6 Basico - Matematica - Santillana - Estudiante

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6º

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DIA

NTE

Año 2

01

0

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

Javiera Setz Mena

MATEMATICA 6 22/7/09 15:39 Page 1

NOMBRE:

CURSO:

ESCUELA O LICEO:

pags 1 2 mat6 1/6/09 5:20 PM Page 1

El material didáctico Matemática 6°, para Sexto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster

EDICIÓN:Viviana López Fuster

AUTORA:Javiera Setz Mena

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaAstrid Fernández Bravo

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa VenturinoJuan Carlos Reyes Llanos

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda GálvezMacarena Cruz Rencoret

ILUSTRACIONES:Martín Oyarce Gallardo

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA:Xenia Venegas Zevallos

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por Quebecor World S.A.

ISBN: 978 - 956 - 15 - 1515 - 4 Inscripción N°: 177.306

www.santillana.cl

pags 1 2 mat6 1/20/09 1:12 PM Page 2

JAVIERA SETZ MENALICENCIADA EN MATEMÁTICA,

PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,

LICENCIADA EN EDUCACIÓN

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

pags 1 2 mat6 9/15/09 9:48 PM Page 3

4 Matemática 6

Presentación del Texto

• EN ESTA UNIDAD PODRÁS...En esta sección conoceráslos principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la unidad.

Páginas de inicio

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 6 te invita a comprenderque la matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 6 unidades te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construir conceptos relacionadoscon los números y las operaciones, geometría, álgebra, datos y azar. En ellas encontrarás lassiguientes páginas y secciones:

• ¿CUÁNTO SABES?Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la unidad.

• ¿QUÉ DEBES RECORDAR?Encontrarás el resumende los principales conceptos trabajadosen años anteriores y quete servirán como apoyopara los aprendizajes que se espera que logres en la unidad.

• CONVERSEMOS DE...Sección que te planteapreguntas relacionadascon la imagen y con los contenidos de la unidad que te permitiránexponer tus ideas, daropiniones y argumentara partir de tus experiencias.

1-7 6/16/09 5:20 PM Page 4

5Presentación del Texto

• PARA DISCUTIRPor medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que yasabes, compartirás tus ideas y extraerásconclusiones.

• AYUDATe recuerda un contenido o procedimiento.

• EN EQUIPODesarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje.

• EN TU CUADERNOResolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzarasí tu aprendizaje.

• NO OLVIDES QUE...Encontrarás explicaciones, descripcioneso definiciones que destacan y precisan loque vas aprendiendo.

Páginas de desarrollo

En estas páginas podrás explorar y construir nuevos conceptos y aplicarlos para resolver diversas situaciones,actividades y problemas.

1-7 9/7/09 8:46 PM Page 5

6 Matemática 6

• ESTRATEGIA MENTAL Encontrarás diversas estrategias de cálculomental e imaginación espacial.

• HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASAprenderás a ocupar lacalculadora para resolverdiversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programascomputacionales.

• MI PROGRESO Resolverás actividadesque te permitiránevaluar tu progresoen el logro de losaprendizajes.

• BUSCANDO ESTRATEGIAS Observarás un problema resueltopaso a paso a través de una determinada estrategia. Podrásaprender y practicar la estrategiautilizada y buscar otras que tepermitan encontrar la solución.

1-7 9/7/09 9:50 PM Page 6

7Presentación del Texto

• CONEXIONES A partir de una noticia o tema, desarrollarás enequipo una actividadque te permitiráaplicar lo queaprendiste en launidad. Además, teinvitamos a evaluartu actitud y la decada integrante del grupo para quepuedas mejorar tuforma de trabajar.

• SÍNTESIS Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico.Además, aclararás losconceptos trabajadosrespondiendo preguntassobre estos y sus relaciones.

• ¿QUÉ LOGRÉ? Evaluarás y reflexionarássobre los aprendizajesque adquiriste en estaunidad.

• ¿QUÉ APRENDÍ? En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que hasaprendido en la unidad.

Páginas de cierre

1-7 1/5/09 1:52 PM Page 7

ÍndiceUnidad 1: Números 10

¿Cuánto sabes? 12

1416182023242628

3031

32343536

Unidad 2: Potencias 38

¿Cuánto sabes? 40

42444648

505152

54

5657

58606162

8 Matemática 6

Unidad 3: Ángulos 64

¿Cuánto sabes? 66

6870747677788083

84868788

Unidad 4: Porcentajes 90

¿Cuánto sabes? 92

949698100102103

104106108110

112114115116

Ángulos opuestos por el vérticeÁngulos entre paralelasMedida de los ángulos de un triánguloMedida de los ángulos de un cuadriláteroMi progresoÁngulos en polígonosPolígonos regularesMi progreso

Buscando estrategiasConexionesSíntesis¿Qué aprendí?

RazonesPorcentajes y razonesInterpretación de porcentajeCálculo del 10%, 25% y 50%Cálculo de porcentajesMi progresoAplicaciones del porcentaje: Intereses eimpuestosDescuentos y rebajasGráfico circularMi progreso


Concepto de potenciaDiagrama de árbolPropiedades de las potenciasPotencias de exponente 2 y áreasPotencias de base 10 y descomposición denúmerosMi progresoPotencias de base 10 y grandes númerosMultiplicación de un número natural o decimal por una potencia de baseDivisión de un número natural o decimal poruna potencia con baseMi progreso


Multiplicación de una fracción por unnúmero naturalMultiplicación de fraccionesDivisión de fraccionesOperaciones combinadasMi progresoInterpretación de números decimalesMultiplicación de números decimalesDivisión de números decimalesAproximación en operaciones con númerosdecimalesMi progreso


8-9 6/18/09 5:22 PM Page 8

SOLUCIONARIO 168

BIBLIOGRAFÍA 180

ICONOS

9Índice

Unidad 5: Ecuaciones 118

¿Cuánto sabes? 120

122124126128130132133

134136137138

Unidad 6: Datos y azar 140

¿Cuánto sabes? 142

144

146148151152154156158160161

162164165166

Población, muestras y variablesMedidas de tendencia central: media aritméticaMediana y modaMi progresoAnálisis de la informaciónExperimentos aleatoriosFrecuencia absolutaFrecuencia relativaProbabilidadMi progreso


¿QUÉ DEBES RECORDAR?

NO OLVIDES QUE…

TRABAJA EN GRUPO

Lenguaje algebraicoIgualdades y ecuacionesEcuaciones con adición y sustracciónEcuaciones con multiplicaciones y adicionesEcuaciones con incógnitas a ambos ladosEstudio de las solucionesMi progreso


8-9 1/5/09 1:53 PM Page 9

UNIDAD

1

10 Unidad 1

Números

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de fraccionespositivas utilizando diversos procedimientos.

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de númerosdecimales positivos utilizando diversos procedimientos.

• Estimar resultados de multiplicaciones y divisionescon números decimales.

• Redondear cifras decimales y evaluar la pertinenciade las aproximaciones según el contexto.

• Resolver problemas en contextos diversos aplicandolas operaciones con fracciones positivas y númerosdecimales positivos.

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 10

11Números

El Índice de Masa Corporal (IMC) se utiliza como indicador nutricionaldesde principios de 1980 y es el método más práctico para evaluar elgrado de riesgo asociado con la obesidad. En adultos, se considerasaludable cuando el valor del IMC está entre 18 y 25. En los niños yniñas, este valor depende de su edad y sexo. En la tabla, la columnasombreada corresponde a los valores que se consideran saludables,según el IMC.

Observa las tablas y responde, considerando que el IMC se calculautilizando la siguiente fórmula:

IMC =

1. María tiene 12 años y su IMC es 17,5. ¿Podrías decir que su estado es

saludable?, ¿por qué?

2. Juan tiene 13 años y su IMC es 22,4. ¿Podrías decir que su estado es

saludable?, ¿por qué?

3. ¿Cuál es tu IMC?

4. ¿Qué debes hacer para tener un estado saludable según el cálculo

del IMC?

CONVERSEMOS DE...

Niños Bajo Peso Normal Sobrepeso Obesidad

11 años Menos de 15,0 15,1 a 20,2 20,3 a 21,2 Más de 21,3

12 años Menos de 15,4 15,5 a 21,0 21,1 a 22,1

13 años Menos de 16,0 16,1 a 21,8 21,9 a 23,0

Más de 22,2

Más de 23,1

Niñas Bajo Peso Normal Sobrepeso Obesidad

11 años Menos de 14,9 15,0 a 20,8 20,9 a 22,0 Más de 22,1

12 años Menos de 15,4 15,5 a 21,8 21,9 a 22,9

13 años Menos de 15,9 16,0 a 22,5 22,6 a 23,9

Más de 23,0

Más de 24,0

Descripción de IMC: Wikipedia, tabla de IMC adolescentes: www.inta.cl

masa (kg)(altura)2 (m2)

UNIDAD 1 (10-25) 6/11/09 10:16 PM Page 11

¿CUÁNTO SABES?

12 Unidad 1

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejerciciosen tu cuaderno.

1. Simplifica las fracciones hasta que sean irreductibles.

a) c) e)

b) d) f)

2. Transforma cada número mixto a fracción impropia.

a) c) e)

b) d) f)

3. Escribe en tu cuaderno cómo se leen los siguientes números decimales:

a) 8,15 c) 3,007 e) 6,214b) 42,8 d) 2,1208 f) 0,05

4. Escribe las siguientes fracciones decimales como números decimales.

a) c) e)

b) d) f)

5. Escribe como fracción decimal los números que aparecen en cada oración.

a) La temperatura máxima fue de 26,8 ºCb) La estatura de mi hermano es 1,72 mc) Un atleta corrió 32,5 kmd) El promedio general de un curso es 5,5e) El valor del dólar es $ 534,7f) El nivel de agua caída las últimas 24 horas es 5,8 mm

6. Completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a) 1,25 2,71 c) 35,8 3,58 e) 8,01 8,001b) 9,27 9,162 d) 7,2 7,20 f) 0,99 0,909

145105

12848

4499

4296

321 024

49147

110

10410

2810 000

39100

1071 000

4910

67

4

35

2

45

8

1115

1

79

3

99101

1

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 12


13Números

• Para sumar o restar fracciones, se buscan fracciones equivalentes que tengan igual denominador, de modo de sumar o restar los numeradores.

• Para ordenar fracciones puedes utilizar la relación:

< si y solo si ad < bc

• Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, luego, la parte decimal.

• Para ordenar números decimales debes comparar, primero, la parte entera y, luego, unoa uno los dígitos decimales correspondientes a cada posición en la parte decimal.

• Para sumar y restar números decimales debes ordenar los números de manera que lacoma decimal quede en la misma posición. Luego, sumar o restar como si fueran númerosnaturales escribiendo la coma donde corresponda en la suma total o diferencia.

7. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números decimales:

a) 0,2; 1,3; 0,006; 0,8b) 0,5; 0,05; 1,005; 1,00c) 1,25; 0,25; 2,05; 0,75

8. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 0,78 + 0,789 + 34 + 42,8b) 500 – 56,89 – 36,008 + 24,9c) 45,3 – 12,5d) 0,6 + 0,8 + 0,06 – 0,006e) 476,25 + 12,879 – 200,05f) 300 – 193,65 + 52,08

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

ab

cd

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 13

Multiplicación de una fracción por un

número natural

Tres tartas de frutas se partieron en 16 partes iguales cada una.Los siguientes diagramas representan las tartas, y la parte pintada,el pedazo que se comió Emilio de cada una. Observa.

14 Unidad 1

¡Observa esta grandiferencia!

PARA DISCUTIR

Una forma de multiplicar un número natural por una fracciónes multiplicar este número por el numerador de la fracción, conservando el denominador. Por ejemplo:

• ¿A qué fracción de una tarta corresponde cada pedazo que se comióEmilio?

• ¿Qué fracción representa el total que se comió Emilio?, ¿cómo lo calculaste?

• Si multiplicas la cantidad de pedazos de tarta que se comió Emilio por la fracción de tarta que se comió de cada una, ¿obtienes el mismoresultado que en el cálculo anterior?

1era tarta 2da tarta 3era tarta

37

127

4 • 37

4 • = =

116

1163 = 3 •

Númeromixto

Multiplicaciónde fracciones

4916

316

=

Al multiplicar un número natural n por una fracción , se obtiene como producto

otra fracción que mantiene el denominador y cuyo numerador corresponde al producto entre el número natural y el numerador de la fracción.En general:

NO OLVIDES QUE...

ab

n • ab

n • =

ab

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 14

15Números

Unidad 1

1. Calcula y expresa el resultado como fracción irreductible o número mixto, según corresponda.

a) 2 • c) 7 • e) 8 • g) • 10

b) 5 • d) 4 • f) • 18 h) • 2

2. Completa para que se cumpla cada igualdad.

a) • = b) • = 36 c) 8 • =

3. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) Para hacer una torta se necesita: taza de azúcar, tazas de harina, kg de

crema y kg de manjar. ¿Cuánto necesitas para hacer 3 tortas iguales a la anterior?

b) Marcela utilizó paquetes, de 6 panes cada uno, para preparar completos.

¿Cuántos panes utilizó en total?

c) Lucía compró kg de fruta para su casa. Si al otro día tuvo que comprar nuevamente

esta misma cantidad de fruta, ¿cuánto compró en total?

d) Mónica ha multiplicado la fracción un noveno por un número natural y el resultado es unafracción igual a dos unidades. ¿Por qué número natural ha multiplicado Mónica?

e) Un cuarto de hora equivale a 15 minutos. ¿A cuántos minutos equivalen tres cuartos de hora?

f) En la pizzería de Manuel, cada porción de pizza corresponde a de una pizza grande.

Si Daniel compra doce porciones para compartir con su familia, ¿cuánta pizza compró?

g) Doña Ursula prepara mermelada todos los veranos y la guarda en frascos de de

kilogramo. Si le regaló a su nieta siete frascos, ¿cuánta mermelada en total recibió su nieta?

h) Enrique lleva dos botellas de bebida, de litros cada una, para celebrar el cumpleaños

de su primo. ¿Cuántos litros de bebida lleva en total?

EN TU CUADERNO

13

26

37

112

45

59

78

141

718

79

273

23

121

122

123 1

4112

132

34

18

38

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 15

16 Unidad 1

Multiplicación de fracciones

En una parcela, la mitad del terreno está sembrado y de esta

parte están sembrados con maíz. Observa el diagrama que representa esta situación.

El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde alproducto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus numeradores.En general:

NO OLVIDES QUE...

Como puedes ver, del terreno está ocupado por maíz.

Esto se puede calcular mediante el siguiente procedimiento:

Por lo tanto, el sembrado de maíz ocupa las partes del terrenototal.

Azul terreno sembradoAnaranjado terreno sembrado con maíz

123

4

PARA DISCUTIR

• Si la mitad del terreno se divide en cuatro partes iguales, ¿qué fraccióndel terreno representa la parte que ocupa el maíz?

• Entonces, tres de estas partes, ¿a qué fracción del terreno corresponde?¿Cómo se relacionan estas fracciones?

12

38

34

34

38

1 • 32 • 4

• = =

ab

cd

a • cb • d

• =

38

UNIDAD 1 (10-25) 9/7/09 12:02 PM Page 16

17Números

Unidad 1

1. Calcula el valor de los siguientes productos. Observa el ejemplo:

a) • c) • e) • •

b) • d) • • f) • •

2. Transforma los números mixtos a fracción impropia y, luego, multiplica.

a) • c) • e) • •

b) • d) • f) • •

3. La familia de Margarita gasta de sus ingresos en alimentación. De esta parte, se utiliza

para los almuerzos del fin de semana.

a) ¿Qué fracción del ingreso familiar utiliza la familia de Margarita para los almuerzos de finesde semana?

b) Si el ingreso familiar es $ 240 000, ¿cuánto dinero se destina para estos almuerzos?

EN TU CUADERNO

158

45

32

3 • 12 • 1

15 • 48 • 5

• = = = = 121

32

109

34

35

12

83

311

73

611

328

73

611

455

197

143

212

2102

34

3112 2

52 362 5

77 14

1272

363

136

314543

85 94315

61463

Para multiplicar fracciones, en ocasiones, es más fácil simplificar los factores antes de calcular la multiplicación. Observa:

Es decir, cada fracción se simplifica antes de multiplicar.

Otras veces, se pueden utilizar las propiedades de los números y, luego, simplificar. Observa:

Utiliza la estrategia anterior y calcula mentalmente las siguientes multiplicaciones:

ESTRATEGIA MENTAL

816

525

110

15

12

• = • =

21 • 1033 • 42

21 • 1042 • 33

2133

1042

1033

1033

1066

533

2142

12

• = = = • = • = =

1425

4521

• = 1627

3324

• = 3623

4666

• = 2855

1556

• = 1230

4016

• =

3

2

1

1

UNIDAD 1 (10-25) 6/11/09 10:17 PM Page 17

18 Unidad 1

División de fracciones

Un carpintero tiene una tabla de 6 m de largo para hacer una repisa

y desea cortarla en pedazos de m. Observa cómo lo calculó.

Uno de los procedimientos para:

• dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por elrecíproco de la fracción.

Ejemplo:

• dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el recíprocode la segunda.

Ejemplo:

NO OLVIDES QUE...

34

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos pedazos obtuvo?• ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

0

1er pedazo 2o pedazo 3o pedazo 4o pedazo 5o pedazo 6o pedazo 7o pedazo 8o pedazo

1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 mdividido en 4partes iguales

Un procedimiento para resolver esta situación es el siguiente:

34

43

81

6 • 43

6 : = 6 • = = = 8

recíproco

23

32

4 • 31

8 • 32

8 : = 8 • = = = 124

1

78

56

56

87

2021

5 • 86 • 7

: = • = = 4

3

Este año utilizaremos el concepto de “recíproco” de

un número. Ejemplo:

su recíproco es

su recíproco es

su recíproco es

34

43

73

37

15

51

2

1

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 18

19Números

Unidad 1

43

45

83

17

114

89

98

1720

4513

18

1526

103

107

911

15

13

34

38

310

13

562

134

6153

132

23

215

49

1. Determina el recíproco de las siguientes fracciones:

a) b) c) d) e) f)

2. Calcula las siguientes divisiones:

a) 4: = d) 16 : = g) : = j) : =

b) 5: = e) 10 : = h) : = k) : =

c) 8 : = f) : 8 = i) : = l) : =

3. Resuelve y explica cómo lo calculaste en cada caso.

a) ¿Cuántos hay en ? c) ¿Cuántos hay en 12?

b) ¿Cuántos hay en 9? d) ¿Cuántos hay en 3?

4. Lee atentamente y resuelve.

a) ¿Cuántos cuartos de hora hay en medio día?, ¿cómo lo calculaste?

b) Si se corta un alambre de 2 m de longitud en pedazos de m, ¿cuántos pedazos se cortaron?

c) En un campamento scout los jefes reparten un pedazo igual de sandía a cada persona. Si el primer día se repartieron 24 sandías divididas en 8 pedazos cada una, sin que sobrara nada,¿cuántas personas había en el campamento?

d) Si el cociente de una división es y el dividendo es , ¿cuál es el divisor?

e) Si el divisor de una división es y el cociente es 4, ¿cuál es el dividendo?

f) Si una fracción se divide por sí misma, ¿qué resultado se obtiene? Verifícalo con 3 ejemplos.

EN TU CUADERNO

56

89

12

25

18

3

UNIDAD 1 (10-25) 6/11/09 10:20 PM Page 19

20 Unidad 1

Operaciones combinadas

Laura y Manuel tienen que resolver el siguiente ejercicio:

Observa cómo lo calculan.Lo hace de dos maneras distintas, ¿cuál es la correcta?

Laura lo hace así: Manuel lo hace así:

• Para resolver ejercicios donde hay más de una operación involucrada, debemos respetar la siguiente prioridad en las operaciones:

1o Paréntesis (si los hay).2o Multiplicación y división.3o Adición y sustracción.

• Si en un ejercicio aparecen operaciones que tengan la misma prioridad, estas se resuelven de izquierda a derecha o según el orden en que aparezcan.

NO OLVIDES QUE...

45

215

+ •

215

1215

23

+ •

1415

2845

•

215

+

1015

23

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál de los dos procedimientos es el correcto?, ¿por qué?• ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

La prioridad de las operaciones es la

misma usada para losnúmeros naturales.

23

45

215

+ • 23

45

215

+ • 23

23

815

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 20

1. Calcula. Recuerda simplificar cada vez que sea posible.

a) + ( – ) = g) ( – ) : = m) ( – ) • ( + ) =b) + – = h) • + = n) (7 – ) + ( – ) =c) • ( : ) = i) • ( – ) = ñ) 8 – • : + =

d) : ( – ) = j) + • = o) 15 – ( – • ) =

e) – + = k) ( – ) • = p) ( : ) • =

f) + : = l) – + = q) : ( – ) =

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Verónica hizo de su tarea y Andrea solo hizo de lo que hizo Verónica. ¿Qué parte de la

tarea realizó Andrea?

b) De los 150 CD de música que tiene Mauricio, se los prestó a su amiga Daniela.

Pero Daniela perdió de esos CD, ¿cuántos CD le pudo devolver Daniela a Mauricio?

c) En un cumpleaños había tres tortas. Cada una de ellas se dividió en 16 partes iguales. Si en

total se comieron tortas, ¿cuántos pedazos sobraron?

d) Un estanque de agua está ocupado hasta de su capacidad. Al agregarle 126 L de agua,

el estanque se llena hasta la mitad de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad, en litros, del estanque?

e) Pedro y Pablo son conductores de bus y hoy han ido de Santiago a Puerto Montt. En el viaje

de ida, Pedro manejó del camino y Pablo el resto. En el viaje de vuelta, en cambio, ambos

manejaron durante la mitad del camino.

• En total, ¿qué fracción del camino manejó cada uno?• Si un viaje a Puerto Montt dura, en promedio, 14 horas, ¿cuántas horas manejó Pedro?,

¿cuántas horas manejó Pablo?

21Números

Unidad 1

EN TU CUADERNO

13

32

13

14

25

310

45

37

27

45

73

54

34

58

712

712

59

424

35

13

12

37

13

15

23

910

23

12

25

12

59

45

63

23

26

13

24

156

23

15

154

123 1

32 141 3

42

3103 9

1045673

415

320

34

12

516

352

1124 1

4233

231

45

510

12

142

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 21

22 Unidad 1

Usando una planilla de cálculo, resuelve multiplicaciones y divisiones de fracciones. Sigue las instrucciones.

1o En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”. En las celdas A2 y B2 anota 2/5 y 10/21, respectivamente.

2o Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona todas las celdas (A2 a D3), haz clic con el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego elige Fracción, y Hasta tres dígitos.

3o En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para estoobserva la pantalla. Ejemplo: producto de fracción 1 y fracción 2.

4o Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2*B2. Presiona enter. Así aparecerá el producto de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”.

5o En D3 escribe =A2/B2. Esto te arrojará el valor del cociente entre la “Fracción 1” y la “Fracción 2”.

1. Escribe una fracción en A2 y otra en B2 y observa los resultados que obtienes.

2. Remplaza distintos valores en cada caso, y a partir de los resultados obtenidos, determina silas siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia.b) Al dividir una fracción propia por una impropia, el cociente es una fracción impropia.c) El cociente entre dos fracciones propias puede ser una fracción impropia.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

UNIDAD 1 (10-25) 6/11/09 10:21 PM Page 22

23Números

Unidad 1

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2.

1. El valor de + • es:

A. B. 1 C. D.

2. El resultado de ( – ) : es:

A. B. C. D.

3. En el almacén de don Jorge necesitan guardar kg de harina en bolsas de kg.

a) ¿Cuántas bolsas necesitan como mínimo para guardar toda la harina?

b) Si las bolsas fueran de kg, ¿cuántas bolsas necesitarían para almacenar toda

la harina?

4. Florencia ayuda a su mamá a cocinar, ella le pidió que mezclara con una cuchara harinay chocolate para preparar un queque.

a) En un bol puso kg de harina y kg de chocolate en polvo y lo mezcló muy

bien. Si luego le sacó la mitad la mezcla, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo quedó en el bol?

b) Su mamá le dijo que le faltaba harina, entonces agregó al resto kg de

harina, y mezcló. Al sacar de lo que ahora tiene, ¿cuánto chocolate quedó ahora en el bol?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla:

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

MI PROGRESO

23

94

32

1712

115

221

57

37

17

25

13

710

214

13

143

18

34

14

14

15

Criterio Preguntas Respuesta correcta

Calcular operaciones combinadas con fracciones.

1 y 2

Resolver un problema, planteando y calculando divisiones de fracciones.

3

Resolver un problema, planteando y calculando multiplicaciones de fracciones.

4

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 1 (10-25) 1/9/09 11:53 PM Page 23

24 Unidad 1

1. El Estadio Nacional tiene capacidad, máxima para 65 mil personas. En cambio, el Estadio Monumental tiene una capacidad máxima para 0,045 millones de personas.

a) Al leer estas cantidades, ¿puedes visualizar fácilmente a cuántas personas corresponden?

b) ¿Cómo las expresarías para solucionar esto?

EN TU CUADERNO

Interpretación de números decimales

Lee las siguientes afirmaciones y fíjate en los datos numéricos queallí aparecen:

• Según el último censo, en Chile viven, aproximadamente, 7,6 millones de mujeres (consultado en www.ine.cl).

• Las ciudades de La Serena y Coquimbo se encuentran a una distancia de 10,3 km (consultado en www.vialidad.cl).

• El monito del monte, uno de los mamíferos más pequeños deChile, mide entre 22,8 cm y 24,5 cm.

PARA DISCUTIR

• ¿Qué representa cada uno de estos números decimales?• ¿A qué equivale 6 décimos de un millón?• ¿Cuánto es 10,3 km, expresados en metros?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cómo se interpretan los valores decimales en la altura del monito del

monte?• ¿Puedes comparar la cantidad de mujeres que hay en Chile con la

distancia entre La Serena y Coquimbo?, ¿por qué?• ¿Cuándo crees que es útil escribir medidas expresadas en números

decimales? Justifica.

• La interpretación de un número decimal depende de la unidad de medida asociada a él.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 1 (10-25) 12/31/08 12:07 PM Page 24

25Números

Unidad 1

2. Para realizar una extensión eléctrica, José compró 6 metros de cable. Al llegar a su casa se diocuenta de que solo necesitaba 4 metros y 30 centímetros.

a) ¿Cuánto cable le sobró?b) Si 1 metro de cable le costó $ 650, ¿cuánto pagó por el cable que compró?c) ¿Cuánto dinero habría ahorrado si hubiese comprado solo lo que necesitaba?

3. El último año en que ocurrió el fenómeno del Niño, el promedio de agua caída en Santiago fue709,3 mm, siendo el promedio normal de 312,5 mm. En cambio, al año siguiente, nos afectó elfenómeno de la Niña, registrándose solo 89,3 mm en Santiago (consultado en www.meteochile.cl).

a) ¿Cuántos milímetros representa el dígito 3 en cada promedio de agua caída?b) ¿Puedes saber en qué año llovió más?, ¿cómo?

4. Observa el ejemplo y luego escribe en tu cuaderno una equivalencia.

2,3 kilogramos 2 kilogramos y 300 gramos

a) 6,8 kilogramos d) 20,5 añosb) 10,3 toneladas e) 27,3 metrosc) 4,2 centímetros f) 0,25 años

5. Considerando que 1 hora es equivalente a 60 minutos y 1 minuto es equivalente a 60 segundos,observa el ejemplo y escribe una equivalencia para cada caso.

2,6 horas 2 horas y 0,6 horas

Como 1 hora = 60 minutos 0,6 horas = 36 minutosEntonces, 2,6 horas 2 horas y 36 minutos

a) 3,2 horas d) 250 minutosb) 0,25 horas e) 11,6 horasc) 10,4 minutos f) 150 segundos

6. Considerando que un metro equivale a 100 cm y 1 cm equivale a 10 mm, decide qué medida esmayor en cada caso.

a) 35 cm 0,3 mb) 140 mm 0,2 mc) 6,7 cm 65,9 mmd) 0,04 m 4 cme) 22,5 mm 2,27 cmf) 4,8 m 475,8 mm

1 t = 1 000 kg1 kg = 1 000 g1 m = 100 cm1 año = 365 días

A yuda

UNIDAD 1 (10-25) 1/7/09 4:41 PM Page 25

26 Unidad 1

Multiplicación de números decimales

Uno de los principales indicadores económicos es la UF (unidad defomento), la cual se reajusta según la variación del IPC (índice deprecios al consumidor).Carolina y Javier deben pagar el dividendo de su departamento, quecorresponde a 4,6 UF. El valor de cada UF es de $ 21007,16 (al 3 deoctubre de 2008). Observa cómo calculó cada uno cuánto dinerotenían que pagar.

Carolina lo calculó así: Javier lo calculó así:

• Si multiplicamos 21 007 por 4, ¿corresponde al valor total en pesos deldividendo que deben pagar?, ¿por qué?

• Considerando el valor de la UF dado, ¿cuánto deben pagar, en pesos?,¿cuánto pagarían hoy?

• ¿Cuál de las estrategias consideras más sencilla?, ¿por qué?

PARA DISCUTIR

2 100 716100

4610

•

96 632 9361000

96632,936

Expresando los decimales como fracción

Recuerda que nuestramoneda nacional, el peso,solo considera valoresenteros, por lo tantodebemos aproximar.

A yuda

21007,16 4,6•

96632,936

12604296+ 8402864

Multiplicando como números reales

Para multiplicar dos números decimales puedes utilizar alguno de estos procedimientos:

• Transformar los números decimales a fracción, multiplicar y, finalmente, escribir elproducto como número decimal.

• Multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según lacantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

NO OLVIDES QUE...

2 100 716 • 461000

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 26

27Números

Unidad 1

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los dos procedimientos anteriores.

a) 2,26 • 4 = g) 14,3 • 10 = m) 125 • 0,1 = b) 4,5 • 2,3 = h) 25,68 • 4,26 = n) 42,5 • 0,1 =c) 0,05 • 0,2 = i) 4,12 • 0,15 = ñ) 214 • 0,01 = d) 0,125 • 8 = j) 46,05 • 100 = o) 58,2 • 0,01 =e) 14,2 • 5,21 = k) 84,015 • 2,1 = p) 512 • 0,001 =f) 11,36 • 1,16 = l) 42,5 • 1,12 = q) 413,05 • 0,001 =

2. Resuelve las siguientes situaciones.

a) Si una caja pesa 67,5 kilogramos, ¿cuánto pesan 100 cajas iguales a la anterior?b) Marco recorre en bicicleta 18,9 km en una hora. ¿Cuánto recorrerá en 4 horas?c) Un litro de aceite tiene una masa de 0,92 kg. ¿Cuál es la masa de 8 bidones de 10 litros

cada uno?d) El precio de un barril de petróleo es US$ 69,86. Si una empresa compra 35 barriles, ¿cuántos

dólares se deben cancelar? Si un dólar equivale a $ 538, ¿cuántos pesos se deben pagar?e) Pablo está calculando cuánto deberá pagar cada mes por un crédito de consumo a 10 meses,

de 28,97 UF en total (incluido los intereses). Todas las cuotas deben ser del mismo valor.¿Cuánto es el monto aproximado de cada cuota? Averigua el valor actual de la UF y resuelve.

EN TU CUADERNO

En esta actividad van a practicar un procedimiento para calcular mentalmente multiplicaciones connúmeros decimales. Formen grupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones:

1. Observen y obtengan un procedimiento para multiplicar mentalmente los siguiente números:

12 • 0,25 = 12 • 1 : 4 = 12 : 4 = 3

16 • 0,75 = 16 • 3 : 4 = 48 : 4 = 12

2. Confeccionen un dado que tenga escrito en sus caras los números 0,25; 0,5; 0,75; 1,25; 1,5; 1,75. 3. Elaboren 8 tarjetas con los siguientes números: 4, 10, 16, 20, 32, 50, 100 y 1000. 4. Cada integrante, por turno:

1º Saca una tarjeta. 2º Lanza el dado. 3º Calcula lo más rápido posible el resultado del producto entre el número que está en la tarjeta

con el número obtenido en el dado. 4º Si responde correctamente recibe 1 punto; si no, pierde un punto.

5. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

EN EQUIPO

UNIDAD 1 (26-37) 9/7/09 12:06 PM Page 27

División de números decimales

Al dividir dos números decimales se pueden presentar los siguientescasos:

• El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.Ejemplo:

o bien,

• El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.Ejemplo:

multiplico ambos números por 10, pues 1,6 tiene una cifra decimal

o bien,

• El dividendo y el divisor son números decimales.Ejemplo:

multiplico ambos números por 100, pues 1,25 tiene dos cifras decimales

o bien,

28 Unidad 1

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?

51,4 : 4 = 12,851134200

51410

41

: 51410

14

•= 51440

= = 12,85

4200 : 16 = 262,510040800

420 : 1,6 =

4201

1610

: 4201016

•= 4 20016

= = 262,5

1050 : 125 = 8,4500

0

10,5 : 1,25

1050100

125100

: 1050100

100125

•= 10 500012 500

= = 8,4

Al multiplicar el dividendo y el divisor de una división por una misma potencia de 10, obtienes una división equivalente a la original, la cual tendrá el mismo cociente.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 1 (26-37) 1/9/09 1:45 PM Page 28

1. Calcula las siguientes divisiones y comprueba multiplicando. Observa el ejemplo.

23,4 : 0,2 = 117, luego, 117 • 0,2 = 23,4

a) 254 : 5 = e) 0,036 : 0,03 = i) 0,869 : 5 =b) 180,48 : 3,76 = f) 2,675 : 0,5 = j) 371,2 : 100 = c) 4,53 : 0,04 = g) 104,4 : 75 = k) 8,208 : 1,71 =d) 129,6 : 36 = h) 67,44 : 5,62 = l) 2,2 : 1000 =

2. Resuelve y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) Un trozo de cartulina que mide 49 cm de largo y 3 cm de ancho, se usa para confeccionartarjetas de 3,5 cm de largo por 3 cm de ancho cada una. ¿Cuántas tarjetas del tamañoindicado se pueden obtener si se utiliza al máximo la cartulina?

b) Repite la actividad anterior considerando las medidas dadas en la tabla.

3. Alberto lleva en su camión una caja de 75 ladrillos iguales. El peso total de la caja es de 172,5 kg. ¿Cuál es el peso de un ladrillo?

4. Fernanda tiene un rollo de cable de 445,5 m y lo tiene que partir en 15 trozos iguales.¿Cuántos metros medirá cada trozo?

5. Un depósito contiene 225,5 litros de agua y se echa en partes iguales en 5 recipientes.¿Cuántos litros de agua se echan en cada recipiente?

6. Observa lo que ha recibido Pablo en su tienda y luego responde.• 15 sacos iguales de arroz 382,5 kg• 8 sacos iguales de azúcar 158,4 kg• 35 cajas iguales de naranjas 1 606,5 kg• 42 cajas iguales de tomates 1 486,8 kg

a) ¿Cuánto pesa un saco de arroz?b) ¿Cuánto pesa un saco de azúcar?c) ¿Cuánto pesarán 2 cajas de naranjas?d) ¿Cuánto pesarán 3 cajas de tomates?

EN TU CUADERNO

29Números

Unidad 1

Medidas de las tarjetas Medidas de la cartulinaCantidad de tarjetas que

se obtienen

AnchoLargo Largo

1,75 cm 3 cm

3 cm

3 cm

49 cm

2,5 cm 49 cm

2,5 cm 30 cm responde en tu cu

aderno

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 29

Aproximación en operaciones con

números decimales

Pamela obtuvo promedio 6,74 en Sociedad y Andrea, 6,68. Al ver sus resultados finales en la libreta de notas, se dieron cuentade que su profesora había aproximado las notas por redondeo a losdécimos.

Ahora, observa cómo aproximar por redondeo el número 4,237:

Y por truncamiento: eliminamos las cifras decimales para trabajarcon el número entero o con menor cantidad de cifras decimales.

30 Unidad 1

La aproximación por redondeo o truncamiento nos permite estimar cálculos con númerosdecimales, antes de realizar los cálculos exactos.La estrategia más adecuada dependerá de la situación y de los números involucrados.

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• ¿Qué diferencia habría en el promedio final de un alumno conpromedio 5,96 si se aproxima por redondeo o truncamiento?Aproxima y compara los resultados.

• ¿Qué alumna obtuvo mejor promedio, originalmente? • Después de aproximar, ¿cómo cambiaron los promedios de las

alumnas?, ¿por qué?• ¿Qué diferencia hay entre redondear y truncar?• ¿Por qué es necesario aproximar cuando trabajas con cifras decimales?• ¿En qué situaciones crees que es más práctico aproximar?

Número Al décimo Al centésimo Al milésimo

Número truncado

23,3456 23,34 23,34523,3

Al décimo Estrategia Al centésimo

4,237 1. Ubicar el valor del dígito a aproximar.

2. Fijarse en el dígito que está a su derecha.3. Si este es mayor o igual que 5, sumas 1 al dígito anterior. Si es

menor que 5, no cambia.

4,237

4,237

4,2

4,237

4,237

4,237

4,244. Eliminas todos los dígitos de su derecha.

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 30

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2.

3. El automóvil de Víctor tiene un rendimiento de 20,3 km por cada litro de bencina, y elprecio de la bencina es de $ 815,51 el litro.a) Si el estanque tiene una capacidad de 30,5 litros, ¿cuánto debe pagar para llenarlo?b) Si decide viajar fuera de la ciudad, y el recorrido total fue de 613,45 km, ¿Cuántos

litros de bencina consumió? ¿Cuánto dinero gastó en bencina en este viaje?


MI PROGRESO

EN TU CUADERNO

1. Aproxima cada número redondeando a las unidades y luego calcula el producto o cociente segúncorresponda.

a) 4,32 • 8,25 = c) 8,25 : 5,1 = e) 10,86 • 11,3 =b) 7,58 • 4,06 = d) 6,54 : 2,4 = f) 14,72 : 1,6 =

• Usa una calculadora para comprobar cómo estuvieron tus aproximaciones.

2. El valor de la UF el día 27 de septiembre de 2008 fue de $ 20 969,55. En cada caso, aproximapara estimar el resultado y luego verifica con una calculadora.

a) Javier tenía $ 300 000 y realizó un depósito en UF ese día, ¿cuántas UF pudo depositar?b) Paulina está postulando a un subsidio para comprar una casa. Si este subsidio corresponde a

150 UF, ¿cuál será la cantidad, en pesos?c) Un casa cuesta 1 500 UF. Si se paga en 20 años, en total se cancela 2,25 veces su valor.

Aproximadamente, ¿cuántas UF se pagarían en esa cantidad de años?

31Números

Unidad 1

1. El valor de 3,12 • 0,13 es: A. 0,4056 B. 0,04056 C. 4,056 D. 40,5616.

2. Al redondear a los décimos el número7,6857 se obtiene: A. 7,6 B. 7,7 C. 7,68 D. 7,69

Criterio Preguntas Respuestas correctas

Calcular el producto de dos números decimales.

Aproximar un número decimal por redondeo

Resolver un problema, planteando y calculando unamultiplicación de números decimales.

Resolver un problema, planteando y calculandomultiplicaciones y divisiones de números decimales.

1

2

3a

3bre

sponde en tu

cuadern

o

UNIDAD 1 (26-37) 1/9/09 1:25 PM Page 31

32 Unidad 1

El perro de Matías tiene alergia a las pulgas. Elveterinario le recetó un medicamento. La receta decía:

1. Si los frascos del medicamento traen 20 mL, ¿le alcanza para el tratamiento completo otiene que comprar más de un frasco?

2. ¿Cuánto medicamento debe darle diariamente?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

La cantidad de medicamento indicado en la receta: 2,5 mL cada 4 horas por 5 días.La cantidad que contiene cada frasco: 20 mL

• ¿Qué debes encontrar? La cantidad de medicamento que le da en un día.La cantidad total de medicamento que necesita para los 5 días.Cuántos frascos de medicamento necesita comprar.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Para obtener la cantidad de medicamento al día, divide las horas del día por el númerode horas entre cada dosis, y luego multiplícalo la dosis.Y para obtener la cantidad total del medicamento, multiplica la cantidad de días, por lacantidad de medicamento al día.Luego divide el total por la cantidad de medicamento que hay en un frasco, para sabercuántos frascos necesita comprar.

Resolver• 24 : 4 = 6

Debe darle 6 veces en el día el medicamento.• 2,5 • 6 = 15 mL

Matías debe darle a su perro 15 mL de medicamento por día.• 5 • 15 = 75 mL necesita para los cinco días.• 75 : 20 = 3,75

Responder• Debe comprar 4 frascos de medicamento en total, ya que debe tomar 15 mL de

medicamentos por día.

Revisar• Busca junto a tus compañeros y compañeras otra forma de resolver el problema y

verifiquen sus resultados.

BUSCANDO ESTRATEGIAS

Pulguix de 4,5 mg2,5 mL cada 4 horas por 5 días

UNIDAD 1 (26-37) 6/11/09 10:24 PM Page 32

33Números

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones:

a) Patricia enfermó de gripe. Su médico le recetó 7 mL de un medicamento que debe tomar 4 veces al día durante 7 días. Si el envase del medicamento contiene 50 mL.• ¿Cuántos mL de medicamento debe tomar por día?• ¿Cuántos frascos debe comprar? ¿Cuántos mL le sobran al finalizar el tratamiento?

b) Joaquín celebrará su cumpleaños. Para cada uno de sus invitados, su mamá repartió una

bebida de L y kg de chocolate, además de todas las golosinas que había para servirse.

Si Joaquín invitó a 24 amigos:• La cantidad de bebidas de L que compró su mamá, ¿a cuántas bebidas de 1,5 L son

equivalentes?• Si la mamá de Joaquín compró 3,5 kg de chocolate para repartir, ¿cuánto le sobró?

• Si cada bebida de L le costó $ 200 y cada kilogramo de chocolate le costó $ 1 750,

¿cuánto gastó en total?

2. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Para una celebración se compró una bebida de 2 L. Si se sirvieron vasos de L,

¿cuántos vasos alcanzaron a llenar?

b) Un paquete de galletas contiene 13,4 gramos de grasa por cada 100 gramos de galletas. Si el paquete de galletas tiene una masa de 500 gramos, ¿cuántos gramos de grasa contieneel paquete?

c) Un sitio tiene 20 metros de largo y 12 metros de ancho. Se construye una casa que ocupa

del ancho y del largo. Con esta información responde:

• ¿Qué fracción del terreno ocupa la casa?• ¿Qué fracción queda de patio?• ¿Cuántos metros cuadrados tienen el sitio, la casa y el patio?

d) El rendimiento de una motocicleta es de 23,8 kilómetros por cada litro de bencina. Si elestanque puede contener 7,5 litros de bencina, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer sinabastecerse de combustible?

14

18

14

14

12

14

23

34

UNIDAD 1 (26-37) 6/11/09 12:00 PM Page 33

34 Unidad 1

CONEXIONES

1. Si el 12 de septiembre se vendió 4 532,25 libras de cobre a una fábrica extranjera, ¿cuánto pagó,según el precio del cobre ese día?

2. Si en cambio, lo hubiera comprado el jueves 11, ¿cuánto habría pagado?3. ¿Cuánto es la diferencia entre el valor obtenido en ambos días?4. Don Eduardo tiene 1 000 dólares y quiere comprar cobre, ¿para cuántas libras le alcanzaría (al

valor del 12 de septiembre)?5. Averigüen el precio de la libra de cobre de hoy, ¿ha aumentado o disminuido respecto de los

valores de septiembre?6. Considerando una venta de 3 200 libras, ¿sería más rentable vender hoy o en septiembre?7. Don Eduardo quiere vender hoy las libras que compró.

a) ¿Cuánto le pagarían (en dólares)?b) ¿Cuánto ganó o perdió con la operación (en dólares)?c) Averigüen el precio del dólar de hoy, ¿cuánto le pagarían (en pesos)?

Fuente: www.adnradio.cl/nota.aspx?id=669748 (consultado en septiembre de 2008).

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

Respeté las opiniones de los demás integrantes.

Cumplí con las tareas que me comprometí.

Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Según informó la Comisión Chilena delCobre (Cochilco), el jueves, el metal se transóen 312,979 centavos de dólar.

En el mercado de futuro a tres meses, laprincipal exportación chilena se vendió a320,055 centavos de dólar, mientras que eljueves fue de 311,437 centavos de dólar

El promedio mensual llegó a 323,067centavos de dólar y el anual a 364,649centavos.

NACIONAL

Una notable alza mostró este viernes 12 de septiembre el precio del cobre en la Bolsa de Metales deLondres, al cerrar las operaciones en 321,869 centavos de dólar la libra.

responde en tu cuaderno

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 34

35Números

Unidad 1SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlaceque indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Cómo multiplicas y divides fracciones? Explícalo a través de ejemplos.

2. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

3. ¿De qué dependerá el significado que se dé a una cifra decimal en informaciones numéricas?

4. ¿Qué relación hay entre los factores y el producto, cuando al menos uno de los factores es menorque uno?

5. ¿Qué relación hay entre el dividendo y el divisor, si el cociente es menor que uno?

6. ¿Qué ventajas y desventajas tiene aproximar números decimales por redondeo?, ¿y portruncamiento?

7. ¿Existe alguna regla para descomponer un número entero como una suma de productos entredígitos y potencias de 10? ¿Puedes crear una con tus palabras?

Aproximación

Interpretación

Númerosdecimales

Fracciones

OperacionescombinadasRedondeo Truncamiento

Multiplicación División

Números

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 35

36 Unidad 1

1. El número 543,7689 redondeado a las décimascorresponde a:

A. 543,8B. 543,77C. 543,769D. 543,768

2. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene elmayor producto?

A. 0,1 • 1B. 0,2 • 0,2C. 0,7 • 0,3D. 0,8 • 0,1

3. Al multiplicar 0,2 • 0,05 se obtiene:

A. 0,001B. 0,01C. 0,1D. 1

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. El número de cifras decimales de unproducto depende de las cifras decimalesde los factores.

B. Para resolver divisiones con númerosdecimales los podemos transformar afracción.

C. En todas las operaciones con decimales sedebe considerar la ubicación de la comadecimal.

D. El número de cifras decimales de uncociente depende de las cifras decimales deldividendo y del divisor.

5. Cuatro séptimos de catorce quintos esequivalente a:

A.

B.

C.

D.

6. El resultado de 2 : es

A.

B.

C.

D.

7. La expresión 2,048 • 0,01 es equivalente a:

A. 20,48 • 0,1B. 204,8 • 1,0C. 0,2048 • 0,1D. 0,2048 • 1 000

8. El número decimal que se obtiene al truncar65,034712 a la milésima es:

A. 65,034B. 65,0347C. 65,035D. 65,0357

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.

25

52

58

85

134

16

32

139

119

136

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 36

Unidad 1

1. Marca según tu apreciación.

¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

37Números

9. Miguel ha multiplicado la fracción tres séptimos por un número natural menorque 10 y el resultado es una fracción menor que la unidad. ¿Cuál o cuáles son losnúmeros naturales por el que ha multiplicado Miguel?

10. Un campesino tiene de su terreno destinado a siembra de verduras. Del

terreno destinado corresponden a lechugas. ¿Qué fracción del terreno tiene

lechugas?

11. En una casa se consume, mensualmente, 18,2 m3 de agua potable. ¿Cuántosmetros cúbicos se consumen en un año? Si el precio del metro cúbico de agua es$ 230, ¿cuánto se debe cancelar mensualmente?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

Multiplicación de fracciones

División de fracciones

Multiplicación de decimales

División de decimales

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste

aprender todo lo que se esperaba? Explica.

15

310

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 1 (26-37) 12/31/08 12:07 PM Page 37

UNIDAD

2

38 Unidad 2

Potencias

• Interpretar potencias como multiplicación iterada.• Escribir multiplicaciones como potencias.• Calcular potencias de base y exponente natural.• Multiplicar y dividir por potencias de 10.• Utilizar las potencias de 10 en la escritura de

grandes números.


UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 38

39Potencias

Calcular y expresar cantidades tan grandes como las aproximadamente 120 000 000 000 de estrellas de la Vía Láctea,los 348 000 km que nos separan de la luna, los 6 cuatrillones dekilogramos de la tierra o los 14,7 billones de dólares del presupuesto de Chile sería extremadamente complicado sin laayuda de una importante herramienta de la matemática: las potencias, que nos permiten escribir en forma abreviada estos números.

1. ¿Qué es una estrella? ¿Sabes el nombre de alguna?

2. ¿Cómo crees que se podrían expresar las cantidades anteriores de

manera más simple?

3. Averigua otras unidades de medida que se usen para medir las

distancias en el Universo.

CONVERSEMOS DE...

UNIDAD 2 (38-51) 9/7/09 9:45 PM Page 39

¿CUÁNTO SABES?

40 Unidad 2


1. Escribe el número que corresponde a cada una de las siguientes descomposiciones.

a) 90 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 80 000 + 5 000 + 400 + 20 + 6

b) 9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90

c) 40 000 000 + 30 000 + 20 + 1

d) 7 000 + 3 000 000 + 3

e) 100 000 + 6 000 000 + 30 000 000 + 60 000

f) 40 + 500 + 7 000 000 + 100 000 000 + 70 000 + 9

2. Escribe en tu cuaderno la descomposición aditiva correspondiente a los siguientes números.

a) 7 987 675 d) 123 456 789 g) 35 909 909

b) 89 890 890 e) 12 323 090 h) 784 231 123

c) 9 345 567 f) 560 670 000 i) 909 990 099

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) 12 560 • 13 d) 45 390 • 25 g) 112 003 • 32

b) 11 • 234 500 e) 54 • 13 987 h) 65 • 240 070

c) 125 • 1351 f) 98 700 • 345 i) 111 111 • 1111

4. Calcula las siguientes divisiones.

a) 124 : 4 = d) 324 : 6 = g) 380 : 2 =

b) 258 : 3 = e) 120 : 5 = h) 2 550 : 10 =

c) 100 : 5 = f) 1 250 : 5 = i) 10 000 : 10 =

UNIDAD 2 (38-51) 9/7/09 8:54 PM Page 40


41Potencias

• Una de las formas de descomponer aditivamente un número consiste en ¨separar¨ cadauno de sus dígitos según su valor posicional, luego obtener su equivalencia a unidadespara relacionarlas a través de la adición.

• Para resolver problemas que tengan más de una operación aritmética, debemos seguirel siguiente orden:

1o Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis.2o Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.3o Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 3 • 25 – 40 + 6 • 50 =

b) (121 : 11 + 12) • 2 – 5 • 5 =

c) 80 • 40 + 140 + 16 • 3 =

d) (12 • 12 : 4) : (24 : 4) =

e) 150 : 50 + 240 : 60 + 250 =

f) 85 : 5 + 4 • 6 + 3 • 8 – 16 : 4 + 8 : 8 =

g) 930 – 125 + 80 : 4 =

h) 14 • (45 + 12) • (26 – 5 –1) – 4 • 10 =

i) (18 + 52) – (2 + 17) – 1 + 25 • 4 =

j) (4 • 8 – 6) • 4 – 96 : 24 =

k) (1 025 – 8 • 125) : 5 =

l) 2 420 + (624 • 3 – 36 • 2) • 2 =

6. Escribe como multiplicación y resuelve. Observa el ejemplo.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 • 2 = 8

a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =

c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

d) (0,2) + (0,2) + (0,2) + (0,2)


UNIDAD 2 (38-51) 9/7/09 8:57 PM Page 41

abuelaabuelo

base

exponente

Concepto de potencia

Un árbol genealógico es una representación gráfica quemuestra los integrantes de una familia, de forma ordenada. Puede mostrar los antepasados de una personao bien, mostrar los descendientes de una persona.Completa, en tu cuaderno, un árbol genealógico como elsiguiente con los nombres de tus parientes más cercanos.

Todos tenemos un padre y una madre, que son 2 personas.Como cada padre tuvo a su vez un padre y una madre ycada abuelo tuvo a su vez un padre y una madre, entonces calculemos:

2 • 2 • 2 = 8

Luego, todos tenemos ocho bisabuelos.

Observa que la multiplicación anterior tiene el mismo factor (2) tres veces, luego se puede escribir en forma abreviada como 23.

2 • 2 • 2 = 23

Esta forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales se denomina potencia.

42 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántas personas fueron abuelos de tus abuelos?• ¿Qué indica cada número en una potencia?

papámamá

abuelaabuelo

Tu nombre

Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo. Al factorrepetido le llamamos base y al número de veces que se repite, exponente.Ejemplo: 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

3 4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

4 veces valor de la potencia

Para leer una potencia: se nombra la base, se dice ”elevado a” y luego el exponente. Así, la potencia del ejemplo sería “tres elevado a cuatro”.Por convención, el valor de una potencia de base distinta de cero y exponente 0 es igual a 1.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 42

43Potencias

Unidad 2

1. Escribe cada multiplicación como una potencia. Luego, calcula su valor. Puedes usar calculadora.

a) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 c) 12 • 12 • 12 e) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3b) 10 • 10 • 10 • 10 d) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 f) 10 • 10 • 10 • 10 • 10

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a) 25 b) 92 c) 181 d) 37 e) 103 f) 44

3. Escribe la potencia que corresponde y calcula su valor.

a) 3 elevado a 4 b) 2 elevado a 7 c) 5 elevado a 3 d) 12 elevado a 2

4. Andrés lleva, para su campamento, 3 cajas con 3 paquetes de 3 velas cada uno.

a) ¿Cuántas velas lleva en total?b) Si Claudia y Gonzalo también llevan esa cantidad de velas, ¿cuántas velas llevan entre

los tres?

5. Imagina que organizas una campaña solidaria con el fin de recolectar dinero para un hogar deniños. Para ello, le pides a 6 de tus compañeros $ 100 y, a su vez, los comprometes a que cada uno de ellos le pida $ 100 a otras 6 personas diferentes, y así sucesivamente.¿Cuánto dinero se recauda al finalizar el cuarto día, sabiendo que cada día se le pidió dinero a 6 personas?, ¿cómo lo calculaste?

EN TU CUADERNO

En grupos de 2 personas, cada uno calcule el valor de las potencias de la tabla. Luego comparen sus respuestas y respondan las preguntas.

1. Escriban todas las características comunes que tienen las potencias de la tabla.

2. Observen los resultados obtenidos para cada columna de la tabla, ¿qué regularidad observan?Expliquen.

3. Escriban una regla que les permita calcular rápidamente las potencias de múltiplos de 10.

EN EQUIPO

Potencias

101 201 301

102 202 302

103 203 303

104 204 304

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 43

44 Unidad 2

Diagrama de árbol

En nuestro organismo hay un tipo de bacterias que se caracterizaporque cada una de ellas se divide y forman 2 bacterias hijas idénticas. Estas, a su vez, también forman 2 bacterias hijas idénticas,y así sucesivamente. Si se comienza con 1 bacteria y dichas divisionesse producen cada 1 minuto, ¿cuántas bacterias habrá después de 3 minutos?Observa cómo podemos representar gráficamente esta situación.

Un diagrama de árbol es un tipo de representación gráfica que nos permite visualizar distintas situaciones que se resuelven mediante potencias.

NO OLVIDES QUE...

En la situación anterior, como a partir de cada bacteria nacen 2 bacterias hijas idénticas, entonces la cantidad de bacterias que se producen en cada división corresponde a una potencia de 2. Así, eneste caso, a los 3 minutos hay 23 bacterias, es decir, 8 bacterias.

PARA DISCUTIR

• ¿Por qué podemos calcular la cantidad de bacterias con potencias de 2?• Si las bacterias se dividieran en 3 bacterias hijas idénticas cada vez,

¿cuál sería la base de las potencias?, ¿por qué?• ¿Cómo sería el diagrama de árbol en ese caso?, ¿cuántas ramas

nacerían de cada bacteria?

Minuto 0 Al minuto 21 = 2

A los 2 minutos22 = 4

A los 3 minutos23 = 8

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 44

45Potencias

Unidad 2

1. Dibuja un diagrama de árbol para resolver cada una de las siguientes situaciones.

a) Vicente envió un correo electrónico a dos de sus amigos contándoles acerca de un nuevojuego de estrategias. Al día siguiente, cada uno de ellos envió el correo a otros dos amigosdistintos comunicándoles esta noticia. Si esto se repite sucesivamente todos los días, ¿a cuántos niños les llega el correo el décimo día?

b) En un restaurante se ofrece un menú a elección: un plato de fondo, un agregado,un postre y algo para beber. Considerandolas alternativas que se muestran en la ilustración, ¿cuántos menús diferentes sepueden escoger?

c) En un almacén se venden dos tipos de leche: las que contienen extra calcio y las que no.Estas además pueden tener bajo contenido de grasa o un porcentaje normal. ¿Cuántas variedades puede ofrecer cada tipo de leche, si además pueden ser con y sin sabor?

d) Un juego didáctico para niños trae los siguientes cuerpos: Cada cuerpo tiene 4 tamaños y 4 colores. ¿Cuántas piezas en total tiene el juego? Expresa el resultado en potencia.

EN TU CUADERNO

MEMENÚNÚ

Plato de fondo : Carne, pollo o pescado.

Agregado : Arroz, puré o ensalada.

Postre : Helado, gelatina o fruta.

Para beber : Vino, jugo o bebida.

En esta actividad deberán utilizar un diagrama de árbol para representar una cadena de amistad.Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Elaboren una carta con frases acerca de la importancia de la amistad.2. Cada uno la copia y la envía a tres amigos o amigas (sin repetirlos). Y le pide a cada uno que

no corte la cadena y que se la envíe a otros tres amigos o amigas. Pueden enviar la carta porcorreo electrónico o entregarla por mano.

3. Elaboren un diagrama de árbol que muestre la forma en que se distribuyeron las cartas losprimeros 4 días.

4. Comenten, considerando que las personas que recibieron las cartas son distintas y todos siguieron la cadena de la amistad:• ¿Cuántas personas recibieron las cartas el segundo, tercer y cuarto día?• ¿Cuántas la recibirían el décimo día?

EN EQUIPO

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 45

46 Unidad 2

Propiedades de las potencias

Observar y descubrir propiedades y regularidades de los objetosmatemáticos que estudiamos nos permite conocerlos más y, por lotanto, trabajar de mejor manera. Te invitamos a descubrir algunasregularidades de las potencias.

Desarrolla las siguientes potencias, completa la tabla y observa loque sucede con los resultados:

PARA DISCUTIR

• ¿Cómo son los resultados de las potencias de base 2?, ¿pares o impares?

• ¿Y los resultados de las potencias de base 3?, ¿y base 6?• ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es par?• ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es impar?

Potencias de base 2 Potencias de base 3 Potencias de base 6

21 = 2 2 31 = 3 3 61 = 6 6

22 = 2 • 2 4 32 = 3 • 3 9 62 = 6 • 6 36

23 = 2 • 2 • 2 8 33 = 3 • 3 • 3 27 63 = 6 • 6 • 6 216

24 = 34 = 64 =

25 = 35 = 65 =

26 = 36 = 66 =

• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por símisma tantas veces como lo indica el exponente, es decir:

a n = a • a • a • … • a = b

n veces valor de la potencia

• Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es par.

• Si la base de una potencia es impar, el valor de la potencia, para cualquier exponente,es impar.

NO OLVIDES QUE...

base

exponente

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 46

47Potencias

Unidad 2

Utilizando una planilla de cálculo puedes generar la secuencia de potencias de base 2, 4 y 8, por ejemplo.Para ello realiza los siguientes pasos.

1o En una hoja de ese programa, en A1 ingresa el número 1.2o Luego, con el mouse haz doble clic en A2 y anota “=2*A1”. Así, te calculará el doble del

número anotado en la celda anterior.3o Con el mouse, selecciona la celda A2, anda a su vértice inferior derecho y, cuando aparezca

una cruz negrita, arrastra hasta la celda A20. Así, deberían aparecer todas las potencias debase 2 hasta el exponente 19.

4o Repite de manera similar los pasos anteriores pero para calcular las potencias sucesivas debase 4 y 8. Utiliza las columnas B y C, respectivamente. En estos casos, en la segunda celdade cada columna debes anotar “=4*B1” y “8*C1”, donde B1 y C1 corresponden al número 1.Deberías obtener:

5o Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde1. ¿Por qué hay números que se repiten en dos o en las tres columnas, como por ejemplo,

4 096?2. Explica lo anterior escribiendo esos números como potencias. Por ejemplo:

4 096 = 84 = 46 = 212


<> A B C D

1 1 1 1

2 2 4 8

3 4 16 64

4 8 64 512

5 16 256 4 096

6 32 1 024 32 768

7 64 4 096 262 144

8 128 16 384 2 097 152

9 256 65 536 16 777 216

10 512 262 144 134 217 728

11 1 024 1 048 576 1 073 741 824

12 2 048 4 194 304 8 589 934 592

13 4 096 16 777 216 68 719 476 736

14 … … …

resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

UNIDAD 2 (38-51) 1/9/09 1:47 PM Page 47

48 Unidad 2

Potencias de exponente 2 y áreas

Observa los siguientes cuadrados, formados a partir de cuadraditosde lados 1 unidad.

De ellos, se obtiene la siguiente tabla:

Como puedes ver, el total de cuadraditos que forman un cuadradocorresponde al área de dicho cuadrado. Así, por ejemplo, elcuadrado de lados 2 unidades tiene área 4 u2.

Por otro lado, sabemos que el área del cuadrado se calcula multiplicando la medida de su lado por sí misma, lo que podemosanotar usando potencias.

2 • 2 = 22 = 4

Luego, las expresiones 12, 22, 32, 42, etc., se pueden representar geométricamente como el área de un cuadrado de lados 1, 2, 3, 4, etc., respectivamente.

PARA DISCUTIR

• ¿A qué medida geométrica corresponde el total de cuadraditos queforman cada cuadrado formado?

• ¿Cómo puedes expresar dicha medida con potencias?

Lado del cuadradoTotal de cuadraditos

que lo forman

1 1

Expresión numérica asociada

1 • 1

2 4 2 • 2

3 9 3 • 3

4 16 4 • 4

UNIDAD 2 (38-51) 12/31/08 12:08 PM Page 48

1. Determina el cuadrado más grande que se puede formar con un número dado de cuadraditos.Además, indica cuántos cuadraditos por lado tendría el cuadrado y cuántos cuadraditos sobran.

Ejemplo: 82 cuadraditos: 81, son 9 cuadraditos por lado y sobra 1

a) 39 cuadraditos c) 2 600 cuadraditos

b) 12 cuadraditos d) 445 cuadraditos

2. Lee la definición de un número cuadrado perfecto y responde.“Al valor que se obtiene al elevar unnúmero al cuadrado se le denomina cuadrado perfecto.

Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto, pues 52 = 25”.Escribe todos los números naturales cuadrados perfectos menores que 200. ¿Cuántos son?

3. Resuelve en cada caso.

a) Si el área de un cuadrado es 25 cm2, ¿cuánto mide uno de sus lados?

b) Si quieren colocar en un salón 10 filas de 10 sillas cada una, ¿cuántas sillas se necesitarán?

c) Si el lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se duplica?

d) Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se triplica?

49Potencias

Unidad 2

EN TU CUADERNO

Las potencias de exponente 2 se asocian al área de un cuadrado, donde:

• La base de la potencia corresponde a la medida del lado del cuadrado.

• El exponente 2 se asocia a las dos dimensiones del cuadrado: largo y ancho.

Por esta razón, se dice que la base está elevada al cuadrado. Por ejemplo, 3 elevado a 2se dice “3 al cuadrado”.

NO OLVIDES QUE...

Ciertas regularidades matemáticas nos ayudan a calcular fácilmente algunas potencias.Para calcular el cuadrado de un número terminado en 5, sigue los siguientes pasos:

• Multiplica el dígito de las decenas por su sucesor.

• Al resultado de esta operación, colócale el 25 al final del número.

Ejemplo: 352 3 • 4 = 12 352 = 1 225652 6 • 7 = 42 652 = 4 225

ESTRATEGIA MENTAL

UNIDAD 2 (38-51) 1/9/09 1:42 PM Page 49

50 Unidad 2

1. Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10.

a) 25 532 c) 470 042 000 e) 26 190 000

b) 5 050 100 d) 33 350 f) 1 000 300 200

2. Completa en tu cuaderno con el número correspondiente a cada descomposición.

a) 2 • 103 + 5 • 101 e) 2 • 109 + 1 • 108 + 2 • 106 + 4 • 105

b) 1 • 105 + 2 • 103 + 1 • 101 + 8 • 100 f) 1 • 109 + 3 • 107 + 1 • 106 + 6 • 103

c) 5 • 107 + 2 • 105 + 8 • 104 + 5 • 103 g) 4 • 108 + 5 • 106 + 3 • 105 + 5 • 103

d) 5 • 107 + 5 • 105 + 2 • 102 + 4 • 101 h) 2 • 105 + 1 • 104 + 2 • 103 + 1 • 101

EN TU CUADERNO

Potencias de base 10 y descomposición

de números

En años anteriores aprendiste a descomponer números de maneramultiplicativa. Así, por ejemplo, al descomponer 452 876 se obtiene:

452 876 = 400 000 + 50 000 + 2 000 + 800 + 70 + 6= 4 • 100 000 + 5 • 10 000 + 2 • 1000 + 8 • 100 + 7 • 10 + 6 • 1

Como puedes ver, hemos descompuesto el número en términos de100 000, 10 000, 1000, 100, 10 y 1, los cuales corresponden a potencias de 10. Así, podemos escribir la descomposición como:

452 876 = 4 • 105 + 5 • 104 + 2 • 103 + 8 • 102 + 7 • 101 + 6 • 100

Todo número natural se puede descomponer utilizando dígitos y potencias de 10. Por ejemplo:

2 405 = 2 • 103 + 4 • 102 + 0 • 101 + 5 • 100

= 2 • 103 + 4 • 102 + 5 • 100

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (38-51) 9/7/09 11:18 PM Page 50

51Potencias

Unidad 2

1. El triple de 37 es:

A. 311 B. 97 C. 38 D. 321

2. ¿A qué número corresponde 3 • 104 + 5 • 102 + 7 • 105 + 4 • 103 + 6 • 101?

A. 374 560 B. 743 065 C. 357 460 D. 734 560

3. Mi tía Eliana tenía una planta muy especial. Primero era solo el tallo. Al año siguiente, del tallo brotaron 4 ramitas, cada una con una flor. Un año después, de cada una de estas ramitas brotaron otras cuatro ramitas, cada una con una flor,y así, sucesivamente. ¿Cuántas flores hubo el séptimo año?

4. Francisca está planificando construir el mosaico cuadrado más grande que pueda,con las 250 baldositas que ha reunido.

a) ¿Cuál es el mosaico cuadrado más grande que puede hacer?

b) ¿Cuántas baldositas sobran?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómolo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.

• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómopuedes aprenderlo de manera más sencilla.

MI PROGRESO

Criterio Preguntas Respuesta correcta

Interpretar el concepto de potencia 1

Reconocer un número expresado utilizando descomposición canónica.

2

Resolver un problema, planteando y calculando una potencia con base natural.

3

Resolver un problema, reconociendo el mayor cuadrado perfecto menor que unnúmero dado.

4

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 2 (38-51) 1/9/09 1:50 PM Page 51

52 Unidad 2

Potencias de base 10 y grandes números

Pon atención a los siguientes datos:• La masa de la tierra es de 6 cuatrillones de kilogramos, es decir,

6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.• La distancia que nos separa de la nebulosa Andrómeda es

aproximadamente 95 000 000 000 000 000 000 km, es decir 95 trillones de km.

• La distancia a los confines observables del universo es,aproximadamente, 460 000 000 000 000 000 000 000 000 m, lo quese puede escribir como 4,6 • 1026 m.

Por ejemplo, escribamos el número 21 000 000 usando potencias de 10:21 000 000 = 21 • 106

Como puedes ver, las potencias de base 10 nos ayudan a escribir demanera abreviada grandes cantidades.

• ¿Cómo se podría expresar la masa de la Tierra en gramos?• ¿Cuántos metros nos separan de la nebulosa Andrómeda?• ¿Cómo podríamos escribir más fácilmente números muy grandes

como estos?• ¿Nos ayuda en este caso utilizar las potencias de 10? ¿por qué?

PARA DISCUTIR

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique elexponente.

Ejemplo: 108 = 100 000 000Esto nos permite expresar grandes cantidades como un producto de un número natural yuna potencia de diez.Ejemplo: 74 300 000 000 = 743 • 100 000 000 = 743 • 108

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 52

53Potencias

Unidad 2

1. Escribe los siguientes números utilizando potencias de base 10.

a) 650 000 000 000 d) 4 000 000 000 000

b) 300 000 000 e) 68 000 000 000 000 000

c) 520 000 000 000 f) 7 240 000 000 000 000

2. Expresa sin utilizar potencias.

a) 4 • 105 c) 8 • 105 e) 543 • 106

b) 34 • 107 d) 1010 f) 25 • 108

3. Compara los resultados en cada caso y completa, en tu cuaderno, con <, > o =, según corresponda.

a) 467 • 1021 467 • 1021 e) 98 000 000 000 98 • 106

b) 38 • 1014 38 • 1012 f) 12 • 104 12 567

c) 300 000 000 3 • 108 g) 67 • 1022 6 700 • 1019

d) 525 • 1015 5 250 • 1016 h) 423 • 1012 4 • 1015

4. Ordena de menor a mayor.

a) 4 • 106, 4 • 108, 4 • 105, 4 • 107 d) 5 250 • 1016, 25 • 1017, 55 • 1018

b) 678 • 109, 6 834 • 109, 6 721 • 109 e) 473 • 1024, 48 • 1023, 47 • 1 025

c) 23 • 105, 214 • 104, 2 • 106, 22 • 105 f) 98 • 106, 89 • 107, 89 • 106

5. Averigua el significado de los prefijos usados en el sistema métrico decimal. Luego, completa lasiguiente tabla.

Prefijo Número Potencia de 10

Exa (E) 1 000 000 000 000 000 000 1018

Peta (P)

Tera (T)

Giga (G)

Mega (M)

Miria (Ma)

Kilo (K)

Hecta (H)

Deca (D)

EN TU CUADERNO

UNIDAD 2 (52-63) 6/11/09 11:17 PM Page 53

1. Calcula.

a) 457 • 100 = h) 100 • 105 =

b) 1 249 • 10 000 = i) 7,3 • 1 000 =

c) 3 • 100 000 = j) 15,29 • 10 000 =

d) 10 000 • 1 000 = k) 0,053 • 100 000 =

e) 542 • 104 = l) 14,328 • 104 =

f) 32 • 106 = m) 5,7902 • 106 =

g) 963 • 103 = n) 6,8211 • 103 =

EN TU CUADERNO

Multiplicación de un número natural o

decimal por una potencia con base 10

Joaquín ha hecho un pedido de 10 paquetes de caramelos de anís,100 paquetes de caramelos de miel y 1 000 paquetes de caramelosde frutas. Cada paquete de caramelos cuesta $ 234.

También ha solicitado 10 sobres de 0,25 kg de coco rallado, 100bolsas de 0,125 kg de chocolate en polvo y 1 000 sobres de 0,015 kgde canela molida.

54 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto paga Joaquín por los caramelos de anís?, ¿cuánto paga por losde miel?, ¿y por los de frutas?

• En total, ¿cuántos kilogramos de coco rallado obtiene?, ¿cuántoskilogramos de chocolate en polvo?, ¿y cuántos de canela molida?

• Si quisiera pedir 106 sobres de canela molida, ¿a cuántos kilogramoscorresponde?

• ¿Existe un procedimiento rápido para multiplicar un número por unapotencia con base 10? Explícalo, paso a paso.

Para multiplicar una potencia con base 10:

• por un número natural, se agrega al número tantos ceros a la derecha como indique elexponente de la potencia.

• por un número decimal, se desplaza la coma tantos lugares a la derecha como indiqueel exponente de la potencia. Si no hay cifras suficientes, se agregan ceros.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 54

2. Observa las figuras y completa en tu cuaderno.

a) b)

10 • 10 = 10 • 10 • 10 =102 = 103 =

3. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado, en cada caso. Verifica tusresultados con tu calculadora.

• ¿Qué observas?

55Potencias

Unidad 2

a b b2 a • b b • a

32 102 Criterio Criterio Criterio



1 430 103 Criterio Criterio Criterio

3,2 103 Criterio Criterio Criterio





resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 55

EN TU CUADERNO

1. Calcula.

a) 2 457 : 100 = i) 1 000 : 105 =

b) 623 : 1 000 = j) 2,47 : 100 =

c) 18 249 : 100 000 = k) 9,3 : 1 000 =

d) 5 : 10 000 = l) 25,49 : 10 000 =

e) 1 000 000 : 1 000 = m) 0,073 : 100 000 =

f) 732 : 104 = n) 24,358 : 104 =

g) 971 : 106 = ñ) 4,8902 : 106 =

h) 4 902 : 103 = o) 7,825 : 103 =

División de un número natural o decimal

por una potencia con base 10

Ignacia compró un rollo de cordón rojo, de 65 m, otro de cordónverde, de 82 m y otro de cordón amarillo, de 94 m. El cordón rojo locorta en 10 trozos iguales, el verde en 100 trozos iguales y elamarillo en 1 000 trozos iguales.

56 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo?• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón verde?• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón amarillo?• Si quisiera cortar el cordón amarillo en 105 trozos iguales, ¿cuánto

medirá cada trozo?• ¿Existe un procedimiento rápido para dividir un número por una

potencia con base 10?, ¿lo puedes explicar?

Para dividir un número natural o decimal por una potencia con base 10, se desplaza lacoma tantos lugares a la izquierda como indique el exponente de la potencia. Si no haycifras suficientes, se agregan ceros.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 9/7/09 9:07 PM Page 56

1. El número 325 700 000 escrito utilizando potencias de base 10 es:

A. 325,7 • 106

B. 3 257 • 108

C. 3,257 • 108

D. 32,57 • 105

2. Al dividir 3,6 • 1024 por 108, se obtiene:

A. 3,6 • 103

B. 3,6 • 1016

C. 3,6 • 1032

D. 3,6 • 1012

3. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 • 105 km en un segundo.¿Cuántos kilómetros recorre la luz en 1 año?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómolo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo

puedes aprenderlo de manera más sencilla.

MI PROGRESO

57Potencias

Unidad 2

Preguntas

Representar un número natural en

notación científica.

Dividir un número natural por una

potencia con base 10.

Resolver un problema, dividiendo un

número natural por una potencia con

base 10.

1

2

3

Criterio Respuestas correctas

resp

onde en

tu cu

ader

no

UNIDAD 2 (52-63) 9/7/09 9:08 PM Page 57

58 Unidad 2

La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 m y la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km.• ¿Cuál es la menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros?• ¿Y cuál es la mayor distancia posible?


La distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km.La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 mLa mayor distancia posible se produce cuando el Sol está entre los dos planetas, con lostres cuerpos celestes alineados.La menor distancia posible se produce cuando están alineados los dos planetas y el Sol,pero la Tierra se encuentra entre Urano y el Sol.

• ¿Qué debes encontrar? La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros.La menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros.


Para poder restar o sumar magnitudes, estas deben estar en la misma unidad, luegoprimero divide por 1 000 la distancia entre Urano y el Sol, así queda expresada enkilómetros.Expresa ambos números como un producto de un número natural y una potencia de 10,con el mismo exponente, el mayor posible.Expresados los números de esta manera, si la potencia con base 10 es la misma, pordistribuitividad, basta sumar o restar los números que acompañan a las potencias conbase 10. Finalmente, el resultado se expresa de la manera más simple posible.

Resolver3 • 1012 : 1 000 = 3 • 109

150 000 000 =15 • 107

Pero 3 • 109 = 3 • 100 • 107 = 300 • 107

Entonces, 300 · 107 + 15 • 107 = (300 + 15) • 107 = 315 • 107

300 · 107 – 15 • 107 = (300 – 15) • 107 = 285 • 107

Responder• La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra es 315 • 107 km.• La menor distancia posible entre Urano y la Tierra es 285 • 107 km.


UNIDAD 2 (52-63) 1/22/09 4:48 PM Page 58

59Potencias


a) En Estados Unidos se producen anualmente 1 485 • 108 kg de basura. Si se reciclara, se creeque la cantidad total de basura producida sería 87 • 104 toneladas de basura. Al reciclar,¿cuántas toneladas de basura dejan de producirse anualmente?

b) En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión delas siguientes cantidades de billetes en las denominaciones especificadas: 3 500 000 000billetes de US$ 1; 64 000 000 billetes de US$ 10; y 3 200 000 en billetes de US$ 100. Utilizapotencias de 10 para determinar cuánto dinero, en dólares, fue impreso.

c) La Luna está a unos 3 782 • 102 kilómetros de la Tierra. Un satélite orbita alrededor de laTierra, a una altitud de 3 • 104 m. Cuando están alineados los tres, con el satélite entre laTierra y la Luna, ¿cuál es la menor distancia entre el satélite y la Luna?


a) Si se estima la edad de la Tierra en 45 • 108 años y la desaparición de los dinosaurios se estimaque ocurrió hace 65 • 106 años, ¿Cuál era la edad de la Tierra al momento de la desapariciónde los dinosaurios?

b) Si la masa de los primeros cuatro planetas del Sistema Solar corresponde a: masa de Mercurio:33 • 1022 kg, masa de Venus: 487 • 1022 kg, masa de Marte: 642 • 1021 kg, masa de la Tierra:5 983 • 1021 kg, ¿cuánto sería la masa de los cuatro planetas juntos?

c) El Sol es la estrella que tenemos más cerca y está a unos 150 millones de kilómetros. Paraexpresar distancias tan grandes, el kilómetro resulta incómodo, por eso los astrónomostrabajan con otra unidad de longitud mucho mayor: el año luz. Se llama así a la distancia querecorre la luz en un año. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 • 105

kilómetros en un segundo, y en un año, aproximadamente 946 • 1010 km.

• ¿Un año luz es mayor que diez millones de millones de kilómetros o es menor?, ¿por qué?• ¿9 billones de kilómetros es mayor o menor que un año luz?

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 59

60 Unidad 2

CONEXIONES

Junto a un compañero o compañera:1. Escriban en su cuaderno un googol.2. ¿Cómo se escribiría utilizando potencias de 10? Comenten.3. Averigüen si le han puesto nombres a algún número más grande que un googol.4. Averigüen cuál es el nombre de un googol, según los prefijos griegos habituales (kilo, hecta,

mega, etc.)5. ¿Cómo relacionarían un googol con el infinito? Comenten con su curso.








TECNOLOGÍA

Google y googol

Fuente: http://unmundobinario.wordpress.com/2008/03/13/el-origen-de-google-en-binario/


Los creadores del popular sitio de búsquedaen Internet querían un nombre para sucreación e inspirándose en la historia de laMatemática, lo hallaron en la palabra googol,creada en 1938, cuando el matemáticoEdward Kasner le preguntó a su sobrinoMilton Sirotta que cómo llamaría al número1 seguido de cien ceros, a lo que el niño denueve años respondió googol. Un googol esun número muy largo. No existe un googol de

nada en el universo, ni de estrellas, ni departículas de polvo, ni de átomos.La empresa Google confirma que su nombrese inspira en el googol y precisa que refleja lamisión de la compañía de organizar lainmensa cantidad de información disponibleen la web y en el mundo. La leyenda cuentaque se llama Google y no Googol, por unerror de ortografía al momento de inscribir elnombre.

UNIDAD 2 (52-63) 6/18/09 5:37 PM Page 60

Unidad 2SÍNTESIS

MultiplicaciónRepresentación

gráfica

Diagrama

de árbol

Aplicaciones

Potencias de 10

varias veces

61Potencias



• ¿Qué ventajas tiene el uso de potencias?

• ¿Para qué nos sirve el diagrama de árbol?

• ¿Qué utilidad tienen las potencias de 10 para representar grandes números?

• ¿Cómo multiplicas y divides por potencias con base 10?

• ¿Se puede descomponer cualquier número natural como una suma de productos entre dígitos ypotencias con base 10?

Potencias

Grandes números

Base

Problemas

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 61

62 Unidad 2

1. En una bodega hay 5 torres de 5 cajas quecontienen cada una 5 filas con 5 frascos demiel. ¿Cuántos frascos de miel hay en total?

A. 25B. 125C. 53

D. 54

2. Cierta bacteria se duplica cada 10 minutos. Sien un comienzo había 3 bacterias, ¿cuántas hayal cabo de 30 minutos?

A. 24B. 12C. 8D. 6

3. El número 10 000 000 expresado como unapotencia con base 10 es:

A. 105

B. 106

C. 107

D. 108

4. El número 45 600 000 000 escrito usandopotencias de 10 es:

A. 45,6 • 108

B. 456 • 108

C. 4,56 • 109

D. 456 • 107

5. ¿A qué número corresponde 8 • 104 + 6 • 106 + 2 • 105 + 3 • 103 + 1 • 101?

A. 628 310B. 6 283 010C. 86 231D. 862 010

6. Decide cuál de las siguientes afirmaciones esfalsa:

A. Las potencias de exponente 3 y base par,siempre dan como resultado un número par.

B. El valor de las potencias de exponente imparno siempre es un número impar.

C. Si la base de una potencia es par, el valor dela potencia, para cualquier exponente, es par.

D. Si el exponente de una potencia es par, elvalor de la potencia, para cualquier base, esimpar.

7. El resultado de 23,85 • 104 es:

A. 95,4 • 10?B. 23 850C. 0,2385D. 238 500

8. El resultado de 485 000 : 104 es:

A. 4 850 000 000B. 48,5C. 4 850D. 121 250

¿QUÉ APRENDÍ?


UNIDAD 2 (52-63) 6/11/09 10:32 PM Page 62

Unidad 2


¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

63Potencias

9. En una fábrica de bandejas para comida se venden bandejas de aluminio, maderay plástico. Las bandejas pueden ser chicas, medianas o grandes y, además, hay deforma rectangular, cuadrada o redonda.

a) Confecciona un diagrama de árbol que muestre todos los tipos de bandejasposibles de fabricar.

b) Indica, como producto, la cantidad total de ramas del árbol.

10. Al lado de mi casa hay 2 edificios que tienen 2 pisos de alto cada uno. Cada pisotiene 2 balcones y de la baranda de cada balcón cuelgan 2 maceteros, uno tieneplantas con flores y el otro no.

a) ¿cuántas plantas hay en total?b) Si se tratara de 3 edificios de 3 pisos, con 3 balcones por piso y 3 maceteros

con plantas en cada balcón, ¿cuántas plantas hay en total?


Concepto de potencia.

Diagrama de árbol.

Propiedades de las potencias.

Potencias de 10 y grandes números.

Multiplicación y división por una potencia de 10.

Resolución de problemas.




responde en tu cu

aderno

UNIDAD 2 (52-63) 12/31/08 12:09 PM Page 63

UNIDAD

3

64 Unidad 3

Ángulos

• Reconocer y obtener la medida de ángulos opuestospor el vértice.

• Reconocer y obtener la medida de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por unatransversal.

• Comprender y obtener la medida de los ángulos interiores y exteriores en un triángulo.

• Conjeturar y comprobar propiedades respecto de la suma de las medidas de ángulos interiores y exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos.

• Distinguir los polígonos regulares e irregulares.• Comprender y obtener la medida de los ángulos

interiores y exteriores en un polígono regular.


UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 64

65Ángulos

En el arte del siglo XX, varios artistas han hecho uso delconocimiento de la geometría para pintar sus cuadros. SalvadorDalí, pintor español, tenía una gran biblioteca con libros dematemática y su conocimiento de la geometría se refleja en suscuadros. Picasso hizo uso de la simetría en muchas de sus obras.Entre los pintores chilenos, Roberto Matta también utiliza lageometría en sus cuadros y en la pintura de Matilde Pérez encon-tramos figuras geométricas plenas de significado.• ¿Qué figuras geométricas reconoces?• ¿Qué tipos de ángulos distingues en este cuadro?

CONVERSEMOS DE...

Mat

ilde

Pére

z, C

olla

ge e

n m

ader

a, 1

971.

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 65

¿CUÁNTO SABES?

66 Unidad 3

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios entu cuaderno.

1. Explica con tus palabras lo que entiendes por cada uno de los siguientes conceptos. Luego, haz un dibujo como ejemplo.

a) Una línea recta.b) Líneas paralelas.c) Líneas perpendiculares.d) Un ángulo.e) Un polígono.

2. Copia en tu cuaderno los siguientes polígonos y marca con color azul los lados, conrojo los vértices y con amarillo los ángulos interiores.

3. Escribe el nombre de los siguientes tipos de ángulos.

a) Ángulos iguales a 90º. b) Ángulos menores a 90º.c) Ángulos iguales a 180º.d) Ángulos mayores que 90º y menores que 180º.

4. Con la ayuda de un transportador, mide los siguientes ángulos.

a) c) e)

b) d) f)

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 66


67Ángulos

• Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, ocuando son coincidentes.

• Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman cuatro ángulos iguales.

• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,que tienen un origen común, llamado vértice.

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

• Un triángulo es un polígono de tres lados.

• Según la medida de sus ángulos interiores, un triángulo se puede clasificar en:

• Acutángulo: sus tres ángulos son agudos.• Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.• Rectángulo: uno de sus ángulos es recto.

5. Dibuja en tu cuaderno los siguientes polígonos.

a) Triángulo.b) Hexágono.c) Cuadrado.d) Romboide.

6. Dibuja en tu cuaderno:

a) Un ángulo recto.b) Un ángulo agudo.c) Un ángulo obtuso.


UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 67

2

34

1

Ángulos opuestos por el vértice

Observa la figura. ¿Cómo se puede demostrar que los ángulos 1 y 3tienen igual medida?

Considera el ángulo formado por los ángulos 1 y 2. Mide 180º, por que los ángulos 1 y 2 son adyacentes y los lados que no tienenen común forman una línea recta.De igual forma, el ángulo formado por los ángulos 2 y 3, tambiénmide 180º.

Entonces: �1 + �2 = �2 + �3

Pero como el ángulo 2 es el mismo, se obtiene que �1 = �3

68 Unidad 3

PARA DISCUTIR

• Al coincidir un par de lados, ¿qué ocurre con el otro par de lados?• Si se fijan en los ángulos, ¿cómo son entre ellos?• ¿Ocurrirá siempre así? Repitan el procedimiento en otra hoja de papel

y verifiquen sus respuestas.• ¿Y si las rectas forman ángulos más agudos, también se cumple?,

¿y en el caso de rectas perpendiculares? • Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.

¿Qué pueden concluir?

Un ángulo puede nombrarse con un tríode letras mayúsculas, quese refieren a tres puntosdel ángulo; el primero,perteneciente a un lado,el segundo, su vértice, yel tercero, pertenecienteal otro lado.

Ejemplo: �AOB

A yuda

En esta actividad deberán conjeturar y comprobar la relación entre las medidasde los ángulos que se forman por dos rectas secantes. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Cada uno traza una línea recta en una hoja de papel lustre, de modo que se divida en dos partes de similar tamaño.

2. Luego, trazan otra línea recta, de modo que interseque a la anterior.

3. Plieguen la hoja de papel justo por la intersección de las rectas, de modo de hacer coincidir loslados de alguno de los cuatro ángulos formados por las dos rectas.

4. Observen y comparen los resultados obtenidos.

EN EQUIPO Materiales:• Hojas de papel

lustre de 10 x10 cm

• Lápiz• Regla

BO

A

UNIDAD 3 (64-77) 1/22/09 4:47 PM Page 68

1. Copia la cerca y marca en ella los pares de ángulos opuestos por el vértice.

2. Determina 10 pares de ángulos opuestos por el vértice presentes en la siguiente figura.Luego, responde.

a) Los ángulos BGA y MGI , ¿son opuestos por el vértice? Justifica.b) Si el ángulo FEJ mide 67º, ¿cuánto mide el ángulo IED?

EN TU CUADERNO

69Ángulos

Unidad 3

• Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son prolongacionesmás allá del vértice de cada uno de los lados del otro ángulo. Tienen un vértice encomún y sus lados están en un par de rectas que se cortan en este vértice.

• Dos ángulos opuestos por el vértice tiene igual medida.

NO OLVIDES QUE...

AB C D

F

E

I

HG

N

LM K J

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 69

70 Unidad 3

Ángulos entre paralelas

La siguiente imagen representa un cruce de líneas férreas. Observalos ángulos que se forman.

Ángulos correspondientes (tienen igual medida).

1 2

5 6

3 4

7 8

11 12

15 16

9 10

13 14

PARA DISCUTIR

• ¿Qué tienen en común los ángulos 1 y 6?, ¿y el 2 y el 5? ¿Cómo se llaman estos pares de ángulos?

• Si el ángulo 1 mide 65º, entonces ¿cuánto mide el ángulo 2?, ¿cómolo sabes?

• ¿Qué tienen en común los ángulos 5 y 10?, ¿y los ángulos 1 y 14?• Con el transportador mide los ángulos 2 y 10. ¿Qué relación hay entre

ellos?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos 5 y 13?• Ahora, mide con el transportador los ángulos 6 y 9. ¿Qué relación hay

entre ellos?, ¿por qué crees que se cumple esto? Justifica.• ¿Qué relación existe entre el ángulo 1 y el ángulo 2?, ¿ocurrirá lo mismo

en el caso de los ángulos 15 y 16?, ¿por qué crees que ocurre esto?

Si dos ángulos tienen un vértice y un lado encomún y los otros ladosforman una recta,entonces se llaman ángulos adyacentes.

� m+ � n = 180°

A yuda

mn

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ochoángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcadoscon el mismo color, en cada caso, son:

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 3 (64-77) 1/9/09 12:07 PM Page 70

71Ángulos

Unidad 3

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ochoángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcadoscon el mismo color, en cada caso, son:

NO OLVIDES QUE...

Ángulos alternos externos(tienen igual medida).

Ángulos alternos internos(tienen igual medida).

1. Marca en cada letra un par de ángulos que tengan igual medida.

a) b) c)

2. Considerando que L1 // L2 // L3, escribe todos los pares de ángulos pedidos en cada caso.

a) Ángulos alternos internosb) Ángulos correspondientesc) Ángulos adyacentesd) Ángulos alternos externos

EN TU CUADERNO

1 2

7 8

3 4

9 10

5

L1

L4

L2 L3

6

11 12

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 71

72 Unidad 3

3. Cuando una persona sigue una trayectoria, su cambio de dirección se puede relacionar con el ángulo de giro. Por ejemplo: si una persona camina hacia el este por la Alameda y dobla hacia laAvenida Libertad, el ángulo de giro es α en sentido noreste.

Observa el siguiente plano y luego resuelve. Las calles Sargento Rebolledo y Avenida Neptunoson paralelas. Ambas interceptan a la Avenida Pajaritos. Dos personas que caminan hacia eloeste por Avenida Pajaritos, doblan hacia el norte.

a) ¿Cuál es el ángulo de giro que representa a cada una de las personas al doblar? Indica lamedida de cada uno de esos ángulos.

b) ¿Qué relación existe entre este par de ángulos?c) Copia la imagen en tu cuaderno y marca con distintos colores las parejas de ángulos

correspondientes.

4. Observa la siguiente ilustración, luego responde. El pasaje Río Frío y la calle Lago Cochrane sonparalelas y ambas interceptan la calle Lago Yelcho. Leo y Claudia se van a sus casas caminandopor Lago Yelcho en direcciones contrarias.

a) ¿Cuánto mide el ángulo de giro que representa cada uno de los recorridos hechos por Leo y Claudia?

b) ¿Qué tipo de ángulo entre paralelas representan los ángulos anteriores?c) Copia la imagen en tu cuaderno, marca con distintos lápices de colores las parejas de

ángulos alternos externos y alternos internos formados por la intersección de las calles.d) Mide cada uno de los ángulos anteriores y comprueba que tienen igual medida.

Alameda

N

S

O ELibert

ad

α

Avenida Pajaritos

Aven

ida

Nep

tuno

Sarg

ento

Reb

olle

do N

S

O E

Lago Yelcho

Pasa

je Rí

o Fr

ío

Lago

Coc

hran

e

N

S

O E

UNIDAD 3 (64-77) 1/12/09 12:41 PM Page 72

73Ángulos

Unidad 3

5. Encuentra la medida de cada ángulo indicado.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

L1 // L2 // L3 L1 // L2 y L3 // L4

L1 // L2 L1 // L2

L1 // L2 L1 // L2

L1 // L2

x

128°z

y

L3

L2

L1

L4

y

x

110° L4

L3

L1 L2

z

55°

y73°

L1

L2

L3

L1

L2

L3

x

80°n

148°

L1

L2

L3

L1

L2

L3

L1 // L2 // L3

L4

L3

L2

L1

L1

L2

L4

L3

55º

128º

35º

x

x

z

y

y

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 73

74 Unidad 3

Medida de los ángulos de un triángulo

En una cartulina dibuja un triángulo acutángulo, uno rectángulo yuno obtusángulo. Luego realiza con cada uno de ellos lo que se observa en la siguiente secuencia:

PARA DISCUTIR

• ¿Qué ángulo forma la unión de los tres ángulos interiores del triángulo?• ¿Qué puedes concluir acerca de las medidas de los ángulos interiores

de cada triángulo?• ¿Se cumple esta propiedad en todo tipo de triángulos?

1

3

2

4

En todo triángulo, la suma de la medida de los ángulos interiores es 180º.

NO OLVIDES QUE...

1. Completa la siguiente tabla.

EN TU CUADERNO

Medida de los ángulos interiores ¿Es posible construir un triángulo?

45º 90º 90º

76º 24º 80º

120º 23º 100º responde en tu cuaderno

UNIDAD 3 (64-77) 12/31/08 12:12 PM Page 74

2. Piensa, comenta y responde.

a) ¿Se puede construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos interiores rectos?,¿por qué?

b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos interiores obtusos? Explica.c) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos interiores agudos? Da un ejemplo.

3. Copia en una hoja la siguiente figura.

a) Recorta los ángulos exteriores.b) Pégalos en tu cuaderno, como si fuesen ángulos adyacentes.c) ¿Qué puedes concluir respecto de la suma de los ángulos exteriores de este polígono?,

¿ocurrirá siempre lo mismo?d) Repite la actividad para tres triángulos diferentes y verifícalo. Luego, compara tus resultados

con los de tus compañeros y compañeras.

4. Completa el valor que debe tener el tercer ángulo, según sea el caso.

75Ángulos

Unidad 3

En todo triángulo, la suma de la medida de los ángulos exteriores es 360º.

NO OLVIDES QUE...

α, β, γ, Ángulos interiores.

α’, β’, γ’ Ángulos exteriores.

α β

γγ’

α’

β’

Ángulos interiores de un triángulo

20º 60º

55º 25º

101º 12º

Ángulos exteriores de un triángulo

120º 150º

170º 50º

161º 90º

UNIDAD 3 (64-77) 6/11/09 11:34 PM Page 75

76 Unidad 3

Medidas de los ángulos de un

cuadrilátero

Observa los siguientes cuadriláteros:

En el caso del trapecio, podemos ver que se cumple la misma relación utilizando las propiedades de los ángulos entre paralelas. Observa.

Ya que los ángulos alternos internos (destacados con el mismo coloren la imagen) tiene igual medida, podemos “trasladar” los ángulosinteriores de la parte superior a sus respectivos ángulos en la parte inferior. De esta manera, lo que tenemos son dos ángulos extendidos, es decir, la suma de las medidas de los ángulos interiores de un trapecio es 360º.

En el caso del trapezoide, puedes comprobar que se cumple lamisma relación dibujando un trapezoide en una hoja de papel yluego separando sus ángulos interiores para ordenarlos, tal como lohiciste con los triángulos, en la página 74.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un cuadrado?• ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un

cuadrado?, ¿y de un rectángulo?• Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué?• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores de un rectángulo?• ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un

rectángulo?, ¿y de un cuadrado?• Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué?

• La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

• La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es 360º.

NO OLVIDES QUE...

cuadrado rectángulo trapecio trapezoide

UNIDAD 3 (64-77) 1/9/09 1:39 PM Page 76

77Ángulos

Unidad 3

1. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 33ºB. 47ºC. 80ºD. 100º

2. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos no pueden ser las medidas de los ángulosinteriores de un triángulo?

A. 27°, 35°, 118°B. 80°, 60°, 40°C. 75°, 75°, 30°D. 28°, 49°, 102°

3. ¿Cuántos grados debe variar la recta BC para que sea paralela a la recta AD?



Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?


MI PROGRESO


Calcular ángulos 1

Reconocer un trío de medidas de ángulosque no satisface la condición de que susuma sea 180º

2

Resolver problemas, aplicandopropiedades de ángulos entre paralelas.

3

115ºA

D C

B80º

120º

y

L2

L347°

L1

α

L2 // L3

33°

x

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 3 (64-77) 1/9/09 11:57 PM Page 77

78 Unidad 3

Ángulos en polígonos

Observa el polígono dibujado a la izquierda y los ángulos que sehan marcado en él.

Si tomas un vértice cualquiera y lo unes con los otros vértices puedes observar que se forman 3 triángulos.

Entonces, la suma de los ángulos se transforma en:

�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = �a + �b + �c + �d + �e + �f + �g + �h + �i

Pero si los agrupamos por los triángulos obtenemos:

(�a + �b + �i) + (�c + �d + �h) + (�e + �f + �g) =180º + 180º + 180º

Podemos ver que la suma de los ángulos interiores de esepentágono es 3 • 180º = 540º.

• Sin utilizar el transportador, ¿puedes calcular la suma de los ángulosinteriores del pentágono de la figura?

• En la segunda figura se trazaron las diagonales desde uno de susvértices. Ahora, ¿puedes calcular la suma de los ángulos interiores deeste pentágono?, ¿cómo lo harías?

PARA DISCUTIR

a

bc

de

f

gh

i

1

2

3

4

5

Desde un vérticecualquiera de unpolígono de nn lados, sepueden trazar ((nn –– 33))diagonales.Un polígono de n lados sepuede dividir en ((nn –– 22))triángulos.

A yuda

1. Sigue la misma estrategia para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono ycompleta la siguiente tabla.

EN TU CUADERNO

PolígonoNúmero de lados

Número de triángulos en los que se subdividió

Suma de los ángulosinteriores del polígono

Triángulo 3 1 1 • 180 = 180º

Cuadrilátero 4 2 2 • 180 = 360º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono responde en tu cuaderno

UNIDAD 3 (78-89) 1/9/09 1:37 PM Page 78

79Ángulos

Unidad 3

2. También se puede conocer la suma de los ángulos exteriores de un polígono. Considerando quela suma de todos los ángulos exteriores y los interiores de un polígono de n lados es n veces180º, calcula la diferencia entre este valor y la correspondiente suma de ángulos interiores ycompleta la siguiente tabla.

¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono cualquiera? Justifica.

3. Calcula el valor de x en cada caso.

a) b) c)

4. Calcula la suma de los ángulos interiores de cada figura.

a) b) c) d)

PolígonoSuma de

ángulos interiores Suma de

ángulos exteriores

Triángulo 180º 3 • 180º – 180º = 360º

Cuadrado 360º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

158º 130º

110º

100º

120º

130º

x

x100º

20ºx

110º

• En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores es (n – 2) • 180°.

• En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores más los ángulosexteriores es n • 180° (n: número de lados del polígono).

NO OLVIDES QUE...

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 3 (78-89) 12/31/08 12:18 PM Page 79

Polígonos regulares

Observa los siguientes polígonos:

80 Unidad 3

PARA DISCUTIR

• Mide los lados de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre los polígonosubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda?

• Ahora mide los ángulos de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre lospolígonos ubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda?

• En los polígonos ubicados a la derecha, ¿también se cumplen laspropiedades respecto a la suma de sus ángulos? Justifica.

• Sin dibujarlo, ¿puedes calcular la medida de los ángulos interiores yexteriores de un polígono de ocho lados iguales? Explica, paso a paso,cómo lo resolviste.

• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida desus lados, reciben el nombre de polígono regular.

• Si esto no se cumple, reciben el nombre de polígono irregular.

NO OLVIDES QUE...

Los polígonos se nombranusando los prefijosgriegos según el númerode lados que tengan, porejemplo:

La suma de un ánguloexterior e interior de unpolígono forma un ángulode 180º, es decir sonsuplementarios.

A yuda

Nº de lados

5 lados

6 lados

7 lados

8 lados

9 lados

10 lados

Nombre delpolígono

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

1. Mide con regla y transportador y determina cuál o cuáles de los siguientes polígonos sonregulares.

a) c) e)

b) d) f)

EN TU CUADERNO

UNIDAD 3 (78-89) 12/31/08 12:18 PM Page 80

2. Completa la siguiente tabla. Puedes apoyarte en los valores obtenidos en la tabla de la página 79.

¿Cuánto mide un ángulo interior de un polígono regular de n lados?, ¿y un ángulo exterior?Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

81Ángulos

Unidad 3

Polígono regular

Triángulo equilátero

Número de ladosiguales

3

Medida del ángulointerior

60º

Medida del ánguloexterior

120º

Cuadrado 4 90º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

• Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados mide:

• Cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados mide:

• Para dibujar un polígono regular, dibuja primero unacircunferencia.

• Ubica en ella los n vértices del polígono, midiendo desde elcentro de la circunferencia el ángulo correspondiente

(que mide ).

• Luego, une todos los vértices del polígono.

NO OLVIDES QUE...En el siguiente polígonose muestran sus ángulosexteriores.

A yuda

responde en tu

cuadern

o

responde en tu

cuadern

o

responde en tu

cuadern

o

(n – 2) • 180ºn

360ºn

360ºn

UNIDAD 3 (78-89) 12/31/08 12:18 PM Page 81

82 Unidad 3

Ingresa a la página http://car-regla-y-compas.uptodown.com/, encontrarás el programa Regla y Compáspara realizar la construcción de un pentágono regular. (Puedes consultar el manual de este programa enla misma página).

1o Construye un segmento cualquiera,utilizando el icono .

2o Usando el icono , construye unacircunferencia con centro en uno de lospuntos que forma el segmento y cuyoradio sea la medida del segmentoanterior.

3o Para poder construir los cinco vértices delpentágono, utiliza el icono , paramedir los ángulos con vértice en el centrode la circunferencia circunscrita. Luego deutilizar el icono anterior, debes escribir lamedida del ángulo del centro. En estecaso, 72°.

4o Luego, debes unir los cinco vérticesencontrados para formar el pentágonoregular.Para poder ver de mejor manera elpentágono y su circunferenciacircunscrita, ocultaremos algunoselementos geométricos que antesconstruimos, utilizando el icono .

5o Por último, medimos cada uno de losángulos interiores del pentágono paracomprobar que la suma de sus ángulosinteriores es igual a 540°, usando el icono .

1. Intenta construir un hexágono regular,creando tu propio procedimiento ymidiendo los ángulos interiores.

2. Construye un cuadrilátero cualquiera.Mide sus ángulos interiores. ¿Puedesmedir sus ángulos exteriores?

3. Intenta construir dos polígonos más,uno regular y otro irregular. Mide susángulos interiores.


UNIDAD 3 (78-89) 1/9/09 11:58 PM Page 82

1. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1 080º. ¿De qué polígono se trata?

A. Pentágono. C. Heptágono.B. Hexágono. D. Octágono.

2. Si la medida de cada ángulo exterior de un polígono es 45º. ¿De qué polígono se trata?

A. Pentágono. C. Heptágono.B. Hexágono. D. Octágono.

3. ¿Cuánto mide el ángulo z?

4. ¿Cuánto mide el ángulo x?


MI PROGRESO

83Ángulos

Unidad 3


Reconocer la relación entre el número delados de un polígono regular y la suma de sus ángulos interiores.

1

Reconocer la relación entre el número delados de un polígono regular y la medidade sus ángulos exteriores.

2

Calcular un ángulo interior de polígono,aplicando la suma de las medidas de losángulos interiores de un polígono.

3 y 4

90º

85º50º

160º

140º

80º

110º

z

x

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 3 (78-89) 1/9/09 11:59 PM Page 83

84 Unidad 3

Supongamos que tenemos un polígono regular de 8 lados, es decir, un octógono regular.¿Cuántas diagonales tiene este polígono?


La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.Un octógono regular tiene ocho lados.

• ¿Qué debes encontrar?La cantidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices.La cantidad total de diagonales que tiene el polígono.


Primero se debe calcular cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice, paracualquier polígono.Luego, se puede calcular la cantidad total de diagonales que hay en otros polígonosregulares, para así buscar la regularidad.

Resolver• Observando las figuras, se completa la tabla:

Dibujar los siguientes polígonos con sus diagonales:

Luego, en cada vértice de un polígono de n lados se pueden construir n – 3 diagonales.Además, se tienen n vértices, entonces puedo dibujar n • (n – 3) diagonales. Sin embargo,cada vez que se dibujan todas las diagonales posibles desde todos los vértices, se repitedos veces cada diagonal.


Polígono regular

Triángulo equilátero

Número de vérticesNúmero de diagonales

desde un vértice

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

3

4

5

6

0

1

2

3

UNIDAD 3 (78-89) 12/31/08 12:18 PM Page 84

85Ángulos

Entonces, la cantidad de diagonales de un polígono de n lados está dada por la expresión

n •

Para el caso de un polígono de 8 lados tenemos:

8 • = = 20

Responder• Por lo tanto, un octógono regular tiene 20 diagonales.

Revisar• Comprueba el resultado obtenido, dibujando en tu cuaderno un octógono y todas sus

diagonales.

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

a) ¿En cuántos triángulos, dibujados con diagonales desde un vértice, se puede dividir unhexadecágono regular, es decir, un polígono regular de 16 lados? ¿Qué pasa en el caso de untridecágono regular (13 lados)?

b) Calcula la cantidad de diagonales totales de un decágono regular (10 lados) y de unheptadecágono regular (17 lados). Si estos no fueran polígonos regulares, ¿tendrían la mismacantidad de diagonales?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tuscompañeros y compañeras.


a) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puededividir un polígono con una cantidad par de lados.

b) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puededividir un polígono que tenga un número impar de lados.

(n – 3)2

402

(8 – 3)2

UNIDAD 3 (78-89) 6/11/09 10:42 PM Page 85

86 Unidad 3

CONEXIONES

1. ¿En qué situaciones medir con un medidor de ángulos digital es de utilidad?, ¿por qué?2. ¿En que situaciones un transportador es más útil que este medidor de ángulos?, ¿por qué?3. ¿Para qué profesiones u oficios este medidor de ángulos es una herramienta de trabajo?,

¿por qué?








TECNOLOGÍA

Lectura instantánea de ángulos en una ampliapantalla de LCD

Fuente: www.construnario.com/notiweb/titulares_resultado.asp?regi=18159,

(consultado el 12 de octubre de 2008).


Varios fabricantes de herramientas eléctricasportátiles, añaden el nuevo medidor de ángulosdigital a su gama de herramientas de medicióninteligente.Con el este nuevo instrumento puede medir unaamplia escala de ángulos, de 0° a 220°. Lo únicoque se necesita es abrir la pata desplegablehasta la posición deseada y el ángulocorrespondiente aparece al instante en lapantalla de LCD. Esta pata puede ser usada también como regla. Para una nivelaciónconvencional, ya sea vertical u horizontal, la herramienta viene equipada con dos burbujasde nivel.

UNIDAD 3 (78-89) 6/18/09 5:38 PM Page 86

87Ángulos

Unidad 3SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptosestudiados en la unidad. Completa con los términos que correspondan.


1. ¿Cómo probarías que un par de ángulos alternos internos tienen igual medida, sin utilizarinstrumentos de medición? Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras.

2. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?

3. ¿Cuántos lados tiene un decágono regular? ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?,¿y cada uno de sus ángulos exteriores?

Ángulos

Correspondientes

Alternos

entre

pueden ser

Opuestos por elvértice

Suma de las medidasde ángulos exteriores

Suma de las medidasde ángulos interiores

UNIDAD 3 (78-89) 1/7/09 4:44 PM Page 87

88 Unidad 3

¿QUÉ APRENDÍ?


A45º

BD

α

E

B D

CA

x

y

65º

40º

L1

L2

L3

y

x

75º

A B

D C

120°45°

80°x

50°

α δ

β γ

150º

110º

108º 88º

D

C

BA

E

1. Si AB // ED, entonces el ��α mide:

A. 35ºB. 145ºC. 135ºD. Falta información.

2. Considera AB // CD y L1 // L2 // L3.¿Cuánto miden x e y?

A. x = 115º, y = 65ºB. x = 40º, y = 40ºC. x = 105º, y = 65ºD. x = 115º, y = 40º

3. Si ABCD es un rectángulo, entonces ��x e ��ymiden:

A. x = 75; y = 150B. x = 105; y = 75C. x = 75; y = 105D. x = 15; y = 105

4. En el paralelogramo de la figura, las medidasde los ángulos δ y γ cumplen la propiedad:

A. Suman 90º.B. Son iguales.C. Suman 180º.D. Ninguna de las anteriores.

5. La medida del ángulo EDC es:

A. 540ºB. 456ºC. 92ºD. 84º

6. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 65°B. 185°C. 245°D. 425°

UNIDAD 3 (78-89) 12/31/08 12:18 PM Page 88

Unidad 3


¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

89Ángulos

7. Encuentra la medida de los ángulos, sabiendo que L1 // L2 // L3.


Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos entre paralelas

Medidas de los ángulos en un triángulo

Medidas de los ángulos en un polígono

Polígonos regulares





responde en tu cu

aderno

65°

64°

72°L1

L2

L3

x

y

z

UNIDAD 3 (78-89) 6/11/09 10:42 PM Page 89

UNIDAD

4

90 Unidad 4

Porcentajes

• Leer y escribir porcentajes.• Expresar porcentajes como fracción o número

decimal. • Interpretar información expresada en términos de

razones y porcentajes.• Representar gráficamente porcentajes.• Calcular porcentajes en diversas situaciones.• Interpretar información presentada en gráficos

circulares.• Construir gráficos circulares usando herramientas

tecnológicas.


UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 90

91Porcentajes

Cada vez que hay un cambio de temporada, por ejemplo, de verano a otoño o de invierno a primavera, muchas tiendas de ropa ofrecen descuentos en sus productos. Avisos como: “todo rebajado”, “hasta 50% de descuento”, “descuentos entre un 15% y un 30%”, “descuento del 10% sicompra al contado“, entre otros, son los que puedes observar en muchas tiendas.

Observa la imagen y desarrolla las siguientes actividades:

1. Busca alguna tienda en tu ciudad que tenga ofertas representadas

mediante porcentajes. ¿Cuáles son los porcentajes de descuento de

esa tienda?

2. ¿Cómo calculan los vendedores el descuento en pesos y el precio de

los artículos con descuento? Da un ejemplo.

3. ¿Cuáles son los productos con mayores descuentos comparando solo

los porcentajes?, ¿por qué?

4. ¿Cuáles son los productos con menor descuento en pesos? Justifica.

CONVERSEMOS DE...

UNIDAD 4 (90-103) 9/7/09 9:42 PM Page 91

¿CUÁNTO SABES?

92 Unidad 4


1. Obtén la fracción irreductible y el número decimal equivalente a cada fracción.

a) c) e)

b) d) f)

2. Obtén un decimal equivalente a cada fracción.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

3. Representa gráficamente, como parte de una región, las siguientes fracciones:

a) c) e)

b) d) f)

4. Expresa como fracción las siguientes relaciones entre cantidades:

a) 5 peras de un cajón de 35 peras.

b) 12 chocolates de una bolsa con 100 chocolates.

c) 15 bolitas de una colección de 45 bolitas.

d) 1 tomate de un cajón de 100 tomates.

e) 8 huevos de una bandeja de 30 huevos.

f) Medio kilogramo de azúcar de un paquete de 5 kilogramos de azúcar.

g) 32 monedas de una alcancía con 32 monedas.

h) 9 años de un joven de 18 años.

10100

2448

735

625

1550

380

36

18

710

20100

910

50100

10100

35100

4061 000

7310 000

24 91310 000

50200

1 3041 000

5100 000

285500

4

UNIDAD 4 (90-103) 9/7/09 9:13 PM Page 92


93Porcentajes

• El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador es el productode los denominadores, y el numerador es el producto de sus numeradores.

• Para multiplicar dos números decimales puedes utilizar alguno de estos procedimientos:

• Transformar los números decimales a fracción, multiplicar y, finalmente, escribir elproducto como número decimal.

• Multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma segúnla cantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

• Se llaman fracciones equivalentes a las fracciones que tienen el mismo valor, aunque

sus numeradores y denominadores sean distintos. Por ejemplo: y son fracciones equivalentes, ya que el valor de ambas es 0,5.

5. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3,2 • 5 = g) 4,5 • 1,19 = m) • =

b) 2,5 • 2,7 = h) 25 • 0,1 = n) • =

c) 0,05 • 0,4 = i) 234 • 0,01 = ñ) • =

d) 0,125 • 8 = j) 54,2 • 0,05 = o) • =

e) 15,8 • 10 = k) 352 • 0,001 = p) • =

f) 4,12 • 0,15 = l) 413,05 • 0,001 = q) • • =

Verifica en el solucionario de tu texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

35

10100

13

36

48

425

6100

14

1850

510

2210

2350

15100

34

83

UNIDAD 4 (90-103) 9/7/09 9:15 PM Page 93

Razones

La profesora necesita agrupar a los 32 niños y 24 niñas de 6º Básicode manera que en todos los grupos haya la misma cantidad de niñosy la misma cantidad de niñas. Por ejemplo, que todos los gruposestén formados por 3 niños y 2 niñas.

94 Unidad 4

PARA DISCUTIR

Al comparar elementos que pertenecen a un conjunto, se puedecomparar:

• por diferencia, por ejemplo: “En el 6º básico hay 8 niños más que las niñas”

• por cociente, por ejemplo: “En el 6º básico hay 4 niños por cada 3 niñas”

Este último tipo de comparación es lo que se denomina razón entredos cantidades.En relación a los alumnos de 6º básico, la razón entre la cantidad deniños y de niñas es 4 : 3, se lee “4 es a 3”.

• ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de niños y de niñas?• Si solo hace dos grupos, ¿cuántos niños y cuántas niñas tiene

cada uno?• ¿Se pueden distribuir en tres grupos iguales? Justifica.• ¿Cuál es el mayor número de grupos iguales que se pueden hacer?

EN TU CUADERNO

1. En una caja hay 10 fichas rojas, 7 fichas verdes y 4 fichas azules. Determina la razón entre lasfichas rojas y las fichas azules. ¿Qué significado le das a ese valor?

Una razón es una comparación entre dos cantidades por medio de una división. El valor de la razón es el cociente entre las cantidades.

Dos razones son iguales si su valor es el mismo, por ejemplo la razón es

equivalente a la razón , ya que = 0,5 y = 0,5.

NO OLVIDES QUE...

510

48

48

510

UNIDAD 4 (90-103) 1/6/09 4:32 PM Page 94

95Porcentajes

Unidad 4

2. En una competencia deportiva se puede participar en tenis, fútbol o natación. Cada niño puedeparticipar solo en una competencia, y hay 20 inscritos en tenis, 24 en fútbol y 12 en natación.¿Cuál es la razón entre los inscritos en natación y los inscritos en fútbol?, ¿cómo interpretas eseresultado?

3. En una prueba de Matemática de 28 preguntas, Bastián respondió todas y obtuvo 22 correctas.Determina la razón entre las respuestas correctas y el total de respuestas. ¿Qué significado ledas a ese valor?

4. La razón entre los tiros encestados y los tiros realizados por un jugador de básquetbol es 3 : 4.Si lanzó 20 tiros al aro en total, ¿cuántos tiros encestó?, ¿cómo lo calculaste?

5. Expresa como razón las siguientes relaciones entre cantidades

a) 10 naranjas de una bolsa con 20 naranjas.

b) 8 libros de un estante con 32 libros.

c) 24 personas de un grupo de 40 personas.

d) 14 láminas de un álbum con 70 láminas.

e) 13 niños de un grupo de 13 niños.

f) 12 dominós de un juego con 28 dominós.

1. Por turno, midan la estatura de cada uno de los integrantes del grupo. El queestá siendo medido puede apoyarse en una pared, para facilitar la medición.

2. Luego, midan la longitud de la cabeza (desde el mentón hasta la coronilla) de cada uno de los integrantes del grupo. En ambas mediciones, puedenaproximar las medidas al centímetro.

3. Expresen los datos obtenidos como una razón, comparando la longitud de la cabeza con la estatura de cada uno y ordénenlas de menor a mayor.

4. Aproximadamente, ¿a qué razón son equivalentes? ¿ ? ¿ ? ¿ ?

5. Escriban conclusiones respecto de la razón entre la cabeza y el cuerpo de los niños y niñas. Justifiquen.

6. Comparen sus resultados con los obtenidos por el resto del curso. ¿Qué pueden concluir?

EN EQUIPO Materiales:• Cinta métrica• Regla• Hoja de papel

cuadriculado• Lápiz

16

17

18

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 95

96 Unidad 4

Porcentajes y razones

En la ciudad se estrenó una nueva película, en tres salas simultáneamente. Al terminar, los administradores de cada sala comentaron sus impresiones sobre los asistentes al estreno:

• “En la sala 1 había 5 niños y niñas por cada 2 adultos”• “En la sala 2 la relación entre niños y niñas, y adultos fue

de 2 : 1”• “La sala 3 tiene capacidad para 250 personas, y hoy había

175 niños y niñas”

Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15% y se lee “quince por ciento”.El porcentaje es equivalente a una fracción cuyo denominador es 100.

Ejemplos: 9% = = 0,09 50% = = 0,5

Para transformar una razón en porcentaje basta con multiplicar la razón por 100 y luegocalcular el cociente.

Ejemplo: • 100 = = 80% 4 representa el 80% de 5

NO OLVIDES QUE...

Cuando una razón se expresa como una fracción de denominador

100, se puede escribir como porcentaje, es decir, la razón

se expresa como 20% y se lee “20 por ciento”.

Por ejemplo, en la situación anterior podemos decir que en la sala 3 el 70% de los asistentes eran niños y niñas.

PARA DISCUTIR

• ¿En qué sala la razón entre los niños y niñas y los adultos es mayor?• ¿Cómo podemos comparar fácilmente datos presentados como

razones?• ¿Qué razones con denominador 100 son equivalentes a los datos

presentados?• Considerando que las tres salas tienen la misma capacidad, ¿en qué

sala asistieron más niños al estreno?

20100

9100

45

4005

50100

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 96

97Porcentajes

Unidad 4

1. Completa la siguiente tabla.

2. Calcula a qué número corresponde el porcentaje indicado en cada caso.

a) 20% de 240 b) 25% de 0,25 c) 1% de 10 d) 1,5% de 5

3. Calcula y completa.

a) El 300% de 6 es y corresponde al triple de 6.

b) El 200% de 5 es y corresponde al de 5.

c) El 50% de 50 es y corresponde a la de 50

4. En una prueba de 60 preguntas, María respondió 45 y tuvo 39 correctas.

a) ¿Qué porcentaje de la prueba respondió?

b) ¿Qué porcentaje de la prueba respondió correctamente?

c) ¿Qué porcentaje de la prueba no respondió?

5. Escribe en tu cuaderno la fracción decimal que represente cada porcentaje en las siguientes afirmaciones.

a) En un supermercado, los lunes hay un 6% de descuento en el total de la compra.

b) Una tienda ofrece artículos electrónicos con un 30% de descuento.

c) Se vendió un 15% de los productos computacionales ofrecidos por la tienda.

d) Si compras al contado, obtienes un 50% de descuento.

EN TU CUADERNO

Fracción con denominador 100

Fracción irreductible Número decimal Porcentaje

25%

0,8

90%

45100

7010

resp

onde en

tu cu

ader

no

resp

onde en

tu cu

ader

no

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 97

98 Unidad 4

Interpretación de porcentaje

El gráfico que se muestra a la izquierda de la página representa el porcentaje de estudiantes de un colegio inscritos en diferentes deportes.

PARA DISCUTIR

• Al observar el gráfico, ¿en qué deporte crees que hay más alumnos inscritos?, ¿y en cuál menos?

• ¿Cómo se interpreta cada porcentaje del gráfico?• ¿A qué fracción irreductible le corresponde cada porcentaje?• Entonces, ¿qué parte del total de estudiantes inscritos en algún

deporte está en basquetbol?, ¿y en handbol?• ¿Cuántos están inscritos en cada deporte?

Observa que cada uno de estos porcentajes se puede representarpor una fracción irreductible:Así, por ejemplo, el 50% equivale a la mitad de la cantidad de estudiantes y el 25% a la cuarta parte de ellos.

50100

12

50% =

Porcentajes preferenciasdeportivas

Voleibol 15%

Handbol10%

Básquetbol 25%

Total: 500 estudiantes

Fútbol 50%

25100

14

25% =

10100

110

10% =

15100

320

15% =

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 98

99Porcentajes

Unidad 4

1. Escribe en tu cuaderno la fracción decimal y el porcentaje que representa cada afirmación.

a) 35 de cada 100 alumnos practican algún deporte.

b) 70 de cada 100 familias encuestadas incentivan a sus hijos a hacer deporte.

c) 15 de cada 100 alumnos se alimenta sanamente.

d) 10 de cada 100 alumnos toma la cantidad de agua recomendable.

2. Observa cada figura, luego representa la relación entre la parte sombreada y el total como fracción irreductible, número decimal y porcentaje, respectivamente. Considera que las figurasgeométricas dibujadas son regulares y están divididas en partes iguales.

3. Interpreta el significado del porcentaje en cada una de los siguientes datos del censo del año 2002.

a) El número de viviendas rurales en Chile aumentó en un 13% respecto al censo del año1992.

b) Los hogares que cuentan con vehículos motorizados aumentaron en casi un 89%

respecto al año1992.

c) Alrededor del 31% de las personas chilenas tiene menos de 18 años.

d) El 51% de los lactantes (0 a 2 años) es de sexo masculino.

e) Alrededor del 21% de los hogares chilenos tiene computador.

4. Daniela ha preguntado a un grupo de personas de Santiago qué medio de transporte utilizanpara ir al trabajo. Observa sus resultados.

25% Solo micro35% Solo metro15% Metro y micro12% Automóvil11% Bicicleta

9%Camina

• Observa los porcentajes obtenidos. ¿Son correctos los porcentajes que calculó Daniela?,¿por qué?

EN TU CUADERNO

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 99

100 Unidad 4

Cálculo del 10%, 25% y 50%

De un total de 1 500 estudiantes de un colegio, al 50% de ellos lesgusta escuchar música, al 25% les gusta “chatear”, al 10% les gustaleer y al resto le gusta practicar algún deporte.

En algunos casos, para calcular el porcentaje de una cantidad se puede dividir, según la equivalencia correspondiente:

• 50%: se calcula la mitad de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 2partes iguales.

• 25%: se calcula la cuarta parte de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 4partes iguales.

• 10%: se calcula la décima parte de la cantidad dada, lo que equivale a dividirla en 10partes iguales.

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• ¿A cuántos estudiantes corresponden estos porcentajes?• ¿A qué fracciones irreductibles corresponden?• ¿Cómo podrías calcular mentalmente y de manera rápida el 10%,

25% o 50% de una cantidad dada?, ¿cómo lo supiste?

Una de las formas de calcular el 10%, 25% o 50% de una cantidad

es relacionarlos con la fracción correspondiente, , y ,

respectivamente, y luego, calcular la fracción de un número respecto de la cantidad dada, en este caso, los 1 500 estudiantes.

Observa:

110

14

12

50100

12

12

50% de 1 500 estudiantesescuchan música = de 1 500 1 500 : 2 = 750 750 • 1 = 750

25100

14

14

25% de 1 500 estudiantes“chatea” = de 1 500 1 500 : 4 = 375 375 • 1 = 375

10100

110

110

10% de 1 500 estudianteslee = de 1 500 1 500 : 10 = 150 150 • 1 = 150

UNIDAD 4 (90-103) 9/7/09 9:40 PM Page 100

1. Calcula mentalmente a qué cantidad corresponde el porcentaje indicado en cada caso.

a) 10% de 150 c) 50% de 250 e) 25% de 1 200 g) 50% de 540

b) 50% de 2 154 d) 10% de 5 050 f) 25% de 10 580 h) 10% de 350

2. El 6º Básico de un colegio tiene 40 estudiantes. El 25% de ellos obtuvo una nota superior a 6,0 enuna prueba.

a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota mayor a 6,0?

b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota menor o igual a 6,0?, ¿cómo lo calculaste?

c) ¿A qué porcentaje corresponde la cantidad de la pregunta b?

3. De un total de 1 200 estudiantes de un colegio, el 50% de ellos almuerza en el casino del colegio,el 25% lleva almuerzo, el 10% va a almorzar a su casa y el resto se compra un sándwich en el quiosco.

a) ¿Cuántos estudiantes almuerzan en el casino del colegio?

b) ¿Cuántos llevan almuerzo?

c) ¿Cuántos almuerzan en su casa?

d) ¿Qué porcentaje de estudiantes compra un sándwich para almorzar?

4. ¿Qué otros porcentajes son fáciles de obtener siguiendo una estrategia como la anterior? Comentacon tus compañeros y compañeras.

101Porcentajes

Unidad 4

EN TU CUADERNO

Si los porcentajes se aplican a cantidades que son múltiplos de 100 o de 1 000, se puedencalcular mentalmente. Observa:

Utilizando la estrategia aprendida, calcula mentalmente los siguientes porcentajes:

a) c) e)

b) d) f)

ESTRATEGIA MENTAL

8100

1 500100

8% de 1 500 = • 1 500 = 8 • = 8 • 15 = 120

El 4% de 5 700 El 20% de 400 El 10% de 1 600

El 5% de 500 El 25% de 800 El 15% de 100

UNIDAD 4 (90-103) 12/31/08 12:20 PM Page 101

102 Unidad 4

1. Calcula los siguientes porcentajes:

a) 20% de 45 c) 15% de 700 e) 66% de 500

b) 90% de 1 200 d) 24% de 9 120 f) 12% de 2 500

2. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, las estrategias utilizadas.

a) La fuerza laboral de un país está compuesta por 7 400 000 personas. Si el 48% correspondea mujeres, ¿cuántos hombres trabajan en ese país?

b) Una distribuidora de café envasa el producto en frascos de 150 g, de 200 g, de 250 g y de500 g. En una oferta especial lanza al mercado estos mismos envases con un 15% más decontenido. ¿Cuántos gramos de café tendrá cada frasco?

c) Se compran 8 000 acciones de una empresa eléctrica en $ 160 cada una. Si en 6 meses suvalor se incrementa en un 20%: • ¿Cuánto dinero se gana?• ¿Cuántas acciones más se pueden comprar con la ganancia obtenida?

EN TU CUADERNO

Cálculo de porcentajes

Antonia y Martín están preparando sus pruebas de Matemática parael fin de semestre. Ellos averiguaron que el año anterior en el 6º A,con 35 estudiantes, el 20% tuvo nota inferior a 4,0 y en el 6º B, con48 estudiantes, 9 de ellos tuvo nota inferior a 4,0.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos alumnos y alumnas del 6º A tuvieron una nota menor que 4,0?

• ¿Qué porcentaje de los alumnos y alumnas del 6º B tuvieron una notamenor que 4,0?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Qué curso obtuvo mejor rendimiento?

• Para calcular el porcentaje de una cantidad dada, debes expresar el porcentaje comofracción o como número decimal, para después multiplicar dicha fracción o decimal porla cantidad señalada.

• Para calcular a qué porcentaje corresponde la razón entre dos cantidades, se escribeuna razón de igual valor, pero con denominador 100.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 4 (90-103) 9/7/09 9:19 PM Page 102

103Porcentajes

Unidad 4

1. Expresa como porcentaje la relación entre las cantidades: 125 g de una bolsa de 1 kg de harina.

A. 125% B. 12,5% C. 1,25% D. 0,008%

2. El 30% de 690 es:

A. 130 B. 13 C. 207 D. 20 700

3. Patricia se compró una chaqueta que originalmente se vendía por $ 15 000. Si después se vendió con un 25% de descuento, ¿cuánto pagó por la chaqueta?

4. La carga máxima que puede transportar un camión es de 8 toneladas. En unafábrica hay 12 vigas iguales cuyo peso total excede en un 35% la carga máxima del camión.

a) ¿Cuál es el peso en kilogramos de cada viga?b) Si el peso de cada viga se redujera en un 13%, ¿podría transportar el camión

todas las vigas en un solo viaje?






MI PROGRESO


Expresar una razón como porcentaje 1

Calcular el porcentaje de una cantidad dada

2

Resolver un problema, calculando porcentajes

3 y 4responde en tu

cuaderno

UNIDAD 4 (90-103) 1/9/09 12:00 PM Page 103

104 Unidad 4

Aplicaciones del porcentaje:

Intereses e impuestos.

En Chile, como en otros países, existe un impuesto (IVA) quepagamos cada vez que hacemos alguna compra. Este impuesto lorecibe el Estado y su finalidad es financiar distintos proyectos para elcrecimiento del país: educación, salud, vivienda, construcción, etc. Cada producto tiene un valor neto al cual se le debe agregar el IVA,para obtener el precio total. Actualmente el IVA corresponde al19% del valor neto. Víctor decidió comprar un computador que cuesta $ 400 000 sin IVA.

• ¿Cuánto se debe pagar por el IVA en este caso?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuál es el precio total del computador que compró Víctor?

PARA DISCUTIR

1. Un refrigerador vale $ 139 900 si se paga al contado. Si se paga a crédito en 10 cuotas, cada unaes de $ 17 500. ¿En qué porcentaje aumenta el precio del refrigerador? Comenta.

2. Una empresa importó aceite de oliva, desde Italia. El costo de la importación es de 29 700 euros,pero la empresa debe pagar un 6% por el ingreso del producto a Chile, correspondiente alimpuesto aduanero. ¿Cuánto se debe pagar por este impuesto?

3. Un televisor que vale $ 100 000 se vende en 4 cuotas con un interés de un 8% sobre el valor delprecio al contado. ¿Cuánto se paga por el televisor si se compra a crédito?, ¿cuál es el valor decada cuota?, ¿cómo lo calculaste?

EN TU CUADERNO

• El IVA corresponde al 19% del valor neto de un determinado producto. Para obtener elprecio total realizamos el siguiente procedimiento:Precio total = Valor neto + 0,19 • valor neto

• En el sector financiero se habla de intereses, los cuales son un recargo al valor originaldel artículo, por comprar en cuotas o al pedir un préstamo a una institución bancaria.Generalmente, este recargo se expresa en términos de porcentaje.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 104

105Porcentajes

Unidad 4

Casa comercial

CasaBonita

Hogar Dulce Hogar

Precio contado Interés Tiempo que dura el crédito

1,2% mensual

12% mensual

1 año

1 año

$120 000

$120 000

4. Antes de comprar una impresora multifuncional, una pequeña empresa cotizó en dos casascomerciales el mismo modelo para hacer una compra a crédito. Las condiciones de pago que ledaba cada casa comercial fueron las siguientes:

• ¿Cuál de las casas comerciales le conviene a la pequeña empresa?, ¿por qué?

Utilizando una planilla de cálculo podrás simular una factura de compra y calcular el valor total de ellaincluyendo el IVA.

1o Completa la planilla de maneraque quede así:

2o Luego, marca la celda E9, haz doble clic en ella y anota =B9*D9. Presiona enter. Esto devolverá el totala pagar por los 3 cuadernos de matemática. Luego, marca la celda E9 y dirígete a su extremo inferiorderecho. Cuando el mouse te muestre una cruz negrita, arrastra hasta la celda E11. Así,automáticamente se calcularán los totales correspondientes a las 2 cajas de lápices y 5 lápices pasta.

3o Después, marca la celda E13, haz doble clic en ella y anota la fórmula =E9+E10+E11. Esto arrojará elvalor total por los productos sin IVA. Para saber cuánto hay que agregar por el IVA, marca la celda E14y anota en ella la fórmula =19/100*E13.

4o Finalmente, para saber el total a pagar, haz doble clic en la celda E15 e ingresa la fórmula =E13+E14.

5o Comprueba los resultadosobtenidos utilizando unacalculadora. Además, prueba queal cambiar las cantidades de losproductos y/o su valor,automáticamente cambiarán losvalores correspondientes.


UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 105

1. María José comprará los siguientes artículos: 1 bloc de notas ($ 1 200), 1 bolso ($ 4 200),1 estuche ($ 1 500). ¿Qué le conviene más: que le descuenten un 10% en cada artículo o que ledescuenten un 10% del total? Justifica.

2. Una tienda realiza los siguientes descuentos, dependiendo del medio de pago utilizado por susclientes:

• Por compras al contado: 5% • Por compras con la tarjeta de la tienda: 15%• Por compras con cheque: 10%

Utilizando la información anterior, completa la tabla.

EN TU CUADERNO

Descuentos y rebajas

Es común encontrar avisos publicitarios en los cuales se muestranofertas, por ejemplo: “Solo por hoy 50% de descuento”.Las rebajas consisten en un descuento al valor original de un artículo, yse pueden expresar mediante porcentajes.Ejemplo: Un pendrive vale $ 15 000, y tiene un 10% de descuento porpago al contado.

106 Unidad 4

PARA DISCUTIR

• ¿A cuánto dinero corresponde el descuento?• ¿En cuánto queda el valor del pendrive?

Artículo Precio inicial Forma de pago% de

descuentoDescuento

en $Total

a pagar

Zapatillas

Polerón

Polera

Mochila

Chaqueta

$17 990

$ 8 950

$ 4 490

$ 7 000

$12 490

Tarjeta de la tienda

Contado

Contado

Tarjeta de la tienda

Cheque responde en tu

cuadern

o

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 106

3. Juan piensa comprar un computador cuyo valor es de $ 470 000. Observa un notebook con lasmismas características técnicas, cuyo costo es de $ 499 990, pero si lo compra al contado recibeun 15% de descuento.

a) ¿Cuál de los computadores crees que compró finalmente Juan? ¿Por qué?

b) ¿Cuál habrías comprado tú?, ¿por qué?

4. Pablo compra un auto cuyo precio es de $ 4 500 000 y le hacen un descuento del 12%. ¿Cuántotiene que pagar?

5. Francisco averiguó en varios bancos la tasa de interés al realizar un depósito a plazo, hasta quese decidió por el banco “El Ahorro”, que le ofrecía una tasa de interés de 0,43% por un períodode 35 días. Si depositó $ 249 567, ¿cuánto dinero retiró después de que se cumplió el plazo?

6. En una tienda comercial se hace una liquidación donde todos los productos son rebajados en un20%. Después de una semana todos los artículos vuelven a rebajarse en un 5%. Si un pantalóncostaba originalmente $ 12 000:

a) ¿Cuánto cuesta después de la primera liquidación?

b) ¿Cuánto vale después de la segunda liquidación?, ¿cómo lo calculaste?

c) ¿La oferta sería igual si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un

25%? Explica.

7. Un cartel en un minimarket indica lo siguiente: “Hoy, 25% de descuento en frutas y verduras. Sicompra 1 docena de choclos, se ahorra $ 360. Si compra un kilogramo de mandarinas, se ahorra$ 212.”

a) ¿Cuál es el precio, con descuento, de una docena de choclos?

b) ¿Cuál es el valor de 1 kg de mandarinas, con el descuento?

8. En la pastelería “Tía July”, el último domingo del mes, las tortas tienen un 30% de descuento ylas galletas un 5% de descuento. Si la torta cuesta $ 7 900 y un paquete de galletas $ 980,¿cuánto cuesta, con descuento:

a) un paquete de galletas?

b) una torta?

107Porcentajes

Unidad 4

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 107

Gráfico circular

La siguiente tabla muestra las categorías para la distribución de losniveles sociales en Santiago de Chile. El número total deconsiderados en la encuesta es de 1 158 009 habitantes.

Observa que el gráfico está dividido en sectores de diferentescolores, donde cada uno representa a una categoría diferente.

108 Unidad 4

Un gráfico circular consiste en un círculo dividido en sectores que representan elporcentaje de cada categoría de la variable. Permite comparar visualmente las cantidadescorrespondientes a ciertas variables.

NO OLVIDES QUE...

CategoríaIngreso promedio

mensual por hogar

ABC1

C2

C3

D

E

$ 2 386 000

$ 870 000

$ 540 000

$ 310 000

$ 110 000

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál es la categoría que comprende la mayor cantidad de hogares?,¿qué ángulo corresponde a esta categoría?

• ¿Cuál es la categoría que comprende la menor cantidad de hogares?,¿qué ángulo corresponde a esta categoría?

• ¿Cuántos hogares están comprendidos en la categoría E?• ¿Es correcto afirmar que la categoría C3 comprende aproximadamente

289 502 de los encuestados? Justifica.• ¿Qué otras preguntas pueden ser respondidas mediante la

interpretación del gráfico anterior?

ABC1

C2

C3

D

E

20%

25%

35%

10%

Nivel social

10%

Fuente: Asociación de estudios de Mercado y Opinión AG.

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 108

EN TU CUADERNO

1. La siguiente tabla relaciona el tipo de parentesco que tienen los apoderados de estudiantes deEducación Básica y Media. Completa la tabla con los ángulos correspondientes a cada porcentajey realiza las actividades.

a) Construye el gráfico circular correspondiente.

b) ¿Qué dificultad encontraste para determinar los sectores correspondientes a cada

categoría?, ¿cómo la solucionaste?

c) Si aproximas los valores de los ángulos al entero más próximo, ¿por qué el total es mayor

que 360°?

2. Construye la tabla con la cantidad de personas correspondiente a cada uno de los siguientesgráficos circulares. (Considera una muestra de 400 personas).

109Porcentajes

Unidad 4

• Para construir un gráfico circular se traza un círculo y luego se calculan los ánguloscorrespondientes a cada sector, según la categoría a la cual representa. Para esto semultiplica el número del porcentaje por 3,6.

Por ejemplo, para el caso de la categoría D, tenemos: x = 35 • 3,6 Luego, x = 126. Entonces, el sector correspondiente a la categoría D tiene un ángulo de 126º.

NO OLVIDES QUE...

Apoderados Porcentajes

Solo madre

Madre y padre

Solo padre

Madre y otro

Padre y otro

Otros

63%

18%

7%

5%

1%

6%

Ángulos (grados)

ClásicaRockPopReggaeton

Bebidas gaseosaJugosLecheAgua

30% 18%

24%36%

22%35%20%

15%

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 109

110 Unidad 4

Para construir gráficos circulares, puedes usar una planilla de cálculo, como el Excel. Luego de ingresar losdatos en las celdas o casilleros correspondientes, haz clic en la tecla para graficar la información.

Practica siguiendo las instrucciones.1. Ingresa los datos en las celdas, ordenados en columnas, tal como están en la tabla

2. Selecciona todos los datos que quieras graficar.3. Haz clic en el botón “Asistente para gráficos”4. En el paso 1, escoge gráfico circular o de torta, según si lo presentas como dibujo o en versión 3D. Puedes

ver una muestra de cómo quedaría el gráfico con los datos seleccionados.5. En el paso 2, confirma cuáles son los datos que se van a graficar, porque puede que el computador

interprete como valores lo que corresponde a los títulos de las variables, por ejemplo.6. En el paso 3, completa el título y la leyenda del gráfico y los rótulos de los datos.7. Finalmente, en el paso 4, indica si el gráfico lo vas a ubicar en una hoja nueva de Excel o no.


1. Un plan para telefonía celular aumentó su costo mensual de $ 13 500 a $ 15 000.¿En qué porcentaje aumentó el plan?

A. 10%B. 11,1%C. 90%D. 110%

MI PROGRESO

Lugar Total preferencias

Mar

Lago

Montaña

Campo

Desierto

Total de encuestados

240

120

160

200

80

800

UNIDAD 4 (104-119) 1/9/09 1:56 PM Page 110

111Porcentajes

Unidad 4

2. Los resultados de una encuesta realizada a 320 personas sobre gustos musicales semuestran en el siguiente gráfico. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)verdadera(s)?

I. La mayoría de las personas prefieren la música latina.II. Solo 7 personas prefieren música clásica.III. 64 personas prefieren música pop.

A. Solo I.B. I y II.C. I y III.D. I, II y III

3. Un computador cuesta $ 630 000 y tiene un descuento del 12%; otro computadorsimilar cuesta $ 720 000 y tiene un descuento del 15%. ¿Cuál de los doscomputadores es más barato?

4. Un diario local realizó una encuesta sobre la opinión que tenían respecto de un nuevosuplemento de viajes. La encuesta se realizó a un total de 1500 personas. Los resultadosse publicaron en el siguiente gráfico:

a) ¿Cómo fue el nivel de aceptación delsuplemento?

b) ¿Cuántas personas encuestadas opinaronque el suplemento es malo?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo loresolviste.




PopRockLatinaClásica

20%

31%

7%

42%

Malo21%

Bueno48%

Muy bueno25%

Regular 6%

Criterio Preguntas

Resolver un problema, calculandoporcentajes

Realizar inferencias y cálculos apartir de datos representados en ungráfico circular

1 y 3

2 y 4

Respuestas correctas

responde en tu

cuadern

o

UNIDAD 4 (104-119) 1/9/09 1:56 PM Page 111

112 Unidad 4

La señora Teresa necesita un nuevo refrigerador. Decide comprar uno por $ 120 000, peroel día que lo fue a comprar había una oferta de un 15% de descuento, siempre que locompre con la tarjeta de crédito de la tienda. En este caso, se aplica al precio total uninterés de 6%. ¿Cuanto pagó finalmente la señora Teresa por su nuevo refrigerador?


El precio del refrigerador es de $ 120 000.El descuento corresponde al 15%El interés por comprar a crédito corresponde al 6%, aplicado al precio total.

• ¿Qué debes encontrar? El monto correspondiente al descuento.El precio del refrigerador, aplicado el descuento.El monto que corresponde al interés aplicado.El monto final que pagó por el refrigerador, considerando el descuento y el interés.


Primero, calcula el porcentaje del precio del refrigerador para obtener el montocorrespondiente al descuento.Luego, calcula la diferencia entre el precio inicial y el monto del descuento.Para obtener el monto correspondiente al interés, calcula el porcentaje sobre el preciototal.Luego, para obtener el precio final, calcula la suma del interés y el precio total.

Resolver• 15% de $ 120 000 • 120 000 = 18 000

• 120 000 – 18 000 = 102 000

• 6% de 102 000 • 102 000 = 6 120

• 102 000 + 6 120 = 108 120

Responder• El descuento aplicado corresponde a $ 18 000.

El interés aplicado corresponde a $ 6 120.El precio final pagado por la señora Teresa fue de $ 108 120.


15100

6100

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 112

113Porcentajes


a) Bastián quiere comprarse un televisor por $ 75 000. El vendedor le ofrece un 20% dedescuento si compra con la tarjeta de la casa comercial. Pero Bastián sabe que, en ese caso, leaplican un interés de 8%. ¿Cuánto pagó finalmente por el televisor?

b) Fabiola ha decidido comprarse una máquina de coser para trabajar en su casa cosiendocortinas y cubrecamas. La máquina de coser cuesta $ 96 000 en una tienda que ofrece 12%de descuento, pero con un recargo de 15% de interés, al pagar dos meses después. ¿Cuántopagó Fabiola? ¿Le conviene pagarla de esta manera? Justifica.

c) Alejandra va a utilizar un cupón de descuento de 15% en artículos de perfumería. Se comprasu perfume favorito, cuyo precio es de $ 28 000. Para pagar, decidió retirar un avance enefectivo de la tarjeta de su marido. Retiró $ 30 000, para pagarlo en seis cuotas con un 12%de interés. • ¿Cuánto es el precio final del perfume?• ¿Cuánto debe pagar depués por el avance en efectivo?• ¿A cuánto asciende el valor de cada cuota?• ¿Le conviene pagarlo así? Justifica.


a) Carolina siempre busca los precios más convenientes. Quiere comprarse un par de pantalones,que se venden por $ 23 000. Entonces, decide esperar los días de liquidación, en los que seofrece un 20% de descuento para todos los productos. Además, cuando paga en efectivo,obtiene un 5% de descuento adicional, sobre el precio ya rebajado. ¿Cuánto pagófinalmente?

b) Marco ha decidido comprar una cocina semi-industrial, para fabricar tortas y empanadas juntoa su familia. El precio de la cocina es de $ 180 000, sin IVA. Al comprarla en 6 cuotas, alprecio con IVA se le agrega un 3% de recargo adicional. • ¿Cuál es el precio de la cocina, con IVA?• ¿Cuál es el precio final?• ¿Cuánto paga por cada cuota?

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 113

114 Unidad 4

CONEXIONES

Organizados en grupos de a lo más tres integrantes respondan:1. ¿Qué significa la sigla IPC?2. ¿Por qué el IPC varía según los grupos?3. Considerando que estos valores corresponden a los precios del mes de septiembre, ¿cómo

interpretan los valores del IPC para cada grupo?4. ¿Cuál es la relación entre el IPC y el alza del costo de la vida?








NACIONAL

Inflación llega a 1,1% en septiembre y suma 9,2%

Variación de gruposEn este mes predominaron los aumentos deprecios en la mayoría de los grupos del IPC.Las mayores alzas corresponden a losgrupos: Otros (2,6%), Transporte (1,6%),

Vivienda (1,3%), Alimentación (1,2%),Vestuario (0,6%), Educación y Recreación(0,5%) y Equipamiento de la Vivienda (0,2%).Por otra parte, el único grupo que disminuyósus precios fue Salud (-0,1%).

El IPC registró en septiembre una variación mensual de 1,1%, acumulando en el año un aumento de 7,6%. Asimismo, la variación en los últimos doce meses es de 9,2% informó hoy el Instituto Nacional deEstadísticas (INE).

Diario El Sur de Concepción, publicado el 3 de octubre de 2008http://www.elsur.cl/base_elsur/site/artic/20081003/pags/20081003104658.html


UNIDAD 4 (104-117) 6/18/09 5:39 PM Page 114

Unidad 4SÍNTESIS

Interpretación

Gráficas circulares

Proporción En relación a 100

Aplicación

Descuentos Impuestos

115Porcentajes



1. ¿Cómo se calcula el porcentaje de una cantidad dada?

2. ¿De qué depende la interpretación de un porcentaje dado?

3. ¿Por qué los gráficos circulares sirven para representar información expresada en porcentajes?

4. ¿Cuál es la diferencia entre descuentos e impuestos?

5. ¿De qué formas se puede expresar un porcentaje?

Porcentajes

Cálculo

Relación entre

dos cantidades

Porcentaje de

una cantidad

Fraccionesdecimales

Fraccionesirreducibles

Número decimal

UNIDAD 4 (104-117) 9/7/09 9:23 PM Page 115

116 Unidad 4

1. El 60% se puede representar mediante lafracción:

A.

B.

C.

D.

2. El número decimal 0,04 representa al:

A. 0,04% B. 0,4% C. 4% D. 40%

3. Calcular la décima parte de una cantidad esequivalente a calcular el:

A. 1% de la cantidad. B. 10% de la cantidad. C. 50% de la cantidad. D. 100% de la cantidad.

4. ¿Qué porcentaje representan 4 bolitas de untotal de 8 bolitas?

A. 4% B. 25% C. 40% D. 50%

5. El 20% de 750 es mayor que:

A. El 50% de 200. B. El 50% de 300. C. El 50% de 750. D. El 50% de 2 000.

6. El 50% de descuento en la compra de algunosútiles escolares corresponde a $ 4 300. ¿Cuántohabrías pagado por la compra, sin descuento?

A. $ 2 150 B. $ 6 450 C. $ 8 600 D. $ 12 900

7. El 2,5% de estudiantes de un colegio sealimenta sanamente en los recreos. ¿Cómo sepuede interpretar este porcentaje?

A. 2,5 de cada 10 estudiantes se alimentasanamente.

B. 2,5 de cada 1 000 estudiantes se alimentasanamente.

C. 25 de cada 100 estudiantes se alimentasanamente.

D. 25 de cada 1 000 estudiantes se alimentasanamente.

8. Si se compra un libro en $ 1 500 y se vende en$ 2 250, ¿qué porcentaje de ganancia seobtiene?

A. El 10%B. El 25%C. El 50%D. El 75%

¿QUÉ APRENDÍ?


6100

310

35

6010

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 116

Unidad 4


¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

117Porcentajes

9. El siguiente gráfico representa la distribución aproximada de edad de lapoblación chilena, por grupos de edad, obtenidas en el último censo del 2002. Apartir de esta información:

a) Interpreta el porcentaje correspondienteal grupo de 15 a 59 años. ¿Estás deacuerdo con la afirmación: “Más de lamitad de los habitantes son niños oadultos mayores”? Justifica.

b) Representa en notación decimal elporcentaje correspondiente al grupo de60 o más años.

c) Representa mediante una fracción elporcentaje correspondiente al grupo de14 o menos años.


Lectura y escritura de porcentajes

Porcentajes expresados como fracción o número decimal

Cálculo de porcentajes

Interpretación de información presentada en gráficos circulares

Construcción de gráficos circulares





0-14 26%

60 o +11%

15-5963%

POBLACIÓN POR GRUPOS DE EDAD

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 4 (104-119) 12/31/08 12:41 PM Page 117

UNIDAD

5

118 Unidad 5

Ecuaciones

• Distinguir entre igualdad y ecuación.• Aplicar las operaciones de adición y sustracción,

multiplicación y división para reducir las expresionesalgebraicas involucradas en una ecuación.

• Establecer si el valor obtenido a través de la resolución algebraica de la ecuación asociada a unproblema es efectivamente una solución, es decir, un valor válido en el contexto del problema.

• Resolver problemas en contextos variados en los que se utilizan ecuaciones de primer grado con una incógnita para expresar las condiciones del problema.


UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 118

119Ecuaciones

En general, las personas que tienen puestos de frutas o verduras en laferia, compran sus productos en mercados, al por mayor, es decir, engrandes cantidades, como por ejemplo cajones de frutas o sacos conhortalizas.En uno de estos mercados, don José quiso adquirir una determinadacantidad de sacos de papas. El precio de cada saco es de $ 9 500, perosi compra más de seis sacos el precio baja $ 500 por unidad. Al final,gasta $ 57 000 en sacos de papas.1. ¿Cuánto pagaría si comprara solo seis sacos?, ¿y si comprara

siete?2. ¿Cuántos sacos compró?, ¿cómo lo calculaste?3. ¿Qué ventajas tiene comprar al por mayor?, ¿qué desventajas

tiene? Comenta con tus compañeros y compañeras.

CONVERSEMOS DE...

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 119

¿CUÁNTO SABES?

120 Unidad 5


1. Resuelve calculando primero lo que está dentro de los paréntesis.

a) (4 + 8 + 3) – (9 + 6 – 5) =b) 1 + (9 + 12) + (3 + 6 – 7) =c) 12 + 24 – (48 : 8) + (7 – 5) =d) 16 + (65 – 64) – (23) =e) 12 • 3 – (62) + (2 – 1) =f) 10 : (8 – 3) + (7 • 4) =

2. Obtén el mcm para los siguientes números.

a) 4 y 8 d) 12 y 48 g) 6, 12 y 2b) 7 y 5 e) 14 y 42 h) 45, 15 y 35c) 5 y 20 f) 14, 28 y 56

3. Calcula las siguientes divisiones.

a) 124 : 4 = d) 380 : 2 = g) 1 250 : 5 =b) 100 : 5 = e) 258 : 3 = h) 2 550 : 10 =c) 120 : 5 = f) 324 : 6 =

4. Completa con el número correspondiente.

a) 36 • = 216 c) • 10 = 5 210 e) • 12 = 7 080b) 18 • = 4 680 d) 4 • = 2 080 f) • 24 = 61 512

5. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

a) + 2 • = 2 +

b) 0,5 + 0,25 • 30 = 0,5 + 0,75

c) 50 : 5 + 10 = 1 + 5 • 4 – 1

d) 8 + 6 • 2 + 1 = • 5 • 6 + 9 • 2

e) 0,4 • 1,2 – 0,2 = 0,7 • 0,4

f) 0,5 • 2 + 0,8 • =

34

23

23

54

6 • 35 + 4

112

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 120


121Ecuaciones

• Al resolver un ejercicio con operaciones combinadas, debes respetar la prioridad de lasoperaciones:

• Lo que está entre paréntesis.• Las potencias.• Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.• Adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

• En la adición y multiplicación de números naturales se cumplen las siguientespropiedades:

• Clausura: Si a y b son números naturales, entonces:a + b es un número naturala • b es un número natural

• Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces:a + b = b + aa • b = b • a

• Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces:(a + b) + c = a + (b + c)(a • b) • c = a • (b • c)

• Distributiva de la multiplicación respecto de la adición: Si a y b son números naturales, entonces:a • (b + c) = a • b + a • c

6. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 3 • 25 – 40 + 6 • 50 = b) (121 : 11 + 12) • 2 – 5 • 5 =c) 80 • 40 + 140 + 16 • 3 =d) (12 • 12 : 4) : (24 : 4) =e) 150 : 50 + 240 : 60 + 250 = f) 85 : 5 + 4 • 6 + 3 • 8 – 16 : 4 + 8 : 8 =

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue tu error? Explícalo y resuelve correctamenteel ejercicio.

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 121

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones. Observa los ejemplos.• El doble de un número 2x • Un número aumentado en su cuarta parte: a +

a) a disminuido en el doble de 7.b) Un número aumentado en 28.c) El triple de la suma de a y 8.d) Un número disminuido en su tercera parte.e) La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte.f) El antecesor de un número.

EN TU CUADERNO

Lenguaje algebraico

Observa la siguiente tabla que muestra las fórmulas para calcular el perímetro y área, si se conocen las medidas de sus lados, en cada caso.

122 Unidad 5

PARA DISCUTIR

• Cuando se usa una letra para representar una variable, se debe usar la misma letracada vez que se refiera a esa variable.

• Por lo mismo, cuando hay variables distintas se deben asignar letras distintas.

• Valorizar una expresión algebraica significa remplazar las variables por valores numéricos y luego calcular su resultado.

NO OLVIDES QUE...

• ¿Qué representan las letras en las expresiones de la tabla?• Si un triángulo tiene tres lados, ¿sirve usar 3a como fórmula del

perímetro?, ¿por qué?• Si conozco la medida de un lado del rectángulo, pero no la del otro,

¿puedo calcular su área y su perímetro?, ¿y en el caso del cuadrado?• Si conozco el valor del área de un triángulo y la medida de su base,

¿puedo obtener la medida de su altura?

Perímetro

Triángulo

Rectángulo

Cuadrado

a + b + c

2a + 2b

4a

Área

a · b

a2

b • h2

a4

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 122

2. Si m representa la edad de Laura, une cada afirmación con su correspondiente expresión enlenguaje algebraico.

a) La edad que tenía hace 7 años. 3 mb) La edad que tendrá en 15 años más. 45 – mc) Los años que faltan para que cumpla 45 años. m – 7d) La edad de su mamá, si ella tiene el triple de la edad de Laura. m + 15

3. Si a = 4, b = 1, c = 3 y d = 5, calcula el valor de las siguientes expresiones. Observa el ejemplo:2a + 3b = 2 • 4 + 3 • 1 = 8 + 3 = 11

a) a + b + c + d e) a – b + 3db) 3c – 2a + 2b f) 10b + 5c – dc) b + 3a – 2c g) b + 4c + 2dd) a – 2b + 4c – d h) 4a + 6b + 5c + d

4. Expresa mediante una igualdad cada uno de los siguientes enunciados.

a) La suma de a y b es igual a 42.b) El doble de x es igual a 96.c) La tercera parte de y es igual a 45.d) El triple de x es igual a la suma del doble de x y 24.e) El producto de a por 8 es igual a 168.f) El doble de la quinta parte de x es igual a la décima parte de x.

5. Lee atentamente y resuelve.

a) ¿Cuánto mide el largo de un rectángulo, si su ancho es 15 cm y su área es 60 cm2?b) ¿Cuánto mide el ancho de un rectángulo, si su largo es 24 cm y su perímetro es 88 cm?c) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, si su perímetro es 56 cm?d) ¿Cuánto mide la base de un triángulo, si su perímetro es 27 cm y sus lados miden 10 cm

cada uno?e) ¿Cuánto mide la altura de un triángulo, si su base es 18 cm y su área es 108 cm2?f) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, si su área es 144 cm2?

123Ecuaciones

Unidad 5

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 123

124 Unidad 5

Igualdades y ecuaciones

Observa los siguientes desarrollos:

• Si a los dos lados de una igualdad se suma o resta un mismo número, la igualdad semantiene.

• Si a los dos lados de una igualdad se multiplica o divide un mismo número, distinto decero, la igualdad se mantiene.

• Una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido llamado incógnita.

• Resolver una ecuación implica encontrar este valor desconocido, es decir, la solución deesta ecuación.

• Para comprobar si la solución es correcta, se debe remplazar en la ecuación y verificarque se obtenga una igualdad. Y revisar que la solución tenga sentido en el problema.

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• Las igualdades de la izquierda, ¿son todas ciertas?, ¿y las de laderecha?

• ¿Cuál es la diferencia entre las expresiones que están a la izquierda ylas que están a la derecha?

• ¿Qué sucede si a una igualdad le sumas, restas, multiplicas o dividesalgún número?

• ¿Ocurre lo mismo en el caso de una ecuación?• En este caso, ¿cuánto vale x?, ¿por qué?• En general, ¿cómo puedes obtener el valor de la incógnita? Explica,

paso a paso.

44 + 10 • x – 25 = 49 / + 2544 + 10 • x – 25 + 25 = 49 + 2544 + 10 • x = 74 / – 4444 – 44 + 10 • x = 74 – 44

10 • x = 30

44 + 10 • 3 – 25 = 49 / + 2544 + 10 • 3 – 25 + 25 = 49 + 2544 + 10 • 3 = 74 / – 4444 – 44 + 10 • 3 = 74 – 44

10 • 3 = 30

EN TU CUADERNO

1. Considera x = 6 y verifica si se cumple la igualdad para este valor en cada ecuación.

a) 3x = 18 c) 8x = 24 e) 7x + 9 = 32b) 29 – x = 25 d) 15 – 2x = 3 f) 8x – 48 = 0

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 124

125Ecuaciones

Unidad 5

En una planilla de cálculo sigue los siguientes pasos que te permitirán completar una tabla: al ingresar unnúmero, te entregará el resultado obtenido para cada uno de los cálculos expresados en lenguaje común.

1o En A1 escribe “Número x”; en B1, “Lenguaje común”; en C1, “Resultado”.2o En A2, ingresa el número 990 y de B2 a B8 escribe:

• El doble del número• El triple del número• El doble del número aumentado en 5 unidades• El triple del número disminuido en 3• La cuarta parte del número• La quinta parte de la suma entre x y 100• La diferencia entre la suma del triple de x con 10 y el doble de x

3o Luego, marca la celda C2, haz doble clic en ella y anota =2*A2. Presiona enter. Esto devolverá el doble del número ingresado en A2. En la celda C3 anota =3*A2 y presiona enter. Así te devolverá el triple del número.

4o En la celda C4 ingresa una fórmula en términos de las otras que ya hiciste, en estecaso, =C2+5.Al aceptar, te devolverá el doble del número aumentado en 5 unidades.

5o Realiza un proceso similar para obtener los otros cálculos, anotando en cada celda:

En C5: =C3–3

En C6: =A2/4

En C7: =(A2+100)/5

En C8: =(C3+10)–C2

Así se obtiene:

De esta manera, si ingresas otro número en A2, automáticamente arrojará el valorcorrespondiente a cada uno de los cálculos.

6o Luego, agrega a la tabla las siguientes expresiones en lenguaje común y programa lacelda asociada para que te entregue el resultado correspondiente:• El triple de x disminuido en su cuarta parte.• El doble del número aumentado en 10 unidades.• La suma entre x y 100.


UNIDAD 5 (119-139) 1/6/09 11:42 PM Page 125

126 Unidad 5

Ecuaciones con adición y sustracción

Pablo se quiere comprar una bicicleta que cuesta $ 39 000. Si ya tiene ahorrados $ 18 000, ¿cuánto dinero le falta?

Para resolver, recuerda que para que se mantenga la igualdad, sedebe realizar la misma operación a ambos lados de la ecuación.Además, podemos utilizar las propiedades de la adición.

Por ejemplo, en este caso, para encontrar el valor de x debemosrestar 18 000. Observa:

Por lo tanto, a Pablo le faltan $ 21 000.

PARA DISCUTIR

• ¿A qué le asignarías la x en este problema?• ¿Cómo plantearías la ecuación correspondiente?• ¿Qué operaciones usarías para resolverla?, ¿por qué?

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

Una forma de resolver ecuaciones que involucran adición y sustracción es despejar la incógnita y aplicar las propiedades de los números para encontrar su valor. Por ejemplo:

x – 15 = 50 / + 15x – 15 + 15 = 50 + 15x + 0 = 65x = 65

NO OLVIDES QUE...

39 000 = x + 18 00039 000 – 18 000 = x + 18 000 – 18 000

21 000 = x + 021 000 = x

En una ecuación puedesrelacionar las operaciones con las palabras que se indicanen cada caso.

• Adiciónsumaraumentarmás

• Sustraccióndiferenciamenosdisminuir

• Multiplicaciónvecesdobletriple

• Divisiónentrecocientemitadtercera parte

A yuda

UNIDAD 5 (119-139) 1/9/09 1:35 PM Page 126

127Ecuaciones

Unidad 5

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x + 120 = 254 h) 63 + x = 63 + 27b) 128 + y = 213 – 57 i) 82 + x – 48 = 52c) 82 – x = 22 + 38 j) 45 – 16 = x + 21d) 140 + 216 = z – 88 k) 24 + y = 80 – 24e) 415 – z + 25 = 248 l) 17 + u = 81 + 6 – 29 f) 32 – z = 24 – 5 m) x – 5 – 18 = 0g) 123 – 108 = 4 + v n) 26 + 5 = z – 31

• Compara el procedimiento que utilizaste con el de tus compañeros y compañeras. ¿Hay al-guno que consideres más simple?, ¿por qué?

2. Plantea una ecuación para cada situación, luego resuélvelas y comprueba tus resultados,sustituyendo en cada ecuación el valor obtenido.

a) Si a un número le quito 48 se obtiene 25. ¿Cuál es el número?b) La suma de dos números es 120. Si uno de ellos es 96, ¿cuál es el otro número?c) La suma de un número y 35, es igual a la diferencia entre 535 y 430. ¿Cuál es el número?d) Si Jorge pagó con $ 1 000 dos kilogramos de manzanas y recibió de vuelto $ 260,

¿cuánto cuesta cada kilogramo de naranjas?e) En un canasto hay 51 manzanas distribuidas en tres bolsas. La primera tiene 9 manzanas

menos que la tercera y la segunda tiene 6 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas tienecada bolsa?

f) Ximena compró un cuaderno en $ 820 y ocho lápices iguales. En total pagó $ 1 500. ¿Cuál es el precio de cada lápiz?

g) Un número excede en 15 a otro número. Si la suma de ellos es 55, ¿cuáles son losnúmeros?

h) De una cuerda de 20 m de longitud se cortan seis trozos iguales y sobran 2 m. ¿Cuál es la longitud de cada trozo de cuerda que se cortó?

i) Nicolás quiere comprar un libro que vale $ 7 600. Si tiene $ 5 800, ¿cuánto dinero le falta?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todos plantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener el mismo resultado? Comenta.

EN TU CUADERNO

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 127

128 Unidad 5

Ecuaciones con multiplicaciones

y adiciones

Valentina compró cuatro helados para compartir con sus primos.Además, llevó un paquete de galletas para la once por $ 470. Llevaba $ 2 000 y recibió $ 200 de vuelto.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto costaba cada helado?• ¿Como escribirías la ecuación correspondiente?• ¿Qué operaciones usarías para resolverla?, ¿por qué?

Para resolver las ecuaciones en las cuales existen multiplicaciones y adiciones, debes aislar el producto en que aparece la incógnita y luego despejarla aplicando laspropiedades de los números que ya conoces. Por ejemplo:

4x + 16 = 80 / – 164x + 16 – 16 = 80 – 164x = 64 / : 44x : 4 = 64 : 4x = 16

NO OLVIDES QUE...


a) 12x + 24 = 120 h) 22x – 65 = 45b) 7x – 14 = 490 i) 3x – 12 = 36c) 30x – 90 = 150 j) 52 – 12 = 4x d) 145 – 20x = 65 k) 3x – 108 = 201e) 63 – 4x = 19 l) 25x + 109 = 509f) 5x – 38 = 72 m) 4x + 35 = 95g) 13x – 51 = 104 n) 4 + 5x = 194

EN TU CUADERNO

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 128

129Ecuaciones

Unidad 5


a) El triple de un número disminuido en diez es igual al doble del número aumentado en dos.b) Si al triple del número le quitamos cuatro nos da el número aumentado en 8.c) Si al triple de un número le sumo 18, obtengo 90. ¿Cuál es el número?d) Si al quíntuplo de un número le resto ese número, se obtiene 104. ¿Cuál es el número?e) En un bolsillo Julieta tiene una cantidad de dinero y en el otro tiene el triple. Si en total tiene

$ 1 000, ¿cuánto dinero tiene en cada bolsillo?f) En el bolsillo izquierdo de su pantalón Gonzalo tiene cierta cantidad de dinero. Si en el bol-

sillo derecho tiene el triple de dinero y en total tiene $ 2 400, ¿cuánto dinero tiene en cadabolsillo?

g) Javiera compró el doble de la cantidad de chocolates en dulces. Si la cantidad total suma 36,¿cuántos dulces y chocolates compró?

h) La edad de Mariana es el triple de la edad de su hijo Pablo. Si la suma de las edades es 48,¿cuáles son las edades de Mariana y Pablo?

i) Ignacia junta monedas de $ 5 y su hermano Felipe de $ 10. Si el doble de las monedas quetiene Ignacia menos 25 es igual a 65 monedas y Felipe tiene 14 monedas más que Ignacia,¿cuánto dinero tiene cada uno?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todosplantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener elmismo resultado? Comenta.

En esta actividad practicarán el cálculo mental y utilizarán las ecuaciones para demostrar una regularidad. Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones.

1. Por turnos, uno lee la secuencia de instrucciones para que el otro integrante los realice y anoteel número que obtuvo.1° Piensa un número. 2° Súmale 2.3° Multiplica esta suma por 2.4° Suma 3.5° Resta el número que pensaste.6° Suma 5.7° Resta el número que pensaste.

¿Qué número obtuviste?

2. Comparen los resultados obtenidos y repitan la actividad, pensando en distintos números. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

3. Utilizando ecuaciones, verifiquen que siempre se obtiene este resultado.

EN EQUIPO

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 129

Ecuaciones con incógnitas a ambos lados

Valentina le pregunta a Joaquín su edad. Observa loque Joaquín le responde:

130 Unidad 5

PARA DISCUTIR

• ¿Qué edad crees que tiene Joaquín?• Si asignas x a la edad de Joaquín, ¿cómo puedes escribir la ecuación

correspondiente a este desafío?• ¿Cómo podrías resolver la ecuación? Explícalo, paso a paso.• ¿Cuántos años tiene Joaquín? Comprueba si tu respuesta está

correcta, revisando el desafío de Joaquín.

La ecuación correspondiente al desafío de Joaquín es:

x + 2x + 6 = 3x / – x

2x + 6 = 3x – x / – 2x

6 = 3x – x – 2x pero como 3 – – 2 =

6 = x / • 2

12 = x

12

1212

12

12

12

12

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita que tienen incógnitas aambos lados de la igualdad, se agrupan a un lado los términos con incógnitas y al otro,los números. Luego, se aplican las operaciones necesarias y propiedades de los númerospara obtener el valor de la incógnita.

NO OLVIDES QUE...

La mitad de mi edad másel doble de mi edad másseis años es igual al triplede mi edad.

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 130

131Ecuaciones

Unidad 5


a) 2x – 11 = x – 3 l) z – 62 + 30z = 18 + 15zb) 6y + 1 = 3y + 28 m) 37u – 4 = 8u + 25c) 2y – 41 = 4 – 3y n) x + 5x – 15 = x + 235d) 3x – 84 = x ñ) y – 12 + 44y = 18 – 15ye) 3z – 28 = 8 + z o) 3z – 12 = 8 –7zf) 8z + 78 = 12z – 2 p) u – 120 + 8u = 3ug) 2x – 10 = 4x – 36 q) 8v – 3 = v + 12 + 2vh) 15 + 3u – 20 = 35 – 2u r) 35v + 5 = 21v + 33i) 10x – 28 – 4x = 2x + 12 s) x – 15 + 3x = 2x + 25j) 17y – 63 = 5y + 135 t) 2x + 18 = 15 + x + 3 k) 9v – 96 = 5v + 4 u) 9x + 5 + 3x = 203 + x

• Compara el procedimiento que utilizaste con el de tus compañeros y compañeras. ¿Hay alguno que consideres más simple?, ¿por qué?


a) El área de un terreno rectangular es 240 m. Si el ancho del terreno mide 12 m, ¿cuántosmetros mide el largo? ¿Cuál es el perímetro del terreno?

b) Las edades de Francisca y Javiera suman 44 años. Si Francisca es mayor que Javiera por cuatro años, ¿cuál es la edad de Javiera?

c) Carolina comió un tercio más de chocolates de los que comió Andrea. Si Andrea se comió27 chocolates, ¿cuántos chocolates se comió Carolina?

d) El ancho de un rectángulo mide la tercera parte que su largo. Si su perímetro mide 64 cm,¿cuál es su área?

e) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Si un ángulo mide a y el otro es eldoble de a y el otro es el triple de a, ¿cuánto mide el ángulo más grande?

• Compara las ecuaciones que planteaste con las de tus compañeros y compañeras. ¿Todosplantearon las mismas ecuaciones?, ¿podrías plantear una ecuación distinta y obtener elmismo resultado? Comenta.

EN TU CUADERNO

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 131

Estudio de las soluciones

Cristián tiene 32 años y su hijo Diego, 6 años. ¿Al cabo de cuántosaños Cristián será 3 veces mayor que Diego?

132 Unidad 5

PARA DISCUTIR

• ¿A qué variable le asignarías la incógnita x?• ¿Como se representa la edad de Cristián en el futuro?, ¿y la del hijo?• Si en ese momento Cristián será 3 veces mayor que Diego, ¿cómo se

plantea la ecuación?

Llamaremos x a la cantidad de años buscada. Entonces, al cabo de x años Cristián tendrá (32 + x) años y Diego, (6 + x) años. Luego, como Cristián debe tener 3 veces más años que Diego:

Vemos que la solución encontrada es x = 7. ¿Cómo podemos interpretar este resultado?En este caso, dentro de 7 años la edad de Cristián será 3 veces laedad de Diego.

32 + x = 3 (6 + x)32 + x = 18 + 3x / – x

32 + x – x = 18 + 3x – x32 = 18 + 2x / – 18

32 – 18 = 18 + 2x – 1814 = 2x / : 2

14 : 2 = 2x : 2x = 7

Al resolver una ecuación siempre debes verificar si la solución obtenida es pertinente alcontexto del problema.

NO OLVIDES QUE...

1. Resuelve las siguientes situaciones y verifica si el resultado obtenido es pertinente al contexto del problema.

a) A una reunión asistieron 42 personas. Si el número de mujeres es el doble que el de hombres y el número de niños es el triple que el número de hombres, ¿cuántas mujeres,hombres y niños hay?

EN TU CUADERNO

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 132

1. El doble de un número disminuido en 4, se puede representar como:

A. 2x + 4 B. 2x – 4 C. 2(x + 4) D. 2(x – 4)

2. Se tiene la ecuación: 3x + 6 = 15. Entonces el valor de x es:

A. 3 B. 9 C. 11 D. 27

3. Felipe tiene las siguientes notas: 3; 4; 5; 4; 6 y 6. Si le falta una última prueba yquiere obtener un 6 como promedio de notas, ¿qué nota debe obtener en la últimaprueba?

a) ¿Qué ecuación plantearías para resolver el problema?b) Resuélvela. ¿Qué resultado obtienes?, ¿tiene sentido en el contexto del

problema?, ¿por qué?c) Si obtiene un 7 en la última prueba, ¿qué promedio obtendría?


MI PROGRESO


Escribir una expresión algebraica que represente un enunciado.

1

Resolver una ecuación lineal con una incógnita.

2

Resolver un problema, utilizando ecuaciones y evaluar la pertinencia de la solución.

3 responde en tu cu

aderno

133Ecuaciones

Unidad 5

b) Un sexto básico de 40 alumnos quiere ir al cine. Si la entrada cuesta $ 1 700 y solo disponende $ 48 000, ¿para cuántas entradas les alcanza?, ¿cuánto dinero les falta para que todosvayan al cine?

c) En un rectángulo, la medida del ancho disminuido en 5 cm es igual a la mitad del largo disminuido en 3 cm. Si el largo mide 12 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?

d) El doble de la cantidad de dinero que tiene Felipe disminuida en $ 1 500 es igual a la mismacantidad de dinero aumentada en $ 1 000. ¿Cuánto dinero tiene Felipe?

e) En dos salas de reunión se encuentran en total 74 personas. De la primera sala, salen 11personas que entran a la segunda. Ahora en la segunda sala hay dos personas más que enla primera. ¿Cuántas personas había al principio en cada sala?

f) La suma de un número y su doble es 18. ¿Cuál es el número?

UNIDAD 5 (119-139) 1/9/09 1:58 PM Page 133

134 Unidad 5

El largo de un rectángulo mide el triple de su ancho. Si su perímetro es 24 cm, ¿cuál es su área?


En un rectángulo el largo mide el triple de su ancho. Además, el perímetro del rectángulo mide 24 cm.La fórmula del perímetro de un rectángulo es P = 2 • a + 2 • b.

• ¿Qué debes encontrar?El área del rectángulo.


Primero se debe decidir a qué valor asignar la incógnita. Luego expresar los demás valoresen base a sus relaciones numéricas con la incógnita. Y finalmente plantear la ecuación utilizando los datos planteados en el enunciado.En este caso, la incógnita se puede asignar a la medida del ancho del rectángulo o a lamedida de su largo.

Resolver• Si asignamos x al ancho del rectángulo, la ecuación es:

2 • 3x + 2 • x = 246x + 2x = 24

8x = 24 / : 8x = 3

• Remplazando en la expresión para la medida del largo: 3 • 3 = 9• Finalmente, 3 • 9 = 27

Responder• El ancho del rectángulo mide 3 cm.• El largo del rectángulo mide 9 cm.• El área del rectángulo es 27 cm2.


3x

x

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 134

135Ecuaciones

Unidad 5

Revisar• Verifiquemos que cumple la condición inicial del problema, esto es, que su perímetro

mida 24 cm.2 • 3 + 2 • 9 = 6 + 18 = 24

1. Aplicando la estrategia aprendida, resuelve los siguientes problemas.

a) Se tiene un cuadrado de lado x cm. Si uno de sus lados aumenta en seis unidades y la medidadel otro lado se mantiene, ¿cuál es el valor de x que permite que el ancho del rectángulo formado mida la cuarta parte de su largo?

b) Las medidas de dos ángulos suman 270°. Si el mayor excede en 80° al menor, ¿cuáles son lasmedidas de los ángulos?

c) La diferencia entre dos números es 8. Si el mayor es el doble del menor. ¿Cuáles son losnúmeros?

d) Dos números consecutivos suman 165. ¿Cuáles son los números?e) La suma de las edades de Gabriel y Sergio es 42 años. Si la edad de Gabriel es de la edad

de Sergio, ¿que edad tienen?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con un compañero o compañera.

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedicmiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de miel. Si en total hay 48 caramelos,¿cuántos hay de cada sabor?

b) Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada día comió 6 más que el día anterior. ¿Cuántasgalletas comió el primer día?

c) La suma de tres números consecutivos es 75. ¿Cuáles son los números?d) La señora Juanita está a cargo de 9 animales, entre gatos y perros. Debe darles vitaminas

todos los días: 2 tabletas a cada gato y 3 a cada perro. Si reparte en total 21 tabletas de vitaminas y tiene el doble de gatos que de perros, ¿cuántos gatos y cuántos perros tiene acargo la señora Juanita?

e) Una araña tiene 8 patas. Un matapiojo tiene 6 patas y 2 pares de alas. Una chicharra tiene 6 patas y un par de alas. Ahora tenemos un total de 9 insectos en una caja, de tres clases distintas. Hay en total 60 patas y 10 pares de alas. ¿Cuántos insectos hay de cada clase?

12

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 135

136 Unidad 5

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.Luego comparen y comenten sus respuestas.







CONEXIONES


TECNOLOGÍA

En el margen de su copia de la Aritméticade Diofanto, Fermat había anotado:“No esposible escribir un cubo como suma de doscubos o una cuarta potencia como suma dedos cuartas potencias, y en general, no esposible que un número que es una poten-cia mayor de dos se escriba como suma dedos potencias del mismo tipo. Tengo unademostración realmente extraordinaria deeste hecho pero los márgenes del libro sondemasiado estrechos para contenerla”.La demostración de este resultado, cono-cido como el último teorema de Fermat, a

manos de Andrew Wiles, completada en1994, fue uno de los logros matemáticosmás prominentes de finales del siglopasado. No todos los días se resuelve unproblema que ha estado abierto por másde 350 años.

Formen grupos de tres integrantes y desarrollen las siguientes actividades

1. Escriban, usando lenguaje algebraico, las expresiones que Fermat anotó en el margen de su libro.

2. En el caso de usar la segunda potencia, ¿a qué expresión corresponde?

3. Consideren la siguiente expresión: “Todo número positivo puede escribirse como la suma de cuatrocuadrados”

a) Escriban una expresión algebraica que la represente.b) Encuentren números naturales que satisfagan esta igualdad.

Fuente: http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=387&Itemid=165

UNIDAD 5 (119-139) 6/18/09 5:36 PM Page 136

137Ecuaciones

Unidad 5SÍNTESIS

A continuación se presenta algunos términos importantes que trabajaste en esta unidad. Construye,en tu cuaderno, un mapa conceptual con ellos. No olvides escribir las palabras de enlace que indicanlas relaciones que hay entre los conceptos y agrégale otros términos que consideres importantes.

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el mapa conceptual que construiste, responde en tu cuaderno.

1. ¿Qué herramienta nos permite expresar matemáticamente enunciados verbales?

2. ¿Es lo mismo una igualdad que una ecuación?

3. ¿Cómo se resuelve una ecuación? Da un ejemplo, explicando, paso a paso.

4. ¿Cómo puedes comprobar que la solución encontrada mediante una ecuación es correcta?

5. ¿Siempre las soluciones obtenidas mediante una ecuación son pertinentes al problema correspondiente? Fundamenta.

6. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado?

7. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras y aclara tus dudas.

Soluciones

Propiedades de los números

Operaciones

Igualdad

Incógnita

Ecuaciones de primer grado

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 137

138 Unidad 5

1. El valor de x en la ecuación 2 · 10 = 12 + 2x es:

A. 1B. 4C. 8D. 16

2. Al resolver la ecuación 2 + 4(x – 13) = 2x + 8 se obtiene el valor de x:

A.

B.

C. 29D. 31

3. La frase “Un número aumentado en quince esigual al doble del número disminuido en 2”se puede expresar como:

A. x – 15 = 2x + 2B. x + 15 = 2x + 2C. x + 15 = 2x – 2D. 2x + 15 = x – 2

4. La medida del largo de un rectángulo es el doblede la medida de su ancho. Si su perímetro es 120cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?

A. 10 cmB. 20 cmC. 40 cmD. 60 cm

5. Si a representa la edad de Pedro, la edad de élhace 5 años era:

A. a + 5B. a – 5C. 5a

D.

6. Se tiene la ecuación 4y + 7 = 19. Entonces elvalor de 2y + 1 es:

A. 9B. 7C. 14D. 11

7. Si el valor de la expresión a + 2b –12 es igual a8 cuando a = 4, entonces el valor de b es:

A. 4B. 8C. 12D. 24

8. Un cuaderno cuesta $ 690 y una caja de lápices$ 1 100. ¿Cuánto cuestan 8 cuadernos y 2 cajasde lápices?

A. $ 5 520 B. $ 8 800 C. $ 7 720D. $ 10 180

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a 8.

912

232

a5

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 138

Unidad 5

9. La longitud de una cuerda más 3 metros es igual al doble de la longitud de lacuerda disminuida en 2 metros.

a) Plantea la ecuación que permite resolver el problema.b) Resuelve la ecuación. ¿Cuál es la solución obtenida?,

¿es pertinente al problema?

10. Andrés tiene una deuda de $ 105 000. ¿Cuánto debe pagar para que su deuda sereduzca a la tercera parte?

11. Al preguntarle a Claudia por su edad, responde: “Si al doble de mi edad le quito 6 años obtengo lo que me falta para tener 90 años”. ¿Qué edad tiene Claudia?



Lenguaje algebraico

Igualdades y ecuaciones

Ecuaciones con adición y sustracción

Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones

Ecuaciones con incógnita a ambos lados

Estudio de soluciones





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

139Ecuaciones

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 5 (119-139) 12/31/08 12:23 PM Page 139

UNIDAD

6

140 Unidad 6

Datos y azar

• Conocer los conceptos de población, muestra y variable.

• Leer y analizar información contenida en una tabla.• Obtener frecuencias absolutas y frecuencias relativas.• Calcular e interpretar medidas de tendencia central:

media aritmética, mediana y moda.• Obtener información a partir de un conjunto de

datos.


UNIDAD 6 (140-167) 1/6/09 3:42 PM Page 140

141Datos y azar

Gracias a los avances científicos y tecnológicos de los últimos tiempos, la esperanza de vida de las personas ha aumentado considerablemente. En 1920, a una chilena de 60 años le restabapor vivir, en promedio, 13 años y, a un chileno, 12 años. Al empezarel siglo XXI, una mujer a esa edad viviría, aproximadamente 23años más y un hombre, 19 años más.1. ¿Cómo se obtienen estos datos?2. ¿Qué significado tienen?3. ¿Qué implicancias tienen en nuestra vida estos valores?

CONVERSEMOS DE...

UNIDAD 6 (140-167) 1/6/09 3:42 PM Page 141

¿CUÁNTO SABES?

142 Unidad 6


1. Simplifica las siguientes fracciones de modo que la fracción sea irreducible.

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

2. Determina a qué porcentaje corresponden las siguientes fracciones.

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

3. Determina a qué fracción corresponden los siguientes porcentajes.

a) 30% d) 84% g) 4%b) 45% e) 16% h) 90%c) 75% f) 50%

4. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

a) 54, 49, 47, 55, 49, 50, 37, 63, 53, 52, 49, 51, 54, 55.b) 5,2; 6,1; 3,3; 4,2; 3,3; 1,6; 4,0; 4,9; 2,0; 4,2; 6,9; 3,8.c) 146, 137, 162, 175, 166, 142, 163, 171, 144, 150, 165.d) 202, 190, 210, 213, 241, 189, 198, 197, 200, 205, 219.

5. ¿Cuál de estos eventos es seguro? Justifica en cada caso.

a) Que una persona que juega ajedrez gane.b) Que al lanzar una moneda, dé como resultado sello. c) Que de una caja con fichas rojas se saque una ficha roja.

2570

1188

57114

85102

2475

9099

1668

32128

210

35

1560

1648

1827

1575

612

58

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 142


143Ecuaciones

• Para calcular el porcentaje x correspondiente a una fracción dada, se resuelve la proporción:

=

• Para calcular la fracción correspondiente a un porcentaje dado, se escribe el porcentajecomo una fracción, escribiendo en el numerador el número del porcentaje y en el de-nominador el número 100. Cuando es posible, se simplifica la fracción.

Por ejemplo: 20% se escribe como la fracción y puede simplificarse por 20,

obteniendo , luego, 20% corresponde a .

6. Se tiene una bolsa con 3 pelotitas amarillas, 2 pelotitas azules y 3 pelotitasrojas. Dada esta situación, escribe:

a) un evento probable.b) un evento que tenga igual posibilidad de ocurrir.c) un evento imposible.

7. Al lanzar un dado, ¿es más probable que salga un número par o que salga3?, ¿por qué?

8. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa discreta y una cuantitativa continua? Explica y escribe un ejemplo de cada una.

9. Al lanzar un moneda, ¿es más probable que salga cara o que salga sello?,¿por qué?

10. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una cualitativa? Explica y escribe un ejemplo de cada una.

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue tu error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

ab

ab

15

15

20100

x100

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 143

Población, muestras y variables

Matilde y Benjamín preparaban unadisertación sobre el cuidado de losanimales y para ello, decidieron realizar una encuesta a los 1 500alumnos del colegio, preguntando:¿Tienes una mascota?Pero, aunque demoraran solo unminuto por cada alumno, se dieroncuenta que sería una tarea lenta y compleja.

En esta encuesta, la población de estudio son todos los alumnos delcolegio, sin embargo, se decidió tomar una muestra, de menortamaño, para facilitar el trabajo.El objetivo era averiguar si los alumnos tenían mascota, esto es loque conocemos como variable estadística.

144 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• Si efectivamente demoraran un minuto, en promedio, en realizar lapregunta a cada alumno del colegio, ¿cuánto tiempo demorarían encompletar la encuesta?

• Si destinaran una hora al día en realizar la encuesta, ¿la terminaríanantes de una semana?

• Si decidieron utilizar una hora al día durante tres días y los dos almismo tiempo encuestaron a diferentes personas, ¿a cuántos alumnosalcanzaron a encuestar?

• El porcentaje de alumnos que contestó afirmativamente la encuesta,¿es similar al porcentaje de los 1 500 alumnos del colegio que efectiva-mente tiene una mascota?, ¿por qué?

• Si solo aplicaran la encuesta a los alumnos de primero y segundobásico, ¿crees que los porcentajes descritos se parezcan?

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 144

1. Identifica la población y la variable estadística de estudio en cada caso. Clasifica las variables encualitativas o cuantitativas, según corresponda.

a) Se está interesado en saber cuántos adolescentes entre 15 y 18 años ingieren alcohol durante los fines de semana.

b) En el colegio de Felipe se desea averiguar la cantidad de hermanos que tiene cada estudiante. c) Se desea investigar sobre la cantidad de hogares del país que han sido víctimas de un asalto.

2. Lee y luego responde.

Andrea necesita averiguar la cantidad de horas semanales que los alumnos de su colegio destinan a hacer deportes. Para ello debe definir la población, muestra y tipo de variable a estudiar. Si tuvieras que realizar la misma investigación que Andrea:

a) ¿Cuál sería la población?b) ¿Qué muestra escogerías?, ¿por qué?c) ¿Cuál sería la variable de estudio? ¿Qué tipo de variable es? Explica tu decisión.

EN TU CUADERNO

145Datos y azar

Unidad 6

• Población: es el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen almenos una característica en común.

• Muestra: es una parte o subconjunto de la población. Dicha parte debe ser representativa de la población, lo que significa que la muestra debe proporcionar información que permita obtener conclusiones válidas para toda la población que esobjeto de estudio.

• Encuesta: es un instrumento que puede contener una o más preguntas para recoger información sobre un tema de interés.

• Variable estadística: es la característica de interés sobre cada individuo elemental deuna población o muestra. Las variables pueden ser:

• cuantitativas o numéricas: es un número que representa cantidades o medidas. Toma valores numéricos. Ejemplo: edad de tus compañeros y compañeras.

• cualitativas o de atributos: clasifica a los individuos en diferentes categorías que sedistinguen por características no cuantificables. Ejemplo: ciudad natal de tus compañeros y compañeras.

• Dato: es el valor de una variable. Ya sea cuantitativo o cualitativo.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 145

146 Unidad 6

Medidas de tendencia central:

media aritmética

Observa las siguientes tablas que muestra las notas de Paula y Javieren algunos sectores.

Una forma de calcular el promedio o media aritmética es sumartodas las notas y dividir por el número total de notas, en amboscasos del ejemplo resulta 6,1. Es importante notar que, muchas veces, la media aritmética no corresponde a ningún valor observado o posible de la variable. En el ejemplo, ninguna de las notas es 6,1. Es importante interpretar correctamente estas cantidades deacuerdo al contexto.

Las medidas que describen un valor central (valor típico) que representa un grupo de observaciones, se denominan medidas detendencia central. Las medidas de tendencia central dan una ideade un número alrededor del cual tiende a concentrarse todo un conjunto de datos, es decir, un valor central.Las medidas de tendencia central son: media aritmética, medianay moda.Es importante tener presente que estas medidas se aplican a gruposy no a individuos.

PARA DISCUTIR

• ¿Es correcto decir que Javier tiene mejor promedio que Paula?, ¿por qué?

• ¿Qué promedio tiene cada estudiante?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Qué promedio tienes tú, en estas asignaturas?

Notas de Paula

Sector Nota

Lenguaje y Comunicación 6,5

Matemática 5,8

Ciencias Naturales 6,0

Inglés 6,7

Ciencias Sociales 5,5

Notas de Javier

Sector Nota

Lenguaje y Comunicación 5,5

Matemática 6,7

Ciencias Naturales 6,5

Inglés 6,0

Ciencias Sociales 5,8

UNIDAD 6 (140-167) 6/11/09 12:01 PM Page 146

147Datos y azar

Unidad 6

1. David necesita tener un promedio mínimo de 6,0 en Matemática para eximirse del examen final.Aún le falta por rendir una prueba y sus notas hasta el momento son: 5,3; 5,6 y 6,5.

a) ¿Qué promedio tiene David hasta ahora?b) Sin aproximar, ¿cuál es la nota más baja que David puede sacarse en la última prueba para

eximirse del examen?c) Si la nota máxima y mínima que puede obtener en la prueba es 7,0 y 1,0, respectivamente,

¿cuál es el promedio más alto y más bajo que podría obtener David?

2. Observa la siguiente tabla y resuelve.

a) ¿Cuál es la altura promedio de este grupo de niños?

b) ¿Cuál es la media aritmética de su masa?

3. El mundo se divide en 5 continentes, que a su vez se distribuyen políticamente en países,cuya distribución por continente se muestra en la siguiente tabla.

a) ¿Cuál es la cantidad promedio o media aritmética de países por continente?, ¿cómo lo calculaste? Explícalo, paso a paso.

b) El valor obtenido, ¿cómo se interpreta en el contexto del problema?, ¿es correcto?

4. Calcula el promedio entre las siguientes edades de un grupo de personas. Luego comenta en tucurso y responde.

23 21 18 19 20 23 21

• ¿Qué sucede con el promedio si nos equivocamos en registrar la información y en vez de 19anotamos 79?

• ¿Por qué creen que sucede esto?

EN TU CUADERNO

Nombres

Florencia

Altura en cm

130

Masa en kg

36

Diego 140 40

Martín 125 33

Josefina 120 35

Patricia 135 37

Felipe 130 35

Distribución de países por continente

Continente Cantidad de países

África 54

América 36

Asia 43

Europa 49

Oceanía 16

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 147

148 Unidad 6

Mediana y moda

La siguiente tabla contiene información de los campeonatos mundiales de fútbol que se han disputado desde el año 1962.

Para calcular la mediana de un conjunto de datos, debemos seguirestos pasos:

1º Ordenar los datos de manera decreciente (de mayor a menor) o creciente (de menor a mayor). En este ejemplo, lo haremos enorden creciente: 89-89-95-97-102-115-132-141-146-147-161-171

2º Encontrar el valor central de los datos ordenados, es decir, elvalor que se encuentra en la mitad de la lista de datos. Si elnúmero de datos es par, se promedian los dos valores centrales.En este ejemplo, los valores centrales son 115 y 132. Por lo tanto:

= 123,5

Luego, la mediana del conjunto de datos es 123,5.

PARA DISCUTIR

• Si se ordenan todos los campeonatos mundiales de fútbol, considerandoel número de goles que hubo en cada encuentro, ¿qué cantidad degoles quedaría en la primera fila de la tabla?, ¿y en la última fila de latabla?, ¿qué cantidad queda justo al medio de la tabla?

• ¿Cuál es el número de juegos que más se repite en los datos dados en la tabla?

Año Sede

1962 Chile

País ganador Cantidad juegos

Brasil 32

Cantidad goles

89

1966 Inglaterra Inglaterra 32 89

1970 México Brasil 32 95

1974 Alemania Alemania 38 97

1978 Argentina Argentina 38 102

1982 España Italia 52 146

1986 México Argentina 52 132

1990 Italia Alemania 52 115

1994 EE UU Brasil 52 141

1998 Francia Francia 64 171

2002 Corea-Japón Brasil 64 161

2006 Alemania Italia 64 147

115 + 1322

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 148

149Datos y azar

Unidad 6

Para calcular la moda de un conjunto de datos, debemos seguirestos pasos:

1º Ordenar los datos en una tabla, para realizar un recuento decuántas veces aparece cada valor en el conjunto de datos.

En este ejemplo, dicha tabla es:

2º Encontrar el mayor valor de la cantidad de mundiales, y observara qué dato corresponde.En este ejemplo, corresponde a 52. Es decir, la moda del número dejuegos jugados en el campeonato mundial de fútbol es 52.

• La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjuntode datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es justo el valor del centro. En el caso de teneruna cantidad par de datos, se debe calcular el promedio entre los dos valores centrales.

• La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra.

• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquelque tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valoresde la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no serepite ningún valor, no existe moda.

NO OLVIDES QUE...

1. Los siguientes datos representan el número de accidentes ocurridos en una intersección peligrosa de una ciudad, durante los últimos 6 meses del año.

a) Calcula la mediana del número de accidentes ocurridos en esa intersección peligrosa.b) ¿Qué sucede con la mediana de este conjunto de datos si en vez de 19 accidentes en

agosto, hubo 50 accidentes?, ¿por qué ocurre esto?

2. Calcula la moda de los siguientes datos.

a) 4, 14, 16, 18, 16, 15, 12, 14, 14, 16, 18, 20, 16, 16b) 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8

EN TU CUADERNO

Número de juegos 32

Cantidad de mundiales (frecuencia absoluta) 3

38

2

52

4

64

3

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

8 19 7 5 2 7

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 149

150 Unidad 6

Una planilla de cálculo te puede facilitar tu trabajo con datos.Esta planilla nos permite hacer cálculos solo ingresando los datos y utilizando algunos comandos espe-ciales. Sigue las instrucciones:

1o Escribe en A1: “Nombres”, luego en B1: “Edad”, en C1: “Estatura”, en D1: “Peso”. Además,escribe en A12: “Media aritmética”, luego en A13: “Mediana” y en A14: “Moda”. Puedes remarcar los casilleros de la tabla, utilizando la herramienta:

2o Ingresa los datos correspondientes a 9 compañeros y compañeras de curso y a ti en loscasilleros respectivos.

3o Para calcular el promedio (o media aritmética) de edad escribe en la celda B12 la siguientefórmula: =PROMEDIO(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C12: =PROMEDIO(C2:C11). Y parael peso, ingresa en D12: =PROMEDIO(D2:D11).

4o De igual manera, para calcular la mediana, escribe en la celda B13 la siguiente fórmula:=MEDIANA(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C13: =MEDIANA(C2:C11). Y para el peso, ingresa en D13: =MEDIANA(D2:D11).

5o Finalmente, para calcular la moda,escribe en la celda B14 la siguientefórmula: =MODA(B2:B11). Para la estatura, ingresa en C14:=MODA(C2:C11). Y para el peso, ingresa en D14: =MODA(D2:D11).


UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 150

151Datos y azar

Unidad 6

1. Una variable estadística es:

A. Una parte representativa de la población.B. El grupo de individuos a observar.C. Un atributo que interesa cuantificar.D. Categorías para agrupar los datos.

2. ¿Cuál de las siguientes variables es cualitativa?

A. Número de hermanos. C. Peso de una bolsa de arroz.B. Mes del año. D. Cloro presente en el agua.

3. Observa los datos obtenidos sobre el color del pelo de los alumnos y alumnas de un curso y responde.

a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra?b) ¿Puedes hallar la media? Justifica.c) ¿Puedes hallar la mediana?, ¿por qué?d) ¿Puedes hallar la moda?

4. Considera los siguientes datos.6 - 5 - 3 - 5 - 3 - 5 - 3 - 3 - 4a) ¿Cuál es la media aritmética?b) ¿Cuál es la mediana?c) ¿Cuál es la moda?



MI PROGRESO

Color de pelo

Negro

Frecuencia

19

Castaño oscuro 9

Castaño claro 8

Colorín 7

Rubio 2


Distinguir una variable estadística 1

Discriminar si una variable es cualitativa 2

Analizar la aplicabilidad de las medidas detendencia central en un conjunto dedatos

3

Calcular medidas de tendencia central aun conjunto de datos

4responde en tu

cuaderno

UNIDAD 6 (140-167) 1/9/09 1:59 PM Page 151

Análisis de la información

A diario nos encontramos con información entregada a través de losmedios de comunicación, como diarios, revistas o televisión. Esta información contiene elementos matemáticos para ser analizados.

Entre las más destacadas informaciones del Anuario de Cultura y Tiempo Libre publicado en enero de 2006 por el INE, está la consolidación del cine, que en una década, de 1994 a 2004, aumentósu concurrencia en 85,8%.En un 187% se incrementó la asistencia al circo. En contraste, los espectáculos deportivos bajaron su público, manteniéndose la tendencia observada desde el año 1993.Respecto de los medios de comunicación, se observó un crecimiento de11,7% en el número de radioemisoras entre 2003 y 2004. La tasapromedio de radioemisoras cada 50 000 habitantes en el país es de 3,5.Por otra parte, durante 2004 operaron en el país 125 canales de televisión abierta y por cable local o regional. El 66,2% de sus horasde transmisión correspondió a programas hechos en Chile.

152 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• Con los datos extraídos del artículo anterior, ¿qué informaciónpodemos analizar matemáticamente?

• ¿Qué significa el aumento de un 85,8% de la concurrencia al cine?• ¿Qué significa el incremento de 187% de asistentes al circo?• ¿Cómo interpretamos la tasa promedio de radioemisoras cada 50 000

habitantes en el país?

La información entregada siempre hay que interpretarla según elcontexto en el que está inserta. Así, por ejemplo, en este artículo sepuede interpretar que:

• Hay un aumento considerable de la asistencia de la población alas salas de cine. Por ejemplo, si en el 94 asistieron 500 personasal cine, el 2004 lo hicieron 929.

• Por otra parte, si el año 2003 asistían 100 personas al circo, el2004 lo hicieron 287 personas.

Respecto de los medios de comunicación, la tasa promedio de radioemisoras significa que por cada grupo de 50 000 habitantes,tenemos 3,5 radioemisoras en el país. Lo que quiere decir que enpromedio, cada 50 000 habitantes, hay entre 3 y 4 radioemisoras (ya que claramente no pueden ser 3,5) y no implica que exactamente cada 50 000 personas haya 3 ó 4 radioemisoras. Es poreso que se usa el término “en promedio”.

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 152

153Datos y azar

Unidad 6

Lee cada información y luego responde.

1. “En 1994 el promedio mensual de asistentes al cine fue de 596 472 espectadores. En 2004 esacifra ascendió a 1 108 480, para un crecimiento en una década equivalente a 85,8%”.(Fuente: www.ine.cl)

a) ¿Qué significa promedio mensual de asistentes al cine?b) ¿En cuánto aumentó el promedio mensual de asistentes al cine desde 1994 a 2004?

2. “En el país, la tasa promedio mensual de asistentes al cine por cada cien habitantes durante2004 es de 6,9% y supera a la observada en 2003 de 6%”. (Fuente: www.ine.cl)

a) ¿Cómo se interpreta el 6,9% y el 6%, con respecto a la cantidad de población?b) ¿Ha aumentado o disminuido la asistencia al cine?

3. “En total, la producción editorial en el país durante 2004 fue de 3 151 títulos, cantidad inferior ala de 2003 en 8,1%”.

a) Al año 2004, ¿había aumentado o disminuido la producción editorial chilena?b) ¿Cuántos títulos se produjeron el año 2003? ¿Cómo puedes obtener esta información?

4. “El exceso de peso es un problema que afecta cada vez a más niños. Durante la década del 90 la obesidad se quintuplicó en menores de 20 años. Hoy, entre el 15% y 18% de los preescolaresson obesos y una cifra similar sufre de sobrepeso. Es decir: uno de cada tres niños o niñas deesta edad tiene más kilos de los que debiera. La prevalencia de obesidad en escolares entre 6 y16 años es de cerca del 20%”.

a) Si antiguamente había 1 000 000 de niños menores de 20 años obesos, ¿cuántos habría enla década del 90?

b) Si tenemos un total de 900 preescolares, ¿cuántos de ellos debieran tener sobrepeso? ¿Significa esto que debemos tener exactamente esta cantidad de niños con sobrepeso?

c) ¿Qué significa que la prevalencia sea de un 20%?

EN TU CUADERNO

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 153

Experimentos aleatorios

Diego y Camila están jugando a lanzar al aire una moneda y adivinar qué va a salir. Después de varios intentos, Diego comentaque sale más veces “cara”, pero Camila no le cree, dice que siemprepuede salir “cara” o “sello”.Deciden lanzar al aire la moneda veinte veces. Observa sus resultados.

Luego, Diego comparó la cantidad de veces que salió cara respectodel total de lanzamientos y obtuvo lo siguiente:

= =

154 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• ¿Qué salió más, cara o sello?• ¿Que significado tiene la razón en el contexto de la situación?,

¿a qué porcentaje corresponde esta razón?• Camila compara la cantidad de veces que salió sello respecto del total

de lanzamientos, ¿qué razón obtuvo?• Si sumas las razones obtenidas, ¿qué valor obtienes?, ¿por qué crees

que se obtiene ese valor?• Si realizaras esta situación, ¿obtendrías estas mismas razones para los

resultados de cara y sello?, ¿por qué? Comenta con tus compañeros ycompañeras.

• Si la realizaras considerando 50 lanzamientos, ¿obtendrías valores similares?, ¿por qué?

Lanzamiento

Cara

Sello

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

11

x

12

x

13

x

14

x

15

x

16

x

17

x

18

x

19

x

20

x

Número de veces que salió caraNúmero de lanzamientos

1220

35

Número de veces que salió caraNúmero de lanzamientos

1220

35

35

• En situaciones en que no se puede predecir con certeza un cierto resultado, por ejemplo, que al lanzar una moneda al aire no se puede predecir si saldrá cara o sello,se habla de un experimento aleatorio.

• Pero, al repetir sucesivamente el mismo experimento, se pueden advertir regularidadesy estimar la probabilidad de que dicho experimento resulte de una manera u otra.

Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire salga cara es .

NO OLVIDES QUE...

12

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 154

155Datos y azar

Unidad 6

En esta actividad deberán determinar la probabilidad de que al lanzar un dado,se obtenga un número u otro. Para un mejor resultado, consideren realizar almenos 120 lanzamientos distintos.

Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

1. Cada uno en su cuaderno registre, por ejemplo, 40 lanzamientos del dado: Salió 1: IIIII....Salió 2: III....Salió 3: IIIIIII....Salió 4: IIII....Salió 5: IIIIIIII....Salió 6: II....

2. Cuando terminen, cuenten la cantidad correspondiente a cada número del dado y anótenlo.

3. Ahora recopilen todos los datos del grupo en una tabla.

4. Escriban la razón entre el número de veces que salió cada número y el número total de lanzamientos. ¿Qué pueden concluir?

5. Las razones obtenidas, ¿son similares?, ¿por qué creen que ocurre esto?

6. Si repitieran la actividad, ¿volverían a obtener las mismas razones para los resultados de cadanúmero?, ¿por qué?

7. En general, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un cierto número al lanzar el dado?

EN EQUIPO Materiales:• Uno o más

dados.

Integrante 1

Integrante 2

Integrante 3

Salió 1

10

Salió 2

7

Salió 3

6

Salió 4

9

Salió 5

10

Salió 6

8


UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 155

Frecuencia absoluta

En el colegio de Andrea se celebró un bingofamiliar para reunir fondos para el paseo defin de año. Además del bingo, hubo diferentes entretenciones. La más concurridafue la ruleta de colores. Consistía en un círculo dividido en cuatro partes iguales.Cada parte estaba pintada de un color distinto: amarillo, azul, verde y rojo.

Andrea lanzaba la ruleta y su amiga Danielaiba anotando en qué color caía cada vez.Los diez primeros resultados fueron: azul,verde, rojo, rojo, amarillo, verde, azul, verde,azul, azul.

156 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• Ordena los resultados anotados por Daniela en una tabla de frecuencias.• ¿En qué color acertó más veces?• ¿Podrías asegurar que el próximo lanzamiento también acertará al

mismo color?• Considerando estos resultados, ¿qué color sabes que no va a salir?,

¿por qué?

• La suma de todas las frecuencias absolutas corresponde al total de observaciones.

• Estos resultados se pueden ordenar en una tabla de frecuencias, escribiendo en una columna todos los resultados posibles y en la otra, la frecuencia absoluta correspondiente a cada resultado.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 156

157Datos y azar

Unidad 6

EN TU CUADERNO

1. En una encuesta realizada a 25 estudiantes del sexto básico, acerca del número de libros queleen en el año, se obtuvieron los siguientes resultados:

6, 6, 7, 6, 7, 5, 5, 6, 7, 5, 4, 5, 4, 9, 3, 3, 9, 5, 5, 9, 5, 4, 5, 4, 8.

a) ¿Cuántos alumnos leen solo tres libros al año?b) ¿Cuántos alumnos leen solo un libro al año?c) ¿Cuántos alumnos leen nueve libros al año?d) Registra los resultados en una tabla de frecuencia absoluta.

2. En una encuesta realizada a 50 matrimonios habitantes de un edificio, acerca del número dehijos que tiene cada uno, se obtuvieron los siguientes datos:

2, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 1, 6, 3, 4, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 7, 4, 2, 3, 0, 5, 1,4, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 1, 2, 4, 0, 3, 3, 2, 6, 1, 5, 4, 2, 0, 3, 2, 4, 3, 1.

a) ¿Cuántos matrimonios tienen solo dos hijos?b) ¿Cuántos matrimonios tienen la mayor cantidad de hijos?c) ¿Cuántos matrimonios no tienen hijos?d) Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

3. Durante el mes de enero, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31,31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

a) ¿Cuántos días la temperatura máxima fue de 30 ºC?b) ¿Cuántos días la temperatura máxima fue de 28 ºC?c) Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

4. En una encuesta realizada a los alumnos y alumnas del sexto básico, se les preguntó qué edadtenía su madre cuando ellos nacieron, y se obtuvieron los siguientes datos:

23, 21, 34, 26, 17, 22, 23, 42, 36, 19, 15, 24, 32, 30, 34, 32, 28, 16, 19, 21,27, 23, 28, 29, 31, 33, 29, 21, 17, 24, 20, 25, 30, 25, 29, 33, 15, 27, 31, 20.

a) ¿Cuántas madres tenían 20 años cuando nacieron sus hijos?b) ¿Cuántas madres tenían 33 años cuando nacieron sus hijos?c) Registra los resultados en una tabla de frecuencias absoluta.

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 157

Frecuencia relativa

Observa la siguiente tabla, en la que Antonia registró la cantidad deaciertos en el Loto que obtuvieron 300 personas.

Luego, Antonia comparó la cantidad de personas que acertaron solodos números respecto del total de personas que apostaron al Loto yobtuvo lo siguiente:

= =

158 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• ¿Qué tipo de acierto es el que más ocurre?

• ¿Que significado tiene la razón en el contexto de la situación?

• Calcula las razones correspondientes en cada caso.• Si sumas las razones obtenidas, ¿qué valor obtienes?, ¿por qué crees

que se obtiene ese valor?• ¿Crees que al aumentar la cantidad de personas, se mantengan estas

proporciones en relación con la cantidad de aciertos obtenidos? Justifica.

• Si relacionas estos valores con los resultados obtenidos por todas laspersonas que participan en un sorteo, ¿qué probabilidad tiene unapersona de obtener 3 aciertos?, ¿y de ganar el Loto?

Aciertos Cantidad de personas

Ningún número 84

1 número 70

2 números 65

3 números 57

4 números 20

5 números 4

6 números 0

Número de personas que acertó dos númerosNúmeros de personas

65300

1360

1360

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 158

159Datos y azar

Unidad 6

EN TU CUADERNO

1. Daniel coloca sobre una mesa tres tazas iguales y avisa a Anita que debajo de una de ella hayuna moneda. Luego, mezcla las tazas y le pide que adivine debajo de qué taza está la moneda.Observa el registro de las veces en que Anita sí adivinó.

a) Ordena los resultados obtenidos por Anita en una tabla de frecuencias.b) Compara el número de veces que Anita adivinó con el número de intentos.c) ¿Podrías asegurar que la próxima vez va a adivinar?d) Considerando estos resultados, ¿cuál es la probabilidad de que Anita adivine donde está la

moneda en este juego?e) Eduardo estaba observando el juego con mucha atención, y le dice a Daniel que él puede

adivinar dónde está la moneda. Observa el registro de las veces en que Eduardo sí adivinó.

Ordena los resultados obtenidos por Eduardo en una tabla de frecuencias.

f) Compara el número de veces que Eduardo adivinó con el número de intentos.g) ¿Podrías asegurar que la próxima vez va a adivinar?h) Considerando estos resultados, ¿cuál es la probabilidad de que Eduardo adivine donde está

la moneda en este juego?

Adivinó

No adivinó x

x

x x x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x x

Adivinó

No adivinó

x

x

x x

x

x x x

x

x

x

x x x

x

• La frecuencia relativa de un resultado es la razón entre el número de veces que se obtuvo dicho resultado y el número de veces que se realizó el experimento.

• La frecuencia relativa es un número entre 0 y 1. Si la frecuencia es 0, entonces el resultado esperado nunca se obtuvo y si la frecuencia es 1, entonces el resultado esperado se obtuvo siempre.

• La suma de las frecuencias relativas correspondientes a todos los resultados posibles es 1.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 159

Probabilidad

El tío Pedro le enseña a Tomás un tablero de juego para realizarapuestas cuando se lanzan dos dados simultáneamente. El tablerodonde se ponen las fichas para apostar está separado en tres partes,a la izquierda se ubican los números menores que siete, al centro elsiete, con la frase “Pepito paga doble”, y a la derecha los númerosmayores que siete.Se lanzan dos dados simultáneamente, y se suman sus valores

• Si el total es un número menor que siete, ganan todos los queapostaron a cualquier número menor que siete.

• Si el total es siete, ganan el doble los que hayan apostado alsiete.

• Si el total es un número mayor que siete, ganan todos los queapostaron a cualquier número mayor que siete.

160 Unidad 6

PARA DISCUTIR

• ¿Qué crees que conviene más, apostar al siete o a otro número?• Realiza al menos 30 lanzamientos y anota los resultados obtenidos en

una tabla de frecuencias.• Agrupa los resultados en tres grupos, según si son menores, iguales o

mayores que siete. • ¿Cuál es la probabilidad de ganar, en cada caso?• ¿Cuál es la frecuencia relativa de cada uno?• ¿Qué puedes concluir?

• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medidaque aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llamaprobabilidad.

• La probabilidad de que ocurra un resultado en un experimento aleatorio se puede expresar como un número, entre 0 y 1, al cual las frecuencias relativas se acercan a medida que la cantidad total de repeticiones de un mismo experimento aleatorio aumenta.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 160

161Datos y azar

Unidad 6

1. La suma de todas las frecuencias relativas en cualquier tabla es igual a:

A. 100B. 100%C. El número total de observacionesD. 1

2. La suma de todas las frecuencias absolutas en cualquier tabla es igual a:

A. 100B. 100%C. El número total de observacionesD. 1

3. Se lanza 50 veces un tetraedro con las caras numeradas del 1 al 4, y se obtiene 14veces el uno, 12 el dos y 16 veces, el tres.

a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y la de que se obtenga 4?

b) ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?



Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?


MI PROGRESO


Reconocer propiedades de la frecuenciaabsoluta y relativa

Calcular la frecuencia absoluta y la probabilidad de un experimento aleatorio

1 y 2

3 responde en tu cuaderno

UNIDAD 6 (140-167) 1/9/09 2:00 PM Page 161

162 Unidad 6

El “Anuario de Estadísticas Policiales: Carabineros de Chile, 2004” disponible en www.carabinerosdechile.cl contiene información acerca del número de accidentados en el tránsito según el tipo de accidente. De un total de 48 267 accidentados, algunos de losresultados son: 8 872 atropellos, 24 267 colisiones y 15 128 accidentes de otro tipo.

Dentro del conjunto de accidentados, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a atropellos? ¿Cómo se compara este número con la probabilidad de colisiones?


La cantidad de accidentes de tránsito por cada tipo durante el año 2004.• ¿Qué debes encontrar?

La probabilidad de los accidentes por atropellos y la probabilidad de colisiones.Luego comparar estos números.


Construir una tabla de frecuencias con la información entregada y calcular las frecuenciasrelativas de cada tipo de accidente.

Resolver

Responder• Dentro de los accidentados de tránsito, la probabilidad de que sea un atropello es de

0,184. En cambio, la probabilidad de que sea una colisión es de 0,503, valor que es cercadel triple del anterior.

Revisar• Para comprobar el resultado, suma las probabilidades y revisa que el resultado sea

igual a 1.


Tipo de accidente

Atropellos

Frecuencia absoluta

8 872

Frecuencia relativa Número decimal

0,184

Colisiones 24 267 0,503

8 87248 267

24 26748 267

Otros 15 128 0,31315 12848 267

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 162

163Datos y azar

Unidad 6

Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

1. Un estudio consistió en anotar el número de palabras leídas en 15 segundos por un grupo de 120sujetos disléxicos y 120 individuos normales. Los resultados se registraron en la siguiente tabla:

Según los datos de la tabla, calcula:

a) ¿Cuáles son las medianas de ambos grupos?b) ¿Cuál es el porcentaje de sujetos disléxicos que superaron la mediana de los normales?

2. Durante el mes de Julio una compañía telefónica registró los siguientes números de llamadas decincuenta clientes:

30 – 34 – 12 – 45 – 36 – 60 – 23 – 12 – 43 – 35 – 65 – 45 – 23 – 47 – 26 – 56 – 46 – 27 – 63 – 64 –34 – 24 – 56 – 45 – 23 – 34 – 56 – 56 – 23 – 18 – 53 – 52 – 43 – 45 – 23 – 43 – 43 – 65 – 43 – 23 –43 – 12 – 23 – 45 – 54 – 34 – 23 – 32 – 12 – 32

a) ¿Cuál es la mediana, la media aritmética y la moda en esta situación? b) Si los clientes pagan por mes $ 40 fijos cuando la cantidad de llamadas es menor que

51 y tienen un recargo del 5 % total si es igual o mayor que 51, ¿cuánto dinero recaudó la compañía?

Número de palabras leídas Disléxicos

25 o menos 56

Normales

2

26 24 9

27 16 21

28 12 28

29 10 28

30 o más 2 32

UNIDAD 6 (140-167) 6/11/09 11:33 PM Page 163

164 Unidad 6

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.Luego comparen y comenten sus respuestas.







CONEXIONES


TECNOLOGÍA

En el Plan de Invierno de la CONAMA se establecen las medidas en relación con la restricción vehicularque se aplicarán en la ciudad de Santiago, en el período comprendido entre el 1º de abril y el 31 deagosto de 2008.

• Restricción vehicular permanente decuatro dígitos para vehículos sin selloverde durante el período otoño- invierno,y entre lunes a viernes, exceptuando losfines de semana y feriados.

• Preemergencia Ambiental: Cuando sedecrete una situación de preemergencia,la restricción se extenderá a seis dígitos

para vehículos sin sello verde, y seaplicará a dos dígitos para vehículoscon convertidor catalítico.

• Emergencia Ambiental: La restricciónvehicular para los vehículos sin con-vertidor se aumenta a ocho dígitos ypara aquellos con sello verde sube acuatro dígitos.

Formen grupos de tres integrantes, analicen la información y desarrollen las actividades.

1. Averigüen, ¿en qué consiste la restricción vehicular? ¿a qué se refiere la frase “restricción de dosdígitos para vehículos...”?

2. En el período de restricción permanente, ¿cuál es la probabilidad de que un vehículo sin selloverde pueda circular?, ¿y en el caso de un vehículo con convertidor catalítico?

3. ¿Cómo cambian estos valores en episodios de preemergencia ambiental? ¿y en episodios de emergencia ambiental?

4. Comenten, ¿cómo afecta la restricción vehicular a los trabajadores que usan sus vehículos comoherramienta de trabajo, como, por ejemplo, a un feriante?

Fuente: http://www.conama.cl/rm/568/article-38412.html#h2_2,

(consultado en octubre de 2008)

UNIDAD 6 (140-167) 6/18/09 5:40 PM Page 164

165Datos y azar

Unidad 6SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales con-ceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlace queindican las relaciones que hay entre los conceptos.


1. ¿Cuál es la principal diferencia entre población y muestra?

2. ¿De qué tipo pueden ser las variables estadísticas?

3. ¿Qué herramientas para organizar información conoces?

4. ¿Qué medidas de tendencia central existen?

Población

Encuesta Variables

Mediana Moda

Resumen información

Tablas de frecuencia Medidas de tendencia central

Cuantitativas

Cualitativas

Muestra

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Mediaaritmética

Tratamiento de la información

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 165

166 Unidad 6

Con respecto a esta información responde las preguntas 1 y 2.

¿Cuántos años de escolaridad tienen los chilenosmayores de 18 años? Esta pregunta se le formulóa 2 000 personas.

1. La población de esta situación está dada por:

A. las 2 000 personas encuestadas.B. todos los escolares del país.C. todos los chilenos.D. todos los chilenos mayores de 18 años.

2. La variable estadística de esta investigación es:

A. cualitativa.B. cuantitativa.C. atributo.D. puede ser cualitativa o cuantitativa.

3. En estadística, población se refiere a:

A. una parte representativa de los habitantesde una ciudad.

B. un gran conjunto de personas o animales.C. conjunto de todos los individuos u objetos

que tienen una característica que se deseamedir.

D. una zona o sector de una ciudad que sequiere estudiar.

4. De las siguientes variables estadísticas, ¿cuálno corresponde a una variable cuantitativa?

A. Edad de tus compañeros.B. Cantidad de hermanos.C. Estatura de tus compañeros.D. Nombre de tus compañeros.

5. Con respecto a la moda es correcto afirmar que:

A. es fuertemente afectada por la presencia devalores extremos en los datos.

B. siempre existe y es única.C. indica el dato que más se repite o el más

frecuente.D. Todas las alternativas son correctas.

6. Si sabemos que la estatura promedio de ungrupo de niños es 153 cm, se puede afirmar:

A. el niño más alto de este grupo mide 153 cm.

B. todos los niños miden 153 cm.C. no existe ningún niño que mida 168 cm.D. el cociente entre la suma de todas las

estaturas y el número total de niños es 153 cm.

7. La cantidad de agua caída (en mm) los últimos6 meses es: 17; 48; 98; 101; 79 y 65 mm. Conrespecto a esta información se puede afirmarque:

I. el promedio de agua caída los últimos 6 meses es 68 mm.

II. la mediana de agua caída los últimos 6 meses es 72 mm.

III. la moda de la cantidad de agua caída es 101 mm.

A. Solo I.B. Solo II.C. I y II.D. I, II y III

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a 7.

UNIDAD 6 (140-167) 12/31/08 12:24 PM Page 166

Unidad 6

8. Veinte futbolistas están entrenando arduamente. Lanzan 5 tiros penales cada uno.El número de goles, logrados por ellos, se muestra en la tabla:

Calcule la media aritmética, mediana y moda.



Población, muestras y variables

Media aritmética, mediana y moda

Análisis de la información

Experimentos aleatorios

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Probabilidad





¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

167Datos y azar

responde en tu cu

aderno

Número de goles

Número de jugadores

1

2

2

3

3

5

4

6

5

4

UNIDAD 6 (140-167) 1/7/09 4:45 PM Page 167

Solucionario

168 Matemática 6

Página 12¿CUÁNTO SABES?

1. a) c) e)

b) d) f)

2. a) c) e)

b) d) f)

3. a) Ocho enteros, quince centésimos.b) Cuarenta y dos enteros, ocho décimos.c) Tres enteros, siete milésimos.d) Dos enteros, mil doscientos ocho diezmilésimos.e) Seis enteros, doscientos catorce milésimos.f) Cinco centésimos.

4. a) 0,1 c) 0,0028 e) 0,107b) 10,4 d) 0,39 f) 4,9

5. a) c) e)

b) d) f)

6. a) < c) > e) >b) > d) = f) >

Página 13

7. a) 0,006; 0,2; 0,8; 1,3b) 0,05; 0,5; 1,00; 1,005c) 0,25; 0,75; 1,25; 2,05

8. a) 78,369 c) 32,8 e) 289,079b) 432,002 d) 1,454 f) 158,43

Página 15

1. a) d) g)

b) e) h)

c) 3 f) 10

2. a) b) c)

3. a) tazas de azúcar, tazas de harina,

kg de crema y kg de manjar.

b) 14 panes.

c) kg de fruta.

d) 18e) 45 minutos.

f) de pizza.

g) kg de mermelada.

h) 5 litros.

Página 17

1. a) c) e)

b) 2 d) f) 133

2. a) c) 6 e)

b) d) f) 1

3. a) b) $ 72 000

Página 19

1. a) c) 2 e)

b) d) f) 8

2. a) 3 e) 7 i) 6

b) f) j)

c) g) 2 k)

d) 6 h) l)

3. a) c) 16

b) 27 d) 8

Unidad 1

292183

49716

13213

21

41

112

347135

4452615

349200101

26810172100

32510

5510

5810

34710

5

23

13

12

1223

1 25

6 34

1

12

434

3

24

1

48

158

2

23

1 511

11

12

1

12

10

35322

34112

310

132

914

6598

52

13

32

32

889

110

6481

137

145

14

Solucionario 6/11/09 12:08 PM Page 168

4. a) 48 cuartos de hora. d)

b) 16 pedazos. e)

c) 192 personas. f) 1

Página 21

1. a) g) m)

b) h) n)

c) i) ñ)

d) j) o)

e) k) p)

f) l) q)

2. a) de la tarea.

b) 50 CD.c) 12 pedazos.d) 420 Le) Pedro manejó del camino y Pablo manejó

del camino; Pedro manejó 12 horas y

Pablo manejó 16 horas.

Página 23MI PROGRESO

1. D

2. B

3. a) 14 bolsas. b) 26 bolsas.

4. a) kg b) kg

Página 25

2. a) 1 metro y 70 centímetros.b) $ 3 900c) $ 1 105

3. a) 0,3 mm; 300 mm; 0,3 mm.b) Sí (709,3 mm).

4. a) 6 kilogramos y 800 gramos.b) 10 toneladas y 300 kilogramos.c) 4 centímetros y 2 milímetros.d) 20 años y 6 meses.e) 27 metros y 30 centímetros.f) 3 meses.

5. a) 3 horas y 12 minutos.b) 15 minutos. c) 10 minutos y 24 segundos.d) 4 horas y 10 minutos.e) 11 horas y 36 minutos.f) 2 minutos y 30 segundos.

6. a) 35 cm c) 6,7 cm e) 2,27 cmb) 0,2 cm d) Son iguales f) 4,8 m

Página 27

1. a) 9,04 g) 143 m) 12,5b) 10,35 h) 109,3968 n) 4,25c) 0,01 i) 0,618 ñ) 2,14d) 1 j) 4 605 o) 0,582e) 73,982 k) 176,4315 p) 0,512f) 13,1776 l) 47,6 q) 0,41305

2. a) 6 750 kgb) 75,6 kmc) 73,6 kgd) US$ 2 445,1; $ 1 315 464e) 2,897 UF

Página 29

1. a) 50,8 e) 1,2 i) 0,1738b) 48 f) 5,35 j) 3,712c) 113,25 g) 1,392 k) 4,8d) 3,6 h) 12 l) 0,0022

2. a) 14 tarjetas.b) 28 tarjetas; 19 tarjetas; 12 tarjetas.

3. 2,3 kg 4. 29,7 m 5. 45,1 litros

6. a) 25,5 kg c) 91,8 kgb) 19,8 kg d) 106,2 kg

169Solucionario

815

23

32720

451915

95112

654865

2910133

283443

17244712

3524710

111098

15

1328

18

740

1528


170 Matemática 6

Página 31

1. a) 32 c) 1,6 e) 121b) 32 d) 3,5 f) 7,5

2. a) 14 UFb) $ 3 145 432c) 3 375 UF

MI PROGRESO

1. A

2. B

3. a) $ 24 873 b) 30,2 litros; $ 24 644

Página 33

1. a) 28 mL. 4 frascos; 4 mL.

b) 4 bebidas de 1,5 L.0,5 kg.$ 10 925.

2. a) 10 vasos.b) 67 gramos.

c) del terreno.

del terreno.

240 m2; 120 m2; 120 m2. d) 178,5 kilómetros.

Página 36

1. A 2. C 3. B 4. D5. D 6. B 7. C 8. A

Página 37

9. 1 ó 2.

10. del terreno.

11. 218,4 m3; $ 4 186.


1. a) 94 785 426 d) 3 007 003b) 9 999 990 e) 36 160 000c) 40 030 021 f) 107 070 549

2. a) 7 000 000 + 900 000 + 80 000 + 7 000 + 600 +70 + 5

b) 80 000 000 + 9 000 000 + 800 000 + 90 000 + 800 + 90

c) 9 000 000 + 300 000 + 40 000 + 5 000 + 500 +60 + 7

d) 100 000 000 + 20 000 000 + 3 000 000 + 400 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9

e) 10 000 000 + 2 000 000 + 300 000 + 20 000 + 3 000 + 90

f) 500 000 000 + 60 000 000 + 600 000 + 70 000g) 30 000 000 + 5 000 000 + 900 000 + 9 000 +

900 + 9h) 700 000 000 + 80 000 000 + 4 000 000 +

200 000 + 30 000 + 1 000 + 100 + 20 + 3i) 900 000 000 + 9 000 000 + 900 000 +

90 000 + 90 + 9

3. a) 163 280 f) 34 051 500b) 2 579 500 g) 3 584 096c) 168 875 h) 15 604 550d) 1 134 750 i) 123 444 321e) 755 298

4. a) 31 d) 54 g) 190b) 86 e) 24 h) 255c) 20 f) 250 i) 1 000

Página 41

5. a) 335 e) 257 i) 150b) 21 f) 62 j) 100c) 3 388 g) 825 k) 5d) 6 h) 15 920 l) 6 020

6. a) 6 • 3 = 18 c) 6 • 10 =60b) 8 • 5 = 40 d) 4 • 0,2 = 0,8

Página 43

1. a) 26 = 64 d) 55 = 3 125b) 104 = 10 000 e) 37 = 2 187c) 123 = 1 728 f) 105 = 100 000

2. a) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32b) 9 • 9 = 81c) 18 = 18d) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 2 187e) 10 • 10 • 10 = 1 000f) 4 • 4 • 4 • 4 = 256

Unidad 2

12

12

350


171Solucionario

3. a) 34 = 81 c) 53 = 125b) 27 = 128 d) 122 = 144

4. a) 27 velas b) 81 velas

5. $ 1 516 200

Página 45

1. a) 1 024 niños.b) 81 menús diferentes.c) 8 variedades.d) 43 piezas.

Página 49

1. a) 36, son 6 cuadraditos por lado y sobran 3.b) 9, son 3 cuadraditos por lado y sobran 3.c) 2 500, son 50 cuadraditos por lado y sobran 100.d) 441, son 21 cuadraditos por lado y sobran 4.

2. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196. Son 14 cuadrados perfectos menores que 200.

3. a) 5 cmb) 100 sillas.c) Aumenta de 9 cm2 a 36 cm2.d) Aumenta de 4 cm2 a 36 cm2.

Página 50

1. a) 2 • 104 + 5 • 103 + 5 • 102 + 3 • 101 + 2 • 100

b) 5 • 106 + 5 • 104 + 1 • 102

c) 4 • 108 + 7 • 107 + 4 • 104 + 2 • 103

d) 3 • 104 + 3 • 103 + 3 • 102 + 5 • 101

e) 2 • 107 + 6 • 106 + 1 • 105 + 9 • 104

f) 1 • 109 + 3 • 105 + 2 • 102

2. a) 2 050 e) 2 102 400 000b) 102 018 f) 1 031 006 000c) 50 285 000 g) 405 305 000d) 50 500 240 h) 212 010


1. C

2. D

3. 4 096 flores.

4. a) De 15 x 15 baldositas. b) 25 baldositas.

Página 53

1. a) 65 • 1010 c) 52 • 1010 e) 68 • 1015

b) 3 • 108 d) 4 • 1012 f) 724 • 1013

2. a) 400 000 d) 10 000 000 000b) 340 000 000 e) 543 000 000c) 800 000 f) 2 500 000 000

3. a) = d) < g) >b) > e) > h) <c) = f) >

4. a) 4 • 105, 4 • 106, 4 • 107, 4 • 108

b) 678 • 109, 6 721 • 109, 6 834 • 109

c) 2 • 106, 214 • 104, 22 • 105, 23 • 105

d) 25 • 1017, 5 250 • 1016, 55 • 1018

e) 47 • 1 025, 48 • 1023, 473• 1024

f) 89 • 106, 98 • 106, 89 • 107

Página 54

1. a) 45 700 f) 32 000 000 k) 5 300b) 12 490 000 g) 963 000 l) 143 280c) 300 000 h) 10 000 000 m) 5 790 200d) 10 000 000 i) 7 300 n) 6 821,1e) 5 420 000 j) 152 900

Página 55

2. a) 100; 100 b) 1 000; 1 000

3.

Página 56

1. a) 24,57 g) 0,000971 m) 0,000000073b) 0,628 h) 4,902 n) 0,0024358c) 0,18249 i) 0,01 ñ) 0,0000048902d) 0,0005 j) 0,0247 o) 0,007825e) 1 000 k) 0,0093f) 0,0732 l) 0,002549

10 000 3 200 3 200100 000 000 490 000 490 000

10 000 000 000 55 000 000 55 000 0001 000 000 1 430 000 1 430 0001 000 000 3 200 3 200

1 000 000 000 000 490 000 490 000100 000 000 000 000 55 000 000 55 000 000

1 000 000 000 000 1 430 000 1 430 00010 000 000 000 1 430 000 1 430 000


172 Matemática 6


1. C

2. B

3. 9 460 800 000 000 km

Página 59

1. a) 1 476,3 • 105 toneladas.b) 446 • 107 dólares.c) 378 170 km

2. a) 44,35 • 108 años.b) 1 182,5 • 1022 kgc) Es menor; es menor.

Página 62

1. D 2. A 3. C 4. B5. B 6. D 7. D 8. B

Página 63

9. b) 3 • 3 • 3 ramas.

10. 16 plantas. b) 81 plantas.


3. a) Rectos c) Extendidosb) Agudos d) Obtusos

4. a) 20˚ c) 46˚ e) 20˚b) 73˚ d) 30˚ f) 108˚

Página 69

2. a) Sí. c) 67˚

Página 71

2. a) 2 y 9, 3 y 8, 2 y 11, 5 y 8.b) 1 y 3, 1 y 5, 2 y 4, 2 y 6, 7 y 9, 7 y 11, 8 y 10, 8

y 12. c) 1 y 2, 2 y 8, 7 y 8, 1 y 7, 3 y 4, 4 y 10, 9 y 10, 3

y 9, 5 y 6, 6 y 12, 11 y 12, 5 y 11.d) 1 y 10, 1 y 12, 7 y 4, 7 y 6, 3 y 12, 6 y 9.

Página 72

3. a) 90˚b) Son ángulos correspondientes.

4. a) 113˚b) Son ángulos correspondientes.

Página 73

5. a) x = 128˚, y = 52˚, Z = 128˚b) z = 55˚c) n = 32˚d) x = y = z = 125˚e) x = 110˚, y = 70˚f) y = 107˚g) x = 80˚h) x = 145˚, y = 52˚

Página 74

1. No; sí; no

Página 75

2. a) No. b) No. c) Sí.

3. c) Suma igual a 360˚.

4.


1. C 2. D 3. 5˚

Unidad 3

100˚100˚67˚

90˚140˚

109˚


173Solucionario

Página 78

4.

Página 79

2.

3. a) x = 130˚ b) x = 72˚ c) x = 170˚

4. 720˚; 2 520˚; 360˚; 1 440˚

Página 80

1. a) Regular c) Regular e) No regularb) No regular d) Regular f) No regular

Página 81

2.


1. D 2. D 3. z = 140˚ 4. x = 135˚

Página 85

1. a) 14 triángulos; 11 triángulos.b) 35 diagonales; 119 diagonales; sí.

Página 88

1. C 2. C. 3. A4. C 5. D 6. C

Página 89

7. x = 129˚, y = 136˚, z = 51˚


1. a) = 0,1 c) = 0,2 e) = 0,3

b) = 0,5 d) = 0,24 f) = 0,0375

2. a) 0,1 d) 4, 57 g) 0,0073 b) 0,35 e) 0,406 h) 2,4913c) 0,25 f) 1,304 i) 0,00005

4. a) d) g)

b) e) h)

c) f)

Página 93

5. a) 16 g) 5,355 m) 0,06b) 6,75 h) 2,5 n) 0,09 c) 0,02 i) 2,34 ñ) 2 d) 1 j) 2,71 o) 1,1 e) 158 k) 0,352 p) 0,069 f) 0,618 l) 0,41305 q) 0,0032

Página 94

1.

Página 95

1. a) b) c) 15 tiros

5. a) c) e)

b) d) f)

5 3 3 • 180˚ = 540˚6 4 4 • 180˚ = 720˚7 5 5 • 180˚ = 900˚8 6 6 • 180˚ = 1 080˚

4 • 180˚ – 360˚ = 360˚540˚ 5 • 180˚ – 540˚ = 360˚720˚ 6 • 180˚ – 720˚ = 360˚900˚ 7 • 180˚ – 900˚ = 360˚

1 080˚ 8 • 180˚ – 1 080˚= 360˚

56789

10

108˚120˚128,6˚135˚140˚154˚

90˚72˚60˚51,4˚45˚40˚26˚

Unidad 4

11012

15625

3103

80

535

104

1224

2228

12100

1100830

32329

181545

110

1020832

24401470

13131228


174 Matemática 6

Página 97

1.

2. a) 48 c) 0,1b) 0,0625 d) 0,075

3. a) 18 b) 10, el doble c) 25, la mitad

4. a) 75% b) 65% c) 25%

5. a) 0,06 c) 0,15b) 0,3 d) 0,5

Página 99

1. a) 0,35, 35% c) 0,15, 15%b) 0,7, 70% d) 0,1, 10%

2. a) , 0,25, 25%

b) , 0,5, 50%

c) , 0,4, 40%

4. No son correctos, porque representan más del 100%.

Página 101

1. a) 15 d) 505 g) 270b) 1 077 e) 300 h) 35 c) 125 f) 2 645

2. a) 10 c) 75%b) 30

3. a) 600 c) 120b) 300 d) 15%

Página 102

1. a) 9 c) 105 e) 330b) 1 080 d) 2 188, 8 f) 300

2. a) 3 848 000 hombres b) 172,5 ; 230 ; 287, 5 ; 575c) $ 256 000; 1 333


1. B

2. C

3. $ 11 250

4. a) 900 kilogramos b) No

Página 104

1. 25%

2. 1 782 euros

3. $ 27 000

Página 105

4. CasaBonita

Página 106

1. Ambos descuentos son iguales.

2.

Página 107

3. a) El de $ 499 990

4. $ 3 960 000

5. $ 250 640

6. a) $ 9 600 b) $ 9 120 c) No

7. a) $ 1 080 b) $ 636

Fracción con denominador 100

Fracción irreductible

Número decimal

Porcentaje

0,45

0,25

0,8

7

0,9

45%

25%

80%

700%

80%

1020

92014457010910

451008010070010090100

% de descuento

Descuentoen $

Total apagar

15

5

5

15

10

2 699

448

225

1 050

1 249

$ 15 921

$ 8 503

$ 4 265

$ 5 950

$ 11 241

141225


175Solucionario

8. a) $ 931 b) $ 5 530

Página 109

1.

2. a)

Página 110

1. B

Página 111

2. C

3. El de $ 630 000

4. b) 315

Página 113

1. a) $ 64 800 b) $ 97 152c) $ 23 800 , $ 33 600 , $ 5 600

2. a) $ 17 400b) $ 214 200, $ 220 626, $ 36 771

Página 116

1. C 2. C 3. B 4. D5. A 6. C 7. D 8. C

Página 117

9. a) Sí. b) 0,11 c)


1. a) 5 c) 32 e) 1b) 24 d) 9 f) 30

2. a) mcm (4, 8) = 8b) mcm (7,5) = 35c) mcm (5,20) = 20d) mcm (12,48) = 48e) mcm (14,42) = 42f) mcm (14,28 y 56) = 56 g) mcm (6,12 y 2) = 12h) mcm (45,15 y 35) = 315

3. a) 31 d) 190 g) 250b) 20 e) 86 h) 255c) 24 f) 54

4. a) 6 c) 521 e) 590b) 260 d) 520 f) 2 563

5. a) V c) V e) Vb) F d) F f) V

Página 121

6. a) 335 c) 3 388 e) 257b) 21 d) 6 f) 62

Página 122

1. a) a – 14 c) 3 (a + 8) e) 2x –

b) x + 28 d) x – f) n – 1

Página 123

2. a) m – 7 c) 45 – m b) m + 15 d) 3 m

3. a) 13 d) 9 g) 23b) 3 e) 18 h) 42c) 7 f) 20

música Cantidad de personas

226,8˚64,8˚25,2˚18˚

3,6˚21,6˚

Apoderados Porcentajes Ángulos (grados)

clásicarockPop

Reggaeton

6080

140

120

Cantidad de personasBebidasJugosLeche

Agua

1448896

72

1350

Unidad 5

x6

x3


176 Matemática 6

4. a) a + b = 42 c) = 45 e) 8a = 168

b) 2x = 96 d) 3x = 2x + 24 f) =

5. a) 4 cm c) 14 cm e) 12 cmb) 20 cm d) 7 cm f) 12 cm

Página 124

2. a) Sí c) No e) Nob) No d) Sí f) Sí

Página 127

1. a) x = 134 f) z = 13 k) y = 32b) y = 28 g) v = 11 l) u = 41c) x = 22 h) x = 27 m) x = 23d) z = 444 i) x = 18 n) z = 62e) z = 192 j) x = 8

2. a) 73 d) 370 g) 20 y 35b) 24 e) 9, 24, 18 h) 3 mc) 70 f) $ 85 i) $ 1 800

Página 128

1. a) x = 8 f) x = 22 k) x = 103

b) x = 72 g) x = l) x = 16

c) x = 8 h) x = 5 m) x = 15d) x = 4 i) x = 16 n) x = 38e) x = 11 j) x = 10

Página 129

2. a) x = 12 b) x = 6 c) x = 24 d) x = 26 e) $ 250 y $ 750 f) x = 600 y 1800g) 12 dulces y 24 chocolatesh) x = 12 y 36 i) $ 225, $ 590

Página 131

1. a) x = 8 l) z = 5b) y = 9 m) u = 1c) y = 9 n) x = 50

d) x = 42 ñ) y =

e) x = 18 o) z = 2f) z = 20 p) u = 20g) x = 13 q) v = 3h) u = 8 r) v = 2 i) x = 10 s) x = 20

j) y = t) x = 0

k) v = 25 u) x = 18

2. a) Largo = 20 m y P = 64 mb) Javiera tiene 20 años c) 36 chocolates d) A = 192 m2

e) 90º

Página 132

1. a) Hombres 7 ; Mujeres 14 ; Niños 21

Página 133

b) 28, $ 20 000 e) Sala 1: 47, Sala 2: 27c) 8 cm f) 6d) $ 2 500

MI PROGRESO

1. B2. A3. a) 28 + x = 42

b) 14, no porque la nota máxima es 7.c) 5

Página 135

1. a) x = 2 d) 82 y 83b) 95º y 175º e) 14 y 28 añosc) 16 y 8

15513

y3

2x5

x10

12

332


177Solucionario

3. a) De miel 16 y de menta 32.b) x = 8 c) 24, 25 y 26.d) 6 gatos y 3 perros.e) 3 arañas, 4 matapiojos y 2 chicharras.

Página 138

1. B 2. C 3. B 4. B5. C 6. C 7. B 8. C

Página 139

9. a) x + 3 = 2x – 2b) 5 m, sí.

10. Debe pagar $ 70 000

11. 32 años


1. a) d) g)

b) e) h)

c) f)

2. a) 20% d) 25% g) 66,6%b) 60% e) 33,3% h) 20%c) 50% f) 62,5%

3. a) d) g)

b) e) h)

c) f)

4. a) 37, 47, 49, 49, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 55, 63

b) 1,6 ; 2,0 ; 3,3 ; 3,3 ; 3,8 ; 4,0 ; 4,2 ; 4,2 ; 4,9 ; 5,2 ; 6,1 ; 6,9

c) 137; 142; 144; 146; 150; 162 ; 163; 165; 166; 171; 175

d) 189; 190; 197; 198; 200; 202; 205; 210; 213; 219; 241

5. a) No es seguro. b) No es seguro. c) Es seguro.

Página 143

6. a) Sacar una pelotita amarilla o una azul o una roja.b) Sacar una pelotita roja. c) Por ejemplo, sacar una pelotita blanca.

7. Que salga un número par.

8. Cuantitativa discreta: solo toma valores enteros.Cuantitativa continua: puede tomar valores decimales.

9. Es igualmente probable.

10. Cuantitativa: se refiere a cantidades.Cualitativa: se refiere a cualidades de un objeto.

Página 145

1. a) Cuantitativas b) Cuantitativas c) Cuantitativas

2. a) Alumnos de su colegio.b) Un grupo de alumnos de su colegio.c) Cantidad de horas destinadas al deporte,

variable cuantitativa.

Página 147

1. a) 5,8 b) 6,6 c) más bajo: 4,6 más alto: 6,1

2. a) 130 cm b) 36 kg

3. a) 39,6 b) Cantidad de países por continente es 40, porque

no se puede hablar de 39,6 países.

4. promedio: 21 aproximadamente; aumenta el promedio a 29 aproximadamente.

Página 149

1. a) 7 b) Da el mismo resultado

2. a) 16 b) 2 y 4


1. C

2. B

3. a) 45 personas c) Nob) No d) Negro

Unidad 6

51418

1256

417

14

8251011

310920

2125425

34

12

125910


4. a) 4,11 b) 4 c) 3

Página 153

1. a) La cantidad promedio que asisten los espectadoresal cine.

b) 86% aproximado

2. a) 6,9 personas de 100; 6 personas de 100b) aumentado

3. a) disminuido b) 3 429 libros

4. a) 5 000 000 de niñosb) entre 135 y 162 preescolaresc) Que la probabilidad de ser obeso en edad escolar

es de 1 caso cada 5 niños.

Página 157

1. a) 2 alumnos b) Ninguno c) 3 alumnos d)

2. a) 12 matrimonios.b) Un matrimonio tiene 7 hijos.c) 4 matrimonios.

3. a) 7 días.b) 2 días.c)

4. a) 2 madres.b) 2 madres.c)

178 Matemática 6

Cantidad de librosCantidad de estudiantes

3 4 5 6 7 8 92 4 8 4 3 1 3

Cantidad de hijosCantidad de matrimonios

0 1 2 3 4 5 6 74 9 12 10 8 4 2 1

Temperatura máximaCantidad de días

27 28 29 30 31 32 33 341 2 6 7 8 3 3 1

Edad de la madre Cantidad

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

2

1

2

0

2

2

3

1

3

2

2

1

2

2

3

2

2

2

2

2

0

1

0

0

0

0

0

1


Página 159

1. a)

b) c) No d)

e)

f) g) Pregunta abierta

h) La probabilidad es de 0,6


1. D

2. C

3. a) 12 y 8

b) ; ; ;

Página 163

1. a) 26; 28,5b) 10%

2. a) Media aritmética: 36,3 ; mediana: 39,5; moda: 23

b) 74 000

Página 166

1. D

2. B

3. C

4. D

5. C

6. D

7. C

8. Media aritmética: 3,35 Mediana: 3,5 Moda: 4

179Solucionario

725

825

425

625

AdivinóNo adivinó

713

AdivinóNo adivinó

105

720

1015

720


180 Matemática 6

Bibliografía

• Mineduc. Objetivos Fundamentales y ContenidosMínimos Obligatorios de la Educación Básica.Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. ObjetivosFundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios.Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007.

Material CRA• Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica en

educación matemática. Grupo EditorialIberoamérica, México, 1995, 1ª ed.

Profundiza uno de los aspectos característicos de laescuela francesa de didáctica de las matemáticas: la ingeniería didáctica, que desarrolla el área de laeducación matemática con una doble función, la investigación que ha utilizado metodologías externas a la clase y la metodología de la investigación específica.

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1997.1ª ed. [r. 1996]

Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico como herramientapara expresar generalizaciones y resolver problemas,e introducir la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. EdicionesPirámide, España, 1995, 2ª ed.

El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de pensamientoes una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes de la Matemática en este ámbito.

• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1996, 1ª ed.

Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticasdesde el nivel básico hasta el universitario.

• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997,1ª ed.

El autor propone una estrategia pedagógica queimplica la comprensión del desarrollo de los sujetos,el proceso de construcción y estructuración lógicade los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas.

• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático.International Thompson Editores, México, 1997, 1ªed.

Organizado en cinco capítulos, el texto trata elmodelo de Polya y presenta estrategias utilizadaspara resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas.

• Steen, Lynn. La enseñanza agradable de lasmatemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed.

Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes deque los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México,1995, 1ª ed.

Guía básica que sugiere técnicas y habilidades parala enseñanza de las matemáticas; incluye aspectosque abarcan desde la preparación y desarrollo deuna clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

Libros• Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la

matemática”, en Enseñanza de la Matemática.Selección bibliográfica, traducción para el PTFD,MCyE, 1994.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental.Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993.

• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias deaprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo ala docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994.


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• Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas quehacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.

• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números.Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.

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• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. EdicionesMartínez Roca S.A., Barcelona, 1987.

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• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje.Morata, Madrid, 1990.

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• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos ymatemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicossuperiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995.

• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividadespara implementar los Objetivos FundamentalesTransversales. Lom Ediciones, 2001.


182 Matemática 6

RECURSOS TECNOLÓGICOS

Software educativos

• SÚPER MIX MAT 3 - 4

Es un programa para apoyar la enseñanza de lamatemática. La metodología que utiliza este software, se sustenta en principios didácticos basados en la actividad y la libre experimentación.

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha28.html

• MATEMATIX

Es una herramienta creada para el estudio y comprensión de la matemática. Funciona como unlaboratorio, lo que nos permite organizar, clasificar,cuantificar, analizar y asimilar la información dispersa. Pretende dotar y capacitar a los estudiantesde las herramientas que permiten que puedan desenvolverte satisfactoriamente en el mundo científico y tecnológico.

http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Ficha30.html

• ¿CÓMO EVALUAR EL PENSAMIENTO?

Niveles Educativos: NM1 -– NM2 - NM3 - NM4

Desarrolla los OFT.

http://www2.redenlaces.cl/webeducativos/pensamiento/menu.htm

Páginas web

• Ministerio de educación de Chile

http://www.mineduc.cl

• La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer la profesión docente, mediante el aprovechamiento delas capacidades de los profesionales previamenteacreditados como docentes de excelencia, contribuyendo así al desarrollo profesional del conjunto de los docentes de aula.

http://www.rmm.cl

• Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación e Investigaciones Pedagógicas.

http://www.cpeip.cl

• Centro Comenius. Software educativos, en especialde matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH.

http://www.comenius.usach.cl

• El Paraíso de las Matemáticas

http://www.matematicas.net

• Enlaces a Matemáticas básicas para niños, publicaciones y programas educativos. Debate, entretenimiento (juegos matemáticos) y bibliografía.

http://www.arrakis.es/~mcj

• Entretenimiento, recursos y enlaces. Software, libros, Escher, Fibonacci: el Número de Oro. Problemas: taller de matemáticas. IRC: canal sobreeducación.

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4

• Recursos matemáticos Redemat

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Base de datos de documentos para Educación.

http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm

• REDUC: Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base dedatos sobre investigaciones, textos completos,recortes de prensa.

http://www.reduc.cl

• Sociedad de matemática de Chile

http://www.mat.puc.cl/~socmat

• Recursos matemáticos Redemat

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofreceen este web una gran cantidad de informaciónsobre matemáticas, desde congresos a los que te puedes apuntar por correo electrónico hastamonográficos de autores famosos que tratan sobrela materia.


183Bibliografía

http://www.emis.de

• Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones y experiencias en matemática respecto de los contenidos que se trabajan enseñanza media.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes

Buscador recomendado

• Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las áreas. Incluye buscador.

http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente


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6º

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Año 2

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EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

Javiera Setz Mena

MATEMATICA 6 22/7/09 15:39 Page 1

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6 Basico - Matematica - Santillana - Estudiante