sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas t y s: °¯

°®

� ��

033

022

011

zztvsuyytvsuxxtvsu

es

compatible determinado, lo que significa que:

02

321

321

000

033

022

011

33

22

11

��

� ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

vvvuuu

zzyyxx

zzvuyyvuxxvu

rgvuvuvu

rg , condición que debe cumplir un

punto X(x,y,z) del espacio para pertenecer al plano. Desarrollando el determinante anterior por los adjuntos de la primera fila se obtiene la:

x Ecuación general del plano: 0 �� DCzByAx Es evidente que si � � � � � �321321321 ,,,,,,,, cccCbbbBaaaA son tres puntos no alineados del espacio, hay un

único plano que los contiene. Basta tener en cuenta que ¸¹·

¨©§ oo

ACABA ,, es una determinación lineal del

plano. La ecuación de este plano por medio de un determinante sería: 0

33333

22222

11111

��

azacabayacabaxacab

,

determinante equivalente a 0

0001

333333

222222

111111

��

azacabaayacabaaxacaba

, sumando la primera columna a las otras

tres, se obtiene:

x Ecuación del plano que pasa por tres puntos: 0

1111

333

222

111

zcbaycbaxcba

2º de Ciencias


57

Determinación lineal de planos

Caso 1. Sea r una recta y P un punto exterior a ella. Existe un único plano S que pasa por el punto

y contiene a la recta. Si ¸¹·

¨©§ o

vA, es una determinación lineal de la recta, los vectores ov y

oAP son

linealmente independientes, por tanto ¸¹·

¨©§ oo

APvA ,, es una determinación lineal del plano S .

Caso 2. Sean r y s dos rectas que se cortan en un punto P. Existe un único plano que contiene a

ambas rectas. Es evidente que si ¸¹·

¨©§ o

uP, y ¸¹·

¨©§ o

vP, son determinaciones lineales de r y s, respectivamente,

¸¹·

¨©§ oo

vuP ,, es una determinación lineal del plano que contiene a ambas rectas.

Vector perpendicular a un plano: Hay muchas direcciones paralelas a un plano, pero sólo una perpendicular a él. La dirección de un

plano y de todos los planos paralelos a él queda caracterizada por cualquier vector perpendicular a ellos. Si Ax + By +Cz + D = 0 es la ecuación general de un plano S , el vector (A,B,C)es perpendicular al plano y recibe el nombre de vector director del plano.

Medida de ángulos: A partir de la definición de producto escalar, podemos encontrar el ángulo que forman dos

vectores: oo

oooo

¸¹·

¨©§

vu

vuvu·

·,cos

Por tanto, para calcular los ángulos formados por rectas y planos bastará tener en cuenta lo siguiente:

x Para calcular el ángulo que forman dos rectas r y r’, bastará calcular el ángulo ¸¹·

¨©§ oo

',vv que

forman sus vectores directores. Es decir: � � ¸¹·

¨©§

oo',', vvrr .

x Para calcular el ángulo que forman dos planos 'SS y , bastará con calcular el ángulo ¸¹·

¨©§ oo

',dd

formado por sus vectores directores. Es decir: � � ¸¹·

¨©§

oo',', vvSS .

x Para calcular el ángulo que forman una recta r y un plano S , bastará con calcular el ángulo

formado por los vectores directores de la recta ¸¹·

¨©§ov y el plano ¸

¹·

¨©§od . Pero en este caso hay que

tener en cuenta que: � � ¸¹·

¨©§�

oodvr ,º90,S .

2º de Ciencias


58

Relaciones de incidencia:

x Posición relativa de dos rectas: Sean

¯®

��

¯®

��

{''''

','''' GJED

GJEDzyx

zyxr

dzcybxadczbyax

r

Siendo

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

¸̧¸¸¸

¹

·

¨̈¨¨¨

©

§

''''

''''',

'''

'''

GJEDGJED

JEDJED

dcbadcba

Acbacba

A las matrices del sistema se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 2 Las rectas coinciden. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 Las rectas son paralelas. Si rg(A) = rg(A’) = 3 Las rectas se cortan en un punto. Si rg(A’) = 4 Las rectas se cruzan.

x Posición relativa de una recta y un plano: GJEDS ��{¯®

��

{ zyxdzcybxa

dczbyaxr ,

''''

Siendo ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

GJEDJED''''',''' dcba

dcbaAcba

cbaA las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 2 La recta está contenida en el plano. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 La recta y el plano son paralelos. Si rg(A) = rg(A’) = 3 La recta y el plano se cortan en un punto.

x Posición relativa de dos planos: ''''', dzcybxadczbyax ��{ ��{ SS

Siendo ¸̧¹

·¨̈©

§ ¸̧

¹

·¨̈©

§

''''',

''' dcbadcba

Acbacba

A las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 1 Los planos coinciden. Si rg(A) = 1 y rg(A’) = 2 Los planos son paralelos. Si rg(A) = rg(A’) = 2 Los planos se cortan en una recta.

x Posición relativa de tres planos:

'''''''''',''''', dzcybxadzcybxadczbyax ��{ ��{ ��{ SSS

Siendo ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

''''''''''''',

'''''''''

dcbadcbadcba

Acbacbacba

A las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 1 Los tres planos coinciden. Si rg(A) = 1 y rg(A’) = 2 Los planos son paralelos (dos puedencoincidir). Si rg(A) = rg(A’) = 2 Los planos se cortan en una recta. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 Los planos se cortan dos a dos o dosson paralelos Si rg(A) = rg(A’) = 3 Los planos se cortan en un punto.

2º de Ciencias


59

Haz de planos: Dada una recta r se define haz de planos de arista r como el conjunto de planos que contienen a

la recta r.

Si ¯®

��

{0''''

0DzCyBxA

DCzByAxr con 2

''' ¸̧

¹

·¨̈©

§CBACBA

rg , existen dos números reales m y n, no

simultáneamente nulos, tales que la relación: � � � � 0'?'' �� DzCyBxAnDCzByAxm corresponde a un plano cuya ecuación general sería:

� � � � � � 0'''' �� nDmDznCmCynBmBxnAmA . La ecuación m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 con m y n no simultáneamente nulos,

recibe el nombre de haz de planos de arista r.

Distancias:

x Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos � � � �111000 ,,,,, zyxQzyxP es el

módulo del vector PQ , por tanto: � � � � � � � �2012

012

01, zzyyxxQPd �� x Distancia de un punto a una recta: la distancia de un punto P a una recta r es la longitud del

segmento de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. Es la mínima distancia entre el punto dado y cualquier punto de la recta. Hay varios métodos para calcular dicha distancia:

o Sobre la recta “el punto Q de enfrente a P” está en un plano S que pasa por P y es

perpendicular a la recta; por tanto, basta calcular la ecuación de dicho plano y la distancia del punto a la recta será la misma que la distancia de P al punto Q de corte de la recta con el plano. Es decir: d(P,r) = d(P,Q).

o Se calcula la distancia de P a un punto genérico de la recta. Dado que la distancia del

punto a la recta es el valor mínimo, bastará mediante el cálculo de la derivada obtener dicho valor.

o Siendo Q un punto genérico de la recta, el vector PQ será un vector variable, el

vector buscado será perpendicular a la recta, basta pues calcular el módulo del vector

PQ que verifica 0· vPQ , siendo v el vector director de la recta. o Tomando el triángulo formado por P, un punto cualquiera Q de la recta y el vector

director de la misma, sabemos que dvS ·21

(siendo d la distancia del punto a la

recta); por otra parte sabemos (por las propiedades del producto vectorial) que

PQxvS21

, por tanto: � �v

PQxvrPd ,

2º de Ciencias


60

x Distancia de un punto a un plano: Hay diversos métodos para calcular la distancia de un punto � �000 ,, zyxP a un plano 0 ��{ DCzByAxS , pero basta con calcular el punto de corte Q de la recta r (perpendicular al plano y que contiene a P) con el plano, es decir:

� �222

000,CBA

DCyByAxPQPd

��

�� S

x Distancia entre dos rectas: Si las rectas se cortan, la distancia es cero. Si las rectas son

paralelas bastará tomar un punto de una de ellas y calcular la distancia de dicho punto a la otra recta. Si las rectas se cruzan siempre hay un vector perpendicular a ambas que tiene los extremos en dichas rectas. Hay varios métodos para calcular dicha distancia:

o Se toman dos puntos, P y Q, genéricos, en ambas rectas (r y s respectivamente), de todos los posibles vectores PQ el vector buscado será ortogonal a los vectores directores de ambas rectas. Una vez hallado dicho vector su módulo coincidirá con la

distancia entre ambas rectas: � ��

vxu

vxuPQsrd

·, .

o Si las recta r y s tienen como vectores directores u y v , respectivamente, basta construir un plano S paralelo a r que contenga a s, por tanto bastará calcular la distancia de un punto cualquiera de la recta s al plano S . Una determinación lineal del plano sería � �vuP ,, , siendo P un punto cualquiera de r.

x Distancia de una recta a un plano: Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero. Si no se cortan son paralelos, por tanto la distancia de la recta r al plano S coincidirá con la distancia de un punto P de la recta al plano. Es decir: � � � �SS ,, Pdrd .

x Distancia entre dos planos: Si se cortan la distancia es cero. Si no se cortan son paralelos; en

este caso bastará con calcular la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

2º de Ciencias


61

Vectores en el espacio: 1.- Sean � � � �4,1,1,3,1,2 � �

oovu dos vectores. Se pide:

a) El ángulo que forman. b) El área del triángulo que los tiene por lados. c) Los vectores unitarios que son ortogonales a ambos vectores.

d) Un vector coplanario con oovyu y ortogonal a

ou .

2.- Dados los vectores � � � �1,4,5,1,3,2 � oovu , descomponer

ov en suma de dos vectores

oobya que sean:

uno de ellos paralelo a o

u y el otro perpendicular aou .

3.- Sean ooocba ,, tres vectores tales que � � � � � �

6,,

4,,

3,,2, SSS

accbbaacab , Hallar el ángulo que

forman los vectores u y v , siendo cbvbau � � 2, .

4.- Dados los vectores wvu ,, tales que 0,4,1,3 �� wvuwvu , calcular uwwvvu ··· �� .

5.- ¿Puede haber dos vectores vu, tales que 2,1,3· � vuvu ? ¿Qué se puede decir del ángulo que

forman dos vectores si verifican que yxyx ·· ? Justificar las respuestas.

6.- Dados los puntos � � � � � �OOOO ,2,1,1,,0,,1,1 �� CBA

a) Probar, utilizando vectores, que los puntos no están nunca alineados. b) Obtener, en función del parámetro, el área del triángulo ABC.

7.- Dados los vectores � � � �1,1,3,2,1,1 � � vu , hallar el conjunto de vectores que siendo ortogonales a u , pertenecen al plano generado por ambos vectores. 8.- Si los vectores 321 ,, eee son linealmente independientes, ¿qué se puede decir de los vectores

21321321 3,2,2 eeeeeeee �� ? ¿Y de los vectores 2121 2, eeee �� ? 9.- Sean bya dos vectores cuyos módulos valen 3 y 5, respectivamente. Razonar si es posible cada una

de las siguientes igualdades: 9)1) � � babbaa .

Espacio afín: 1.- Sea r la recta que pasa por los puntos A(-2,1,6), B(2,3,4). Se pide:

a) Un vector director de la recta. b) Ecuaciones paramétricas de la recta. c) Punto de corte de la recta con el plano XY. d) Un punto de la recta que tenga iguales su primera y segunda coordenada.

2º de Ciencias


62

2.- Dado un plano S que pasa por los puntos A(2,-1,1), B(3,-3,0) y que es paralelo a la recta que pasa por los puntos M(1,2,-4) y N(4,3,-2), encontrar:

a) Dos vectores de dirección de S que sea linealmente independientes. b) Las ecuaciones paramétricas del plano. c) Las ecuaciones en forma de determinante del plano. d) La ecuación general del plano. e) Punto de corte del plano con el eje X. f) El punto del plano que tiene iguales sus tres coordenadas.

3.- Se considera las rectas 2

142

35,

632032 �

��

�

{¯®

��

{zyxs

zyxzyx

r el punto A(1,-3,2) Hallar:

a) Dos puntos cualesquiera de r. b) Dos planos cualesquiera que pasen por s. c) La ecuación general del plano que pasa por A y es paralelo a las rectas.

4.- Dadas las rectas ¯®

� ��

{°¯

°®

��

{azyx

azyxs

tzty

txr

2332

,34

213

, se pide:

a) Hallar el valor de a sabiendo que las rectas son paralelas. b) Para el valor de a hallado, determinar la ecuación general del plano que contiene a ambas rectas.

5.- Dadas las rectas 2

31,01203 z

nyxs

zxzyx

r �

�{¯®

��

{ , se pide:

a) Hallar el valor de n sabiendo que las rectas son paralelas. b) Para el valor de n hallado, determinar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,3,2), corta a la recta r y paralela al plano S ,

siendo: 1541212

��{¯®

��

{ zyxzyxzyx

r S .

7.- Estudiar la posición relativa de los planos siguientes, en función de los valores del parámetro: OSSS ��{ ��{ ��{ zyxzyxzyx 795,53,33 321 . Cuando la intersección sea una recta, hallar

dos puntos de ella. 8.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos

°¯

°®

��

{ ��{PO

POPO

SS421

231

',22zyx

zyx .

9.- Hallar el valor del parámetro k sabiendo que los puntos A(2,1,1), B(1,3,2), C(-1,5,2)y D(2,2,k) son coplanarios. 10.- Estudiar la posición relativa de los planos siguientes, en función de los valores del parámetro: 1,1,1 �� zyaxzayxazyx . En los casos en los que sea posible, calcular la intersección de dichos planos.

2º de Ciencias


63

11.- Dada la recta ¯®

��

{5313

zyxzyx

r indicar si el punto P(6,2,2) se halla o no sobre la recta paralela a r que

pasa por el origen de coordenadas. Razonar la respuesta. 12.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(1,1,1) y es paralelo al plano

°¯

°®

��

�� {

EE

EDS

123

321

zyx

.

13.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

34

222 �

��

�{zyxr y es paralelo a la recta

°¯

°®

� �

{tz

tytx

s 2131

14.- Supongamos que S es un plano cuya dirección está generada por el sistema de vectores � � � �^ `1,3,1,1,2,0 �� . Se pide:

a) Razonar si los puntos P(1,1,1) y Q(0,1,2) pueden pertenecer, simultáneamente a dicho plano. b) Razonar si el plano es o no paralelo, respectivamente a la recta zyxr { , al plano

022' ��{ zyxS . 15.- Estudiar, explicando el método seguido, si los puntos (1,1,1), (2,3,4) y (-5,0,-2) están alineados. En caso afirmativo, hallar las ecuaciones paramétricas y continua de la recta que definen; en caso negativo hallar la ecuación general del plano correspondiente.

16.- ¿Determinan las rectas °¯

°®

� �

{°¯

°®

{121

,z

tytx

stztytx

r un plano en el espacio? Justificar la respuesta.

17.- Sea el plano 01 ��{ zyaxS y las rectas ¯®

{¯®

{¯®

{zy

xr

zyx

rzx

r33

'',22

',11 . Determinar el valor

de a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estén alineados. 18.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,0) y se apoya en las

rectas zyxszyx

zyxr � � {

¯®

��

{ 1232

43

19.- Estudiar, en función de los valores del parámetro a, la posición relativa del plano 1 ��{ zayxS y

la recta ¯®

� ��

{1

22azyx

azyxr .

20.- Escribir la ecuación de un plano que contenga al punto P(1,2,3) y nunca corte al plano z = 10.

2º de Ciencias


64

21.- Dados los planos: 0

01653201

3

2

1

��{ ��{

��{

zayxzyx

yx

SSS

, donde a es un parámetro, probar que, salvo para un cierto

valor de dicho parámetro, los planos se cortan en un punto. Determinar ese valor de a y probar que para dicho valor los planos se cortan dos a dos determinando un conjunto de tres rectas paralelas. Espacio euclídeo: 22.- Determinar la ecuación de la recta perpendicular al plano x – y + 2z = 0 y que contiene al origen de coordenadas. Obtener asimismo el punto de contacto entre la recta y el plano. 23.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,3,-4) y que corta a los semiejes positivos X, Y, Z en puntos que están a igual distancia del origen. 24.- Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(1,2,1) y corta perpendicularmente a la recta

¯®

� ��

{2

1zx

zyxs .

25.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(-3,1,4) y es perpendicular a los planos 02137,015352 21 ��{ ��{ zyxzyx SS .

26.- Dada la recta de ecuación ¯®

��

{212

zyxzyx

r y el punto P(1,0,0) exterior a la misma, encontrar la

ecuación de la recta perpendicular a r que contiene a dicho punto. 27.- Dado el triángulo de vértices A(1,2,1), B(1,-1,0), C(2,1,1) se traza por cada vértice un plano perpendicular a la recta determinada por los otros dos vértices. Estudiar la posición relativa de dichos planos. 28.- Dados los puntos A(1,0,1), B(1,1,1) y C(1,6,a) se pide:

a) Hallar para qué valores del parámetro a los puntos están alineados. b) Estudiar si existen valores del parámetro para los que los puntos son vértices consecutivos de un

paralelogramo de área 3. En caso afirmativo, hallar dichos valores. c) Hallar la ecuación de la recta que pasando por el origen de coordenadas corte

perpendicularmente a la recta AB. 29.- Dada la familia de planos 2mx + (m+1)y –3(m-1)z + 4 = 0:

a) Calcular la ecuación del plano de esta familia que pasa por el punto (1,-1,2).

b) Calcular la ecuación del plano de esta familia perpendicular a la recta ¯®

��

{025013

zyzx

r

30.- Hallar la ecuación del plano perpendicular a 0625 ��{ zyxS y pasa por los puntos A(3,2,-1), B(1,-1.1).

31.- Dada la recta 1

221

1 �

�

�{

zyxr y el plano 0322 ��{ zmyxS , hallar razonadamente:

a) Los valores de m para que la recta y el plano sean paralelos. b) El valor de m para que la recta y el plano sean perpendiculares. c) ¿Existe algún valor de m para que la recta esté contenida en el plano?

2º de Ciencias


65

Experimentos aleatorios: Se llama experimento aleatorio a aquél en el que es imposible predecir el resultado

de una prueba aislada, aunque dicha prueba se haya realizado otras veces y en las mismas condiciones iniciales.

Un experimento cuyo resultado pueda predecirse se llama determinista.

Espacio muestral: Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de

un experimento aleatorio. Se suele representar por E.

Sucesos: x Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral, o lo que es lo mismo, a

cualquier conjunto de resultados que pueda obtenerse en un experimento aleatorio. x Se llama suceso elemental a los subconjuntos de E formados por un único elemento. x El espacio muestral, E, se llama suceso seguro. x El conjunto vacío, I , se llama suceso imposible. x Diremos que dos sucesos son incompatibles si no se pueden dar simultáneamente. x Diremos que dos sucesos son compatibles si se pueden dar simultáneamente. x Dos sucesos son contrarios si siempre que no se verifica uno, se verifica el otro.

(Observar la diferencia entre sucesos incompatibles y contrarios)

Operaciones con sucesos: Dado que los sucesos son conjuntos, se puede operar con ellos como se opera con conjuntos, creando nuevos sucesos a partir de otros. Suponiendo que el suceso A significa “obtener p” y el B “obtener q”, entonces:

x BA� significa “obtener p o q” y se denomina suceso disyunción. x BA� significa obtener p y q” y se denomina suceso conjunción. x BA� significa obtener p pero no q” y se denomina suceso diferencia. x A o cA es el suceso contrario a A y significa “obtener no p”.

Sucesos incompatibles: Teniendo en cuenta las operaciones con sucesos, podemos decir que: Dos sucesos A y B son incompatibles si I �BA .

Frecuencias: Supongamos un experimento H, de un espacio muestral E, que se repite N veces, y que n veces aparece repetido un cierto suceso A. Entonces se llama frecuencia relativa del suceso A al

cociente Nn , es decir:

Nn

realizadaspruebasdenAocurrequevecesden

Afr ºº

)(

La frecuencia relativa tiene unas propiedades básicas que son:

� � I �� dd

BAquesiempreBfrAfrBAfrAtodoParaAfr

Efr

)()(.31)(0.2

1)(.1

2º de Ciencias


66

Probabilidad: Si se repite muchas veces un experimento aleatorio, se observa que, a la larga, la frecuencia

relativa de cada suceso A va estabilizándose en torno a un número real fijo llamado probabilidad de A, que representaremos por p(A). La probabilidad cumple las siguientes propiedades:

� �� BApBpApBAp

ApApBpApBA

pEp

c

��

d��

)()(.5)(1.4

)()(.30)(.21)(.1

I

Regla de Laplace: Dado que la probabilidad nació al intentar estudiar las posibilidades de ganancia en los denominados juegos de azar (dados, cartas,…), en estos y muchos casos, todos los sucesos elementales tienen las mismas posibilidades de ocurrir, por lo que es lógico suponer que tienen la misma probabilidad. Entonces, dado un suceso A, los elementos de A se llaman casos favorables, con lo que, si en un experimento son igualmente probables todos los casos posibles, resultaría la definición clásica de probabilidad:

posiblescasosnfavorablescasosn

Apº

º)(

Probabilidad condicionada: Si en un experimento aleatorio se hace una prueba y se informa que el resultado obtenido es el

suceso A, entonces, la probabilidad de otro suceso B se llama probabilidad de B condicionada por A, se

designa por p(B/A) y se define de la siguiente forma: � �

)()/(

ApBApABp �

Diremos que A y B son sucesos independientes si se verifica que � � )()·( BpApBAp � (Esta última igualdad significa que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro)

Teorema de la Probabilidad total: Sean A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que � � 0ziAP , y B un suceso del que se

conocen las probabilidades condicionadas � �iABP / entonces la probabilidad de B se expresa:

� � � � � �¦

n

iii ABPAPBP

1/·

Teorema de Bayes: Si A1, A2, …, An es un sistema completo de sucesos tales que � � 0ziAP , y B un suceso del que se

conocen las probabilidades condicionadas � �iABP / , entonces se verifica que:

� � � � � �

� � � �¦

n

iii

iii

ABPAP

ABPApBAP

1/·

/·/

2º de Ciencias


67

1.- Obtener el espacio muestral de los siguientes experimentos:

a) Lanzar un dado y una moneda. b) Lanzar dos dados. c) Lanzar tres monedas.

2.- Consideremos, entre los habitantes de un municipio, los sucesos A = {ser socio del casino}, B = {ser socio del club de fútbol local} y C = {ser socio de alguna asociación juvenil}.

a) Expresar en función de A, B y C las siguientes situaciones: a. Ser socio de alguna de las asociaciones. b. Ser socio de las tres asociaciones. c. Ser socio, sólo, del casino. d. Ser socio de, como máximo, una o dos asociaciones. e. No ser socio de ninguna de las tres. f. Ser socio de una sola asociación.

b) Describir el significado de los siguientes sucesos: � �

� � � � � � � � � �CBCABAfBACeCBAdCBAcCBAbCBAa

C

C

��

......

3.- Si los sucesos A, B y C representan: A = {llueva hoy}, B = {llueva mañana}, C = {llueva pasado mañana}, expresar, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones:

a) Llueva uno de esos tres días, por lo menos. b) Llueva hoy, pero no mañana ni pasado. c) No llueva ninguno de los tres días. d) Llueva, como máximo, dos de esos tres días. e) Llueva hoy, pero no mañana.

4.- (PROBABILIDAD CONDICIONADA) De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 4 negras se hacen dos extracciones sin reponer la sacada. Hallar la probabilidad de los sucesos: A = {sacar dos bolas blancas} y B = {sacar bolas de diferentes colores} 5.- (SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES) En el experimento de lanzar tres monedas, hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: A = {sacar más caras que cruces}, B = {sacar al menos una cruz}, C = {sacar como máximo dos cruces}. 6.- Las probabilidades de los sucesos A, B y BA� son

151)(,

52)(,

31)( � BApBpAp . Con estos datos,

calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que se cumpla alguno de los sucesos A o B. b) Que no se cumpla A y sí B. c) Que se cumpla uno solamente. d) Que no se cumpla ni A ni B. e) ¿Son A y B incompatibles? ¿son A y B independientes?

7.- En un banco hay dos alarmas A y B. En caso de atraco, la probabilidad de que se activen A, B o ambas, es: 65'0)(,85'0)(,75'0)( � BApBpAp . Calcular la probabilidad de que:

a) Se active alguna de las dos b) Se active sólo una de ellas c) No se active ninguna.

2º de Ciencias


68

8.- Sean los sucesos: A = {ser oyente de RNE}, B = {ser oyente de la SER} y C = {ser oyente de M80}. Expresar mediante las operaciones de sucesos:

a) Ser oyente de, al menos, una emisora. b) Ser oyente de RNE, pero no ser de la SER ni de M80. c) Oír sólo dos emisoras. d) No oír más de una emisora. e) Oír alguna emisora, pero no las tres.

9.- Un cartero reparte tres cartas al azar entre tres destinatarios. Calcular la probabilidad de que al menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto. 10.- En una ciudad hay dos periódicos A y B. Describir, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones:

a) Ser lector de algún periódico. b) Leer sólo uno de ellos. c) Leer los dos. d) No leer ninguno.

Si en esa ciudad se sabe que los porcentajes de ciudadanos que leen A, B o los dos son, respectivamente, 50%, 45% y 20%, hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos descritos. 11.- Sean los sucesos A = {llueva hoy}, B = {llueva mañana}, con las probabilidades p(A)=0’6, p(B)=0’3 y p(B/A)=0’5, se pide la probabilidad de que:

a) Llueva los dos días b) Llueva sólo hoy c) Llueva sólo uno de esos días. 12.- Un dado numerado del 1 al 6 se ha cargado de modo que la probabilidad de obtener un número sea proporcional a dicho número. Si se lanza una vez, hallar la probabilidad de que salga una puntuación impar. 13.- (TABLAS DE CONTINGENCIA) En una comunidad, el 58% de sus habitantes son lectores del diario A, el 35% del B y el 12% de ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcular las probabilidades de:

a) Sea lector de algún diario. b) No lea la prensa. c) Lea sólo el diario A. d) Lea sólo uno de los dos diarios.

14.- Una entidad bancaria tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno con una probabilidad de 0’9 de dispararse en caso de robo. Si se produce un robo, calcular la probabilidad de que: a) Ninguna alarma suene, b) Suene una sola alarma, c) Alguna alarma suene. 15.- En una población hay tres periódicos, A, B y C. Se sabe que: el periódico A lo leen el 20% de los habitantes, el periódico B lo leen el 10% de los habitantes, el periódico C lo leen el 5% de los habitantes. Además, A y B lo leen el 4%, A y C el 3%, B y C el 2% y finalmente los tres periódicos lo leen el 1%. Elegido un habitante al azar, hallar la probabilidad de que no lea ninguno de los tres periódicos. 16.- Un colegio tiene 5.000 estudiantes y se sabe que 300 leen inglés, 200 francés, 50 alemán, 20 francés y alemán, 30 inglés y francés, 15 inglés y alemán, además 10 leen los tres idiomas. Si al azar se elige un estudiante del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante lea

a) dos y solamente dos idiomas? b) al menos un idioma?

2º de Ciencias


69

17.- Se lanzan dos dados. Si la suma de los puntos de las caras superiores es 7, hallar la probabilidad de que en alguno de los dos salga 3. 18.-De una baraja de 40 cartas se extraen sucesivamente dos cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean reyes si:

a) la primera carta se devuelve a la baraja. b) la primera carta no se devuelve a la baraja.

19.- Sea el experimento que consiste en extraer sucesivamente tres bolas de una caja que contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 negras. Hallar la probabilidad de que salgan en el orden roja, blanca y negra. 20.- Se lanza una moneda tres veces al aire. Hallar la probabilidad de que salga la primera vez cara, la segunda cruz y la tercera cara. 21.- Se lanzan un dado y una moneda. Hallar la probabilidad de que salga 3 y cara. 22.- En un colegio hay 60 alumnos de 2º de Bachiller. De ellos 40 estudian inglés, 24 francés y 12 los dos idiomas. Se elige al azar un alumno del curso, y si A y B son los sucesos A = {el alumno elegido estudia inglés}, B = {el alumno elegido estudia francés}. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos:

� �� C

C

BAiBAAhBABgABfBAeBAdBAcBbAa

/)/)/)/)))

)))

��

�

23.- Un dado lastrado de tal modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número (por ejemplo, la probabilidad de que salga 4 es el doble de la probabilidad de que salga 2). ¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió número impar? ¿Cuál es la probabilidad de que salga número par si se sabe que salió un número mayor que 3? 24.- Una urna contiene 8 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se sacan tres bolas de la urna, una tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca. 25.- Se dan a un jugador cuatro cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro sean oros? 26.- En un taller el 25% de los trabajadores son mecánicos, el 15% electricistas y un 10% tienen las dos especialidades. Se selecciona un trabajador del taller al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado sea mecánico o electricista? b) Si se sabe que el trabajador seleccionado es mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que sea

electricista? c) Si se sabe que el trabajador seleccionado es electricista, ¿cuál es la probabilidad de que sea

mecánico?

2º de Ciencias


70

27.- ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una tómbola sabiendo que sólo se puede jugar tres veces y que la probabilidad de ganar es 0’02? 28.- Se reparten, al azar, cinco premios entre cuatro mujeres y seis hombres. Calcular la probabilidad de que: a) Las cuatro mujeres resulten premiadas, b) Se premie a alguna mujer. 29.- Se tira un dado dos veces y se consideran los sucesos A = {sacar suma 7} y B = {al menos una puntuación es múltiplo de 3}. ¿Son A y B sucesos independientes? 30.- Se tienen los sucesos A y B. Si las probabilidades p(A) = 0’7, p(B) = 0’6 y � � 58'0 � CC BAp :

a) ¿Son independientes A y B? b) Hallar la probabilidad de que no se cumpla ni A ni B.

31.- En una clase de Ciencias Empresariales, el 65% de los alumnos aprueban Economía y el 50% Estadística. Se sabe además, que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Estadística es 0’8. Calcular el porcentaje de alumnos que:

a) aprueba las dos asignaturas. b) Suspende Estadística y aprueba Economía.

32.- Se estima que la probabilidad de que un hombre de 40 años cumpla 65 es de 0’76. Si tres amigos se reúnen para celebrar su cuadragésimo cumpleaños, hallar la probabilidad de que en su 65 aniversario:

a) Vivan los tres amigos. b) Los tres hayan fallecido. c) Viva alguno de ellos. d) Viva dos de los 3 amigos.

2º de Ciencias


71

1. Dos urnas tienen las composiciones siguientes: A1 = {5 bolas blancas (b) y 3 bolas negras (n)} y A2 = {3b y 3n}. Se escoge una urna al azar y se efectúan dos extracciones de ella, sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de extraer: a) 2 bolas blancas. b) Una de cada color. c) Si se realiza el experimento con reemplazamiento, resolver los apartados anteriores.

2. En un distrito universitario los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse

del siguiente modo: 20% Arquitectura, 35% Medicina y 45% Económicas. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios cada año es del 5%, 12% y 18%, respectivamente. Si seleccionamos un alumno al azar, ¿cuál será la probabilidad de que haya acabado la carrera? Y si ha acabado la carrera, ¿cuál es la probabilidad de que sea la de Económicas?

3. Los alumnos de cierto instituto están repartidos de la siguiente forma: 40% en tercero de ESO, 25% en

cuarto, 15% en primero de bachillerato y el resto en segundo de bachillerato. El porcentaje de aprobados de cada uno está en el 30% para 3º, el 40% para 4º, 60% para 1ºBach y 70% en 2ºBach. Elegido al azar un alumno de este centro, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) ¿Y de que sea de primero de bachillerato y haya suspendido?

4. En un centro escolar los alumnos de segundo de bachillerato pueden optar por cursar como lengua

extranjera inglés o francés. En un determinado curso escolar, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? Sabiendo que es una chica, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés?

5. En el primer curso de una carrera universitaria hay cuatro grupos (A, B, C y D), cada uno con el mismo

número de alumnos. En una determinada asignatura han aprobado el 40% de alumnos del grupo A, el 50% del grupo B, el 35% del grupo C y el 55% del grupo D. Se elige un alumno de ese primer curso al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado? b) Sabiendo que no ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a los grupos A o C? c) Si ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que no pertenezca al grupo D?

6. En una ciudad el 35% de los censados vota al partido A, el 45% al partido B, y el 20% se abstiene. Se

sabe, además, que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen son mayores de 60 años. Elegido al azar un vecino de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años?

7. Un ratón huye de un gato. Puede entrar por cada uno de los callejones A, B o C. En cada uno de ellos

el gato puede alcanzarlo o no. Se dan las siguientes probabilidades: P(entre por A)=P(A)=0’3; P(B)=0’5 y P(C)=0’2; P(lo cace habiendo entrado en A)=P(+/A)=0’4; P(+/B)=0’6 y P(+/C)=0’1. a) Calcular la probabilidad de que el gato cace al ratón. b) Vemos al gato perseguir al ratón, al poco rato llega con él en las fauces. ¿En cuál de los tres

caminos lo habrá cazado? No lo sabemos, pero calculemos qué probabilidad tiene de haberlo en cada uno de ellos. (Expresarlo en %).

2º de Ciencias


72

8. Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara acudimos a la urna A cuya

composición es: 4 bolas azules, 3 rojas y 3 verdes, y extraemos una bola; si sale cruz, vamos a la urna B compuesta por: 5 A, 2 R y 3 V y, nuevamente extraemos una bola. Hallar: a) El espacio muestral del suceso compuesto. b) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos del espacio muestral. c) Probabilidad de obtener bola roja. d) Probabilidad de que sabiendo que la bola extraída es roja, pertenezca a la urna B.

9. Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones: A (3 azules, 4 blancas, 5 rojas), B (7 A, 6 B y 5 R).

Extraemos una bola de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? ¿Y de que sean de distinto color?

10. Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se extraen tres bolas, sin fijarnos en el color, y se dejan

aparte. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente que se extraiga sea blanca? ¿Y de que sea negra?

11. Hay una epidemia de cólera (C). Consideramos como uno de los síntomas la fiebre (F), pero este síntoma se presenta, también, en personas con intoxicación (I) e incluso en algunas que no tienen nada serio (N). Las probabilidades son: P(F/C) = 0’99, P(F/I) = 0’5 y P(F/N) = 0’004. Se dan los siguientes porcentajes: el 2% de la población tiene cólera, el 0’5% intoxicación y el resto nada serio. a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga fiebre. b) Si una persona tiene fiebre, calcular la probabilidad de que tenga cólera.

12. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una

urna al azar y extraemos dos bolas que resultan ser las dos blancas. Hallar la probabilidad de que la urna elegida sea la A.

2º de Ciencias


73

1. En un supermercado el 70% de las compras las realizan mujeres, de las compras realizadas por éstas,

el 80% supera los 12 €, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 12 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 12 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra

haya sido hecha por una mujer?

2. En un determinado curso están matriculados 80 varones y 40 mujeres. Aprueban el curso completo 60 varones y 32 mujeres. Hallar: a) Probabilidad de que un alumno del curso sea varón y apruebe. b) Probabilidad de que una de las personas matriculadas suspenda. c) Una de las personas matriculadas ha aprobado, halla la probabilidad de que sea mujer.

3. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es rey, nos dirigimos a la

urna I; en caso contrario, nos dirigimos a la urna II. A continuación extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla: a) La probabilidad de que la urna extraída sea blanca y de la urna II. b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.

4. En una ciudad, el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30 % consume pan de multicereales

y el 20 % consume ambos. Se pide: a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que coma pan de

multicereales? b) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿cuál es la probabilidad de que no

consuma pan integral? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos

de pan?

5. Si A y B son dos sucesos tales que: P(A) = 3/8 , P(B) = 1/2 y P(A�B) = 1/4 , Calcular P � �BA� y P

� �BA�

6. Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber cómo debo distribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar y extraer de ella una bola al azar, sea máxima la probabilidad de obtener una bola blanca. La única condición exigida es que cada urna tenga al menos una bola.

7. Se estima que sólo un 20% de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De

ellos, el 80 % obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, sólo un 10% obtienen beneficios. Se desea saber: a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios. b) Si se elige una persona al azar que ha comprado acciones en Bolsa y resulta que ha obtenido

beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles?

2º de Ciencias


74

8. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale cruz a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés.

9. El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10% de las que resultaron

positivas lo fueron como consecuencia de errores aritméticos en la realización de la declaración. Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de éstos resultaron positivos?

SOLUCIONES: 1) a) 0’65 b) 0’4 2) a) 0’5 b) 0’23 c) 0’35 3) a) 0’54 b) 0’4 4) a) 0’36 b) 0’67 c) 0’35 5) a) 0’75 b) 0’375 6) Prob. Máx. 2/3 7) a) 24 % b) 2/3 8) 0’683 9) 80 %

2º de Ciencias


75

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Sea una variable aleatoria discreta, X, que toma valores xi (i= 1, 2, ….n) a los que se les asigna su probabilidad de ocurrir, pi. Valor esperado: Se llama también esperanza matemática. Coincide con la media de la

distribución de probabilidad. μ=∑ xi·pi

La desviación típica es 22 PV �¦ ii px La función de distribución, F(x), asigna a cada valor real la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que él, ijsiendoxXPxXPxF jii ...,3,2,1)()()( ¦ d DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes. Deben verificar tres condiciones:

1. Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.

2. Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.

3. Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas. Se representa por B(n, p), en donde n es el número de veces que se repite la experiencia y p la probabilidad del éxito de la experiencia.

La fórmula de la probabilidad binomial es: knk ppkn

kXP ��¸̧¹

·¨̈©

§ )1()(

Siendo los valores de la variable k = 0, 1, 2,……, n.

el número combinatorio es !)!·(

!kkn

nkn

� ¸̧

¹

·¨̈©

§

La media o valor esperado es μ = np. La desviación típica )1·(· ppn � V DISTRIBUCIÓN NORMAL La variable aleatoria X es una variable continua. Depende de dos parámetros: la media, μ, y la desviación típica, σ. Se representa por N(μ, σ). El cálculo de probabilidades de una distribución normal se reduce a calcular áreas bajo la curva normal (campana de Gauss). Para ello se utiliza la tabla de la distribución normal estándar, que tiene μ = 0 y σ = 1. En los demás casos se tipifica la variable antes de utilizar la tabla, con objeto de establecer la equivalencia entre unos valores y otros.

La equivalencia entre la variable X, con distribución N(μ, σ), y la variable Z, con distribución

N(0, 1) es VP�

XZ

La distribución binomial B(n, p) se aproxima a la normal N(μ, σ), cuando n·p≥5 y n·(1-p) ≥5

http://www.monografias.com/trabajos12/romandos/romandos.shtml#PRUEBAS

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtml

2º de Ciencias


76

DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1.- Un distribuidor de llantas las vende en lotes de cuatro. La distribución de probabilidad del número de defectuosas en cada lote es la siguiente:

K 0 1 2 3 4 P(Y = K) 0’9 0’05 0’03 0’015 0’005

Calcular la media y la desviación típica. Obtener la función de distribución y dibujarla. 2.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la tabla:

X -2 -1 0 1 2 3 Pi 0’07 m 0’36 0’1 0’22 0’04

Calcular: P(X = -1), P(X = 2), P(X = 1’5), P(X≥1’5) y P(X≤1’8). Calcular y dibujar la función de distribución. Calcular la esperanza matemática de la distribución. 3.- Un monedero tiene tres monedas de 0’20 €, cinco de 0’05 € y 2 de 0’01 €. Se sacan dos monedas sin reposición y se anota el total de euros extraídos. Hallar la función de probabilidad y la media de la distribución.

4.- Se considera la función de distribución de la variable X:

°°°°

¯

°°°°

®

d

�d

�d

�d

�

xsi

xsi

xsi

xsixsi

xF

41

4343

3283

2181

10

)(

a) Hallar la función de probabilidad correspondiente; b) Calcular � � � � � �31,31,31 �dddd� xpxpxp ; c) Dibujar la función de probabilidad y la de distribución. 5.- Se lanzan tres monedas y se observa la variable X: número de caras menos número de cruces sacadas. Establecer la distribución de probabilidad X. Calcular la media y la desviación típica. Hallar la función de distribución y dibujarla. 6.- Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:

X 3 4 5 6 7 8 P(X) 1/9 1/18 1/3 5/18 m 1/6

Completar la distribución de probabilidad. Calcular la media, desviación típica y la función de distribución. Representar gráficamente las funciones. 7.-Se lanza tres veces una moneda trucada, donde la probabilidad de obtener cara es p(c)=1/4. Hallar las probabilidades de los sucesos A = {obtener tres caras}, B = {obtener al menos una cara}. Realizar el mismo problema considerando p(c) = ¾. 8.- Un examen de opción múltiple está compuesto de 8 preguntas, con tres respuestas posibles cada una, de las que sólo una es correcta. Suponiendo que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más preguntas?. ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?

2º de Ciencias


77

9.- Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de sacar cara es 7/11. Se lanza la moneda 10 veces. Encontrar:

a) La probabilidad de sacar 8 caras. b) La probabilidad de sacar al menos una cruz.

10.- La probabilidad de que un tirador haga blanco de un disparo es de 0’4. Si efectúa 6 disparos, hallar:

a) La probabilidad de que acierte los 6 disparos. b) La probabilidad de que acierte 4 disparos como máximo. c) El número medio de aciertos.

11.- Supongamos que el 40% de los españoles tiene RH+. Si se toma una muestra de 5 personas, ¿qué probabilidad hay de que todos sean RH+? ¿Y de que no lo sea ninguno? 12.- Un sistema de protección contra cohetes está construido con n unidades de radar que funcionan independientemente, cada uno con una probabilidad de 0’9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. Se pide:

a) Si n = 5 y un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades de radar lo detecten?

b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el cohete que entra en la zona sea de 0’999?

13.- Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?:

a) Ninguno tenga efectos secundarios. b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios

si elige 100 pacientes al azar?

DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.- Utilizando la tabla de distribución normal, calcular la probabilidad de que:

a) � �47'1dzP b) � �79'0�dzP c) � �16'0tzP d) � �12'2�tzP e) � �03'02 �dd� zP f) � �22'225'0 dd� zP g) � �1'315'1 dd zP h) � �03'02 dd� zP i) � �4dzP

2.- Utilizando la tabla de la normal calcular el valor de k:

a) � � 9292'0 d kzP b) � � 2142'0 d kzP c) � � 4404'0 t kzP d) � � 9830'0 t kzP e) � � 4652'02 dd� kzP f) � � 5855'022'2 dd zkP g) � � 1241'01'3 dd zkP h) � � 55'003'0 dd zkP i) � � 1 d kzP

3.- La altura de una población se distribuye normalmente con media 170 cm y una desviación típica de 6 cm. Calcular la probabilidad de que elegido un individuo al azar tenga estatura:

a) Comprendida entre 158 y 182 cm. b) Menor que 170 cm. c) Mayor que 176 cm. d) Menor o igual que 166 cm.

2º de Ciencias


78

4.- Un equipo de fútbol ha conseguido en las últimas temporadas unos resultados que se distribuyen normalmente con una media de 25 victorias y una desviación típica de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 30 partidos por temporada? ¿Y de que gane menos de 20 partidos por temporada? 5.- Se tiene una población en la que la distribución de sus pesos es normal media 72’5 kg y la desviación típica es de 9 kg. Se pide:

a) ¿Qué porcentaje de esa población tiene un peso superior a 90 kg? b) Si elegimos una muestra de población de 100 personas, ¿cuántas tienen su peso comprendido

entre 75 y 80kg? 6.- Dos componentes de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de la primera según una normal N(6, 1’5) y el de la segunda N(43, 3’5). El sistema funciona si el rendimiento de la primera componente está entre 3 y 8 y el de la segunda entre 38 y 48. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 7.- El peso de los adultos de una población se distribuye normalmente con una media de 65 kg y desviación típica de 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justificar qué es más probable:

a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63’5 y 66’5 kg. b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg y el otro no tenga un peso

comprendido entre 62 y 68 kg. 8.- La altura de los mozos de un llamamiento al servicio militar sigue una distribución normal de media 1’7 m y desviación típica 0’1 m. Se desea saber:

a) Probabilidad de que un mozo, al azar, tenga una altura entre 1’7 y 1’9 m. b) Si el llamamiento consta de 50.000 mozos y se libran por falta de talla los que tienen una altura

inferior a 1’5 m, ¿cuál es el número esperado de libramientos por esta causa?

USO INDIRECTO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.- Supongamos que los pesos (en kilogramos) de una población de individuos sigue una distribución normal N(74, 4).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo pese más de 70 kg? b) ¿Qué porcentaje menos de 92 kg? c) ¿Qué porcentaje entre 70 y 92 kg? d) ¿Qué peso debe tener un individuo para que el 16’6% de la población pese más que él? e) ¿Y qué peso para que el 35% pese menos?

10.- Los 600 soldados de un cuartel poseen alturas que se distribuyen según una normal cmycm 12166 VP . Hallar el número aproximado de soldados cuya altura esté comprendida entre los 165 y 182 cm. ¿Cuántos medirán más de 190 cm? Si los mandos del ejército deben formar un batallón de “gastadores” con el 4% de los soldados más altos, ¿a partir de qué altura deben seleccionarse éstos? 11.- Para aprobar unas oposiciones se necesita obtener de 100 puntos, o más, en una prueba. Por experiencias anteriores se sabe que la distribución de los puntos obtenidos por los opositores es una normal de media 110 puntos y desviación típica 15.

a) ¿Qué probabilidad tiene un opositor de aprobar? b) Si se sabe que hay 1.000 opositores y sólo 300 plazas, ¿cuántos puntos se deberá exigir para

ajustar el número de plazas al número de opositores aprobados?

2º de Ciencias


79

12.- En una cierta población el coeficiente de inteligencia (C.I.) se distribuye normalmente N(98, 22). Sabiendo que un 3% de los individuos son deficientes, un 70% normales, un 22% muy inteligentes y un 5% genios, ¿qué C.I. ha debido tomarse como frontera entre las distintas clases de individuos? 13.- A lo largo de diferentes pruebas de acceso a la Universidad, se ha encontrado que la distribución de las calificaciones siguen una normal de media 6’3 puntos y desviación típica 0’7. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 7’6? b) Si un centro presenta 200 alumnos a la prueba, ¿cuántos de ellos, en media, superan a la misma? c) Si un alumno tiene un 7’4, ¿cuántos alumnos de los 200 le superan? d) ¿Qué nota hay que sacar para entrar en Medicina si sólo pueden entrar en dicha carrera un 5%?

LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL 14.- Un examen tiene 40 preguntas del tipo Verdadero/Falso, el examen se aprueba si se contestan correctamente al menos 22 preguntas. Si un alumno responde a las preguntas lanzando una moneda correcta, se pide:

a) Probabilidad de aprobar el examen. b) Probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté comprendido entre 25 y 30.

15.- Se ha encuestado a la población de cierto municipio, encontrándose que un 34% son socios del casino. Elegidos 50 ciudadanos al azar, ¿cuál será la probabilidad de haya exactamente 18 socios? ¿Y más de 20? 16.- En un proceso de control de calidad se sabe que el 3% de los artículos son defectuosos. Si éstos se colocan en cajas de 300, se pide:

a) Probabilidad de que una caja contenga 10 o más artículos defectuosos. b) Probabilidad de que el número de defectuosos esté comprendido entre 15 y 20, ambos inclusive. c) Si se rechazan todas las cajas con más de 10 defectuosos y se examinan 125 cajas, ¿cuántas de

ellas se rechazarán? 17.- El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos inclusive) tengan estudios medios, aplicando:

a) La distribución binomial. b) La aproximación de la normal a la binomial.

18.- La tasa de desempleo en una comunidad es del 16% de los trabajadores. Se selección a una muestra de 100 trabajadores. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga:

a) Al menos 10 desempleados. b) No más de 5 desempleados. c) Exactamente 8 desempleados.

2º de Ciencias


80

1.- Sea cbxaxxxf �� 23)( , determinar los valores de a, b y c de modo que la función tenga un extremo relativo en x = 0, la recta tangente a la gráfica en x = 1 sea paralela a y - 4x=0, y el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x=0, x = 1, sea 1. 2.- La recta que pasa por los puntos (4,0), (0,2) es la derivada de una función y=f(x), estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la función interpretando la gráfica de la derivada. 3.- Resolver las integrales:

� � ³³³

³³³

��

��

��

�

dxxx

eedxdx

x

x

dxxx

xxdxe

ex

dx

xx

x

x

492

31

6323

1

1cos

22

3

32

3

4.- Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función: °̄

°®

!

d� 12

13)(

2

xsimx

xsimxxf

5.- a) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de 2;;2 yxyxy .

b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de 723;

4;2 �� xyxyxy

c) Dibujar el recinto plano limitado por las curvas de ecuaciones respectivas ,2;6 22 � � xyxxy y calcular su área. d) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de � �� 42 �� xxxy y el eje OX.

e) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de xx

xy42

2 ��

y las rectas y=0, x=1, x=3.

f) Dibujar la región del plano limitada por las gráficas de 322 �� xxy y de y=5. Calcular también el

área de dicha región. 6.- Discutir según los valores de los parámetros la continuidad y derivabilidad de la función

°̄

°®

!�d�

1111

)( xsiax

xsibxxf .

7.- Hallar razonadamente los valores de m y n para que la función ¯®

t��

11315

)(2

xsixxsinxmx

xf sea

continua y derivable.

8.- Dada la función 1

4)( 2 ��

bxxxf , calcular el valor de b para que la función:

a) Sea continua en R. b) Tenga un solo punto de discontinuidad.

9.- Determinar los valores de k para que ¯®

!��d�

05305

)( 3 xsixxxsikx

xf sea continua y derivable en R.

2º de Ciencias


81

10.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de ¯®

!��d�

2125

)( 2 xsixnxxsimx

xf en función de los valores de los

parámetros. 11.- Calcular los valores de a, b, c y d en la función dcxbxaxxf �� 23)( , sabiendo que su gráfica pasa por los puntos A(-1,0), B(2,3) y tiene un punto de inflexión en (3,-6). 12.- Se quiere construir una ventana rectangular de 1 m2 de superficie. El coste por metro del marco horizontal se estima en 1’60 €, mientras que el del marco vertical vale 2’50 €. Diseñar el marco más económico. 13.- Dos postes de 20 y 40 m de altura respectivamente se encuentran a 30 m de distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los extremos de los postes. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable a emplear sea mínima?

14.- Dada la función °¯

°®

!��

�

d��

0

12

011

)(

2

2

xsixxbax

xsix

x

xf , determinar los valores de a y b sabiendo que es

continua en x=0 y que tiene un mínimo en x=2. ¿Es derivable en R? 15.- Dada la función 241 xxy �� , estudiar su continuidad y deivabilidad y calcular la ecuación de la

recta tangente en x=-2. 16.- Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente sea continua en todos los

puntos: °¯

°®

!��dd��

��

2213

1)(

3

2

xsiabxxsibxax

xsibaxxf . Estudiar su derivabilidad.

17.- a) Calcular ³ � 42xdx

b) Encontrar el valor del área determinada por la curva 4

12 �

x

y y las rectas x=-1, x=1, y=-5.

c) Calcular � �³ dxx2ln .

d) Encontrar el valor del área determinada por la curva � �2ln xy , el eje de abscisas y las rectas x=9, x=12. 18.- Determinar una recta tangente a la parábola 22 xy � que sea paralela a la recta de ecuación 2x+y=4. 19.- Sea 2)( wxvxuxp �� un polinomio de coeficientes u, v y w desconocidos. Si se sabe que p(1)=2, p(2)=2 y p(3)=4, hallar dichos coeficientes.

2º de Ciencias


82

20.- Dadas las matrices ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§ ¸̧

¹

·¨̈©

§��

20031

,111

21O

OBA . a) ¿Para qué valores del parámetro existe � � 1· �BA ?b)

¿Para qué valores del parámetro existe � � 1· �AB ?c) dados dos números cualesquiera a y b, ¿puede ser

compatible el sistema ¸̧¹

·¨̈©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

ba

zyx

A· ?

21.- Calcular una matriz X sabiendo que A·X=X·A, siendo ¸̧¹

·¨̈©

§

1011

A . Hallar XAA ·2 12 ��

22.- Resolver las ecuaciones siguientes:

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

¸¸¸

¹

·

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§��¸̧

¹

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§ �

¸̧¹

·¨̈©

§ �� ¸̧

¹

·¨̈©

§��

031211211

110011001

··100110

011)

17553

2132

··1523

)

6251

·42

53)

Xc

Xb

Xa

23.- Calcular los valores del parámetro que hacen que el sistema � �� °

¯

°®

��

��

01201

0

zpypxyppx

zypx tenga una solución

distinta de la trivial.

24.- Hallar las potencias enésimas de las matrices ¸̧¹

·¨̈©

§ ¸̧

¹

·¨̈©

§ ¸̧

¹

·¨̈©

§

00

01

101

ED

Ca

aB

aA

25.- Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad: � �322

11122 babbaababa

� �

26.- Sabiendo que 7212120 �

xyz

, hallar, si desarrollar el valor de 21321323

��

yyyxxxzzz

27.- Sea la matriz ¸̧¹

·¨̈©

§

1301

A y n un número natural cualquiera. Encontrar el valor de nA para cada n y

hallar 250350 AA � . 28.- Discutir y resolver en función de los valores de los parámetros, e interpretar geométricamente:

°¯

°®

� ��

�

¨¨¨

©

§

��

°¯

°®

��

��

°¯

°®

� � ��

��

°¯

°®

��

°¯

°®

��

aazyxzyx

zaxf

zyxkzky

zkxe

zayxzyx

yxd

zayzyaxazyx

czyx

zyxzyx

bzyxppzx

pyx

a

872

152)

03

02)

0016532

01)

104)

91151242

253)

53

02

)D

2º de Ciencias


83

29.- hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,0), es paralelo al plano 12 ��{ zyxS y

perpendicular a la recta 3

125

12 �

��

�

{zyxs .

30.- Hallar las ecuaciones de dos rectas r y s sabiendo que son paralelas a 12 ��{ zyxS y perpendiculares entre sí. 31.- Dados los planos 4ax+3y-az=9, ax+2z=15, 2ax+y+az=a-8. Determinar el valor de a para que los planos se corten en una recta. Hallar dos puntos de dicha recta. 32.- Calcular las ecuaciones de dos planos que pasan por los puntos A(1,-1,0) y B(1,1,-1). Hallar la recta r intersección de los dos planos. ¿Depende la recta de los dos planos que se hayan elegido?

33.- De todos los planos que contienen a la recta °¯

°®

��

{O

OO

21

2

zyx

r , calcular el que contiene al origen de

coordenadas.

34.- Dados los vectores 20,310,10/ � vuvuvyu , hallar el ángulo que forman.

35.- Hallar un vector unitario y ortogonal a � � � �5,3,1,4,3,2 �� vu . 36.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,-1,0) y corta a las rectas

11

232,

212

1�

�

{ ��

{zyxszyxr .

37.- hallar la ecuación del plano que es perpendicular a x-3y+z=0 y pasa por los puntos P(1,3,0) y Q(4,-2,1). 38.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (0,0,0), está contenida en el plano 3x+2y=6 y

es perpendicular 23

12

��

��

{zyxs .

39.- Dados los puntos A(0,1,2), B(1,2,3) y C(3,r+s,r-s), calcular r y s para que: a) Los puntos estén alineados. b) ACABA c) Los puntos determinen un plano.

40.- Dados los puntos del espacio A(2,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,3)

a) Determinar la ecuación del plano que los contiene. b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a dicho plano. c) Calcular el área del triángulo ABC.

41.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.

2º de Ciencias


84

42.- Determinar para qué valores del parámetro a el plano azyax ��{ 2S es paralelo a la recta de

ecuaciones ¯®

� � ��

{11

azaxzayx

r .

43.- Considerar las rectas ¯®

��

{¯®

��

{032

013,

02203

zxy

szx

yxr y calcular un vector director de cada

recta. Determinar si existe y, en su caso, calcular su ecuación: a) Plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. b) Plano perpendicular a la recta s que contiene a la recta r. c) Recta perpendicular a ambas que pasa por el origen de coordenadas.

44.- Sea π el plano de ecuación x-y+2z=3 y el punto P(1,1,0)

a) Determinar la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por P. b) Calcular la intersección de dicha recta y el plano.

45.- Sean las rectas ¯®

��

{°¯

°®

� �

{2203

,3

2153

zyxzyx

sz

tytx

r

a) Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(-1,-1,0) y es paralelo a las dos rectas. b) Hallar la intersección de dicho plano con los ejes de coordenadas.

46.- Resolver, si es posible, la siguiente ecuación matricial: ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

�� 101000

·201

441321

X

47.- Resolver la ecuación matricial tAXAX 2 � , siendo ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

013100025

A .

48.- Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función ¸¹·

¨©§

��

11ln)(

xxxf es

paralela a la recta de ecuación 2x+3y=4. Obtener la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x=3.

49.- Hallar la función f(x) tal que 1)(,0)1(,1

)('' 2 � effx

xf .

50.- Dados los vectores � � � �4,1,1,3,1,2 � � vu , se pide: a) Ángulo que forman. b) Área del triángulo que forman dichos vectores. c) Vectores unitarios y ortogonales a dichos vectores.

d) Vector coplanario con dichos vectores y ortogonal a u .


� ��

{¯®

� ��

{42

223,

433323

kykxzy

skkzx

zxr , determinar el valor de k para que ambas

rectas estén en un mismo plano. Para dicho valor de k, encontrar la ecuación del plano que las contiene.

2º de Ciencias


85

52.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,1,3) y corta a las rectas

¯®

��

{¯®

��

{5213

,1232

zyxzyx

szyxzyx

r

53.- Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ se traza un plano perpendicular a PQ. Este plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcular el área del triángulo ABC.


� ��

{�

�

�

{1

1,

32

213

zyxzyx

szya

xr , calcular el valor de a sabiendo que

forman un ángulo de 60o. 55.- Calcular el valor del parámetro a para que las rectas r y s se cortan en un punto.

¯®

��

{ �

�

{0101

,1

44 zyax

zayxsz

ayaxr . Calcular la ecuación del plano que las contiene.

56.- Calcular el valor de m para que los puntos A(0,2,2), B(1,1,m2-1) y C(2,0,2m) estén alineados. 57.- Calcular el valor de m para que los puntos A(0,1,2), B(1,0,3), C(1,m,1) y D(m,-1,2m) sean coplanarios. 58.- Ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y corta a los ejes X y Z.

59.- Resolver el determinante

xyxyxyxxyxyyyxyxyxxyyxxy

22

22

22

22

60.- Se sabe que el 30% de todos los fallos en las tuberías de plantas químicas son ocasionados por errores del operador. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 fallos en una planta química, exactamente 5 se deban a errores del operador? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o más fallos de 20 encontrados en una planta química, se deban a errores del operador? 61.- El 75% de los alumnos de un instituto acude a clase en algún tipo de transporte y el resto acude andando. Por otra parte, llegan puntual a clase el 60% de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden andando. Se pide: a) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya llegado puntual a clase? b) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido andando?

2º de Ciencias


86

AUTOEVALUACIÓN FINAL

1.- Hallar m para que la función: °̄

°®

!

d� 12

13)(

2

xsimx

xsimxxf sea continua. Para esos valores de m estudiar

la derivabilidad de f.

2.- a) Representar gráficamente 482

��

xxy calculando los elementos necesarios.

b) Calcular dos números positivos, sabiendo que suman 10 y que la resta de uno de ellos menos el inverso del otro es máxima.

3.- Resolver las integrales: � �³³ �

�� dxxxbdx

xxxa

41)2) 2

32

4.- Calcular a y b, sabiendo que la función 1)( 23 �� xbxaxxf tiene sus extremos en los puntos de abscisa x=1, x=2 .Calcular los puntos de inflexión y hacer un esbozo de la gráfica. 5.- a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de xxxf 3)( 3 � y el eje OX. b) Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones 22 6)(,2)( xxxgxxf � � .

6.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro, el sistema °¯

°®

��

4534

zykxzyxzkyx

. Dar la

interpretación geométrica en cada caso.

7.- Resolver la ecuación matricial A·X = A + B, siendo ¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

�

�

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

��

�

011131202

,111012201

BA

8.- Determinar los valores de a y b para que el plano determinado por los puntos A(-1,1,1), B(0,a,-2) y C(-2,5,5) sea perpendicular al la recta determinada por los puntos D(-3,3,b) y E(5,5,-3). 9.- Tres fábricas A, B y C, producen respectivamente el 30%, 20% y 50% de los motores agrícolas que se demandan en la industria. Los inspectores de calidad saben que son defectuosos el 5% de los motores producidos por la fábrica A, el 20% de los producidos por la fábrica B y el 10% de los que se fabrican en la C. a) Un inspector de calidad elige un motor al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? b) Si el inspector comprueba que el motor agrícola que elige está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido producido por la fábrica C? 10.- El 30% de los habitantes de un determinado pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso de televisión: a) Tres o menos personas. b) Ninguna de las 10 personas a las que se ha llamado.

2º de Ciencias


87

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1)

K (z0) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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2º de Ciencias I.E.S. Teobaldo Powerteobaldopower.org/matematicas/cuadernillos/Cuadernillo b2c 18-19.pdf · 2º de Ciencias Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 6 1.-