3- Genel Denklemler_PPT2

UCK351 Aerodinamik ders notları- MAY

1

AKIŞKAN HAREKETĐNĐ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER, TEMEL KAVRAMLAR

Bazı önemli kavramlar

Kontrol hacmi

Debi

Hareketi takiben alınmış türev

Genel denklemlerin integral formları

Genel denklemlerin diferansiyel formları

Bazı temel kavramlar

Akım çizgisi

Akışkan kinematiği, Rotasyonel ve irrotasyonel hareketler

Sirkülasyon

Akım fonksiyonu

Hız potansiyeli


2

Uzayda Sabit Konumlu, Sonlu Kontrol Hacmi

Kontrol yüzeyi

dU

V

n

dS

Kontrol hacmi


3

Debi

A

h= V n

Tavan ve tabanı

paralel prizma

n

V

V

V

V

A : Yüzey alanı

V : Akışkanın birim zamanda aldığı yol – hız

n : Yüzey normali

h : Prizmanın yüksekliği

( )nVAQrr

⋅⋅=

( )nVAQmrr

&& ⋅⋅⋅=⋅= ρρ

hacımsal debi = Birim zamanda A yüzeyinden geçen akışkan hacmi

= prizmanın hacmi = Taban alanı × Yükseklik

Kütlesel debi = Hacımsal debi × yoğunluk


4

Hareketi Takiben Alınmış Türev

Tam diferansiyel tanımı dtt

Adz

z

Ady

y

Adx

x

AdA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

t

A

dt

dz

z

A

dt

dy

y

A

dt

dx

x

A

dt

dA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Hız vektörütanımı

wdt

dzv

dt

dyu

dt

dxkwjviuV ===→++= ,,,rrrr

z

Aw

y

Av

x

Au

t

A

dt

dA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Gradyan vektörü tanımı kz

Aj

y

Ai

x

AA

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Hareketi takiben alınmış türev AVt

A

Dt

DA∇⋅+

∂

∂=

r


5

Süreklilik denkleminin integral biçimi

Kütlenin korunumu ilkesi : Kütle yok edilemez / yoktan var edilemez

U kontrol hacminin S

yüzeyinden birim zamanda

çıkan net kütle miktarı

U kontrol hacmindeki kütle

miktarının birim zamandaki

değişimi=

∫∫ ⋅⋅=S

dSnVrr

ρ ∫∫∫υ

υ⋅ρ∂

∂− d

t=

0dSnVdt

S

=⋅⋅ρ+υ⋅ρ∂

∂∫∫∫∫∫

υ

rr


6

Momentum denkleminin integral biçimi

dt

VdmamF

rrr

⋅=⋅=∑

( )Vmdt

dF

rr=∑

Hareketin korunumu ilkesi : Dış kuvvetler toplamı atalet kuvvetine eşittir

Sabit kütle için

Dış kuvvetler toplamı = Momentumun birim zamandaki değişimi


7


∫∫∫υ

υ⋅ρ⋅= dfr

∫∫ ⋅−=S

dSnpr

viscFr

=

Dış kuvvetler

Bünyesel kuvvetler Gravitasyonel kuvvetlerbirim kütleye etkiyen bünyesel kuvvettir

Elektromanyetik kuvvetler

Yüzeysel kuvvetler Basınç kuvvetleri

Teğetsel kuvvetler

fr


8


( )∫∫ ⋅⋅⋅ρ=S

VdSnVrrr

( )∫∫∫υ

⋅υ⋅ρ∂

∂= Vd

t

r

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυ

υ⋅⋅ρ++⋅−=⋅⋅⋅ρ+⋅υ⋅ρ∂

∂dfFdSnpVdSnVVd

tvisc

SS

rrrrrrr

Momentumun birim zamandaki değişimi

Kontrol hacmindeki kütle miktarının değişiminden kaynaklanan momentum değişimi

Kontrol yüzeyinden çıkan ve giren kütlelerin taşıdıkları momentumlar arasındaki fark

Sonuç olarak Momentum denkleminin integral biçimi


9

Momentum denkleminin uygulaması2-Boyutlu cismin sürüklemesi

Bir kanat profilinin gerisindeki hız profilleri

sınır t abaka iz bölge si

Pitot-tarağı


10


y → +∞

y → -∞

x → - ∞

V∞

p∞

ρ∞

u(x,y)

p(x,y)

ρ(x,y)

A

CB

D

E

F

G

H

I J

K

D

Dx

y

AK, AB ve BJ yüzeyleri profilden yeterince uzakta: Akım serbest akım koşullarında

dSnVVFS

)(rrrr

⋅= ∫∫∑ ρMomentum denklemi

x – momentum denklemi ∫∫+∞

∞−

∞∞

+∞

∞−

∞ −=−+− dyVudyppD22)()( ρρ


11


JK kesiti yeterince geride ise p = p∞ ve iz dışında u = V∞

x – momentum denklemi ∫∫+∞

∞−

∞∞

+∞

∞−

∞ −=−+− dyVudyppD22)()( ρρ

∫∫∫+∞

∞−

∞∞∞

+∞

∞−

+∞

∞−

∞ ρ−ρ=−+− dyVVdyudyppD2

)(

∫∫∫+∞

∞−

∞

+∞

∞−

+∞

∞−

∞ ρ−ρ=−+− dyuVdyudyppD2

)(

∫∫+∞

∞−

∞

+∞

∞−

∞ −ρ+−= dyuVudyppD )()(

∫ −ρ= ∞

Đz

dyuVuD )(


12

Uzunluğu c olan bir düz levha üzerinde gelişen laminer sınır tabakanın firar kenarındaki kalınlığı ve levhanın sürtünme sürükleme katsayısı sırasıyla

şeklinde verilmektedir. Sınır tabaka içerisindeki hız dağılımı

şeklindeki bir kuvvet kanunu ile tanımlandığına göre, bu bağıntıdaki n üssünün değerini hesaplayınız.

∞

∞∞

∞ µ

ρ==

′≡=

δ cV

cq

DC

cc

f

c

Re;Re

328.1

)1(,

Re

5

ny

Vu

δ= ∞

c

Kontro l hacminin üst sınır ı

olarak seçilen akım çizgisi

V∞ Hız profili

u = u(y)

x

δ

y

Sınır tabakanın

kenarı

Örnek:


13

Çözüm:

Sürtünme sürüklemesi katsayısı

cc Re

5=

δ

n

c

f

y

V

uC

δ==

∞

;Re

328.1

cq

DC f

∞

′=

Momentum denkleminden ∫ −ρ= ∞

Đz

dyuVuD )(

∫∫δ

∞∞

δ

∞

∞∞

∞ −=−ρ

ρ=

c

fc

yd

V

u

V

udyuVu

cVC

/

00

2)1(2)(

½

∫δ

δ−

δ=

c nn

cc

yd

c

cy

c

cy/

0

2

/

/

/

/2

Re

328.1

İntegral alınarak

δ

+−

δ

+=

cncnc

12

2

1

2

Re

328.1

+−

+=

cccnn Re

1

12

10

Re

1

1

10

Re

328.1


14

Not: Önerilen hız dağılımının gerçek laminer sınır tabaka hız dağılımına uymadığı dikkati çekmektedir.

25.00.2 veyan =

10

328.1

12

1

1

1=

+−

+ nn

01328.06016.02656.02 =+− nn

n = 2

n = 0.25

Düz levha için

gerçek laminer sınır

tabaka hız profili

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.2 0 .4 0.6 0.8 1 .0

u

V∞

y

δ


15

Enerji denkleminin integral biçimi

Çevre

δδδδq

Çevreden sisteme

sokulan ısı

δδδδw

Çevre tarafından

sistem üzerinde yapılan iş

Sistem

de

Sistemin

enerjisindeki

değişim

dewq =δ+δ

Enerjinin korunumu ilkesi Enerji yok edilemez, yoktan var edilemez, biçim değiştirir

(birim kütle başına)

Termodinamiğin 1. Kanunu


16


B3

Birim zamanda sistemin

enerjisindeki değişim

V

n

dS

B1

Birim zamanda

giren ısı

B2

Birim zamanda

yapılan iş

321 BBB =+

NOT: Enerji denklemi aslında güç boyutunda olmakla birlikte, bir alışkanlık eseri olarak “enerji denklemi” tabiri kullanılmaktadır.


17


∫∫∫ ⋅⋅=υ

υρ dq&

viscQ&=

visc1 QdqB && +⋅⋅= ∫∫∫υ

υρ

B1 – Sisteme birim zamanda sokulan ısı miktarı:

1- Radyasyon veya yanma yoluyla birim zamanda sokulan ısı

2- Viskoz kaynaklı (ısı iletimi, kütle difüzyonu) olarak sokulan ısı

Böylece sisteme birim zamanda sokulan toplam ısı

Not : birim kütle başına sokulan ısıq&


18


( )∫∫ ⋅⋅−=S

VdSnprr

( )∫∫∫υ

⋅υ⋅ρ⋅= Vdfrr

viscW&=

( ) ( )visc

S

WVdfVdSnpB &rrrr

+⋅υ⋅ρ⋅+⋅⋅−= ∫∫∫∫∫υ

2

1- Basınç kuvvetlerinin yaptığı iş

2- Bünyesel kuvvetlerin yaptığı iş

3- Viskoz kuvvetlerin yaptığı iş

Böylece

VFdt

rdF

rrr

r⋅=⋅

F

x

y

z

r

dr B2 – Çevrenin sistem üzerinde birim zamanda yaptığı iş:

İş tanımı

kuvvetinin yaptığı iş

kuvvetinin birim zamanda yaptığı iş

Fr

rdFrr

⋅

Fr

Çevrenin sisteme etkittiği kuvvetlerin yaptığı iş


19


B3 – Sistemin enerjisinin birim zamanda değişimi:

Birim kütle başına enerji

e İç enerji (Durağan sistem için sadece iç enerji vardır)

Kinetik enerji (Hareketli sistem için ilaveten kinetik enerji vardır.)2

2

1V

2

2

1Ve +=

Kontrol hacmindeki kütle miktarının değişiminden kaynaklanan enerji değişimi

Kontrol yüzeyinden çıkan ve giren kütlelerin taşıdıkları enerjiler arasındaki fark

( )∫∫

+⋅⋅⋅ρ=

S

2V2

1edSnV

rr

( )∫∫∫υ

+⋅υ⋅ρ

∂

∂= 2V

2

1ed

t


20


( )

( ) ( ) viscvisc

S

S

QdqWVdfVdSnp

VedSnVdVet

&&&rrrr

rr

+υ⋅ρ⋅++⋅υ⋅ρ⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅ρ+υ⋅

+⋅ρ

∂

∂

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

υυ

υ

22

2

1

2

1

NOT:

-Dışardan bir şaft ile güç sokuluyorsa terimi eklenmeli

- Yükseklik farkı önemliyse + gz şeklinde potansiyel enerji terimi eklenmelidir.

şaftW&

2

2

1Ve +


21

Denklemlerin bilançosu

0dSnVdt

S

=⋅⋅+⋅∂

∂∫∫∫∫∫

rrρυρ

υ

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυ

υ⋅⋅ρ++⋅−=⋅⋅⋅ρ+⋅υ⋅ρ∂

∂dfFdSnpVdSnVVd

tvisc

SS

rrrrrrr

( )

( ) ( ) viscvisc

S

S

QdqWVdfVdSnp

VedSnVdVet

&&&rrrr

rr

+υ⋅ρ⋅++⋅υ⋅ρ⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅ρ+υ⋅

+⋅ρ

∂

∂

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

υυ

υ

22

2

1

2

1

( ) epwvuV ,,,,,r

ρ

1 süreklilik

+

3 momentum

+

1 enerji

Toplam 5 denklem

Đlave denklemler (Termodinamik bağıntılar) Đlave bilinmeyen

Hal denklemi T

Kalorik mükemmel gazlar için

SONUÇ: 7 adet denklem (ve bağıntı) ile 7 bilinmeyen çözülebilir.

Bilinmeyenler Toplam 6 adet bilinmeyen

denklem sayısı çözüm için yeterli değil

TRp ρ=

Tce v=


22

Genel Denklemlerin Diferansiyel Biçimleri

Diverjans Teoremi

A bir vektörel veya skaler büyüklük olmak üzere bir yüzey integrali diverjans teoremi yardımıyla bir hacim integraline dönüştürülebilir

∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅υ

υdAdSnAS

r


23

Süreklilik denkleminin diferansiyel biçimi

Sonsuz küçük kontrol hacmi için

∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅υ

υdAdSnAS

r

( ) ( )∫∫∫∫∫ ⋅⋅∇=⋅⋅υ

υρρ dVdSnVS

rrr

0=⋅⋅ρ+υ⋅ρ∂

∂∫∫∫∫∫

υ S

dSnVdt

rr

( ) 0=⋅

⋅∇+

∂

∂∫∫∫

υ

υρρ

dVt

r

( ) 0=⋅∇+∂

∂V

t

rρ

ρ Daimi akım için

Sıkıştırılamaz akım için

0/ =∂ρ∂ t ( ) 0=⋅ρ∇ Vr

Sb=ρ 0=∇Vr

Materyal türev tanımı ile 0=∇ρ+ρ

VDt

D r

0=∇ρ+ρ∇+∂

ρ∂VV

t

rr


24

Momentum denkleminin diferansiyel biçimi

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂

∂

υυ

υρρυρ dfFdSnpVdSnVVdt

visc

SS

rrrrrrr

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++∇−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂

∂

υυυ

υρυρυρ dfFdpVdSnVVdt

visc

S

rrrrrr

kfjfiff

kFjFiFF

kwjviuV

zyx

visczviscyviscxvisc

rrrr

rrrr

rrrr

++=

++=

++=

−−−

Hız, Teğetsel kuvvet veBünyesel kuvvet vektörleri

olmak üzere

x-momentum ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++∂

∂−=⋅⋅⋅+⋅⋅

∂

∂−

υυυ

υρυρυρ dfFdx

pudSnVud

txviscx

S

rr

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υ

−

υυυ

υ⋅⋅ρ++υ∂

∂−=υρ∇+⋅υ⋅ρ

∂

∂dfFd

x

pduVud

txviscx)(

r

İntegraller birleştirilip kontrol hacmi sonsuz küçük yapılarak


25


x-momentum( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) zviscz

yviscy

xviscx

ffz

pwV

t

w

ffy

pvV

t

v

ffx

puV

t

u

⋅ρ++∂

∂−=ρ∇+

∂

ρ∂

⋅ρ++∂

∂−=ρ∇+

∂

ρ∂

⋅ρ++∂

∂−=ρ∇+

∂

ρ∂

−

−

−

r

r

r

y-momentum

z-momentum

Navier-Stokesdenklemleri

0,0,0 ≡≡∂

∂≡ viscf

tf

rrBünyesel kuvvetleri olmadığıdaimi akım içinviskoz kuvvetler ihmal edilirse

( )

( )

( )z

pwV

y

pvV

x

puV

∂

∂−=ρ∇

∂

∂−=ρ∇

∂

∂−=ρ∇

r

r

r

Eulerdenklemleri


26


x-momentum

Soldaki terimler açılarak

Düzenlenerek

( ) ( ) xviscx ffx

puV

t

u⋅ρ++

∂

∂−=ρ∇+

∂

ρ∂−

r

( ) xviscx ffx

pVuuV

tu

t

u⋅ρ++

∂

∂−=ρ∇+∇ρ+

∂

ρ∂+

∂

∂ρ −

rr

( ) xviscx ffx

puV

t

uV

tu ⋅++

∂

∂−=

∇+

∂

∂+

∇+

∂

∂− ρρρ

ρ rr

≡ 0(Süreklilik denklemi)

= Du/Dt(Materyal türev)

zviscz

yviscy

xviscx

ffz

p

Dt

Dw

ffy

p

Dt

Dv

ffx

p

Dt

Du

⋅ρ++∂

∂−=ρ

⋅ρ++∂

∂−=ρ

⋅ρ++∂

∂−=ρ

−

−

−x-momentum

y-momentum

z-momentum


27

Enerji denkleminin diferansiyel biçimi

Yüzey integrallerinde diverjans teoremi uygulanarak vekontrol hacmi sonsuz küçük yapılarak

Daimi akım halinde, bünyesel kuvvetler ve viskoz kuvvetler ihmal edilirse, ısı ilavesi olmaması halinde

( )

( ) ( ) viscvisc

S

S

QdqWVdfVdSnp

VedSnVdVet

&&&rrrr

rr

+υ⋅ρ⋅++⋅υ⋅ρ⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅ρ+υ⋅

+⋅ρ

∂

∂

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

υυ

υ

22

2

1

2

1

( ) viscvisc qqwVfVpVVeVet

&&&rrrr

++++−∇=

+∇+

+⋅

∂

∂ρρρρ 22

2

1

2

1

0,0,0,0,0 ≡≡≡≡≡∂

∂qqwf

tviscvisc

&&&r

( )VpVVerr

−∇=

+ρ∇ 2

2

1


28

Akımın görünümü: Yörünge çizgisi

Yörünge çizgisi: Akışkanın zaman içerisinde izlediği yol


29

Akımın görünümü: Çıkış çizgisi

Çıkış çizgisi: Akım alanının aynı noktasından belli bir zaman aralığında geçen akışkan zerrelerinin bir t anında bulundukları noktaları birleştiren eğridir.

x

Zaman = t2

y

z

A B

C

1


30

Akımın görünümü: Akım çizgisi

Akım çizgisi: Bütün noktalarındaki teğetleri hız vektörüne paralel olan eğri

Daimi akımda akım çizgileri yörünge çizgileriyle aynıdır

Akım çizgisi

Hız vektörü

Akım çizgisi


31

Akım Çizgisinin Denklemi

0=×Vsdrr

kwjviuV

kdzjdyidxsdrrrr

rrrr

++=

++=

0)()()( =−+−+−=

=×

udyvdxkwdxudzjvdzwdyi

wvu

dzdydx

kji

Vsd

rrr

rrr

rr

0

0

0

=−

=−

=−

udyvdx

wdxudz

vdzwdy

w

dz

v

dy

u

dx==


32

Örnek problem

²²,

²² yx

xv

yx

yu

+

−=

+= İle verilen hız alanı için (0,5) noktasından geçen

akım çizgisinin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Akım çizgisi denklemiv

dy

u

dx=

x

dy

y

dx

−= xdxydy −=

Cxy +−= ²²Đntegre edilerek

(0,5) noktası için C+−= 0²5 25=C 25²² =+ yx


33

Akışkan kinematiği

Akışkan hareketi

1- Öteleme (translasyon)2- Dönme (rotasyon)3- Genişleme-daralma (dilatasyon)4- Açısal deformasyon

A x

y

dx

dy

___ dx ∆ t ∂v

∂x

v. ∆ t

___ dy ∆ t ∂u

∂y

dy + ___ dy ∆ t ∂v

∂y

B D

C

dx+ ___ dx ∆t ∂u

∂x

B’

C’

t + ∆ t anı

A’

D’

-∆φ1

∆φ2 u. ∆ t

t anı

v + ___ dx ∂v

∂x

u + ___ dy ∂u

∂y

u

v

v + ___ dy ∂v

∂y

u + ___ dx ∂u

∂x

A noktasının A’ ye gitmesi bir öteleme hareketidir.

Öteleme miktarları:

tvtu ∆⋅∆⋅ ,


34


___ dx ∆ t ∂v

∂x

___ dy ∆ t ∂u

∂y

dy + ___ dy ∆ t∂v

∂y

dx+ ___ dx ∆ t ∂u

∂x

B’

C’

A’

D’

-∆φ1

∆φ2

AD diyagonali saat ibrelerine zıt yönde bir dönme hareketi yaparak A’D’ diyagonaline dönüşmüştür. Bu bir “dönme (rotasyon)”hareketidir.

BC kenarının açısal hızı

tx

v

tdxx

udx

tdxx

v

∆∂

∂≈

∆∂

∂+

∆∂

∂

=φ∆ −1

2tan

x

v

dt

d

tt ∂

∂=

φ=

∆

φ∆

→∆

22

0lim

AB kenarının açısal hızı

ty

u

tdyy

vdy

tdyy

u

∆∂

∂≈

∆∂

∂+

∆∂

∂

=φ∆ −1

1 tany

u

dt

d

tt ∂

∂=

φ=

∆

φ∆→∆

11

0lim

BD diyagonalinin açısal hızı

∂

∂−

∂

∂=

φ−

φ=ω

y

u

x

v

dt

d

dt

dz

2

1

2

112


35

z – ekseni etrafındaki (xy - düzlemindeki) açısal hız

∂

∂−

∂

∂=ω

y

u

x

vz

2

1


y – ekseni etrafındaki (xz - düzlemindeki) açısal hız

∂

∂−

∂

∂=ω

x

w

z

uy

2

1

x – ekseni etrafındaki (yz - düzlemindeki) açısal hız

∂

∂−

∂

∂=ω

z

v

y

wx

2

1

Akışkan taneciğinin açısal hız vektörü kji zyx

rrrrω+ω+ω=ω

Vortisite ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

w rrrrr

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=ω=ζ 2

Vrr

×∇=ζ


36


Rotasyonel hareket Đrrotasyonel hareket

0≠×∇=ζ Vrr

0=×∇=ζ Vrr

∆θ

∆θ

- ∆θ

- ∆θ

∆θ + (-∆θ) = 0


37


∂

∂+

∂

∂=ε

z

w

y

vyz

2

1

∂

∂+

∂

∂=ε

z

w

y

uxz

2

1

∂

∂+

∂

∂=ε

x

v

y

uxy

2

1

Akışkan elemanı, AB ve AC kenarlarıarasındaki dik açı azalarak bir açısal derformasyona uğramıştır.

φ+

φ=ε

dt

d

dt

dxy

12

2

1

A x

y

dx

dy

___ dx ∆ t ∂v

∂x

v. ∆ t

___ dy ∆ t ∂u ∂y

dy + ___ dy ∆ t ∂v

∂y

B D

C

dx+ ___ dx ∆t ∂u ∂x

B’

C’

t + ∆ t - anı

A’

D’

-∆φ1

∆φ2 u. ∆ t

t - anı

v + ___ dx ∂v ∂x

u + ___ dy ∂u ∂y

u

v

v + ___ dy ∂v

∂y

u + ___ dx ∂u ∂x


38


x

uxx

∂

∂=ε

y

vyy

∂

∂=ε

Akışkan elemanı “genişleme(dilatasyon)” biçiminde bir şekil değişimine uğrayarak A’B’C’D’elemanı olmuştur.

dx

dxtdxx

udx

txx

−∆∂

∂+

=∆ε

tx

utxx ∆

∂

∂=∆ε

z

wzz

∂

∂=ε

A x

y

dx

dy

___ dx ∆ t ∂v

∂x

v. ∆ t

___ dy ∆ t ∂u ∂y

dy + ___ dy ∆ t ∂v

∂y

B D

C

dx+ ___ dx ∆t ∂u ∂x

B’

C’

t + ∆ t - anı

A ’

D’

-∆φ1

∆φ2 u. ∆ t

t - anı

v + ___ dx ∂v ∂x

u + ___ dy ∂u ∂y

u

v

v + ___ dy ∂v

∂y

u + ___ dx ∂u ∂x

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=ε

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

zx

Benzeri şekilde

Deformasyon hızları matrisi


39

Hız dağılımı yandaki gibi verilen akım alanı için vortisiteyi hesaplayınız.

0000

²)²²(

)2(²)²(

²)²²(

)2()1²)(²(]00[]00[

0²²²²

=++=

+

−+−

+

+−++−+−=

+−

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=×∇=ξ

kji

yx

yyyx

yx

xxyxkji

yx

x

yx

y

zyx

kji

wvu

zyx

kji

V

rrr

rrr

rrrrrr

rr

Akım alanı, x²+y²=0 olan başlangıç noktası hariç, irrotasyoneldir.

Örnek problem

²²,

²² yx

xv

yx

yu

+

−=

+=

Çözüm


40

Örnek problem

Düz levha üzerindeki laminer sınır tabakanın herhangi bir x istasyonundaki hız profili ve bu noktadaki sınır tabaka kalınlığı için aşağıdaki bağıntılar verilmiştir. Akımın rotasyonel mi, irrotasyonel mi olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

∞

∞∞

∞ µ

ρ==

δ

δ=

xV

x

y

V

ux

x

Re,Re

5,

25.0

Verilen hız profilinden y ‘ye göre türev alınarak:75.0

25.0

−

∞

δδ=

∂

∂ yV

y

u

ky

u

x

vV

rr

∂

∂−

∂

∂=×∇Đki boyutlu halde vortisite:

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u

∂v/∂x türevinin hesabı için süreklilik denkleminden yararlanılabilir:

x

u

y

v

∂

∂−=

∂

∂


41

∞∞∞ µρ==

δ

/

5

Re

5

xVxx

2/15 x

V∞∞

∞

ρ

µ=δ

2/1

2

5 −

∞∞

∞

ρ

µ=

δx

Vdx

d

y

vx

VyV

x

u

∂

∂−=

ρ

µ

−=

∂

∂ −

−

∞∞

∞∞

8/9

8/125.1

25.0

5

1

8

5

Türev alınarak

Sınır tabaka kalınlığı

Verilen hız profilinden x ‘e göre türev alınarak:

dx

dyV

yV

xx

u δδ−=

δ∂

∂=

∂

∂ −∞∞

25.125.0

25.0

)25.0(

olmak üzere8/125.1

5

1

8

5−

∞∞

∞∞

ρ

µ

−=

VVC

8/925.0 −=∂

∂xCy

y

v


42

8/174/5

3

−=∂

∂xyC

x

v

25.0

75.0

25.0

75.0

/5

125.0

125.0

ρµ=

δ=

∂

∂

∞∞∞

−∞

−∞

VxyV

yVy

u

8.14/3

4

−−=∂

∂xyC

y

u

09/14/3

4

8/174/5

3 ≠−=∂

∂−

∂

∂ −−−xyCxyC

y

u

x

v

8/94/1 −=∂

∂xCy

y

v

Đntegral alınarak

y = 0 da v = 0 olup

Türev alınarak

8/94/5

1

−= xyCv

2

8/94/5

1 CxyCv += −

Akım rotasyoneldir


43

Örnek problem

Şekilde gösterilen kosinüs eğrisi biçimindeki dalga yüzlü duvar etrafındaki akıma ait hız bileşenleri ve Mach sayısı için aşağıdaki bağıntılar verilmiştir. Akımın rotasyonelmi, irrotasyonel mi olduğunu gösteriniz.

2

/2

/2

1

2sin

2

2cos

21

∞

πβ−∞

πβ−∞

−≡β

ππ−=

ππ

β+=

M

el

x

lhVv

el

x

l

hVu

ly

ly

Burada:l = 1m,h = 0.01m,V∞ = 240m/s,M∞ = 0.7

V∞ , M∞ ∞ daki akım çizgisi

y

2h

l

x


44

Çözüm

ky

u

x

vV

rr

∂

∂−

∂

∂=×∇Đki boyutlu halde vortisite:

02

cos22

cos2 /2

2

/2

2

=

π

π−−

π

π−=

∂

∂−

∂

∂ βπ−∞

βπ−∞

lylye

l

x

lhVe

l

x

lhV

y

u

x

v

Hız bağıntılarından türev alınarak

lye

l

x

lhV

x

v /2

22

cos2 βπ−

∞

π

π−=

∂

∂

lylye

l

x

lhV

le

l

x

l

hV

y

u /2

2

/2 2cos

222cos

2 βπ−∞

βπ−∞

π

π−=

πβ−

ππ

β=

∂

∂

Dalga yüzlü duvar etrafındaki sürtünmesiz sıkıştırılabilir sesaltı akım irrotasyoneldir.


45

Sirkülasyon

C

V

. ∫ ⋅−≡ΓC

sdVrr

ds


46

Sirkülasyon vortisite ilişkisi

n

dS

.dS

dnV

Γ−=⋅×∇

rr)(

∇ × V

C

-dΓ

P

∫∫∫ ⋅×∇−=⋅−≡ΓSC

SdVsdVrrrr

)(Stokes teoreminden


47

Örnek problem

Hız bileşenlerinin yandaki gibi verildiği akımda 5 m yarıçaplıdairesel bir yörünge etrafında sirkülasyonu hesaplayınız.

]/[²²

,²²

smyx

xv

yx

yu

+

−=

+=

Çözüm

Bu problemin çözümü için polar koordinatlar kullanılması daha uygun olur.

θ=θ= sin,cos ryrxrr

r

yx

yu

θ=

θ=

+=

sin

²

sin

²² rr

r

yx

xv

θ−=

θ−=

+

−=

cos

²

cos

²²

0sincos

cossin

sincos =θ

θ−+θ

θ=θ+θ=

rrvuVr

rrrvuV

1cos

cossin

sincossin −=θ

θ−+θ

θ−=θ+θ−=θ

θ−=θ

−+=θ+=θ+⋅+=⋅ θθθθ ddr

rdrVdrVedredreVeVsdV rrrr

10)()(

rrrrrr

smdsdVC

/²2

2

0

π=θ−−=⋅−≡Γ ∫∫π

rr


48

Akım fonksiyonu

cyxu

v

dx

dy=ψ⇒= ),(

1c=ψ

V ∆n

a

c

b

d

2c=ψ

Vn

nVcc ρ=∆

ψ∆→∆ρ=ψ∆=− 12

Vdn

d

nn ρ=

ψ→

∆

ψ∆→∆ 0lim

ψ=c1

ψ=c2

b

d

V

∆n

x

y

∆y

-∆x

u

v

1c=ψ

ψ∆+ψ

c

a

)( xvyunV ∆−ρ+∆ρ=∆ρ=ψ∆ dxvdyud ρ−ρ=ψ

dyy

dxx

d∂

ψ∂+

∂

ψ∂=ψ

xv

yu

∂

ψ∂−=ρ

∂

ψ∂=ρ ,

xv

yu

∂

ψ∂−=

∂

ψ∂= ,

Akım çizgisi

Sıkıştırılamaz akımρ

ψ=ψ


49

Hız potansiyeli

İrrotasyonellik koşulu 0=×∇=ξ Vrr

Vektör özdeşliği 0)( =φ∇×∇

φ∇=Vr

Hız potansiyeli

kz

jy

ix

kwjviuV

rrr

rrrr

∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂=φ∇

++=Kartezyen koordinatlarda

zw

yv

xu

∂

φ∂=

∂

φ∂=

∂

φ∂=

,

,

zV

rV

rV zr

∂

φ∂=

θ∂

φ∂=

∂

φ∂= θ ,

1,

Φ∂

φ∂

θθ∂

φ∂=

∂

φ∂= Φθ

sin

1,

1,

rV

rV

rVr

Silindirik koordinatlarda

Küresel koordinatlarda


50

Akım fonksiyonu – Hız potansiyeli ilişkisi

φ∇=Vr

yv

xu

∂

φ∂=

∂

φ∂= ,

φ=φ1 φ=φ2

φ=φ3

φ1 φ2 φ3

φ4 ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

ψ5

xv

yu

∂

ψ∂−=

∂

ψ∂= ,

Potansiyel çizgileri Akım çizgileri

xyv

yxu

∂

ψ∂−=

∂

φ∂=

∂

ψ∂=

∂

φ∂=

Cauchy-Riemannkoşulları

Documents

3- Genel Denklemler_PPT2