รายงานการวจย เรอง

การวจยและพฒนารปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

โดย รองศาสตราจารยอบล กลองกระโทก

ไดรบทนอดหนนจากมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ปงบประมาณ 2555

รายงานการวจย เรอง

การวจยและพฒนารปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

โดย

รองศาสตราจารยอบล กลองกระโทก คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

ไดรบทนอดหนนจากมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ปงบประมาณ 2555

ค าน า

การวจยและพฒนารปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะ วทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา เปนสวนหนงในการพฒนาการเรยนการ สอนวชาคณตศาสตรระดบสงโดยเฉพาะเรอง แคลคลส เปนการยกระดบความสามารถของนกศกษา นกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ทจะตองใชเทคนคการหาปรพนธในการศกษาเนอหาของวชาเฉพาะตอไป รายงานการวจยนมรายละเอยดเกยวกบผลทไดจากการวจย ทผเรยนและผสอนในระดบ มหาวทยาลยสามารถน าไปใชประโยชนไดโดยงาย ซงจะมเอกสารประกอบการสอน แบบฝกทกษะ วดโอ พรอมทงแบบวดและประเมนผล ผวจยหวงเปนอยางยงวาสงทไดทมเทกบการวจยในครงน จะเปนประโยชนตอ คร อาจารย นกเรยน นกศกษาหรอผทเกยวของทงหลายและหากเกดขอพกพรองผวจยพรอม ทจะรบขอเสนอแนะ และจะน ามาปรบปรงแกไขและพฒนาเพอเกดประโยชนสงสดของการศกษาตอไป

อบล กลองกระโทก 27 เมษายน 2556

บทคดยอ

ชอรายงานการวจย : การวจยและพฒนารปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและ วดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏ สวนสนนทา ชอผวจย : รองศาสตราจารยอบล กลองกระโทก ปทท าการวจย : 2555 การศกษาวจยครงนเปนการวจยเพอพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและ วดโอ รายวชาแคลคลส 2 ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 เพอเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของนกศกษากอนและหลงการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ และส ารวจความคดเหนดานคณตศาสตร หลงจากเรยนดวยชด เทคนค การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ผลทไดจากการวจยในครงนประกอบดวย เอกสารประกอบ การเรยนชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ จ านวน 50 ตวอยางแตละตวอยางจะมแบบฝกทกษะดวยปญหาทมลกษณะคลายกบตวอยาง และมวดโอประกอบซงสรางโดยวธการจบภาพเปนวดโอ รวมเทคนคการหาปรพนธทงหมด 6 แบบ ท าใหคนพบวาคะแนนของแบบทดสอบหลงเรยนสงกวาคะแนนทดสอบกอนเรยนดวยชดชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ อยางมนยส าคญ ทระดบ .01 และความคดเหนดานการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรของนกศกษาดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ มความพงพอใจในระดบมาก จงนบวาชดชดเทคนคการหา ปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ทผวจยสรางขนสามารถน าไปใชประกอบการเรยนการสอนรายวชา แคลคลส เรองเทคนคการหาปรพนธไดอยางมประสทธภาพตอไป

Abstract

Research Title : The Research and Development of Techniques to Integrate using the Training Skills and Videos of the Students at Faculty of Science and Technology, Rajaphat Suansunundha University. Author : Assoc Prof. Ubol Klongkratoke Year : 2012

The study was conducted to develop techniques for integration using training skills and videos of students in the Faculty of Science and Technology, Semester 1 Year 2012.To compare the achievement of students before and after studying with the techniques of integration by using the training skills and videos, Opinion in mathematics. After learning the technique for integration using the training skills and videos. The results of the research in this study consists of a series of technical documents for integration using the training skills and videos and 50 samples, each sample is a practice with a problem similar to the example. The video is created by how to capture the video. Include techniques of integration makes the discovery that all six methods higher than the posttest scores with pretest series, techniques of integration using the training skills and videos , significant at the .01 level, and opinions on teaching mathematics to students with the techniques of integration by using the training skills and videos. satisfaction level using the training skills and videos were created to be used for teaching calculus course technique for integration more effectively next.

กตตกรรมประกาศ

การวจยเรองนส าเรจลลวงไปดวยความชวยเหลออยางดยงจากโครงการอดหนนการวจยจาก ส านกวจยและพฒนา มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา และนกศกษาชนปท 2 คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลบราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 สาขาวชาวทยาศาสตร และเทคโนโลย คณาจารยในสาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ ภาควชาวทยาศาสตรและทกคนทใหความรวมมอในการเกบรวมรวมขอมลเปนอยางด อกทงครอบครวอนเปนทรกและความภาคภมใจทไดใหก าลงใจและเสยสละเวลาของครอบครว เพอให ขาพเจาไดทมเทเวลาในการท างานวจยชนน ขอใหประโยชนอนพงไดรบจากงานวจยในครงนเปนของผทมสวนเกยวของทก ๆ คน ทงทได กลาวไวและผทมไดกลาวไวทก ๆ ทาน อบล กลองกระโทก สาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา 27 เมษายน 2556

สารบญ หนา

บทคดยอ (2) ABSTRACT (3) กตตกรรมประกาศ (4) ค าน า (5) สารบญ (6) สารบญภาพ (8) สารบญตาราง (9) บทท 1 บทน า 1

ความเปนมาและความส าคญของปญหา 1 วตถประสงคของการวจย 2 สมมตฐานของการวจย 2 ขอบเขตของการวจย 2 ขอจ ากดของการวจย 2 ประโยชนทคาดวาจะไดจากการวจย 2 ค านยามหรอศพทเฉพาะ 3

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ 4 การเรยนการสอนคณตศาสตร 4 เทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลส 6 แบบฝกทกษะและวดโอ 12 งานวจยทเกยวของ 14

บทท 3 วธด าเนนการวจย 17 ประชากรและกลมตวอยาง 17 เครองมอทใชในการวจยและวธการสรางเครองมอ 17 การเกบรวบรวมขอมล 19 การวเคราะหขอมล 20 สถตทใชในการวเคราะหขอมล บทท 4 ผลการวเคราะหขอมล 23 ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 23 การเปรยบเทยบคะแนนของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 27 การส ารวจความคดเหนของนกศกษาหลงการเรยนดวยชดเทคนค 27 การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ บทท 5 สรปผลการวจย อภปรายผลและขอเสนอแนะ 29 สรปผลการวจย 29 อภปรายผลการวจย 31

หนา

ขอเสนอแนะ 33 บรรณานกรม 34 ภาคผนวก 37 ภาคผนวก ก เอกสารประกอบการเรยนชดเทคนคการหาปรพนธโดยใช

แบบฝกทกษะและวดโอ 38 ภาคผนวก ข เฉลยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 99 ภาคผนวก ค แบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน เรอง เทคนคการหาปรพนธ

ของนกศกษาชนปท 2 คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ภาคผนวก ง แบบส ารวจความคดเหนดานคณตศาสตร ภาคผนวก จ CD แสดงวดโอชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

ประวตผท ารายงานการวจย

สารบญภาพ หนา

ภาพท 1 หนาเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ 20 ภาพท 2 แสดงค าอธบายตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน 23 ภาพท 3 แสดงค าอธบายแบบฝกทกษะของตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน 24 ภาพท 4 แสดงวดโอตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน 24 ภาพท 5 แสดงค าอธบายตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน 25 ภาพท 6 แสดงค าอธบายแบบฝกทกษะของตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน 25 ภาพท 7 แสดงค าวดโอตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน 26 ภาพท 8 แสดงหนาเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ 26

สารบญตาราง หนา

ตาราง1 ผลการวเคราะหคะแนนกอนการเรยนและหลงการเรยนดวยชดเทคนค 27 การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ตาราง 2 คาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และคาสมประสทธการแปรผนของแบบ 28 ส ารวจความคดเหนของนกศกษาทมตอการเรยนการสอนหลงจากทเรยน ดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

ประวตผวจย ชอ นายอบล กลองกระโทก ต าแหนง รองศาสตราจารย ระดบ 9 หวหนาภาควชาวทยาศาสตร ทท างาน สาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ ภาควชาวทยาศาสตร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ทอยปจจบน 11/83 ซอยส าโรงเหนอ 13 หม 9 ถนนสขมวท 113 (วดดานส าโรง)

ต าบล ส าโรงเหนอ อ าเภอ เมอง จงหวดสมทรปราการ เกด วนท 20 ธนวาคม 2497 อ าเภอ เมอง จงหวดนครราชสมา การศกษา กศ.บ. (คณตศาสตร) มศว. ประสานมตร พ.ศ. 2520 กศ.ม. (คณตศาสตร) มศว. ประสานมตร พ.ศ. 2526 ผลงาน 1. คณตศาสตรส าหรบวทยาศาสตร 2 2. คณตศาสตรส าหรบวทยาศาสตร 3 3. แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1 4. การวเคราะหจ านวนเชงซอนเบองตน 5. การพฒนารปแบบการฝกทกษะ การคดค านวณวชาคณตศาสตร ส าหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 1 6. คณตศาสตรส าหรบการสอบเขามหาวทยาลย 7. การส ารวจเมทรกซของการแปลงโดยใชเรขาคณตแบบพลวต 8. การแกโจทยปญหาคาสงสดต าสดของฟงกชนโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP)

9. การพฒนาสอการสอนวชาคณตศาสตรเรอง ความรเบองตนเกยวกบ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย โดยใช The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 10 การวจยและพฒนาทกษะพนฐานดานคณตศาสตรออนไลนของนกศกษาชนปท 1 คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก

ภาคผนวก ข

ภาคผนวก ค

ภาคผนวก ง

CD แสดง วดโอค าอธบายแบบฝกทกษะ ดานคณตศาสตรพนฐาน

ค ำน ำ เอกสารประกอบการเรยน เรอง เทคนคการหาปรพนธฉบบน สรางขนเพอเปนเอกสาร ประกอบการเรยนรายวชา MAT1402 แคลคลส 2 ซงกลาวถงเทคนคการหาปรพนธแบบตาง ๆ ไดแก การหาปรพนธของฟงกชนพนฐาน การหาปรพนธโดยแทนคา การหาปรพนธโดยแยกสวน การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ และการหาปรพนธไมตรงแบบ ซงนกศกษาจะตองใชรวมกบ วดโอ ทบรรยายเทคนคตาง ๆ ไวโดยละเอยด จงจะท าใหเกดความเขาใจมากขนและท าใหมความรพนฐานในการศกษาหวขอตอ ๆ ได ผแตงหวงเปนอยางยงวาเอกสารเลมนจะน ามาซงประโยชนแกนกศกษาโดยตรง รองศาสตราจารยอบล กลองกระโทก 1 มถนายน 2555

www.ssru.ac.th

สำรบญ

หนำ ค าน า I สารบญ II สตรพนฐานการหาอนพนธของฟงกชน 1

ทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน 1 แบบฝกทกษะ เรอง การหาอนพนธของฟงกชน 4 ทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน 6 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธของฟงกชน 9 การหาปรพนธโดยแทนคา 11 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแทนคา 15 การหาปรพนธโดยแยกสวน 18 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแยกสวน 25 การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต 32 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต 45 การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต 49 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต 55 การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย 59 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย 64 การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ 68 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ 70 การหาปรพนธไมตรงแบบ 73 แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธไมตรงแบบ 77 สรปสตร เทคนคการหาปรพนธ 81 วดโอ เรอง เทคนคการหาปรพนธ 86

www.ssru.ac.th

บทท 1 บทน า

ความเปนมาและความส าคญของปญหา คณตศาสตรเปนวชาทมความส าคญเปนอยางยงในการสรางและพฒนาความคดของคนเราเพอ ใหเปนผทรจกมความคดวเคราะหอยางเปนเหตเปนผล รจกการน าความรและการวเคราะหเชงตวเลข ไปใชในชวตประจ าวนได ส าหรบผทมความสามารถพเศษดานคณตศาสตร ยงสามารถใชความรดานคณตศาสตรไปใชในการประกอบอาชพชนสงได เชนอาชพนกการบญช นกเศรษฐศาสตร วศวกร นกคณตศาสตรประกนภย เปนตน ประเทศชาตพยายามทจะสงเสรมใหนกเรยนนกศกษาในระดบชนตาง ๆ หนมาเรยนคณตศาสตรและวทยาศาสตรใหมากขน ดวยการเพมแรงจงใจใหทนการศกษาตงแตระดบมธยมศกษาตอนปลายจนกระทงถงระดบปรญญาเอก แตกยงไมประสบความส าเรจเทาทควรยงตองหาแนวทางในการสงเสรมตอไปถงแมวารฐบาลจะสงเสรมอยางไรกตามคงไมส าเรจอยางแนนอน เนองจาก การสรางพนฐานการเรยนทางดานคณตศาสตรยงไมมขบวนการจดการเรยนรทมประสทธภาพภาพคน ทเกงคณตศาสตรกจะเกงมากขนเรอย ๆ สวนคนทเรยนคณตศาสตรออนกยงไมสามารถทจะศกษาวชาคณตศาสตรใหเขาใจและน าไปเปนพนฐานในการศกษาตอในระดบทสงขนในหลาย ๆ วชาโดยเฉพาะ ทางดานวทยาศาสตรซงจ าเปนตองมความรพนฐานดานคณตศาสตรเปนอยางด โดยเฉพาะอยางยงวชา แคลคลส นกศกษาของมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย หลาย สาขา วชา เชน คณตศาสตรสารสนเทศ ฟสกส เคม ชววทยา สถตประยกต เทคโนโลยชวภาพ และวทยาศาสตรและเทคโนโลยการอาหาร จะตองเรยนรายวชาบงคบทงแคลคลส 1 และแคลคลส 2 ซงเนอหาทง 2 รายวชาน เปนพนฐานในการศกษาและประยกตใชในศาสตรของตนทงสน เนอหาทส าคญมากทสดกคอ การหาปรพนธหรออาจจะเรยกอกอยางหนงวาการอนทเกรต (Integration) เพราะวาเนอหาดงกลาวเปนพนฐานในการศกษาวชาวทยาศาสตรเกอบทงหมดกวาได จากการประเมนผลการเรยนการสอนใน มคอ. 5 ในแตละภาคการศกษาทผานชใหเหนถงความลมเหลวในการจดการเรยนการสอนในรายวชาแคลคลส ทง 2 วชา นกศกษาสอบไมผานและยงตองลงทะเบยนเรยนซ าอกอยางนอย 1 ครง บางคนอาจเปนสาเหตหนงทท าใหตองถกใหออกกลางคนไดเพราะวาคะแนนเฉลยสะสมไมอยใ นเกณฑ สญเสยทงเวลาและงบประมาณ อาจารยผสอนคงตองทบทวนบทบาทของการจดการเรยนการสอนใหเกดประสทธภาพและประโยชนสงสดกบผเรยน จะยงคงยดรปแบบการสอนแบบเดมทใชผสอนเปนศนยกลางและท าหนาทในการถายทอดแตเพยงผเดยวคงไมได สงคมและเทคโนโลยของการเรยนร เปลยนแปลงไปอยางรวดเรว วทยาการใหม ๆ มบทบาทตอการจดการเรยนรคอนขางมาก ดงนนผวจยจง มความสนใจทจะพฒนารปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยเนนผเรยนเปนส าคญ และรปแบบดงกลาวจะตองน าเทคโนโลยมาใช ผเรยนสามารถฝกทกษะดวยตนเองไดจากงายไปหาอยาก ไมจ ากดเวลา จ านวนครงทเรยน จ านวนนกศกษาและสถานท อกทงหวงเปนอยางยงวารปแบบการจดการเรยนการสอนดวยรปแบบเทคนคการหาปรพนธทวจยและพฒนาขนในครงนจะมประสทธภาพเพยงพอทจะเปนแบบอยางในการพฒนาเนอหาดานคณตศาสตรอน ๆ ตอไป

www.ssru.ac.th

2

วตถประสงคของการวจย 1.เพอสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธวชาแคลคลสของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา 2.เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาแคลคลสเรองเทคนคการหาปรพนธกอนและหลงการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและ เทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา 3.เพอศกษาความคดเหนของนกศกษาตอรปแบบเทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลสของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา สมมตฐานของการวจย

1. ชดเทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลสในระดบอดมศกษา ส าหรบนกศกษาคณะ วทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา มประสทธภาพตามเกณฑมาตรฐาน 70/70 2. ผลสมฤทธทางการเรยนวชาแคลคลส ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา เรองเทคนคการหาปรพนธหลงการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลสสงกวาผลสมฤทธกอนการเรยน 3. นกศกษาทไดเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลสม ความคดเหนอยในระดบด ขอบเขตของการวจย ประชากร เปนนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 ทลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 กลมตวอยาง ไดมาจากการ สมอยางงาย จากนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 จ านวน 36 คน ขอจ ากดของการวจย ความรพนฐานนกศกษาชนปท 2 คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย อยในระดบออนถง ปานกลางเพราะวา บางคนไมไดจบหลกสตรมธยมศกษาตอนปลายสายคณตศาสตร – วทยาศาสตร และในการเรยนเทคนคการหาปรพนธดวยแบบฝกทกษะและวดโอ นกศกษาควรจะสามารถหาเครองคอมพวเตอรเพอประกอบการเรยน ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการวจย 1. ไดรปแบบเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ เปนนวตกรรมประกอบการเรยนการสอนวชา แคลคลส ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ในระดบอดมศกษา 2. มหาวทยาลยราชภฏหรอสถาบนอดมศกษาตาง ๆ สามารถน าชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ประกอบการเรยน การสอนวชาแคลคลส ได 3. บทความทางวชาการเพอเผยแพรชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

www.ssru.ac.th

3

ค านยามหรอศพทเฉพาะ เทคนคการหาปรพนธแบบฝกทกษะและวดโอ หมายถงวธการหาปรพนธของฟงกชนตาง ๆ ดวยวธ

การแทนคา แยกสวน ฟงกชนตรโกณมต แทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต แยกเปนเศษสวนยอยและการหาปรพนธไมตรงแบบ โดยใชแบบฝกทกษะทประกอบดวยค าอธบายเนอหาพนฐานทจ าเปน อธบายหลกการ ทฤษฎบท ตวอยาง แบบฝกทคลายตวอยางและแบบฝกทกษะดวยตนเอง ซงเนอหาทงหมดนจะ มวดโอบรรยายประกอบและเฉลยแบบฝกทกษะเฉพาะค าตอบ ทผวจยไดสรางและพฒนามาเปนเอกสารประกอบการเรยนการสอนวชา แคลคลส 2 เรองเทคนคการหาปรพนธ

www.ssru.ac.th

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

ผวจยไดศกษา คนควา เอกสารและงานวจยทเกยวของเพอใชประกอบการพฒนา ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอเปนหวขอดงตอไปน การเรยนการสอนคณตศาสตร เทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลส แบบฝกทกษะและวดโอ งานวจยทเกยวของ การเรยนการสอนคณตศาสตร การเรยนคณตศาสตร เปนกระบวนการทผเรยนแตละคนสามารถรบสงทเรยน เขามาเปน พฤตกรรมใหมของตนพฤตกรรมดงกลาวสามารถสงเกตเหนไดจากการทผเรยนแตละละคนปฏบต ในขณะทเรยน การสอนคณตศาสตร เปนการท าใหเกดขนไดโดยขนอยกบโครงสรางของอปกรณการสอน การ กระตนและการสรางเงอนไขใหกบผเรยนจดมงหมายของกระบวนการสอนคอการชกจงและการชวยให ผเรยนสามารถรบเอาพฤตกรรมใหมไปปฏบตได การเรยนการสอนเพอทจะท าใหผเรยนเกดการเรยนรมากทสด สามารถพจารณาไดอยางงาย ๆ โดย การแสดงดวยแผนภาพของเซตสองเซต โดยเซตแรกก าหนดเปน A แทนเซตของพฤตกรรม ทคาดหวง สวน เซต B แทนเซตของการเรยนทคาดหวง ดงภาพตอไปน การวดความสาเรจของการสอนคณตศาสตรจะอยท ความมากนอยของสวนทเปน A B (intersection) อยางไรกตามเราตองพจารณาทงสวนทเปน A B' (สวนทอยในเซต A แตไมอยใน B) และ B A' (สวนทอยในเซต B แตไมอยใน A) เพราะวาเปนเซตของสวนทไมตองการใหเกดขน ดงนนปญหา ทเกดขนจงเปนการหาคาตอบทวาจะตองทาอยางไรจงจะทาใหพฤตกรรมทเราคาดหวงไวและผเรยนเกดการ เรยนรทคาดหวงเชนกนมากทสด

สมมตฐานเกยวกบเงอนไขส าหรบการเรยนรคณตศาสตร (บรรพต สวรรณประเสรฐ , 2544 หนา 96 – 99) ในปจจบนนยงไมมทฤษฏการเรยนรคณตศาสตร และ ยงไมมทฤษฎการสอนคณตศาสตร นน คอ

www.ssru.ac.th

5

ผสอนจะตองเปนผทตงสมมตฐานวาเงอนไขใดบางทสามารถกาหนดพฤตกรรมการเรยนรของผเรยนทเปนไปตามจดประสงคมากทสด เงอนไขตอไปนเปนเงอนไขทมการยอมรบจากนก คณตศาสตร ศกษา วาเปน เงอนไขทสาคญสาหรบการเรยนการสอนคณตศาสตรเปนอยางยง

1. ผเรยนแตละคนจะเรยนรคณตศาสตรทเปนพฤตกรรมใหมไดจากสภาพแวดลอมรอบตว ทงหมดของผเรยน

2. การเรยนรคณตศาสตรจะเก ดขนเมอผเรยนเหนวาพฤตกรรมทตองการรคณตศาสตรนนมประโยชนและมบทบาทตอความสนใจของผเรยน

3. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเรยนคดวาสงทเรยนนนมความหมายตอตว ผเรยนและสามารถ นาไปใชได

4. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเร ยนมความสนใจมากอน และสามารถใชความจ าของความรเดมทจ าเปนมาประกอบการเรยนรคณตศาสตรกบ สงใหมได

5. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเรยนไดทราบถงจดมงหมายทตองการ 6. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเรยนไดลงมอกระท าดวยตนเองมากกวาก ารเรยนรโ

ดยการฟงจากครหรอผสอนเทานน 7. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอพฤตกรรมทผดถกก าจดออกไป

และเมอผเรยนสามารถ แยกพฤตกรรมทขดแยงตอการเรยนร 8. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเรยนแสดงใหเหนวามความกาวหนาตามจดประสงค

ทคาดไวหรอก าหนดไว 9. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอแผนการเรยนการสอนไดพฒนาพฤตกรรมของ

ผเรยนอยางตอเนอง 10. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเมอผเรยนมโอกาสปฏบตตอการแกปญหาในหลายรปแบ

บและในเนอหาทแตกตางกน 11. การเรยนรคณตศาสตรจะเกดขนเ มอผเรยนมโอกาสเหนความสมพนธของพฤตกรรม

ใหมและพฤตกรรมเกาและรวาท าอยางไรจงจะมเทคนคในการรบเอาพฤตกรรมใหมมา เปนของตน

การเลอกยทธวธการสอน การเลอกยทธวธการสอนคณตศาสตรใหเหมาะสมจะตองพจารณาสงทผเรยนมอยกอนเปนสาคญ แลวจงเรมกระบวนการพฒนาผเรยนดงตอไปน

1. สงทตองการพฒนาผเรยน 2. การพฒนาผเรยนซงอาจจะใชยทธวธมากกวา 1 วธ 3. การสรางสถานการณจาลอง 4. การสรปดวยตนเอง 5. แตถาผเรยนไมสามารถเกดการเปลยนแปลงพฤตกรรมทตองการไดตองทาการสอนใหม

ยทธวธการสอนคณตศาสตรอกวธหนงทไดรบการยอมรบเปนอยางมากอยางหนงกคอ

www.ssru.ac.th

6

การทาแบบฝกหดซา ซงจดมงหมายทแทจรงกคอตองการใหผเรยนมทกษะและสามารถนาไปใชไดทนท และการ ทาแบบฝกหดซาใหไดผลนนตองอาศยหลกดงตอไปน คอ

1. การทาแบบฝกหดซา นบวาเปนตวกระตนทด ผเรยนจะจาและนาเรองตาง ๆ มาใชประกอบ การเรยนรเรองใหมไดเปนอยางด

2. ชวงระยะเวลาของการทาแบบฝกหดซาควรจะสนและจะทาซาอกครงเมอถงคราวจาเปน 3. การทาแบบฝกหดซาควรเนนความถกตองมากกวาความรวดเรว 4. งานของผเรยนควรไดรบการตรวจและทราบผลไดโดยทนท 5. ทศทางของแบบฝกหดตองมแนวทางทชดเจนและแนนอน 6. การทาแบบฝกหดซาควรจะทาตามความจาเปนของแตละบคคลไมจาเปนตองทาแบบฝกหด

ซา เหมอนกนทก ๆ คน การประยกตในการสอนคณตศาสตรดวยเทคโนโลยสารสนเทศ นกคณตศาสตรยงใหการยอมรบกบการนาเทคโนโลยสารสนเทศมาพฒนาการเรยนการสอน

คณตศาสตรได ซงกคงแลวแตโอกาสและเนอหาทเหมาะสม โดยเฉพาะคอมพวเตอรซงนบวามประโยชน อยางมากมาย ผเรยนสามารถใชเครองคอมพวเตอรในการเพมประสทธภาพของการสอนไดหลายวธ ดงนคอ

1. คอมพวเตอรชวยเพมคณภาพของการสอนคณตศาสตรในดานการคานวณทถกตอง รวดเรวและแมนยา

2. คอมพวเตอรชวยใหสรางภาพแบบเคลอนไหว ผเรยนมความสนใจทจะเรยนรมากขน 3. ผเรยนสามารถเรยนรตามความถนดของตนเองโดยไมจาเปนตองขนอยกบเวลาแลสถานท 4. ความหลากหลายของโปรแกรมสาเรจรปทางคณตศาสตรทาใหผสอนสามารถเลอกชนดของ

โปรแกรมใหเหมาะสมกบเนอหา กจกรรมการเรยนรและตามความสามารถของผเรยน เนองจากในปจจบนการเรยนการสอนคณตศาสตรในระดบมหาวทยาลยไมไดใชเพยงชอลกและกระดานดาเทานน แตยงมอปกรณทชวยใหเกดการเรยนรไดงาย ไมจาเปนตองเลอกเวลาและสถานท ดงนนผสอนจงตองสรางสอการเรยนการสอนใหทนสมยและใชประโยชนใหคมคา เทคนคการหาปรพนธของวชาแคลคลส การหาปรพนธของฟงกชน เปนการดาเนนการเกยวกบฟงกชนหนงซงตรงขามกบการหาอนพนธ ถงแมวาจะมสตรการหาปรพนธไดหลาย ๆ แบบกตามแตทกษะการนาสตรมาใชและการประยกตการหาปรพนธอาจจะเกดความยงยากไดถาผเรยนขาดทกษะเกยวกบการหาอนพนธ ดงนนการเรยนการสอนจาเปนอยางยงทจะตองมการทบทวนความรพนฐานในการหาอนพนธ

ความหมายของอนพนธของฟงกชน h 0

dy f (x h) f (x)f '(x) lim

dx h

ซงความหมายทแสดง

ใหทราบวาอนพนธของฟงกชนกหมายถงอตราการเปลยนแปลงของตวแปรตามโดยเทยบกบอกตวแปรหนงซงเรยกวาตวแปรตนหรอตวแปรอสระ ณ ขณะใดขณะหนง เพราะวา ซงในทน จะแทน x ดวยตวแปรตน และแทน y ดวยตวแปรตาม สาหรบฟงกชน f ซง y f (x) สตรพนฐานในทนจะหมายถงสตรทง 18 สตร ดงตอไปน

www.ssru.ac.th

7

สตรท 1 dc 0

dx สตรท 2 d

x 1dx

สตรท 3 n n 1d(x ) nx

dx

สตรท 4 d du(cu) c

dx dx

สตรท 5 d du dv(u v)

dx dx dx สตรท 6 d du dv

(u v)dx dx dx

สตรท 7 d dv du(uv) u v

dx dx dx สตรท 8

2

du dvv u

d u dx dx

dx v v

สตรท 9 dsin x

dx cosx สตรท 10 d

cos xdx

sinx

สตรท 11 dtan x

dx 2sec x สตรท 12 d

cot xdx

2csc x

สตรท 13 dsecx

dx secx tanx สตรท 14 d

cscxdx

cscx cot x

สตรท 15 d 1ln x

dx x , สตรท 16 a

d 1log x

dx x lna

สตรท 17 x xda a lna

dx สตรท 18 x xd

e edx

การใชกฎลกโซสามารถดาเนนการได เชน n n 1d du(u ) nu

dx dx

และเชนเดยวกนสามารถใชได

กบ และในการนาสตรมาใชอาจจะตองมการประยกตเกยวกบลกษณะของฟงกชนบาง บางครงไมสามารถ ใชสตรตรง ๆ ได ขนอยกบความแตกตางของฟงกชนทกาหนดมาให ถาผเรยนเขาใจและเกดทกษะการหาอนพนธไดแลว จะไมยงยากเลยในการหาปรพนธพรอมทงสามารถตรวจสอบความถกตองของฟงกชนทไดจากการหาปรพนธวาถกหรอผด สาหรบการหาปรพนธอยางงายทไดจากสตรการหาอนพนธซงผเรยนไดเรยนรในวชาแคลคลส 1 มาแลว ซงประกอบดวยสตรพนฐาน ดงตอไปน

สตรท 1 dx x c สตรท 2 nx dx n 1x

cn 1

, n -1

สตรท 3 1dx

x ln x c สตรท 4 kf (x)dx k f (x)dx

สตรท 5 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

สตรท 6 xe dx xe c หรอ ue du ue c

สตรท 7 sin xdx cosx c สตรท 8 cos xdx sinx c

สตรท 9 tan xdx ln secx c สตรท 10 cot xdx ln sin x c

สตรท 11 2sec xdx tanx c สตรท 12 2cosec xdx cot x c

สตรท 13 secx tan xdx secx c สตรท 14 cosecx tan xdx cosecx c

สตรท 15 sec xdx ln secx tan x c สตรท 16 csc xdx ln cscx cot x c

สามารถใชสตรขางตน เพอหาปรพนธของฟงกชน u f (x) ไดเชน n 1

n uu du c , n 1

n 1

หรอ 1du ln u c

u เปนตน อาจจะมนกวชาการบางทานกลาววาไมจาเปนตองใชสตรกไดใหทา

ความเขาใจและสามารถหาปรพนธไดโดยทไมตองจาสตร แตบางครงเราจะมาเรมตนหาเองอาจทาให

www.ssru.ac.th

8

เสยเวลา เพราะวาสตรตาง ๆ ทไดมาน เราไดทาความเขาใจและมการพสจนมาแลว การนาสตรมาใชจะชวยใหเราสามารถหาปรพนธไดรวดเรวและถกตอง แตในการหาปรพนธของฟงกชนบางฟงกชนไมสามารถ หาโดยการแทนคาในสตรได เพราะวาชนดของฟงกชนทางวทยาศาสตรมความหลากหลายมาก ดงนนในการหาปรพนธของฟงกชนเหลานนจาเปนตองอาศยเทคนคทสงขนไปอก ถงแมวาจะมโปรแกรมสาเรจรป ทางคณตศาสตรทสามารถคานวณหาปรพนธของฟงกชนไดโดยงายและรวดเรวกตาม แตความเขาใจและ การศกษาทมาของสตรตางๆ ยงคงจาเปนสาหรบผทนาคณตศาสตรไปใชยงสมเหตสมผล สาหรบเทคนคการหาปรพนธทสาคญและเหมาะสมกบนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มเทคนค ดงตอไปน

1. การหาปรพนธโดยแทนคา เราสามารถใชสตรการหาปรพนธจากขางตนดวยการแทนคา u f (x) สตรทส าคญประกอบดวยเชน

สตรท 1 du u c สตรท 2 nu du n 1u

cn 1

, n -1

สตรท 3 1du

u ln x c สตรท 4 ue du ue c

สตรท 5 sin udu cosx c สตรท 6 cosudu sinu c

มหลกการ ดงน ขนท 1 ก าหนดให u g(x) ซง g(x) เปนนพจนสวนหนงของปรพนธ และเปนฟงกชน ประกอบ ของ f (g(x)) ขนท 2 หา du g '(x)dx ขนท 3 แทนคา u g(x) และ du g '(x)dx ในปรพนธทงหมดและจะเปนฟงกชนทอยรป ของตวแปร u เทานน ขนท 4 หาปรพนธโดยใชสตรพนฐานตาง ๆ ขนท 5 แทนคาฟงกชน u ดวย g(x)ซงผลทไดจะเปนปรพนธของฟงกชนตามทเราตองการ

2. การหาปรพนธโดยแยกสวน การอนทเกรตแบบแยกสวนมหลกในการหาดงน คอ ก าหนดให u และ v เปนฟงกชนของ x

จากสตรของดฟเฟอเรนเชยลหรอคาเชงอนพนธของ uv ทวา duv udv vdu นนคอ udv duv vdu แลวอนทเกรตทงสองขาง จะได

udv duv vdu หรอ udv uv vdu ดงนนจะไดวา

udv uv vdu

www.ssru.ac.th

9

3. การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ในการหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตทเปนฟงกชนกาลงของไซนและโคไซน เพอความสะดวก

ในทนจะแบงชนดของฟงกชนตรโกณมตดงกลาวซงออกเปน 5 รปแบบดงน รปแบบท 1 nsin xdx

สามารถใชการหาปรพนธโดยแยกสวน สรางเปนสตรลดทอนดงน คอ n n 1 n 21 n 1

sin xdx sin xcosx sin xdxn n

รปแบบท 2 ncos xdx n n 1 n 21 n 1

cos xdx cos xsin x cos xdxn n

รปแบบท 3 m nsin x cos xdx

ถากรณท m 0 สามารถใชสตรการลดทอนของรปแบบท 2 ได เลย นนคอ

n n 1 n 21 n 1cos xdx cos xsin x cos xdx

n n

ถากรณท n 0 สามารถใชสตรการลดทอนของรปแบบท 1 ได เชนกน นนคอ

m m 1 m 21 m 1sin xdx sin xcosx sin xdx

m m

สาหรบกรณท m 0 และ n 0 มหลกการหาปรพนธดงน คอ 1) ถา m เปนจานวนค ใหแทนคา u cosx และแทนคา

2 2sin x 1 cos x 2) ถา n เปนจานวนค ใหแทนคา u sin x และแทนคา

2 2cos x 1 sin x 3) ถา m , n เปนจานวนคใหใชสตรเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตเพอลดทอน

เลขชกาลง นนคอ ใชสตรเอกลกษณ

2 1 cos2xsin x

2

และ 2 1 cos2x

cos x2

รปแบบท 4 m ntan x sec xdx

การหาคาของอนทกรลของฟงกชนตรโกณมตทอยในรป m ntan x sec x มหลกการดงนคอ

กรณท m 0 ใชสตร n n 2 n 21 n 2sec xdx sec x tan x sec xdx

n 1 n 1

กรณท n 0 ใชสตร m m 1 m 21tan xdx tan x tan xdx

m 1

กรณท m 0 , n 0 มหลกการหาอนทกรล ดงน 1) ถา n เปนจานวนค ใหแทนคา u tan x แลวใชสตรเอกลกษณ

2 2sec x tan x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u 2) ถา m เปนจานวนค ใหแทนคา u secx แลวใชสตรเอกลกษณ

2 2tan x sec x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

3) ถา m เปนจานวนค และ n เปนจานวนค ใหใชสตรเอกลกษณ เปลยนใหอยในรป

www.ssru.ac.th

10

ของ secx โดยเปลยน 2 2tan x sec x 1 และ ตองใชสตร tan xdx ln secx c และ secxdx ln secx tan x c

รปแบบท 5 m ncot x csc xdx การหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตทอยในรป m ncot x csc x มหลกการหาคลายกบฟงกชน

ตรโกณมตทอยในรป m ntan x sec x ดงนคอ

กรณท m 0 ใชสตร n n 2 n 21 n 2csc xdx csc x cot x csc xdx

n 1 n 1

กรณท n 0 ใชสตร m m 1 m 21cot xdx cot x cot xdx

m 1

กรณท m 0 , n 0 มหลกการหาอนทกรล ดงน 1) ถา n เปนจานวนค ใหแทนคา u cot x แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2csc x cot x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

2) ถา m เปนจานวนค ใหแทนคา u cscx แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2cot x csc x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

3) ถา m เปนจานวนค และ n เปนจานวนค ใหใชสตรเอกลกษณ เปลยนใหอยในรปของ cscx โดยเปลยน 2 2cot x csc x 1 และตองใชสตร cot xdx ln sin x c และ

csc xdx ln csc x cot x c

4. การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต การหาปรพนธฟงกชนบางฟงกชนถาเปลยนใหอยในรปฟงกชนอน ๆ จะทาใหหาปรพนธ

ไดงายแลวจงแทนคาของฟงกชนใหอยในรปเดมกไดเชนกน ดงนนการแทนคาดวยฟงกชน ตรโกณมตกสามารถทาได โดยทตวทถกอนทเกรตตองอยในรปแบบทกาหนด และมหลกในการแทนคาดงน คอ 1) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2a x แทนคาดวย x a sin z 2) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2a x แทนคาดวย x a tan z 3) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2x a แทนคาดวย x asecz หลงจากทเปลยนฟงกชนตาง ๆ ใหอยในรปของฟงกชนตรโกณมตของตวแปร z แลวกใชเทคนคของการหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตไดเทาไรแลวจงคอยเปลยนฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนเดม

จากหลกการขางตนและตวอยางตาง ๆ สามารถพสจนสตรเพอนาไปใชโดยไมตองแทนคาดวย ฟงกชนตรโกณมต ดงนคอ

สตรท 1 2

2 2 2 2 1x a xa x dx a x sin c

2 2 a

สตรท 2 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a c

2 2

สตรท 3 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a c

2 2

สตรท 4 1

2 2

dx xdx sin c

aa x

www.ssru.ac.th

11

สตรท 5 2 2

2 2

dxdx ln x x a c

x a

สตรท 6 2 2

2 2

dxdx ln x x a c

x a

5. การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย สาหรบเศษสวนตรรกยะแท สามารถเขยนในรปของเศษสวนยอย (partial fraction)

เพอทจะสามารถหาปรพนธไดงาย ซงสามารถแบงวธการเขยนเศษสวนตรรกยะแทใหอยในรป เศษสวนยอย ไดดงน คอ กรณท 1 ตวประกอบของ Q(x) มกาลงสงสดเปนหนงและอยในรป ax b และ ตวประกอบแตละตวตองแตกตางกน นนคอ Q(x) เราสามารถแยกตวประกอบไดเปน 1 2 3 nQ(x) (x a )(x a )(x a ) ... (x a ) และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

31 2 n

1 2 3 n

AA A AP(x)...

Q(x) x a x a x a x a

เมอ 1 2 3 nA , A , A ,..., A เปนคาคงท

เชน 31 2 AA AP(x)

(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3

ซงจะเหนวาการอนทเกรตฟงกชน

P(x)

(x 1)(x 2)(x 3) จะทาไดยากกวาการอนทเกรตฟงกชน 31 2 AA A

x 1 x 2 x 3

กรณท 2 ตวประกอบของ Q(x) มกาลงสงสดเปนหนงและอยในรป ax b และตวประกอบ ดงกลาวมบางตวทซากน

นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 2Q(x) (x a) (x b)(x c) และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 2

2

A AP(x) B C

Q(x) x a x b x cx a

เมอ 1 2A , A , B,C เปนคาคงท

เชน

1 2

2 2

A AP(x) B C

x 3 x 4 x 1(x 3) (x 4)(x 1) x 3

กรณท 3 ตวประกอบของ Q(x) มกาลงสงสดเปนสองและอยในรป 2ax bx c และ ตวประกอบดงกลาวแตกตางกน

นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 21 1 2 2 2Q(x) (a x b )(a x b x c )

และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 2 2

21 1 2 2 2

A A x BP(x)

Q(x) a x b a x b x c

เมอ 1 2 2A , A , B เปนคาคงท

เชน 3 31 2 2

2 2 2 2

A x BA A x BP(x)

x 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x 2x 3 x 3x 1

หรอ อาจจะใช

2 2 2 2

P(x) A Bx C Dx E

x 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x 2x 3 x 3x 1

www.ssru.ac.th

12

กรณท 4 ตวประกอบของ Q(x) มกาลงสงสดเปนสองซากนและอยในรป 2ax bx c นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 2 nQ(x) (ax bx c) เมอ n เปนจานวนเตม

และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 1 2 2 n n

2 2 n2 2

A x B A x B A x BP(x)...

Q(x) ax bx c ax bx c ax bx c

เมอ 1 2 nA , A , ... , A และ 1 2 nB , B , ... , B เปนคาคงท

เชน 3 31 1 2 2

2 3 2 2 2 2 3

A x BA x B A x BP(x)

(x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1)

6. การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ นอกจากการใชเทคนคการหาปรพนธดวยวธตาง ๆ ทกลาวมาแลว ยงมการหาปรพนธโดยวธ

การแทนคาแบบอน ๆ ( miscellaneous substitution ) ทตวถกอนทเกรตอยในรปของเศษสวนและมเครองหมายกรณฑทอยในรป n ax b , 2q px x หรอ 2q px x เปนตน ปรากฏอยในฟงกชนทตองการหาปรพนธสามารถใชวธการแทนคาดงตอไปน เพอเปลยนตวถกอนทเกรตใหอยในรปแบบเศษสวนตรรกยะของตวแปรทสมมตขนมาใหม ดงน 1) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n ax b ใหแทนดวยตวแปร nu ax b หรอแทน

nax b u เชน 3 2x 1 ใหแทนดวย 3u 2x 1 หรอ 32x 1 u 2) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n 2a bx x ใหแทนดวยตวแปร 2 2a bx x (u x) เชน n 22 2x x ใหแทนดวย 2 22 2x x (u x)

3) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n 2 na bx x ( x)( x) ใหแทนดวย

ตวแปร 2 2 2a bx x ( x) u หรอ 2 2 2a bx x ( x) u เชน n 26 x x หรอ n (3 x)(2 x) ใหแทนดวย 2 2 26 x x (3 x) u หรอ 2 2 26 x x (2 x) u

จะเหนวานกศกษาสวนมกจะมอวาเปนเรองทยงยากมาก ไมสนใจทจะศกษาใหเขาใจอยาง ถองแท เรยนใหผาน ๆ ไป ไมคอยสนใจเทาทควร บางครงอาจท าใหผสอนมกจะขามสวนทส าคญไป พยายามหลกเลยงเนอหาสวนทเปนการค านวณ แตบางครงเนอหาดานการหาปรพนธมความส าคญ และจ าเปนมากในการศกษาเรองตาง ๆ ในระดบทสงขน และท าใหสามารถพสจนกฎเกณฑตาง ๆ ทเกดขนตามธรรมชาตไดเปนอยางด แบบฝกทกษะและวดโอ ผวจยพยายามใชประสบการณทสงสมมาชานาน เทคนคหรอสอตาง ๆ ททาใหผเรยนมทกษะในการเรยนรไดอยางเขาใจ มทศนคตทดตอการเรยนวชาแคลคลสโดยเฉพาะเทคนคการหาปรพนธในระดบอดมศกษา เดมนนผสอนมกจะใชแบบฝกทกษะเพยงอยางเดยวและเขาใจวาเพยงพอสาหรบการฝกทกษะดวยตนเอง สงใหทาแบบฝกหดมาก ๆ นกศกษาบางคนทาไมได กไดแตคดลอกของเพอนมาสงเพอเปนคะแนนเกบทดเทานน ไมไดคานงถงความรทจะไดรบหรอพนฐานของความรทจะนาไปใชในการศกษาระดบทสงขน ดงนนผวจยจงไดใชวดโอมาใชประกอบกบการอธบายโดยยกตวอยางพรอมคาอธบายในรป

www.ssru.ac.th

13

ของวดโอ ซงแบบฝกทกษะและวดโอตางกมความสาคญตอการเรยนการสอนกบวชาคณตศาสตรไดเปนอยางด ดงเอกสารทเกยวของดงน แบบฝกทกษะ มนกการศกษาหลายทานไดใหความหมายของแบบฝกทกษะดงตอไปน ราชบณฑตยสถาน (2546 , หนา 12) กลาววา “ แบบฝกหรอเรยกอกอยางวาชดการสอนเปนแบบฝกทใชเปนตวอยางการแกปญหาหรอคาสงทสรางขนเพอใหผเรยนฝกตอบหรอฝกแกปญหา”ซงสอดคลอง กบความหมายของนกวจยหลาย ๆ ทาน ดงน ศศธร ธญลกษณานนท (2542 , หนา 375) อธบายไววา เปนแบบฝกทใชในการทบทวนความเขาใจ ฝกทกษะในการคดแกปญหา อกทงเปนการทดสอบความสามารถของผเรยนวาเขาใจและ สามารถนาไปประยกตใชเกยวกบปญหาทมลกษณะงายไปยงปญหาทมความสลบซบซอน

และเตอนใจ ตรเนตร (2544 , หนา 5 ) ไดใหความหมายทสอดคลองกบคาอธบายขางตนวา แบบฝกทกษะเปนสอทใชประกอบการจดการเรยนร ซงจะชวยใหผเรยนเกดการเรยนรจากการปฏบตดวยตนเอง ทาใหไดฝกทกษะเพมเตมจากเนอหาในชนเรยนจนเกดเปนความชานาญและทาใหผเรยนสามารถนาความรดงกลาวนนไปประยกตใชในชวตประจาวนได ยงมอกหลายทานทไดอธบายความหมายของแบบฝกทกษะแตกมความหมายในลกษณะทคลาย ๆ กน ซงสามารถสรปเปนภาพรวมไดวา แบบฝกทกษะ เปนแบบฝกความเขาใจ การคดคานวณ และการแกปญหา จากการเรยนรในชนเรยนใหเกดความชานาญ จนกระทงสามารถนาไปประยกตใช ในการแกปญหาทสงขนได ความส าคญและประโยชนของแบบฝกทกษะ ในการสรางแบบฝกนบวามความสาคญเปนอยางยง แบบฝกทมประสทธภาพจะตองเปน ตวแทนของผสอนได งายตอการศกษาดวยตนเอง ผเรยนเกดความสนกไมยากและไมงายจนเกนไป ผเรยนสามารถพฒนาตนเองไดอยางมประสทธภาพและเกดความมนใจในการเรยนในระดบทสงขนได สวนประโยชนของแบบฝกทนบวามความสาคญกคอเปนการวดและประเมนความสามารถในการสอนของครแลความสามารถในการรบรของผเรยนวาเปนไปตามจดปะสงคมากนอยเพยงใด ถามความบกพรอง กสามารถปรบปรง แกไขและพฒนาใหสอดคลองและทนสมยกบการปฏรปการศกษา วดโอ หรอเรยกอกอยางวา ภาพเคลอนไหว สามารถสรางไดจากเครองมอทแตกตางกน เชนภาพ ทถายจากกลองวดโอโดยตรงหรอภาพวดโอทไดมาจากการจบภาพหนาจอ (capture) ซงทงสองแบบมคณสมบตทคลายกนดงน (ดวงพร เกยงคา , 2548 , หนา 12)

1) เฟรม (Frame) คอภาพแตละภาพทบนทกไว แตละภาพจะมความแตกตางกนเลกนอยแตเมอ นาแตละเฟรมมาเรยงตอกนจะทาใหดเหมอนเปนภาพเคลอนไหว

2) อตราเฟรม (Frame Rate) คอจานวนภาพทเลนภายในเวลา 1 วนาท ซงจะเปนตวเลขทบอก ใหทราบวาภาพมคณภาพทนมนวลมากนอยเพยงไร หนวยทใชวดอตราเฟรม คอ จานวนเฟรมตอวนาท และทนยมมากคอ 7.5 , 15 , 25 เฟรมตอวนาท จนถงจานวนเฟรมทมากทสดซงใชกบโทรทศนหรอภาพยนตรคอ 30 เฟรมตอวนาท ซงปกตไมคอยใชอตราทสงมากนก เพราะวาจะเปลองทในการเกบขอมล

www.ssru.ac.th

14

ลกษณะการน าเสนอวดโอ วดโอทสรางขนสามารถนาเสนอผานสอตาง ๆ ไดอยางหลากหลาย แตสวนใหญแลวจะมลกษณะการใชงานอย 2 แบบ คอ ใชงานโดยตรงจากสอทเกบวดโอนน เชนเปดจากเครองคอมพวเตอรโดยตรง หรอเปดจากแผนซดโดยตรง และอกแบบหนงคอการนาวดโอไปเผยแพรผานเครอขายระบบอนเทอรเนต (intranet) หรอเครอขายอนทราเนต (intranet) ภายในองคกร ซงผชมอาจจะใชวธโหลดทงไฟลมาเลนในลกษณะของแบบแรกกได Camtasia Studio เปนโปรแกรมทนยมใชสาหรบบนทกภาพเคลอนไหวการทางานตาง ๆ หนาจอ คอมพวเตอร โดยสามารถบนทกหนาจอไดหลายรปแบบ เชนการจบภาพเตมหนาจอ จบเฉพาะหนาตาง ระบขอบเขตทตองการหรอกาหนดตาแหนงจบภาพทคงท แลวบนทกเกบไวเปนไฟลวดโอ (นามสกล .avi , .mov , .wmv) หรอจะบนทกเปนไฟล Flash Movie (.swf) ทมขนาดเลก ทาใหสามารถนาไฟลนไปใชงาน ในเวบไดอยางเตมท (ดวงพร เกยงคา , 2548 , หนา 31) การวางแผนการสรางวดโอ มขนตอนหลก ๆ ดงตอไปน

1) วเคราะหกลมผฟงหรอทจะใชวดโอน 2) กาหนดวตถประสงคของการสรางวดโอ 3) สรางสารบญเนอหา กาหนดหวขอหลก หวขอยอยของเนอหา 4) เขยนสครปตขนตอนการทางานทจะอดลงวดโอ 5) เขยนแผนโครงเรอง (Storyboard) การจดลาดบการทางาน สามารถจดไดดงตอไปน 1) วางแผน ซงเปนการจดลาดบของการทางานอะไรกอนและอะไรหลง 2) เตรยมการ เชน การเตรยมขอมล เนอหา ภาพ เสยง หรอสงทจาเปนอน ๆ 3) จดทา ตามแผนทวางไว 4) ทดสอบ ในทนกคอ การทดสอบ เนอหา ภาพ เสยง เพอหาขอบกพรองและนาไปแกไข 5) เผยแพร เปนการนาผลงานทสรางเสรจแลวสผชม อาจจะจดทาเปนแผนซดหรอเผยแพรบน

เวบกได งานวจยทเกยวของ งานวจยทเกยวของในทนจะแบงออกเปนงานวจยทเกยวของภายในประเทศและงานวจยตางประเทศ

งานวจยในประเทศ ในประเทศมผทไดศกษาและวจยเกยวกบการพฒนาแบบฝกทกษะดานคณตศาสตรอยเปนจานวนมากสวนใหญจะเปนระดบชนประถมศกษาและระดบชนมธยมศกษา ซงผลการวจยจะเปนประโยชนอยางมากในวงการศกษาของประเทศไทย ดงนนจงขอกลาวถงผลงานวจยทเกยวของพยงบางสวนเทานน ซงมดงตอไปน คอ นนทนลน แหลงสนาม (นนทนลน แหลงสนาม: 2547) ไดศกษาวจย เรอง การพฒนาการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝกทกษะการคดคานวณเรองทฤษฎบทพธาโกรสระดบชนมธยมศกษาปท3

www.ssru.ac.th

15

ผลการวจยคนพบวา ประการแรก ผลจากการทนกเรยนไดรบการเรยนรจากการทาแบบฝกทกษะการคดคานวณประจาบทเรยน ตามรปแบบการสอนดวยแบบฝกทกษะกา รคดคานวณ มผลสมฤทธทางการเรยนสงขน ประการทสอง คะแนนเฉลยของแบบทดสอบยอย 2 ครง เปนรอยละ 64.39 และ 76.93 ตามลาดบ ประการทสาม คะแนนเฉลยของผลสมฤทธทางการเรยนทง 2ครง เปนรอยละ 73.08 และ 80.37 ตามลาดบ และประการสดทาย พบวาผลการประมาณคณลกษณะ อนพงประสงค ไดแก การสรางองคความร ตรวจความรดวยตนเอง มความมนใจในตนเอง กลาแสดงออกและมความรบผดชอบในการทางาน อภปรายแลกเปลยนความคดเหนซงกนและกน มทกษะการทางานเปนทม รวมทงมเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร เชนเดยวกน ผลงานวจยของทพปภา ศรรพนธ (ทพปภา ศรรพนธ : 2547) ศกษาการวจย เรอง การพฒนาการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝกทกษะการคดคานวณ เรองจานวนเตม ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 โดยวธการแบงการฝกทกษะทกษะการคดคานวณ เปน 4 วงจรปฏบตการ ซงคนพบวา วงจรปฏบตการท 1 คะแนนจากการฝกทกษะการคดคานวณและแบบทดสอบยอยของนกเรยนกลมเกง ปานกลางและออน เฉลยคดเปนรอยละ 86.11 นกเรยนตงใจเรยน สนใจเรยน วงจรปฏบตการท 2 นกเรยนทกกลมตงใจเรยนและมทกษะการคดคานวณเรวขน ดงนนคะแนนจากการทาแบบฝกทกษะและแบบทดสอบยอย จงมคะแนนเฉลยรอยละ 94.76 วงจรปฏบตการท 3 กเชนเดยวกน นกเรยนมความสนกกบการทาแบบฝกทกษะการคดคานวณมากขน ผลขอลการทาแบบฝกทกษะและการทาแบบทดสอบยอย มคะแนนเฉลยรอยละ 86.45 และสาหรบวงจรปฏบตการท 4 กเชนเดยวกน นกเรยนทกคนตงใจเรยนมาก ขยนทาแบบฝกทกษะ ดงนนคะแนนเฉลยจากการทาแบบทดสอบจงเปนรอยละ 86.39 ซงนบวาเปนทนาพอใจและเปนไปตามสมมตฐานทตงไว นอกจากผลงานวจยของ 2 คน ทไดกลาวมาแลวยงมผลการวจยดานการจดการเรยนรดวยแบบฝกทกษะการคดคานวณอกหลายทาน โดยศกษากบเนอหาวชาและระดบชนทแตกตางกน แตกยงไดผลการวจยเปนไปในทศทางเดยวกนคอ สามารถนาการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝกทกษะการคดคานวณ และทาใหผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนทเรยนดวยการฝกทกษะการคดคานวณสงขน อกทงนกเรยนตางมเจตคตตอวชาคณตศาสตรอยในระดบด

งายวจยตางประเทศ ผลการวจยทเกยวของกบการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝกทกษะการคดคานวณ ในตางประเทศ มผลงานทเกยวของกบการศกษาวจยในครงน คอ Thomson (1991 : Web Site) ไดศกษาวจยเรองผลของวธสอนการคดเลขในใจ เรอง ความสามารถในการแกโจทยปญหาและการคดคานวณสาหรบนกเรยนเกรด 4 ซงแบงเปนกลมทดลองและกลมควบคม โดยใชแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน และชดฝกทกษะการคดในใจ ผลการวจยคนพบวา ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนระหวางกลมทดลองและกลมควบคมแตกตางกนอยางมนยสาคญทางสถต และยงพบอกวานกเรยนหญงในกลมทดลองมความสามารถในการแกโจทยปญหาและมทกษะการคดในใจสงกวากลมควบคม แตความสามารถในการตความโจทยปญหาและการคดคานวณระหวางกลมทดลองและกลมควบคมยงไมสามารถสรปไดวาแตกตางกนอยางมนยสาคญทางสถต เชนเดยวกบผลการวจยของ Cheng (Cheng : 1998 70-A) ซงไดศกษาประสทธผลของหลกสตรเกยวกบวชาการพเศษทออกแบบสาหรบนกเรยนชนประถมศกษาของประเทศไตหวนซงมปญหาการเรยน

www.ssru.ac.th

16

วชาคณตศาสตรเปนเวลา 4 เดอน ดวยการมงเนนทกษะทางคณตศาสตรดานการคดคานวณ ประกอบดวยการบวก การลบ การคณและการหาร โดยใชแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน ผลปรากฏวา การจดกจกรรมพเศษดานการฝกทกษะการคดคานวณนน นกเรยนมความกาวหนาในการพฒนาทกษะการคดคานวณอยางมนยสาคญทางสถตมากกวาเดม จะเหนวาจากผลงานวจยทงหมด สามารถสรปไดวา การจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร อยางหนงททาใหผลสมฤทธทางการเรยนสงขนทไดรบการยอมรบมากกคอการใชแบบฝกทกษะทเหมาะสม และผวจยไดนามาใชรวมกบวดโอ ทผเรยนสามารถศกษาไดอยางไมจากดจานวนครง เวลา และสถานท

www.ssru.ac.th

บทท 3 วธด าเนนการวจย

งานวจยนเปนการสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธวชาแคลคลสโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ทผวจยสรางขน ผวจยไดก าหนดวธการด าเนนการเพอใหการวจยในครงนบรรลตามเปาหมายทตงไว ดงมรายละเอยดตามล าดบขนตอไปน

1. ประชากรและกลมตวอยาง 2. เครองมอทใชในการวจยและวธการสรางเครองมอ 3. การเกบรวบรวมขอมล 4. การวเคราะหขอมล

ประชากรและกลมตวอยาง ประชากร ประชากรทใชในการศกษาครงนเปนนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 ซงลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 จ านวน 140 คน กลมตวอยาง กลมตวอยางในการวจยครงนเปนนกศกษาชนปท 2 สาขาวชาวทยาศาสตรและเทคโนโลยการอาหาร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 จ านวน 36 คน ซงไดมาจากการสมเปนสาขาวชาอยางงาย และยงเปนสาขาวชาทมรายวชา แคลคลส 2 เปนวชาบงคบ และนกศกษามผลสมฤทธทางการเรยนในรายวชาแคลคลส 1 อยในระดบปานกลางเปนสวนใหญ เครองมอทใชในการวจยและวธการสรางเครองมอ เครองมอทใชในการวจยครงนแบงออกไดเปน 3 สวน ประกอบไปดวย

1. ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ซงประกอบดวย แบบฝกทกษะ ทม การอธบายหลกการและเทคนคการหาปรพนธจ านวน 6 วธ พรอมทงวดโออธบายอยางละเอยดดวยวธ การจบภาพเปนวดโอ

2. แบบทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เรองเทคนคการหาปรพนธแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 30 ขอ และขอสอบแบบอตนยแสดงวธท า 3 ขอแตใหเลอกตอบพยง 2 ขอเทานน

3. แบบวดความคดเหนของนกศกษาหลงจากทไดรบการเรยนรดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดย ใชแบบฝกทกษะและวดโอ

ขนตอนการสรางเครองมอในการวจย 1. การสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอผวจยไดด าเนน

การ ตามขนตอน ดงตอไปน 1.1 ศกษา วเคราะห หลกสตรรายวชาแคลคลส 2 เรองเทคนคการหาปรพนธของสถาบน

www.ssru.ac.th

18

อดมศกษาตาง ๆ น ามาศกษาเปรยบเทยบเนอหา รปแบบการจดการเรยนการสอน วธการวดและประเมนผล 1.2 เกบรวบรวมขอมลและประสบการณจากการสอนรายวชาแคลคลส 2 มาเปนประจ า ของนกศกษา อาจารยผสอนในรายวชาดงกลาวเพอปรกษาหาขอเทจจรงทเปนปญหาในการจดการเรยนการสอนรายวชานและสามารถทจะปรบปรงและพฒนาใหเหนเปนรปธรรมได ซงไดรบความรวมมอจากทก ฝายเปนอยางด 1.3 สรางชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ซงประกอบดวยสวนทเปนการทบทวนการหาอนพนธของฟงกชนและการหาปรพนธจากสตรพนฐานทศกษามาแลวจากรายวชาแคลคลส 1 และสวนทเปนเทคนคการหาปรพนธจ านวน 6 วธ ประกอบดวย การหาปรพนธโดยการแทนคา โดยการแยกสวน ฟงกชนตรโกณมต การแทนคาดวยฟงกชนตรโกณ โดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย และโดยวธการแทนคาแบบอน ๆ ซงแตละเรองจะประกอบดวย ค าอธบายหลกการและ ทฤษฎทเปนพนฐานของแตละวธ แลวตามดวยตวอยางทท าการอธบายโดยการจบภาพเปนวดโอ เมอเขาใจแลวนกศกษาตองฝกทกษะดวยแบบฝกทมลกษณะคลาย ๆ กบตวอยางในขนแรกและมการประยกตบางเลกนอยในตวอยางชวงหลง ๆ บาง แตกไมยากมากนก สวนทายสดคอจะมแบบฝกทกษะของเทคนคแตละแบบคละกนเพอใหนกศกษารจกการน าความรจากตวอยางตาง ๆ มาประยกตแกปญหากบการหาปรพนธ ทสามารถใชเทคนคดงกลาวได และจะตองตรวจค าตอบทเฉลยไวทายบท ซงแบบฝกทกษะของเทคนคการหาปรพนธดงกลาวน ผวจยไดพฒนา ปรบปรงแกไขมาอยางตอเนองทไดท าการสอนในภาคเรยนทผานมา จนแนใจวารปแบบดงกลาวนาจะไดผลและมประสทธภาพสง 1.4 ใหผเชยวชาญของสาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ จ านวน 3 ทาน ซงมประสบการณการสอนในรายวชา แคลคลส 2 รวมกน ตรวจความถกตองดานเนอหาและชวยใหค าแนะน า แกไข เสนอแนะแบบฝกทกษะและวดโอ และผวจยไดรวมกบพจารณาขอบกพรองเพอหาความเหมาะสมทสดกอนน าไปทดลองใชกบนกศกษา ซงมคา IOC ตงแต 0.67 – 1.00 1.5 น าชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอทไดจากขอ 1.4 ไปทดลองใช กบนกศกษาเอกคณตศาสตรสารสนเทศชนปท 2 จ านวน 3 คน ทเรยนชดเทคนคการหาปรพนธมาแลวแตเรยนดวยวธปกตคอใชบรรยายประกอบเปนสวนใหญและนกศกษาเหลานนบอกกบผวจยวาไมคอยเขาใจ เวลาทจะน ามาใชในรายวชาทเนอหาสงขนไป กน ามาใชไมเปนและนกศกษาเหลานนตองการใชผวจย ทบทวนใหอกครง ซงกไดรบความพงพอใจและบอกวาเขาใจมากขน สามารถน าไปใชไดแตกมบางสวนทไดแนะน าผวจยวา ถาจะใชสอนนกศกษาสาขาวชาอน ๆ ควรจะใชค าพดอยางไร จงจะเหมาะสม และผวจย น าสงเหลานมาปรบปรงและแกไข 1.6 เพอใหชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอมประสทธภาพมากขนกอนทจะน าไปใชทดลองกบกลมตวอยางจรง ผวจยน าไปใชทดลองสอนใหกบนกศกษาสาขาวชา เคมชนปท 1 ทเลอกเรยนรายวชาแคลคลส 2 ทผวจยเปนผสอน และน าขอบกพรองมาปรบปรงและแกไขอกครง

2. การสรางแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน ซงในทนจะใชชดเดยวกนเพอสะดวก ในการ เปรยบเทยบคะแนนของแบบทดลองทงกอนและหลงเรยน ซงมขนตอนการสรางดงนคอ 2.1 วเคราะหหลกสตรเพอก าหนดเนอหาสาระทส าคญมากนอย วธการสอน การวดและประเมนผลของรายวชาแคลคลส 2

www.ssru.ac.th

19

2.2 ก าหนดแบบทดสอบเปนแบบชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอกมค าตอบทถกตองเพยงค าตอบเดยวจ านวน 40 ขอ และขอสอบแบบอตนยทแสดงวธท าอยางละเอยดจ านวน 6 ขอ ตามล าดบของความส าคญของเนอหาสาระและพฤตกรรมทตองการวด 2.3 น าแบบทดสอบในขอ 2.2 ไปหาประสทธภาพของแบบทดสอบตามหลกการวดและประเมนผล พรอมทงใหผเชยวชาญชวยตรวจสอบความถกตองของเนอหา ภาษาทเหมาะสมกบนกศกษา ความยากงาย โดยใชนกศกษาชนปท 1 สาขาวชาเคมทไดเรยนรายวชาดงกลาวนมาแลวในภาคเรยนทผานมา จนไดแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนทสมบรณซงประกอบดวยแบบทดสอบชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอกจ านวน 20 ขอและขอสอบแบบอตนยแสดงวธท าจ านวน 3 ขอแตใหเลอกตอบเพยง 2 ขอเทานนและน าไปใชกบกลมทดลองของการวจยในครงน ซงแบบทดสอบมคาความเชอมนทงฉบบเทากบ 0.90 3 แบบวดเจตคตดานคณตศาสตรของนกศกษาหลงจากทไดเรยนรชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ซงด าเนนการตามขนตอนดงน 3.1 ศกษาหลกการ ทฤษฎการสรางแบบวดความคดเหนดานคณตศาสตรของนกศกษา 3.2 ใหผเชยวชาญดานการสรางแบบส ารวจความคดเหนจากคณะครศาสตร มหาวทยาลย ราชภฏสวนสนนทา ซงไดใหขอเสนอแนะ ปรบปรงและแกไขใหเหมาะสม จนไดแบบส ารวจความคดเหนของนกศกษาทเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอจ านวน 10 ขอ ซงแบบวดเจตคตมคาความเชอมนทงฉบบเทากบ 0.80 การเกบรวบรวมขอมล การวจยครงนเปนการสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ขนตอนของการเกบรวมรวมขอมล มดงตอไปน คอ

ประชมชแจงเรองชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอประกอบดวย 1) ท าแบบทดสอบกอนการเรยนแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอกจ านวน 20 ขอ และขอสอบ

แบบอตนยแสดงวธท า 3 ขอ แตเลอกท าเพยง 2 ขอเทานน ใชเวลา 1 ชวโมง 30 นาท 2) ศกษาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ เปนเวลา 4 สปดาห สปดาหละ 3 ชวโมงเปนเวลา 12 ชวโมง โดยผสอนเปดวดโอและอธบายเพมเตมในกรณทผเรยนยงไมเขาใจทละตวอยาง เมอเขาใจแลวจงใหท าแบบฝกทกษะทมลกษณะคลายกบตวอยาง พรอมทงตรวจ สอบค าตอบในวดโอพรอมทงแกไขและท าความเขาใจใหถกตองในแตละตวอยาง และเมอเรยนจบแตละเทคนคของการหาปรพนธผเรยนจะตองฝกทกษะเพมเตมทายเรองกอนทจะเรยนเทคนคการหาปรพนธวธตอไป ทงนผวจยไดแบงเนอหาสาระดงตอไปน สปดาหท 1 เรอง ทบทวนการหาอนพนธและการหาปรพนธพนฐาน จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 2 เรอง การหาปรพนธโดยการแทนคา และการหาปรพนธแบบแยกสวน

จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 3 เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมตและการแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 4 เรอง การหาปรพนธโดยแยกเปนเศษสวนยอย และการหาปรพนธดวยการแทนคาแบบอน ๆ จ านวน 3 ชวโมง

www.ssru.ac.th

20

ถาในกรณทนกศกษาตามไมทนหรอตองการศกษาดวยตนเองหลาย ๆ ครงโดยไมจ ากดเวลาและสถานท ผเรยนสามารถศกษาเพมเตมไดอกจากเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ของ รายวชา MAT1402 แคลคลส 2

ภาพท 1 หนาเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ 3) ในระหวางทกลมตวอยางฝกทกษะดงกลาวหากมปญหาหรอยงไมเขาใจ สามารถ สอบถาม

อาจารยผสอนได บางครงอาจจะจดอธบายในชนเรยนไดบางถานกเรยนบางคนไมมพนฐานจรง ๆ และตองการซกถามขอสงสยเพมเตม 4) เมอสนสดการศกษาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอแลว ใหกลมตวอยางท าแบบทดสอบหลงเรยน ซงเปนชดเดยวกบแบบทดสอบกอนการเรยน และใหผเรยนตอบ แบบส ารวจความคดเหนตอการเรยนการสอนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ทผวจยสรางขนจ านวน 20 ขอ และใหแสดงความคดเหนเพมเตม การวเคราะหขอมล การวเคราะหขอมลในการวจยครงน ผวจยไดท าการวเคราะหขอมลตามล าดบดงน

1. หาประสทธภาพของชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ โดยผเชยวชาญ 2. หาคาความทยงตรงของแบบทดสอบ หาคาอ านาจจ าแนก หาคาความยากงาย และความ

เชอมนของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 3. เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนระหวางกอนและหลงเรยนดวยชดเทคนค

การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 4. หาประสทธภาพของแบบส ารวจความคดเหนโดยผเชยวชาญ

www.ssru.ac.th

21

สถตทใชในการวเคราะหขอมล 1. สถตพรรณนา 1.1 คาเฉลยเลขคณต ( mean) โดยใชสตร

xX =

N

เมอ X แทน คาเฉลยเลขคณต x แทน ผลรวมของคะแนนทงหมด N แทน จ านวนคนทงหมด 1.2 คาความเบยงเบนมาตรฐาน (S.D.) โดยใชสตร

2 2N x -( x)

S.D. =N(N-1)

เมอ S.D. แทน สวนเบยงเบนมาตรฐาน x แทน ผลรวมคะแนนของแตละคน 2x แทน ผลรวมของก าลงสองของคะแนนของแตละคน N แทน จ านวนคนทงหมด 1.3 คาสมประสทธการแปรผน (C.V.) โดยใชสตร

S.D.C.V. = 100%

X

เมอ C.V. แทน สมประสทธการแปรผน S.D. แทน สวนเบยงเบนมาตรฐาน X แทน คาเฉลยเลขคณต 2. สถตทใชในการตรวจสอบคณภาพเครองมอ

2.1 การหาความเทยงตรงของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชา คณตศาสตร โดยใชคาดชนความสอดคลองระหวางขอสอบกบจดประสงคการเรยนร (ลวน สายยศ และ องคณา สายยศ. 2539, หนา 249) จากสตร

RIOC =

N

เมอ IOC แทน ดชนความสอดคลองระหวางขอค าถามกบจดประสงค R แทน ผลรวมของคะแนนความคดเหนของผเชยวชาญ

N แทน จ านวนผเชยวชาญ 2.2 การหาคาความยากงาย (difficulty) ของแบบทดสอบแบบเลอกตอบ โดยใช สตร (ลวน สายยศและ องคณา สายยศ. 2539, หนา 183)

RP =

N

เมอ P แทน คาความยากงายของขอสอบแตละขอ R แทน จ านวนผตอบถกทงหมดในแตละขอ

N แทน จ านวนผเขาสอบทงหมด

www.ssru.ac.th

22

3.3 หาคาอ านาจจ าแนกของแบบทดสอบ (discrimination) (ลวน สายยศ และองคณา สายยศ, 2539, หนา 186 ) โดยใชสตรดงน

Ru-Rlr =

f

เมอ r แทน คาอ านาจจ าแนก f แทน จ านวนนกเรยนในกลมสงหรอกลมต าซงจ านวนเทากน Ru แทน จ านวนนกเรยนกลมสงทตอบถก Rl แทน จ านวนนกเรยนกลมต าทตอบถก 2.4 การหาคาความเชอมนของแบบทดสอบโดยใชสตร KR-20 ของคเดอร- รชารสน (Kuder-Richardson) (บญธรรม กจปรดาบรสทธ, 2549, หนา 266) โดยใชสตรดงน

tt 2

t

k pqr = 1-

k-1 s

เมอ ttr แทน คาความเชอมนของแบบทดสอบ k แทน จ านวนขอของแบบทดสอบ p แทน สดสวนของผทท าไดในขอ ๆ หนง เทากบ จ านวนคนทท าถก จ านวนคนทงหมด q แทน สดสวนของผทตอบผดในขอ ๆ หนงมคาเทากบ 1-p 2

ts แทน ความแปรปรวนของคะแนนทงฉบบ 2.5 เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนระหวางกอนและหลงเรยน โดยใชการทดสอบแบบ t-test

D

Dt =

S

เมอ t แทน คะแนนมาตรฐาน t D แทน ผลตางของคะแนนหลงเรยนและคะแนนกอนเรยน D แทน คาเฉลยเลขคณตของผลตางของคะแนนหลงเรยนและ

คะแนนกอนเรยน DS แทน สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนน D

D

D

SS

n

n แทน จ านวนขอมลทงหมด

www.ssru.ac.th

บทท 4 ผลการวเคราะหขอมล

ผลจากการวจยในครงนท าใหไดชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอทมประสทธภาพและสามารถน าไปใชการจดการเรยนรเรอง เทคนคการหาปรพนธ วชาแคลคลส 2 ได เพอการพฒนาศกยภาพของนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ปรากฏผลซงสามารถแบงการวเคราะหเปนประเดนได ดงตอไปนคอ

1. ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 2. การเปรยบเทยบคะแนนเฉลยของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนของนกศกษาทไดรบ

การศกษาจากชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 3. การศกษาความคดเหนของนกศกษาจากการเรยนรชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝก

ทกษะและวดโอ ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอทผวจยสรางขนประกอบดวย ชดแบบฝกทกษะจ านวน 50 ตวอยาง ชดค าอธบายทสรางโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) จ านวน 50 ชดและค าอธบายในรปแบบของวดโอจ านวน 50 ชด ซงน าสามารถศกษาเพมเตมโดยผานเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ในรายวชา MAT 1402 แคลคลส 2 ซงนกศกษาสามารถศกษากอนท าการฝกแบบทกษะและศกษาในรปแบบของวดโอเพมเตมไดตลอดเวลา

ตวอยางของชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ มดงนคอ

ตวอยางแบบฝกทกษะดานคณตศาสตรพนฐาน ชดท 1 เรอง การบวกจ านวนเตม

ภาพท 2 แสดงค าอธบายตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน

www.ssru.ac.th

24

ภาพท 3 แสดงค าอธบายแบบฝกทกษะของตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางแสดงภาพเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ภาพท 4 แสดงวดโอตวอยางท 1 เรองการหาอนพนธของฟงกชน

www.ssru.ac.th

25

ภาพท 5 แสดงค าอธบายตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน ภาพท 6 แสดงค าอธบายแบบฝกทกษะของตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน

www.ssru.ac.th

26

ภาพท 7 แสดงค าวดโอตวอยางท 19 เรองการหาปรพนธแบบแยกสวน ภาพท 8 แสดงหนาเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/

www.ssru.ac.th

27

การเปรยบเทยบคะแนนของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน การเปรยบเทยบคะแนนเฉลยของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนดวยชดเทคนคการ

หาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลย ราชภฏสวนสนนทา ทลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 เรอง เทคนคการหาปรพนธ ปรากฏวา คะแนนเฉลยหลงการเรยนสงกวาคะแนนเฉลยกอนเรยนอยางมนยส าคญทางสถตทระดบ 0.01 ซงปรากฏดงรายละเอยดตอไปน ตาราง1 ผลการวเคราะหคะแนนกอนการเรยนและหลงการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใช แบบฝกทกษะและวดโอ

N คะแนนกอนเรยน คะแนนหลงเรยน

คะแนนเตม X . 1SD คะแนนเตม X . 2SD 36 30 4.03 1.75 30 16.47 2.97

ผลของการเปรยบเทยบเพอค านวณหาคา t ปรากฏดงน

D

Dt

S

12.44444t 4.70234

1.84305

36

จากตารางและการวเคราะหขอมลจะเหนวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนกอนการเรยนดวย ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ทลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 เรอง เทคนคการหาปรพนธ มคาเทากบ 4.03 จากคะแนนเตม 30 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1.75 แตคาเฉลยเลขคณตของคะแนนหลงจากเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอแลว กลบมคาคะแนนเฉลยเพมขนเปน 16.47 จากคะแนนเตม 30 คะแนน เชนกน ส าหรบสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2.97 และเมอน าคะแนนทงหมดไปเปรยบเทยบเพอค านวณคา t ท าใหค านวณไดเทากบ 4.70234 แสดงวาคะแนนเฉลยของนกศกษาหลงเรยนการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอสงกวาคะแนนเฉลยกอนเรยนเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโออยางมนยส าคญทางสถตทระดบ 0.01 การส ารวจความคดเหนของนกศกษาหลงการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใช แบบฝกทกษะและวดโอ

การส ารวจความคดเหนของนกศกษาทมตอการเรยนการสอนหลงจากทเรยนดวยชดเทคนค การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ เปนสงทชใหเหนวา นาจะมผลตอผลสมฤทธทางการเรยนไดเปนอยางด ปรากฏดงตารางตอไปน

www.ssru.ac.th

28

ตาราง 2 คาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และคาสมประสทธการแปรผนของแบบส ารวจความคดเหน ของนกศกษาทมตอการเรยนการสอนหลงจากทเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝก ทกษะและวดโอ

ขอความ x S.D. C.V. ระดบเจตคต 1 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเขาใจเนอหาทเรยน 4.29 0.53 12.35% มาก 2 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเกดการเรยนรอยาง เปนล าดบ ขนตอน

4.25 0.75 17.65% มาก

3 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาฝกทกษะดวยตนเอง ได

4.11 0.74 18.00% มาก

4 กจกรรมการเรยนการสอนสรางบรรยากาศทดในการเรยนวชา แคลคลส 2

4.21 0.79 18.76% มาก

5 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความสนใจและ กระตอรอรนทจะเรยน

4.36 0.83 19.03% มาก

6 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาสามารถทบทวน เนอหาไดหลายครงและไมจ ากดเวลากบสถานท

4.72 0.53 11.23% มากทสด

7 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเกดความภาคภมใจ และเหนคณคาของตนเอง

4.18 0.55 13.16% มาก

8 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความตงใจ อดทน พยายามและรบผดชอบตนเองมากขน

4.36 0.56 12.84% มาก

9 เวลาทใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเหมาะสม 4.25 0.70 16.47% มาก 10 กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความรสกทดตอ การเรยนในรายวชาแคลคลส 2

4.11 0.69 16.79% มาก

รวม 4.28 มาก จากตาราง 2 แสดงคาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐานและคาสมประสทธการแปรผนของแบบวดความคดเหนตอวชาการจดการเรยนการสอนดวย ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา จะเหนวานกศกษามความคดวาการจดการเรยนการสอนทชวยใหนกศกษาสามารถทบทวนเนอหาไดหลายครงและไมจ ากดเวลากบสถานทมความส าคญและนบวาเปนประโยชนอยางยง เพราะคาเฉลยเลขคณตสงถง 4.72 สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 0.5 และคาสมประสทธของการแปรผนมคาเพยงรอยละ 11.23 เทานน สวนคาเฉลยเลขคณตของความคดเหนส าหรบกจกรรม การเรยนการสอนชวยใหนกศกษาฝกทกษะดวยตนเองได และ กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความรสกทดตอการเรยนในรายวชาแคลคลส 2 มคาต าสดเทากนอยท 4.11 ซงกอยในระดบด เชนกน ทงนนกศกษาอาจจะไมชอบการศกษาดวยตนเองมากนดเพราะสวนใหญคนเคยกบการเรยนทมผสอนเปนหลกในการถายทอด สวนกจกรรมทดตอการเรยนในรายวชา แคลคลส 2 กเชนเดยวกน เนองจากเปนรายวชาทยากและเปนเรองทจะตองประยกตใชในสาขาของตนเองใหได แตคะแนนเฉลยกนบวาอยในระดบดอย สวนกจกรรมอก 7 กจกรรมกอยในระดบดทงหมด

www.ssru.ac.th

บทท 5 สรปการวจย อภปรายผลและขอเสนอแนะ

สรปผลการวจย การวจยครงนเปนการวจยทสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ในรายวชาแคลคลส 2 ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏ สวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 สรปไดดงนคอ

1. ประชากรและกลมตวอยาง ประชากร เปนนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวน สนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 ทลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 กลมตวอยาง ไดมาจากการ สมอยางงาย เปนสาขาวชา จากนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555 จ านวน 36 คน 2. วตถประสงคของการวจย

1).เพอสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธวชาแคลคลสของนกศกษา คณะ วทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา 2).เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาแคลคลส เรองเทคนคการหาปรพนธกอนและหลงการเรยนดวย ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา 3) เพอศกษาความคดเหนของนกศกษาตอ ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและ วดโอ ของวชาแคลคลสของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

3. เครองมอทใชในการวจย เครองมอทใชในการวจยประกอบดวย

1) ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ซงประกอบดวย แบบฝกทกษะท มตวการอธบายหลกการและเทคนคการหาปรพนธจ านวน 6 วธ พรอมทงวดโออธบายอยางละเอยดดวยวธ การจบภาพเปนวดโอ

2) แบบทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เรองเทคนคการหาปรพนธแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 20 ขอ และขอสอบแบบอตนยแสดงวธท า 3 ขอแตใหเลอกตอบพยง 2 ขอเทานน

3. แบบวดความคดเหนของนกศกษาหลงจากทไดรบการเรยนรดวยชดเทคนคการหาปรพนธ โดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

4. การเกบรวบรวมขอมล การวจยครงนเปนการสรางและพฒนาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

ขนตอนของการเกบรวมรวมขอมล มดงตอไปน คอ ประชมชแจงเรองชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

www.ssru.ac.th

30

ประกอบดวย 1) ท าแบบทดสอบกอนการเรยนแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอกจ านวน 20 ขอ และขอสอบ แบบอตนยแสดงวธท า 3 ขอ แตเลอกท าเพยง 2 ขอเทานน ใชเวลา 1 ชวโมง 30 นาท 2) ศกษาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ เปนเวลา 4 สปดาห สปดาหละ 3 ชวโมงเปนเวลา 12 ชวโมง โดยผสอนเปดวดโอและอธบายเพมเตมในกรณทผเรยนยงไมเขาใจทละตวอยาง เมอเขาใจแลวจงใหท าแบบฝกทกษะทมลกษณะคลายกบตวอยาง พรอมทงตรวจ สอบค าตอบในวดโอพรอมทงแกไขและท าความเขาใจใหถกตองในแตละตวอยาง และเมอเรยนจบแตละเทคนคของการหาปรพนธผเรยนจะตองฝกทกษะเพมเตมทายเรองกอนทจะเรยนเทคนคการหาปรพนธวธตอไป ทงนผวจยไดแบงเนอหาสาระดงตอไปน สปดาหท 1 เรอง ทบทวนการหาอนพนธและการหาปรพนธพนฐาน จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 2 เรอง การหาปรพนธโดยการแทนคา และการหาปรพนธแบบแยกสวน

จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 3 เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมตและการแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต จ านวน 3 ชวโมง สปดาหท 4 เรอง การหาปรพนธโดยแยกเปนเศษสวนยอย และการหาปรพนธดวยการแทนคาแบบอน ๆ จ านวน 3 ชวโมง ถาในกรณทนกศกษาตามไมทนหรอตองการศกษาดวยตนเองหลาย ๆ ครงโดยไมจ ากดเวลาและสถานท ผเรยนสามารถศกษาเพมเตมไดอกจากเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ของ รายวชา MAT1402 แคลคลส 2

3) ในระหวางทกลมตวอยางฝกทกษะดงกลาวหากมปญหาหรอยงไมเขาใจ สามารถ สอบถามอาจารยผสอนได บางครงอาจจะจดอธบายในชนเรยนไดบางถานกเรยนบางคนไมมพนฐานจรง ๆ และตองการซกถามขอสงสยเพมเตม

4) เมอสนสดการศกษาชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอแลว ใหกลมตวอยางท าแบบทดสอบหลงเรยน ซงเปนชดเดยวกบแบบทดสอบกอนการเรยน และใหผเรยนตอบ แบบส ารวจความคดเหนตอการเรยนการสอนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ทผวจยสรางขนจ านวน 20 ขอ และใหแสดงความคดเหนเพมเตม การวเคราะหขอมล การวเคราะหขอมลในการวจยครงน ผวจยไดท าการวเคราะหขอมลตามล าดบดงน

1. หาประสทธภาพของชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ โดยผเชยวชาญ 2. หาคาความทยงตรงของแบบทดสอบ หาคาอ านาจจ าแนก หาคาความยากงาย และความ

เชอมนของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 3. เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนระหวางกอนและหลงเรยนดวยชดเทคนค

การหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ 4. หาประสทธภาพของแบบส ารวจความคดเหนโดยผเชยวชาญ

www.ssru.ac.th

31

5. การวเคราะหขอมล ผวจยน าผลทไดจากการเกบรวบรวมขอมลซงประกอบดวยคะแนนของชดเทคนคการหา

ปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ หาคาเฉลยเลขคณต คาสวนเบยงเบนมาตรฐานและคาสมประสทธ การแปรผนแลวน าคะแนนของกลมตวอยางทงหมดมาเปรยบเทยบเพอศกษาความแตกตางระหวางคะแนนของแบบทดสอบกอนการเรยนและคะแนนของแบบทดสอบ หลงการเรยน ดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ โดยใชสตร

D

Dt

S

ผลการวเคราะหขอมลมดงน คอ 1) ชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอทผวจยสรางขนประกอบดวย ชดแบบ

ฝกทกษะจ านวน 50 ตวอยาง ชดค าอธบายทสรางโดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) จ านวน 50 ชดและค าอธบายในรปแบบของวดโอจ านวน 50 ชด ซงน าสามารถศกษาเพมเตมโดยผานเวบไซต http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ในรายวชา MAT 1402 แคลคลส 2 ซงนกศกษาสามารถศกษากอนท าการฝกแบบทกษะและศกษาในรปแบบของวดโอเพมเตมไดตลอดเวลา

2) เปรยบเทยบคะแนนเฉลยของแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนดวยชดเทคนคการ หาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลย ราชภฏสวนสนนทา ทลงทะเบยนเรยนรายวชา แคลคลส 2 เรอง เทคนคการหาปรพนธ ปรากฏวา คะแนนเฉลยหลงการเรยนสงกวาคะแนนเฉลยกอนเรยนอยางมนยส าคญทางสถตทระดบ 0.01 ซงปรากฏดงรายละเอยดตอไปน

3) การส ารวจของนกศกษาหลงจากการเรยนรดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะ และวดโอของนกศกษาคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา มความคดเหน อยในระดบมาก อภปรายผลการวจย จากการศกษาวจยในครงนท าใหพบขอเทจจรงทเปนประโยชนอยางยงหลายประเดนดวยกน ในทนจะขอแบงเปนประเดนทส าคญมาก 3 ประเดนดงน คอ ประเดนชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

1. จากการสงเกตและตดตามผลการเรยนนกศกษาทสนใจและฝกทกษะอยอยางสม าเสมอบาง คนคอนขางสงตางจากเพอรวมชนเรยนโดยสงเกตจากการบนทกการเขาศกษาในเวบ http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ แสดงถงความเอาใจใสและขยนทบทวนบทเรยนดวยตนเอง นกศกษาเขามาศกษาดวยตนเองเพอเปนการทบทวนตอชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ซงแสดงถงประสทธภาพของเตรองมอและการใชเทคโนโลยสงเสรมการศกษาดวยตนเองไดเปนอยางด

2. ถาสามารถใหกลมตวอยางเปนนกศกษา คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ทกคนทเรยนP

www.ssru.ac.th

32

แคลคลส 2 ไดกจะเปนการด เพราะวาอาจารยบางทานทสอนในกลมอน ๆ ยงคงใชวธการสอนแบบบรรยาย ประกอบการยกตวอยางเปนสวนใหญ ท าใหนกศกษาบางคนขาดโอกาสทด แตกมนกศกษาบางคนทเรยนกลมอน แตสามารถเขามาเรยนดวยตนเองผานเวบ http://www.ssru.ac.th/teacher/ubol/ ของผวจยไดทกคน

3. ส าหรบรายวชาคณตศาสตรอน ๆ กนาจะจดการเรยนการสอนในลกษณะนได แตไมใชให แบบฝกทกษะและวดโอเปนผแทนครอยางเดยว ควรใชประกอบบางเรอง ทงนเปนการฝกใหผเรยนรจก การศกษาหาความรดวยตนเองไดอยางตอเนอง ประเดนผลสมฤทธทางการเรยน

1. จากการส ารวจความรพนฐานจากคะแนนทดสอบกอนการเรยนของนกศกษากลมตวอยาง ของคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา จ านวน 36 คน พบวาคะแนนเฉลยอยท 4.03 จากคะแนนเตม 30 คะแนน ซงนบวานอยมาก ทง ๆ ทบางเรองเปนการทบทวนเนอหาทเพงเรยนมาในภาคเรยนทผานมาสวนคะแนนเฉลยหลงจากการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ อยท 16.47 จากคะแนนเตม 30 คะแนน ซงมากกวารอยละ 50 นบวามการพฒนา ผลสมฤทธทางการเรยนไดดขนมาก

2. จากการเปรยบเทยบคะแนนเฉลยของผลสมฤทธทางการเรยนดวยชดเทคนคการหาปรพนธ โดยใชแบบฝกทกษะและวดโอระหวางกอนเรยนและหลงเรยน พบวาคะแนนหลงเรยนสงกวาคะแนนกอนเรยน อยางมนยส าคญทระดบ 0.01 ทงนนาจะเปนผลมาจากรปแบบการเรยนการสอนทผเรยนไดพยายาม ฝกทกษะตามตวอยางทก าหนดใหไดหลาย ๆ รอบอกทงยงมเสยงอธบายเหมอนกบอยในชนเรยนเหมาะส าหรบนกศกษาทเขาเรยนไมสม าเสมอหรอมาเรยนไมทน ประเดนความคดเหนตอชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ

1.. นกศกษาเปนสวนมากทแสดงความคดเหนอยในระดบดเกอบทกกจกรรมยกเวนกจกรรม จดการเรยนการสอนทชวยใหนกศกษาสามารถทบทวนเนอหาไดหลายครงและไมจ ากดเวลากบสถานทซงอยในระดบ ดมาก แสดงใหเหนวาการเรยนดวยการนงฟงเพยงครงเดยวอาจจะยงไมสามารถท าใหผเรยนเกดความเขาใจ ไดอยางถองแทจะตองมการทบทวนและฝกทกษะอยางตอเนองโดนมแนวทางเปนตวอยาง

2. ในการเรยนการสอนคณตศาสตร สงทส าคญอกประการหนงกคอคณธรรมและ จรยธรรมของนกศกษาในเรองความรบผดชอบ ความขยน ความซอสตย ของนกศกษาบางคนยงไมดนก ไมชอบท าแบบฝกทกษะ ชอบลอกเพอนเพอใหมงานสงเทานน ไมสนใจตนเองวาจะมความรหรอไม ซงสงเหลานจะกอใหเกดความเสยหายกบประเทศชาตเปนอยางมาก

3. ในการแสดงความคดเหนเพมเตมจาก 10 กจกรรมทก าหนดไว นกศกษาหลายคนไดแสดง ความคดเหนเพม ซงสามารถแบงไดเปน 2 ประเดนคอ ประเดนทเหนดวย สรปไดคอเปนวดโอทสามารถศกษาหาความรเพมเตมจากชนเรยน ทบทวน นอกเวลาเรยนกได ท าใหเนอแคลคลสทยากกลายเปนเรองงาย การเรยนจากวดโอท าใหรสกเปนกนเอง ท าใหตงใจเรยนมากขน อกทงสามารถศกษาลวงหนามากอน พอมาฟงในชนเรยนอกครงกเขาใจมากยงขน

www.ssru.ac.th

33

ประเดนทยงไมเหนดวยมากนก สวนใหญเปนเรองทกลาววาอาจารยเปดวดโอเรวเกนไป ตามไม ทนและไมชอบไปศกษาดวยตนเอง เพราะเวลาเรยนชอบนงฟงอยางเดยวแลวใหเวลาในการบนทก แตกได อธบายวธการเรยนในระดบอดมศกษากบนกเรยนแลว กเขาใจกนทกคน ขอเสนอแนะ ผวจยมขอเสนอแนะทแยกไวเปนประเดน ๆ ดงตอไปน ขอเสนอแนะส าหรบการน าผลการวจยไปใช

1. นกเรยน นกศกษา ตลอดจนผสนใจทว ๆ ไป สามารถน าชดเทคนคการหาปรพนธโดย ใชแบบฝกทกษะและวดโอ ศกษาเรองเทคนคการหาปรพนธไดดวยตนเอง

2. อาจารยและผสอน สามารถน าชดเทคนคการหาปรพนธโดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ท ผวจยสรางขนไปใชประกอบการเรยนการสอนในชนเรยนไดหรออาจจะเปนเอกสารศกษาเพมเตมดวยตนเองใหกบนกศกษากได

3. การใชวดโอ ประกอบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรสามารถท าได เชนกน เพยงแต สามารถเลอกเนอหาหรอหวขอทเหมาะสม จะสามารถแกปญหาขาดแคลนบคลากรได และนกศกษา ทกกลมไดเรยนจากอาจารยผสอนคนเดยวกน เพราะบางครงนกศกษาอาจจะตองการเรยนกบอาจารยบางทาน แตไมสามารถท าไดดวยระบบการจดการศกษาของคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลย ราชภฏสวนสนนทา

ขอเสนอแนะส าหรบการวจยตอไป 1. ผสอนในรายวชาคณตศาสตรสามารถจดท าวดโอกบเนอหาเรอง ๆ ได โดยเลอกใช โปรแกรม

จบภาพเปนวดโอ ดวยโปรแกรม Camtasia Studio ซงวธการท าไมยงยาก เสยคาใชจายนอยและสรางเพยงคนเดยวไมตองใชทมการถายท าวดโอ

2. ผวจยทสนใจการสรางแบบฝกทกษะในลกษณะน ควรท าการวจยเพมเตมกบเนอหาวชา คณตศาสตรในเรองอน ๆ อยางหลากหลายโดยเฉพาะเนอหาทยงยากและสลบซบซอน ซงศกษาเพยงครงเดยวอาจจะยงไมเขาใจ แตถาศกษาจากวดดโอ สามารถศกษาไดหลายครงโดยไมจ ากดเรองเวลาและสถานท

www.ssru.ac.th

บรรณานกรม

www.ssru.ac.th

บรรณานกรม ทพปภา ศรธรพนธ. (2547). การพฒนาการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝกทกษะ การ คดค านวณ เรอง จ านวนเตม ชนมธยมศกษาปท 1 ของนกเรยนโรงเรยน เมองคง อ าเภอคง จงหวดนครราชสมา การศกษาคนควาอสระ. มหาวทยาลย มหาสารคาม : วทยานพนธ. ธ ารง บวศร. (2531). ทฤษฎหลกสตร การออกแบบและการพฒนา. กรงเทพฯ: เอราวณการ พมพ. นนทนลน แหลงสนาม.(2547) . การพฒนาการจดการเรยนรวชาคณตศาสตรดวยแบบฝก ทกษะ การคดค านวณเรอง ทฤษฏของปทาโกรส ชนมธยมศกษาปท 3 โรงเรยน

พมายวทยา อ าเภอพมาย จงหวดนครราชสมา / การศกษาคนควาอสระ มหาวทยาลยมหาสารคาม: วทยานพนธ.

บรรพต สวรรณประเสรฐ. (2544). การพฒนาหลกสตรโดยเนนผเรยนเปนส าคญ. เชยงใหม : The Knowledge Center. ยพน พพธกล. (2536). การเรยนการสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ : บพธการพมพ. . (2539). การเรยนการสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ : บพธการพมพ. . (2545) การเรยนการสอนคณตศาสตรยคปฏรปการศกษา. กรงเทพฯ : บพธการ พมพ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . (2548). คมอแนะน าการใชงาน The Geometer’s Sketchpad ซอฟตแวรส ารวจเชงคณตศาสตรเรขาคณตพลวต. กรงเทพฯ : สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . . (2548). คมออางอง The Geometer’s Sketchpad ซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต. กรงเทพฯ : สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและ เทคโนโลย. .อบล กลองกระโทก. (2549). แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1. กรงเทพมหานคร : ศนยสอ

และสงพมพแกวเจาจอม. Anton , Howard. (1995) . Calculus (5th ed .) . New York : John Willey & Sons. Cheng, Hero Yu-Hsiung.(1998). “Curriculum Effectiveness for elementary School

Students With Math Learning Difficulties (Special Academic Program),” Dissertation Abstracts International. 59(01): 117 –A ; December.

www.ssru.ac.th

Danniel , S. and others (2005). Exploring Precalculus with The Geometer’s Sketchpad. CA: Key Curriculum. Jame Stewart. (2003). Single Variable Calculus. CA: Thomson Learning , Inc. Khairiree, K., and Kunkel, P. (2006). Critical and Creative Thinking in Mathematics

using The Geometer’s Sketchpad: Advanced Tools and Topics. Bangkok: International College, Suan Sunandha Rajabhat University.

Paul , A. Foerster.(2003). Precalculus with Trigonometry Concepts and Applications . CA: Key Curriculum Press. Paul , K Steven , C & Scott , S (2007). Exploring Algebra 2 with The Geometer’s

Sketchpad. CA:Key Curriculum Press. Thompson , Gary Milliam.(1998). “The Effect of Systematic Instruction in Mental Computation Upon Fourth Grade Students’ Arithmetic Problem–Solving and Computation Ability (Fourth Grade),” Dissertation Abstracts International. 52(05): 1675 –A ; November.

www.ssru.ac.th

แบบส ารวจความคดเหน แบบสอบถามความคดเหนของนกศกษาทมตอการจดกจกรรมการเรยนร

เรอง เทคนคการหาปรพนธ โดยใชแบบฝกทกษะและวดโอ ค าชแจง

1. การตอบแบบส ารวจความคดเหนดงกลาวจะไมมผลตอการประเมนในรายวชาน 2. ใหนกศกษาตอบแบบส ารวจในแตละขอตามความคดเหนของนกศกษามมระดบความคดเหน

ดงตอไปน ระดบ 5 หมายถง เหนดวยมากทสด ระดบ 4 หมายถง เหนดวยมาก ระดบ 3 หมายถง เหนดวยปานกลาง ระดบ 2 หมายถง เหนดวยนอย ระดบ 1 หมายถง เหนดวยนอยทสด

รายการ ระดบความคดเหน

5 4 3 2 1 1. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเขาใจเนอหาทเรยน 2. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเกดการเรยนรอยางเปนล าดบ ขนตอน 3. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาฝกทกษะดวยตนเองได 4. กจกรรมการเรยนการสอนสรางบรรยากาศทดในการเรยนวชา แคลคลส 2 5. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความสนใจและกระตอรอรนทจะเรยน 6. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาสามารถทบทวนเนอหาไดหลายครงและไม จ ากดเวลากบสถานท

7. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษาเกดความภาคภมใจและเหนคณคาของตนเอง 8. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความตงใจ อดทน พยายามและรบผดชอบ ตนเองมากขน

9. เวลาทใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเหมาะสม 10. กจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกศกษามความรสกทดตอการเรยนในรายวชา แคลคลส 2

ความคดเหนเพมเตม ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรยน เรอง เทคนคการหาปรพนธ

1. ทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ความหมายของอนพนธของฟงกชน

h 0

dy f (x h) f (x)f '(x) lim

dx h

สตรพนฐานการหาอนพนธของฟงกชน สตรท 1 d

c 0dx

สตรท 2 dx 1

dx

สตรท 3 n n 1d(x ) nx

dx

สตรท 4 d du(cu) c

dx dx

สตรท 5 d du dv(u v)

dx dx dx สตรท 6 d du dv

(u v)dx dx dx

สตรท 7 d dv du(uv) u v

dx dx dx สตรท 8

2

du dvv u

d u dx dx

dx v v

สตรท 9 dsin x

dx cosx สตรท 10 d

cos xdx

sinx

สตรท 11 dtan x

dx 2sec x สตรท 12 d

cot xdx

2csc x

สตรท 13 dsecx

dx secx tanx สตรท 14 d

cscxdx

cscx cotx

สตรท 15 d 1ln x

dx x , สตรท 16 a

d 1log x

dx x lna

สตรท 17 x xda a lna

dx สตรท 18 x xd

e edx

การใชกฎลกโซสามารถด าเนนการได เชน n n 1d du(u ) nu

dx dx

และเชนเดยวกนสามารถใชไดกบ

สตรทกลาวมาขางตนทกสตร

ตวอยางท 1 จงหา dy

dx เมอก าหนดให 3 2y 3x 2x 4x 100

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 1 จงหา dy

dx เมอก าหนดให

1

4 3 21

y x 3x 4x 503

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 2 จงหา f '(x) เมอก าหนดให 2 5f (x) (2x 3)

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 2 จงหา f '(x) เมอก าหนดให 3 2 4f (x) (3x x ) วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 3 จงหาอนพนธของฟงกชน 3 4f (x) (2x 1) (x 3) วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 3 จงหาอนพนธของฟงกชน 2 2 5f (x) (3x 1) (x 5) วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 4 จงหาอนพนธของฟงกชน f (x) sin(2x 1)

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 4 จงหาอนพนธของฟงกชน 2f (x) tan(x 1) วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 5 จงหาอนพนธของฟงกชน 2x 1f (x) e วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 5 จงหาอนพนธของฟงกชน 3x 2xf (x) e วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 6 จงหาอนพนธของฟงกชน f (x) ln(2x 4) วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน ตวอยางท 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 6 จงหาอนพนธของฟงกชน f (x) ln(cos x) วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ เรอง ทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน จงหาอนพนธของฟงกชน

1. 2d2x 1

dx …………………………………………………………………………….

2. 3 2dx 2x 4x 1

dx ………………………………………………………………..

3. d

3 xdx

……………………………………………………………………………….

4. 2 2d5x x 6

dx

……………………………………………………………………

5. 2

d 1 3

dx xx

……………………………………………………………………………

6. 2 2dx 3 2x 3x 4)

dx …………………………………………………………..

7. 4

2dx 1

dx ……………………………………………………………………..………

8. d 3x 1

dx x

……………………………………………………………………………..

9. d 1

dx 2x 5

…………………………………………………………………..………..

10. 2d2x 1

dx ……………………………………………………………..…………..

11. 7 9d

x 1 (x 2)dx

……………………………………………….…………………..

12. d

sin(3x 2)dx

………………………………………………………………………..

13. 2dcos x

dx ………………………………………………………………….…………..

14. 2dtan(x 3)

dx ………………………………………………………………………..

15. d

xsin xdx

…………………………………………………………………….………..

16. d sin x

dx 3 cos x

……………………………………………………………..…………..

17. 3dsec (2x 1)

dx ………………………………………………………..……………..

18. 2x x 1d3e

dx

…………………………………………………………………………..

19. cosxde

dx ……………………………………………………………………..………..

20. d

ln(sin x)dx

…………………………………………………………………………..

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง ทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน

1. 2d2x 1 4x

dx

2. 3 2 2dx 2x 4x 1 3x 4x 4

dx

3. d 3

3 xdx 2 x

4. 2 2

3

d 25x x 6 10x

dx x

5. 2 3 2

d 1 3 2 3

dx xx x x

6. 2 2 3 2dx 3 2x 3x 4) 8x 9x 4x 9

dx

7. 4

2 2 3dx 1 8x(x 1)

dx

8. 2

d 3x 1 1

dx x x

9. 2

d 1 2

dx 2x 5 (2x 5)

10. 2

2

d 2x2x 1

dx 2x 1

11. 7 69 8d

x 1 (x 2) (16x 5) x 1 (x 2)dx

12. d

sin(3x 2) 3cos(3x 2)dx

13. 2dcos x 2sin xcosx

dx

14. 2 2 2dtan(x 3) 2xsec (x 3)

dx .

15. d

xsin x xcosx sin xdx

.

16. 2

d sin x 3cosx 1

dx 3 cosx (3 cosx)

17. 3 3dsec (2x 1) 6sec (2x 1) tan(2x 1)

dx

18. 2 2x x 1 x x 1d3e 3(2x 1)e

dx

19. cosx cosxde sin x e

dx

20. d cosx

ln(sin x) cot xdx sin x

2. ทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ความหมายของหาปรพนธของฟงกชน

สตรพนฐานการหาปรพนธของฟงกชน

สตรท 1 dx x c สตรท 2 nx dx n 1x

cn 1

, n -1

สตรท 3 1dx

x ln x c สตรท 4 kf (x)dx k f (x)dx

สตรท 5 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

สตรท 6 xe dx xe c หรอ ue du ue c

สตรท 7 sin xdx cosx c สตรท 8 cos xdx sinx c

สตรท 9 tan xdx ln secx c สตรท 10 cot xdx ln sin x c

สตรท 11 2sec xdx tanx c สตรท 12 2cosec xdx cot x c

สตรท 13 secx tan xdx secx c สตรท 14 cosecx tan xdx cosecx c

สตรท 15 sec xdx ln secx tan x c สตรท 16 csc xdx ln cscx cot x c

สามารถใชสตรขางตน เพอหาปรพนธของฟงกชน u f (x) ไดเชน n 1

n uu du c , n 1

n 1

หรอ 1du ln u c

u เปนตน

ตวอยางท 7 จงหาคาของ 23x dx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 7 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 7 จงหาคาของ 34x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 8 จงหาคาของ 2x 3x 2 dx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 8 จงหาคาของ 3 2x 4x 2x 1 dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 9 จงหาคาของ xsin x e dx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 9 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 9 จงหาคาของ 1cos x dx

x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 10 จงหาคาของ sin 3x dx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 10 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 10 จงหาคาของ cos(4x 1)dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 11 จงหาคาของ 1dx

2x 3

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 11 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 11 จงหาคาของ 1dx

x 4

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 12 จงหาคาของ 2

2

1

x 2x 1) dx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน ตวอยางท 12 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 12 จงหาคาของ 1

3

1

x x 1) dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ เรอง ทบทวนการหาปรพนธของฟงกชนพนฐาน จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปน

1. 45x dx …………………………………………………………………………………………….. 2. 312x dx …………………………………………………………………………………………..

3. 3

1dx

x ……………………………………………………………………………………………..

4. 2 xdx ………………………………………………………………….……………………….. 5. 3 22x 3x dx …………………………………………………………………………………..

6. 2

2

18x dx

x

……………………………………………………………….…………………..

7. 2x x 1 dx ………………………………………………………………….………………….. 8. (x 3)(x 2)dx ………………………………………………………….……………………..

9. 25x 3x

dxx

…………………………………………………………………………………..

10. 2

2

3x 5dx

x

…………………………………………………………………..………………..

11. cos4xdx …………………………………………………………………………….………….. 12. sin(2x 4)dx ………………………………………………………………………………….. 13. 23sec (x 1)dx ……………………………………………………………..………………….. 14. sec(4x) tan(4x)dx …………………………………………………………………………….. 15. x 1e dx ………………………………………………………………………………….……….. 16. 4x3e dx …………………………………………………………………………………………..

17. 32 x 13x e dx ……………………………………………………………………………………..

18. 1dx

x 2

……………………………………………………………………..…………………..

19. 2

2xdx

x 1

………………………………………………………………………………………..

20. x

x

edx

e 1

………………………………………………………………………………………..

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง ทบทวนการหาปรพนธของฟงกชนพนฐาน

1. 4 55x dx x c

2. 3

2

612x dx c

x

3. 3 2

1 1dx c

x 2x

4. 3

24

2 xdx x c3

5. 4

3 2 3x2x 3x dx x c

2

6. 2 3

2

1 8 18x dx x c

3 xx

7. 4 3

2 x xx x 1 dx c

4 3

8. 3 2x x

(x 3)(x 2)dx 6x c3 2

9. 2 25x 3x 5x

dx 3x cx 2

10. 2

2

3x 5 5dx 3x c

xx

11. 1cos4xdx sin4x c

4

12. 1sin(2x 4)dx cos(2x 4) c

2

13. 23sec (x 1)dx 3tan(x 1) c

14. 1sec(4x) tan(4x)dx sec(4x) c

4

15. x 1 x 1e dx e c

16. 4x 4x33e dx e c

4

17. 3 32 x 1 x 13x e dx e c

18. 1dx ln x 2 c

x 2

19. 2

2

2xdx ln x 1 c

x 1

20. x

x

x

edx ln e 1 c

e 1

1. การหาปรพนธโดยแทนคา เราสามารถใชสตรการหาปรพนธจากขางตนดวยการแทนคา u f (x) สตรทส าคญประกอบดวย เชน

สตรท 1 du u c สตรท 2 nu du n 1u

cn 1

, n -1

สตรท 3 1du

u ln x c สตรท 4 ue du ue c

สตรท 5 sin udu cosx c สตรท 6 cosudu sinu c

หลกการ ขนท 1 ก าหนดให u g(x) ซง g(x) เปนนพจนสวนหนงของปรพนธ และเปนฟงกชนประกอบ

ของ f (g(x)) ขนท 2 หา du g '(x)dx ขนท 3 แทนคา u g(x) และ du g '(x)dx ในปรพนธทงหมดและจะเปนฟงกชนทอยรปของ ตวแปร u เทานน ขนท 4 หาปรพนธโดยใชสตรพนฐานตาง ๆ ขนท 5 แทนคาฟงกชน u ดวย g(x)ซงผลทไดจะเปนปรพนธของฟงกชนตามทเราตองการ

ตวอยางท 13 จงหาคาของ 3

2 24x 2x 1 dx ; u 2x 1

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคา ตวอยางท 13 ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 13 จงหาคาของ 5

2 23x 3x 4 dx ; u 3x 4

ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 ……………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 14 จงหาคาของ 4 4x 5dx ; u 4x 5

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคา ตวอยางท 14 ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 ……………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 14 จงหาคาของ 2 22x x 5dx ; u x 5

ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 15 จงหาคาของ 5

2 3 32x 2x 7 dx ; u 2x 7

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคา ตวอยางท 15 ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 15 จงหาคาของ 1

2 22x 2x 4 dx ; u 2x 4

ขนท 1 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 2 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 3 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 4 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ขนท 5 …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 15 จงหาคาของ 2 2xsin(2x 3)dx ; u 2x 3

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคา ตวอยางท 15 วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 15 จงหาคาของ 2 3 3x cos(x 5)dx ; u x 5

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 17 จงหาคาของ 2x 2xe dx ; u x

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคา ตวอยางท 17 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 17 จงหาคาของ 32 x 32x e dx ; u x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 18 จงหาคาของ 3(ln x)

dx ; u ln xx

วธท า เปดวดโอ เรองทบทวนการหาปรพนธโดยแทนคาตวอยางท 18 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….…………

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 18 จงหาคาของ 2(ln3x)

dx ; u ln3xx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….…………

แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแทนคา จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปนโดยแทนคา ตามทก าหนดให

1. 2 12 22x(x 1) dx ; u x 1

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………

2. 2 5 2(2x 3)(x 3x 4) dx ; u x 3x 4

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

3. 2 2y 1 2y dy ; u 1 2y

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

4.

45

25

5xdx ; u x 1

x 1

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

5. 2

3

3

3xdx ; u x 4

x 4

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

6. 4(1 sin x) cos xdx ; u 1 sin x วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

7. cos(5x)dx ; u 5x วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

8. sec3x tan3xdx ; u 3x วธท า ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

9. 4sin x cos xdx ; u sin x วธท า ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

10. 2cot x cosec xdx ; u cot x วธท า ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

11. 2x 1e dx ; u 2x 1 วธท า………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

12. 32 x x 3(3x 1)e dx ; u x x วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

13. 1dx ; u 2x 6

2x 6

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

14. 2

2

xdx ; u x 10

x 10

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………

15. x

x

x

edx ; u e 12

e 12

วธท า ……………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแทนคา

1. 2 13

2 12 (x 1)2x(x 1) dx c

13

2. 2 6

2 5 (x 3x 4)(2x 3)(x 3x 4) dx c

6

3. 3

2 2 21

y 1 2y dy (1 2y ) c6

4.

4

2 55

5x 1dx c

x 1x 1

5. 2

3

3

3xdx 2 x 4 c

x 4

6. 5

4 (1 sin x)(1 sin x) cosxdx c

5

7. 1cos(5x)dx sin(5x) c

5

8. 1sec3x tan3xdx sec(3x) c

3

9. 4 51sin xcosxdx ; u sin x c

5

10. 2

2 cot xcot x cosec xdx c

2

11. 2x 1 2x 11e dx e c

2

12. 3 32 x x x x(3x 1)e dx e c

13. 1 1dx ln 2x 6 c

2x 6 2

14. 2

2

x 1dx ln(x 10) c

2x 10

15. x

x

x

edx ln e 12 c

e 12

2. การหาปรพนธโดยแยกสวน

การอนทเกรตแบบแยกสวนมหลกในการหาดงน คอ ก าหนดให u และ v เปนฟงกชนของ x จากสตรของดฟเฟอเรนเชยลหรอคาเชงอนพนธของ uv ทวา duv udv vdu นนคอ udv duv vdu แลวอนทเกรตทงสองขาง จะได

udv duv vdu หรอ udv uv vdu ดงนนจะไดวา

udv uv vdu

ตวอยางท 19 จงหาคาของ xsin xdx ก าหนดให u x และ dv sin xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 19 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 19 จงหาคาของ x cos xdx ก าหนดให u x และ dv cosxdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 20 จงหาคาของ xxe dx ก าหนดให u x และ xdv e dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 20 จงหาคาของ xxe dx

ก าหนดให u x และ xdv e dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 21 จงหาคาของ ln xdx ก าหนดให u ln x และ dv dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 21 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 21 จงหาคาของ ln 4xdx ก าหนดให u ln 4x และ dv dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 22 จงหาคาของ x ln xdx ก าหนดให u ln x และ dv xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 22 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 22 จงหาคาของ x ln(2x)dx ก าหนดให u ln(2x) และ dv xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 23 จงหาคาของ xe cos xdx ก าหนดให xu e และ dv cosxdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 23 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 23 จงหาคาของ xe sin xdx ก าหนดให xu e และ dv sin xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 24 จงหาคาของ 2 xx e dx ก าหนดให 2u x และ xdv e dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 24 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 24 จงหาคาของ 2x sin xdx ก าหนดให 2u x และ dv sin xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

การใชวธลดในการหาปรพนธโดยแยกสวนทมากกวา 1 ครง การหาปรพนธของฟงกชนตางๆ โดยแยกสวนบางครงไมสามารถทจะหาค าตอบไดจากการหาปรพนธเพยงครงเดยว ดงนนอาจจะหาปรพนธของฟงกชนโดยแยกสวนมากกวา 1 ครง จงจะหาค าตอบได เราสามารถใชวธลดเพอหาค าตอบได ดงวธตอไปน

สตรการลดทอน ( reduction formula) ทใชอยในขณะนมอยมากมาย แตจะน าเสนอไวเฉพาะสตรทมกจะพบบอย ๆ ดงเชนสตรตอไปน ก าหนดให m , n เปนจ านวนเตมใด ๆ และ a , b เปนคาคงทใด ๆ

สตรท 1 m ax m ax m 1 ax1 mx e dx x e x e dx

a a

สตรท 2 m

m m 1x mx sin bxdx cosbx x cosbxdx

b b

สตรท 3 m

m m 1x mx cosbxdx sin bx x sin bxdx

b b

ตวอยางท 25 จงหาคาของ 2 xx e dx โดยวธลด

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแยกสวน ตวอยางท 25 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 25 จงหาคาของ 2x sin xdx โดยวธลด

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแยกสวน จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปนโดยแยกสวน

1. 2xxe dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

2. x4xe dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 3xxe dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

4. ln 2xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5. 2

ln x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

6. ln(3x 5)dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

7. ln(2x 6)dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

8. 2xe cos xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 2 3xx e dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 2x cos xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

11. xe sin 2xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………

12. 1

0

x ln xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

13. 2

5x

0

xe dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

14. 5

1

ln(x 1)dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

15. 2

0

xcos2xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. .

16. 3

2

0

ln(x 3)dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

17. 2 5xx e dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

18. 2x cos3xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธโดยแยกสวน

1. 2x 2x 2x1 1xe dx xe e c

2 4

2. x x x4xe dx 4(xe e ) c

3. 3x 3x 3x1 1xe dx xe e c

3 9

4. ln 2xdx x ln 2 x ln x x c 5.

2 2ln x dx x(ln x) 2xln x 2x c

6. 5 5ln(3x 5)dx x ln(3x 5) ln(3x 5) x c

3 3

7. ln(2x 6)dx x ln 2 3ln 2 x ln(x 3) c

8. 2x 2x 2x2 1e cosxdx e cosx e sin x c

5 5

9. 2 3x 2 3x 3x 3x1 2 2x e dx x e xe e c

3 9 27

10. 2 2 21 1 1xcos xdx xcosxsin x x cos x c

2 4 4

11. x x x2 1e sin2xdx e cos2x e sin2x c

5 5

12. 1

0

1x ln xdx

4

13. 2

5x 10

0

9 1xe dx e

25 25

14. 5

1

ln(x 1)dx 4ln 2 6ln3 4

15. 2

0

1xcos2xdx

2

16. 3

2

0

2ln(x 3)dx 6ln 2 3ln3 6 3

3

17. 2 5x 2 5x 5x 5x1 2 2x e dx x e xe e c

5 25 125

18. 2

2 x 2x 2x cos3xdx sin3x cos3x sin3x c

3 9 27

3. การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ในการหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตทเปนฟงกชนก าลงของไซนและโคไซน เพอความสะดวก

ในทนจะแบงชนดของฟงกชนตรโกณมตดงกลาวซงออกเปน 5 รปแบบดงน รปแบบท 1 nsin xdx รปแบบท 2 ncos xdx รปแบบท 3 m nsin x cos xdx

รปแบบท 4 m ntan x sec xdx

รปแบบท 5 m ncot x csc xdx

รปแบบท 6 nsin xdx สามารถใชการหาปรพนธโดยแยกสวน สรางเปนสตรลดทอนดงน คอ

n n 1 n 21 n 1sin xdx sin xcosx sin xdx

n n

ตวอยางท 26 จงหาคาของ 2sin xdx

วธท าท 1 เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนฟงกชนตรโกณมตตวอยางท 26 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

วธท าท 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

วธท าท 3

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 26 จงหาคาของ 3sin xdx

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

รปแบบท 2 ncos xdx

สามารถใชการหาปรพนธโดยแยกสวน สรางเปนสตรลดทอนดงน คอ n n 1 n 21 n 1

cos xdx cos xsin x cos xdxn n

ตวอยางท 27 จงหาคาของ 2cos xdx

วธท าท 1 เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนฟงกชนตรโกณมตตวอยางท 27 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

วธท าท 2 …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

วธท าท 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 27 จงหาคาของ 3cos xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

รปแบบท 3 m nsin x cos xdx ถากรณท m 0 สามารถใชสตรการลดทอนของรปแบบท 2 ได เลย นนคอ

n n 1 n 21 n 1cos xdx cos xsin x cos xdx

n n

ถากรณท n 0 สามารถใชสตรการลดทอนของรปแบบท 1 ได เชนกน นนคอ

m m 1 m 21 m 1sin xdx sin xcosx sin xdx

m m

ส าหรบกรณท m 0 และ n 0 มหลกการหาปรพนธดงน คอ 1) ถา m เปนจ านวนค ใหแทนคา u cosx และแทนคา 2 2sin x 1 cos x 2) ถา n เปนจ านวนค ใหแทนคา u sin x และแทนคา 2 2cos x 1 sin x 3) ถา m , n เปนจ านวนคใหใชสตรเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตเพอลดทอน

เลขชก าลง นนคอ ใชสตรเอกลกษณ

2 1 cos2xsin x

2

และ 2 1 cos2x

cos x2

ตวอยางท 28 จงหาคาของ 2 3sin x cos xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 28 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 28 จงหาคาของ 5 3sin x cos xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 29 จงหาคาของ 3 3cos x sin xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 29 …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 29 จงหาคาของ 3cos x sin xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 30 จงหาคาของ 4 4sin x cos xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 30 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 30 จงหาคาของ 2 2sin x cos xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

รปแบบท 4 m ntan x sec xdx การหาคาของอนทกรลของฟงกชนตรโกณมตทอยในรป m ntan x sec x มหลกการดงนคอ

กรณท m 0 ใชสตร n n 2 n 21 n 2sec xdx sec x tan x sec xdx

n 1 n 1

กรณท n 0 ใชสตร m m 1 m 21tan xdx tan x tan xdx

m 1

กรณท m 0 , n 0 มหลกการหาอนทกรล ดงน 1) ถา n เปนจ านวนค ใหแทนคา u tan x แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2sec x tan x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

2) ถา m เปนจ านวนค ใหแทนคา u secx แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2tan x sec x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

3) ถา m เปนจ านวนค และ n เปนจ านวนค ใหใชสตรเอกลกษณ เปลยนใหอยในรปของ secx โดยเปลยน 2 2tan x sec x 1 และ ตองใชสตร tan xdx ln secx c และ

secxdx ln secx tan x c

ตวอยางท 31 จงหาคาของ 3sec xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 31 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 31 จงหาคาของ 4sec xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 32 จงหาคาของ 3tan xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 32 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 32 จงหาคาของ 4tan xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 33 จงหาคาของ 3 4tan x sec xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 33 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 33 จงหาคาของ 5 3sec x tan xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 34 จงหาคาของ 2 2tan x sec xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 34 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 34 จงหาคาของ 4 4tan x sec xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

รปแบบท 5 m ncot x csc xdx การหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตทอยในรป m ncot x csc x มหลกการหาคลายกบฟงกชน

ตรโกณมตทอยในรป m ntan x sec x ดงนคอ

กรณท m 0 ใชสตร n n 2 n 21 n 2csc xdx csc x cot x csc xdx

n 1 n 1

กรณท n 0 ใชสตร m m 1 m 21cot xdx cot x cot xdx

m 1

กรณท m 0 , n 0 มหลกการหาอนทกรล ดงน

1) ถา n เปนจ านวนค ใหแทนคา u cot x แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2csc x cot x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

2) ถา m เปนจ านวนค ใหแทนคา u cscx แลวใชสตรเอกลกษณ 2 2cot x csc x 1 แลวเปลยนทกฟงกชนอยในรปของ u

3) ถา m เปนจ านวนค และ n เปนจ านวนค ใหใชสตรเอกลกษณ เปลยนใหอยในรปของ cscx โดยเปลยน 2 2cot x csc x 1 และตองใชสตร cot xdx ln sin x c และ

cscxdx ln cscx cot x c

ตวอยางท 35 จงหาคาของ 3cot xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 35 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 35 จงหาคาของ 4cot xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 36 จงหาคาของ 4csc xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 36 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 36 จงหาคาของ 3csc xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 37 จงหาคาของ 4cot x csc xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 37 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 37 จงหาคาของ 3 5cot x csc xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต จงหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมต ตอไปน

1. 2sin 3xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 2cos 5xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 2sec 4xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 2tan 8xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5. 2sin x cos xdx ; u sin x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………

6. 3 2sin x cos xdx ; u cos x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

7. 4 3sin 3x cos 3xdx ; u sin3x

วธท า ………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

8. 3 2tan xsec xdx ; u tan x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 3tan xsecxdx ; u secx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 4 2tan xsec xdx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรโกณมต

1. 2 1 1sin 3xdx x sin6x c

2 12

2. 2 1 1cos 5xdx sin10x x c

20 2

3. 2 1sec 4xdx tan4x c

4

4. 2 1tan 8xdx tan8x x c

8

5. 2 31sin xcosxdx sin x c

3

6. 3 2 5 31 1sin xcos xdx cos x cos x c

5 3

7. 4 3 5 71 1sin 3xcos 3xdx sin 3x sin 3x c

15 21

8. 3 2 41tan xsec xdx tan x c

4

9. 3 31tan xsecxdx sec x secx c

3

10. 4 2 51tan xsec xdx tan x c

5

4. การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต

การหาปรพนธฟงกชนบางฟงกชนถาเปลยนใหอยในรปฟงกชนอน ๆ จะท าใหหาปรพนธ ไดงายแลวจงแทนคาของฟงกชนใหอยในรปเดมกไดเชนกน ดงนนการแทนคาดวยฟงกชน ตรโกณมตกสามารถท าได โดยทตวทถกอนทเกรตตองอยในรปแบบทก าหนด และมหลกในการแทนคาดงน คอ 1) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2a x แทนคาดวย x a sin z 2) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2a x แทนคาดวย x a tan z 3) ถาตวถกอนทเกรตมตวประกอบทเปน 2 2x a แทนคาดวย x asecz หลงจากทเปลยนฟงกชนตาง ๆ ใหอยในรปของฟงกชนตรโกณมตของตวแปร z แลวกใชเทคนคของการหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตไดเทาไรแลวจงคอยเปลยนฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนเดม

ตวอยางท 38 จงหาคาของ 29 x dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 38 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 38 จงหาคาของ 216 x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 39 จงหาคาของ 21 x dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 39

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 39 จงหาคาของ 24 x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 40 จงหาคาของ 2x 25dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 40 ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 40 จงหาคาของ 2x 3dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

จากหลกการขางตนและตวอยางตาง ๆ สามารถพสจนสตรเพอน าไปใชโดยไมตองแทนคาดวย ฟงกชนตรโกณมต ดงนคอ

สตรท 1 2

2 2 2 2 1x a xa x dx a x sin c

2 2 a

สตรท 2 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a c

2 2

สตรท 3 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a c

2 2

สตรท 4 1

2 2

dx xdx sin c

aa x

สตรท 5 2 2

2 2

dxdx ln x x a c

x a

สตรท 6 2 2

2 2

dxdx ln x x a c

x a

ตวอยางท 41 จงหาคาของ 236 x dx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 41 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 41 จงหาคาของ 21 4x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยางท 42 จงหาคาของ 2

1dx

4 x

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 42

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 42 จงหาคาของ 2

1dx

1 (x 2)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 43 จงหาคาของ 2x 8xdx

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต ตวอยางท 43 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 43 จงหาคาของ 26x x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปน โดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต

1. 2

2

xdx

16 x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 2x 9

dxx

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 2

1dx

x 25

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 2

1dx

1 4x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปน โดยใชสตรทสรางจากการหาปรพนธทแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต

5. 29 4x dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

6. 216x 1dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

7. 2(x 2) 25dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

8. 2

1dx

25 16x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 2

1dx

9x 1

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 2

1dx

x 2x 2

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

เฉลยแบบฝกทกษะ การหาปรพนธโดยแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต

1. 2

1 2

2

x x 1dx 8sin x 16 x c

4 216 x

2. 2

2 1x 9 xdx x 9 3sec c

x 3

3. 2

2

1dx ln x 25 x c

x 25

4. 1

2

1 1dx sin 2x c

21 4x

จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปน โดยใชสตรทสรางจากการหาปรพนธทแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต

5. 2 2 11 9 2x9 4x dx x 9 4x sin c

2 4 3

6. 2 2 21 116x 1dx x 16x 1 ln 4x 16x 1 c

2 8

7. 2 2 2x 2 25(x 2) 25dx (x 2) 25 ln x 2 (x 2) 25 c

2 2

8. 1

2

1 1 4xdx sin c

4 525 16x

9. 2

2

1 1dx ln 3x 9x 1 c

39x 1

10. 2

2

1dx ln x 1 x 2x 2 c

x 2x 2

5. การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยวธการแยกเปนเศษสวนยอย

ส าหรบเศษสวนตรรกยะแท สามารถเขยนในรปของเศษสวนยอย (partial fraction) เพอทจะสามารถหาปรพนธไดงาย ซงสามารถแบงวธการเขยนเศษสวนตรรกยะแทใหอยในรป เศษสวนยอย ไดดงน คอ กรณท 1 ตวประกอบของ Q(x) มก าลงสงสดเปนหนงและอยในรป ax b และ ตวประกอบแตละตวตองแตกตางกน นนคอ Q(x) เราสามารถแยกตวประกอบไดเปน 1 2 3 nQ(x) (x a )(x a )(x a ) ... (x a ) และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

31 2 n

1 2 3 n

AA A AP(x)...

Q(x) x a x a x a x a

เมอ 1 2 3 nA , A , A ,..., A เปนคาคงท

เชน 31 2 AA AP(x)

(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3

ซงจะเหนวาการอนทเกรตฟงกชน

P(x)

(x 1)(x 2)(x 3) จะท าไดยากกวาการอนทเกรตฟงกชน 31 2 AA A

x 1 x 2 x 3

ตวอยางท 44 จงหาคาของ 2

1dx

x 9

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยแยกเปนเศษสวนยอย ตวอยางท 44 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 44 จงหาคาของ 2

1dx

x 4

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

กรณท 2 ตวประกอบของ Q(x) มก าลงสงสดเปนหนงและอยในรป ax b และตวประกอบ ดงกลาวมบางตวทซ ากน

นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 2Q(x) (x a) (x b)(x c) และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 2

2

A AP(x) B C

Q(x) x a x b x cx a

เมอ 1 2A , A , B,C เปนคาคงท

เชน

1 2

2 2

A AP(x) B C

x 3 x 4 x 1(x 3) (x 4)(x 1) x 3

ตวอยางท 45 จงหาคาของ 2

3x 5dx

(x 1)

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยแยกเปนเศษสวนยอย ตวอยางท 45 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 45 จงหาคาของ 2

2x 4dx

(x 2)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

กรณท 3 ตวประกอบของ Q(x) มก าลงสงสดเปนสองและอยในรป 2ax bx c และ ตวประกอบดงกลาวแตกตางกน

นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 21 1 2 2 2Q(x) (a x b )(a x b x c )

และสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 2 2

21 1 2 2 2

A A x BP(x)

Q(x) a x b a x b x c

เมอ 1 2 2A , A , B เปนคาคงท

เชน 3 31 2 2

2 2 2 2

A x BA A x BP(x)

x 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x 2x 3 x 3x 1

หรอ อาจจะใช

2 2 2 2

P(x) A Bx C Dx E

x 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x 2x 3 x 3x 1

กรณท 4 ตวประกอบของ Q(x) มก าลงสงสดเปนสองซ ากนและอยในรป 2ax bx c

นนคอ Q(x) สามารถแยกตวประกอบไดเปน 2 nQ(x) (ax bx c) เมอ n เปนจ านวนเตมและสามารถเขยนในรปของเศษสวนยอยไดเปน

1 1 2 2 n n

2 2 n2 2

A x B A x B A x BP(x)...

Q(x) ax bx c ax bx c ax bx c

เมอ 1 2 nA , A , ... , A และ 1 2 nB , B , ... , B เปนคาคงท

เชน 3 31 1 2 2

2 3 2 2 2 2 3

A x BA x B A x BP(x)

(x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1)

ตวอยางท 46 จงหาคาของ 3 2

2 2

x x x 2dx

(x 2)(x 1)

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยแยกเปนเศษสวนยอย ตวอยางท 46 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 46 จงหาคาของ 2

2

x x 2dx

(3x 1)(x 1)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยแยกเปนเศษสวนยอย

จงหาปรพนธของฟงกชนตอไปน

1. 2

dx

x 3x 4

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

2. dx

(x 1)(x 2)(x 3)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 2

3

2x 9x 9dx

x 9x

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………

4. 2

(x 5)dx

(x 2)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5. 2

1dx

x 16

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………

6. 2

2

4x 3x 5dx

(x 1) (x 2)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธฟงกชนตรรกยะโดยแยกเปนเศษสวนยอย

1.

2

dx 1 x 1ln c

5 x 4x 3x 4

2. 2 3

5

dx 1 (x 2) (x 3)ln c

(x 1)(x 2)(x 3) 30 (x 1)

3. 2 2

3

2x 9x 9 x(x 3)dx ln c

x 3x 9x

4. 2

(x 5) 3dx ln x 2 c

x 2(x 2)

5. 2

1 1 x 4dx ln c

8 x 4x 16

6. 2

3

2

4x 3x 5 2dx ln (x 1)(x 2) c

x 1(x 1) (x 2)

6. การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ

นอกจากการใชเทคนคการหาปรพนธดวยวธตาง ๆ ทกลาวมาแลว ยงมการหาปรพนธโดยวธ การแทนคาแบบอน ๆ ( miscellaneous substitution ) ทตวถกอนทเกรตอยในรปของเศษสวนและมเครองหมายกรณฑทอยในรป n ax b , 2q px x หรอ 2q px x เปนตน ปรากฏอยในฟงกชนทตองการหาปรพนธสามารถใชวธการแทนคาดงตอไปน เพอเปลยนตวถกอนทเกรตใหอยในรปแบบเศษสวนตรรกยะของตวแปรทสมมตขนมาใหม ดงน

1) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n ax b ใหแทนดวยตวแปร nu ax b หรอแทน nax b u เชน 3 2x 1 ใหแทนดวย 3u 2x 1 หรอ 32x 1 u

2) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n 2a bx x ใหแทนดวยตวแปร 2 2a bx x (u x) เชน n 22 2x x ใหแทนดวย 2 22 2x x (u x)

3) ถามเครองหมายกรณฑอยในรป n 2 na bx x ( x)( x) ใหแทนดวย ตวแปร 2 2 2a bx x ( x) u หรอ 2 2 2a bx x ( x) u เชน n 26 x x หรอ n (3 x)(2 x) ใหแทนดวย 2 2 26 x x (3 x) u หรอ 2 2 26 x x (2 x) u

ตวอยางท 47 จงหาคาของ dx

(x 3) x 1

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ ตวอยางท 47 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 47 จงหาคาของ dx

x x 1

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ

จงแสดงวาคาของอนทกรลตอไปนมคาเทากบฟงกชนทก าหนดใหโดยการแทนคาแบบอน ๆ

1. 5 3

2 22 4

x x 2dx (x 2) (x 2) c5 3

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 1 1 11

3 6 623

dx2x 3x 6x 6ln(x 1) c

x x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. dx 1 1 xln c

x 1 x 1 1 x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 2

2 2

dx 1 x x 2 x 2ln c

2x x x 2 x x 2 x 2

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5. 2

2

dxln 2 x x 1 2x 1 c

x x 1

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธดวยวธการแทนคาในแบบอน ๆ

1. 5 3

2 22 4

x x 2dx (x 2) (x 2) c5 3

2. 1 1 11

3 6 623

dx2x 3x 6x 6ln(x 1) c

x x

3. dx 1 1 xln c

x 1 x 1 1 x

4. 2

2 2

dx 1 x x 2 x 2ln c

2x x x 2 x x 2 x 2

5. 2

2

dxln 2 x x 1 2x 1 c

x x 1

7. การหาปรพนธไมตรงแบบ

จากการหาปรพนธจ ากดเขต b

a

f (x)dx มขอจ ากดวาฟงกชน f ตองเปนฟงกชนตอเนอง

บนชวง a,b และเมอ a และ b เปนอนนตจะไมสามารถหาดวยวธตาง ๆ ทกลาวมาแลวได ดงนนเนอหาทจะกลาวตอไปน จะเปนการหาปรพนธของฟงกชน f บนชวง [a, ) , ( ,b] หรอ ( , ) และอนทกรลของฟงกชน f บนชวง a,b ซง f ไมตอเนองทจดบางจดในชวง a,b นน จะเรยกอนทกรลในลกษณะนวาอนทกรลไมตรงแบบ ( improper integrals) และจะตองน าเรองลมตของฟงกชนมาชวยในการหาคาอนทกรลดวย

จากหลกการทสามารถหาอนทกรลไมตรงแบบในรปของลมตน สามารถแบงการหา อนทกรลไมตรงแบบทส าคญ ๆ ได 3 แบบดงนคอ แบบท 1 อนทกรลไมตรงแบบบนชวง [a, ) ซงสามารถใหบทนยามไดดงน คอ

บทนยาม 1.2 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, ) อนทกรลไมตรงแบบบนชวง [a, )

จะแทนดวย b

ba a

f (x)dx lim f (x)dx

ถาลมตหาคาได

ตวอยางท 48 จงหาคาของ x

1

e dx

ถาหาคาได

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธไมตรงแบบ ตวอยางท 48 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 48 จงหาคาของ 1

1dx

x

ถาหาคาได

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบท 2 อนทกรลไมตรงแบบบนชวง ( , b] ซงสามารถใหบทนยามไดดงน คอ บทนยาม 2.3 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( , b] อนทกรลไมตรงแบบบนชวง ( , b]

จะแทนดวย b b

aa

f (x)dx lim f (x)dx

ถาลมตหาคาได

ตวอยางท 49 จงหาคาของ 1

3xe dx

ถาหาคาได

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธไมตรงแบบ ตวอยางท 49 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 49 จงหาคาของ 2

2xe dx

ถาหาคาได

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบท 3 ปรพนธไมตรงแบบบนชวง ( , ) ซงสามารถใหบทนยามไดดงน คอ บทนยาม 1.4 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( , ) และ c เปนจ านวนจรงซงท าให อนทกรล

ไมตรงแบบ c

f (x)dx

และ c

f (x)dx

ลเขาแลว ปรพนธไมตรงแบบของฟงกชน f

บนชวง ( , ) จะแทนดวย c

c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

หมายเหต เพองายตอการค านวณ f (x)dx

นยมเลอกจ านวนจรง c 0 หรอ

0

0

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

ตวอยางท 50 จงหาคาของ 2x2xe dx

ถาหาคาได

วธท า เปดวดโอ เรองการหาปรพนธไมตรงแบบ ตวอยางท 50 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ ของตวอยางท 50 จงหาคาของ 32 x3x e dx

ถาหาคาได

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธไมตรงแบบ จงหาปรพนธไมตรงแบบของฟงกชนตอไปน ถาหาคาได

1. 4

1

3dx

x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

2. 1

1dx

x

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 0

3

1dx

(2x 1)

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 0 x

x

edx

3 2e

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5. 3 4 2x (1 x ) dx

วธท า …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

6. 3

4 3/ 2

xdx

(1 x )

วธท า ……………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………….

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาปรพนธไมตรงแบบ

1. 4

1

3dx 1

x

2. 1

1dx

x

หาคาไมได

3. 0

3

1 1dx

4(2x 1)

4. 0 x

x

e 1dx ln3

23 2e

5. 3 4 2x (1 x ) dx 0

6. 3

4 3/ 2

xdx 0

(1 x )

สรปสตร เรอง เทคนคการหาปรพนธ 1. ทบทวนการหาอนพนธของฟงกชน

ความหมายของอนพนธของฟงกชน h 0

dy f (x h) f (x)f '(x) lim

dx h

สตรท 1 dc 0

dx สตรท 2 d

x 1dx

สตรท 3 n n 1d(x ) nx

dx

สตรท 4 d du(cu) c

dx dx

สตรท 5 d du dv(u v)

dx dx dx สตรท 6 d du dv

(u v)dx dx dx

สตรท 7 d dv du(uv) u v

dx dx dx สตรท 8

2

du dvv u

d u dx dx

dx v v

สตรท 9 dsin x

dx cosx สตรท 10 d

cos xdx

sinx

สตรท 11 dtan x

dx 2sec x สตรท 12 d

cot xdx

2csc x

สตรท 13 dsecx

dx secx tanx สตรท 14 d

cscxdx

cscx cotx

สตรท 15 d 1ln x

dx x , สตรท 16 a

d 1log x

dx x lna

สตรท 17 x xda a lna

dx สตรท 18 x xd

e edx

การใชกฎลกโซสามารถด าเนนการได เชน n n 1d du(u ) nu

dx dx

และเชนเดยวกนสามารถใชไดกบ

2. ทบทวนการหาปรพนธของฟงกชน

สตรท 1 dx x c สตรท 2 nx dx n 1x

cn 1

, n -1

สตรท 3 1dx

x ln x c สตรท 4 kf (x)dx k f (x)dx

สตรท 5 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

สตรท 6 xe dx xe c หรอ ue du ue c

สตรท 7 sin xdx cosx c สตรท 8 cos xdx sinx c

สตรท 9 tan xdx ln secx c สตรท 10 cot xdx ln sin x c

สตรท 11 2sec xdx tanx c สตรท 12 2cosec xdx cot x c

สตรท 13 secx tan xdx secx c สตรท 14 cosecx tan xdx cosecx c

สตรท 15 sec xdx ln secx tan x c สตรท 16 csc xdx ln cscx cot x c

สามารถใชสตรขางตน เพอหาปรพนธของฟงกชน u f (x) ไดเชน n 1

n uu du c , n 1

n 1

หรอ 1du ln u c

u เปนตน

L

ประวตผวจย ชอ นายอบล กลองกระโทก ต ำแหนง รองศาสตราจารย ระดบ 9 หวหนาสาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ ทท ำงำน สาขาวชาคณตศาสตรสารสนเทศ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ทอยปจจบน 11/83 ซอยส าโรงเหนอ 13 หม 9 ถนนสขมวท 113 (วดดานส าโรง)

ต าบล ส าโรงเหนอ อ าเภอ เมอง จงหวดสมทรปราการ เกด วนท 20 ธนวาคม 2497 อ าเภอ เมอง จงหวดนครราชสมา กำรศกษำ กศ.บ. (คณตศาสตร) มศว. ประสานมตร พ.ศ. 2520 กศ.ม. (คณตศาสตร) มศว. ประสานมตร พ.ศ. 2526 ผลงำน 1. คณตศาสตรส าหรบวทยาศาสตร 2 2. คณตศาสตรส าหรบวทยาศาสตร 3 3. แคลคลสและเรขาคณตวเคราะห 1 4. การวเคราะหจ านวนเชงซอนเบองตน 5. การพฒนารปแบบการฝกทกษะ การคดค านวณวชาคณตศาสตร ส าหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 1 6. คณตศาสตรส าหรบการสอบเขามหาวทยาลย 7. การส ารวจเมทรกซของการแปลงโดยใชเรขาคณตแบบพลวต

www.ssru.ac.th