เอกสารประกอบการสอน รายวิชาหลักการคณิตศาสตร์ Principle of ... · ก ค ำน ำ เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาหลักการคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการสอน รายวชาหลกการคณตศาสตร

(Principle of Mathematics)

ชอเออง อทตะสาร

คณะครศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2562

เอกสารประกอบการสอน รายวชาหลกการคณตศาสตร

(Principle of Mathematics)

ชอเออง อทตะสาร ค.บ. (วทยาศาสตร-คณตศาสตร เกยรตนยมอนดบสอง) จฬาลงกรณมหาวทยาลย

วท.ม. การสอนคณตศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร

คณะครศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2562

ก

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการเรยนรายวชาหลกการคณตศาสตร (Principle of Mathematics) เลมน เปนสวนหนงของหลกสตรครศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร (4 ป ) หลกสตรปรบปรง พ.ศ. 2562 โดยมวตถประสงคเพอเปนแหลงเรยนรเกยวกบหลกการคณตศาสตร ประกอบไปดวยธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร ตรรกศาสตร และระเบยบวธพสจนและการใหเหตผลทางคณตศาสตรเกยวกบจ านวน เซต ความสมพนธ ฟงกชน เพอประยกตใชการพสจนในการศกษาทางคณตศาสตรขนตอไป ผเขยนไดแบงเนอหาออกเปน 8 บท ประกอบไปดวย บทท 1 ธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร บทท 2 ตรรกศาสตร บทท 3 ระเบยบวธพสจน บทท 4 เซตเบองตน บทท 5 ความสมพนธ บทท 6 ฟงกชน บทท 7 จ านวนจรง

ผเขยนหวงวาเอกสารประกอบการสอนเลมนจะเปนประโยชนกบผอานทจะน าไปใชประกอบการเรยนในการเรยนรายวชาหลกการคณตศาสตรได ผจดท า ชอเออง อทตะสาร 2562

ข

สำรบญ หนำ

ค ำน ำ ก สำรบญ ข ค ำอธบำยรำยวชำ ง ก ำหนดกำรสอน

จ

บทท 1 ธรรมชำตและโครงสรำงของคณตศำสตร ธรรมชาตของคณตศาสตร 1 โครงสรางของคณตศาสตร 2 ระบบคณตศาสตร 3 ปฏทรรศน (Paradox)

4

บทท 2 ตรรกศำสตร ประพจน 8 ประโยคเปด 9 การเชอมประพจน 10 การหาคาความจรงทมประพจนเปนตวเชอม 11 สจนรนดร 14 สมมลเชงตรรกศาสตร 15 กฏตรรกศาสตร 16 การอางเหตผล 18 ตวบงปรมาณ

26

บทท 3 กำรพสจน การพสจนตรง 28 การพสจนแยงสลบท 29 การพสจนประพจนทมเงอนไขสองทาง 31 การพสจนประพจน p q r 32 การพสจนประพจน p q r 33 การพสจนโดยแจกแจงกรณ 35 การพสจนโดยขอขดแยง (วธทางออม) 36 การพสจนประพจนซงเปนไปไดอยางเดยว 38 การพสจนวาไมม 38 การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร 40

ค

สำรบญ (ตอ)

หนำ บทท 4 เซตเบองตน สญลกษณและการเขยนเซต 44 การเทากนของเซต 46 เซตจ ากดและเซตอนนต 48 เซตยอย 50 เซตก าลง 52 การด าเนนการของเซต 55 แผนภาพของเวนนและออยเลอร 57 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด 62 บทท 5 ควำมสมพนธ คอนดบ 66 คารทเซยนหรอผลคณไขว 67 ความสมพนธ 71 โดเมนและเรนจของความสมพนธ 72 กราฟของความสมพนธ 75 ความสมพนธผกผน 79 บทท 6 ฟงกชน บทนยามฟงกชน 85 ฟงกชนหนงตอหนงทวถง 86 ฟงกชนผกผน 89 ฟงกชนประกอบ 91 พชคณตของฟงกชน 93 ฟงกชนทควรทราบเพมเตม 95 บทท 7 จ ำนวนจรง สจพจนสนาม 101 ทฤษฎบทพนฐานส าหรบจ านวนจรง 101 ชวง 103 สจพจนความบรบรณ 104 สมการและการแกอสมการ 106 สมการและอสมการคาสมบรณ 109

ง

ค ำอธบำยรำยวชำ MAC1301หลกกำรคณตศำสตร Principle of Mathematics 3(2-2-5)

ธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร ตรรกศาสตร และระเบยบวธพสจนและการใหเหตผลทางคณตศาสตรเกยวกบจ านวน เซต ความสมพนธ ฟงกชน เพอประยกตใชการพสจนในการศกษาทางคณตศาสตรขนตอไป

Nature and structure of mathematics; mathematical logic; methods of proof and mathematical reasoning on numbers, set, relations and functions in order to prove mathematical statements in the higher mathematical studies

จดมงหมำยของรำยวชำ

เพอใหนกศกษามความรความเขาใจในเรองธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร ตรรกศาสตร และระเบยบวธพสจนและการใหเหตผลทางคณตศาสตรเกยวกบจ านวน เซต ความสมพนธ ฟงกชน เพอประยกตใชการพสจนในการศกษาทางคณตศาสตรขนตอไป

จ

ก ำหนดกำรสอน หลกกำรคณตศำสตร Principle of Mathematics (MAC1301)

วนพฤหสบด เวลา 8.00-12.00/13.00-17.00 สอนโดย อ.ชอเออง อทตะสาร สปดำหท วนท หวขอ หมำยเหต

1 15/08/2562 แนะน ารายวชา เตรยมความพรอมผเรยน บทท 1 ธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร

2 22/08/2562 บทท 2 ตรรกศาสตร -คาความจรงของประพจน 3 29/08/2562 บทท 2 ตรรกศาสตร -สมมลและสจนรนดร 4 5/09/2562 บทท 2 ตรรกศาสตร-การอางเหตผล ตวบงปรมาณ 5 12/09/2562 บทท 3 ระเบยบวธพสจน-การพสจนทางตรง 6 19/09/2562 บทท 3 ระเบยบวธพสจน -การพสจนทางออม 7 26/09/2562 บทท 3 ระเบยบวธพสจน

-การพสจนประพจนซงเปนไปไดอยางเดยว

8 3/10/2562 บทท 3 ระเบยบวธพสจน -อปนยทางคณตศาสตร 9 7-11/10/2562 Midterm (20 คะแนน) 10 17/10/2562 บทท 4 เซตเบองตน

-การเขยนเซต สบเซต พาวเวอรเซต

11 24/10/2562 บทท 4 เซตเบองตน -การด าเนนการทางเซต จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

12 31/10/2562 บทท 5 ความสมพนธ -คอนดบและความสมพนธ -โดเมนและเรนจของความสมพนธ

13 7/11/2562 บทท 5 ความสมพนธ -กราฟของความสมพนธ -ความสมพนธผกผน

14 14/11/2562 บทท 6 ฟงกชน-บทนยาม ฟงกชนประกอบ -พชคณตของฟงกชน ฟงกชนทควรทราบเพมเตม

15 21/11/2562 บทท 7 จ านวนจรง 16 28/11/2562 น าเสนอโครงงาน 17 2-6/12/2562 Final (20 คะแนน)

กำรใหคะแนน

Test1-4 Midterm Project Attendance Final Total 20 30 10 10 30 100

1 หลกการคณตศาสตร (Principle of Mathematics ) MAC1301 สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

บทท 1 ธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร


คณตศาสตรมบทบาทส าคญตอชวตขอบมนษยเปนอนมาก มนษยเรมเรยนรแนวคดทาง

คณตศาสตรจากสภาพแวดลอมหรอธรรมชาตแลวน าไปสการสรปเปนกฎเกณฑตาง ๆ ซงสามารถน าไปใชประโยชนในชวตประจ าวนได คนสวนใหญทไมไดเกยวของกบคณตศาสตรโดยตรงมกจะเขาใจวาคณตศาสตรเปนเรองของตวเลขและการคดค านวณเทานน ซงแททจรงแลวคณตศาสตรเปนเรองทหมายรวมไปถงการแกปญหาและการใชเหตผลดวย คณตศาสตรนบเปนเครองมอทส าคญในการศกษาคนควาสรางองคความรในศาสตรอน ๆ และคดคนสงประดษฐตาง ๆ ดงนนในการศกษาวชาคณตศาสตรจงจ าเปนจะตองรและเขาใจเกยวกบธรรมชาตของคณตศาสตรเพอประโยชนในการเลอกวธทจะศกษาใหเหมาะสมและสอดคลองกบธรรมชาตของคณตศาสตร

1.1 ธรรมชาตของคณตศาสตร

นกการศกษาทางคณตศาสตรไดสรปประเดนธรรมชาตของคณตศาสตรทส าคญๆ ไวดงน 1.1.1 คณตศาสตรเปนวชาทเกยวกบความคดรวบยอด ในวชาคณตศาสตรมการสรางความคดตาง ๆ ขนซงความคดเหลานไดมาจากการสรปความ

คดเหนทเหมอนๆ กน ซงอาจจะไดจากประสบการณหรอปรากฏการณตาง ๆทเกดขนเรยกวา ความคดรวบยอด เชน ความคดรวบยอดเกยวกบเรองการเทากนของจ านวน รปสเหลยม จตรส การเทากนทกประการ เปนตน ซงในแตละเนอหาของวชาคณตศาสตรเมอผเรยนไดศกษาแลวจะตองเกดความคดรวบยอดขนในเนอหานน ๆ จงจะเกดประโยชน

1.1.2 คณตศาสตรเปนวชาทแสดงความเปนเหตเปนผล คณตศาสตรเปนวชาทมการแสดงแนวคดอยางเปนระบบ เปนขนตอน การสรปในแตละ

ขนตอนจะตองมการอางองเหตผลอยางสมเหตสมผล ทกขนตอนในแตละเนอหาจะเปนเหตเปนผลตอกน มนษยจงสามารถใชคณตศาสตรเปนเครองมอในการศกษาคนควาองคความรใหม ๆ และคดคนสงประดษฐตางๆ ได

1.1.3 คณตศาสตรมลกษณะเปนภาษาสากล ในวชาคณตศาสตรจะมการก าหนดสญลกษณขนใชเพอสอความความหมาย ซงท าใหสามารถ

เขยนขอความทางคณตศาสตรไดรดกม ชดเจน สอความหมายไดถกตอง เกดความเขาใจตรงกน จงนบไดวาคณตศาสตรมภาษาเฉพาะของตวเอง เปนภาษาททกคนทเรยนคณตศาสตรเขาใจตรงกน

1.1.4 คณตศาสตรเปนศลปะอยางหนง ในการศกษาวชาคณตศาสตรนน นกคณตศาสตรนอกจจากจะเปนนกคดแลว จ าเปนตอง

เปนผทมจนตนาการ ชางสงเกต มความละเอยดรอบคอบ รจกเลอกค าอนยาม บทนยาม สจพจน และทฤษฎบทมาใชไดอยางถกตอง ตามล าดบกอนหลง พรอมทงการใหเหตผลอยางสมเหตสมผล รวมถงการถายทอดสงทพสจนไดแลวออกมาอยางมระบบระเบยบ เปนขนเปนตอนอยางชดเจน พอจะสรปไดวาความงามของคณตศาสตรอยทความมระเบยบ ความกลมกลนของแนวความคดตลอดจนความละเอยดถถวนและรอบคอบ



1.1.5 คณตศาสตรเปนวชาทมโครงสราง โครงสรางของคณตศาสตรทสมบรณนนมก าเนดมาจากธรรมชาต โดยมนษยไดเฝาสงเกต

ความเปนไปของธรรมชาต ซงอาจจะเปนทางชววทยา ฟสกส จตวทยา เศรษฐศาสตร ฯลฯ โดยพจารณาปญหาตาง ๆ ของเนอหาเหลานน แลวสรปในรปนามธรรม สรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรของเนอหานน ๆ ซงแบบจ าลองทางคณตศาสตรประกอบดวย ค าอนยาม ค านยาม และสจพจน จากนนจงใชตรรกศาสตรสรปออกมาเปนกฎหรอทฤษฎบท แลวน ากฎหรอทฤษฎบทเหลานไปประยกตใชในธรรมชาตตอไป ดวยวธการดงกลาวท าใหมนษยเขาใจความเปนไปของธรรมชาตไดดยงขนและในขณะทน ากฎหรอทฤษฎบทไปประยกตใชกบธรรมชาต อาจจะไดขอมลใหม กอใหเกดการปรบปรงแกไขแบบจ าลอง จนกระทงอาจท าใหไดกฎหรอทฤษฎบททดกวาเดม แลวน าไปประยกตใชกบธรรมชาตอกครงหนง ดงแผนภมตอไปน

รปท 1.1 โครงสรางของคณตศาสตร

1.2 โครงสรางของคณตศาสตร โครงสรางของคณตศาสตรประกอบดวย 4 สวนดงน

1.2.1 ค าอนยาม ค าอนยาม (undefined term) หมายถงค าทไมสามารถใหค าจ ากดความได แต

สามารถเขาใจความหมายได โดยอาศยการรบรจากประสบการณ ความคนเคยกบคณสมบตของมน เชน จด เสน ระนาบ เปนตน 1.2.2 ค านยาม

ค านยาม (defined term) หมายถงค าทสามารถใหค าจ ากดความได เชน รปสเหลยม จตรส วงกลม เสนขนาน เปนตน 1.2.3 สจพจน

สจพจน (postulate ) หมายถงขอความทยอมรบหรอตกลงวาเปนจรงโดยไมตองพสจน เชน “เสนตรงสองเสนตดกนทจดเพยงจดเดยวเทานน” “ลากเสนตรงใหผานจดสองจดทแตกตางกนไดเพยงเสนเดยวเทานน”



1.2.4 ทฤษฎบท ทฤษฎบท (theorem) หมายถงขอความทสามารถพสจนไดวาเปนจรง ซงในการ

พสจนอาจใชค าอนยาม ค านยาม สจพจน หรอทฤษฎบทอน ๆ ทไดพสจนมาแลว เชน “มมภายในรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา “เสนตรงสองเสนตดกนมมตรงขามยอมเทากน”

1.3 ระบบคณตศาสตร ระบบคณตศาสตรมองคประกอบทส าคญ 2 สวน คอ โครงสรางของคณตศาสตร และ

กระบวนการใหเหตผล ส าหรบโครงสรางของคณตศาสตรไดกลาวมาแลวในหวขอ 1.2 ในหวขอ 1.3 จะกลาวถงเฉพาะกระบวนการใหเหตผล

กระบวนการใหเหตผล (reasoning ) เปนเครองมอทมนษยใชส าหรบแสดงหาความรใหม ๆ โดยการน าเอาความจรงอยางใดอยางหนงหรอหลายอยางในระบบ ซงเรยกวา เหตหรอขอตง (premise) มาวเคราะหแจกแจงแสดงความสมพนธ เพอใหเกดความจรงอนใหมขน ซงเรยกวา ผล หรอ ผลสรป หรอ ขอยต (conclusion) กระบวนการใหเหตผลแบงเปน 2 ลกษณะ ดงน

1. การใหเหตผลเชงอปนย (inductive reasoning) เปนการสรปความรใหม หรอสรปผลการคนหาความจรง โดยอาศยขอสงเกตหรอผลการทดลองจากหลาย ๆ ตวอยาง จากกรณยอย ๆ แลวสรปเปนความรแบบทวไป ซงผลสรปทไดจากการใหเหตผลแบบนไมไดถกบงคบจากเหตทก าหนดให เนองจากเหตแตละเหตทก าหนดใหหรอน ามาอางองเปนอสระตอกน ตวอยางการใหเหตผลเชงอปนย ตวอยาง จงหาพจนท n ของ 1,3,5,7,9,……พจารณาแตละพจนของล าดบตอไปน

พจนท 1 คอ 1 พจนท 2 คอ 3 เขยนไดเปน 1+2 พจนท 3 คอ 5 เขยนไดเปน 1+2+2 พจนท 4 คอ 7 เขยนไดเปน 1+2+2+2 พจนท 5 คอ 9 เขยนไดเปน 1+2+2+2+2

จากการสงเกตจะเหนวา จ านวนของ 2 ทบวกกบ 1 นอยกวาจ านวนทแสดงล าดบทของพจนอย 1 ดงนน พจนท 100 คอ 1 บวกดวย 2 อก 99 ตว นนคอ พจนท 100 คอ 1+(99x2) = 199 ดงนน พจนท n หรอรปแบบทวไปของล าดบ จงหาไดจาก 1+ 2(n-1) =2n -1 ดงนนล าดบ 1,3,5,7,9,…………จงเขยนเปน 1,3,5,7,9….,2n-1 โดยทว ๆ ไป การใหเหตผลแบบอปนย นยมใชในการศกษาคนควาคณสมบตตาง ๆ ทาง

วทยาศาสตร เชน ขอสรปทวา สารสกดทไดจากสะเดาสามารถใชเปนยาก าจดศตรพชได เปนขอสรปทไดจากการทดลองซ ากนหลาย ๆ ครง แลวไดผลการทดลองตรงกน หรอในทางคณตศาสตรจะใชในเรองการสรางสจพจน เชน เมอทดลองลากเสนตรงสองเสนใหตดกน จะพบวา เสนตรงสองเสนจะตด



กนเพยงจดเดยวเทานน ไมวาจะทดลองลากกครงกตาม จงสรปไดวา เสนตรงสองเสนตดกนเพยงจดเดยวเทานน

2. การใหเหตผลเชงนรนย (deductive reasoning) เปนการสรปความรใหม หรอขอความจรงใหมซงเรยกวา ผลสรปทเปนผลมาจากการน าขอความทก าหนดใหซงยอมรบวาเปนจรงซงเรยกวา เหต ถาเหตทก าหนดใหบงคบใหเกดผลสรป แสดงวา การใหเหตผลดงกลาว สมเหตสมผล (valid) แตถาเหตทก าหนดใหไมสามารถจะบงคบใหเกดผลสรปได แสดงวา การใหเหตผลดงกลาว ไมสมเหตสมผล (invalid) ตวอยางการใหเหตผลเชงนรนย เหต 1. นกทกชนดบนได 2. เพนกวน เปนนกชนดหนง ผลสรป นกเพนกวนบนได

1.4 ปฏทรรศน (Paradox)

ปฏทรรศน หรอ พาราดอกซ (Paradox) คอ ประโยคหรอกลมของประโยคทเปนจรงอยางชดเจน แตน าไปสความขดแยงในตวเอง หรอสถานการณทอยนอกความคดทวไป โดยทวไปแลวอาจเปนไปไดวา ประโยคดงกลาวนแทจรงแลวอาจไมไดน าไปสสภาวะขดแยง ผลลพธทไดอาจไมใชขอขดแยงจรง ๆ หรอขอก าหนดในตอนตนอาจไมจรงหรอไมสามารถเปนจรงพรอม ๆ กนได

ค าวาปฏทรรศนหรอพาราดอกซมกถกใชแทนทไปมากบค าวาขอขดแยง อยางไรกตามแนวคดทงสองนนไมเหมอนกนเสยทเดยว ในขณะทขอขดแยงประกาศสงทตรงกนขามกบตวเองหลายๆ ปฏทรรศนกลบมทางออกหรอค าอธบาย ตวอยางรปภาพทเกดปฏทรรศน

รปท 1.2 รปภาพทเกดปฏทรรศน ทมา http://mathminton.blogspot.com/2010/11/paradox-incpetion.html

สบคนเมอวนท 1 สงหาคม 2561

https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B9%89%E0%B8%87&action=edit&redlink=1

https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B9%89%E0%B8%87&action=edit&redlink=1

http://mathminton.blogspot.com/2010/11/paradox-incpetion.html



ตวอยางประโยคทเปนปฏทรรศน 1. ปญหาวา เราไมสามารถวงแขงแซงเตาได โดยตอใหเตาอยในต าแหนงขางหนา พจารณาเมอเราเดนทางไปอยทต าแหนงเดมของเตา เตากเปลยนต าแหนงไปขางหนาเสยแลว 2. กระตายจะมโอกาสวงแซงเตาหรอเปลา ? (posted on 27 May 2009 by nookniss in Mathematics ) 3. ถาเราเตมน าทละหยดๆ ลงในถงใบหนงทบรรจไวนแดงไว ในขณะทเตมน าทละหยดกจะมการกวนของเหลวในถงนนไปดวย พรอมกบมกอกเปดของเหลวทอยในถงนนออกมาใหชมได ปญหาคอเราสามารถหาน าหยดสดทายทท าใหของเหลวทเราชมเปลยนรสชาตจากไวนแดงมาเปนน าไดหรอเปลา??? 4. “A จรง และ A เปนเทจ” 5. “ประโยคนเปนเทจ”– ถาคนเปนนกวง ก าลงวงแขงขน ถาคณวงแซงคนสดทายคณจะเปนคนทเทาใด 6. มโปรแกรมทใชตรวจสอบการหยดของโปรแกรมรเปลา 7. “เราไมสามารถดมเหลาในแกวทละครงได” หรอ “กดกลวยกนทละครงไมสามารถหมดทงลกได” 8. “I have found the paradox that if I love until it hurts, then there is no hurt, but only more love.” (แมชเทเรซา ) 9. “you cannot step twice into the same river.” ( เฮราคลทส ) 10. ขออาง 1: จ านวน 1 เปนจ านวนนอย ขออาง 2: ถาจ านวน 1 เปนจ านวนนอย จ านวน 2 กเปนจ านวนนอย ขออาง 3: ถาจ านวน 2 เปนจ านวนนอย จ านวน 3 กเปนจ านวนนอย

.

.

.

ขออาง 100,000 : ถาจ านวน 99,999 เปนจ านวนนอย จ านวน 100,000 กเปนจ านวนนอย ขอสรป : จ านวน 100,000 เปนจ านวนนอย 11. ถาไมมทรายเลยแมแตหนงเมด เรากยอมกอกองทรายไมได หากเรามทรายเพมขนมาอกเพยงหนงเมด เรากไมสามารถกอกองทรายขนมาไดจากอะไรทไมใชกองทรายอยแลว ดงนนจงไมอาจมใครกอกองทรายขนมาได 12. สมมตวามฝาแฝด 2 คน คอ ขาว และเขยว โดยทงสองคนนสนใจเรองราวเกยวกบอวกาศ และเมอโตขนกไดท างานในองคการอวกาศทงค โดยขาวเฝาประจ าอยทถานอวกาศบนโลก (จ างายๆ แบบเกอบคลองจองวา ‘ขาวเฝาบาน’) สวนเขยวนนโชคดมโอกาสเดนทางไปในอวกาศดวยยานอวกาศความเรวสง เพอส ารวจดาวฤกษทอยหางออกไปหลายปแสง (จ างายๆ แบบคลองจองวา ‘เขยวทองเทยวไป’) จากนนกกลบมายงโลก ( ดร.บญชา ธนบญสมบต ) เปนตน



ตวอยางสถานการณทเกยวกบปฏทรรศน 1. ปญหาของจระเข แมลกออนคนหนงอมลกนอยไปเดนเลนในสวนสตว ดวยความเผอเรอ

ปลอยใหจระเขตวหนงคาบลกนอยไปได ดวยความรกลก แมจงไหววอนขอใหจระเขสงลกของตนคนมา จระเขตงเงอนไขวาถาแมเดาใจมนถกสกเรองหนงมนจะคนให มฉะนนมนจะกนเสยตอหนาตอตา แมจงกลาววา “ เองจะไมคนลกใหขา “ จระเขจงมาคดดวา ถามนกนเดกนอยเสยกจะตรงกบค าเดาของแม มนจะเอาลกทไหนมาคนใหแม แตถามนคนเดกนอยใหแมไปเสย กหมายความวา แมเดาใจมนผด กมสทธจะกนเดกเพอมใหเสยสตยตอวาจา ทลนออกไป จระเขจะท าอยางไรด ชวยแนะน าใหหนอยเถด มนคาบเดกรอค าตอบอยจนเมอยปากแลว

2. ปญหาของคนปา คนปาเผาหนงเปนมนษยกนคน ครงหนงจบเชลยมาไดคนหนง จงชมนมกนท าพธสงเวยแลวกจะฉลองดวยอาหารอนโอชะ หวหนาเผานกสนกขนมาจงลนวาจากบเชลยวา “ไหนเจาเชลยตวด จงพดอะไรมาใหขาเสยงทายหนอยซ ถาเจาพดความจรงขาจะจดการตมเจา ถาเจาพดความเทจขากจะจดการยางเจา ถาขาไมท าตามค าพดขอใหเจาหกคอขาเสย” เชลยคนนนดใจพดไปวา “ขาจะถกยาง” หวหนาเผาจงสงใหยาง แตแมมดทอย ณ ทนนคานวา ถายางเขาเจาพอจะหกคอหวหนาเผาเพราะเขาพดความจรงตองตม พอมดจงคานวา “ชากอนตมไมไดเพราะถาเอาเขาไปตมกหมายความวาเชลยพดเทจ ตามค าสาบานของหวหนาเผาตองจดการยาง มฉะนน เจาพอจะหกคอ” คนปาเผานนยงปรกษากนอยตราบเทาทกวนนวาจะกนเชลยคนนนไดอยางไร โดยไมใหเจาพอหกคอหวหนาเผา

3. ปญหาของนกสบ นกสบคนหนงไปถามนายด าวานายขาวเปนคนอยางไร นายด าบอกวา “นายขาวโกหกเสมอ” ครนมาถามนายขาววานายด าเปนคนอยางไร นายขาวบอกวา “นายด าพดจรงเสมอ” นกสบจะสรปอยางไรเกยวกบคนทงสอง

4. ปญหาของคนโกหก นกศกษาคนหนงพดขนเปรย ๆ วา “นกศกษายอมพดโกหกเสมอ” ค าพดของเขาเชนนเชอไดหรอไม

5. ปญหาของพระราชา พระราชาองคหนงทรงนกสนกขนมาจงประกาศวา ถาใครสามารถเลาเรองโกหกใหพระองคเหนวาโกหกจรง ๆ ได พระองคจะประทานทองค าใหเปนรางวล 1 ไห ไดมคนมาเลาเรองตาง ๆ มากมาย พระองคกตดสนวาอาจจะจรงไดทงสน ยงไมมใครไดรางวลไปเลย จนอยมาวนหนง มชายชราคนหนงมาเลาวา “ขอเดชะฯ พระอาญาไมพนเกลาฯ พระองคจะเชอหรอไมกแลวแตจะทรงวนจฉย แตความเปนจรงมอยวา ครงหนงพระราชบดาของพระองคไดทรงยมทองค าไปจากขาพระพทธเจา 1 ไห โดยตรสใหมาขอคนจากพระองค บดนขาพระพทธเจามาขอคนตามพระด ารส ควรมควรแลวแตจะโปรด พระราชาจงหาวธหลกเลยงอยางไรจงจะไมเสยทองค า 1 ไห



แบบฝกหด 1

1. จงเขยนโครงสรางทางคณตศาสตรและอธบายโครงสรางอยางละเอยด 2. จงบอกองคประกอบของระบบสจพจน 3. จงยกตวอยางสจพจนทรจกมา 2 สจพจน 4. จงอธบายปฏทรรศนของเหตการณตอไปน

ปญหาของชางตดผม ในหมบานแหงหนงเปนโรคเหากนจนปราบไมไหว เจาหนาทเหนทางออกทางเดยวคอ สงใหทกคนในหมบานโกนผมใหหมด เพอใหแนใจ เจาหนาทคนนนเรยกชางตดผมซงมอยคนเดยวในหมบานนนก าชบวา “ใหแกออกส ารวจคนในหมบานทกคน ถาพบผใดไมโกนผมของตนเองแกตองโกนให แตถาคนไหนโกนผมของตนเองกอยาไปโกนใหคนอนเปนอนขาด ถาแกขดค าสงนแมแตครงเดยวแกจะถกลงโทษ” ชางตดผมขณะนนยงไมไดโกนผม ถาเขาจะไมโกนกจะถกลงโทษ ถาเขาลงมอโกนเมอใดเขากจะตองระงบตามค าสง เพราะจะโกนใหผทโกนผมของตนเองไมได เขาจะท าอยางไรดกบผมของตนเองจงจะไมขดค าสงของเจาหนาท


บทท 2 ตรรกศาสตร


ตรรกศาสตรเปนการศกษาถงหลกการและวธการทใชในการใหเหตผล การศกษาระบบ

คณตศาสตร ซงมลกษณะเปนนามธรรมจงตองอาศยการพสจนหาความจรง โดยใชหลกการใหเหตผลทางตรรกศาสตร ในทนจะกลาวถงตรรกศาสตรพนฐานทจะน าไปใชในการพสจนขอความทางคณตศาสตร ดงรายละเอยดตอไปน 2.1 ประพจน (proposition หรอ statement) บทนยาม 1: ประพจน (proposition หรอ statement) คอ ประโยคทเปนจรงหรอเทจเพยงอยางใดอยางหนงเทานน นยมเขยนแทนตวอกษรตวพมพเลกในภาษาองกฤษ เชน p, q, r เปนตน บทนยาม 2: เรยกประพจนทเปนจรงวา ประพจนทมคาความจรง (true value) เปนจรงแทนดวยสญลกษณ T และเรยกประพจนทเปนเทจวา ประพจนทมคาความจรงเปนเทจ แทนดวยสญลกษณ F บทนยาม 3: ให p และ q เปนประพจนใดๆ นเสธ (negation) ของ p เขยนแทนดวยสญลกษณ ~p เปนประพจนทมคาความจรงตรงกนขามกบ p *** ถามประพจนตงแตสองประพจนขนไปเชอมกนเราเรยกประพจนนนวา ประพจนเชงประกอบ (compound statement) ตวอยางประโยคทเปนประพจน

กรงเทพมหานครเปนเมองหลวงของประเทศไทย สนขเปนสตวเลยงลกดวยนม แสงเคลอนทไดโดยใชอากาศเปนตวกลางในการเคลอนท 9 เปนจ านวนอตรรกยะ 2+3 = 6

ส าหรบประโยคทไมสามารถหาคาความจรงของประโยคไดเชน ประโยคค าถาม ประโยคค าสง ค าอทาน หรอวล ไมใชประพจนเชน

จงแสดงวธท าอยางละเอยด ประเทศใดอยในกลมประชาคมอาเซยนบาง นกอนทรยสขาวขนาดใหญ



2.2 ประโยคเปด (Open Sentence) ตวอยางประโยคเปด

เขาไดรบเหรยญรางวลในการแขงขนกฬาโอลมปกรวมทงหมด 22 เหรยญ เธอเปนนกบนหญงไทยคนแรกทจะไดไปทองอวกาศ 2x x 0 , x R เมอ R แทนเซตของจ านวนจรง 2y 1 5 , y R เมอ R แทนเซตของจ านวนจรง

ในประโยคขางตนมค าทไมไดระบชดเจนเขน เขา เธอ จ านวนจรง x จ านวนจรง y ซงไมไดระบชดเจนวา คอใคร เปนจ านวนใด จงยงไมสามารถหาคาความจรงได แตเมอแทนทตวแปรและเตมวลบอกปรมาณของตวแปรลงไปในประโยคแลวจะสามารถท าใหบอกคาความจรงของประโยคนนได ประโยคนนจะเปนประพจน เชน

ไมเคล เฟลปสไดรบเหรยญรางวลในการแขงขนกฬาโอลมปกรวมทงหมด 22 เหรยญ ชอเอองเปนนกบนหญงไทยคนแรกทจะไดไปทองอวกาศ ทกจ านวนจรง x จะไดวา 2x x 0 มจ านวนจรง y บางจ านวน 2y 1 5

หมายเหต บางประโยคถงแมจะมตวแปรในประโยค แตถาสามารถบอกคาความจรงไดประโยคนนจดวาเปนประพจน เชน 2x 1 0 มคาความจรงเปนเทจ

การเขยนประโยคเปด การเขยนประโยคเปดเราจะเขยนแทนประโยคเปดดวยตวอกษรภาษาองกฤษตวใหญ และเขยนวงเลบแสดงตวแปรของประโยค เชน ให P(x) แทน 2x x 2 0 เมอ x R Q(y) แทน 2y 3 0 เมอ y R R(x,y) แทน 2 2x y 1 เมอ x R และ y R

บทนยาม 4 : ประโยคเปด(Open Sentence) คอประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปรอยในประโยค ยงไมสามารถบอกไดวาเปนจรงหรอเทจ



2.3 การเชอมประพจน ถามประพจนตงแต 2 ประพจนขนไปสามารถน าประพจนนนมาสรางประพจนใหม โดยใชการเชอมประพจนดวยตวเชอม ซงม 4 แบบ ดงน 2.1) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” (conjunction) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p และ q” ดวยสญลกษณ “p q” ซงประพจน p และ q จะมคาความจรงเปนจรงไดเพยงกรณเดยวเทานน

2.2) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ” (disjunction) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p หรอ q” ดวยสญลกษณ “pq” ซงประพจน p หรอ q จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานน

2.3) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา...แลว...” (conditional) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “ถา p แลว q” ดวยสญลกษณ “pq” ซงประพจนถา p แลว q จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานน

p q pq T T T T F F F T F F F F

p q pq T T T T F T F T T F F F

p q pq T T T T F F F T T F F T



2.4) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “...กตอเมอ...” ( biconditional ) ถา p และ q เปนประพจน เขยนแทน “p กตอเมอ q” ดวยสญลกษณ “pq” ซงประพจน p กตอเมอ q จะมคาความจรง ดงตาราง

ขอตกลง : เนองจากในประพจนหนงๆ อาจจะประกอบดวยประพจนยอยหลายๆ ประพจนเชอมกน ดงนนเพอความสะดวกเรานยมก าหนดล าดบของตวเชอมขอความจากมากไปหานอย ดงน 1. 2. 3. , 4. ~ 2.4 การหาคาความจรงทมประพจนเปนตวเชอม จากตารางขางตนทกลาวมาจะเหนวาประพจน p, q มคาความจรงอย 4 กรณ หรอเขยนอกแบบหนงคอ 22 = 4 ดงนนถามประพจน 3 ประพจน คาความจรงกจะม 23 = 8 กรณ ในการหาคาความจรงของประพจนนนเราสามารถหาคาความจรงของประพจนได 2 วธ

1. โดยการสรางตารางหาคาความจรง (เหมาะกบกรณทไมทราบคาประพจนใดเลย) 2. การใชแผนภาพตนไม (กรณทบอกคาความจรงของประพจนยอยหรอบอกคาความ

จรงของประพจนเชงประกอบ) ตวอยาง 2.1 จงหาคาความจรงของ p (pq) วเคราะห : จะเหนวาตวอยางนเราไมทราบคาความจรงของประพจนยอยใดๆ เลย ดงนนเราควรเลอกหาคาความจรงดวยการสรางตาราง วธท า

p q pq T T T T F F F T F F F T

p q pq p (pq) T T T T T F T T F T T T F F F T



ตวอยางท 2.2 จงเขยนตารางแสดงคาความจรงประพจน p q r (ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยางท 2.3 จงเขยนตารางแสดงคาความจรงประพจน p q r p q p r

(ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยาง 2.4 จงหาคาความจรงของประพจน (pq) (p r) เมอ p, q และ r มคาความจรง เปน T, F และ T ตามล าดบ วเคราะห: ในตวอยางนเราสามารถใชตารางหาคาความจรงไดแตจะเสยเวลาเพราะเราตองสรางถง 8 กรณ ถาสงเกตดๆ จะเหนวาโจทยใหคาความจรงของประพจนยอยมาแลว ดงนนวธทเหมาะเราควรจะเลอกใชวธการสรางแผนภาพตนไม วธท า (pq) (p r) T F T T F T T ตวอยาง 2.5 ถา p, q และ r เปนประพจน ซง p [(p~r) (q r)] มคาความจรงเปนจรง จงหาคาความจรงของ p, q และ r (ใหนกศกษาฝกท าเอง)



แบบฝกหดท 2.1 1. จงพจารณาวาขอใดเปนประพจน และมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ 1.1) 10+2 = 7 1.2) ถา 7-5 =10 แลว (7-5) + 2 = 10+2 1.3) จงเขยนเซตค าตอบของสมการ 3x 1 0 1.4) เอะ! นนอาจารยสาขาวชาคณตศาสตรน

1.5) จ านวนเตมบวกทนอยทสดคอ 0 1.6) 4 เปนจ านวนเฉพาะกตอเมอ -1 คอจ านวนจรงลบทมากทสด 1.7) ประเทศไทยอยในเขตภมอากาศอบอน 1.8) เมอเรยนจบในชวโมงนแลว ขอใหทกคนกลบบานได

1.9) ให 2 > 1 1.10) a 0 2. ก าหนดให p มคาความจรงเปนจรง , q มคาความจรงเปนจรง, r มคาความจรงเปนเทจ, s มคาความจรงเปนเทจ จงหาคาความจรงของประพจนในแตละขอ 2.1) p q r 2.2) p q r s 2.3) q p r s 2.4) r p q p r s

2.5) p q q r q s

3. ก าหนดให p,q, r,s เปนประพจน จงสรางตารางคาความจรง

3.1) p p q 3.2) p q r

3.3) p q r s 3.4) q p r s 3.5) p q q r q s

4. ก าหนดให r t s t มคาความจรงเปนจรง จงหาคาความจรงของประพจน r , s, t



2.5 สจนรนดร (tautology) บทนยาม 5 : สจนรนดร (tautology) คอประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอ สวนประพจนทมคาความจรงเปนเทจเสมอเรยกวา ขอความขดแยง (contradiction) การพจารณาวาประพจนใดเปนสจนรนดรสามารถพจารณาไดจากตารางคาความจรงหรอใชวธการสมมตใหประพจนนนมคาความจรงเปนเทจ จากนนกหาขอขดแยง ตวอยาง 2.6 จงแสดงวา p (pq) เปนสจนรนดร วธท า เปนจรงทกกรณ จากตารางคาความจรง ไมวา p และ q จะมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจจะได p (pq) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ ดงนนเปนสจนรนดร ตวอยาง 2.7 จงแสดงวา s t s t เปนสจนรนดร (ใหนกศกษาฝกท าเอง)

ตวอยาง 2.8 จงแสดงวา p q p ไมเปนสจนรนดร (ใหนกศกษาฝกท าเอง)

p q pq p (pq) T T T T T F T T F T T T F F F T



2.6 สมมลเชงตรรกศาสตร (logically equivalent) จากตวอยางการหาคาความจรงของประพจนทเราไดกลาวมาแลวในขางตน เราจะพบวามบางประพจนทมคาความจรงเหมอนๆ กนซงประพจนทมคาความจรงเหมอนกนเราเรยกวา “การสมมลกน”

ขอสงเกต เนองจาก p และ q มคาความจรงของประพจนเหมอนกน ถาเราน าประพจนทง 2 ประพจนนมาเชอมดวย “...กตอเมอ...” จะพบวาคาความจรงของประพจนจะเปนจรงทกกรณ ซงสรปไดดงน 1. ในกรณท p q เราจะไดวาประพจน pq เปนสจนรนดร และในทางกลบกนถา ขอความ pq เปนสจนรนดรแลวจะไดวา p q 2. ถา pq เปนสจนรนดรเราจะกลาววา q เปน logical consequence ของ p 3. ถาประพจนใดมคาความจรงเปนจรงตรงขามกน เราจะเรยกประพจนทมคาความจรงตรงขาม กนวาเปนนเสธกน ตวอยาง 2.9 จงแสดงวา p q สมมลกบ p q (ใหนกศกษาฝกท าเอง) ตวอยาง 2.10 จงแสดงวา p q r สมมลกบ p q p r

(ใหนกศกษาฝกท าเอง)

บทนยาม 6: ให p และ q เปนประพจน เรากลาววา p และ q สมมลกนเชงตรรกศาสตร กตอเมอประพจนทงสองมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ เขยนแทนดวยสญลกษณ p q



2.7 กฏตรรกศาสตร ส าหรบตวอยางประพจนทเปนสจนรนดรตอไปนเรามกจะน าไปใชอางองในการพสจนอย

บอยๆ ครง ไดแก 1. p~p หรอ ~(~pp) 2. pp 3. a) ppp กฎนจพล

b) ppp 4. ~ ~pp กฎทวคณนเสธ (double negation) 5. a) pqqp กฎการสลบท (commutative laws) b) pqqp c) (pq) (qp) 6. a) p (q r) (pq) r กฎการเปลยนกลม (associative laws) b) p (q r) (pq) r 7. a) p (q r) (pq) (p r) กฎการแจกแจง (distributive laws)

b) p (q r) (pq) (p r) 8. a) ~(pq) ~p~q กฎเดอมอรแกน (De Morgan’s laws) b) ~(pq) ~p~q 9. (pq) (~q~p) กฎการแยงสลบท (law of contraposition) 10. pq~pq กฎรปแบบสมมลของการแจกแจงเหตสผล 11. ~(pq)p~q กฎนเสธของการแจงเหตสผล 12. ppq กฎของการเตม (law of addition) 13. pqp หรอ pqq กฎการท าใหงาย (law of simplification) 14. p (pq)q กฎการแจงผลตามเหต (modus ponens) 15. ~q (pq)~q กฎการแจงผลคานเหต (modus tollens) 16. (pq) (q r) (p r) กฎของตรรกบท (law of syllogism) 17. a) ~p (pq) q b) ~q (pq) p

กฎตรรกบทแบบตดออก (disjunctive syllogism)

18. a) (pq) (p rq r) b) (pq) (p rq r) 19. a) (p r) (q r) (pq r) กฎการอนมานโดยกรณ (inference by cases) b) (pq) (r r) (pq r) 20. (pq r) (p (q r) 21. ก าหนดให c และ t แทนขอความขดแยงและขอความสจนรนดร จะได

a) p cp b) p cc c) p t t d) p t t 22. (pc) ~p เมอ c คอขอความขดแยง กฎของการเปนไปไมได (law of absurdity)



23. ~p cp เมอ c คอขอความขดแยง 24. (~pc) p

แบบฝกหดท 2.2 1. ก าหนดให p,q, r,s เปนประพจน จงสรางตรวจสอบวาประพจนในขอใดเปนสจนรนดร และประพจนใดเปนขอความขดแยง 1.1) p p 1.2) p p 1.3) p r r 1.4) p r r 1.5) p q q p 1.6) p q s r 1.7) p q r s 1.8) p q p 1.9) p q p q

1.10) p q q p 1.11) p q p q

1.12) p q q p 1.13) p q r p q p r

1.14) p q r s p r q s

2. จงตรวจสอบประพจนตอไปน วาเปนประพจนทสมมลกนหรอไม 2.1) p q กบ p q 2.2) p q กบ q p 2.3) p q กบ p q 2.4) p q r กบ p q r 2.5) p q p r กบ p q r 2.6) p r q r กบ p q r 3. จงแสดงวา 3.1) p q p p q p q

3.2) p q p q p q



2.8 การอางเหตผล (Argument) กระบวนการใหเหตผลแบงออกได 2 วธ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) 2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) เปนการคนพบความสมพนธทวไปจากตวอยางหรอประสบการณหรอจากการทดลอง เหตยอยหลายๆ เหต เหตยอยแตละเหตเปนอสระจากกน มความส าคญเทาๆ กน และเหตทงหลายเหลานไมมเหตใดเหตหนงแสดงใหเหนถงความเปนสมมตฐานกรณทวไป หรอกลาวไดวา การใหเหตผลแบบอปนยคอการน าเหตยอยๆ แตละเหตมารวมกน เพอน าไปสผลสรปเปนกรณทวไป การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) เปนการน าความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอน และยอมรบวาเปนความจรงเพอหาเหตผลน าไปสขอสรป เปนการอางเหตผลทมขอสรปตามเนอหาสาระทอยภายในขอบเขตของขออางทก าหนด ในนกระบวนการการใหเหตผลจะประกอบดวยประพจน 2 สวน คอสวนทเปนเหตหรอสมมตฐาน (premise or assumption) และสวนทเปนขอสรปหรอผล (conclusion) ซงวธการทจะยอมรบวาขอสรปเปนผลมาจากเหตหรอสมมตฐานนนๆ ถาเหตเปนเงอนไขทจะท าใหเกดขอสรปหรผล จะเรยกวาเปนการใหเหตผลทสมเหตสมผล (valid argument) เขยนแทนดวย p1, p2, …, pn |—q หรอ

1

2

n

p

p

p

q

บทนยาม 8.1 การใหเหตผลทประกอบดวยเหต p1, p2, …, pn และขอสรป q จะสมเหตสมผล (valid) กตอเมอ p1p2 … pn q เปนสจนรนดร ในการตรวจสอบวาการอางเหตผลใดมความสมเหตสมผลหรอไมสามารถท าไดโดยการตรวจสอบวาประพจน p1p2 … pn q เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชวธการดงน 1. การสรางตารางหาคาความจรง 2. สมมตใหประพจนนนมคาความจรงเปนเทจ จากนนกหาขอขดแยง 3. ใชกฎของตรรกศาสตร



ในการตรวจสอบวาการอางเหตผลใดมความสมเหตสมผลกนหรอไมนน ถาทดสอบโดยการสรางตารางจะท าใหเสยเวลามาก จงอาศยการอางเหตผลทสมเหตสมผลมาประกอบการพสจน กฏเกณฑทสมเหตสมผล ไดแก 1. Modus Ponens เหต 1. pq 2. p …………………… ผล q 2. Modus Tollens เหต 1. pq 2. ~q …………………… ผล ~p 3. Hypothetical Syllogism เหต 1. pq 2. q r …………………… ผล p r 4. Disjunctive Syllogism

เหต 1. pq 2. ~p …………………… ผล q

เหต 1. pq 2. ~q …………………… ผล p

5. Simplification

เหต 1. pq …………………. ผล p

เหต 1. pq …………………. ผล q

ตวอยาง ถาแอมขยนแลวจะสอบผาน แอมเปนคนขยน ดงนน แอมสอบผาน



6. Conjunction เหต 1. p 2. q …………………. ผล pq 7. Addition เหต p …………………. ผล pq 8. Constructive Dilemma เหต 1. p q r s 2. p r …………………. ผล q s 9. Destructive Dilemma เหต 1. p q r s 2. ~q ~s …………………. ผล ~p ~r

ในทนจะขอน าเสนอตวอยางการตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม ดวยการใชกฎทอางองในการพสจนตามทกลาวมาในขางตน ทมา; โสพร เสณตนตกล, 2554, ตรรกศาสตร การพสจน เซต, โรงพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร กรงเทพ, หนา 28-33. ตวอยางท 2.11 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. p q 2. q r 3. ~r ------------------------ ผล ~p

พสจน 1. p q 2. q r 3. p r 4. ~r 5. ~p

1. premise 1 2. premise 2 3. จาก (1),(2) hypothetical syllogism 4. premise 3 5. จาก (3),(4) modus tollens

สรปไดวา การอางเหตผลน “สมเหตสมผล”



ตวอยางท 2.12 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q r 2. r s 3. ~s ------------------------ ผล ~p

พสจน

ตวอยางท 2.13 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q r s 2. r t 3. ~t ------------------------ ผล p

พสจน

ตวอยางท 2.14 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) เหต 1. p q 2. r s 3. p r ------------------------ ผล s q



ตวอยางท 2.15 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม นกศกษาตงใจเรยน กตอเมอ นกศกษาขยน ถา นกศกษาตงใจเรยนและขยน แลวจะไดคะแนนสอบสง นกศกษาไมไดคะแนนสอบสง หรอ ไมไดท าแบบฝกหด ดงนน ไมจรงทวา นกศกษาตงใจเรยนและท าแบบฝกหด พสจน p แทน นกศกษาตงใจเรยน q แทน นกศกษาขยน r แทน นกศกษาสอบไดคะแนนสง s แทน นกศกษาท าแบบฝกหด จากขอมลสามารถน าเขยนเปนเหตและผลไดดงน เหต 1. p q 2. p q r 3. r s ------------------------ ผล p s จากนนท าการตรวจสอบวาการอางเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม ดวยการตรวจสอบวา p q p q r r s p s เปนสจนรนดรหรอไม

ตวอยางท 2.16 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม ถาผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดรบสารอาหารครบถวน แลวเขาจะดมนมถวเหลองหรอ ดมนมเปรยว ผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดสารอาหารครบถวน แตเขาไมดมนมถวเหลอง ดงนน เขาดมนมเปรยว พสจน p แทน ผบรโภคตองการเครองดมเพอใหไดสารอาหารครบถวน q แทน ผบรโภคดมนมถวเหลอง r แทน ผบรโภคดมนมเปรยว



ตวอยางท 2.17 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม (ใหนกศกษาท าเอง) ถาฉนไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ แลวฉน(จะ)ไปด าน าดปะการงหรอนงเรอไปไดหมก (แต)ฉนไมไดไปด าน าดปะการงและไมไดนงเรอไปไดหมก ดงนน ฉนไมไดไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ พสจน p แทน ฉนไปพกผอนหนารอนนทเกาะหลเปะ q แทน ฉนไปด าน าดปะการง r แทน ฉนนงเรอไปไดหมก



แบบฝกหดท 2.3 1. จงตรวจสอบประพจนเงอนไขตอไปนวาเปนประพจนเงอนไขทสมเหตสมผลหรอไม 1.1 p q p 1.2 p p q 1.3 p q p q 1.4 p q q p

1.5 p q q p 1.6 p q p q

1.7 p q q p

1.8 p q r p q r

1.9 p q q r p r

1.10 p q r p q r 2. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม ถาสมเหตสมผลจงพสจน 2.1 เหต 1. p q 2. q r 3. p ------------------------ ผล r 2.2 เหต 1. p q 2. q s 3. ~s ------------------------ ผล p s 2.3 เหต 1. p q 2. r q 3. s r 4. ~p ------------------------ ผล ~s 2.4 เหต 1. q p 2. ~r 3. q r 4. p s ------------------------ ผล s



2.5 เหต 1. p q 2. q r 3. r s 4. q ------------------------ ผล s 3. จงแสดงวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม 3.1 ถาฝนตกแลวน าจะทวมกรงเทพ ตอนนฝนตก ดงนน น าทวมกรงเทพ 3.2 ถาเอสอบเขาคณะครศาสตรไดและขยนเรยน แลวเอจะเรยนจบไดรบใบประกอบ วชาชพคร ถาเอไดใบประกอบวชาชพคร แลวเอจะสามารถน าวฒไปสอบบรรจครได เอไมไดสอบบรรจคร ดงนน เอสอบเขาคณะครศาสตรไมได หรอเอขเกยจเรยน 3.3 ถาฉนใชสอออนไลนเพอหาขอมลสนคา แลวฉนจะไดประสบการณเกยวกบสนคากอน ตดสนใจซอ ถาฉนไดประสบการณเกยวกบสนคากอนตดสนใจซอ แลวฉนจะไดสนคาทมคณภาพด และราคาถก แตฉนไมไดสนคาทมคณภาพดหรอราคาแพง(ไมถก) ดงนน ฉนไมไดใชสอออนไลนเพอหาขอมลสนคา 3.4 ถาบเปนคนเสนรอบเอวใหญ แลวเธอจะมความเสยงตอโรคหลอดเลอดหวใจ ถาบเปนคนทเสนรอบเอวใหญ และ มความเสยงตอโรคหลอดเลอดหวใจ แลว แสดงวาบมภาวะโภชนาการเกน แตไมจรงทวา บเปนคนทเสนรอบเอวใหญและมภาวะโภชนาการเกน ดงนน บเปนคนเสนรอบเอวเลก(ไมใหญ)



2.9 ตวบงปรมาณ (Quantifier) ประโยคเปดจะกลายเปนประพจนเมอแทนททกต าแหนงของตวแปรทเปนอสระในประโยคนนดวยคาคงตว ประโยคเปดยงกลายเปนประพจนไดดวยการใช “ตวบงปรมาณ” ตวอยางเชน 3 5x เปนประโยคเปด แต “มจ านวนเตม x ซง 3 5x ” และ “ 3 5x ส าหรบทกจ านวนเตม x ” เปนประพจน เราจะใชสญลกษณ แทน “ส าหรบทก” และใช แทน “ม” เรยก วาตวบงปรมาณส าหรบทกตว (universal quantifier) และ เรยก วา ตวบงปรมาณมอยางนอยหนงตว (existential quantifier)

หมายเหต 1. เราเขยน , ( )x U p x ดวย ( )x U p x หรอ ( )x p x มความหมายเดยวกน 2. เราเขยน , ( )x U p x หรอ ( )x U p x หรอ ( )x p x มความหมายเดยวกน 3. ขอความ “ส าหรบทกสมาชก x ของ U” มความหมายเดยวกบ “ส าหรบแตละสมาชก x ใน U” หรอ “ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U” 4. ขอความ “มสมาชก x ใน U ซง…” มความหมายเดยวกบ “ส าหรบบางสมาชก x ใน U ซง…” 2.9.1 คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ ส าหรบประโยคเปด ( )p x และเซต U ใดๆ , ( )x U p x เปนจรง กตอเมอ ( )p x เปนจรง ส าหรบทกสมาชก x ใน U , ( )x U p x เปนจรง กตอเมอ มสมาชก x ใน U ซง ( )p x เปนจรง และจะไดวา , ( )x U p x เปนเทจ กตอเมอ มสมาชก x ใน U ซง ( )p x เปนเทจ , ( )x U p x เปนเทจ กตอเมอ ( )p x เปนเทจ ส าหรบทกสมาชก x ใน U ก าหนดให แทนเซตของจ านวนเชงซอน แทนเซตของจ านวนจรง แทนเซตของจ านวนตรรกยะ / แทนเซตของจ านวนอตรรกยะ

แทนเซตของจ านวนเตม แทนเซตของจ านวนนบ

บทนยามท 9.1 ให U แทนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x เราเขยน , ( )x U p x แทน ( )p x ส าหรบทกสมาชก x ใน U , ( )x U p x แทน มสมาชก x ใน U ซง ( )p x



ตวอยางท 2.18 ให 1,2,3,4U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x x 2) 3x x พจารณาคาความจรงของ 0x x

x ขอความ 0x คาความจรง 1 1>0 T 2 2>0 T 3 3>0 T 4 4>0 T

พจารณาคาความจรงของ 3x x

x ขอความ 0x คาความจรง 1 1>3 F 2 2>3 F 3 3>3 F 4 4>3 T

ดงนนขอความ 0x x มคาความจรงเปนจรง ดงนนขอความ 3x x มคาความจรงเปนจรง ตวอยางท 2.19 ให 1,0,1,2U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x x 2) 3x x พจารณาคาความจรงของ 0x x

x ขอความ 0x คาความจรง

พจารณาคาความจรงของ 3x x

x ขอความ 0x คาความจรง

ดงนนขอความ 0x x มคาความจรงเปน…… ดงนนขอความ 3x x มคาความจรงเปน…… ตวอยางท 2.20 ให 2, 1,1,2U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2 1 0x x

x ขอความ 2 1 0x คาความจรง

-2 -1 1 2

2) 2x x x

x ขอความ 2x x คาความจรง

-2 -1 1 2

ดงนนขอความ 2 1 0x x

มคาความจรงเปน……

ดงนนขอความ 2x x x

มคาความจรงเปน……



3) x x x

x ขอความ x x คาความจรง -2 -1 1 2

4) 2 1x x

x ขอความ 2 1x คาความจรง

-2 -1 1 2

ดงนนขอความ x x x

มคาความจรงเปน…… ดงนนขอความ 2 1x x

มคาความจรงเปน…… ตวอยางท 2.21 ให 2, 1,0,1,2U เปนเอกภพสมพทธ และให

( )p x แทนขอความ 2x x ( )q x แทนขอความ 0x จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) ( ) ( )x p x q x

x ขอความ 2( ) ( 0)x x x คาความจรง

-2 -1 0 1 2 ดงนนขอความ ( ) ( )x p x q x มคาความจรงเปน ………. 2) ( ) ( )x p x x q x

x ขอความ 2( )x x คาความจรง ขอความ 0x คาความจรง

-2 -1 0 1 2 ดงนนขอความ ( ) ( )x p x x q x มคาความจรงเปน ……….



ตวอยางท 2.22 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนนบ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) n [ n เปนจ านวนเฉพาะ n เปนจ านวนค ] 2) n [ 2 หาร n ลงตว4 หาร n ลงตว ] ตวอยางท 2.23 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2 9 3n n n

2) n [ n หาร ( 1)n ลงตว ] ตวอยางท 2.24 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง จงหาคาความจรงของขอความตอไปน

1) 2x x x

2) 0x x x

3) /x x Q x Q

4) 20 0x x x

5) /x x Q x Q

6) 20 0x x x



2.9.2 ตวบงปรมาณหลายตวแปร ส าหรบประพจนทมบงปรมาณมากกวาหนงตว เราจะพจารณาตวบงปรมาณทละตว โดยใชหลกการตามทกลาวไปแลว

ตวอยางท 2.25 จงแปลงขอความตอไปนพรอมทงบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ 1) ทกจ านวนจรง x มจ านวนจรง y ซง 0x y 2) ส าหรบจ านวนนบ n และ m จะไดวา 1n m 3) มจ านวนเตม x ซง 1x y ทกๆจ านวนเตม y

4) มจ านวนจรง x และ y ถา 0x และ 0y แลว 1 11

x y

ตวอยางท 2.26 จงแปลงขอความตอไปนในรปขอความ 1) , 0x y xy 2) , ( 3)x y x y 3) ( 0)x y x y

บทนยาม 9.2 ให U แทนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( , )p x y ตวบงปรมาณสองตวแปรคอ 1) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y หรอ , ( , )x y U p x y 2) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y 3) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y 4) ( , )x U y U p x y หรอ ( , )x y p x y



ตวอยางท 2.27 ให 0,1,2,3U เปนเอกภพสมพทธ จงหาคาความจรงของขอความตอไปน 1) 0x y xy 2) ( 3)x y x y 1) พจารณาคาความจรงของ 0x y xy

x y 0xy คาความจรง

0

0 1 2 3

1

0 1 2 3

2

0 1 2 3

3

0 1 2 3

ดงนน………………………………………………………………………………………………………………… 2) พจารณาคาความจรงของ ( 3)x y x y

x y 0xy คาความจรง 0 1 2 3

ดงนน…………………………………………………………………………………………………………………



2.9.3 สมมลของตวบงปรมาณ บทนยาม 9.3 ให U เปนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x และ ( )q x สมมลของตวบงปรมาณนยามโดย ( ) ( )x p x x q x กตอเมอ ( ) ( )p x q x ทกๆ x U ( ) ( )x p x x q x กตอเมอ ( ) ( )p x q x ทกๆ x U นเสธของตวบงปรมาณ บทนยาม 9.4 ให U เปนเอกภพสมพทธของฟงกชนขอความ ( )p x นเสธของตวบงปรมาณนยามโดย นเสธของ ( )x p x คอ ( ) ( )x p x x p x นเสธของ ( )x p x คอ ( ) ( )x p x x p x ตวอยางท 2.28 จงหาสมมลของประพจนตอไปนในรปแบบอน 1) ( ) ( )x p x q x 2) ( ) ( )x p x q x 3) ( ) ( )x p x x q x 4) ( , ) ( , )x y p x y q x y 5) ( , ) ( , )x y p x y q x y 6) ( ) ( )x p x x q x ตวอยางท 2.29 จงหานเสธของประพจนตอไปน 1) ( ) ( )x p x q x 2) ( ) ( )x p x q x 3) ( ) ( )x p x q x 4) ( , ) ( , )x y p x y q x y 5) ( ) ( ) ( )x p x q x r x 6) ( , ) ( , )x y p x y q x y


บทท 3 ระเบยบวธพสจน


ระบบคณตศาสตร (mathematical system) ประกอบดวย สจพจน (axiom) บทนยาม (definitions) ค าอนยาม (undefined term) สจพจนเปนขอความทสมมตใหเปนจรงโดยไมตองพสจน บทนยามเปนการก าหนดขอความเพอใหค าจ ากดความของสงเหลานน ค าบางค าหรอบางขอความทไมสามารถนยามไดอยางแจมชด ทฤษฎบท (theorems) คอประพจนทไดมการพสจนแลววาเปนจรง ทฤษฎบทบางบทอาจอยในลกษณะของบทตง (lemmas) หรอบทแทรก (corollaries) บทตงคอทฤษฎทน าไปใชพสจน ทฤษฎบทอน บทแทรกคอทฤษฎบททเปนผลตอเนองมาจากทฤษฎบทอนๆ วธอางเหตผล (argument) ทสรางความเปนจรงของทฤษฎบทเรยนกวาการพสจน (proof) โดยกฏเกณฑการพสจนเหลานนไดมาจากตรรกศาสตร (logic) การเขยนบทพสจน ทกประพจนทเขยนจะตองมคาความจรงเปนจรงเสมอ พรอมทงบอกเหตผลของความเปนจรงนนก ากบดวยเสมอ โดยถอหลกตอไปน 1. ใหถอวาขอความทโจทยก าหนดให มคาความจรงเปนจรงเสมอ 2. ใชขอความทก าหนดให กฎตรรกศาสตร ตรรกศาสตรทใชในการพสจน และขอความทไดพสจนกอนหนานนมาแลวมาใชเพอหาขอสรปทโจทยตองการวามคาความจรงเปนจรง 3.1 การพสจนตรง เนองจากประพจน p q เปนเทจกรณเดยวคอ เมอ p เปนจรงแต q เปนเทจ ดงนนการพสจนตรง (direct proof) ส าหรบประพจน p q จงท าไดโดย สมมตวา p แลวแสดงวา q การพสจนประพจน p q สมมต p เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน q

บทนยาม 1 ส าหรบจ านวนเตม a และ b ซง a หาร b ลงตว เขยนแทนดวย a b กตอเมอ มจ านวนเตม m ซงb am

บทนยาม 2 ส าหรบจ านวนเตม a a เปนจ านวนค กตอเมอมจ านวนเตม m ซง 2a m a เปนจ านวนค กตอเมอมจ านวนเตม m ซง 2 1a m ตวอยางท 3.1 ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม

จงพสจนวา ถา a bแลว a bc พสจน สมมต a b นนคอ มจ านวนตม m ซง b am

เราจะไดวา ( ) ( )bc am c a mc โดยท mc เปนจ านวนเตม โดยสมบตปดภายใตการคณของจ านวนเตม

ดงนน a bc



ตวอยางท 3.2 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค พสจน สมมต a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค นนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m

และมจ านวนเตม n ซง 2 1b n 2 (2 1) 2( ) 1a b m n m n โดยท m n เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดภายใตการบวกของจ านวนเตม ดงนน a b เปนจ านวนค บทนยาม 3 ให x เปนจ านวนจรง เราเรยก x วาเปนจ านวนตรรกยะ (rational number) กตอเมอ

มจ านวนเตม a และ b โดยท 0b ซง ax

b

เราเรยกจ านวนจรงทไมใชจ านวนตรรกยะวา จ านวนอตรรกยะ (irrational number) ตวอยางท 3.3 ให x และ y เปนจ านวนจรง จงพสจนวา ถา x และ xy เปนจ านวนตรรกยะโดยท 0x แลว y เปนจ านวนตรรกยะ พสจน สมมต x และ xy เปนจ านวนตรรกยะโดยท 0x ดงนนมจ านวนเตม , ,a b c และ d

ซง ax

b และ c

xyd

โดยท ,a b และ d ไมใช 0

เราจงไดวา 0ad และ xy c b

x d a

cby

da โดยท cb และ da เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดภายใตการคณกนของจ านวนเตม สรปไดวา y เปนจ านวนตรรกยะ 3.2 การพสจนแยงสลบท (contrapositive proof) ในบางครงการพสจนประพจน p q โดยการพสจนตรงท าไดยาก แตเนองจากประพจน p q

สมมลกบ q p เราจงสามารถพสจนประพจน q p แทนได การพสจนประพจน p q โดยอาศยประพจนแยงสลบท สมมต q เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน p



ตวอยางท 3.4 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวาถา 2a เปนจ านวนคแลวแลว a เปนจ านวนค

ตวอยางท 3.5 ให a เปนจ านวนเตม

จงพสจนวาถา 24 1a แลว a เปนจ านวนค **การพสจนประพจนเลอก เนองจากประพจน p q สมมลกบ p q ดงนนในการพสจนประพจน p q เราจงสามารถพสจนประพจน p q แทนได การพสจนประพจน p q สมมต p เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน q


จงพสจนวา a หรอ 1a เปนจ านวนค ตวอยางท 3.7 ให x และ y เปนจ านวนจรง

จงพสจนวา ถา 0xy แลว 0x หรอ 0y



3.3 การพสจนประพจนทมเงอนไขสองทาง เนองจากประพจน p q สมมลกบ p q q p ซงมคาความจรงเปนจรงเมอ p q

และ q p เปนจรงทงค ดงนนในการพสจน p q เราจงควรแบงการพสจนออกเปนสองสวนดงน การพสจน p q 1) พสจน p q 2) พสจน q p โดยเลอกใชวธการพสจนส าหรบประพจนทมเงอนไขตามความเหมาะสม

ตวอยาท 3.8 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 2a เปนจ านวนค แนวคด ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค และ q แทนขอความ 2a เปนจ านวนค เราตองแบงกรณเพอพสจนเปน 2 กรณคอ 1) พสจน p q (ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค) 2) พสจน q p (ถา 2a เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค) กรณท 1) ตองการพสจน p q นนคอ ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค พสจน สมมตให a เปนจ านวนคนนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m เราจงไดวา 2 2 2 2(2 ) 4 2(2 )a m m m โดยท 22m เปนจ านวนเตม โดยสมบตปดการคณของจ านวนเตม ดงนน 2a เปนจ านวนค กรณท 2) ตองการพสจน q p นนคอ ถา 2a เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค เนองจากเราไมสามารถแสดงโดยตรงวา a เปนจ านวนคจากการสมมตวา 2a เปนจ านวนค เราจงจะพสจนประพจนแยงสลบท p q แทน กลาวคอ ถา a เปนจ านวนคแลว 2a เปนจ านวนค พสจน สมมตให a เปนจ านวนคนนคอ มจ านวนเตม m ซง 2 1a m เราจงไดวา 2 2 2(2 1) 4 4 1a m m m 22(2 2m) 1m โดยท 22 2m m เปนจ านวนเตม โดยสมบตปดการคณของจ านวนเตม ดงนน 2a เปนจ านวนค สรปไดวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 2a เปนจ านวนค จากการพสจนกรณ 1 และ 2 ตวอยางท 3.9 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a เปนจ านวนคกตอเมอ 1a เปนจ านวนค



3.4 การพสจนประพจน p q r เนองจากประพจน p q r p q r ดงนนในการพสจนประพจนนจะสมมตให p และ q เปนจรงแลวพสจนใหไดวา r เปนจรงเสมอ ตวอยางท 3.10 ให m และ n เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา m n เปนจ านวนคแลว m เปนจ านวนค หรอ n เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ m n เปนจ านวนค q แทนขอความ m เปนจ านวนค r แทนขอความ n เปนจ านวนค ตวอยางท 3.11 ให m และ n เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา mn เปนจ านวนคแลว m เปนจ านวนค หรอ n เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ mn เปนจ านวนค q แทนขอความ m เปนจ านวนค r แทนขอความ n เปนจ านวนค

บทนยาม 4 ให x เปนจ านวนจรง คาสมบรณ (absolute value) ของ x เขยนแทนดวย x

นยามโดย , 0

0 , 0

, 0

x x

x x

x x



3.5 การพสจนประพจน p q r เนองจากประพจน p q r p q p r ดงนนในการพสจนประพจนนจะตองพสจนวา ทง p q และ p r เปนจรง ตวอยางท 3.12 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคแลว 24 a และ 2 1a เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ 24 a เปนจ านวนค r แทนขอความ 2 1a เปนจ านวนค ตวอยางท 3.13 ให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคแลว 24 ( 3)a และ 24 1a

พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ 24 ( 3)a r แทนขอความ 24 1a

ตวอยางท 3.14 จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน

1) ผลบวกของจ านวนเตมคกบจ านวนเตมค เปนจ านวนเตมค 2) ผลบวกของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ 3) ผลคณของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ



แบบฝกหด 3.1

ให ,a b และ c เปนจ านวนเตมและ x และ y เปนจ านวนจรง 1. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม

1) ถา a bและ b cแลว a c 2) ถา a bและ a c แลว a b c 3) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนคแต ab เปนจ านวนค 4) ถา a เปนจ านวนคแลว 2 2a b เปนจ านวนค 5) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว3a b เปนจ านวนค 6) ถา 1a เปนจ านวนคแลว 2 2 1a a เปนจ านวนค 7) ถา x และ y เปนจ านวนตรรกยะแลว xy และ x y เปนจ านวนตรรกยะ

8) ถา 0x แลว 32

3

x

x

9) ถา x เปนจ านวนตรรกยะและ y เปนจ านวนอตรรกยะแลว x y เปนจ านวนตรรกยะ 10) a เปนจ านวนคกตอเมอ 1a เปนจ านวนค 11) a เปนจ านวนคกตอเมอ 2 1a เปนจ านวนค 12) a เปนจ านวนคกตอเมอ 3a เปนจ านวนค 13) 3 1a เปนจ านวนคกตอเมอ5 2a เปนจ านวนค 14) a เปนจ านวนคกตอเมอ 24 a

15) a b กตอเมอ 11

2a b

2. จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน

4) ถา a เปนจ านวนคแลว 3n เปนจ านวนค 5) ถา a และ b เปนจ านวนคแลว n m เปนจ านวนค 6) ถา a เปนจ านวนเตมและ 4a เปนจ านวนคแลว 3a เปนจ านวนค 7) ถา b เปนจ านวนเตมและ 5b b เปนจ านวนค แลว b เปนจ านวนค 8) ผลบวกของจ านวนตรรกยะเปนจ านวนตรรกยะ 9) ผลคณของจ านวนตรรกยะเปนจ านวนตรรกยะ 10) ผลบวกของจ านวนอตรรกยะเปนจ านวนอตรรกยะ



3.6 การพสจนโดยแจกแจงกรณ (proof by cases) เนองจาก p q r p r q r ดงนน ตองพสจนวาท ง 2 กรณเปนจรง

กรณท 1 พสจน p r กรณท 2 พสจน q r


จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนคหรอ a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค พสจน ให p แทนขอความ a เปนจ านวนค q แทนขอความ a เปนจ านวนค r แทนขอความ 2a a เปนจ านวนค ดงนน จะตองพสจนประพจน p q r เปน 2 กรณ กรณท 1 พสจน p r (ถา a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค) สมมตให a เปนจ านวน นนคอ มจ านวนเตม m ซง 2a m

22 22 4a m m จะได 2 2 24 2 2 2a a m m m m โดยท 22 2m m เปนจ านวนเตม

โดยสมบตปดการคณของจ านวนเตม ดงนน 2a a เปนจ านวนค กรณท 2 พสจน q r (ถา a เปนจ านวนค แลว 2a a เปนจ านวนค) ตวอยางท 3.16 ให a และ b เปนจ านวนจรง

จงพสจนวา ถา 0a หรอ 0b แลว 0ab พสจน ให p แทนขอความ 0a q แทนขอความ 0b r แทนขอความ 0ab



3.7 การพสจนโดยขอขดแยง (วธทางออม) (contradiction proof) เนองจากประพจน p q p q ในการพสจนประพจน p q โดยขอขดแยง เราจะสมมต p และ q แลวแสดงวามขอขดแยงเกดขน ตางจากการพสจนประพจนแยงสลบท การพสจนประพจน p q ทางออม สมมต p และ q เปนจรง (สวนของการพสจน) ดงนน เกดขอความขดแยง

ตวอยางท 3.17 จงพสจนวา 2 3 a แลว 2 3 (7) 7a ตวอยางท 3.18 ส าหรบทกจ านวนจรงบวก x และ y ใดๆ

จงพสจนวา x y x y

ตวอยางท 3.19 จงพสจนวา 2 เปนจ านวนอตรรกยะ



ตวอยางท 3.20 ก าหนดให A และ B เปนเซตทไมใชเซตวาง จงพสจนวาถา A B แลว A B

ตวอยางท 3.21 ให a และ b เปนจ านวนเตม จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค โดยวธขดแยง



3.8 การพสจนประพจนซงเปนไปไดอยางเดยว (uniqueness proofs) ให ( )p x เปนประโยคเปด และ A เปนเซตใดๆ ประพจน ! , ( )x A p x มความหมายวา x ม ใน A เพยงตวเดยวเทานนทมสมบต ดงนนในการพสจนประพจน ! , ( )x A p x จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ 1) , ( )x A p x นนคอแสดงวา ม x อยางนอยทสดตวหนงใน A ซงมสมบต ( )p x 2) , , ( ) ( )x A y A p x p y x y นนคอแสดงวา ม x อยางมากทสดเพยงตวเดยวใน A ซงมสมบต ( )p x ตวอยางท 3.22 จงพสจนวามจ านวนจรง x เพยงจ านวนจรงเดยวเทานนทท าให 3 1 0x พสจน ขอความนเขยนในรปสญลกษณไดเปน 3! , 1 0x x

จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ 1) จะแสดงวา 3, 1 0x x

2) จะแสดงวา 3 3, , 1 0 1 0x y x y x y

ตวอยางท 3.23 จงพสจนวาไมวา x จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะมจ านวนเตม y เพยงจ านวนเดยวเทานน

ทท าให 3x y พสจน ขอความนเขยนในรปสญลกษณไดเปน , !y , 3x x y

จะตองแสดง 2 ขนตอนคอ 1) จะแสดงวา , 3y x y

2) จะแสดงวา , , 3 3y w x y x w y w

3.9 การพสจนวาไมม ถาตองการแสดงวาประพจน p เปนเทจ เราอาจจะพสจนประพจน p เปนจรงแทนกไดในกรณขอความแบบ , ( )x U p x เปนเทจ สมมลกบ , ( )x U p x เปนจรง ตวอยางท 3.24 จงพสจนวา 2, 1 0x x เปนเทจ ตวอยางท 3.25 จงพสจนวา ,0 1x x เปนเทจ



แบบฝกหดท 3.2 1. จงพสจนขอความตอไปน

1) ไมวา a และ b จะเปนจ านวนเตมใดกตาม ถา a b เปนจ านวนคแลว a เปนจ านวนค หรอ b

เปนจ านวนค 2) ไมวา a และ b จะเปนจ านวนเตมใดกตาม ถา a b เปนจ านวนคแลว a และ b เปนจ านวนค หรอ a และ b เปนจ านวนค 3) ไมวา a จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา 2 3a a เปนจ านวนค 4) ส าหรบจ านวนจรง x ใดๆ จะไดวา x x

5) ส าหรบจ านวนจรง x ใดๆ จะไดวา 2 2x x

2. จงพสจนขอความตอไปนโดยวธขดแยง 1) ไมวา x จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา ถา 0x แลว 1 0x 2) ไมวา n จะเปนจ านวนเตมใดกตาม จะไดวา ถาไมมจ านวนเตมอยระหวาง 0 กบ 1 แลว จะไมมจ านวนเตมอยระหวาง n กบ 1n 3) ไมวา x จะเปนจ านวนจรงบวกใดกตาม จะไดวา 1x x 3. จงพสจนวาขอความตอไปนเปนเทจ โดยการยกตวอยางคาน 1) 2 2, ,x y x y x y 2) , ,x y x y x y 3) , , 0 0 0x y x y x y 4) จงพสจนขอความตอไปน ใหมากกวา 1 วธ “ถา a และ b จะเปนจ านวนคแลว a b เปนจ านวนค”



3.10 การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร การพสจนขอความในแบบ โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร เราจะตองแสดง 2 ขนตอน คอ 1) ขนตอนฐานหลก-basis step แสดงวา (1)p เปนจรง และ 2) ขนตอนอปนย-induction step แสดงวา , ( ) ( 1)k p k p k เปนจรง

ตวอยางท 3.26 จงพสจนวา ( 1),1 2 3 ...

2

n nn n

พสจน ให ( 1)( ) :1 2 3 ...

2

n np n n

เมอ n

เพราะวา 1(1 1)1

2

ดงนน

(i) (1)p คอ 1(1 1)1

2

จงเปนจรง

ให k เปนจ านวนนบใดๆ ซง ( )p k เปนจรง นนคอ

(ii) 1 2 3 ... ( 1)k k ( 1)

2

k k

จะตองแสดงวา ( 1)p k เปนจรงนนคอ 1 2 3 ... ( 1)k k ( 1)( 2)

2

k k

จาก (ii) บวกดวย ( 1)k ทงสองขางจะไดวา

1 2 3 ... ( 1)k k ( 1)( 1)

2

k kk

( 1) 2( 1)

2

k k k

( 1)( 2)

2

k k

ดงนน (iii) ( 1)p k เปนจรง

จาก (i) และ (iii) และหลกอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา ( 1),1 2 3 ...

2

n nn n

เปนจรง

ตวอยางท 3.27 ให x เปนจ านวนจรงใดๆ ซง 0x จงพสจนวา , 1 1

n nn x x



ตวอยางท 3.28 จงพสจนวา 1, 2 2n nn ตวอยางท 3.29 จงพสจนวา 3,3n n n

ตวอยางท 3.30 จงพสจนวา 2 3, 13,

2

n

n n n



3.11 อปนยเชงคณตศาสตรทเรมขนฐานดวย 0n การพสจนขอความในแบบ โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร เราจะตองแสดง 2 ขนตอน คอ

1) ขนตอนฐานหลก-basis step แสดงวา 0( )p n เปนจรง และ 2) ขนตอนอปนย-induction step แสดงวา 0, , ( ) ( 1)k n n p k p k เปนจรง ตวอยางท 3.31 จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 22n n

พจารณา 1 22 2 1 1 , 2 24 2 2 4 , 3 28 2 3 9 , 4 216 2 4 16 , 5 232 2 5 25 , 6 264 2 6 36 ,

เราจะพสจนขอความ 2, 4,2nn n n ตวอยางท 3.32 จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 2 !n n



แบบฝกหดท 3.3 1. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร

1) 2 2 2 2( 1) 2 1

,1 2 3 ...6

n n nn n

2) 2

3 3 3 3 ( 1,1 2 3 ...

2

n nn n

3) 2,1 3 5 ... 2 1n n n 4) 2,2 4 6 ... 2n n n n 5) 2 3 1, 2 2 2 ... 2 2 2n nn 6) 4 2,12n n n

7) 5,5n n n

8) ,3 5 2n nn

9) 3 1 1,5 3 2n nn

10) 2,8 5 7nn

11) , 2nn n 12) 1 1, 2 2 2 1n n nn 13) 1 2,1 2 2 ... 2 2nn 14) 4, 5,4nn n n 15) 10 6, n 10,2 (1000) 2 2n n nn 2. จงหาจ านวนนบเรมตนทท าใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 1) 2 !n n 2) 44n n

3) 222 ! 2 !nn n 4) 2 3

2

n

n

3. จงเดากฎตอไปนในกรณทวไป และจงพสจนค าตอบดวย 1) 1 = 1 1+3 = 4

1+3+5 = 9 1+3+5+7 = 16 1+3+5+7+9 = 25 2) 1 = 1

1-4 = -(1+2) 1-4+9 = 1+2+3

1-4+9-16 = - (1+2+3+4)


บทท 4 เซตเบองตน

บทท 4 เซตเบองตน (Fundamental of Set)

ในทางคณตศาสตรจะถอวาเซต (set) เปนค าอนยาม (Undefined Term) เปนค าทแทน

ลกษณนามทเราใชเรยกกลมของสงตางๆ เชน กลมของคน สตว และกลมของสงของ เปนตน ตวอยางของเซต เซตของจงหวดในภาคตะวนออก เซตของสตวทเลยงลกดวยนม เซตของตวเชอมในตรรกศาสตร เซตของจ านวนนบ เปนตน การพจารณาวาเปนเซตหรอไมคอตองสามารถบอกไดแนนอนวามหรอไมมสงใดอยในกลมนนๆ ตวอยางท 4.1 จงพจารณาขอความตอไปนวา ขอความใดใชค าวาเซตไดถกตองตามความหมาย เพราะเหตใด

1) เซตของสระในภาษาองกฤษ 2) เชตของพยญชนะในค าวา “ตรรกศาสตร” 3) เซตของดาราเกาหลทหนาตาด 10 อนดบแรก 4) เซตของประเทศในกลมอาเซยน 5) เซตของจ านวนนบทนอยกวา 5

4.1 สญลกษณและการเขยนเซต โดยทวไปการเขยนเซตหรอการเรยกชอของเซตจะใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญแทนเซต และอกษรในภาษาองกฤษตวพมฑเลกแทนสมาชกของเซต การเปนสมาชก (Element or Member) ของเซตเขยนแทนดวยสญลกษณ ( epsilon) และ แทนการไมเปนสมาชก เชน ก าหนด , , ,A a b c d จะพบวา a A แต f A สญลกษณ

ใชอกษร A, B, C, … แทนเซต ใชอกษร a, b, c, … แทนสมาชกในเซต d A หมายถง d เปนสมาชกของเซต A f A หมายถง f ไมเปนสมาชกของเซต A แทนเซตของจ านวนเชงซอน แทนเซตของจ านวนจรง แทนเซตของจ านวนตรรกยะ / แทนเซตของจ านวนอตรรกยะ

แทนเซตของจ านวนเตม แทนเซตของจ านวนนบ



รปแบบการเขยนเซต ในการเขยนเซตนนจะเขยนได 2 วธ คอแบบแจกแจงสมาชกและแบบมเงอนไข โดยการเขยนแสดงเซตใด จะเขยนสมาชกของเซตไวในเครองหมายวงเลบปกกา “ ” และสมาชกในเซตเขยนได 2 วธดงน

1. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก (listing method) เปนวธการเขยนเซตโดยเขยนเซตแตละตวของเซตในวงเลบปกกา “ ”และจะไมใชเครองหมายวงเลบแบบอนแทน และตองใชเครองหมายจลภาค “,” เขยนคนระหวางสมาชกแตละตวของเซตนน ซงยงแบงยอยได 3 วธดงน 1.1 สมาชกมจ านวนนอย ใหเขยนสมาชกลงไปทกตว เชน

A คอเซตของวนใน 1 สปดาห เขยนไดดงน , , , ,A a e i o u

1.2 สมาชกมจ านวนจ ากด (อาจจะมากจนเขยนสมาชกทงหมดไมสะดวก) ใหเขยนสมาชก 3 ตวแรก แลวตอดวยจด 3 จด แลวเขยนสมาชกตวสดทาย เชน

B คอเซตของจ านวนนบทไมเกน 100 เขยนไดดงน 1,2,3,...,100B

1.3 สมาชกมจ านวนมากไมสนสด ใหเขยนสมาชก 3 ตวแรก แลวตอดวยจด 3 จด เชน N คอเซตของจ านวนนบ เขยนไดดงน

1,2,3,...N ตวอยางท 4.2 จงเขยนเซตตอไปนใหอยในแบบแจกแจงสมาชก

1) เซตของเดอนใน 1 ป 2) เซตของจ านวนนบ 3) เซตของจ านวนเฉพาะบวกทนอยกวา 10 4) เซตของจ านวนคบวก

5) เซตของพยญชนะในค าวา “กรรมการ” การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก (descriptive method) เปนการเขยนโดยบอกเงอนไขหรอก าหนดสมบตของสมาชกในเซตนน ใชสญลกษณ x หรอ ตวอกษรอนแทนสมาชกของเซต และตามดวยเครองหมาย “ ” (vertical bar) แลวจงก าหนดสมบตของสมาชกของเซต

นน เขยนในรปสญลกษณไดเปน ( )x A p x เมอ p(x) แทนเงอนไขหรอสมบตของสมาชก x ตวใดๆทอยในเซต A ซง p(x) ตองเขยนประพจน ซง “ ”เปนสญลกษณทใชแทนค าวา “โดยท” เพอคนระหวางตวแปรกบเงอนไข เชน ให A คอเซตของวนใน 1 สปดาห

เปนวนใน 1 สปดาหA x x



ตวอยางท 4.3 จงเขยนเซตตอไปนใหอยในแบบบอกเงอนไขของสมาชก 1) เซตของเดอนใน 1 ป 2) เซตของจ านวนค

3) เซตของจ านวนนบทนอยกวา 10

4) เซตของจ านวนเตมทอยระหวาง -10 กบ 10

5) เซตของจ านวนเตมทสอดคลองกบสมการ 2x 9 0 4.2 การเทากนของเซต เซตทเทากนกคอเซตทมสมาชกเหมอนกน เมอเซต A และเซต B เปนเซตทมสมาชกเหมอนกน เราเรยกวา เซต A เทากบเซต B และเขยนแทนดวย A=B มสจพจน (axiom) แสดงการเทากนของเซต ดงตอไปน สจพจนของการขยาย (Axiom of Extensionality) ก าหนดให A และ B เปนเซต A=B (A is equal to B) กตอเมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และสมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A เขยนแทนสญลกษณ A=B x x A x B x x A x B x B x A ตวอยางท 4.4 ก าหนดให 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7A 7,6,5,4,3,2,1B จงหาความสมพนธระหวางเซต วธท า เพราะวา 1 1A B และ 2 2A B 3 3A B 4 4A B 5 5A B 6 6A B 7 7A B จะเหนวา x x A x B นนคอ A=B



เซตทไมเทากน เซตสองเซตใดๆไมเทากน ถาหากทงสองเซตมสมาชกทไมเหมอนกน เขยนแทนดวยสญลกษณ A Bหมายถง เซต A ไมเทากบเซต B พจารณาไดดงน เพราะวาจาก Axiom of Extensionality

A=B x x A x B ดงนน (A=B) x x A x B

นนคอ A B กตอเมอ................................................................................................. ............................................................................................................................. ............. ตวอยางท 4.5 ก าหนดให 2, , ,A x x y z

2 2, ,B x y z จงหาความสมพนธระหวางเซต วธท า จะเหนวา A B เพราะวา x x A x B หรอ 2 2z z B x A เปนตน ตวอยางท 4.6 ก าหนดให 5,2,3A 5,2,3,5B 2 8 15 0C x x x

จงหาความสมพนธระหวางเซต



เซตวาง (Empty Set or Null Set) บทนยาม 4.1 เซตทไมมสมาชก เรยกวา เซตวาง (Empty Set or Null Set) เขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ ตวอยางของเซตวาง เชน

2A x x 1 0 เนองจากไมมจ านวนเตมใดทสามารถน ามาแทนในสมการแลว

ท าใหสมการเปนจรง ตวอยางท 4.7 จงพจารณาเซตตอไปนเปนเซตวางหรอไม พรอมทงใหเหตผล

1) A x 3x x 1

2) 2B x 2 x 25

4.4 เซตจ ากด (Finite Set) และเซตอนนต (Infinite Set) บทนยาม 4.2 เซตจ ากดคอ เซตซงมจ านวนสมาชกเทากบจ านวนเตมบวกใดๆหรอศนย กลาวคอสามารถบอกจ านวนสมาชกในเซตนนๆได ตวอยางเชน 5,2,3A เปนเซตจ ากดเพราะมจ านวนสมาชกเทากบ 3 หรอ n(A) 3 1,2,3,...,99,100B เปนเซตจ ากดเพราะมจ านวนสมาชกเทากบ 100

หรอ n(B) 100 2 C x x x x เปนเซตจ ากดเนองจากไมมจ านวนเตมบวกใด

ทสอดคลองกบสมการน เซตนจงมสมาชกเลย นนคอมสมาชกเทากบศนย



แบบฝกหดท 4.1 1. จงเขยนเซตตอไปน แบบแจกแจงสมาชก 1) เซตของจ านวนคบวกทนอยกวา 100 2) เซตของเตมบวกทนอยกวา 100 และหารดวย 5 ลงตว 3) เซตของจ านวนจรงทสอดคลองกบสมการ 2x 6x 7 4) x x x 1 5) x x 5m เมอ m 6) x x 2m 3x 35 เมอ m 2. จงเขยนเซตตอไปน แบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต 1) A = { 2, 4, 6, 8, 10 } 2) B = { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 } 3) C = {10, 20, 30, …} 4) D = {a, e, i, o, u} 5) E = { } 6) F = {1 , -1} 3. จงเตม หรอ ลงใน ชองวางแตละขอใหถกตอง 1) 2 x 2 x 4 2) 3 2, 3 3)

4) 0 2x x 1

5) 1

2 x x 2 3

6) 4 4 4. เซตตอไปน เซตใดเปนเซตจ ากด เซตใดเปนเซตอนนต

1) { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,… } 2) เซตของเดอนใน 1 ป 3) เซตของประชากรไทย ในป 2559 4) x 2 x 30 5) 1,2,3,... 6) {2, 4, 6, 8, …}

7) 2x x 1 0

8) x x 2 x 9) x x 5 5 x

10) 2x x 0



4.5 เซตยอย (Subset) เซตทไมเหมอนกนจดเปนเซตทไมเทากน เซตทมสมาชกเหมอนกนเกอบทงหมดกเปนเซตทไมเทากน ดงน

1,2,3,4,5C และ 1,2,3,4,5,6,7D เซต C ไมเทากบเซต D แตเรยกเซต C วาเปนเซตยอยของเซต D บทนยาม 4.3 ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ จะกลาววา A เปนเซตยอย(Subset)ของ เขยนแทนดวย A Bหรอ B A ถาสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวยสญลกษณ

A B x x A x B หรอเรยกวา A is contained in B บทนยาม 4.4 ถา A Bแลว เซต B เรยกวา a superset ของเซต A

แผนภาพท 2.1 แผนภาพแสดง A B

ไมเปนเซตยอย เซต A ไมเปนเซตยอยของเซต B ถามสมาชกบางตวในเซต A ไมเปนสมาชกของเซต B อธบายไดดงน จากบทนยามเซตยอย (Subset) A B x x A x B A B x x A x B A B x x A x B จะไดวา A B x x A x B

B

A

U



ตวอยางท 4.8 ถา 2 5 0A x x

2 2 15 0B x x x

จงหาความสมพนธระหวางเซต (ใหนกศกษาท าเอง) วธท า จะได ตวอยางท 4.9 ถา 2( 1)( 2)( 3)( 4) 0A x x x x x

1 4B x x จงหาความสมพนธระหวางเซต (ใหนกศกษาท าเอง)

วธท า จะได เซตยอยแท (Proper Subset) บทนยาม 4.5 เซต A เปนเซตยอยแท (proper subset) ของเซต B กตอเมอ A Bและมสมาชกบางตวในเซต B ทไมเปนสมาชกในเซต A เขยนแทนดวยสญลกษณ A B A B A B x x B x A หรอ A B A B B A บทนยาม 4.6 เซต A เปนเซตยอยไมแท (improper subset) ของเซต B กตอเมอ A=B จะเหนวา เซต A เปนเซตยอยแทของ B กตอเมอ A B B A เซต A เปนเซตยอยไมแทของ B กตอเมอ A B B A ขอตกลงเบองตนและขอสรปเกยวกบเซต 1) เซตวาง เปนสบเซตของทกเซต 2) เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง 3) ถา A มสมาชก n ตวแลว A จะมเซตยอยทงหมด 2n เซต



4.6 เซตก าลง (Power Sets) เซตเซตของยอยทงหมดของเซตใด เราจะเรยกวา เปนเซตก าลงของเซตนน บทนยาม 4.7 เซตก าลงของเซต A (The power set of set A) หมายถง เซตเซตของยอยทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) ( )P A B B A

นนคอ P(A) เปนเซตของเซต B ทงหมดท B A จากบทนยามจะไดวา ( )B P A B A ตวอยางท 4.10 จงหาเซตก าลงของเซตตอไปน 1. A = {a} 2. B = {a, b} 3. C = {a, b, c} 4. D = {a, {b}} 5. E = { } 6. F = { } 7. G = , , b, ca b a

ขอสงเกต

จากการหาเซตก าลงของเซตขางตน จะเหนวา ส าหรบเซตใดๆนน จะมเซตนน และ เปนสมาชกในเซตก าลงของเซตใดๆนนเสมอ

นนคอ ( )A P A และ ( )P A ( )B P B และ ( )P B

ตวอยางท 4.11 ก าหนด A 2, 3,4 ,5 ตอไปน ขอใดถก ขอใดผด 1) 2 P(A ) 2) 2 P(A) 3) 3 P(A ) 4) 4 P(A) 5) P(A) 6) A P(A) 7) 2 P(A) 8) A P(A) 9) 3,4 P(A) 10) 3,4 P(A)



แบบฝกหดท 4.2 1. ก าหนด A 2,3,4 ตอไปน ขอใดถก ขอใดผด 1) 2 A 2) 2,3 A 3) 2,3 A 4) 3 A 5) 3 A 6) 4,3 A 7) 3 A 8) 2,3,4 A 9) 4,2 A 10) A 2. ก าหนด A 2, 3,4 ,4 ตอไปน ขอใดถก ขอใดผด 1) 4,3 A 2) 4,3 A 3) 4,3 A 4) 3 A 5) 4 A 6) 4 A 7) 4 A 8) 2,4 A 9) เซต A มสมาชกจ านวน 3 ตว 10) 2,3 A 3. ขอใดตอไปนถก หรอผด 1) a a 2) a a 3) 0 4) 5) 0 6) 7) 8) 9) 10) 4. จงหาสบเซตตามทก าหนด 1) ก าหนด A 2,3,4 จงหาสบเซตของ A ทมสมาชก 2 ตว 2) ก าหนด B a,b,c,d จงหาสบเซตของ B ทมสมาชก 3 ตว 3) ก าหนด C 1,2,3,4,5,6 จงหาสบเซตของ A ทมสมาชก 5 ตว 4) ก าหนด D 2,3,4 จงหาสบเซตของ D 5) ก าหนด E a ,b,c จงหาสบเซตแทของ E 6) ก าหนด F 1,2,3,4,5 จงหาสบเซตของ F ทมสมาชก 5 ตว 7) ก าหนด G 1,2,3,4,5,6,7 จงหาสบเซตของ G ทมสมาชก 3 ตว 8) ก าหนด H 1,2,3,4,5,6,7 จงหาสบเซตของ H ทมสมาชก 5 ตว



5. ก าหนด A B และ B Cและถา a A,b B,c C,d A,e B, f C ตอไปนขอใดถกหรอผด 1) a C 2) b A 3) c A 4) d B 5) e A 6) f A 6. ก าหนด A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {1, 3, 5} C= {2, 4, 6} D = {4, 6, 7} F = {7, 8, 9} จงหาเซต X เมอก าหนดเงอนไขตอไปน 1) B X A 2) X D และ X มสมาชกบางตวรวมกบ A 3) X D X F 4) X C X D 5) X B X C 6) X มสมาชกรวมกบ D และ F



4.7 การด าเนนการของเซต (Operation on Set) การด าเนนการของเซตในทนหมายถง การรวมเซตเขาดวยกน การหาสวนรวมกนของเซต ผลตางระหวางเซต สวนเตมเตมของเซต เปนตน 1) สวนรวมของเซต (Union on Set) บทนยาม ให A และ B เปนเซต สวนรวมหรอยเนยนของเซต A และ B คอ เซตของสมาชกทงหมดทเปนสมาชกของเซต A หรอเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A B A B x x A x B จากบทนยาม เขยนไดวา x A B กตอเมอ x A x B x A B x A x B 2) สวนรวมของเซต (Intersection on Set) บทนยาม ให A และ B เปนเซต สวนรวมหรออนเตอรเซกชนของเซต A และ B คอ เซตของสมาชกทงหมดทเปนสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A B A B x x A x B จากบทนยาม เขยนไดวา x A B กตอเมอ x A x B x A B x A x B 3) ผลตางของเซต บทนยาม ผลตางของเซต A กบเซต B หมายถง เซตของสมาชกทงหมดในเซต A ทไมเปน สมาชกในเซต B เขยนแทนดวย A B A B x x A x B จากบทนยาม เขยนไดวา x A B x A x B 4) สวนเตมเตมของเซต (complement) บทนยาม สวนเตมเตมของเซต A คอ เซตของสมาชกทงหมดทเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย /A /A x x U x A

หรอ /A x x A จากบทนยาม เขยนไดวา /x A x A



4.8 สมบตบางประการเกยวกบการด าเนนการของเซต กฎนจพล (idempotent laws) ถา A เปนเซตแลว 1) A A A 2) A A A กฎการสลบท (commutative laws) ถา A และ B เปนเซตแลว 3) A B B A 4) A B B A กฎการจดกลม (associative laws) ถา A ,B และ C เปนเซตแลว 5) A B C A B C 6) A B C A B C กฎการกระจาย (distributive laws) ถา A ,B และ C เปนเซตแลว 7) A B C A B A C 8) A B C A B A C กฎเกยวกบสบเซต ถา A และ B เปนเซตแลว 9) A A B และ B A B 10) A B A และ A B B 11) A B A B B 12) A B A B A

13) / /A B B A

(absorption laws) ถา A และ B เปนเซตแลว 14) A A B A 15) A A B A กฎเอกลกษณ (identity laws) 16) A A 17) A U U 18) A 19) A U A



กฎของคอมพลเมนต (complement laws) 20) /A A U 21) /A A 22) / U 23) /U

24) //A A

25) /A B A B กฎของเดอ มอรกอง (De Morgan’s laws) 26) / //A B A B

27) / //A B A B สมบตอนๆ 28) A B กตอเมอ A และ B 29) A B กตอเมอ /A B หรอ /B A 30) A B กตอเมอ A B 31) P A B P(A) P(B) 32) P A B P(A) P(B) 4.9 แผนภาพของเวนนและออยเลอร (Venn and Euler Diagrams) เราใชแผนภาพเพอแสดงเซต โดยการใชรปวงกลม หรอวงร หรอรปเหลยม และแสดงการด าเนนการของเซตโดยการแรเงาแสดงบรเวณทตองการ แผนภาพของเวนนและออยเลอรน ามาจากนกคณตศาสตรสองทานคอ จอหน เวนน (John Venn ) เปนนกคณตศาสตรชาวองกฤษ และอกคนหนงคอ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler) เปนนกคณตศาสตรชาวสวส การเขยนแผนภาพแสดงเกยวกบเซต แสดงดงรปตอไปน เชน 1. ถาเซต A และ B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกน

U



2. ถาเซต A และ B มสมาชกบางตวรวมกน แต A B และ B A 3. ถา A B และ A B ตวอยางท 4.12 1) ก าหนด U = 1,2,3,4,...,10 , A 1,3,5,7,9 , B 3,4,5,6,7 , C 5,6,7,8,9 1.1) A B = ………………………………………………………………….. 1.2) B C = ………………………………………………………………….. 1.3) A B = ………………………………………………………………….. 1.4) B C = ………………………………………………………………….. 1.5) A B = ………………………………………………………………….. 1.6) B C = ………………………………………………………………….. 1.7) /A = ………………………………………………………………….. 1.8) /B = ………………………………………………………………….. 1.9) A B C = ………………………………………………………………….. 1.10) A B C = ………………………………………………………………….. 1.11) A B C = ………………………………………………………………….. 1.12) A B C = ………………………………………………………………….. 1.13) A B C = ………………………………………………………………….. 1.14) A B C = …………………………………………………………………..

U

U



2) ก าหนด U = x x , A x 5 x 4 , B x 2 x 6 , C 3 x 3 2.1) A B = ………………………………………………………………….. 2.2) A B = ………………………………………………………………….. 2.3) A C = ………………………………………………………………….. 2.4) B C = ………………………………………………………………….. 2.5) A B = ………………………………………………………………….. 2.6) B C = ………………………………………………………………….. 2.7) /A = ………………………………………………………………….. 2.8) /B = ………………………………………………………………….. 2.9) /C = ………………………………………………………………….. 2.10) /B C = ………………………………………………………………….. 2.11) /A C = ………………………………………………………………….. 2.12) /A C = ………………………………………………………………….. ตวอยางท 4.13 ก าหนดแผนภาพเวนนและออยเลอร ดงรปขางลาง จงแรเงาแผนภาพแสดงผลการกระท าของเซตตอไปน

1) A B C

2) A B C 3) A B C

U

A B

C



4) A B C

5) A B C 6) A B C

7) / / /A B C

8) / / /A B C 9) / /A B C

10) A B B C

11) / /A B C A 12) /A B C A B C



แบบฝกหดท 4.3 1. ก าหนด A, B และ C เปนเซตใดๆ ทไมใชเซตวาง

/ / / / / /M A B C A B C A B C A B C

/N A B A B

ขอใดตอไปนจรง 1) N M 2) M N M N 3) M N 4) N เปนสบเซตแทของ M

2. ก าหนดเซตดงภาพ สวนทแรเงาคอเซตใด

1) C A B 2) C B A

3) /A C 4 /B C 3. ก าหนด A ,0,2, 2 และ B , 0,1 , 0,2 แลวจ านวนสมาชกของ P(A ) B เทากบขอใด

1) 13 2) 14 3) 15 4) 16

U

A B

C



4.10 จ านวนสมาชกของเซตจ ากด ก าหนด n(A) , n(B) ,n(C) แทนจ านวนสมาชกของเซต A, B, C ตามล าดบ เราสามารถหาจ านวนสมาชกของเซตตางๆ ทน ามายเนยน อนเตอรเซกชน ผลตางหรอคอมพลเมนตได เมอก าหนดจ านวนสมาชกของเซตบางสวนมาให การหาจ านวนสมาชกท าไดโดยใชแผนภาพ หรอใชสตร n(A B) n(A) n(B) n(A B) n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)

ตวอยางท 4.15 (ขอสอบคดเลอกเขามหาวทยาลย) จากการส ารวจนกเรยนหองหนงพบวา ม 20 คน ทเลอกเรยนฝรงเศสหรอคณตศาสตร ถาเลอกเรยนฝรงเศสแลวจะไมเรยนคณตศาสตร มอย 17 คนทไมเรยนคณตศาสตร มอย 15 คนทไมเรยนฝรงเศส นกเรยนทไมเรยนทงสองวชามกคน ตวอยางท 4.16 (ขอสอบคดเลอกเขามหาวทยาลย) หมบานแหงมทงหมด 800 ครอบครว ประกอบอาชพคาขายอยางเดยว 10 ครอบครว นอกนนท าสวนเงาะ มงคด ทเรยน จากการส ารวจเฉพาะชาวสวน พบวามครอบครวทปลกผลไมตงแต 2 ชนดขนไป 110 ครอบครว ปลกเงาะและมงคด 70 ครอบครว ปลกเงาะและทเรยน 60 ครอบครว ปลกมงคดและทเรยน 50 ครอบครว ไมปลกมงคดเลย 290 ครอบครว จงหาวามกครอบครวทปลกแตมงคดเพยงอยางเดยว

U

U



ตวอยางท 4.17 (ขอสอบแขงขนสมาคมคณตศาสตร) ณ สถานสงเคราะหเดกก าพราแหงหนง จากการส ารวจรสนยมทางอาหาร ปรากฎวาผลดงน เดกไมรบประทานพรก 7 คน ไมรบประทานมะระ 6 คน ไมรบประทานขง 5 คน ไมรบประทานทงพรกและมะระ 4 คน เดก 3 คนไมรบประทานทงพรกและขง มเดกอย 2 คน ไมรบประทานทง 3 อยาง ถาไมมเดกทรบประทานทง 3 อยาง จงหาวาในสถานสงเคราะหแหงนมเดกกคน

ตวอยางท 4.18 ในการคดเลอกนกกฬา 3 ประเภท คอฟตบอล ตะกรอ และรกบ มผคดเลอกรวมทงสน 35 คน ซงสามารถเลนฟตบอลหรอตะกรอไดม 24 คน เลนตระกอหรอรกบได 26 คน เลนฟตบอลหรอรกบได 32 คน เลนไดทงฟตบอลและตะกรอม 8 คน เลนไดทงตระกรอและรกบม 7 คน เลนไดทงฟตบอลและรกบม 9 คน อยากทราบวามผเลนกฬาทง 3 ประเภทไดมกคน

ตวอยางท 4.19 นกกฬากลมหนงม 55 คน เปนหญง 30 คน มนกศกษาลงทะเบยนเรยนวชาฟสกส 20 คน เรยนวชาคณตศาสตร 38 คน เรยนเคม 40 คน มนกศกษาชายเรยนฟสกส 12 คน นกศกษาชายเรยนเคม 17 คน นกศกษาทเรยนเคมและคณตศาสตรม 26 คน ซงในจ านวนนเปนชาย 13 คน นกศกษาทเรยนทง 3 วชาม 12 คน และในจ านวนนเปนหญง 5 คน มนกศกษาหญง 2 คนไมเรยนวชาเหลาน ถาก าหนดวานกศกษาทกคนทเรยนฟสกสตองเรยนคณตศาสตรดวย อยากทราบวานกศกษาหญงทเรยนคณตศาสตรอยางเดยวมกคน



แบบฝกหดท 4.4 1. ก าหนดให n(A) แทนจ านวนสมาชกในเซต A ถา n(A)=9 และ n(B)=12 จงพจารณาขอความตอไปน i) 9 n(A B) 21 ii) 0 n(A B) 9 iii) 3 n(A B) 9 ขอสรปใดถกตอง 1. ขอ ii) ถกขอเดยว 2. ขอ iii) ถกขอเดยว 3. ถกทง 3 ขอ 4. ผดทง 3 ขอ 2. เอไปเทยวหญงสมย ปรากฎวามฝนตกทงสน 9 วน โดยฝนจะตกในชวงเชาหรอชวงบายเพยงชวงเดยวเทานนในแตละวนเมอนบดแลวพบวา อากาศแจมใสในชวงเชา 10 วน และอากาศแจมใสในชวงบาย 11 วน เอไปเทยวสมยกวน 1. 15 วน 2. 14 วน 3. 13 วน 4. 12 วน 3. จากการสอบถามนกศกษา 150 คน พบวาม 35 คนเรยนฟสกส ม 50 คนเรยนเคม ม 26 คนเรยนฟสกสและคณตศาสตร ม 10 คนทเรยนทง 3 วชา ม 49 คนทเรยน 2 วชาใน 3 วชาน และม 71 คนทไมเรยนวชาใดใน 3 วชานเลย ผทเรยนทงฟสกสและเคมตองเรยนคณตศาสตร มนกศกษาทเรยนคณตศาสตรกคน 1. 55 คน 2. 59 คน 3. 63 คน 4. 67 คน 4. ในการส ารวจผทไปเทยวสวนสตว 100 คน พบวาชอบชาง 50 คน ชอบลง 35 คน ชอบหม 25 คน ชอบชางอยางเดยว 32 คน ชอบหมแตไมชอบลง 20 คน ชอบชางและลงแตไมชอบหม 10 คน จงหาวาจ านวนคนทไมชอบสตวทงสามชนดมกคน 1. 10 คน 2. 11 คน 3. 12 คน 4. 13 คน 5. นกศกษากลมหนงตองเรยนภาษาฝรงเศส จน หรอญปน อยางนอย 1 ภาษา มนกศกษาทเรยนภาษาฝรงเศส 10 คน ภาษาจน 18 คน ภาษาญปน 16 คน ซงในจ านวนนมนกศกษาทเรยนฝรงเศสอยางเดยว 4 คน ภาษาจนอยางเดยว 8 คน ภาษาญปนอยางเดยว 7 คน นกศกษาทเรยนทง 3 ภาษาม 3 คน ขอสรปใดถกตอง 1. นกศกษากลมนม 38 คน 2. นกศกษาทเรยนเพยง 2 ภาษาม 8 คน 3. นกศกษาทเรยนภาษาจนและญปนม 5 คน 4. นกศกษาทเรยนภาษาฝรงเศสแตไมเรยนภาษาญปนม 5 คน


บทท 5 ความสมพนธ


ก าหนดเซต A ={3,4,5,6,7} โดย axiom of extent จะไดวาเซต {5,4,6,7,3} เปนเซตเดยวกนหรอเปนเซตทเทากนกบเซต A จะเหนวาอนดบของสมาชกไมใชสาระส าคญของการเขยนเซต เพอสรางความเขาใจในการอธบายทมของความสมพนธ จงขอใหความรพนฐานดงน เซตเดยวหรอเซตค เราสรางเซตทมสมาชกตวเดยว โดยใช axiom of specification ก าหนด เซต A และ P(x) แทน x = a ดงน จะม B = x x A x a

นนคอ B = a หรอจะเขยนไดวา a x x A x a

เราเรยกเซต B ทมสมาชกตวเดยวนวา เซตเดยวหรอโทน (a singleton) ในท านองเดยวกน ก าหนดเซต A และ Q(x) แทน x b x c ดงน

จะม C = x x A x b x c

จะได C = b,c

หรอจะเขยนไดวา b,c = x x A x b x c

เราเรยกเซต C ทมสมาชกสองตวนวา เซตค (a doubleton) เซตคไมมอนดบ (an unordered pair set) พจารณา เซต a a,b a b,a b a,b b b,a โดย axiom of extent ดงนน a,b b,a จะเรยกเซตคลกษณะนวา คไมมอนดบ (an unordered pair) เพราะสามารถเขยนสมาชกตวใดกอนหนาหลงกได ดงนนเราจะเขยนเซต a,b นวาเซตค (a doubleton)หรอเซตคมอนดบ (an unordered pair set) เมอตองการเซตทมสมาชกเพมขน เรากสามารถท าไดโดยใชการด าเนนการของเซต ดงน B C a b,c a,b,c การพจารณาสมาชกของเซต จาก a,b x A x a x b

ดงนน x a,b x a x b



นนคอ ถา m 1,7 จะไดวา m 1 m 7 นอกจากนยงเขยนอกไดวา a a,b หรอ b a,b และส าหรบเซตเดยว c x x c

ดงนน x c x c หรอเขยนไดวา c c การเทากนของเซตคไมมอนดบ

ก าหนดเซตค a,b 5,6 อาจจะเหนวา a = 5 และ b = 6 แตเนองจากเปนเซตคไมมอนดบ ซง a,b b,a

ดงนนจงเขยนไดวา b,a 6,5 จะได b =6 และ a = 5 5.1 คอนดบ (an ordered pair) หรอเซตคมอนดบ ในชวตประจ าวน มการจบคกนระหวางสงตางๆ หลายอยางเชน การจบคระหวางของทซอกบราคา เปนตน การแสดงการจบคจะแสดงไดดวยคอนดบ (a,b) บทนยาม 5.2 ให a และ b เปนสมาชกของเซต คอนดบ a,b (an ordered pair a,b) เขยนแทนดวย (a,b) ดงน a,b a , a,b

โดยท เรยก a วาสมาชกตวหนาของคอนดบ เรยก b วาสมาชกตวหลงของคอนดบ

บทนยาม 5.3 การเทากนของคอนดบ (a,b) = (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d ตวอยางท 5.1 ก าหนดให (a,3)=(4,b) จงหา a+b ตวอยางท 5.2 ก าหนดให (a+1,4)=(3,b-2) จงหา (a,b)

บทนยาม 4.1 ก าหนดเซตค ,a b และ ,r s ถา a,b r,s แลว a r b s a s b r



5.2 ผลคณคารทเซยนหรอผลคณไขว (cartesian product or cross product) เปนการด าเนนการอยางหนงบนเซต สมาชกของเซตทเกดจากผลคณคารทเซยนจะเปนสงทแตกตางออกไปจากเซตทกลาวมาในบทกอนหนาน ถาก าหนดเอกภพสมพทธ U ส าหรบทกเซต A และ B บน U แลว เซต A B, A B และ A B เหลานจะเปนเซตบน U แตผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอ A B ไมเปนเชนนน จะมเซตอย(exists) บนมตทสงกวา (higher dimension) ผลคณคารทเซยนของเซต จะมโครงสรางทประยกตความรบนเสนจ านวนบนปรภม 2 มตและปรภม 3 มต ผคดคนการด าเนนการน คอ Rene Descartes (1596-1650) เปนนกคณตศาสตรและนกปรชญาชาวฝรงเศส บทนยาม 5.4 ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอเซตของคอนดบทงหมดทสมาชกตวแรกเปนสมาชกเซตของเซต A และสมาชกตวทสองเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A B A B a,b a A b B จากบทนยามจะไดวา a,b A B a A b B นนคอ เมอก าหนดเซตสองเซต เซต A และ B การด าเนนการแบบผลคณคารทเซยน จะท าใหเกดเซตทสาม ซงเปนเซตทมสมาชกเปนคอนดบ (หรอเปนเซตของคอนดบ) สมบตของผลคณคารทเซยน ก าหนด A, B และ C เปนเซต 1. A B C A B A C 2. A B C A B A C 3. A B C A B A C 4. A B C D A C B D 5. A A 6. ถา A และ B เปนเซตจ ากด แลว n(A B) n(A) n(B) ผลคณคารทเซยนของเซตจ านวนจรง เซตของจ านวนจรง สามารถแสดงไดบนเสนจ านวน ผลคณคารทเซยนของเซตจ านวนจรง (RxR) จะแสดงไดบนระนาบทเกดจากเสนจ านวนสองเสนตดกนซงกนและกน โดยแกนนอนเรยกวา แกน x และแกนตง เรยกวา แกน y ดงนน R R x, y x R y R คอนดบ (x,y) เปนพกดของจดบนระนาบทมระยะพกดทหนง (abscissa) เปน x และพกดทสอง (ordinate) เปน y การเขยนพกดของจดโยใชจ านวนในลกษณะนบนระนาบ เรยกระบบนวา ระบบพกดคารทเซยน (the coordinate system)



กราฟ A B เมอ A และ B เปนเซตของจ านวนจรง เราจะเหนวา A B เปนเซตยอยของระนาบ ถาให A=[1,3] และ B=[2,5] จะได A B (x, y) 1 x 3 2 y 5 เซตของจดใน A B จะประกอบเปนบรเวณสเหลยมบนระนาบ ทมจดยอดอยท (1,2),(1,5),(3,2),(3,5)

ผลคณคารทเซยนของเซตสามเซต ผลคณคารทเซยนของเซตสามเซตจะมสมาชกของเซตเปนสามสงอนดบ (ordered triples) เขยนแทนดวย (a,b,c) บทนยาม 4.5 ผลคณคารทเซยนของเซต A ,B และ C คอเซตของสามสงอนดบทงหมดทมสมาชกตวแรกเปนสมาชกจากเซต A สมาชกตวทสองเปนสมาชกจากเซต B และ สมาชกตวทสองเปนสมาชกจากเซต C เขยนแทนดวย A B C A B C a,b,c a A b B c C ผลคณคารทเซยนของเซตจ านวนจรงสามเซต ผลคณคารทเซยนของเซตจ านวนจรงสามเซต R R R จะแสดงไดบนปรภมทเรยกวาปรภม 3 มตทเกดจากเสนจ านวนสามเสนตดตงฉากซงกนและกน บนระนาบ xy (แกน x และแกน y ตดตงฉากซงกนและกน) แกนทมาตงฉากกบระนาบ xy และผานจดก าเนด(origin) จะเรยกวาแกน z สามารถเขยน R R R แทนดวย R3 เมอ

3R x, y, z x R y R z R

โดยทสามสงอนดบ (x,y,z) เปนพกดของจดในปรภม 3 มตทมพกดทหนงเปน x พกดทสองเปน y และพกดทสามเปน z



เชน ก าหนด A=[1,2], B=[1,3] และ C=[2,3] และ A B C x, y,z 1 x 2 1 y 3 2 z 3 เซตของจดใน A B C จะประกอบเปนทรงสเหลยมในปรภมสามมต ตวอยางท 5.3 ก าหนดให A= {1,2,3} และ B={a,b} จงหา 3.1 A B 3.2 B A 3.3 A A 3.4 B B 3.5 จงเขยนกราฟของ A B

ตวอยางท 5.4 ก าหนดให A= {m,n} และ B={ ,A} จงหา 4.1 A B 4.2 B A 4.3 A A 4.4 B B

z

y

x



ตวอยางท 5.5 ก าหนดให A= {a,b} , B={c,d} และ C={c,e} จงหา 5.1 A B C 5.2 A B A C 5.3 A B A C 5.4 A B A C ตวอยางท 5.6 ถา n(A)=10, n(B)=20, n(C)=5 และ n(B C) 2 จงหา 6.1 n(A B) 6.2 n(B C) 6.3 n(C A) 6.4 n(A B C ) 6.5 n(A B C ) 6.6 n(A B C ) 6.7 n( A B A C ) 6.8 n( A B A C ) 6.9 n( A B A C ) ตวอยางท 5.7 ตอไปนขอใดเปนจรง หรอเปนเทจ 7.1 (A B) กตอเมอ A หรอ B 7.2 ถา A B แลว A C B C 7.3 ถา A C B C แลว A B 7.4 ถา A B B A แลว A=B 7.5 A B B A กตอเมอ n A B n B A 7.6 ถา A B A C แลว B=C 7.7 A B C D แลว A C B D 7.8 A B C D แลว A C B D 7.9 ถา A B C แลว A A B B C C 7.10 ถา A B C แลว A A B C C B 7.11 ถา A B A B แลว A A B B 7.12 ถา A 2 2 B แลว A=B 7.13 A B B A 7.14 A B B A 7.15 ถา A เปนเซตอนนต และ B เปนเซตจ ากดแลว A B เปนเซตอนนต



5.3 ความสมพนธ (Relation) เมอก าหนดสง 2 สงมาให เชน จ านวนสองจ านวนคอ 9 กบ 3 จะพบวาจ านวนทงสองความสมพนธหลายแบบเชน 9 มากกวา 3 9 เทากบ 3 3 3 เปนรากทสองของ 9 ค าวา “มากกวา” “เทากบ” “เปนรากทสอง” เปนการแสดงความสมพนธระหวางสองจ านวนน จะแสดงไดดวย (x,y) นนคอ x มความสมพนธ r กบ y กตอเมอ x, y r บทนยาม 5.6 ความสมพนธ r จาก A ไปเซต B คอเซตยอยของผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B r เปนความสมพนธจาก A ไปเซต B กตอเมอ r A B r เปนความสมพนธจาก A ไปเซต A กตอเมอ r A A หรอเรยก ความสมพนธบนเซต A (relation on A) ถา r เปนความสมพนธและ x, y r เราอาจเขยนแทนดวย x (r) y อานวา x มความสมพนธ (r) กบ y เชน ให r เปนความสมพนธ “มากกวา” โดยท r R R ความสมพนธ r จะเขยนไดดงน r x, y R R x y จะเหนวา (2,1) r เพราะ 2 >1 ตวอยางท 5.8 ก าหนด A = {2,3,4} และ B = {6,8,9,16} จงหาความสมพนธตอไปน 8.1 r1 แทนความสมพนธ “นอยกวา”จากเซต A ไปเซต B 8.2 r2 แทนความสมพนธ “มากกวา”จากเซต B ไปเซต A 8.3 r3 แทนความสมพนธ “เปนสองเทา” ใน A 8.4 r4 แทนความสมพนธ “x+y เปนจ านวนเฉพาะ”จากเซต A ไปเซต B 8.5 r5 แทนความสมพนธ “หารลงตว”จากเซต A ไปเซต B 8.6 r6 แทนความสมพนธ “เปนรากทสอง”จากเซต A ไปเซต B 8.7 r7 แทนความสมพนธ “เปนก าลงทสาม”จากเซต B ไปเซต A



ตวอยางท 5.9 ก าหนด A = {0,1,2,3} และ B = {0,2,4,6,8} จงเขยนความสมพนธตอไปน แบบแจกแจงสมาชก 9.1 1r x, y A B x y 9.2 2r x, y A B y x 9.3 3r x, y A A y 2x

9.4 24r x, y B B y x

9.5 35r x, y A B y x

9.6 26r x, y A A y x 1

9.7 7r x, y B B x y 1

9.8 38r x, y A B y x

5.4 โดเมนและเรนจของความสมพนธ ก าหนด r={(1,a),(2,b),(3,c)} เซตของสมาชกตวหนาในคอนดบของ r คอ {1,2,3} และเรยกเซตนวา โดเมนของ r เซตของสมาชกตวหลงในคอนดบของ r คอ {a,b,c} และเรยกเซตนวา เรนจของ r บทนยาม 5.7 ให r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B โดเมน (Domain) ของความสมพนธ r เขยนแทนดวย D(r) คอ เซตของสมาชกตวแรกของคอนดบในความสมพนธ r D(r) x x A y B x, y r

เรนจ (Range) ของความสมพนธ r เขยนแทนดวย R(r) คอ เซตของสมาชกตวทสองของคอนดบในความสมพนธ r R(r) y y B x A x, y r

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r แบบบอกเงอนไข ท าไดโดย -เมอตองการหาโดเมน ใหจดรป y ในรปของ x ทงหมด ทท าใหหาคา x ได และ x, y r -เมอตองการหาเรนจ ใหจดรป x ในรปของ y ทงหมด ทท าใหหาคา y ได และ x, y r



ตวอยางท 5.10 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ 10.1 r 1,1 , 2,4 , 3,9 10.2 r 1,1 , 2,4 , 3,9 10.3 r 2,4 , 3,5 , 4,6 10.4 r 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ตวอยางท 5.11 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ 11.1 r x, y N N x y 5 11.2 r x, y N N x 2y x 8 11.3 r x, y N N y 4 x 5 11.4 r x, y N N x y 3 x 6

11.5 2 2r x, y N N x y 25

ตวอยางท 5.12 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 12.1 r x, y R R y 2x 3

12.2 2x 3r x, y R R y

5x 4

12.3 2r x, y R R y x 9

12.4 2r x, y R R y 4 x

12.5 2r x, y R R y x 4

12.6 2r x, y R R y x 6x 4



12.7 r x, y R R y 2x 1 3

12.8 2 2r x, y R R x y 4x 0

12.9 r x, y R R x 2 y 3 4

12.10 r x, y R R x 3 y 2 5

12.11 2

5r x, y R R y

x 9

12.12 2 2r x, y R R x y x 4y 0

12.13 r x, y R R y 4 x

12.14 4

r x, y R R y3 x 2

12.15 r x, y R R xy y x 2 0



5.5 กราฟของความสมพนธ ในระบบแกนพกดฉาก เราสามารถจบคหนงตอหนงระหวางคอนดบของจ านวนจรง (x,y) กบจดในระนาบ โดยให x เปนพกดแรก และ y เปนพกดหลง และจะใหนยามของกราฟของความสมพนธ ดงน

กราฟของความสมพนธ อาจมลกษณะดงน 1) กราฟของความสมพนธเปนจด 2) กราฟของความสมพนธเปนเสนตรง 3) กราฟของความสมพนธเปนเสนโคง 4) กราฟของความสมพนธเปนสวนหนงของระนาบ ตวอยางท 5.13 จงเขยนกราฟของความสมพนธ 13.1 1r 0,0 , 1,1 , 1,1 , 2,4 , 2,4 , 3,9 , 3,9 13.2 2r x, y Z Z y 2x 1 2 x 2 13.3 3r x, y R R y x 1

บทนยาม 5.8 ให R เปนเซตของจ านวนจรง ความสมพนธ r เปนสบเซตของR R แลวกราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดบนระนาบ โดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r



13.4 4r x, y R R y x 1

13.5 5r x, y R R x y 4

13.6 6r x, y R R y x 2 4

13.7 7r x, y R R x y 4

13.8 8r x, y R R x 2 3

13.9 9r x, y R R x y 3



13.10 210r x, y R R y x 4

13.11 2 211r x, y R R x y 9

13.12 12r x, y R R y 3 x

13.13 2

13r x, y R R y 4 x

13.14 14r x, y R R y x 3

13.15 15r x, y R R y x 2



13.16 16r x, y R R 1 x 2 1 y 2

13.17 17r x, y R R x 2 y 3

13.18 2 218r x, y R R x y 16

13.19 2 219r x, y R R x y 9

13.20 220r x, y R R y x x y 6

13.21

2 221r x, y R R x y 2 x y 25



5.6 ความสมพนธผกผน (Inverse Relation) บทนยาม 5.9 ให r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ผกผนของความสมพนธ r คอ ความสมพนธซงเกดจากการสลบทระหวางสมาชกในแตละคอนดบของ ความสมพนธ r ความสมพนธผกผนของ r จงเปนความสมพนธจากเซต B ไปเซต A เขยนแทนดวย 1r 1r y, x B A x, y r ดงนน 1x, y r x, y r

ตวอยาง 5.14 จงหาความสมพนธผกผนของความสมพนธในแตละขอตอไปน 14.1 1r 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16

14.2 22r x, y R R x y 2 0

วธท า จากบทนยามความสมพนธผกผนจะได 14.1 1

1r 1,1 , 4,2 , 9,3 , 16,4

14.2 1 22r y, x R R x y 2 0

หรอ 1 22r x, y R R y x 2 0

หรอ 12r x, y R R y x 2

เมอความสมพนธผกผน เกดจากการสลบทสมาชกตวแรกกบตวทสองในแตละคอนดบ การจบคถกสลบ ดงนนโดเมนกบเรนจกจะถกสลบไปดวย

นนคอ 1D r R r และ 1R r D r

กราฟของความสมพนธผกผน กราฟของความสมพนธผกผนใด จะสมมาตรกบกราฟของความสมพนธนน โดยทมเสนตรง y=x เปนแกนสมมาตร



ตวอยางท 5.15 จงหาความสมพนธผกผนของความสมพนธ เมอก าหนด A x x Z และ B x x N 15.1 1r x, y A B y 2x 3

15.2 22r x, y A B y x

15.3 3r x, y A B y x 3

ตวอยางท 5.16 จงเขยนกราฟของ r และ r-1 16.1 1r x, y R R y 2x 5

16.2 2r x, y R R y x 3

16.3 3r x, y R R y x 1



แบบฝกหดท 5.1 1. ก าหนดความสมพนธ R R จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1) 2x 3x, y y

3x 4

2) 3x

x, y y 45x 1

3) x, y y x 9 4) x, y y x 9

5) x, y y x 9 6) x, y y x 9

7) x, y y x 9 8) x, y y 9 x

9) x, y y 9 x 10) 2x, y y x 25

11) 2x, y y x 25 12) 2x, y y 25 x

13) 2x, y y 25 x 14) 2x, y y x 25

15) 2x, y y x 25 16) 2x, y y x 2x 3

17) 2x, y y 9x 16x 5 18) 2x, y y x 2x

19) 2x, y y x 3 20) 2x, y y x 6x 2

21) 2x, y y x 4x 5 22) 2x, y x y 4y 8

23) 2x, y x y 12y 1 24) x, y y x 2

25) x, y y x 1 2 26) x, y y 3 x 4 5

27) x, y x y 3 28) x, y x y 1 3

29) x, y y x 3 5 30) 2 2x, y x y 4

31) 2 2x, y x y 2x 2y 2 32) 2 2x, y x y 9

33) 2 2x, y x y 4x 6y 1 34) x, y x y 4

35) x, y x 1 y 2 3 36) x, y x y 2

37) x, y x 2 y 2 1 38) 2

4x, y y

x 4



39) 2

5x, y y

x 9

40)

2

2x, y y

5 x

41) 2

3x, y y

7 x

42)

2

6x, y y

x 4

43) 2

7x, y y

x 7

44) 2

1x, y y

x 2x 3

45) 22

x, y yx 4x 3

46)

2x, y y

x 2

47) 3

x, y yx 1

48) x, y xy x y 1

49) x, y xy 2x y 2 50) x, y y 4 x 3

51) x 1x, y y

x 1

52) 3x, y y x

53) x, y y 3 54) x, y x 3

55) x, y x y 4 56) 2x, y y x

57) 2x, y y x 58) x, y xy 6

59) x, y x y 18 60) x, y x y 18

61) 2 2x, y x y x 4y 0

2. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน แลวหาโดเมนและเรนจ 2.1) 1r x, y y 2x 4

2r x, y y 2x 4

3r x, y y 2x 4

2.2) 1r x, y y x 2 1

2r x, y y x 2 1

3r x, y y x 2 1

2.3) 1r x, y x y 5

2r x, y x y 5

3r x, y x y 5

2.4) 1r x, y x y 2

2r x, y x y 2

3r x, y x y 2



2.5) 1r x, y x 2 4

2r x, y x 2 4

3r x, y x 2 4

2.6) 1r x, y x y 4

2r x, y x y 4

3r x, y x y 4

2.7) 21r x, y y x 3

22r x, y y x 3

23r x, y x y 2

2.8) 2 21r x, y x y 4

2 22r x, y x y 4

2 23r x, y x y 4

2.9) 2 21r x, y 4x 9y 36

2 22r x, y 4x 9y 36

2 23r x, y 4x 9y 36

2.10) 2 21r x, y 9x 4y 36

2 22r x, y 9x 4y 36

2 23r x, y 9x 4y 36

2.11) 21r x, y y 4 x

22r x, y y 4 x

23r x, y x 4 y

2.12) 1r x, y y x 2

2r x, y y x 2

3r x, y y x 2

2.13) 2 2r x, y x y 4 y x

2.14) r x, y 1 x 3 y x

2.15) r x, y x y 5 x y 1

3. จงหาผกผนของความสมพนธตอไปน 3.1) r x, y Z Z y 2x 3.2) r x, y N Z y 3x

3.3) 2r x, y R R y x 1 3.4) 2r x, y R R y x 3

3.5) 2r x, y R R y 5 x 3.6) r x, y R R x y 1

3.7) r x, y R R x y 1 3.8) 4r x, y R R y

x 1

3.9) x 2r x, y R R y

x 3

3.10) r x, y R R y 2x 5



4. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธผกผนตอไปน

4.1) r 2,0 , 3,1 , 4,2 4.2) xr x, y R R y

x 1

4.3) 2r x, y R R y x 1 4.4) 2r x, y R R y 4 x

4.5) r x, y R R y x 3 4.6) r x, y R R y 5 x

4.7) 2r x, y R R y x 4.8) r x, y R R y x 2

4.9) 2

1r x, y R R y

x 4

4.10) 2

1r x, y R R y

x 4

5. จงเขยนกราฟของ r และ r-1 5.1) r x, y R R y 2x 5

5.2) 2 2r x, y R R x y 16

5.3) r x, y R R x 2 y 4

5.4) 2r x, y R R y x 2

5.5) r x, y R R y x 2

5.6) 2r x, y R R y 4 x x 0

5.7) r x, y R R y x 4

5.8) r x, y R R x y 18


บทท 6 ฟงกชน

บทท 6 ฟงกชน (Function)

6.1 บทนยามฟงกชน ฟงกชนเปนความสมพนธชนดหนง โดยทคอนดบทเปนสมาชกของความสมพนธน ตองมสมาชกตวหนาไมซากน กลาวคอ ถา 1 1,x y เปนสมาชกของความสมพนธทเปนฟงกชน จะตองไมม 1 2,x y โดยท

1 2y y เปนสมาชกของความสมพนธนดวย บทนยาม 6.1 กาหนดให f เปนความสมพนธใดๆ จะเรยก f วาเปนฟงกชน

ถา ,x y f และ ,x z f แลว y z จากบทนยาม 6.1 จะไดวา

1) ความสมพนธ f เปนฟงกชนกตอเมอ , , , ,x y z x y f x z f y z

2) ความสมพนธ f ไมเปนฟงกชนกตอเมอ , , , ,x y z x y f x z f y z

ตวอยางท 1 จงพจารณาวาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม

1) 1 (1,2),(3,1),(4,4)r 2) 2 (1,2),(1,1),(4,4)r 3) 3 ( , ) 2 1 r x y R R y x

4) 2

4 ( , ) r x y R R y x

5) 2

5 ( , ) r x y R R y x

6) 6 ( , ) 2 3 r x y R R y x



บทนยาม 6.2 กาหนดให f เปนฟงกชนใดๆ จะเรยก , x x y f วา

โดเมนของ f (Domain of f )เขยนแทนดวย fD

และเรยก , y x y f วา เรนจของ f (Range of f )

เขยนแทนดวย fR บทนยาม 6.3 กาหนดให f เปนฟงกชนใดๆ สาหรบแตละ , x y f ซง f เปนฟงกชน จะเรยก y วา ภาพ (Image) ของ x หรอ เรยก x วาอนเวอรสอมเมจ(Inverse Image) หรอบพภาพ (Pre-image)ของ y ภายใตฟงกชน f และแทนสญลกษณ , x y f ดวย ( )y f x บทนยาม 6.4 กาหนดให f เปนฟงกชนใดๆ จะเรยก f วาเปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนความสมพนธซงสาหรบทกๆ x A จะม y B เพยงตวเดยว เทานน ซง ,x y f จะเขยน : f A B แทน f เปนฟงกชนจาก A ไป B จากบทนยาม 5.1.4 จะไดวา : f A B กตอเมอ

1) f เปนฟงกชน 2) , x A y B x y f

หรอ 1) f เปนฟงกชน 2) fD A

5.2 ฟงกชนหนงตอหนงทวถง (Bijective Function) บทนยาม 6.5 กาหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะเรยก f วาเปนฟงกชนหนงตอหนง (Injective Function) กตอเมอ ถา 1 2x , x A และ 1 2f (x ) f x

แลว 1 2x x

จะเขยนสญลกษณ f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปยง B ดวย1 1

:

f A B

จากบทนยาม 6.5 จะไดวา 1 1

:

f A B กตอเมอ 1) : f A B 2) 1 2 1 2 1 2x , x A f (x ) f (x ) x x

3) 1 2 1 2 1 2x , x A x x f (x ) f (x ) 4) f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปยง B กตอเมอ 1 2 1 2 1 2x , x A f (x ) f (x ) x x



บทนยาม 6.6 กาหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะเรยก f วาเปน ฟงกชนจาก A ไปทวถง (Onto Function) B กตอเมอสาหรบทกๆ y B จะม x A ซง y f(x)

จะเขยนสญลกษณ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ดวย : onto

f A B

จากบทนยาม 6.6 จะไดวา : onto

f A B กตอเมอ 1) : f A B 2) y B x A f(x) y 3) f ไมเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ y B x A f(x) y บทนยาม 6.7 กาหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะเรยก f วาเปน ฟงกชนหลายตวตอหนง (Many-to-one Function) กตอเมอ f มสมาชก 1 2x , y , x , y f โดยท 1 2x x

บทนยาม 6.8 กาหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะเรยก f วาเปน ฟงกชนหนงตอหนงทวถง (Bijective Function) กตอเมอ f เปนฟงกชน ทงแบบหนงตอหนงและแบบทวถง

จะเขยนสญลกษณ f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ดวย1 1

:

onto

f A B

หมายเหต ตาราบางเลมเรยกฟงกชนหนงตอหนงทวถงวา ฟงกชนสมนยหนงตอหนง (One-to-one Correspondence) ตวอยาง 2 กาหนดให 1,2,3,4,5A และ , , ,B a b c d 1) จงสรางฟงกชนหนงตอหนง จาก A ไปยง B 2) จงหาฟงกชนจาก A ไปทวถง B



ตวอยางท 3 จงพจารณาวาความสมพนธทกาหนดใหตอไปน เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม 1) 1 ( , ) 1 r x y R R xy

2) 2 ( , ) 1 r x y R R x y

3) 3 ( , ) 2 1 r x y R R y x

4) 2 2

4 ( , ) 25 r x y R R x y

5) 2

5 ( , ) 25 r x y R R y x

6) 6 ( , ) 2 r x y R R y x

7) 2

7 ( , ) 4 r x y R R x

8) 2 2

8 ( , ) 4 r x y R R x y

9) 2 2

9 ( , ) 4 9 0 r x y R R x y

10) 3

10 ( , ) r x y R R y x

11) 2

11 ( , ) 6 10 r x y R R x y y

ตวอยางท 4 จงยกตวอยางฟงกชนทเปนหนงตอหนงแตไมเปนฟงกชนทวถง ตวอยางท 5 จงยกตวอยางชนทวถงแตไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยางท 6 กาหนดให 2( ) 1 f x x จงหา A และ B ซง 1 1

:

onto

f A B

ตวอยางท 7 กาหนดให 1 , 1

( ) 1, 1

x x

f xx

x

จงหา A และ B ซง 1 1

:

onto

f A B



6.3 ฟงกชนผกผน (Inverse Function) บทนยาม 6.9 กาหนดให f เปนฟงกชนใดๆ ถา 1 , , f y x x y f เปนฟงกชน

เรยก 1f วา ฟงกชนผกผนของ f (Inverse Function of f ) บทนยาม 6.10 กาหนดให f เปนฟงกชนใดๆ จะไดวา 1f เปนฟงกชนกตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง ตวอยางท 8 กาหนด 3( , ) ( 2) f x y R R y x

1) จงหา 1f 2) 1f เปนฟงกชนหรอไม ตวอยางท 9 กาหนด 2( , ) 6 10 f x y R R y x x

1) จงหา 1f 2) 1f เปนฟงกชนหรอไม ตวอยางท 10 กาหนด ( , ) 5 4 f x y R R y x เมอ 0,10x จงหา 1( )f x

ตวอยางท 11 กาหนด (3 4) 4 3 f x x จงหา 1( )f x



ตวอยางท 12 กาหนด 1( )

3

xf x

จงหา 1) 1(3)f 2) 1(4)f

ตวอยางท 13 กาหนด 2

2 2 , 0( )

1 , 0

x xf x

x x

จงหา 1) 1( )f x 2) 1(1)f 3) 1(2)f 4) 1( 5) f



6.4 ฟงกชนประกอบ (Composite Function) บทนยาม 6.11 กาหนดให :f A B และ :g B C แลว

, , , , ( ), ( ) ( ( ))h x z x y f y z g y f x z g y g f x จะ

เรยก h วา ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนฟงกชนประกอบของ f และ g ดวย g f (อานวา จโอเอฟ)

ดงนน , , ( ), ( ) ( ( ))g f x z x A z C y B y f x z g y g f x

หรอ , , ( ) ( ) ( ( ))x z g f y B y f x z g y g f x ดงนน ( ) ( ( ))z g f x g f x บทนยาม 6.12 กาหนดให :f A B และ :g B C แลว :g f A C ในการสรางฟงกชน g f เรนจของ f จะตองเปนเซตยอยของโดเมน g โดเมนของ g f คอ เซตยอยของโดเมนของ f และเรนจของ g f จะเปนเซตยอย ของเรนจของ g ตวอยาง 14 กาหนดให (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)f และ

(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)g จงหา g f และ f g

ตวอยาง 15 กาหนดให (1, ),(2, ),(3, ),(4, ),(5, )f a a b c d และ

( ,2),( ,4),( ,6),( ,8g a b c e ) จงหา g f และ f g

f g

A B C



ตวอยาง 16 กาหนดให f และ g เปนฟงกชน โดยท 2f ( x ) x และ 1

1g( x )

x

จงหา 1) ( )g f x และ g fD 2) ( )f g x และ f gD

ตวอยาง 17 กาหนดให :f R R และ :g R R

โดยท 2 3f ( x ) x และ 2 5g( x ) x จงหา 1) ( 1)g f x

2) ( 1)f g x 3) (2 )f f x 4) 2( )g g x

ตวอยาง 18 กาหนดให :f R R , :g R R และ :h R R

โดยท 3f ( x ) x และ 2 1g( x ) x และ 2 2 0

2 3 0

x , xh( x )

x , x

จงหา 1) (2)f g h 2) (0)g f h 3) ( 1)g h f 4) (1)f g f h

ตวอยาง 19 กาหนดให 3 1f ( x ) x และ 2 1g( x ) x จงหา 1) 1 ( )g f x

2) 1 ( )f g x



ตวอยาง 20 กาหนดให 3 4 5f ( x ) x และ 3 2 3g( x ) x จงหา 1) 1 ( 1)g f

2) 1 (5)f g

3) 1 1 ( 4)f g

4) 1 1 (3)g f

6.5 พชคณตของฟงกชน (Algebra of Function) บทนยาม 6.13 กาหนดให , ,A R B R A B

และ :f A R , :g B R

นยามฟงกชน f g, f g, f g และ f

g ดงน

1) f g : A B R ซงนยามวา f g x f ( x ) g( x ) สาหรบทก x A B



4) f

: A B C Rg

ซงนยามวา

f f ( x )

xg g( x )

สาหรบทก x A B C เมอ 0C x B g( x )

หมายเหต 1) f g f g f g f gD D D A B D D 2) 0f f g

g

D D D x g( x )

จากบทนยามเราจะเขยนฟงกชน f g, f g, f g และ f

g ในรปของเซตแบบบอกเงอนไข

ไดดงน f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

f gf g x, y R R y f g ( x ) f ( x ) g( x ),x D D

0f g

f f f ( x )x, y R R y ( x ) ,x D D g( x )

g g g( x )



ตวอยางท 21 กาหนดฟงกชน (0,0),(1,1),(2, 1),(3,2),(4, 2),(5,3),(6, 3)f (0,1),(2,3),(4,5),(6,6),(8,9),(10,10)g

จงหา ff g, f g, f g,

g และ g

f

ตวอยางท 22 กาหนดฟงกชน 2 1 2 2f x, y R R y x x ,

2 2 1 3g x, y R R y x x ,

จงหา f g พรอมทงหาโดเมนและเรนจของ f g และเขยนกราฟของ ,f g และ f g บนระนาบเดยวกน

ตวอยางท 23 กาหนดฟงกชน ( ) 4f x x เมอ x R 2( ) 1g x x เมอ x R

1 , 0

( )1 , 0

x xh x

x x

จงหา 1) 1 1 2f g h

2) 1 2gof h



6.6 ฟงกชนทควรทราบเพมเตม 1. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด (Increasing Function and Decreasing Function) 2. ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) 3. ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) 4. ฟงกชนพหนาม (Polynomial Function) 5. ฟงกชนตรรกยะ (Rational Function) 6. ฟงกชนขนบนได (Step Function) 7. ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) 8. ฟงกชนทเปนคาบ (Periodic Function) 9. ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Function) 10. ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (Exponential Function) 11. ฟงกชนลอการทม (Logarithm Function) 6.6.1 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด (Increasing Function and Decreasing Function) บทนยาม 6.14 ให f เปนฟงกชนจาก fD R ไป R และ fA D 1) f เปนฟงกชนเพม (Increasing Function) ใน A กตอเมอ ถา 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x 2) f เปนฟงกชนลด (Decreasing Function) ใน A กตอเมอ ถา 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

3) เรยก f วาเปนฟงกชนไมลด (Nondecreasing Function) ใน A กตอเมอ ถา 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x 4) เรยก f วาเปนฟงกชนไมเพม (Nonicreasing Function) ใน A กตอเมอ ถา 1 2,x A x A และ 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x ตวอยาง 24 กาหนดฟงกชน f ซงมกราฟดงรปตอไปน จงหาวาฟงกชน f เปนฟงกชนเพม

และฟงกชนลดในชวงใดบาง

x

y

-2 0 2



ตวอยางท 25 กาหนดฟงกชน ( ) 5 2f x x เมอ x R จงพสจนวา f เปนฟงกชนเพมใน R ตวอยางท 26 กาหนดฟงกชน

3( ) 2 1f x x เมอ x R จงพสจนวา f เปนฟงกชนเพม

หรอฟงกชนลดใน R ตวอยางท 27 กาหนดฟงกชน ( ) 2 3f x x 1) f เปนฟงกชนเพม หรอฟงกชนลดใน 1,2A 2) f เปนฟงกชนเพม หรอฟงกชนลดใน 2,1B แบบฝกเพมเตม จงตรวจสอบดวา ฟงกชนทกาหนดใหตอไปน ฟงกชนใดเปนฟงกชนเพม ฟงกชนใดเปนฟงกชนลดในเซต A ทกาหนดให

1) 3( )

2

xf x

; A R

2) 5 3( )

4

xf x

; A R

3) 2( ) 6 9f x x x ; ( , 4]A 4) 2( ) 5 4f x x x ; [2, )A 5) 2( ) 9f x x ; [ 1,1]A 6) 2( ) 4f x x ; [ 1,1]A 7) ( ) 4f x x ; A R 8) 3 2( ) 3 3 3f x x x x ; A R 9) ( ) 1f x x ; A R 10) ( ) 2f x x ; A R



6.6.2 ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic Function) ฟงกชนกาลงสอง หมายถง ฟงกชนทอยในรป 2( )f x ax bx c เมอ , ,a b c R

และ 0a กราฟของฟงกชนกาลงสอง จะเปนรปพาราโบลา ซงเปนพาราโบลาหงาย หรอพาราโบลาควาเทานน ทงนขนอยกบจานวนจรง a วาเปนจานวนบวกหรอจานวนลบ 1) เมอ 0a จะไดพาราโบลาหงาย 2) เมอ 0a จะไดพาราโบลาควา

จดยอดของพาราโบลาอยท จดท 2

bx

a ,

24

4

ac by

a

ตวอยาง 28 สเหลยมมมฉากรปหนงมความยาวของเสนรอบรปเทากบ 40 เซนตเมตร 1) จงสรางฟงกชน f ซงแทนพนทของรปสเหลยมรปน 2) จงหาขนาดของรปสเหลยมททาใหมพนทมากทสด วธท า 1) สมมตให x แทนความยาวของดานๆ หนงของรปสเหลยม ดงนน ความยาวอกดานหนงของรปสเหลยม เทากบ 20 x เซนตเมตร ฟงกชน f เปนฟงกชนทแทนพนทของรปสเหลยม ดงนน ( ) (20 )f x x x 2( ) 20f x x x เมอ 0 20x 2) จะพบวา ฟงกชน f เปนฟงกชนกาลงสองทมโดเมนเทากบ (0,20) กราฟของ f เปนสวนหนงของพาราโบลาควา ซงมจดสงสดอยท

2010

2( 1)x

2(10) 20(10) (10) 200 100 100y f

X

20-X

ดงนน สเหลยมรปนจะมพนทมากทสด เมอ x =10 พนทมากทสดเทากบ 100 ตารางเซนตเมตร



6.6.3 ฟงกชนพหนาม (Polynomial Function) ฟงกชนพหนาม หมายถงฟงกชนทอยในรป

1 2 2

1 2 2 1 0( ) ...n n n

n n nf x a x a x a x a x a x a

เมอ 0 1 2, , ,..., na a a a เปนคาคงตว และ n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย ถา 0na แลวจะเรยกฟงกชนพหนามดงกลาววาเปนฟงกชนพหนามทมระดบ (degree) เทากบ n (เทากบเลขชกาลงของ x ทมากทสดทมสมประสทธไมเทากบ 0) ตวอยางเชน

ฟงกชนพหนาม ระดบ(degree) ( ) 2 5f x x 1

2( ) 3 1f x x x 2 3 2( ) 4 5 2f x x x 3

4( ) 2f x x 4 ( ) 10f x 0

5( ) 3 2f x x x 5 ตวอยาง 29 จงวาดกราฟของฟงกชน 3( ) 4f x x x วธท า แยกตวประกอบ จะได ( ) ( )( 2)( 2)f x x x x หาระยะตดแกน y ถา x=0 แลว y=0 หาระยะตดแกน x ถา y=0 แลว x=-2, 0, 2 ระยะตดแกน x จะแบงแกน x ออกเปน 4 สวน ใหพจารณาเครองหมาย f(x) ในแตละสวน ดงน เครองหมายของ f(x) - + - + เครองหมายของ x+2 - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + เครองหมายของ x-2 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + เครองหมายของ x - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + -2 0 2 X



6.6.4 ฟงกชนตรรกยะ (Rational Function)

ฟงกชนตรรกยะ หมายถง ฟงกชนทอยในรป ( )( )

( )

p xf x

q x เมอ ( )p x และ ( )q x เปน

ฟงกชนพหนาม และ ( ) 0q x ตวอยางของฟงกชนตรรกยะ ไดแก

1( )

1

xf x

x

, 2

( )4

f xx

2( )

2

xf x

x

,

2

5( )

1

xf x

x x

ตวอยาง 30 จงวาดกราฟของฟงกชน 22 3 2

( )2

x xf x

x

วธท า 2fD x R x

เขยนฟงกชน f ใหม ไดดงน

2 1 2( )

2

x xf x

x

เนองจาก 2 0x ดงนน

( ) 2 1f x x เมอ 2x R ดงนนกราฟของ f จะเปนรปเสนตรงทมความชนเทากบ 2 และระยะตดแกน y เทากบ 1 ยกเวนจด (2,5) ดงรป

แบบฝกหดเพมเตม : จงวาดกราฟของฟงกชนตอไปน

1) 3 2 2 2

( )1

x x xf x

x

2) 1( )

1f x

x

3) 2

3( )

5 6

xf x

x x

(2,5)



ตวอยาง ฟงกชนขนบนได 5 , 4

3 , 4 2

( ) 2 , 2 1

2 , 1 3

4 , 3

x

x

f x x

x

x

วาดกราฟไดดงน

ตวอยาง ฟงกชนทเปนคาสมบรณ 2( ) 4f x x

ตวอยาง ฟงกชนทเปนคาบ ( ) sinf x x


บทท 7 จ านวนจรง

บทท 7 จ ำนวนจรง (The Real Number)

7.1 สจพจนสนำม (Field Axiom)

ระบบจ านวนจรงประกอบดวยเซต และการด าเนนการทวภาคสองชนดคอการบวกและการคณ ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ + และ ตามล าดบ , , มสมบตตอไปน 1) , ,x y x y และ x y

2) , ,x y x y y x และ x y y x 3) , , ,x y z x y z x y z และ x y z x y z 4) 0 , 0 0x x x x เราเรยก 0 วาเอกลกษณการบวก 5) 1 , 1 1x x x x เราเรยก 1 วาเอกลกษณการคณ 6) , 0x x x x x x

เราเรยก x วาตวผกผนของ x ภายใตการบวก

7) 1 1 1, 0 , 1x x x x

x x x

เราเรยก 1

x วาตวผกผนของ x ภายใตการคณ

8) , , ,x y z x y z x y x z และ y z x y x z x หมำยเหต ส าหรบจ านวนจรง x และ y ใดๆ เรานยมเขยน xy แทน x y และ x y แทน

( )x y สวนกรณท 0y เราเขยน x

y แทน 1

xy

สรปไดวา , , เปนฟลด (Field) นอกจากนเรายงแบง ออกเปน 3 สบเซตคอ ซงเปนเซตของจ านวนจรงบวกทงหมด, 0 และ ซงเปนเซตของจ านวนจรงลบทงหมด มสมบตเพมเตมทางการแบงเซตในลกษณะนคอ

9) จ านวนจรง x ใดๆ สอดคลองเงอนไขใดเงอนไขหนงตอไปนเพยงเงอนไขเดยวเทานนคอ x หรอ 0x หรอ x เราเรยกเงอนไขนวา กฎไตรวภำค 10) , ,x y x y และ xy 7.2 ทฤษฎบทพนฐำนส ำหรบจ ำนวนจรง ทฤษฎบทท 1 ให x และ a เปนจ านวนจรง ใดๆ จะไดวา 1) ถา x a a แลว 0a 2) ถา x a a และ 0a แลว 1x 3) ถา 0x a แลว x a

4) ถา 1x a และ 0a แลว 1x

a



ทฤษฎบทท 2 ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ จะไดวา 1) (0) 0a 2) ( 1)a a 3) ( )a a 4) ( )( )a a aa

5) ถา 0a แลว 1

1a

a

และ

1 1a a นนคอ 1 1

a a

ทฤษฎบทท 3 ให a และ b เปนจ านวนจรง ใดๆ จะไดวา 1) ( ) ( ) ( )ab a b a b 2) ถา 0ab แลว 0a หรอ 0b ทฤษฎบทท 4 1) 1 2) n ทกจ านวนนบ n 3) ถา a และ 0a แลว 2a

4) a กตอเมอ 1

a

จากกฎไตรวภาคเราไดวา 0 ไมใชจ านวนจรงบวก และ 0 ไมใชจ านวนจรงลบ เราสามารถจดอนดบใหจ านวนจรงโดย ก าหนดความสมพนธ “<” บน ดงน

a b b a ดงนน 0 b b ทฤษฎบทท 5 ให ,a b และ c เปนจ านวนจรง ใดๆ จะไดวา 1) ถา a b และ b c แลว a c 2) เงอนไข a b หรอ a b หรอ a b จรงเพยงอยางเดยวเทานน 3) ถา a b และ b a แลว a b 4) ถา a b และ b c แลว a c ทฤษฎบทท 6 ให , ,a b c และ d เปนจ านวนจรง ใดๆ จะไดวา 1) ถา a b แลว a c b c 2) ถา a b และ c d แลว a c b d 3) ถา a b และ 0c แลว ac bc ถา a b และ 0c แลว ac bc หมำยเหต เราใชสญกรณ a b c แทน a b และ b c

ในท านองเดยวกน a b c หมายถง a b และ b c



7.3 ชวง (Interval) ส าหรบจ านวนจรง a และ b ใดๆ ซง a b ชวงเปด ,a b หมายถง x a x b

ชวงปด ,a b หมายถง x a x b

ชวงกงเปด ,a b หมายถง x a x b

ชวงกงเปด ,a b หมายถง x a x b

ชวง ,a หมายถง x x a




และ ชวง , หมายถง ในบางกรณเราอาจเขยนแทน ดวยชวง ,a a และ ,a a a บทนยำม ให x เปนจ านวนจรงใดๆ คาสมบรณของ x เขยนแทนดวยสญลกษณ x คอจ านวนจรงทก าหนดโดย

, 0

, 0

x xx

x x

ดงนน 0x ทกจ านวนจรง x

ทฤษฎบทท 7 ให x และ y เปนจ านวนจรง ใดๆ จะไดวา 1) 0x กตอเมอ 0x 2) x x 3) 2 2x x 4) xy x y

5) xx

y y ถา 0y

6) x y x y ทฤษฎบทท 8 ให a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จะไดวา 1) x a กตอเมอ a x a 2) x a กตอเมอ a x a 3) x a กตอเมอ x a หรอ x a 4) x a กตอเมอ x a หรอ x a



7.4 สจพจนควำมบรบรณ ทฤษบทท 9 ให A และให a และ b เปนจ านวนจรงแลว 1) a เปนขอบเขตบน (upper bound) ของ A กตอเมอ x a ทก x A 2) b เปนขอบเขตลำง (lower bound) ของ A กตอเมอ x b ทก x A 3) ถา A มทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง เราจะเรยก A วา

เปนเซตมขอบเขต (bounded) ตวอยำง 7.4.1 จงพจารณาวาเซตตอไปนปนเซตมขอบเขตหรอไม 1) 1,1 2) 0,1 3) 1,2 4) 1, 5) ,0 6) 0 7) 8) 9) 10) ทฤษบทท 10 ให A และให a และ b เปนจ านวนจรงแลว 10.1) a เปนขอบเขตบนนอยสด (least upper bound/ supremum) ของ A เขยนแทนดวย lub A หรอ sup A กตอเมอ 1) a เปนขอบเขตบนของ A 2) ไมวา c จะเปนจ านวนจรงใดกตาม ถา c เปนขอบเขตบนของ A แลว a c

ถา sup A เปนสมาชกใน A เราจะเรยก คำสงสด (maximum) ของ A

10.2) b เปนขอบเขตลำงมำกสด (greatest lower bound/ infimum) ของ A เขยนแทนดวย glb A หรอ inf A กตอเมอ 1) b เปนขอบเขตบนของ A 2) ไมวา c จะเปนจ านวนจรงใดกตาม ถา c เปนขอบเขตลางของ A แลว b c

ถา inf A เปนสมาชกใน A เราจะเรยก คำต ำสด (minimum) ของ A ทฤษบทท 11 ให A แลว sups A กตอเมอ 1) 0 ,x A x s และ 2) 0 ,x A x s ทฤษบทท 12 ให A แลว infl A กตอเมอ 1) 0 ,x A x l และ 2) 0 ,x A x l



ตวอยำง 7.4.2 จงหาขอบเขตบนและขอบเขตลางของเซตตอไปน 1) 1,1A 2) 1,2A 3) 0,1,2A 4) 0A ตวอยำง 7.4.3 จงหา inf( )A และ sup( )A ของเซต A ในตวอยาง 7.4.2



7.5 สมกำรและกำรแกอสมกำร เราสามารถหาค าตอบของสมการและอสมการโดยใชสมบตการเทากนและสมบตการไมเทากนดงกลาวแลวในทฤษฎบทขางตน ตวอยำง 7.5. 1 ก าหนดให 3 4 x และ 1 7 y จงหา 1) x y

2) x y

3) x y

4) x

y

5) 2 x y

6) 2 y x

ตวอยำง 7.5. 2 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3 5 1 7 5 11 x x x x

ตวอยำง 7.5. 3 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 28 4 3 1 11 x x



ตวอยำง 7.5. 4 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3 2

2

2 2 10

2 3

x x x

x x

ตวอยำง 7.5. 5 จงหาเซตค าตอบของอสมการ

10 3

11

1 40

3

x x

x

ตวอยำง 7.5. 6 มจ านวนเตมกจ านวนทไมเปนค าตอบของอสมการ 3

51 4

x x

x x



ตวอยำง 7.5. 7 จงหาเซตค าตอบของอสมการ

2 2 2 3 1 x x x x x x

ตวอยำง 7.5. 8 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3 4 1 x x ตวอยำง 7.5. 9 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 1 3 x x



7.6 สมกำรและอสมกำรคำสมบรณ ตวอยำง 7.6.1 จงแกสมการ 2 20 x x ตวอยำง 7.6.2 จงแกสมการ 4 3 2 x

ตวอยำง 7.6.3 จงแกสมการ 3 1

2 1 2

x

x



ตวอยำง 7.6.4 จงแกสมการ 2 1 2 x x x ตวอยำง 7.6.5 จงแกอสมการ 2 3 5 x

ตวอยำง 7.6.6 จงแกสมการ 2

22

3

xx



ตวอยำง 7.6.7 จงแกอสมการ 35 2

3

xx

x

ตวอยำง 7.6.8 จงแกอสมการ 2 2

02

x x

x

ตวอยำง 7.6.9 ก าหนดให เอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนจรง

2 A x x x จงหา /A



ตวอยำง 7.6.10 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2 1

13 5

x

x

ตวอยำง 7.6.11 จงหาเซตค าตอบของอสมการ

10 10

5 6

x x

x x

ตวอยำง 7.6.12 จงหาเซตค าตอบของสมการ 3 1 5 0 x x x

บรรณานกรม

กรรณกา กวกเพฑรย. (2542). หลกคณตศาสตร, ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. กรงเทพมหานคร.

ธนชยศ จ าปาหวาย. (2559). เอกสารประกอบการสอนรายวชาหลกการคณตศาสตรส าหรบคร, คณะครศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา. กรงเทพมหานคร.

พฒน อดมกะวานช. (2559). หลกคณตศาสตร, ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. กรงเทพมหานคร.

พมพเพญ เวชชาชวะ.(2560). การพสจน, ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. กรงเทพมหานคร.

ไพโรจน เยยระยง. (2559). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต, ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

กรงเทพมหานคร.

Documents

เอกสารประกอบการสอน รายวิชาหลักการคณิตศาสตร์ Principle of ... · ก ค ำน ำ เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาหลักการคณิตศาสตร์