4. Baskı

Editör:

Prof. Dr. Ahmet KAÇAR

TEMEL MATEMATİK I -II

ISBN 978-9944-919-32-2

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2014, Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

1. Baskı: Temmuz 2014, Ankara4. Baskı: Eylül 2014, Ankara

Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül EroğluDizgi-Grafik Tasarım: Gamze Dumlupınar

Kapak Tasarımı: Gürsel AvcıBaskı: Yorum Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Stiİvedik Organize Sanayi Bölgesi Matbaacılar Sitesi

35.Cadde No: 36 - 38 06370(0312-395 21 12)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 13651

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet:www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

iii

EDİTÖR

Prof. Dr. Ahmet KAÇAR

1962 yılında Kastamonu/Küre’de doğdu. 1984 yılında Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünden mezun oldu. Atatürk Üniversitesinde 1986 yılında Yüksek Lisansını, 1990 yılında Doktorasını tamamladı. 1990 yılında bu üniversitede Yardımcı Doçent oldu. 1995 yılında Gazi Üniversitesi Kastamonu Eğitim Fakültesine Yardımcı Doçent olarak naklen atandı. 1999 yılında aynı fakültede Doçent, 2005 yılında Profesör oldu. Şu anda, Kastamonu Üniversitesi Eğitim Fakültesi öğretim üyesi ve Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Başkanıdır.

iv

v

ÖN SÖZ

Eğitim bilimi alanında uzman yayıncı olmayı temel ilke sayan ve bu ilke doğrultusunda yeni ve özgün yapıtlar oluşturmayı amaçlayan Pegem Akademi Yayıncılık, yayın ağını temel bilimlere de açmıştır. Bu bağlamda hazırlanan Temel Matematik I-II kitabı Pegem Akademi Yayıncılık ilkelerine uygun olarak ekip yaklaşımıyla hazırlanmıştır.

Kitap, Eğitim Fakülteleri Sınıf Öğretmenliği Programı Temel Matematik I-II derslerine cevap verebilecek özelliktedir.

Bilindiği üzere öğretmen yetiştirme; alan bilgisi, pedagojik formasyon ve genel kültürden oluşan üçlü temel eğitim üzerine oturmaktadır. Bu temellerin her biri, en az diğerleri kadar önemlidir. Eser, öğretmen eğitiminin alan bilgisi kısmına katkı sağlamayı amaçlamıştır.

Branş öğretmenlikleri tek disiplinli bir alan bilgisine dayanırken Sınıf Öğretmenliği alan bilgisi açısından çok disiplinlidir. Bu disiplinlerden birisi, bekli de en temel olanı, matematiktir. Eğitim Fakülteleri Sınıf Öğretmenliği Programı derslerinden Temel Matematik-I ve Temel Matematik-II kur tanımına uygun olarak hazırlanan bu kitap yeterli konu anlatımının yanı sıra öğrenmeyi pekiştirici ve konu ile ilgili problemleri anlamayı kolaylaştırıcı çözümlü örneklerle de donatılmıştır.

Bu niteliklere uygun olarak hazırlanan kitap sekiz bölümden oluşmaktadır. Bunlar sırasıyla;

Birinci bölüm “Matematiğin Tanımı ve Diğer Bilimlerle Đlişkisi” başlığı altında Doç. Dr. Kürşat YENĐLMEZ, Đkinci bölüm “Kümeler” başlığı altında Öğr. Gör. Müren ERAY, Üçüncü bölüm “Sayılar” başlığı altında Yrd. Doç. Dr. Ahmet DELĐL, Dördüncü bölüm “Denklem Kavramı” başlığı altında Yrd. Doç. Dr. Abdulkadir

TUNA, Beşinci bölüm “Bağıntı ve Fonksiyon” başlığı altında Doç. Dr. Perihan DĐNÇ ARTUT, Altıncı bölüm “Geometri” başlığı altında Doç. Dr. Melis MĐNĐSKER, Yedinci bölüm “Trigonometri” başlığı altında Doç. Dr. Mustafa KANDEMĐR ve Sekizinci bölüm “Veri Toplama ve Değerlendirme” başlığı altında Uzm. Nihal YILMAZ tarafından hazırlanmıştır.

Verimli bir ekip çalışması gerçekleştiren bölüm yazarlarına ve kitabın oluşması

aşamasında emeği geçen Pegem Akademi Yayıncılık çalışanlarına teşekkür eder, kitabın okuyuculara yararlı olmasını dilerim. 10 Temmuz 2006

Prof. Dr. Ahmet KAÇAR

EDĐTÖR

vi

İKİNCİ BASKIYA ÖN SÖZ

Pegem Akademi Yayıncılığın temel bilimler serisi kataloğundaki ilk eserler arasında bulunan Temel Matematik I-II kitabının ikinci baskısını siz değerli okuyucularımızın istifadesine sunmuş olmanın mutluluğu içindeyiz.

Bu ikinci baskı; her bir bölümü bağımsız yazarlarımızca hazırlanan ilk baskının okuyucudan gelen öneriler de dikkate alınarak gözden geçirilmesi ve büyük oranda yeniden düzenlenmesi sonrası ortaya çıkmıştır.

Đkinci baskının hazırlık aşamasındaki titiz çalışmalarından dolayı bölüm yazarlarımıza, Pegem Akademi yönetimine ve teknik ekibine, birinci baskıdan yararlanan ve önerileriyle bu ikinci baskının güncellenmesini yönlendiren değerli okuyucularımıza teşekkür ederim.

Ağustos 2009 Prof. Dr. Ahmet KAÇAR Editör

vii

BÖLÜMLER VE YAZARLARI

1. Bölüm Matematiğin Tanımı ve Diğer Bilimlerle Đlişkisi Kürşat Yenilmez, Osmangazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi

2. Bölüm Kümeler

Müren Eray, Gazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi

3. Bölüm Sayılar

Ahmet Delil, Celal Bayar Üniversitesi Eğitim Fakültesi

4. Bölüm Denklem Kavramı Abdulkadir Tuna, Kastamonu Üniversitesi Eğitim Fakültesi

5. Bölüm Bağıntı ve Fonksiyon

Perihan Dinç Artut, Çukurova Üniversitesi Eğitim Fakültesi

6. Bölüm Geometri Melis Minisker, Mustafa Kemal Üniversitesi Eğitim Fakültesi

7. Bölüm Trigonometri Mustafa Kandemir, Amasya Üniversitesi Eğitim Fakültesi

8. Bölüm Veri Toplama ve Değerlendirme Nihal Yılmaz, Kastamonu Üniversitesi Öğrenci Đşleri Daire Başkanı

viii

ix

İÇİNDEKİLER

Sayfa No Ön Söz .............................................................................................................. v Đkinci Baskıya Ön Söz .......................................................................................... vi Bölümler ve Yazarları ......................................................................................... vii Đçindekiler ......................................................................................................... ix

1. BÖLÜM MATEMATĐĞĐN TANIMI VE DĐĞER BĐLĐMLERLE ĐLĐŞKĐSĐ

(ss:1-6) Doç. Dr. Kürşat Yenilmez

Matematik Nedir? ............................................................................................... 2 Matematiğin Doğası ............................................................................................ 3 Matematiğin Amacı ve Önemi .............................................................................. 4 Matematik ve Diğer Bilimler ................................................................................ 5 Kaynakça ........................................................................................................... 6 Ali Kuşçu ........................................................................................................... 6

2. BÖLÜM KÜMELER

(ss:7-20) Öğr. Gör. Müren Eray

Küme Kavramı .................................................................................................. 8 Kümelerin Gösterilmesi .................................................................................. 8 Altküme...................................................................................................... 10 Kümeler Üzerine Đşlemler .................................................................................. 11 Birleşim ...................................................................................................... 11 Kesişim ...................................................................................................... 12 Evrensel Küme ............................................................................................ 15 Đki Kümenin Farkı ........................................................................................ 15 Kaynakça ......................................................................................................... 20 Giuseppe Peano ............................................................................................... 20

x

3. BÖLÜM SAYILAR (ss:21-62)

Yrd. Doç. Dr. Ahmet Delil Doğal Sayılar .................................................................................................. 22 Sayı Sistemi Kurma, Değişik Tabanlı Sayılar ve Đşlemler ...................................... 23 Tam Sayılar ve Bölünebilme ............................................................................ 32 Reel Sayılar, Üslü ve Köklü Çokluklar .................................................................. 48 Oran, Orantı ve Uygulamaları ............................................................................ 54 Kaynakça ......................................................................................................... 60 Harezmi (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) ..................................................... 61 Eratosten ......................................................................................................... 61

4. BÖLÜM DENKLEM KAVRAMI

(ss:63-86) Yrd. Doç. Dr. Abdulkadir Tuna

Cebirsel ifadeler ve Özdeşlik Kavramı ................................................................. 64 Özdeşlikler ....................................................................................................... 64 Cebirsel Đfadelerin Çarpanlara Ayrılması .............................................................. 67 Denklemler ..................................................................................................... 70 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ................................................ 70 Birinci Dereceden Đki Bilinmeyenli Denklemler ................................................ 72 Birinci Dereceden Đki Bilinmeyenli Denklem Sistemi......................................... 72 Đkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ................................................. 74 Đkinci Dereceden Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar......... 76 Kökleri Bilinen Đkinci Derece Denklemi Oluşturmak ......................................... 77 Đkinci Derece Denklemlere Đndirgenebilen Denklemlerin Çözümü...................... 79 Eşitsizlikler ....................................................................................................... 80 Đkinci Dereceden Eşitsizlikler ......................................................................... 81 Eşitsizlik Sistemi .......................................................................................... 82 Kaynakça ......................................................................................................... 85 Cauchy Augustin Louis ...................................................................................... 86

5. BÖLÜM

BAĞINTI VE FONKSĐYON (ss: 87-115)

Doç. Dr. Perihan Dinç Artut Sıralı Đkililer ...................................................................................................... 88 Kartezyen Çarpım ............................................................................................. 88 Düzlemde Koordinat Sistemi ............................................................................. 89 Bağıntı ............................................................................................................ 90 Fonksiyon ........................................................................................................ 93

xi

Fonksiyon Türleri .............................................................................................. 96 Bileşke ve Ters Fonksiyon ................................................................................. 97 Bazı Fonksiyonlar ve Grafikleri .......................................................................... 102 Birinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonların Grafiği ........................................ 102 Đkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonların Grafiği ......................................... 104 Parçalı Fonksiyonlar ve Grafikleri ....................................................................... 105 Mutlak Değer Fonksiyonu ............................................................................ 107 Tam Değer Fonksiyonu ............................................................................... 108 Đşlem ............................................................................................................ 110 Đşlemin Özellikleri ....................................................................................... 111 Kaynakça ........................................................................................................ 114 Cahit Arf ......................................................................................................... 115

6. BÖLÜM GEOMETRĐ (ss:117-136)

Doç. Dr. Melis Minisker Geometrinin Kuruluşu ...................................................................................... 118 Düzlemsel Şekiller ve Bunların Alan ve Çevreleri ................................................. 118 Cisimler ve Bunların Alan ve Hacimleri ............................................................... 122 Dikdörtgenler Prizması ................................................................................ 122 Kare Prizma ............................................................................................... 122 Eşlik ve Benzerlik Kavramları ............................................................................ 126 Dik Üçgen ve Dik Üçgende Temel Bağıntılar ....................................................... 129 Özel Dik Üçgenler ....................................................................................... 129 Öklid Bağıntıları .......................................................................................... 131 Temel Geometrik Çizimler ................................................................................ 132 Düzgün Çokgenler ...................................................................................... 133 Nikolay Đvanoviç Lobaçevski ............................................................................. 136

7. BÖLÜM TRĐGONOMETRĐ

(ss:137-178) Doç. Dr. Mustafa Kandemir

Açı Kavramı .................................................................................................... 138 Yönlü Açılar ............................................................................................... 138 Açıların Ölçümü .......................................................................................... 139 Dar Açıların Trigonometrik Oranları ................................................................... 140 Herhangi Bir Açının Trigonometrik Oranları ........................................................ 144 Đki Açının Toplam ve Farkının Trigonometrik Oranları .......................................... 150 Bir Yarım Açının Trigonometrik Oranları ............................................................. 153 Trigonometrik Đfadelerin Toplamlarını Çarpım ve Çarpımlarını Toplam Olarak Đfade Etme ............................................................................... 153

xii

Üçgenin Alan Formülleri ............................................................................. 155 Trigonometrik Fonksiyonlar .............................................................................. 157 Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri .............................................................. 159 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanımları ve Grafikleri ............................... 161 Trigonometrik Denklemler ........................................................................... 163 Doğrunun Analitik Đncelenmesi ......................................................................... 167 Doğru Denkleminin Elde Edilişi..................................................................... 169 Đki Doğru Arasındaki Açı .............................................................................. 170 Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ......................................................... 171 Paralel Đki Doğru Arasındaki Uzaklık ............................................................. 172 Bir Çember Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen Teğet ve Normal Denklemler ........ 175 Kaynakça ........................................................................................................ 177 Pisagor ........................................................................................................... 177

8. BÖLÜM VERĐ TOPLAMA VE DEĞERLENDĐRME

(ss:179-204) Uzm. Nihal Yılmaz

Verilerin Toplanması ve Özetlenmesi ................................................................. 180 Verilerin Özetlenmesi .................................................................................. 180 Frekans Dağılımı......................................................................................... 181 Birikimli Frekans Dağılımları ......................................................................... 183 Verilerin Grafikle Gösterimi ............................................................................... 184 Sütun (Bar) Grafikler .................................................................................. 184 Histogram.................................................................................................. 184 Daire (Pasta) Grafiği ................................................................................... 185 Merkezi Eğilim Ölçüleri .................................................................................... 186 Aritmetik Ortalama ..................................................................................... 187 Basit Diziler Đçin Aritmetik Ortalama ............................................................. 187 Sınıflandırılmış Veriler Đçin Aritmetik Ortalama ............................................... 188 Aritmetik Ortalamanın Diğer Formüllerle Hesaplanması .................................. 189 Mod (Tepe Değer) ...................................................................................... 191 Basit Dizilerde Mod ..................................................................................... 191 Sınıflandırılmış Verilerin Modu ...................................................................... 192 Medyan (Ortanca) ...................................................................................... 192 Basit Dizilerde Medyan ................................................................................ 192 Sınıflandırılmış Verilerin Medyanı .................................................................. 193 Merkezi Dağılım Ölçüleri ................................................................................... 194 Açıklık ....................................................................................................... 195 Ortalama Sapma ........................................................................................ 195 Standart Sapma ......................................................................................... 197 Kaynakça ........................................................................................................ 204 Brook Taylor ................................................................................................... 204

1973 yılında Emirdağ’da doğdu. Eskişehir Osmangazi

Üniversitesi’nde 1994’de lisansını, 1996’da yüksek lisansını v

e

2001’de doktorasınıtamamladı. Ş

u anda, Eskişehir

Osmangazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi öğretim üyesidir.

1. BÖLÜM MATEMATİĞİN TANIMI VE DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ

Doç. Dr. Kürşat YENİLMEZ

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi Öğrenme Hedefleri

Bu bölümü çalıştıktan sonra;

Matematiğin tanımını yapabilme, Matematiğin tarihsel gelişimini açıklayabilme, Matematik ile diğer bilimler arasında ilişki kurabilme

kazanımlarını elde edebileceksiniz.

İçindekiler

Matematik Nedir? Matematiğin Doğası Matematiğin Amacı ve Önemi Matematik ve Diğer Bilimler Kaynakça

Temel Matematik I-II 2

MATEMATİĞİN TANIMI VE DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ

Matematik Nedir? Matematik nedir? Bu soruya verilen cevaplarda tam bir birliktelik yoktur.

Aslında böyle bir birliktelik aramak da herhalde yersizdir. Çünkü herkes böyle bir soru karşısında kendi matematik bilgisi ölçüsünde veya matematiği kullanma düzeyi çerçevesinde bir tanım yapmaya çalışacaktır. Bu durumda doğal olarak, matematiği sadece temel işlemler boyutunda kullanan birinin yapacağı tanım ile yüksek matematikle uğraşan birinin yapacağı tanım birbirinden oldukça farklı olacaktır. Literatürde matematik için çeşitli tanımlar yer almaktadır. Bunlardan birkaç örnek verelim.

• Şekil, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki bağ-lantıları düşünce yoluyla inceleyen bilimdir.

• Dil, ırk, din ve ülke tanımadan medeniyetten medeniyete zenginleşe-rek geçen sağlam, kullanışlı, evrensel bir dil ve kültürdür.

• Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sa-nattır.

• Doğru düşünmeyi ve akıl yürütmeyi geliştiren bilimdir. • Günlük hayatın her evresinde başvurulan, hesaplama, çizme ve ölçme

bilimidir. Görüldüğü gibi verilen matematik tanımlarından bir kısmı yetersiz, bir

kısmı da özel durumları içermektedir. Belki de tanımlar içerisinde en kapsamlı olanı Türk Ansiklopedisi’nde yer alan tanımdır.

“Matematik, düşüncenin tümdengelimli bir işletim yolu ile sayılar, geo-metrik şekiller, fonksiyonlar, uzaylar gibi soyut varlıkların özelliklerini ve bun-ların arasında kurulan ilişkileri inceleyen bilimler grubuna verilen addır”.

Bu tanımda matematiğin düşünme yolunun tümdengelim olduğu belirtil-mektedir. Gerçekten de tümdengelim, birçok matematiksel genellemenin bu-lunmasında ve ispatlanmasında kullanılan tümevarım gibi yanıltıcı değildir. Matematikçilerin tümdengelimli düşünce yolunu tercih etmelerinin sebebi de budur. Bu durumu bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Bir çember üzerinde keyfi 2 nokta alalım ve bu noktaları birleştirelim. Çember içinde kaç bölge oluştu? Şimdi bir başka çember üzerinde 3 nokta ala-lım ve bunları ikişer ikişer birleştirelim. İçerde oluşan bölge sayısı nedir? Aynı uygulamayı bir başka çember üzerinde 4 nokta için tekrarlayalım. Çemberin içerisinde kaç bölge oluştu? Şimdi, en baştan başlayarak çemberin üzerindeki

Matematiğin Tanımı ve Diğer Bilimlerle İlişkisi

3

nokta sayısı ile çemberin içerisinde oluşan bölge sayısı arasında bir ilişki kur-maya çalışın. İlişki var mı?

Nokta sayısı 1 2 3 4 5 … n

Bölge sayısı 0 2 4 8 16 2n-1

Tümevarım düşünce yoluyla ilk beş adımdaki nokta ve bölge sayıları göz

önüne alındığında, çember üzerinde alınacak n nokta için, 2n-1 bölge oluşacağı genellemesi yapılabilir. “Özelden genele” şeklinde özetlenebilen tümevarımsal düşünce bazen yanıltıcı olabilir. Nitekim bu örnek için de bu durum geçerlidir. Örneğin, yukarıdaki uygulamaya çember üzerinde 6 nokta alarak devam ederse-niz, tümevarımla elde ettiğiniz genellemeye göre 26-1=25=32 bölge oluşması gerekirken elinizde sadece 31 bölge olduğunu görebilirsiniz. Sonuç olarak, ör-neklerden genellemeye ulaşmayı sağlayan tümevarımsal düşüncenin bazen ya-nıltıcı olabileceği, ancak tümdengelim düşünce sisteminde böyle bir durumun söz konusu olamayacağını söyleyebiliriz. Çünkü “genelden özele” şeklinde özet-lenebilen tümdengelimli düşüncede matematiksel bir önermenin doğruluğu bir kez ispatlanır ve her özel durum için doğru olur. Örneğin, “iki çift sayının çar-pımı çifttir” önermesinin doğruluğu bir kez ispatlanır ve bu önerme artık bütün özel örnekler için geçerli olur.

Matematiğin Doğası Yaşamın soyutlanmış biçimi olarak tanımlanan Matematik biliminin

oluşmasıyla ilgili iki temel yaklaşım vardır. Bunlardan birincisi, Matematiği insanın kendisinin icat ettiği; ikincisi ise Matematiğin evrende var olduğu ve insanın onu zaman içinde fark ettiği şeklindedir.

1. Matematik icat edilmiştir. Veri toplama, tablo, grafik çizme, denklem çözme gibi Matematiksel ey-

lemlerimiz dikkate alındığında, bunları çevremizi daha kolay algılamak, olup bitenlerle başa çıkmak için geliştirdiğimiz davranışlar olduğunu söyleyebiliriz. Dikdörtgenin alanını A = a x b şeklinde tanımlamak tümüyle insan zihninin bir ürünüdür. Burada Matematiğin icat edildiği düşüncesi öne çıkıyor.

2. Matematik keşfedilmiştir. Matematiğin bir keşif olduğu görüşünü destekleyen doğal kanıtlar olduk-

ça fazladır. Örneğin, fasulye teleği ve birçok diğer sarmaşık, çubuğa tırmanırken tam bir helis çizmektedir. Bir helis bir noktadan belli bir yüksekliğe dolanarak çıkmak için en kısa yoldur. Arı peteği düzgün altıgendir. Düzgün altıgen, düz-lemi homojen örtebilen çokgensel bölgeler arasında bir köşeden en az sayıda ayrıt çıkarmak suretiyle yapılanıdır. Böylece en az malzeme ile düzlemi parsel-lemek mümkün olmaktadır (Altun, 2005). Literatürde “altın oran” olarak adlan-dırılan; doğa, sanat, mimari ve insan vücudu gibi bir çok farklı alanda karşımıza

Temel Matematik I-II 4

çıkan 1,618 sayısı da Matematiğin bir keşif olduğu görüşünü destekleyen önemli doğal kanıtlardandır.

Matematik biliminin tarihi gelişimini konu edinen birçok esere göre ilk Matematik bilgiler Mısır ve Mezopotamya’da ortaya çıkmaktadır. Bunu, ilgili bölgelerde yaşayan toplumların taşlara, tahta ve kil tabletlere, papirüs yaprakla-rına koydukları işaretlerden anlayabiliyoruz. Matematikle ilgili ilk eylem sayı saymak olsa gerek. Günlük hayatta insanların sayılarla uğraşmasını gerektiren birçok durum vardır. Sayılar, belki insanların sahip oldukları hayvanların sayısı-nı bilme, belki de kendi arazilerinin büyüklüğünü hesaplama ihtiyacından doğ-muş olabilir.

İnsanların çok uzun bir zaman boyunca sadece 1 ve 2 sayılarını kullandık-larını biliyor muydunuz? 3 bunlardan çok sonra kullanılmaya başlanmış ve daha önceden 1 ve 2 ile ilişkilendirilen şekillere değişik anlamlar kazandırmıştır. Bununla ilgili en ilginç örnekler eski Çin ideogramlarında görülmektedir. Örne-ğin anlamı “ağaç” olan şekilden üç tane olunca anlam değişiyor ve “orman” oluyor, anlamı “erkek” olan şekilden üç tane olunca anlam değişiyor ve “herkes” oluyor, anlamı “kadın” olan şekilden üç tane olunca anlam nasıl değişiyor dersi-niz? (Dedikodu). Sıfırın bulunması çok daha sonraları oluyor. Yani insanlar uzun bir süre sıfırsız yaşıyorlar. Yine tarihi kaynaklara göre, sıfırın ilk kez Hint-liler tarafından bulunduğu, onlardan Araplara ve oradan da Avrupa’ya geçtiği söyleniyor. Ancak sıfır sayısını ilk kez hesaplamalarda kullanan kişinin 800 yıllarında bizden biri olan El-Harizmi olduğu biliniyor. El-Harizmi yazdığı Ak-tarma ve Kısaltma Bilimi adlı kitabıyla cebirin başlangıcını yapmıştır.

Matematiğin yapısında elemanlar ve önermeler vardır. Elemanlar mate-matiğin yapı taşlarıdır. Önermeler, doğru veya yanlış bir fikir ifade eden cümle-ler veya ifadelerdir. Elemanlara örnek olarak nokta, üçgen, sayı; önermelere örnek olarak “iki noktadan yalnız bir doğru geçer”, “üçgenin iç açıları toplamı 180° dir” ifadeleri gösterilebilir. Matematikteki kavram ve bağıntılar, eleman ve önermeler ile bunlar arasındaki ilişkilerden oluşur (Baykul, 2005).

Matematiğin Amacı ve Önemi Matematiğin amacını tek türlü tanımlamak pek mümkün değildir. Ancak

matematiğin temel amacının, insanlarda doğuştan var olan düşünebilme yetene-ğini geliştirmek olduğu söylenebilir. Matematik, günlük hayatta karşılaşılan problemleri çözebilmemizi, neden-sonuç ilişkisi kurabilmemizi ve belki de en önemlisi mantıklı düşünebilmemizi sağlar.

Matematikte beklenen amaçlardan birisi de, insanda davranış ve doğru düşünme yetenekleri oluşturmaktır. Bunları sağlayacak en önemli araç ise ma-tematik eğitimidir (Göker, 1997). Matematik dersi programlarında çoğunlukla matematik eğitiminin amacı “düşünmeyi ve akıl yürütmeyi geliştirme” şeklinde ele alınmaktadır. Nitekim ülkemizde yenilenen ilköğretim programları çerçeve-sinde yeni matematik ders programının temel amaçları arasında da “matematik-sel problemleri çözme süreci içinde kendi matematiksel düşünce ve akıl yürüt-

Matematiğin Tanımı ve Diğer Bilimlerle İlişkisi

5

melerini ifade edebilecektir” ifadesi yer almaktadır. Yeni programda ayrıca matematik eğitiminin önemini vurgulayan “matematikte veya diğer alanlarda ileri bir eğitim alabilmek için gerekli matematiksel bilgi ve becerileri kazanabi-lecektir” amacına yer verilmiştir.

Günümüzde hemen her türlü meslek az ya da çok matematik ve özellikle de matematiksel düşünmeyi gerektirmektedir. İşverenler elemanlarından daha önce hiç karşılaşılmamış problemleri çözmelerini beklemektedirler. Bu da birta-kım kopuk matematiksel becerilerden çok akıl yürütme yolu ile probleme çözüm üretme gereksinimini doğurmaktadır (Olkun ve Toluk Uçar, 2004).

Matematik çoğu zaman öğrencilerin korktukları ve çekindikleri bir ders olmuştur. Bunun bir sonucu olarak da öğrenciler tarafından pek sevilmeyen bir ders haline gelmiştir. Öğrencilerin matematiği sevmeleri ve matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmeleri sağlanabilir, ancak bunu başarmanın yolu öğrencile-re matematiğin önemini ve gerekliliğini yeterince iyi anlatmaktan geçmektedir.

Matematik ve Diğer Bilimler Günümüzde Matematik, neredeyse tüm bilimsel araştırmalarda kullanılan

zorunlu bir araç konumuna gelmiştir. Yani, diğer bilim dallarının büyük bir kısmı matematikle yakından ilgilidir. Matematikle hiç ilgisi olmayan bir bilim dalı söylemek pek de kolay değildir. Tıp, mühendislik, astronomi, fizik, kimya vb. bilimlerin temelinde hep matematik vardır. Nitekim, bugün kullanılan birçok matematiksel bilgi de diğer bilim dallarında karşılaşılan problemlerin çözümle-rinin araştırılması safhasında ortaya çıkmıştır. Bilim ve teknolojideki hızlı geli-şim, yeni matematiksel bilgilerin üretilmesi zorunluluğunu hissettirmektedir.

Matematik diğer bilimlerden sadece konu olarak değil düşünce yapısı ve yöntem olarak da farklılık göstermektedir. Örneğin, Fen bilimlerindeki bilgiler gözlem ve deneye bağlı olup ölçülebilir niteliktedir. Matematiğin ise kesin ku-ralları vardır ve düşünme yapısı tümdengelimdir. Diğer bilim dallarından bağım-sız bir yapıya sahiptir ve uygulama alanları çok geniştir. Yayılma alanlarına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir.

Tüm bilimler üzerinden; temel bilimler, uygulamalı bilimler, beşeri bilim-ler ve sosyal bilimler şeklinde bir sınıflama yapıldığında, matematik temel bi-limlerin başında yerini almaktadır. Matematiğin bugün için 600’e yakın alt bilim dalından söz edilmektedir. Analiz, Cebir, Geometri, Topoloji vb.

Temel Matematik I-II 6

Kaynakça 1. Altun M., (2005), Matematik Öğretimi, Erkam Matbaacılık, İstanbul. 2. Baykul Y., (2005), İlköğretimde Matematik Öğretimi (1-5. Sınıflar),

Pegem A Yayıncılık, Ankara. 3. Göker L., (1997), Matematik Tarihi ve Türk-İslam Matematikçilerinin Yeri,

M.E.B. Yayınları, İstanbul. 4. Olkun S. ve Toluk Uçar Z., (2004), İlköğretimde Etkinlik Temelli Matema-

tik Öğretimi, Anı Yayıncılık, Ankara.

Ali KUŞÇU (? - 1474 )

Türk - İslam Dünyası astronomi ve matematik alimleri arasında, ortaya koyduğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu, Osmanlı Türkleri’nde, astronominin önde gelen bilgini sayılır. Batı ve Doğu bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna bir alim olarak tanır. Öyle ki, W.Barlhold, Ali Kuşçu’yu 15.yüzyıl Batlamyos’u olarak adlandırmıştır...

Asıl adı Ali Bin Muhammet’tir. Doğum yeri Maveraunnehir bölge-si olduğu ileri sürülmüşse de, adı geçen bölgenin hangi şehrinde ve hangi yılda doğduğu kesin olarak bilinmemektedir. Ancak doğum yerinin Semerkant, doğum yılının ise 15.yüzyılın ilk dörtte biri içerisinde olduğu kabul edilmektedir. 1474 yılında İstanbul’da ölmüş olup, mezarı Eyüp Sultan Türbesi hareminde bulunmaktadır.

Uluğ Bey’in Horasan ve Maveraunnehir hükümdarlığı sırasında, Semerkant’ta ilk ve dini öğrenimini tamamlamıştır. Küçük yaşta iken astronomiye ve matematiğe geniş ilgi duymuştur. Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey, Bursalı Kadızade Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu’in al-Din el-Kaşi’den astronomi ve matematik dersi almıştır. Önce, Uluğ Bey tarafından 1421 yılın-da kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü Gıyaseddün Cemşid’in ve ikinci müdürü Kadızade Rumi’nin ölümü üzerine, Uluğ Bey rasathaneye müdür olarak Ali Kuşçu’yu görevlendir-miştir.

.

2. BÖLÜM KÜMELER

Öğr. Gör. Müren ERAY Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi

Öğrenme Hedefleri

Bu bölümü çalıştıktan sonra;

kümelerle ilgili temel kavramları tanımlayabilme, kümeler üzerinde işlemler yapabilme, kümeler bilgisini problemlerin çözümüne uygulayabilme

kazanımlarını elde edebileceksiniz.

İçindekiler

Küme Kavramı Alt Küme Kümeler Üzerine İşlemler Çözülmüş Genel Alıştırmalar Kaynakça

1988’de Gazi Eğitim Fakültesinden mezun oldu. 1991’de Gazi

Üniversitesinde yüksek lisansını tamamladı. Ş

u anda, Gazi

Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim

Dalı öğretim görevlisidir.

Temel Matematik I-II 8

KÜMELER Küme Kavramı

Matematikte bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. “Küme” kavramı da tanımsız kabul edilen temel kavramlardan biridir. Sezgisel olarak herkeste bir küme kavramı oluşmuştur. Yaşantımızda bir takım nesneler topluluğuyla ilgili izlenimlerimiz vardır. Örneğin sınıftaki öğrenciler, bir odadaki eşyalar, vb. Bir küme birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin bir elemanı denir. Bir nesneler topluluğuna küme diyebilmemiz için bu kümenin elemanlarının iyi tanımlanmış olması gerekir. Bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesinlikle bilinmelidir. Örneğin sınıfımızdaki güzel öğrenciler topluluğu bir küme oluşturmaz. Çünkü herkesin güzellik anlayışı farklıdır. Sınıfımızda adı A ile başlayan öğrenciler ise bir küme oluşturur.

Kümelerin Gösterilmesi Kümeler A, B, C, D,… gibi büyük harflerle, elemanları da a, b,c,d,… gibi

küçük harflerle gösterilir. Eğer a, A kümesinin bir elemanı ise A a∈ biçiminde, eğer b, A kümesinin bir elemanı değilse Ab∉ biçiminde gösterilir.

Bir küme genel olarak üç şekilde gösterilir.

1. Liste Yöntemi

Bir kümenin elemanlarının { } biçiminde parantez içine, elemanları

arasına virgül konularak gösterilmesine Liste Yöntemi ile gösterilişi denir. Her eleman bir kere yazılır. Yazılış sırası önemli değildir.

Örnek 1: { }A 3,5,7,9 =

2. Ortak Özellik Yöntemi Bir kümeyi meydana getiren elemanların ortak bir özelliği varsa, küme bu

özellik belirtilerek gösterilir. { }x x........ şeklinde gösterime kümenin Ortak

Özellik yöntemiyle gösterilişi denir. Burada sembolü öyle ki anlamına gelir. x ise kümenin elemanlarını ifade eder.

Kümeler 9

Örnek 2: A={ Pazar, Pazartesi, Perşembe } kümesini ortak özellik

yöntemiyle yazarsak { xxA = haftanın P ile başlayan günleri } olur.

3. Şema Yöntemi ( Venn Şeması ) Kümenin, elemanlarının kapalı bir eğri içine yazılarak gösterilmesidir. Örnek 3: Venn Şeması ile A

Liste Yöntemi ile { }6,4,2A =

Ortak Özellik Yöntemi ile A = { x x 8’den küçük çift sayma

sayısı }

Tanım 1: Bir kümeye ait elemanların sayısına o kümenin eleman sayısı denir ve S(A) ile gösterilir.

Örnek 4: { }6,4,2A = ise 3 S(A) = .

Tanım 2: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme φ veya }{ sembollerinden biri ile gösterilir. { }φ ifadesi boş küme değildir. Bu, elemanı φ olan kümedir.

Örnek 4: A = { x x tamsayı ve 3X=5 } olarak seçilirse φ=A olur.

Tanım 3: A ve B kümeleri aynı elemanlardan oluşuyorsa A kümesi B kümesine eşittir denir ve A = B yazılır.

[ ] [ ]A = B x (x A x B y y B y A))⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∀ ∈ ⇒ ∈∣ ∣ (

Örnek 5: { }3,2,1A = , { }1,3,2B = ise A = B dir.

Tanım 4: A’ nın B ’de olmayan veya B’ nin A’ da olmayan en az bir elemanı varsa A kümesi B kümesine eşit değildir denir ve A ≠ B yazılır.

[ ] [ ]A B x (x A x B y y B y A))≠ ⇔ ∃ ∈ ∧ ∉ ∧ ∃ ∈ ∧ ∉∣ ∣ (

Örnek 6: { }3,2,1A = , { }4,3,1B = ve { }2,1C = ise A ≠ B ve A ≠ C dir.

•2 •4 •6

Temel Matematik I-II 10

Altküme Tanım 5: A ve B iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanı B

kümesinin de bir elemanı ise, A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir denir. A ⊂ B biçiminde gösterilir.

A ⊂ B yerine B ⊃ A gösterimi de kullanılır. Böyle yazılırsa B kümesi A kümesini kapsar diye okunur. Bu tanıma göre;

B)xAx(xBA ∈⇒∈∀⇔⊂ dir.

Eğer A kümesi, B kümesinin bir alt kümesi değilse BA⊄ biçiminde yazılır ve “ A alt küme değil B” diye okunur.

Örnek 7: { }a,b,cA = B

{ }a,b,c,dB = A D

{ }c,d,eD =

olsun. Verilenlerden, A B⊂ , B D⊄ ve B A⊄ olduğu görülür. Altküme ile İlgili Bazı Özellikler A, B, C üç küme olsun.

1. A⊂φ

2. AA ⊂ 3. BA)AB()BA( =⇒⊂∧⊂ (Ters Simetri Özelliği)

4. CA)CBBA( ⊂⇒⊂∧⊂ (Geçişme Özelliği)

Örnek 8: φ her kümenin alt kümesidir önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

A bir küme olsun.

x∀ φ∈x önermesi yanlış olduğundan )Axx(x ∈⇒∈∀ φ önermesi doğrudur. Çünkü qp ⇒ bileşik önermesi yalnız p doğru q yanlış iken yanlış, diğer hallerde doğrudur. Bu ise verilen önermenin doğru olduğunu gösterir.

Tanım 6: A kümesi B kümesinin bir alt kümesi ve BA ≠ ise A’ ya B’ nin bir öz-alt kümesi denir ve

≠⊂ BA biçiminde gösterilir.

[ ])AyBy y()BxAx x(BA ∉∧∈∃∧∈⇒∈∀⇔⊂≠

Örnek 9: { }3,2,1=A kümesinin tüm alt kümelerini bulalım.

{ } { } { } { } { } { } { }3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,φ 8 tanedir. Yani 823 =

Öz alt kümeleri ise

•e

•d •a

•b •c

Kümeler 11

{ } { } { } { } { } { }, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3φ 7 tanedir. 32 1 7− =

Sonuç 1:

1. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı “ n2 ” dir.

2. n elemanlı bir kümenin öz-alt kümelerinin sayısı “ 12n − ” dir. Örnek 10: 511 tane öz-alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır?

51112n =− ⇒ 5122n = ⇒ 9n =

Örnek 11: { }e,d,c,b,aA = kümesinin kaç tane öz-alt kümesi vardır?

Çözüm: 5n5)A(S =⇒=

52 1 2 1 32 1 31.n − = − = − =

Kümeler Üzerine İşlemler

Birleşim Tanım 7: A ve B herhangi iki küme olsun. A’ ya veya B’ ye ait olan

elemanlardan oluşan kümeye “A ile B” nin birleşim kümesi denir. BA∪ biçiminde gösterilir. Bu tanım matematik olarak

{ }BxAxxBA ∈∨∈=∪

biçiminde yazılır. A

Örnek 12: { }c,b,aA =

ve { }e,d,c,b,aB = olsun. Buna göre,

{ }e,d,c,b,aBA =∪ B

olur.

BA∪ Sonuç 2: BBABA =∪⇒⊂

•d

•e •a •b •c

Temel Matematik I-II 12

Örnek 13: { }7,5,3,2,1A = A B

ve { }9,7,5B = seçilirse

{ }9,7,5,3,2,1BA =∪

olur.

BA∪

Örnek 14: { }5,3,1A = A B

{ }6,4,2B =

{ }6,5,4,3,2,1BA =∪

BA∪ Birleşim İşleminin Özellikleri 1. AAA =∪ (Tek Kuvvet Özelliği) 2. ABBA ∪=∪ (Değişme Özelliği)

3. )CB(AC)BA( ∪∪=∪∪ (Birleşme Özelliği)

4. AAA =∪=∪ φφ ( ∪,φ İşleminin Birim Elemanıdır.)

5. ( ) ( )[ ]φφφ =∧=⇔=∪ BABA

6. BBABA =∪⇒⊂

7. BAA ∪⊂ ve BAB ∪⊂

Örnek 15: ABBA ∪=∪ olduğunu gösterelim.

{ }BxAxxBA ∈∨∈=∪ (∪ , Tanımı)

{ }AxBxx ∈∨∈= (∨ ’ nin Değişme Özelliği)

AB∪= (∪ , Tanımı) Kesişim Tanım 8: A ve B herhangi iki küme olsun. A ve B’ ye ait olan

elemanlardan oluşan kümeye A ile B’ nin kesişimi veya arakesiti denir ve BA∩ biçiminde gösterilir. Buna göre,

{ }B xA xxBA ∈∧∈=∩

yazılır.

•1 •3 •5

•2 •4 •6

•1 •2 •5 •3 •7

•9