บทที่ 4 ความสัมพันธ (Relation)elearning.psru.ac.th/courses/266/บทที่4.pdf · บทที่ 4 ความสัมพันธ (Relation)

บทที่ 4

ความสัมพันธ

(Relation)

ในบทนี้เราจะนํามโนมต ิ(Concept) ที่สําคัญในวชิาคณติศาสตรและมีความจําเปนใน

การศกึษาวชิาทฤษฎีเซตเปนอยางมากนอกจากนัน้ยังเปนพื้นฐานในการศกึษาฟงกชันแมวาเรา

จะไดเคยศกึษาเรื่องความสัมพันธมาจนคุนเคยมาแลวตัง้แตระดับมัธยมศกึษาตอนปลายและใน

ระดับอุดมศกึษาปที่ 1 แตก็มิไดกลาวถงึสมบัตแิละมโนมตทิี่ควรทราบดังนัน้ในบทนี้เราจะศกึษา

มโนมตดิังกลาว

4.1 คูอันดับ (Ordered Pairs)

การสรางเซตใหมที่ไดศกึษามาแลวขางตน ไดมาจากการกําหนดเซตมาใหตั้งแต 1 เซต

ข้ึนไปแตในเนื้อหาที่จะศกึษาตอจากนี้ไปจะกลาวถึงการสรางเซตจากการกําหนดสมาชิกของ

เซตมาใหในการศกึษาคูอันดับนัน้เราสามารถศกึษา ไดดังนี้

สัจพจน 4.1.1 สัจพจนการจับคู (Pairing Axiom) สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ จะมีเซต

A ซ่ึงมีสมบัตวิาสําหรับทุก ๆ x A ก็ตอเม่ือ x a หรอื x b

ขอสังเกต จากสัจพจน 4.1.1 เราจะไดวามีเซต A โดยที่ x x A x a x b

ทฤษฎีบท 4.1.2 สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ จะมีเซต A ซ่ึงมีสมบัติวาสําหรับทุก ๆ

x A ก็ตอเม่ือ x a หรอื x b มีเพียงเซตเดยีวเทานัน้

พิสูจน ทําเปนแบบฝกหัด

82

ขอสังเกต เซต A ที่ไดมาโดยสัจพจน 4.1.1 และจากทฤษฎีบท 4.1.2 สามารถสรุปไดวามีเพียง

เซตเดยีวเทานัน้นั่นคอื ,A a b และจะไดวา ,x a b x a x b

ทฤษฎีบท 4.1.3 กําหนดให a และ b เปนสมาชิกใด ๆ จะไดวา , ,a b c d ก็ตอเม่ือ

a c b d หรอื a d b c

พิสูจน สมมตใิห , ,a b c d จะแสดงวา a c b d หรอื a d b c

เนื่องจาก ,a a b ดังนัน้ ,a c d แสดงวา

a c a d (*)

ในทํานองเดยีวกนัจะไดวา

b c b d (**)

c a c b (***)

d a d b (****)

กรณี a b

จาก (***) และ (****) จะไดวา a c b d ดังนัน้

a c b d a d b c กรณี a b

ถา a c จะไดวา b c จาก (**) และ (***) จะไดวา a c b d นัน่คอื a c b d หรอื a d b c

จาก (*) และ (***) จะไดวา a d b c นั่นคอื a c b d หรอื a d b c

สําหรับ x ใด ๆ ซ่ึง ,x a b จะไดวา

,x a b x a x b (1)

เม่ือ a c b d หรอื a d b c

กรณี a c b d

จาก (1) จะไดวา ,x a b x c x d

,x c d

ดังนัน้

83

,a b = ,c d (2)

กรณี a d b c

จาก (1) จะไดวา

,x a b x d x c

x c x d

,x c d

ดังนัน้

, ,a b c d (3)

จาก (2) และ (3) สรุปไดวา ,a b = ,c d

หมายเหต ุสมาชิก a และ b ในสัจพจนการจับคูอาจมีคาเทากันก็ไดนั่นคือสําหรับ a จะมี

,A a a เซต A ขางตนมีการกําหนดช่ือเรยีกเฉพาะลงไป ดังนี้

บทนิยาม 4.1.4 กําหนดให a เปนสมาชิกใด ๆ ,a a a และเรียก a วาเซตหนึ่ง

หนวย (Unit Set)

ขอสังเกต เซตที่มีสมาชิกตัวเดยีวเราจะเรยีกเซตหนึ่งหนวย

ทฤษฎบีท 4.1.5 สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ a b ก็ตอเม่ือ a b

พิสูจน เนื่องจาก ,a a a และ ,b b b ดังนั้น , ,a b a a b b โดย

ทฤษฎีบท 4.1.3 จะไดวา , ,a a b b a b สรุปไดวา a b a b

ขอสังเกต จากสัจพจน 4.1.1 เม่ือกําหนด a และ b มาใหจะสามารถสรางเซตไดมากมายเชน

, , , , , ,a a a b b b a b

, , , ,a b a a b และ , ,b a b เปนตน

เซตบางเซตที่สรางไวในตัวอยางขางตนจะไดใชในการสรางบทนยิามคูอันดับดังนี้

84

บทนยิาม 4.1.6 คูอันดับ (Ordered Pairs) ของสมาชิก a และ b เขียนแทนดวยสัญลักษณ

,a b คือ , ,a a b และเรียก a วาพิกัดท่ีหนึ่ง (First Coordinate) และเรียก b วา

พิกัดท่ีสอง (Second Coordinate)

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.1.6 จะพบวา , , ,b a b b a และถา a b จะเห็นไดชัดวา

, ,a b b a

ทฤษฎีบท 4.1.7 กําหนดให a และ b เปนสมาชิกใด ๆ จะไดวา , ,a b c d ก็ตอเม่ือ

a c และ b d

พิสูจน สมมตใิห , ,a b c d จะแสดงวา a c และ b d เนื่องจาก , ,a b c d

จะได , ,a a b , ,c c d การที่เซตทั้งสองเซตจะเทากันแสดงวาสมาชิกในเซตทั้ง

สองนั้นเหมือนกัน นั่นคือ a เปนสมาชิกใน , ,c c d และ ,a b เปนสมาชิกใน

, ,c c d จะได a c หรอื a ,c d

และ

,a b c หรอื ,a b ,c d

กรณีท่ี 1 a c เนื่องจาก a c ทําใหไดผลลัพธเปน a c แตเพราะวา ,a b c หรือ

,a b ,c d จะไดวาถา ,a b c และ a c จะไดวา a b c ดังนั้น a c และ

b d ถา ,a b ,c d และ a c จะไดวา b d ดังนัน้ a c และ b d

กรณีท่ี 2 a ,c d

จาก a ,c d ทําใหได a c d เรามี ,a b c หรือ ,a b ,c d จะ

ไดวาถา ,a b c จะไดวา a b c แลว a c และ b d และถา ,a b ,c d

และ a c d จะไดวา a b c d แลว a c และ b d

สมมตใิห a c และ b d จะแสดงวา , ,a b c d เห็นไดชัดเจน

85

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 4.1.7 เราจะไดวา

1. , ,a b c d a c b d

2. , ,a b c d a c b d

ตัวอยาง 4.1.8 กําหนดให ,3 4,a b จงหา , a b และ a b

วธิทํีา เนื่องจาก ,3 4,a b จะไดวา 4a และ 3b ดังนัน้ 4 3 7a b

ตัวอยาง 4.1.9 กําหนดให 1,4 3, 2a b จงหา ,a b

วธิทํีา เนื่องจาก 1,4 3, 2a b จะไดวา 1 3a และ 4 2b ดังนั้น 2a และ

6b ดังนัน้ , 2,6a b

ทฤษฎบีท 4.1.10 ถา a และ b เปนสมาชิกใด ๆ ใน A แลวจะได , ( ( ))a b P P A

พิสูจน เนื่องจาก ,a b A จะได a A และ ,a b A แสดงวา ( )a P A และ

, ( )a b P A ดังนัน้ , , ( )a a b P A นั่นคอื , ( ( ))a b P P A

ทฤษฎบีท 4.1.11 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ซ่ึงสมาชิกของเซต r คอืคูอันดับ

,a b โดยที่ a A และ b B

พิสูจน ให a A และ b B จะได a A B และ ,a b A B ดังนัน้ a P A B และ ,a b P A B

ฉะนัน้ , ,a a b P A B และได , ,a a b P A B หรือ

, ,a a b P P A B

นั่นคอื ,a b P P A B ดังนัน้เซต P P A B มีสมาชิกเปนคูอันดับ ,a b โดยที่

a A และ b B ซ่ึงเซต P P A B คอืเซต r ตามตองการ

86

แบบฝกหัด 4.1

1. จงพิสูจนวาเซต A ที่มีสมบัตวิา x x A x a x b สําหรับ ,a b คูหนึง่มี

เพียงเซตเดยีวเทานัน้

2. ถา a b แลวจงพิสูจนวา ,a b a

3. ถา a A และ b B แลวสามารถสรุปวา ,a b P P A P B หรอืไมเพราะ

เหตุใด

4. ถา a A แลวจงพิสูจนวา ,a b A B

5. กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวาเซต C ทีมี่สมบตัวิา

,x C a b a A b B x a b

มีเพียงเซตเดยีวเทานัน้

87

4.2 ผลคูณคารทีเชยีน (Cartesian Product)

สิ่งหนึ่งที่เปนพื้นฐานสําคัญในเรื่องของความสัมพันธคือคูอันดับ (Ordered Pairs) คู

อันดับนัน้เกดิข้ึนจากการเรยีงลําดับกันระหวางสิ่งสองสิ่งนั่นก็คอืคูอันดับนัน้จะตองมีสมบัตเิปน

คูและมีอันดับในตัวดวยคูอันดับแตละคูนัน้จะตองประกอบดวยสมาชิก 2 ตัวนั่นคอืสมาชิกพิกัด

ที่ 1 และสมาชิกพิกัดที่ 2 และการที่จะเปนสมาชิกพิกัดที่ 1 และสมาชิกพิกัดที่ 2 นั้นจะมีการ

แสดงอันดับที่สําคัญมาก เชน การเขียนคูอันดับของสามีกับภรรยา (ไพโรจน, ญาญา) สมาชิก

ตัวหนาคอืไพโรจนเปนสามีและสมาชิกตัวหลังคอื ญาญาเปนภรรยา จากคูอันดับนี้หากเราสลบั

ที่กันระหวางคูอันดับทั้งสองใหกลายมาเปน (ญาญา, ไพโรจน) ความหมายอันดับก็จะผิดไป

จากเดิมที่เปนอยูกลายเปนวาญาญาเปนสามีและไพโรจนเปนภรรยาซ่ึงไมถูกตอง ในทาง

คณติศาสตรมักเขียนคูอันดับในรูป ,a b โดยที่ a เปนสมาชิกพิกัดที่ 1 และ b เปนสมาชิก

พิกัดที่ 2

คูอันดับ ,a b ถอืไดวาสรางข้ึนโดยอาศัยสัจพจนที่ 4.1.1 สิ่งที่จะศึกษาตอไปคือการ

แสดงวามีเซตซ่ึงมีสมาชิกเปนคูอันดับ หรอืกลาวโดยยอวามีเซตของคูอันดับนัน้เอง

ทฤษฎบีท 4.2.1 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือจะมี

a A และ b B ซ่ึง ,x a b

พิสูจน ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามี A B และสําหรับ A B จะไดวามี

P A B และทําใหทราบตอไปอีกวามี P P A B สําหรับ P P A B จะมี r ที่มี

สมบัตวิา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b

ขอสังเกต โดยทฤษฎีบท 4.2.1 จะไดวา x P P A B เปนจรงิสําหรับทุก ๆ a A และ

b B เพราะฉะนัน้มี r ที่มีคุณสมบัตวิา

,x r a b a A b B x a b

สําหรับเซต A และ B คูหนึ่งเซต r ที่มีสมบัตติามที่กลาวไวในทฤษฎีบท 4.2.1 ก็จะสามารถ

พิสูจนไดโดยงายมีเพียงเซตเดยีวเทานัน้นั่นคอื

88

ทฤษฎีบท 4.2.2 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือมี

a A และ b B ซ่ึง ,x a b เพียงเซตเดยีวเทานัน้

พิสูจน จากทฤษฎีบท 4.2.1 เราจะไดวามีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ

b B ซ่ึง ,x a b ตอไปเราจะแสดงวามีเซต r เพียงเซตเดียวเทานั้น ให *r มีสมบัติวา

*x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b ดังนัน้ *r r สามารถสรุปไดวาจะมีเซต

r ที่มีสมบัตวิา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b เพียงเซตเดยีวเทานัน้

บทนิยาม 4.2.3 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคูณคารทีเชียน (Cartesian

Product) ของเซต A กับ B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A B คือเซตของคูอันดับ ,a b

ทัง้หมดเม่ือ a A และ b B ในกรณทีี่ A B เราจะเขียน 2A แทน A A

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.2.3 เราจะไดวา

1. ( , ) |A B a b a A b B

2. ,a b A B a A b B

3. ,a b A B a A b B

ตัวอยาง 4.2.4 กําหนดให 1,2,3A และ ,B a b จงหา , ,A B B A A A และ

B B

วธิทํีา 1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3,A B a b a b a b

,1 , ,1 , , 2 , , 2 , ,3 , ,3B A a b a b a b

1,1 , 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 2,3 , 3,1 , 3, 2 , 3,3A A

, , , , , , ,B B a a a b b a b b

ตัวอยาง 4.2.5 กําหนดให 4,5A และ 3,6B จงพิจารณาขอความ 4,6 A B และ 4,5 A B เปนจรงิหรอืไม

วธิทํีา 4,6 A B เพราะวา 4 A และ 6 B 4,5 A B เพราะวา 5 B

89

ทฤษฎบีท 4.2.6 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B ก็ตอเม่ือ A

หรอื B

พิสูจน สมมตใิห A B จะแสดงวา A หรอื B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง

กําหนดให A และ B ดังนัน้จะมี a A และ b B แสดงวามี ,a b A B เกดิ

ขอขัดแยง สรุปไดวา A หรอื B

สมมตใิห A หรอื B จะแสดงวา A B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง

สมมุติวา A B แสดงวามี ,a b A B นั่นคือ a A และ b B ดังนั้น A

และ B เกดิขอขัดแยง สรุปไดวา A B

ทฤษฎบีท 4.2.7 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B แลวจะไดวา

(1) A C B C

(2) C A C B

พิสูจน (1) จะแสดงวา A C B C

กรณีท่ี 1 A C

เนื่องจาก A C จะไดวา A C B C

กรณีท่ี 2 A C

ให ,a b A C จะไดวา a A และ b C เนื่องจาก A B ดังนั้น a B และ

จะไดวามี a B และ b C แสดงวา ,a b B C สรุปไดวา A C B C

(2) โดยการพิสจูนทํานองเดยีวกันกับขอ (1) จะไดวา C A C B

90

ทฤษฎบีท 4.2.8 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B แลวจะไดวา

(1) A C B C

(2) C A C B

พิสูจน เนื่องจาก A B ดังนัน้ A B และ B A โดยทฤษฎีบท 4.2.7 จะได

A C B C B C A C

C A C B

C B C A

เพราะฉะนัน้ A C B C และ C A C B

ทฤษฎบีท 4.2.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) ถา A B แลว A A B B

(2) ถา A B แลว A A B B

พิสูจน (1) เนื่องจาก A B จะไดวา A A B A และ B A B B ดังนั้น

A A B B

(2) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)

ทฤษฎบีท 4.2.10 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ โดยที ่C จะไดวา

(1) ถา A C B C แลว A B

(2) ถา C A C B แลว A B

(3) ถา A C B C แลว A B

(4) ถา C A C B แลว A B

พิสูจน (1) จะแสดงวา A B

กรณีท่ี 1 A

จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B

91

กรณีท่ี 2 A

ให a A เนื่องจาก C แสดงวามี b C ดังนั้นมี a A b C ซ่ึงทําให

,a b A C จาก A C B C จะไดวา ,a b B C แสดงวา a B b C นั่นคอื a B สรุปไดวา A B (2) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)

(3) เนื่องจาก A C B C จะไดวา A C B C และ

B C A C นั่นคอื A B และ B A สรุปไดวา A B

(4) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (3)

ขอสังเกต จากตัวอยางเกี่ยวกับผลคูณคารทีเชียนที่กลาวไวตอนตนเราพบวา A B B A

อยางไรก็ดอีาจมีกรณทีี่ A B B A ไดดังนี้

ทฤษฎบีท 4.2.11 ถา A B แลว A B B A

พิสูจน เนื่องจาก A B จะไดวา A B B B และ B A B B จากที่กลาวมา

สามารถสรุปไดวา A B B A

ขอสังเกต บทกลับของทฤษฎีบท 4.2.11 อาจไมเปนจริงเพราะวาถาให B เราจะพบวา

1, 2 1, 2,3B B แต 1, 2 1, 2,3

ทฤษฎบีท 4.2.12 กําหนดให A และ B ถา A B B A แลว A B

พิสูจน สมมุติวา A B เนื่องจาก A และ B จะไดวามี a A ซ่ึง a B และ

a A b B ซ่ึงทําให ,a b A B แต A B B A ดังนั้น ,a b B A แสดงวา

a B b A นั่นคอื a B ซ่ึงขัดแยงกับ a B สรุปไดวา A B

92

ทฤษฎบีท 4.2.13 กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) ถา A B และ C D แลว A C B D

(2) ถา A B และ C D แลว A C B D

พิสูจน (1) เพราะวา A B และ C D จะไดวา A C B C และ

B C B D

สรุปไดวา A C B D

(2) แสดงไดในทํานองเดยีวกัน

ทฤษฎบีท 4.2.14 กําหนดให , , A B C และ D เปนเซตใด ๆ ที่ไมใชเซตวางจะไดวา

(1) ถา A C B D แลว A B และ C D

(2) ถา A C B D แลว A B และ C D

พิสูจน (1) ให a A และ c C จะไดวา ,a c A C เนื่องจาก A C B D

ดังนัน้ ,a c B D แสดงวา a B และ c D สรุปไดวา A B และ C D

(2) เนื่องจาก A C B D จะไดวา A C B D และ

B D A C

ดังนั้น ,A B C D และ ,B A D C แสดงวา ,A B B A และ ,C D D C

สรุปไดวา A B และ C D

ทฤษฎบีท 4.2.15 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) A B C A B A C

(2) A B C A B A C

พิสูจน (1) เนื่องจาก

,x y A B C x A y B C

x A y B y C

x A x A y B y C

x A y B x A y C

93

( , ) ( , )x y A B x y A C

( , )x y A B A C

เพราะฉะนัน้ A B C A B A C

(2) เนื่องจาก


x A y B y C

x A y B y C

x A y B x A y C

( , ) ( , )x y A B x y A C

( , )x y A B A C

สรุปไดวา A B C A B A C

บทแทรก 4.2.16 กําหนดให A และ iB เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) 1 1

n n

i ii i

A B A B

(2) 1 1

n n

i ii i

A B A B

พิสูจน ทํานองเดยีวกันกับทฤษฎีบท 4.2.15

บทแทรก 4.2.17 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ ซ่ึง B C แลวจะไดวา

A B A C

พิสูจน เพราะวา B C ดังนัน้

A B A C A B C

A

94

ทฤษฎบีท 4.2.18 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ แลว

A B C A B A C

พิสูจน เนื่องจาก


x A y B y C

x A y B x A y C

, ,x y A B x y A C

, ,x y A B x y A C

,x y A B A C

สรุปไดวา A B C A B A C

ทฤษฎบีท 4.2.19 กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ แลวจะไดวา

A B C D A C B D

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

( , )x y A B C D ( , ) ( , )x y A B x y C D

x A y B x C y D

x A y C x B y D

( , ) ( , )x y A C x y B D

( , )x y A C B D

ดังนัน้ A B C D A C B D

95


1. ถา A B แลวจงพิสจูนวา

1.1) A B B B

1.2) B A B B

2. ถา A B B A แลวสามารถสรปุไดวา A B หรอืไมเพราะเหตุใด

3. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสจูนวา

3.1) A B C A C B C 3.2) A B C A C B C

4. ถา A B แลวสําหรับเซต C ใด ๆ จงพิสจูนวา A C และ B C

5. กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ

5.1) ถา A B และ C D แลวจงพิสูจนวา C A D B

5.2) ถา A B และ C D แลวจงพิสจูนวา C A D B

6. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา

6.1) ถา A A A แลว A

6.2) ถา A A B แลว A

6.3) A B B A ก็ตอเม่ือ A B หรอื A หรอื B

6.4) A A B B ก็ตอเม่ือ A B

6.5) A A B C A B A A A C

96

4.3 ความสัมพันธ (Relation)

กอนที่จะกลาวถึงความสัมพันธวามีความหมายวาอยางไรนัน้ เราควรพิจารณาตัวอยาง

บางตัวอยางที่แสดงใหเห็นความเกี่ยวของของสมาชิกในเซตเสยีกอน

ตัวอยาง 4.3.1 กําหนดให {A เคน, หนอย, มารกี้, ณเดช, ญาญา} เรานําสมาชิกในเซต A

มาสรางคูลําดับโดยใหสมาชิกในเซต A มีความเกี่ยวของกันคอืสามีภรรยา

วธิทํีา ความสัมพันธสามีภรรยาคือ (เคน, หนอย) ให r แทนเซตของคูอันดับที่กลาวนี้ ดังนั้น

{r (เคน, หนอย) }

ในสมัยกอนนักคณิตศาสตรเรียกเซต r นี้วากราฟของความสัมพันธซ่ึงช่ือที่เรียกนี้มี

ความเหมาะสมเฉพาะในกรณีที่เรามีเซตยอยของพื้นที่ระนาบในระบบพิกัดฉาก (Coordinate

Plane) เทานั้นในปจจุบันนี้นักคณิตศาสตรเรียกเซตวาเปนความสัมพันธอันดับ (Ordered

Relation) เพราะมีการเลอืกจับคูสมาชิก 2 ตัวตามอันดับ

บทนยิาม 4.3.2 ความสัมพันธ (Relation) คอืเซตที่มีสมาชิกเปนคูอันดับและเราจะเรียก r

วาเปนความสัมพันธจาก A ไปยัง B ก็ตอเม่ือ r A B

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.2 เราจะไดวา r เปนความสัมพันธก็ตอเม่ือ

1. r เปนเซตของคูลําดับ

2. ,z z r x y z x y

97

ตัวอยาง 4.3.3 กําหนดให 0,1, 2,3, 4,5A และ 0,1, 2,3B จงหาความสัมพันธ

ดังตอไปนี้

(1) 1 , |r a b A B a b

(2) 2 , | 2 0r a b A B a b

(3) 2 23 , | 25r a b A B a b

วธิทํีา(1) 1 0,0 , 1,1 , 2, 2 , 3,3r

(2) 2 0,0 , 2,1 , 4,2r

(3) 3 4,3 , 5,0r

ทฤษฎบีท 4.3.4 จงแสดงวา เปนความสัมพันธ

พิสูจน เนื่องจาก z เปนเท็จ ดังนัน้

,z x y z x y เปนจรงิ

สรุปไดวา เปนความสัมพันธ

ทฤษฎบีท 4.3.5 กําหนดให , A B เปนเซตใด ๆ A B เปนความสมัพันธ

พิสูจน สมมตใิห ,A B เปนเซตใด ๆ

กรณีท่ี 1 A B

โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได A B เปนความสัมพันธ

กรณีท่ี 2 A B

ให z A B จะไดวาจะมี a A และ b B ซ่ึงทําให ,z a b สามารถสรุปไดวา

A B เปนความสัมพันธ

98

ทฤษฎบีท 4.3.6 ถา r เปนความสัมพันธและ s r แลวจะไดวา s เปนความสัมพันธ

พิสูจน สมมตใิห r เปนความสัมพันธและ s r

กรณีท่ี 1 s

โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได s เปนความสัมพันธ

กรณีท่ี 2 s

เนื่องจาก s ดังนัน้เราให z s เนื่องจาก s r จะไดวา z r ดังนัน้มี ,a b

ซ่ึง ,z a b สรุปไดวา s เปนความสัมพันธ

ทฤษฎบีท 4.3.7 ถา r และ s เปนความสัมพันธจะไดวา

(1) r s เปนความสัมพันธ



พิสูจน (1) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ

กรณีท่ี 1 r s

จาก r s ดังนั้น r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปน



จาก r s ดังนัน้ r s ให z r s จะไดวา z r z s แสดงวา

z r เนื่องจาก r เปนความสัมพันธ ดังนั้นมี ,a b ซ่ึง ,z a b เพราะฉะนั้น r s เปน


(2) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ


จาก r s ดั งนั้น r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปน



จาก r s ดังนัน้ r s ให z r s จะไดวา z r z s

99

กรณีท่ี z r

เนื่องจาก r เปนความสัมพันธ ดังนัน้จะมี ,a b ซ่ึง ,z a b

กรณีท่ี z s

เนื่องจาก s เปนความสัมพันธดังนั้นมี ,c d ซ่ึง ,z c d ดังนั้น r s เปน


(3) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ


จาก r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปนความสัมพันธ


จาก r s ให z r s จะไดวา z r z s จะได z r เนื่องจาก r เปน

ความสัมพันธดังนัน้มี ,a b ซ่ึง ,z a b นั่นคอื r s เปนความสัมพันธ

บทนยิาม 4.3.8 กําหนดให r เปนความสัมพันธจาก A ไปยัง B โดเมน (Domain) ของ r

เขียนแทนดวยสัญลักษณ rD คอืเซตของ x ใน A ซ่ึง ,x y อยูใน r สําหรับ y บางตัวใน

B


1. | ( , ) ,rD x x y r y B

2. rx D ( , ) ,x y r y B

บทนยิาม 4.3.9 กําหนดให r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เรนจ (Range) ของ r เขียน

แทนดวยสัญลักษณ rR คอืเซตของ y ใน B ซ่ึง ( , )x y อยูใน r สําหรับ x บางตัวใน A


1. | ( , ) ,rR y x y r x A

2. ry R ( , ) ,x y r x A

100

ตัวอยาง 4.3.10 ถา ,1 , ( ,2), ( ,3)r a b c จงหา rD และ rR

วธิทํีา เนื่องจาก ,1 , ( ,2), ( ,3)r a b c จะไดวา

, ,rD a b c

1, 2,3rR

ตัวอยาง 4.3.11 กําหนดให 2 2

( , ) | 14 9x yr x y

จงหาโดเมนและเรนจ

วธิทํีา เนื่องจาก 2 2

( , ) | 14 9x yr x y

จะไดวา

x

y

rR

rD

ภาพท่ี 4.1 แผนภาพแสดง 2 2

14 9x y

ดังนัน้ 2, 2rD และ 3,3rR

ตัวอยาง 4.3.12 กําหนดให 2 3 2( , ) |1

xr x y yx

จงหา rD และ rR

วธิทํีา จากความสัมพันธ 123

xxy จะพบวาทุก ๆ คาที่ทําให x ที่เปนจํานวนจริงยกเวน 1

เราสามารถหาคา y ที่เปนจํานวนจริงและสอดคลองกับสมการ ดังนั้น 1rD และ

rR

101

บทตั้ง 4.3.13 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา

(1) r s rD D และ r s rR R (2) r r sD D และ r r sR R

(3) r s rD D และ r s rR R

พิสูจน (1) ให r sx D จะไดวามี y ซ่ึง ,x y r s เนื่องจาก r s r ดังนั้น

,x y r แสดงวา rx D นั้นคือ r s rD D การพิสูจน r s rR R สามารถพิสูจนไดใน

ทํานองเดยีวกัน (2) ให rx D จะไดว าจะมี y ซ่ึง ,x y r เนื่องจาก r r s ดังนั้น

,x y r s แสดงวา r sx D นั่นคอื r r sD D การพิสูจน r r sR R สามารถพิสูจน

ไดทํานองเดยีวกัน (3) ให r sx D จะ ได ว า มี y ซ่ึ ง ,x y r s เนื่ อง จาก r s r ดั งนั้ น

,x y r แสดงวา rx D นั่นคือ r s rD D การพิสูจน r s rR R สามารถทําได

ทํานองเดยีวกัน

ทฤษฎบีท 4.3.14 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา

(1) r s r sD D D

(2) r s r sR R R

พิสูจน (1) โดยบทตั้ง 4.3.13 ขอ (1) เราจะไดวา r s rD D และ r s sD D ดังนั้น

r s r sD D D (2) โดยบทตั้ง 4.3.13 ขอ (1) เราจะไดวา r s rR R และ r s sR R ดังนั้น

r s r sR R R

102


(1) r s r sD D D

(2) r s r sR R R


r sx D ,x y r s สําหรับบาง y

, ,x y r s x y r s สําหรับบาง y

r sx D x D

r sx D D

จะไดวา r s r sD D D


r sy R ,x y r s สําหรับบาง x

, ,x y r s x y r s สําหรับบาง x

r sy R y R

r sy R R

จะไดวา r s r sR R R


(1) r s r sD D D

(2) r s r sR R R

พิสูจน (1) เราจะแสดงโดยหาขอขัดแยง สมมตใิห r s r sD D D แสดงวาจะมี

r sx D D แต

r sx D r s r sx D D x D

r s r sx D x D x D

r s r sx D x D x D

~r s r sx D x D D

103

เพราะวา s r s r ss r sD D D D ดังนัน้ ~r r sx D x D เกดิขอขัดแยง แสดง

วา r s r sD D D

(2) พิสูจนในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)

ทฤษฎบีท 4.3.17 โดเมนและเรนจของ คอื

พิสูจน เราจะแสดงวา D โดยการพิสูจนหาขอขัดแยง สมมติให D ดังนั้นจะมี

x D แลวจะมี y ซ่ึง ( , )x y เกิดขอขัดแยง ดังนั้น D ในการแสดง R

ทําในทํานองเดียวกัน

บทนยิาม 4.3.18 กําหนดให r เปนความสัมพันธตัวผกผนั (Inverse) ของ r เขียนแทนดวย

สัญลกัษณ 1r คอืความสัมพันธซ่ึง 1,y x r ก็ตอเม่ือ ,x y r

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.18 เราจะได

1. 1 ( , ) | ( , )r y x x y r 2. 1, ( , )y x r x y r

ตัวอยาง 4.3.19 กําหนดให , , , 1,2,3A a b c B และ

( ,1), ( ,2), ( ,3), ( , 2), ( , 2), ( ,3)r a a a b c c

จงหา 1r

วธิทํีา เนื่องจาก ( ,1), ( ,2), ( ,3), ( , 2), ( , 2), ( ,3)r a a a b c c จะไดวา

1 (1, ), (2, ), (3, ), (2, ), (2, ), (3, )r a a a b c c

ทฤษฎบีท 4.3.20 กําหนดให เปนความสัมพันธจะไดวา 1

พิสูจน จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง ดังนั้นสมมติให 1 ดังนั้นจะมี 1,y x แลว

,x y แต ,x y เกดิขอขัดแยง จะได 1

104

ทฤษฎบีท 4.3.21 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ จะได 11r r

พิสูจน เนื่องจาก

11,x y r 1,y x r

,x y r

นั่นคอื 11r r


(1) 1 1 1r s r s

(2) 1 1 1r s r s

(3) 1 1 1r s r s


1,y x r s ,x y r s

, ,x y r x y s

1 1, ,y x r y x s

1 1,y x r s

นั่นคอื 1 1 1r s r s


1,y x r s ,x y r s

, ,x y r x y s

1 1, ,y x r y x s

1 1,y x r s นั่นคอื 1 1 1r s r s

105


1,y x r s ,x y r s

, ,x y r x y s

, ,x y r x y s

1 1, ,y x r y x s

1 1,y x r s

นั่นคอื 1 1 1r s r s

ทฤษฎบีท 4.3.22 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) 1A A A A

(2) 1A B B A


1,y x A A ,x y A A

x A y A

y A x A

( , )y x A A

นั่นคอื 1A A A A


1,y x A B ( , )x y A B

x A y B

y B x A

( , )y x B A

นั่นคอื 1A B B A

106

ทฤษฎบีท 4.3.23 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา

(1) 1 rrD R

(2) 1 rrR D


1rx D 1,x y r สําหรับบาง y

,y x r สําหรับบาง y

rx R

ดังนัน้ 1 rrD R


1rx R 1,y x r สําหรับบาง y

,x y r สําหรับบาง y

rx D

นั่นคอื 1 rrR D


1. จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้

1.1) , | 5 2r x y y x

1.2) , | 3 2r x y y x

1.3) 2, |2xr x y y

x

1.4) 2, | 2 1r x y y x

1.5) 2 2, | 1r x y y x

2. จงหา 1r ของความสัมพันธในแตละขอในขอ 1

3. จงแสดง A B C A B C

107

4.4 ความสัมพนัธสมมูล (Equivalence)

จากบทนิยามความสัมพันธ r ในเซตของ A ไป B เม่ือ r A B ในกรณีที่

A B เราจะกลาววา r เปนความสัมพันธใน A ซ่ึงสามารถกําหนดบทนยิามไดดังนี้

บทนิยาม 4.4.1 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให r เปนความสัมพันธเรียก r วาเปน

ความสัมพันธในเซต A ก็ตอเม่ือ r เปนเซตยอยของ A A

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.4.1 เราจะไดวา r วาเปนความสัมพันธในเซต A ก็ตอเม่ือ

, | ,r x y x y A

ตัวอยาง 4.4.2 กําหนดให 1, 2,3,4A จงพิจารณาความสัมพันธตอไปนี้เปนความสัมพันธ

ใน A หรอืไม

(1) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4r

(2) 1, 2 , 2,3 , 3, 4r

วธิทํีา (1) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4r เปนความสัมพันธใน A

(2) 1, 2 , 2,3 , 3, 4r เปนความสัมพันธใน A

บทนยิาม 4.4.3 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะกลาววา

1. r มีสมบัตสิะทอน (Reflexive) ถา ( , )x x r สําหรับสมาชิก x ทุกตัวใน A

2. r มีสมบัตสิมมาตร (Symmetric) ถา ( , ) ( , )x y r y x r

3. r มีสมบัตถิายทอด (Transitive) ถา ( , ) ( , ) ( , )x y r y z r x z r

108

ตัวอยาง 4.4.4 กําหนดให เปนเซตของจํานวนเต็มและให เปนความสัมพันธใน โดย

2( , ) | x y x y

จะแสดงไดวา มีสมบัตสิะทอน สมมาตร และถายทอด

พิสูจน ให , ,x y z

1. สําหรับทุก ๆ x เราจะไดวา x x ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตสิะทอน

2. ถา x y แลวจะได y x ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตสิมมาตร

3. ถา x y และ y z แลว x z ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตถิายทอด

บทนิยาม 4.4.5 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A เราจะกลาววา r เปน

ความสัมพันธสมมูล (Equivalence) ก็ตอเม่ือ r มีสมบัติสะทอนสมมาตรและ ถายทอด

ตัวอยาง 4.4.6 กําหนดให เปนเซตของจํานวนเต็ม และให เปนความสัมพันธใน โดย

2( , ) | x y x y

จะแสดงไดวา เปนความสัมพันธสมมูล

พิสูจน จากตัวอยาง 4.4.4 จะได เปนความสัมพันธสมมูล

ตัวอยาง 4.4.7 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให เปนความสัมพันธใน ( )P A แลว

เปนความสัมพันธสมมูลหรอืไม

พิสูจน กําหนดให X และ Y เปนสมาชิกคูใด ๆ ใน ( )P A และให X Y จะเห็นไดวาในบาง

กรณอีาจจะไมไดวา Y X ก็ไดเชน X และ Y ดังนัน้ Y X แสดงวา ไมมี

สมบัตสิมมาตร นัน่คอื ( )P A ไมเปนความสัมพันธสมมูล

109

ทฤษฎบีท 4.4.8 กําหนดให A จะได A A เปนความสัมพันธสมมูลใน A

พิสูจน (1) สําหรับทุก ๆ x A เราจะไดวา ,x x A A ดังนัน้ A A มีสมบัตสิะทอน

(2) ถา ,x y A A แลว 1,y x A A แต 1A A A A ดั งนั้น

,y x A A ดังนัน้ A A มีสมบัตสิมมาตร (3) เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

, ,x y A A y z A A x A y A y A z A

x A z A

,x z A A

ดังนัน้ A A มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะได A A เปนความสัมพันธสมมูลใน A

ทฤษฎีบท 4.4.9 กําหนดให A และ , |Ai x y A A y x จะไดวา Ai เปน

ความสัมพันธสมมูล

พิสูจน (1) สําหรับทุก ๆ x A เราจะไดวา x x ดังนัน้ , Ax x i จะได Ai มีสมบัตสิะทอน

(2) ถา , Ax y i แลวจะได x y ดังนั้น y x จะได , Ay x i แสดงวา Ai มี

สมบัตสิมมาตร

(3) ถา , Ax y i และ , Ay z i แลว x y และ y z ดังนั้น x z จะได

, Ax z i แสดงวา Ai มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะได Ai เปนความสัมพันธสมมูล

หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 4.4.9 ในกรณทีี่ไมเกดิความสับสนเราจะเขียน i แทน Ai และตํารา

บางเลมอาจใชสัญลักษณอ่ืน ๆ เชน ,AI I

110

ทฤษฎบีท 4.4.10 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะไดวา r มีสมบัตสิมมาตร

ก็ตอเม่ือ 1r r

พิสูจน สมมติให r มีสมบัตสิมมาตรจะแสดงวา 1r r เนื่องจาก

1,x y r ,y x r

,x y r

ดังนัน้ 1r r

สมมตใิห 1r r จะแสดงวา r มีสมบัตสิมมาตร เนื่องจาก

,x y r 1,y x r

,y x r

จงึไดวา r มีสมบัตสิมมาตร

บทตั้ง 4.4.11 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะไดวา r มีสมบัติสะทอนก็ตอเม่ือ

1r มีสมบัตสิะทอน

พิสูจน สมมติให r มีสมบัติสะทอนจะแสดงวา 1r มีสมบัติสะทอนจาก r มีสมบัติ

สะทอน ดังนัน้ ( , )x x r จะไดวา 1( , )x x r นั่นคอื 1r มีสมบัตสิะทอน

สมมตใิห 1r มีสมบัตสิะทอนจะแสดงวา r มีสมบัตสิะทอนจาก 1r มีสมบัติ

สะทอนดังนัน้ 1( , )x x r จะไดวา ( , )x x r นั่นคอื r มีสมบัตสิะทอน

บทตั้ง 4.4.12 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r มีสมบัติสมมาตรก็

ตอเม่ือ 1r มีสมบัตสิมมาตร

พิสูจน สมมติให r มีสมบัติสมมาตรจะแสดงวา 1r มีสมบัติสมมาตรให 1( , )x y r

ดังนัน้ ( , )y x r แต r มีสมบัตสิมมาตรดังนัน้ ( , )x y r นั่นคือ 1( , )y x r สรุปไดวา 1r

มีสมบัตสิมมาตร

111

สมมติให 1r มีสมบัติสมมาตรจะแสดงวา r มีสมบัติสมมาตรให ( , )x y r

ดังนัน้ 1( , )y x r แต 1r มีสมบัตสิมมาตรดังนัน้ 1( , )x y r นั่นคอื ( , )y x r สรุปไดวา

r มีสมบัตสิมมาตร

บทตั้ง 4.4.13 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r มีสมบัติถายทอดก็

ตอเม่ือ 1r มีสมบัตถิายทอด

พิสูจน สมมติให r มีสมบัติถายทอดจะแสดงวา 1r มีสมบัติถายทอด ให 1( , )x y r

และ 1( , )y z r ดังนั้น ( , )y x r และ ( , )z y r แต r มีสมบัติถายทอดดังนั้น ( , )z x r

นั่นคอื 1( , )x z r สรุปไดวา 1r มีสมบัติถายทอด

สมมติให 1r มีสมบัติถายทอดจะแสดงวา r มีสมบัติถายทอด ให ( , )x y r

และ ( , )y z r ดังนั้น 1( , )y x r และ 1( , )z y r แต 1r มีสมบัติถายทอดดังนั้น

1( , )z x r นั่นคอื ( , )x z r สรุปไดวา r มีสมบัติถายทอด

ทฤษฎีบท 4.4.14 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r เปน

ความสัมพันธสมมูลก็ตอเม่ือ 1r เปนความสัมพันธสมมูล

พิสูจน ไดโดยตรงจากบทตัง้ 4.4.11, บทตัง้ 4.4.12 และบทตัง้ 4.4.13

บทนยิาม 4.4.15 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A เราจะเรียก r วามีสมบัติ

ตอตานสมมาตร (Anti - Symmetric Relation) ก็ตอเม่ือสําหรับทุก ๆ ( , )x y A A ถา

( , )x y r และ ( , )y x r แลว x y

ตัวอยาง 4.4.16 กําหนดให A และ , |Ai x y A A y x จะไดวา Ai มีสมบัติ

ตอตานสมมาตร

พิสูจน ให ( , )x y r และ ( , )y x r จะไดวา x y และ y x ดังนั้น x y นั่นคือ Ai มี

สมบัตติอตานสมมาตร

112

ตัวอยาง 4.4.17 กําหนดให 1, 2,3,4A กําหนดความสัมพันธใน A โดย

(1,3), (4, 2), (4,4), (2, 4)r

จงพิจารณาวา r มีสมบัตติอตานสมมาตรหรอืไม

วิธีทํา จะเห็นไดวา (4,2) r และ (2,4) r แต 2 4 จึงสรุปไดวา r ไมมีสมบัติตอตาน

สมมาตร

ทฤษฎีบท 4.4.18 กําหนดให A และ r เปนความสัมพันธในเซต A จะได r มีสมบัติ

ตอตานสมมาตรก็ตอเม่ือ 1r r i

พิสูจน สมมตใิห r มีสมบัตติอตานสมมาตรจะแสดงวา 1r r i เนื่องจาก

1,x y r r 1, ,x y r x y r

, ,x y r y x r

x y

,x y i

นั่นคอื 1r r i

สมมติให 1r r i จะแสดงวา r มีคุณสมบัติตอตานสมมาตร ให ,x y r

และ ,y x r จะไดวา ,x y r และ 1,x y r ดังนัน้ 1,x y r r แต 1r r i

แสดงวา ,x y i นั่นคอื x y สรุปไดวา r มีสมบัตติอตานสมมาตร

ทฤษฎบีท 4.4.19 กําหนดให m และให r เปนความสัมพันธสมภาค (Congruence) มอ

ดุโล (Modulo) m ใน ซ่ึงนยิามดังนี้ a สมภาค b มอดูโล m ก็ตอเม่ือ m หาร a b ลง

ตัวใชสัญลักษณ moda b m แทน a สมภาค b มอดูโล m ดังนัน้

( , ) | modr a b a b m

จงแสดงวา r เปนความสัมพันธสมมูล

พิสูจน (1) สําหรับจํานวนเต็ม a ใด ๆ เราจะไดวา m หาร 0a a ลงตัวเสมอ ดังนั้น

( , )a a r จะไดวา r มีสมบัตสิะทอน

113

(2) เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

,a b r moda b m

|m a b

;a b mk k

a b mk

( )b a m k

|m b a

modb a m

,b a r

จะไดวา r มีสมบัติสมมาตร

(3) เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

, ,a b r b c r mod moda b m b c m

mod moda b m c b m

moda c b b m

0 moda c m

moda c m

,a c r

จะไดวา r มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะไดวา r เปนความสัมพันธสมมูล

114


1. ความสัมพันธตอไปนี้เปนความสัมพันธสมมูลหรอืไม

1.1) บนเซต



1.4) 2( , ) | 10r x y x y

1.5) 2, |2xr x y y

x

2. กําหนดให A และ r เปนความสัมพันธในเซต A จะได r มีสมบัติตอตานก็ตอเม่ือ

1r มีสมบัตติอตานสมมาตร

3. กําหนดให เปนเซตของจํานวนจรงินยิามความสัมพันธใน 2 ดังนี้

, ~ ,a b c d a d b c จงแสดงวา ~ เปนความสัมพันธสมมูล

4. ความสัมพันธตอไปนี้เปนความสมพันธสมมูลหรอืไม

4.1) , |r x y x y

4.2) , | 2r x y x y k

115

4.5 ชั้นสมมูล (Equivalence Class)

ในหัวขอ 4.4 เราไดศึกษาความสัมพันธสมมูลกันมาแลวในหัวขอนี้เราจะศึกษา

ความสมัพันธสมมูลที่มีสมบัติเฉพาะและเปนพื้นฐานที่สําคัญในการศกึษาวชิาคณติศาสตร

บทนยิาม 4.5.1 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A ให

| ,y x A x y r

เราจะเรยีก y วาช้ันสมมูล (Equivalence Class) ของ y เทยีบกับ r

หมายเหต ุจากบทนยิาม 4.5.1 ช้ันสมมูลของ y อาจเขียนแทนดวย , ry r y หรอื y

ตัวอยาง 4.5.2 กําหนดให 1,2,3A และ 1,1 , 2, 2 , 3,3 , (1, 2), (2,1)r จงหา

1 , 2 และ 3

วธิีทํา เนื่องจาก

1 | ,1x A x r

1,2

2 | , 2x A x r

1,2

3 | ,3x A x r

3

ดังนัน้ 1 1, 2 , 2 1, 2 และ 3 3

116

ตัวอยาง 4.5.3 กําหนดให ( , ) | mod5r a b a b จงหา 0 , 1 , 2 , 3 และ

4

วธิทํีา โดยบทนยิามของช้ันสมมูลจะไดวา

0 | ,0x A x r

| 0 mod 5x x

, 10, 5,0,5,10,

1 | ,1x A x r

| 1 mod5x x

, 14, 9, 4,1,6,11,

2 | , 2x A x r

| 2 mod5x x

, 13, 8, 3, 2,7,12,

3 | ,3x A x r

| 3 mod5x x

, 12, 7, 2,3,8,13,

4 | , 4x A x r

| 4 mod5x x

, 11, 6, 1, 4,9,14,

ทฤษฎบีท 4.5.4 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับสมาชิกทุกตัวในเซต

A จะได y และ y y

พิสูจน จากบทนยิามของ y เห็นไดชัดเจนวา y และจาก r เปนความสัมพันธสมมูล

แสดงวา r มีสมบัตสิะทอน ดงันัน้ ,y y r จะไดวา y y

117

ทฤษฎบีท 4.5.5 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A ถา x y แลว y x

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

a y ,a y r

,y a r

แตเรามี x y ดังนัน้ ,x y r เนื่องจาก

, ,y a r x y r ,x a r

,a x r

a x

นั่นคอื y x ตอไปจะแสดงวา x y เนื่องจากสําหรับทุก ๆ a x แลว ,a x r

แตเรามี x y จะไดวา ,x y r นั่นคอื

, ,a x r x y r ,a y r

a y

แสดงวา x y จากที่กลาวมาสรุปไดวา y x

ทฤษฎีบท 4.5.6 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับแตละสมาชิก

,x y A จะได y x ก็ตอเม่ือ ( , )x y r

พิสูจน สมมตใิห y x จะแสดงวา ( , )x y r เนื่องจาก y x ดังนั้นถา a x

แลว a y หรืออาจกลาววาถา ( , )a x r แลว ( , )a y r นั่นคือถา ( , )x a r แลว

( , )a y r จาก r เปนความสัมพันธสมมูลจะไดวา ( , )x y r

สมมติให ( , )x y r จะแสดงวา y x จาก ( , )x y r เราจะไดวา x y

จากทฤษฎีบท 4.4.5 จะไดวา y x

118

ทฤษฎีบท 4.5.7 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับแตละสมาชิก

,x y A จะได x y หรอื y x อยางใดอยางหนึ่ง

พิสูจน สมมติให x y จะแสดงวา y x ดังนั้นจะมี a x y จะไดวา

a x และ a y จากทฤษฎีบท 4.4.5 จะไดวา a x และ a y นั่นคือ

y x

ทฤษฎบีท 4.5.8 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A จะไดวาทุก ๆ ยูเนียน

ของทุก ๆ ช้ันสมมูลที่เกดิจากทุก ๆ สมาชิก y A เทากับเซต A

พิสูจน จะแสดงวา y A

y A

เห็นไดชัดวา y A

y A

ให y A จะไดวา y y ดังนัน้

y A

y y y

สรุปวา y A

y A


1. เปนความสัมพันธช้ันสมมูลหรอืไมจงอธบิาย

2. จากตัวอยาง 4.5.3 จงแสดงวา 0 , 1 , 2 , 3, , 4P เปนช้ันสมมูล

3. กําหนดให | modP x a x m เปนช้ันสมมูล

119

4.6 ความสัมพันธประกอบ (Composite Relation)

จากหัวขอที่ผานมาเราไดศึกษาความหมายและสมบัติของความสัมพันธนอกจาก

ความสัมพันธดังกลาวเรายังสรางความสัมพันธจากความสัมพันธเดมิไดดังนี้

บทนยิาม 4.6.1 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1r A B และ 2r B C

เรียก 2 1r r วาเปนความสัมพันธประกอบ (Composite Relation) จาก A ไปยัง C ก็

ตอเม่ือ 2 1 1 2, | , ,r r x z A C x y r y z r

ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.6.1 เราจะได 2 1 1 2( , ) , , ;x y r r x y r y z r z B

ตัวอยาง 4.6.2 กําหนดให 1, 2,3 , , , ,A B a b c d และ 5,6,7C กําหนด


1 (1, ), (2, ), 3, , (3, )r a a b c

2 ( ,5), ,6 , ( ,7)r a b c

จงหา 1 2r r และ 2 1r r

วธิทํีา จากนยิามความสัมพันธประกอบจะไดวา

1. 2 1 (1,5), (2,5), 3,6 , (3,7)r r

2. 1 2r r

ขอสังเกต จากตัวอยาง 4.6.2 เราจะไดวา 2 1 1 2r r r r

120

ทฤษฎีบท 4.6.3 กําหนดให , , A B C และ D เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1 2, r A B r B C

และ 3r C D แลว 3 2 1 3 2 1r r r r r r

พิสูจน เห็นไดชัดวา 3 2 1r r r และ 3 2 1r r r ตางเปนความสัมพันธประกอบจาก A ไป

D เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

3 2 1( , )x y r r r 1 3 2, , ;x w r w y r r w B

1 2 3, , , ; ,x w r w z r z y r w B z C

1 2 3, , , ; ,x w r w z r z y r w B z C

2 1 3, , ;x z r r z y r z C

3 2 1,x y r r r

ดังนัน้ 3 2 1 3 2 1r r r r r r

หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 4.6.3 เราจะไดวา 3 2 1 3 2 1r r r r r r ดังนั้นเราอาจเขียน

ความสัมพันธ 3 2 1r r r แทนความสัมพันธ 3 2 1 3 2 1, r r r r r r

ทฤษฎบีท 4.6.4 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1r A A และ 2r A A ถา 1r และ

2r มีสมบัตสิะทอนแลว 2 1r r มีสมบัตสิะทอน

พิสูจน จาก 1r และ 2r มีสมบัตสิะทอนดงันัน้ 1( , )x x r และ 2( , )x x r จะได 2 1( , )x x r r

ดังนัน้ 2 1r r มีสมบัตสิะทอน

121


1. กําหนดความสัมพันธ ir ดังนี้ 1 , | 5 2r x y y x

2 , | 3 2r x y y x

32, |

2xr x y y

x

24 , | 2 1r x y y x

2 25 , | 1r x y y x

จงหา 1.1) 1 2r r

1.2) 3 4r r

1.3) 3 4 5r r r

1.4) 13 1 1r r r

1.5) 13 1r r r

4.7 ผลแบงกัน้ (Partition)

ผลแบงกัน้เปนเรื่องของการแบงเซต ๆ หนึ่งออกเปนเซตยอยโดยแตละเซตยอยเหลานัน้

มีสมบัตพิิเศษเฉพาะซ่ึงสามารถศกึษาไดจากบทนยิาม ดังตอไปนี้

บทนิยาม 4.7.1 กําหนดใหเซต A ผลแบงก้ัน (Partition) ของ A เขียนแทนดวย P

คอืเซตยอยของ ( )P A ซ่ึงมีสมบัตดิังนี้

1. ถา X P แลว X

2. ถา 1 2,X X P แลว 1 2X X

3. X P

X A

122

ขอสังเกต จากบทนิยาม 4.7.1 เราอาจจะกลาวไดวาผลแบงกั้น P ของเซต A เปนเซตของ

เซตยอยของ A ซ่ึงเซตยอยเหลานัน้ไมเปนเซตวางและมีสมบัตวิาเซตทุก ๆ คูใด ๆ ใน P ไมมี

สมาชิกรวมกันเลย (Disjoint) และแตละสมาชิกในเซต A จะตองเปนสมาชิกของเซตบางเซตใน

P เสมอ

ตวัอยาง 4.7.2 กําหนดให 1,2,3A จงแสดงวา 1 , 2 , 3P เปนผลแบงกั้นของ

A

พิสูจน จาก 1 , 2 , 3P เห็นไดชัดวาสมาชิกของ P แตละตัวไมใชเซตวาง พิจารณา

1 2

2 3

1 3

1 2 3 A

ดังนัน้ P เปนผลแบงกัน้ของ A

ตัวอยาง 4.7.3 กําหนดให 0,1, 2,3, 4A จงแสดงวา 1, 2 , 3, 4 , 0,1P เปนผล

แบงกัน้ของ A หรอืไม

พิสูจน เนื่องจาก 1, 2 0,1 1 ดังนัน้ P ไมเปนผลแบงกัน้ของ A

123

ทฤษฎีบท 4.7.4 ทฤษฎีบทพ้ืนฐานท่ีเกี่ยวกับความสัมพันธสมมูล (Fundamental

Theorem on Equivalence Relation) กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให r เปน

ความสัมพันธสมมูลในเซต A จะไดเซตของช้ันสมมูลทั้งหมดที่เกิดจาก r เปนผลแบงกั้นของ

เซต A และถา P เปนผลแบงกั้นของเซต A และ ( , ) | , ;s x y x y B B P จะได s

เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A

พิสูจน จะแสดงวาช้ันสมมูลทั้งหมดที่เกดิจาก r เปนผลแบงกัน้ของเซต A ให P เปนเซตของ

ผลแบงกัน้ทัง้หมดของเซต A ทัง้หมดที่เกดิจาก r นั่นคอื |P y y A

(1) เพราะวา y y ดังนัน้ y สําหรับทุก ๆ y A

(2) ให ,a b P จะไดวา a b สําหรับทุก a b

(3) จากทฤษฎีบท 4.5.8 จะไดวา y A

y A

จาก (1) – (3) จะไดวาช้ันสมมูลทัง้หมดที่เกดิจาก r เปนผลแบงกัน้ของเซต A จะแสดงวา s

เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A

(1) ให a A เนื่องจาก P เปนผลแบงกั้นของเซต A ดังนั้นจะมี B P ซ่ึง a B

นั่นคอื ,a a s จะไดวา s มีสมบัตสิะทอน

(2) ให ,a b s จะไดวามี B P ซ่ึง ,a b B แสดงวามี B P ซ่ึง ,b a B จะ

ไดวา ,b a s นั่นคอื s มีสมบัตสิมมาตร

(3) ให ,a b s และ ,b c s จะไดวามี ,B C P ซ่ึง ,a b B และ ,b c C

ดังนั้น B C เพราะมีสมาชิก b B b C จะไดวา B C ดังนั้นมีเซต B ซ่ึง

,a c B จะไดวา ,a c s นั่นคือ s มีสมบัติถายทอด จาก (1)-(3) สรุปวา s เปน

ความสมัพันธสมมูลในเซต A

124


1. ให n และ | 5 ,nA m m q n q จงแสดงวา |nP A n เปนผล

แบงกัน้ของ

2. กําหนดให | 0nP A n ในแตละขอตอไปนี้เปนผลแบงกั้นของ หรือไมจง

อธบิาย

2.1) ( , ) |nA x y y x n

2.2) 2 2( , ) |nA x y x y n

3. จงแสดงวา |aA a เปนผลแบงกัน้ของ เม่ือ

2( , ) |aA x y y a x

4.8 บทสรุป

ในการศกึษาความสัมพันธซ่ึงเปนการศกึษา คูอันดับ ผลคูณคารทีเซียน ความสัมพันธ

ความสัมพันธสมมูล ช้ันสมมูล ความสัมพันธประกอบ และผลแบงกั้นเราไดศึกษาความหมาย

และสมบัตติาง ๆ ซ่ึงจะเปนพื้นฐานในการศกึษาฟงกชัน

เอกสารอางองิ

คณาจารยภาควิชาคณิตศาสตร. คณิตศาสตรเบื้องตน. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2538).

นวลอนงค อิทธิจีระจรัส. ทฤษฎีเซตเบื้องตน. ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยเชียงใหม.

ปยรัตน จาตุรันตบุตร. หลักการคณิตศาสตร. จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, (2547).

มานะ เอกจรยิวงศ. ทฤษฎีเซต. ศูนยตําราและเอกสารทางวิชาการ สถาบันราชภัฏเทพสตร ี

ลพบุรี, (2542).

มานัส บุญยัง. ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตรสัญลักษณ. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยรามคําแหง.

125

ราชบัณฑติยสถาน. ศัพทคณิตศาสตร. (พิมพครัง้ที ่9). กรงุเทพ ฯ: สหมิตรพริ้นติ้ง, (2553).

วรางคณา รองมะรุด และสมศักดิ์ บุญมาเลิส. พีชคณิต. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร


สมสวาท สุดสาคร. ตรรกศาสตรและทฤษฎีเซต. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร


สุเทพ ทองอยู. ทฤษฎเีซต. กรุงเทพ ฯ: มหาวทิยาลัยศรนีครนิทรวโิรฒ ประสานมิตร, (2524).

Enderton, Herbert B. Elements of Set Theory. New York: Academic Press, (1977).

Katalin Karolyi. Introductory Set. M.Sc. program in mathematics.

Lipschutz, Seymour. Set Theory. New York: Schaum Publishing Company, (1964).

Thomas Jech. Set Theory. The Third Millennium Edition,revised and expanded.

Documents

บทที่ 4 ความสัมพันธ (Relation)elearning.psru.ac.th/courses/266/บทที่4.pdf · บทที่ 4 ความสัมพันธ (Relation)