Polinomios de Interpolacin de

Newton

Mara P. Trujillo y Deisy Chaves Edificio 331 Oficina 2108

Atencin a estudiantes:

Martes y Jueves 14:00 a 16:00

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Introduccin

Se tiene un conjunto de valores, y0,y1,..,yn, de cierta

funcin f, desconocida, en ciertos puntos, x0,x1,..,xn, e

interesa conocer los valores en puntos intermedios

Por ejemplo:

Para graficar la solucin de una ecuacin diferencial, y solo se cuenta con la solucin

numrica en un numero finito de puntos

Para determinar numricamente el integral determinado de una funcin y solo se cuenta con

un numero finito de puntos

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Problema de Interpolacin

Dada una funcin tabulada en n+1 puntos,

(xi, yi) (0in)

Se busca un polinomio p, del menor grado

posible, que pase por todos los puntos tal que

p(xi)=yi, para todo i, (0in)

i 0 1 2 3 ... k ... n

xi x0 x1 x2 x3 ... xk ... xn

f(xi)=yi y0 y1 y2 y3 ... yk ... yn

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Teorema de Existencia y Unicidad

Dados un conjunto de valores,y0,y1,..,yn, de

cierta funcin f, desconocida, en ciertos

puntos, x0,x1,..,xn

Si los x0,x1,x2,, xk,,xn son nmeros reales distintos, existe exactamente un polinomio

de grado menor o igual que n tal que p(xi)=yi,

p a r a t o d o i , (0in)

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Polinomio de Interpolacin en la forma de

Newton

Para obtener el polinomio pk+1 que interpola

la funcin en los puntos x0,x1,, xk+1, se usa el polinomio pk , que interpola la funcin en los

puntos x0,x1,, xk, al cual se le agrega el termino ck+1 y una funcin que anula los puntos

x0,x1,, xk al evaluar el polinomio en uno de estos puntos

Tenemos entonces que

p0(x) = c0

p1(x) = c0 + c1 (x-x0) Polinomio de orden uno

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Polinomio de Interpolacin en la forma de

Newton (Continuacin)

Veamos que

))...((...))(()()(

...

))(()()(

)()(

)(

10102010

1020102

0101

00

nnn xxxxcxxxxcxxccxp

xxxxcxxccxp

xxccxp

cxp

))(()()(

)()(

)(

12022021022

011012

002

xxxxcxxccxp

xxccxp

cxp

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Polinomio de Interpolacin en la forma de

Newton (Continuacin)

En forma comprimida tenemos,

La construccin del polinomio requiere que

1

00

0);()(i

j

j

k

i

ik nkxxcxp

kkk

k

k

k

yxp

yxp

yxp

yxp

)(

...

)(

)(

)(

22

11

00El polinomio pasa por

todos los puntos y por

tanto ah el error es cero

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Polinomio de Interpolacin en la forma de

Newton (Continuacin)

Los coeficientes se determinan tal que

kkk

k

k

k

yxp

yxp

yxp

yxp

)(

...

)(

)(

)(

22

11

00

)( 01

011

00

xx

yyc

yc

nkxxxxxx

xpyc

kkkk

kkkk

1;))....()((

)(

110

1

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Ejercicio

Construir el polinomio de interpolacin y

calcular el valor de la funcin para x=1

i xi f(xi)

0 0 1.0

1 0.4 1.49182

2 0.8 2.22554

3 1.2 3.32011

-

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

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Polinomios de Interpolacin

de la forma de Newton

La interpolacin de

Newton no tiene

limitaciones de

reutilizacin de

clculos previos

Esta basada en una

tabla de diferencias

ik

i

k

i

k

iii

iii

iii

ii

fff

fff

fff

fff

ff

1

1

1

2

1

23

1

2

1

1

0

....

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4

43

2

2

22

1

3

1

2

11

0

4

0

3

0

2

00

432

4

3

2

1

0

f

ff

fff

ffff

fffff

fffffi iiiii

Polinomios de Interpolacin

de la forma de Newton

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Es una diferencia dividida finita de orden N+1,

ya que esta dada por los coeficiente principales

de orden N dividida entre la distancia entre los

puntos mas extremos

Las diferencias divididas se calculan entonces

con base en esta idea

01

),...,1,0()1,...,2,1()1,,...,1,0(

1

xx

fff

N

NN

NN

NNN

Polinomios de Interpolacin

de la forma de Newton

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Diferencias Divididas Finitas

)xx(

)x(f)x(f)x,x(f

1ii

1i

0

i

0

1ii

1

)(

),(),(),,(

2

21

1

1

1

21

2

ii

iiiiiii

xx

xxfxxfxxxf

ii yxf )(0

)(

),,(),,(),,,(

3

321

2

21

2

321

3

ii

iiiiiiiiii

xx

xxxfxxxfxxxxf

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Tabla de Diferencias Divididas

xi f (xi) f1 Primero f2Segundo f3Tercero f4 Cuarto

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Polinomios de Interpolacin de Newton con

Diferencias Divididas

Tenamos que

El polinomio de Interpolacin de Newton con

diferencias divididas se define como

1

00

0);()(i

j

j

k

i

ik nkxxcxp

1

00

0);()(i

j

j

k

i

ik nkxxbxp

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Polinomios de Interpolacin de Newton con

Diferencias Divididas

donde los coeficientes del polinomios se

calculan con base en la tabla de diferencias

divididas

00 xfb

],[ 011 xxfb

0122 ,, xxxfb

0,, xxfb nn

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Ejemplo

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)(3 xxxxxxxp

xi f (xi) f1 Primero f2Segundo f3Tercero

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Ejercicio

Calcular el polinomio usando la tabla de

diferencias divididas finitas

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Error de Interpolacin

El error de interpolacin esta dado por la

diferencia entre la funcin f(x) y el polinomio

p(x)

Usando una modificacin del teorema del

desarrollo de series de Taylor

)()()( xpxfxR n

n

i

ix

n

nn xxfn

xpxfxR0

)1( )()!1(

1)()()(

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Ejemplo

Sea f(x)=sin(x), se interpola la funcin en el

intervalo [0,] usando 10 puntos. El error de interpolacin esta dado por

Generalmente se tiene un conjunto de puntos

y se desconoce la forma de la funcin y sus

derivadas

10

0

)10( )()(sin!10

1)()sin(

i

ix xxxpx

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Error de Interpolacin Usando Diferencias

En este caso la derivada se aproxima con la

diferencia para tener una aproximacin del

error

Ejemplo

Usando los datos del ejemplo del slide 10, el

error de interpolacin de p2(x) esta dado por

n

i

ixxxnnn xxfxpxpxR nn0

,....,,1 )()()()( 01

)1)(2(25.0)2(24)(2 xxxxp

)2)(1)(2(3.0)(2 xxxxR

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Lecturas Complementarias

Mtodos Numricos para Ingenieros, Steven C. Chapra

y Raymond P. Canale

Capitulo 18: Interpolacin