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5 장 비 틀 림. ► 비틀림 하중의 효과 단면 : 원형 , 사각 등 재료 : 선형 , 비선형 ► 응력분포와 비틀림 각 ► 응력집중과 잔류응력. Fig. 5-1. 5.1 원형 단면 축의 비틀림 변형. ► 토크 (torque): 부재의 길이방향 축을 중심으로 작용하는 비틀림 모멘트 ex) 동력축에서는 토크를 통해 동력이 전달된다. ► 변형의 관찰 : 횡단면→평면유지 , 단면반경→직선유지 . 조건 ( 가정 ): 소회전각→축 길이 , 반경 길이 불변. Fig. 5-4. - PowerPoint PPT Presentation
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5 장 비 틀 림
► 비틀림 하중의 효과 단면 : 원형 , 사각 등 재료 : 선형 , 비선형
► 응력분포와 비틀림 각 ► 응력집중과 잔류응력
2/46
5.1 원형 단면 축의 비틀림 변형
► 토크 (torque): 부재의 길이방향 축을 중심으로 작용하는 비틀림 모멘트 ex) 동력축에서는 토크를 통해 동력이 전달된다 .
► 변형의 관찰 :
횡단면→평면유지 , 단면반경→직선유지 .
조건 ( 가정 ): 소회전각→축 길이 , 반경 길이 불변
Fig. 5-1
4/46
)()( maxmax cc
dx
d cdx
d max
위 식은 모든 축대칭 축 ( 예 : 원형 튜브 ) 에 적용된다 .
다른 전단 변형률 성분 = 0모든 수직 변형률 성분 = 0
는 에 선형적으로 비례
5/46
5.2 비틀림 공식 (torsion formula)
maxmaxmax )()()( ccc
GG
AA
A
dAc
dAc
dAT 2maxmax)()(
J
Tc max
선형 탄성구간에서 Hooke 의 법칙 , =G ( 순수전단 ) 를 적용
maxmaxmax )(& c
G
모멘트 평형을 고려하면 ,
AdAJ 2
위 식은 원형 단면이고 재료가 homogeneous & linear-elastic 일 때 성립
J
T
J
T
J
Tc
cc
)()( max
비틀림 공식
Fig. 5-5
6/46
중실축 (solid shaft)
중실축의 J 값 :
Fig. 5-6
Fig. 5-7
Fig. 5-8
단위는 mm4, in4, 양의 값
목재의 쪼개지는 현상 섬유방향 ( 축방향 ) 의 전단저항 << 섬유와 수직인 방향의 전단저항
4c
0
3
A
c
0
22 c2
2)d2(dAJ
7/46
)(2
44io ccJ
중공축 (hollow or tubular shaft)
중공축의 J 값 :
중공축 : 재료 절약
Fig. 5-9
의 값은 에 선형적 비례
8/46
토크선도 T(x) 를 그린 후 , max =Tc/J 값이 최대가 되는 위치를 결정(T(x) 의 부호규약 : T 의 화살표가 단면의 바깥방향을 향할 때 (+))
절대 최대 비틀림 응력 (T, c, J 등이 축 방향으로 변할 때 ):
해석과정선형탄성의 균질재료로 된 원형 단면의 중실축 또는 중공축에 발생하는전단응력의 분포를 구한다 . 상베낭 (Saint Venant) 원리 적용 .
내부하중 절단한 후에 자유물체도를 완성하고 평형조건을 적용 .
단면의 성질극관성 모멘트를 구한다 . 중실축 : J=c4 /2, 중공축 : J=(co
4 - ci4)/2
전단응력 비틀림 공식 =T/J 적용 . 최대 전단응력 : max =Tc/J
9/46
[email protected]예제 5.1
44 13.252
inrJ
)13.25(
.)2(/8;
42
max in
inTinkip
J
Tc .101 inkipT
.2
8
in
kip
4
dddAdFdT 382)4()(
2
0
2
0
43 101)4
1(88 inkipdT
그림과 같이 중실축의 응력분포가 되어 있을 때 , 내부 합토크는 ?
풀이 I:
단면의 극관성모멘트 :
max =8 ksi 이므로 ,
풀이 II:
=f() 관계식 :
미소 링 요소에 작용하는 전단응력에 의한 토크 :
합토크 :
Fig. 5-10
합토크 :
10/46
[email protected]예제 5.2
)2()/()( max dcdAdT
3c
2c
3 c32
15d
c
2T max
/
max'
3max
'
32
15cT
34max
2
)2/( c
T
c
Tc
J
Tc
3max
2
c
T
TT16
15'
중실축에 토크 T 가 작용할 때 , 반경 c/2 와 c 사이의 바깥쪽 재료가받고있는 토크의 분율 (fraction) 은 ?
미소 링 요소에 작용하는 전단응력에 의한 토크 :
고려 영역의 토크 :
토크 T 에 의한 최대 전단응력 max:
두 식을 연립하면 ,
T 의 약 94%
따라서 중공축이 경량화를 위해서 사용됨 .
Fig. 5-11
11/46
[email protected]예제 5.3
0.30.5.42;0 TinkipinkipM x
inkipT 5.12
44 497.02
inrJ
ksiJ
TcA 9.18 ksi
J
TB 77.3
단면 a-a 상의 점 A 와 B 에서 발생하는 전단응력은 ?
내부 토크 :
전단응력 :
단면의 성질 :
Fig. 5-12
자유물체도
12/46
[email protected]예제 5.4
mN40T
4644 )10(80.5][2
mccJ io
MPaJ
Tco 345.0
)10(8.5
)05.0(406
0
내경 ci=80 mm, co=100 mm 인 파이프를 80 N 의 힘으로 조이고 있다 . 점 C 에서 내벽과 외벽의 전단응력은 ?
내부 토크 :
단면의 성질 :
전단응력 :Fig. 5-13
)().().(; mN0T208030800M y
13/46
5.3 동력 전달
dt
dT
dt
TdP
allow
T
c
J
동력 (power): 단위시간당의 일
직선운동의 경우 : P = F v
SI 단위 : N·m/s = W (1 kW=102 kgf·m/sec)FPS 단위 : ft·lb/s or hp (1 hp = 550 ft·lb/s)
f : 회전 진동수 [Hz] or [cycle/s]: 각속도 [rad/s]v : 선 속도
동력 전달 축의 설계 과정 :INPUT: P, ( 또는 f)
OUTPUT:
중실축 : cmin , 중공축 : ci or co
계산 : T( 토크 )
토크 T 가 시간 dt 동안에 동력축을 d 만큼 회전시킬 때의 전달동력 P:
또는 P=2fT
주의 : I 와 J 의 차이
14/46
[email protected]예제 5.5
slbfthp
slbfthpP /2750)
1
/550(5
sradsrev
radrev/33.18)
60
min1)(
1
2(
min
175
lbftP
TTP 1.15033.18
750,2;
max
4
2 T
c
c
c
J
3/1
max
)2
(
Tc .429.0 inc
.)875.0.(8
7854.02 inincd
강재 중실축이 모터로부터 5 hp 를 전달하는데 이용된다 . =175 rpm, allow=145 ksi 일 때 , 축경을 1/8 in 단위로 구하라 .
비틀림 공식 :
전달 토크 :
단위 통일 :
J
T
.8
7ind
Fig. 5-14
15/46
[email protected]예제 5.6
J
Tcmax mNT 538
fTP 2 Hzf 6.26
내경 ci=30 mm, co=42 mm 인 중공축이 90 kWN 의 동력을 전달할 때 , 전단응력이 50 MPa 를 초과하지 않는 축의 회전진동수는 ?
비틀림 공식 :
회전진동수 :
Drive shaft of cutting machine
16/46
5.4 비틀림각
dx
d
L
GxJ
dxxT
0 )(
)(
기하학적 관계 :
)(
)(
xJ
xT 비틀림 공식 : )(
)(
xGJ
xT
dxGxJ
xTd
)(
)(
비틀림 각 :
하중 점에서의 국부적 변화에 의한 영향을 무시 (Saint-Venant's principle)
Fig. 5-15
17/46
일정 토크 및 단면적 : T(x)=const., J(x)=const.
부호 규약
Fig. 5-16
torsion testing machine
Fig. 5-18
19/46
해석과정내부토크 절단법과 자유물체도의 평형조건으로부터 T(x) 를 구한다 .
비틀림각
를 이용하여 구한다 .
L
GxJ
dxxT
0 )(
)( JG
TL
20/46
[email protected]예제 5.7
mNTmNTmNT DECDAC 170,130,150
4944 )10(77.3)007.0(22
mrJ
radJG
TLA 212.0
mmrs Ap 2.21
기어 A 의 점 P 의 변위는 ? 단 , G=80 GPa, 축경 d=14 mm이다 .
내부토크 :
비틀림각 :
극관성모멘트 :
점 P 의 변위 :
이 해석은 응력상태가 재료의 비례한도를 초과하지 않을 때 타당하다 .
Fig. 5-2
21/46
[email protected]예제 5.8
radGJ
LT
CD
CDCDDC 0269.0/
radmm BDCB 0134.0)075.0()15.0( /
radJG
LT ABABBA 0716.0/
radBABA 0850.0/
기어 A 의 점 P 의 변위는 ? 단 , G=80 GPa, 축경 d=14 mm이다 .
내부토크 :
토크 TCD 에 의한 구간 CD 의 비틀림각 :
mNmNT xCD 5.22)075.0(300)(
NFmFmNT xAB 300)150.0(45)(
비틀림각 C/D 에 의한 기어 B 의 회전각 B:
토크 TAB 에 의한 구간 AB 의 비틀림각 :
점 A 의 비틀림각 :
Fig. 5-21
22/46
[email protected]예제 5.9
.300.1225;0) ) inlbinlbTM ABbz
ininlb512tinlb0124t12250M cz /.)())(()(;) xTxT BCBC 5.1205.12
psi191J
cTAB max
radJG
dsT
JG
LT BCL
BCABABA 00167.0
0
2 in 인 주철재 중실 기둥이 24 in 만큼 흙 속에 묻혀있다 . 흙의 저항은 t lb-in/in 로 균일하고 , G=55(103) ksi 이다 . max 와 는 ?
내부토크 :
최대 전단응력 :
비틀림각 :
Fig. 5-22
ininlbt /5.12
23/46
[email protected]예제 5.10
)( 122 L
ccxcc
4122
4 )]([22
)(L
ccxccxJ
LL
Lcc
xc
dx
G
T
GL
ccxc
Tdx
0412
20412
2 )]([
2
)]()[2
(
)(3
2
)11
)()(3
(2
)]()[(3
1)
2(
32
31
2121
22
32
3112
0
122
12
cc
cccc
G
TL
cccc
L
G
T
Lcc
xcL
ccG
T
L
cccforJG
TL
Gc
TL 214 ])2/[(
전단탄성계수 G 인 테이퍼 축의 토크 T 에 의한 점 B 의 비틀림각은 ?
내부토크 : 모든 점에서 T.
반지름 c(x):
비틀림각 :
극관성모멘트 J(x):
적분표를 이용하여 적분 :
Fig. 5-23
x
cc
L
cc
212
24/46
5.5 부정정 토크가 작용하는 부재
0;0 BAx TTTM
0//// BACBACAB
0JG
LT
JG
LT BCBACA
)(L
LTT BC
A )(L
LTT AC
B
평형조건 (Equilibrium):
( 미지수 : 2 개 , 식 : 1 개 → 부정정 )기하학적 적합조건 (Geometic compatibility):
힘 - 변위 관계식 (Force-displacement relation):
JG
TL
L=LAC+ LBC 관계와 함께 위 식을 풀면 ,
Fig. 5-24
25/46
평형조건과 적합조건 , 그리고 토크 - 변위관계를 만족 .평형 : 자유물체도의 평형조건 적용 .
적합성 : 축의 비틀림이나 지지 점들의 구속조건을 고찰 .
해석과정
26/46
[email protected]예제 5.11
0500800;0 ABx TTM
0//// BCCDDABA
0)3.0()5.1)(500()2.0(
JG
mT
JG
mmNT
JG
mT AAB
mNTmNT BA 645345
비틀림각 :
적합성 :
평형 :
20 mm 인 강재 중실축의 고정단 A 와 B 에서의 반력토크는 ?
위 식을 연립하여 풀면 ,
Fig. 5-25
7502.08.1 BA TT
27/46
[email protected]예제 5.12
0)/.12(250 ftinftlbTT brst
brst
brstbrbr
br
stst
st TTGJ
LT
GJ
LT88.32
ftlb6.242Tst ftlb38.7Tbr
psiJ
inT
br
brbr 451
.)5.0()( max
psiJ
inT
st
stst 988
.)5.0()( min
psiJ
inT
st
stst 1977
.)1()( max
radG
0867.0
강재 중공축과 황동재 중실축이 접합된 축에 T=250 lb-ft 의 토크가 작용할 때 , 전단응력분포는 ? Gst=11.4(103) ksi, Gbr=5.20(103) ksi. 평형 :
적합성 :
비틀림각 :
연립하여 풀면 ,
GJ
TL
전단응력 :
Fig. 5-26
변형률 : 연속응력 : 불연속
29/46
[email protected]예제 5.13
inlb233TJG
TL
alallow
정삼각형 단면의 6061-T6 알루미늄 축의 최대 허용토크는 ? 단 , allow =8 ksi, allow =0.02 rad 이다 . 같은 양의 원형 단면 축의 허용 토크는 ?
원형 단면일 때
비틀림각 :
Tallow)O > Tallow) 1.37 배 크다 .
전단응력 :
전단응력 :
]in/lb)10(7.3[.)in5.1(
)ft/.in12)(ft4(T46rad02.0
264
15;46
4 Tablefrom
Ga
TL
alallow
323
.)in5.1(
T20in/lb)10(8
15;20
3 Tablefrom
a
Tallow
inlb2170TJ
Tcallow
in557.0cAA trianglecircle
비틀림각 :
inlbTallow 170)
inlbT Oallow 233)
Fig. 5-29
inlb1350T
inlb170T
동일 면적 :
30/46
5.7 폐단면을 갖는 박판 튜브
BBAABBAA ttdxtdxt )()(
.; consttq avg
가정 : 전단응력이 벽의 두께에 걸쳐 일정하다 .
즉 , 전단응력을 avg 로 일정하다고 가정 .미소요소의 축방향 힘 평형조건을 쓰면 ,
전단류 (shear flow):
q 의 물리적 의미 : 횡단면에서 단위길이당의 힘
ds
dFqdsqdstdAdF avgavg
Fig. 5-30
dA=t ds
31/46
mavgmavgavgavg tA2dAt2hdsttdshT
)()( dsthdFhdT avg
mmavg A
Tqor
tA
T
22
t
ds
GA
TL
m24
평균 전단응력
미소 면적 dA( 구간 ds) 에 작용하는 평균전단응력에의한 튜브 내의 한 점 O 에 대한 모멘트는 ,
전체 단면에 대한 적분은 내력의 합이 된다 . 즉 ,
비틀림각 :
식 유도는 에너지 법
Am 은 두께의 중앙을 지나는 선에 의한 도형의 면적
dA=t ds
h 는 팔 거리
32/46
[email protected]예제 5.14
222)
mmtavg
tr
T
tA
T
)rr)(rr)(rr(2
)rr(2
J i0i02
i2
04
i4
0
tavg
mm
mmcavg
tr
T
tr
Tr
J
Tr)
22) 23
Gtr
TL
m32
평균 반경 rm 이고 두께 t 인 원형 단면 박판 튜브가 토크 T 를 받을 때 , 평균 전단응력은 ? 길이가 L 일 때 비틀림각은 ?
평균 전단응력 :
비틀림각 :
2mm rA
극관성모멘트 :
비틀림 공식에 의한 전단응력 :
trtrrJrrtrrr mmmioiom32 2)2)(2)(2/(,,
전단응력의 분포는 두께가 얇아질수록 균일해진다 .
Fig. 5-31
33/46
[email protected]예제 5.15
)(.).)(.( 2m m0200005700350A
MPatA
T
mA 75.1
2
MPatA
T
mB 92.2
2
t
ds
GA
TL
m24
rad10266t
s2
t
s2
GA4
LTt
s2
t
s2
GA4
LT
32
2
1
1
2m
DEDE
2
2
1
1
2m
CDCD
)(.
])([
])([
평균 전단응력 :
비틀림각 :
점 A 와 B 에서의 평균 전단응력은 ?
Fig. 5-32
tA=5 mm
tB=3 mm
TDE=35 N-m, TCD= 60 N-m
34/46
[email protected]예제 5.16
psi163tA2
T
mavg
dsin102060
in50
ds
108032564
1251285
t
ds
GA4
TL
13
622m
)(.
.).()](.[).(
))((
radinin )10(06.2.)]5.2(4[)10(206.0 313
평균전단응력 :
비틀림각 :
T=85 lb-ft 에의한 점 A 에서의 평균 전단응력은 ? 단 , G=3.8(103) ksi.
225.6)5.2)(5.2( inininAm
T=85 lb-ft
ft in 로 통일
35/46
[email protected]예제 5.17
2323m m)10(1732mm)10(1732bh
2
1A
;tA2
T
mavg mkN6.15T
t
ds
GA
TL
m24
)005.0(]/)10(75[))10(32.17(4
)3(002.0
2923 m
ds
mNm
mTrad
mN500T
평균 전단응력 :
비틀림각 :
두께 5mm 의 A-36 강판 튜브의 최대 허용 토크는 ? 단 , 허용 전단응력 allow=90 MPa, 허용 비틀림각 allow=2(10-3) rad 이다 .
두 값 중 작은 값이 허용 토크
36/46
5.8 응력집중 ( 급격한 단면 변화 )
취성 재료 : 피로 하중의 경우 중요
J
cTKmax K=f(r/d, D/d)
shoulder fillet
keyway
coupling
D/d
37/46
[email protected]예제 5.18점 A 와 B 에서 베어링 지지 된 다단축의 최대 응력은 ? 단 , 연결부의 필렛 반경은 r=6 mm 이다 .
내부토크 : (b) 의 자유물체도로부터mNT 30
최대 전단응력 :
기하학적 형상 비 :
MPa10.3J
cTK maxmax
2)20(2
)40(2
d
D15.0
)20(2
6
d
r
응력집중계수 : 365.Figfrom3.1K
비틀림 공식에 의한 응력분포 : 선형실제응력분포 : 비선형 (응력집중으로 )
38/46
5.9 비탄성 비틀림
는 항상 선형적 분포 (∴ 기하학적 조건 )
c
max
축에 가해진 토크 T:
Jc
c
cd
cd
cdAT
c
AA
max4
max
0
3maxmax
22)2()(
39/46
최대탄성 토크 TY:
dxGxJ
xTdxd
)(
)(
max= Y 일 때
Jc
c
cd
cd
cdT YY
cY
c
Y
A
Y
22)(22
4
0
3
0
221
L
GxJ
dxxT
0 )(
)(탄성식 성립
40/46
)4(6
)(3
2
2
2)(22
33334
2
0
22
YY
YYYY
Y
c
YY
Y
A
cc
dddTY
Y
탄소성 토크 : 단면이 소성 원환과 탄성코어로 구성됨
=y
41/46
YYY :0
YY c :
dxG
dxG
dxxGJ
xTdx
G
dxd
Y
Y
Y
YY
c
c
Y
Y
YY
2/
2/
)(
)(4
3
3YYY c
2)x(T:때c일
3Y3YpY c
23
4c
3
2)x(T:때일0
)c4(6
d2T 3Y
3Y
A
2
42/46
소성 토크 : ( 전 영역의 응력이 =Y 일 때 )
330
33
23
4
3
2)4(
6cccT Y
YYY
P Y
는 하나의 값으로 정해지지 않는다 ( ∵ > Y 일 때 하나의 값이 아님 ) 그러나 , 는 계속 선형적으로 분포한다 .
3
0
2
3
22 cdT Y
c
YP
0Y
43/46
극한 토크 (ultimate torque): 실제 재료의 거동탄성 - 완전소성 ( ∵변형경화 )전단응력의 최대값이 극한응력이 될 때의 변형률 및 응력 분포
c
P dT0
22
44/46
[email protected]예제 5.19 a) 항복이 발생하지 않고 축에 가할 수 있는 최대토크는 ? b) 축의 최대토크 ( 소성토크 ) 는 ? 이 때의 축 바깥면의 전단 변형률 최소값은 ?
최대 탄성토크 :J
cTJ
cT Y
YY
Y mkNTY 42.3
소성토크 : m05.0
m03.0
2YP d2T TP>TY 약
20%
최대 탄성토크
mkN10.4TP
45/46
바깥면의 전단 변형률 :
mm30
rad)10(286.0
mm50
3o
중공축의 내벽에서 전단 변형률이 0.286(10-3) rad 일 때 , 완전 소성임 .
소성 토크
rad)10(477.0 3o
외벽의 변형률은 비례적으로 구함 .
46/46
[email protected]예제 5.20 반경 20mm, 길이 1.5m 인 원형 단면 중실축을 =0.6 rad 만큼 비틀기 위한 토크는 ?
mmmm
YY 4004.0
008.0
02.0
0016.0
radm
mL008.0
)02.0(
)5.1(6.0; max
max
최대 전단 변형률 :
Y 는 비례관계로 구함 (max > Y=0.0016 rad )
mkN25.1)c4(6
T 3Y
3Y 토크 :
47/46
5.10 잔류응력
잔류응력은 항복응력이상으로 하중을 가했다가 제거할 때 발생 .
탄성재료거동
역방향 탄성재료거동
최대 탄성회복
전단응력 - 변형률 선도 : 탄성 - 완전 소성
하중의 제거 = 가해준 하중과 크기가 같고 방향이 반대인 하중을 추가 .이 때 거동은 탄성적 ( 선형거동 ) 임 .
점 C 에서 하중을 제거하면 ,선분 CD 를 따라 회복 .
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하중의 제거 : 역방향 토크 Tp 의 중첩과 동일
r <2Y 이므로 점 D 를 지나지 않아 옳은 결과임을 알 수 있다 .
Ya 1)
3
3
2cT YP
Y4
3YP
r 3
4
c)2/(
c]c)3/2[(
J
cT)b
ruptureofdulusmo:r
중첩된 결과 : 축 중심 (r= 0) 에서 = Y 축 중심에서 재료가 변형 . 실제 : 축 중심에서 변형이 없음 비현실적 .
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[email protected]예제 5.21 길이 5 ft 인 황동 합금 중공축에 소성 토크 Tp 를 가한 후 제거하면 , 잔류 전단응력과 영구 비틀림 양은 ?
inkipccdT ioYc
YP 9.175)(3
22
33
0
2
소성 토크 :
ci=1 에서 Y =0.002 rad 일 때 , 완전 소성이 됨 .
rad120.0c
L
iYP
비틂각 :
하중 제거 : ksi93.14
J
cT oPr
ksiininksii 47.7)2/1)(93.14(
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ksi6000/G YY 전단 탄성계수 :
역방향 비틂각 :
rad0747.0GJ
LTP'P
영구 비틂각 :
rad0453.00747.0120.0
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