A. PENGERTIANBentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = (,) A. PERSAMAAN LINEAR Persamaan umum + = (). Contoh soal: tentukan solusi umum dari +3 = + Penyelesaian: Kita mencari

A. PENGERTIAN

Persamaan DIFERENSIAL dapat didefinisikan sebagai persamaan yang

memuat satu atau lebih turunan-turunan. Sedangkan yang dimaksud dengan

persamaan sendiri adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda

sama dengan.

B. KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pembagian persamaan diferensial ada 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial sebagian. Pembagian persamaan diferensial ini

berdasarkan bergantung pada satu atau beberapa variabel bebas yang

digunakan dalam persamaan tersebut. Contoh persamaan diferensial biasa:( ) + ( ) + ( ) = ( ), sedangkan contoh persamaan diferensial

sebagian: ( , )+ ( , ) = 0C. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

Sistem persamaan diferensial merupakan kumpulan dari persamaan

diferensial dan mempunyai suatu solusi dari kumpulan persamaan diferensial

tersebut.

D. ORDER PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. PENGERTIAN




sama dengan.









tersebut.


A. PENGERTIAN




sama dengan.









tersebut.


Order persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan

yang muncul dalam persamaan. Contoh: carilah order persamaan diferensial

berikut + + 2 = sin ( ), diperoleh order persamaan diferensial

diatas adalah 2.

E. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Contoh soal:

Buktikan bahwa y1(t)= cos(t), dan y2(t)= sin(t) merupakan solusi dari′′ + = 0.

Penyelesaian:

y1(t)= cos(t)

y1′(t) = − sin(t)y1′′( ) = −cos ( )Jadi diperoleh y1′′( ) + y1 = −cos( ) + cos( ) = 0 (terbukti)

y2(t)=sin(t)

y2′( ) = cos( )y2′′( ) = −sin ( )Jadi diperoleh y2′′( )+ y2 = − sin( ) + sin( ) = 0 (terbukti)

F. PERSAMAAN LINEAR DAN TAK LINEAR

Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang berbentuk

Sebagai berikut: ( ) ( ) + ( ) ( ) +⋯+ ( ) = ( ) sedangkan

persamaan yang tidak memenuhi bentuk yang demikian itu dinamakan

persamaan diferensial tidak linear. Contoh persamaan diferensial linear+ 2 = 1 sedangkan contoh persamaan diferensial tidak linear += 0

Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = ( , )A. PERSAMAAN LINEAR

Persamaan umum + ( ) = ( ).Contoh soal: tentukan solusi umum dari + 3 = +Penyelesaian:

Kita mencari faktor integral terlebih dahulu

Diperoleh faktor integral= ( ) = ∫ = .

Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita

peroleh + 3 = +⟺ ( . ) = +⟺ . = ∫ . + ∫⟺ . = + ∫ ( )⟺ . = + . + +⟺ = + + +Jadi solusi umumnya: = + + +Contoh soal: tentukan solusi khhusus dari − = 2 , (0) = 1













Penyelesaian:


Diperoleh ( ) = ∫ =Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita

peroleh + = 2⟺ ( . ) = 2⟺ . = 2∫⟺ . = 2∫ ( )⟺ . = 2 + 2∫⟺ . = 2 + 2 +⟺ = 2 + 2 +Jadi solusi umumnya: ⟺ = 2 + 2 +Substitusikan syarat (0) = 1, sehingga diperoleh:⟺ 1 = 2 +⟺ = −1Jadi solusi khususnya: ⟺ = 2 + 2 −

B. PERSAMAAN TERPISAH

Persamaan umum = ( , )Contoh soal: tentukan solusi umum dari =Penyelesaian:= ⟺ (1 − ) = ⟺ ∫(1 − ) = ∫ ⟺ −= ⟺ 3 − = ⟺ = .Jadi solusi umumnya: = .Contoh soal: tentukan solusi khusus dari = (1 − 2 ) , (0) = −Penyelesaian:

Soa kita ubah ke dalam bentuk = (1 − 2 ) .

Sehingga kita peroleh = (1 − 2 ) ⟺ ∫ = ∫(1 −2 ) ⟺ = − +Setelah itu kita masukkan syarat (0) = −Sehingga kita peroleh = − .

Jadi solusi khususnya: = − −C. PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI

Persamaan umum + ( ) = ( )Contoh soal: tentukan persamaan umum dari − =Penyelesaian:− = dibagi dengan

Jelas diperoleh − = ………………………………(∗)Tulis = ⟺ = −4 ………………………………(∗∗)Substitusikan (∗∗) ke (∗)Jelas diperoleh − − = ⟺ + = 4 ………………(∗∗∗)Setelah ini kita bisa menggunakan cara untuk menyelesaikan persamaan

linear.

Faktor integral: ( ) = ∫ =Kalikan (∗∗∗)dengan faktor integral sehingga diperoleh+ = 4⟺ ( ) = 4⟺ = ∫ 4⟺ = ∫4 ( )⟺ = 4 − 4∫⟺ = 4 − 4 +ℎ ℎ = 4 − 4 +Jadi = 4 − 4 +

Untuk mencari solusi khusus setelah kita peroleh solusi awal kita hanya

langsung memasukkan syarat awal yang sudah tertera disoal.

D. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Persamaan umum ( , ) + ( , ) = 0Sebelum mengerjakan sebuah persamaan diferensial dengan aturan

persamaan diferensial eksak terlebih dahulu harus di cek apakah memang

persamaan diferensial tersebut perlu diselesaiakan dengan persamaan eksak.

Contoh soal:

tentukan solusi umum dari (3 + 2 + ) + ( + ) = 0Penyelesaian:

Dipunyai ( , ) = (3 + 2 + ) ⟺ = 3 + 2 + 3 dan( , ) = ( + ) ⟺ = 2Karena ≠ maka persamaan ini tidak eksak dan kalau akan

menyelesaikan dengan eksak maka harus dibentuk menjadi persaman eksak.

Contoh soal: tentukan solusi umum dari persamaan berikut ini(2 + 4 ) + (2 − 2 ) = 0Penyelesaian:

Jelas ( , ) = (2 + 4 ) ⟺ = 4 ( , ) = (2 − 2 ) ⟺ = 2Karena ≠ sehingga persamaan ini tidak eksak dan agar bisa

diselesaikan dengan PD eksak maka harus dikalikan dengan ( )=⟺ = ( )⟺ ln = ( )⟺ ln = ( ) ( − )⟺ ln = ( − )⟺ ( ) = ( − )Kalikan persamaan awal dengan ( ) = ( − ) sehingga diperoleh( − ) (2 + 4 ) + ( − )(2 − 2 ) = 0

⟺ (2 − 4 ) + (2 + 2 ) = 0………………………… (∗)(∗)diperoleh ( , ) = (2 − 4 ) ⟺ =E. PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Persamaan umum = ( , ) =

Documents

A. PENGERTIANBentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = (,) A. PERSAMAAN LINEAR Persamaan umum + = (). Contoh soal: tentukan solusi umum dari +3 = + Penyelesaian: Kita mencari