METODOS DE

INTERPOLACIÓN

Introducción:

Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que cumpla:

f(x )≈ p(x).

en una serie de n puntos x0, x1, …, xn .

Dos casos típicos:

1) Los datos x0, x1, … , xn , se han obtenido experimentalmente.

2) Una función complicada f(x) la aproximamos a un polinomio.

En ambos casos hallamos el polinomio de interpolación p(x) .

Métodos de hallar el polinomio de interpolación p(x):

* Método de Lagrange

* Método de Newton

G1. Polinomio de interpolación de Lagrange

Sea una función f(x), de tal manera que conozcamos su valor en cada uno de n+1 puntos: f(x0), f(x1), …, f(xn).

1º. Obtenemos los “multiplicadores o coeficientes de Lagrange”):

0 1 1 1

0 1 1 1

( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )k k n

kk k k k k k k n

x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x

Son n+1 coeficientes: con k=0, 1, 2, …, n .

0

( )( )

( )

ni

ki k ii k

x xL x

x x

i = 0, 1, 2, …, n

k = 0, 1, 2, …, n

Propiedad de los coeficientes Lk(x):

El coeficiente Lk(x) se anula en cada punto xi, excepto en el xk que tiene el valor 1 (valor máximo).

Ejemplo: Supongamos como soporte los seis puntos siguientes,

x0 = 1, x1 = 3, x2 = 4, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9.

3

( 1) ( 3) ( 4) ( 8) ( 9)( )

(6 1) (6 3) (6 4) (6 8) (6 9)

x x x x xL x

El polinomio de interpolación deLagrange se obtiene:

0

( ) ( ) ( )n

k kk

p x f x L x

EJEMPLO: Sea la función f(x)=ex. Supongamos conocido el valor que toma esta función en los cuatro puntos: x0=2, x1=2.5, x2=3, x3=4, es decir:f(x0) = 7.3890, f(x1) = 12.1825, f(x2) = 20.0855, f(x3) = 54.5980

Hallemos el polinomio de interpolación de Lagrange:

3 20

3 21

3 22

3

( 2.5) ( 3) ( 4)( ) 9.5 29.5 30

(2 2.5) (2 3) (2 4)

( 2) ( 3) ( 4)( ) 2.66667 24 69.3333 64

(2.5 2) (2.5 3) (2.5 4)

( 2) ( 2.5) ( 4)( ) 2 17 46 40

(3 2) (3 2.5) (3 4)

( 2) ( 2( )

x x xL x x x x

x x xL x x x x

x x xL x x x x

x xL x

3 2.5) ( 3)0.3333 3.5 6.16667 5

(4 2) (4 2.5) (4 3)

xx x x

El polinomio de interpolación de Lagrange es:

p(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x)

p(x) = 3.12601 x3 – 17.2259 x2 + 39.432 x – 27.5792

G2. Polinomio de interpolación de Newton.

La fórmula de interpolación de Newton viene dada por:

1

0 10 0

( ) , ,...,in

i ji j

p x f x x x x x

Siendo las llamadas diferencias divididas de f para los x0, x1, …, xn .

0 1, ,..., if x x x

0 0

0 1

1 1 0 1 2

1 2 0 1 2 3

2 2 1 2 3

2 3

3 3

( )

,

( ) , ,

, , , ,

( ) , ,

,

( )

x f x

f x x

x f x f x x x

f x x f x x x x

x f x f x x x

f x x

x f x En el caso de 4 puntos

Algunos ejemplos: 0 0

0 1

1 1 0 1 2

1 2 0 1 2 3

2 2 1 2 3

2 3

3 3

( )

,

( ) , ,

, , , ,

( ) , ,

,

( )

x f x

f x x

x f x f x x x

f x x f x x x x

x f x f x x x

f x x

x f x

2 3 1 21 2 3

3 1

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x

1 2 3 0 1 20 1 2 3

3 0

, , , ,, , ,

f x x x f x x xf x x x x

x x

*

*

El polinomio de interpolación de Newton:

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 3 0 1 2

( ) ( ) , ( ) , , ( )( )

, , , ( )( )( )

p x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

Ejemplo: Vamos a obtener el polinomio de interpolación para la función f(x) = ex, en los puntos {2, 2.5, 3, 4}, pero en esta ocasión por el método de Newton.

0

1

2

3

2.0 7.38906

9.58688

2.5 12.1825 6.21912

15.806 3.1260

3.0 20.0855 12.471133

34.5127

4.0 54.5982

x

x

x

x

p(x) = 7.38906 + 9.58688 (x – 2) + 6.21912 (x – 2) (x – 2.5) + + 3.1260 (x – 2) (x – 2.5) (x – 3)

p(x) = 3.126 x3 – 17.2259 x2 + 39.4318 x – 27.5791

G2. Método de los Mínimos Cuadrados (Cuadratura Gaussiana)

Supongamos que al realizar una serie de mediciones de dos variables (x, y) , se ha obtenido una distribución de pares de valores o puntos: (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xi, yi) , … , (xn, yn) .

El método de los mínimos cuadrados busca una curva, como se indica en la gráfica, de tal manera que se minimice la suma de los cuadrados de los errores, ei , cometidos al sustituir los puntos por la ordenada y(xi).

y = axm + bxm-1+ …+ c

Matemáticamente equivale a un problema de hallar un mínimo para una función de m+1 variables: f(a, b, …, c)

EJEMPLO: Apliquemos el método para el caso de un polinomio de grado 2 (función polinómica), es decir, mediante una parábola: y = ax2 + bx+ c

Si observamos la figura anterior, tenemos:

ei = axi2 + bxi+ c – yi → ei

2 = (axi2 + bxi+ c – yi )2 .

Por tanto la suma de los cuadrados de los errores es:

22 2

1 1

( , , )n n

i i i ii i

e ax bx c y f a b c

Se trata, pues, de minimizar esta función de tres variables, f(a, b, c).

Las condiciones de extremo se dan allí donde se anulan las derivadas primeras de f (x):

2 2

1

2

1

2

1

' 2 . 0

' 2 . 0

' 2 .1 0

n

a i i i ii

n

b i i i ii

n

c i i ii

f ax bx c y x

f ax bx c y x

f ax bx c y

2 2

1

2

1

2

1

. 0

. 0

.1 0

n

i i i ii

n

i i i ii

n

i i ii

ax bx c y x

ax bx c y x

ax bx c y

Condiciones de mínimo:

Ejemplo: Hay que hallar un polinomio de interpolación (de grado 2)

para la tabla de datos: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 .

y1 = 3, y2 = 4, y3 = 6 .

Solución:

O sea,98 36 14 73 0

36 14 6 29 0

14 6 3 13 0

a b c

a b c

a b c

Soluc.: a = 5, b= -18.5, c = 18

Polinomio de intepolación: p(x) = 5 x2 – 18.5 x + 18

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 0 2 0 2 0

( .1 .1 3).1 ( .2 .2 4).2 ( .3 .3 6).3 0

( .1 .1 3).1 ( .2 .2 4).2 ( .3 .3 6).3 0

( .1 .1 3).1 ( .2 .2 4).2 ( .3 .3 6).3 0

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

Spline (“Special Line”) cúbica

Si como polinomio interpolatorio tomamos un polinomio de grado 3:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, recibe el nombre de “Spline”.

Interpolación de datos 1-D con MATLAB.

>> yi = interp1(x, y, xi, método);>> plot(x, y, 'o', xi, yi);

Sean conocidos una tabla de datos:

x = [1, 1.2, 1.3, 1.5, …]

y = [4.254, 3.097, 5.671, …]

Métodos .

- ‘nearest’

- ‘linear’ (por defecto)

- ‘spline’ Cubic spline interpola.

- ‘cubic’

Ejemplo 1:

>> x = 0:10; >> y = exp(x); >> xi = 0:0.2:10; >> yi = interp1(x, y, xi); >> plot(x, y, 'o‘ , xi, yi);

Ejemplo 2:

Hay que interpolar mediante ‘spline’ los datos de la tabla siguiente:

x 2 2.1 2.6 3 3.2 3.7 4 4.3

y 5 5.3 5.6 5.4 4.9 4.5 3.8 3.3

>> tab = [2 2.1 2.6 3 3.2 3.7 4 4.3; 5 5.3 5.6 5.4 4.9 4.5 3.8 3.3]>> x = tab(1, :); y = tab(2, :);>> xi = 2:0.25:4.5;>> yi = interp1(x, y, xi, 'spline');>> plot(x, y, 'o', xi, yi)

Ejemplo 3:

Tenemos dos vectores con los censos (por decadas) en el siglo XX, en millones de personas: >> t = 1900:10:1990; >> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669...150.697 179.323 203.212 226.505 249.633];

Por interpolación podemos estimar la población en cualquier año:

>> t = 1900:10:1990;>> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633];

>> interp1(t, p, 1975)

ans = 214.8585

>> t = 1900:10:1990;>> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633];

>> x = 1900:1:2000;>> y = interp1(t, p, x, 'spline'); plot(t,p,'o',x,y)

Podemos representar la población anual: