İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

AKÜ FEMÜBİD 18 (2018) 015502 (240-249) AKU J. Sci. Eng. 18 (2018) 015502 (240-249) DOİ: 10.5578/fmbd.66881 İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi Orhan Kurt1

1 Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli. e-posta: orhnkrt@gmail.com

Geliş Tarihi: 27.12.2017 ; Kabul Tarihi:20.04.2018

Anahtar kelimeler

2B doğrusal

dönüşümler; Tam afin;

Afin; Benzerlik

Özet

İki boyutlu (2B) doğrusal dönüşümler Harita (Geomatik) mühendisliğinin birçok alanında geniş bir

kullanım alanı bulmuştur. Bunlardan en çok kullanılanları, iki dik koordinat sistemi arasındaki benzerlik

(Helmert) ya da eğik ve dik koordinat sistemleri arasında yapılan afin dönüşümdür. Birçok kullanıcı bu

dönüşüm türlerinden birini seçerken yaptığı (kaynak-hedef koordinat sistemleri arasındaki dönüşüm

dikten-dike ya da eğikten-dike veya dikten-eğiğe olsun şeklindeki) geometrik kabule dikkat etmez. Yanlış

geometrik model ile elde edilen dönüşüm parametreleri kullanılarak üretilen eşlenik olmayan nokta

koordinatlar hatalı olurlar. Dönüşümün temel geometrisi doğru seçilmiş ise dönüşüm sonuçları gerçeği

yansıtır. Aksi durumda, istatistik testler dahi yanıltıcı sonuçlar verebilir. Bu çalışmada, kullanıcının

seçebileceği doğrusal dönüşümlerin geometrik yapısı incelenmiş ve kendi problemine uygun dönüşüm

türünü seçmesi için önerilerde bulunulmuştur. Çalışmada ilk olarak iki boyutlu doğrusal dönüşümün en

genel hali olan iki eğik koordinat sistemi arasındaki dönüşüm türü olan tam afin bağıntıları çıkarılmıştır.

Uygulamada geniş bir kulanım alanı bulan eğik-dik (afin) ve dik-dik koordinat (benzerlik) sistemleri

arasındaki dönüşümün türünün, iki eğik koordinat sistemi arasındaki dönüşüm türünün özel halleri

olduğu geometrik olarak gösterilmiş ve bu dönüşümlerin genel bağıntıları çıkarılmıştır. Uygulamada

yaygın olarak kullanılan eğik-dik (afin) ya da dik-dik (benzerlik) koordinat dönüşümü seçiminin nasıl bir

yanılgı doğuracağı gerçek bir sayısal örnek üzerinde gösterilmiştir.

Geometry of Two Dimensional Linear Transformations

Keywords

Linear transformations

in 2D; exact affine;

affine; similarity

Abstract

Two dimensional (2D) linear transformations are commonly used in a lot of field of Geomatics

Engineering. Most used of them are similarity (Helmert) transformation between two orthogonal

coordinate systems and affine transformation between an orthogonal and an oblique coordinate

system. Since many users don’t have any idea on the geometry (for source-target coordinates systems

from an orthogonal to an orthogonal or from an orthogonal to an oblique or from an oblique to an

orthogonal) of transformation preferred by them, they can be fallen in some mistakes after the

transformation. Uncommon point coordinates produced using transformation parameters obtained

with the wrong geometric model are to be incorrect. If the basic geometry of the transformation is

chosen correctly, the transformation results reflect the truth. Otherwise, statistical tests also can give

misleading results. The aim of this article is to inform the users about the transformation geometry and

to ensure that the transformation chosen by them is to be suitable for their own transformation

problem. In this article, the most general statement of a two-dimensional linear transformation has

been derived from a relationship between two oblique coordinate systems at first. Then, it is

demonstrated geometrically that the transformations between oblique and orthogonal or between two

orthogonal coordinate systems are special states of the most general model, and their formulas are

derived from the general model. By a transformation problem taken from real life, it is demonstrated

that a wrong choice between the affine and similarity transformations which are generally used in

practice is caused wrong results.

© Afyon Kocatepe Üniversitesi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 241 -

1. Giriş

İki boyutlu (2B) doğrusal dönüşümler mesleğimizin

birçok alanında yaygın olarak kullanılmaktadır ve

literatürde bu konu ile ilgili birçok kaynağa

ulaşılabilir (Öztürk ve Şerbetçi 1996, Demirel 1997,

Kurt 2002, Malissiovas vd. 2016). 2B doğrusal

dönüşümlerden en çok kullanılanları, iki dik

koordinat sistemi arasındaki benzerlik (Helmert)

dönüşümü (Öztürk ve Şerbetçi 1996, Demirel 1997,

Kurt 2002, Malissiovas vd. 2016) yada eğik-dik

koordinat sistemleri arasındaki afin dönüşümüdür

(Öztürk ve Şerbetçi 1996, Demirel 1997, Kurt 2002).

Kullanıcıların çoğu bu dönüşüm türlerinden birini

seçerken öngördüğü dönüşümün geometrik anlamı

üzerinde durmadığından, bazı yanılgılara

düşebilmektedir. Bu çalışmanın amacı kullanıcının

seçeceği dönüşüm türünün geometrisini

(fonksiyonel modeli) belirginleştirmek ve tercih

ettiği dönüşüm türünün kendi problemine

uygunluğuna karar vermesine yardımcı olmaktır.

Bu çalışmanın temel katkısı, anonim hale gelmiş

birçok kaynakta yer almayan bir bakış açısıyla

organize edilmiş olmasıdır. Çalışmada gerçek iki afin

koordinat sistemi arasında gerçekleştirilen ve Tam

Afin (Exact Affine) olarak adlandırılan bir dönüşüm

tanımlanmıştır. Bu genel dönüşümün; bu çalışmada

Afin-1 (eğik-dik) ve Afin-2 (dik-eğik) olarak

adlandırılan dönüşümlerin yanı sıra Benzerlik

dönüşümü ile olan ilişkileri teorik olarak

gösterilmiştir. Bu temel katkıyı gölgelememek ve

yazının hacmini genişletmemek için matematik

modelin (fonksiyonel + stokastik) kurulması ve

(dönüşüm) sonuçlarının test edilmesi konusu

üzerinde ayrıntılı olarak durulmamıştır.

Okuyucunun, matematik modelin kurulması,

çözümü ve sonuçların test edilmesi aşamaları ile ilgili

ayrıntılı bilgiye Leick vd. (2015), Öztürk ve Şerbetçi

(1996), Demirel (1997), Koch (1999), Kurt (2002,

2010) gibi kaynaklarından ulaşabileceği

düşünülmüştür.

Sayısal uygulama bölümünde beş eşlenik noktadan

oluşan bir uygulama seçilmiştir (Kurt 2002). Dik

(imar ve kadastro) koordinat sistemlerinde

üretildikleri öngörüsüne sahip olduğumuz bu eşlenik

koordinatlar, stokastik özellikleri ve dönüşüm

parametreleri değişmeyecek şekilde ötelenmiştir.

Sayısal verileri değerlendirmek için Python 2.7 ve 3.6

versiyonlarında çalışan bir yazılım geliştirilmiştir (Int

Kyn. 1, 2). Bu yazılım afin (eğik-dik: eğik koordinat

sisteminden dik koordinat sistemine) ve benzerlik

(dik-dik: dik koordinat sisteminden dik koordinat

sistemine) dönüşüm parametrelerini (ve eğik

koordinat sistemine ait baz vektörleri arasındaki

açıyı) ve bu parametrelerin duyarlıklarını

hesaplamakta, dönüşüm parametrelerini test

etmekte ve Değiştirilmiş Pope yöntemine (Öztürk ve

Şerbetçi 1996; Kurt 2002, 2010) göre koordinat

çiftleri üzerinden klasik uyuşumsuz ölçüler testi

yapmaktadır. Yazılım uyuşumsuz koordinat çifti

testini, koordinat değişim vektörleri ile bu

vektörlere ait hata elipsleri üzerinden grafik olarak

yapabilmektedir. Bu yazılım ile değerlendirilen

örnek uygulama üzerinden, uygun olmayan

dönüşüm modeli seçiminin nasıl hatalı sonuçlara yol

açabileceği gösterilmiştir.

2. İki Boyutlu Doğrusal Koordinat Sistemleri ve

Dönüşümler

Bir noktanın iki boyutlu uzaydaki (düzlemdeki)

konumu, referans seçilen iki vektörün doğrultusuna

göre verilen bileşenler ile belirlenir. Referans seçilen

iki (baz) vektörünün birbirleri ile olan ilişkileri iki

boyutlu koordinat sisteminin türünü belirler.

Herhangi iki vektörün oluşturduğu koordinat

sistemine eğik (afin) koordinat sistemi, birbirine dik

iki vektörün oluşturduğu sisteme dik ya da ortogonal

(veya Öklit) koordinat sistemi denir (Hacısalihoğlu

1990), (Şekil 1).

Eğik koordinat sisteminde paralellik esastır. Dik

koordinat sistemi ise eğik koordinat sisteminin özel

bir hali olup, eğik koordinat sisteminin temelini

oluşturan paralelliğin yanı sıra koordinat

eksenlerinin diklik özelliğini de taşımasıdır. Harita

mühendisliğinde iki boyutlu doğrusal dik koordinat

sistemi projeksiyon koordinatlarının gösteriminde

kullanılır. Eğik koordinat sistemi ise, genellikle

fotogrametride resmin fiziksel özelliklerinden

kaynaklanan deforme olmuş görüntü

koordinatlarının oluşturduğu koordinat sistemi

olarak düşünülmektedir. Verilen koordinat kümeleri

hakkında ön bir bilgi yoksa, bu koordinatlara eğik

koordinatlar olarak bakılabilir. İki koordinat sistemi

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 242 -

arasındaki dönüşüm öncelikle eğik koordinat

sistemleri arasında düşünülebilir.

Şekil 1. Bir P noktasının eğik (afin) ve dik (ortogonal) koordinat sistemlerindeki gösterimleri.

2.1 İki Eğik Koordinat Sistemi Arasındaki Dönüşüm

İki boyutlu doğrusal dönüşümün en genel hali iki

eğik koordinat sistemi arasındaki (tam afin)

dönüşümdür (Şekil 2). Şekil 2’de ),( yx ve ),( vu

ikililerinden oluşan iki eğik koordinat sistemi

arasındaki ilişki gösterilmiştir. ( u// , v// ) gösterimi,

başlangıcı ),( yx koordinat sitemi başlangıcına

ötelenmiş ),( vu sistemini temsil etmektedir (Şekil

2). Çalışmadaki bütün dönüşüm bağıntıları Şekil 2

kullanılarak ),( yx koordinat sisteminden ),( vu

koordinat sistemine yapılan dönüşeme göre

türetilmiştir.

Şekil 2’de ),( 00 vu ; ),( yx sisteminin başlangıcı olan B

noktasının ),( vu sistemindeki koordinatları ve iki

koordinat sistemi arasındaki dönüşümün öteleme

elemanlarıdır. ; u ve v baz vektörleri arasındaki açı,

; x ve y baz vektörleri arasındaki açı, ve ; sırasıyla

x ekseninden u eksenine ve y ekseninden v eksenine

doğru uygulanan dönüklük açılarıdır. Bu açılar

arasında;

(1)

ilişkisi vardır (Şekil 2). Şekil 2’de tanımlanan açıların

dışında kalan diğer açılar, tanımı yapılan bu açılar ile

paralel doğrular arasında kalan açı özeliklerinden

yararlanılarak kolayca bulunabilirler. Yine Şekil

2’den yararlanarak u ve v koordinatları;

DPDEAOEPAOu (2)

BEABv (3)

eşitlikleri ile elde edilir. (2) ve (3) eşitliklerindeki

büyüklükler, Şekil-2’de tanımlanan açılar ve (x, y)

koordinatları cinsinden aşağıdaki bağıntılarla

bulunur.

CDP üçgeninde sinüs teoremi yazılırsa,

xDP)sin(

sin

(4)

xCD)sin(

sin

(5)

eşitlikleri elde edilir.

BDE üçgeninde sinüs

teoreminden,

xyCDyDE)sin(

sin

sin

sin

sin

sin)(

sin

sin

(6)

xyCDyBE

sin

sin

sin

)sin()(

sin

)sin( (7)

büyüklükleri bulunur. (6) ve (7) eşitlikleri (2) ve (3)

eşitliklerinde yerine yazılırsa, iki eğik koordinat

sistemi arasındaki dönüşüm bağıntıları elde edilmiş

olur.

yxuu

sin

sin

)sin(sin

sinsinsinsin0 (8)

yxvv

sin

)sin(

sin

sin0 (9)

(8) ve (9) eşitlikleri incelediğinde ölçek

parametresinin bu eşitliklerde yer almadığı görülür.

İki eğik sistemin birbirleri ile eşleşen koordinat

eksenleri (u ile x ve v ile y) boyunca ölçek farklılığı

olduğu düşünülür ve bunlar ve olarak

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 243 -

tanımlanırsa, iki eğik koordinat sistemi arasındaki

dönüşüm bağıntılarına ulaşılır.

)(sin

sin)(

)sin(sin

sinsinsinsinyxuu

0 (10)

)(sin

)sin()(

sin

sinyxvv

0 (11)

Bu bağıntılar iki afin koordinat sistemi (çatısı)

arasındaki en genel 2B doğrusal dönüşüm

bağıntılarını temsil etmektedir. Fazla kullanılmayan

ve geometrik anlamı üzerinde fazla durulmamış olan

bu dönüşüm türü, çalışmada Tam Afin Dönüşümü

(Exact Affine Transformation) olarak

adlandırılmıştır.

Tam afin dönüşümünde yedi adet bilinmeyen vardır.

Bilinmeyenler; iki öteleme ),( 00 vu , iki ölçek ),(

ve den dolayı üç açıdır. Açı

bilinmeyenleri ),,( ya da ),,( olarak

seçilebilir (Şekil 2).

Şekil 2. İki eğik koordinat sistemi arasındaki (tam afin) dönüşümünün geometrisi.

2.2 Eğik ve Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki

Dönüşüm

Bir eğik (afin) koordinat sisteminden bir dik

(ortogonal) koordinat sistemine ya da bir dik

koordinat sisteminden bir eğik koordinat sistemine

doğru tanımlanan dönüşüm türüdür. Bir önceki

başlık altında elde edilen (10) ve (11) eşitliklerinde

2/ alınırsa eğik-dik (Afin-1) ve 2/

alınırsa dik-eğik koordinat dönüşümleri tanımlanmış

olur. Bu dönüşüm türlerinde bilinmeyenler; iki

öteleme, iki dönüklük ve iki ölçektir.

2/ olarak alındığında (10) ve (11)

eşitliklerindeki bilinmeyen sayısı yediden altıya

düşer. 1sin ve (1) eşitliği )(/ 2

şeklinde düzenlenerek (10) ve (11) eşitliliklerinde

yerine yazılır ve gerekli kısaltmalar yapılırsa (12) ve

(13) bağıntılarına ulaşılır.

)(sin)(cos yxuu 0 (12)

)(cos)(sin yxvv 0 (13)

Bu çalışmada Afin-1 Dönüşümü olarak adlandırılan

ve eğik-dik koordinat dönüşümünü tanımlayan bu

bağıntılar, Harita (Geomatik) mühendisliği ve diğer

birçok mühendislik alanında Afin Dönüşümü (Affine

Transformation) olarak bilinir. Harita mühendisliği

alanında bu tip bir dönüşüme, bir resme ya da

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 244 -

deforme olmuş bir paftaya ait koordinatlardan arazi

koordinatlarına dönüşüm örnek olarak verilebilir.

Bu çalışmada Afin-2 olarak adlandırılan Dik-eğik

(Afin-2) koordinat dönüşümü (10) ve (11)

bağıntılarında 2/ alınarak elde edilir. 1sin

ve (1) eşitliğinden )(/ 2 elde edilip (10)

ve (11) eşitliklerinde yerine yazılır ve gerekli

kısaltmalar yapılırsa (14) ve (15) eşitliklerine ulaşılır.

)(sin

sin)(

sin

cosyxuu

0 (14)

)(sin

cos)(

sin

sinyxvv

0 (15)

Bu eşitlikler tam afin için verilen (10) ve (11)

bağıntıları yerine de kullanılabilir. Diğer açı

)( bağıntısı ile hesaplanır.

Dönüşen (u ve v) koordinat sisteminin eksenleri

arasındaki açı 2/ alınır ve (1) eşitliğinde yerine

yazılarak elde edilen )(/ 2 bağıntısı (14)

ve (15) bağıntılarında yerine yazılırsa, (16) ve (17)

dönüşüm bağıntıları elde edilir.

)()cos(

sin)(

)cos(

cosyxuu

0 (16)

)()cos(

cos)(

)cos(

sinyxvv

0 (17)

Dönüklük açılarına (, ) göre verilen (16) ve (17)

bağıntıları uygulayıcılar açısından daha uygun bir

Afin-2 dönüşümüdür. Harita mühendisliğinde Afin-1

dönüşümünün tersi olan ve (12) ve (13) eşitlikleri

için önerilen örneğin tersi olan (dik koordinat

sisteminden afin koordinat sistemine olan)

dönüşümdür.

Bu iki (Afin-1 ve Afin-2) dönüşüm arasındaki ters

ilişki (12), (13) ve (16), (17) bağıntıları

karşılaştırılarak kolayca görülebilir. Ötelemeler ters

işaretli, ölçekler ve dönüklük matrisleri de

birbirlerinin tersi olurlar. Afin-1 dönüşümünün (12)

ve (13) bağıntılarındaki dönüklük matrisinin tersi,

cossin

sincos

)cos(cossin

sincos 11

ile elde edilir. Afin-1 ve Afin-2 dönüşümlerinin ters

işaretli olan dönüklük açıları yukarıdaki eşitlikte

yerine yazılır, )cos(cos ve )sin(sin

},{ dikkate alındığında Afin-2 dönüklük

matrisi

cossin

sincos

)cos(

1

bulunur. Bu dönüklük matrisinin (16) ve (17)

eşitliklerinde verilen Afin-2 dönüklük matrisi ile

eşdeğer olduğu kolayca görülür. Bu durum sayısal

uygulama bölümünde incelenmiş ve her iki

dönüşümde afin koordinat sistemi olarak öngörülen

koordinat sisteminin eksenleri arasındaki kesişim

açıları ( ve ) da duyarlıkları ile birlikte

hesaplanmıştır.

(16) ve (17) eşitlikleri ile verilen Afin-2 dönüşüm

bağıntıları yerine, dönüşen (kaynak, x-y) ve

dönüştürülen (hedef, u-v) koordinat sistemleri

değiştirilerek (12) ve (13) bağıntılarının kullanılması

uygulayıcılar açısından daha kolaydır. Daha açık bir

ifade ile dönüşen sitem (kaynak, u-v) ve

dönüştürülen sistem (hedef, x-y) olarak alınmalıdır.

2.3 İki Dik Koordinat Sistemi Arasındaki Dönüşüm

Benzerliği koruduğu için Benzerlik (Helmert)

Dönüşümü olarak adlandırılır. Bir koordinat

sistemindeki herhangi bir geometrik şekil benzerlik

dönüşümden sonra diğer sistemde ötelenmiş,

dönmüş ve ölçeklenmiş olarak elde edilir. Şekil-2

den, ve 2/ alınarak (14) ve (15)

eşitliklerinde yerine yazılırsa benzerlik dönüşüm

bağıntılarına ulaşılır.

yxuu )sin()cos( 0 (18)

yxvv )cos()sin( 0 (19)

Açı yönü şeklinde alınırsa dönüşüm

bağıntıları

yxuu )sin()cos( 0 (20)

yxvv )cos()sin( 0 (21)

olarak elde edilir. (18), (19) ve (20), (21)

eşitliklerindeki ötelemelerin ters işaretli,

ölçeklerinde birbirlerinin tersi olduğu

unutulmamalıdır. Harita mühendisliği ve birçok

mühendislik alanında yaygın olarak kullanılan

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 245 -

dönüşüm türü iki dik koordinat sistemi arasında

gerçekleştirilen benzerlik (Helmert) dönüşümüdür.

3. Matematik Modelin Kurulması ve

Değerlendirilmesi

Yukarıda fonksiyonel modelleri çıkarılan dönüşüm

türlerinde bilinmeyenler dönüşüm parametreleridir.

Bilinmeyenleri bulabilmek için her iki sistemde

koordinatları bilinen ortak noktalara ihtiyaç duyulur.

Ortak noktaların sayısı, bilinmeyen sayısından ne

kadar fazla ise, hesaplanan dönüşüm

parametrelerinin güvenirliği de o kadar artar.

Serbestlik derecesi sıfırdan büyükse parametrelerin

tek anlamlı çözümü için En Küçük Kareler (EKK) ilkesi

uygulanır. Burada mesleğimizde yaygın olarak

kullanılan benzerlik dönüşümü ve eğikdik (afin)

koordinat sistemleri üzerinde durulacak sayısal

örnekler bunlardan seçilecektir. Ayrıca dengeleme

modellerinin kurulmasından ayrıntılı olarak

bahsedilmeyecektir. Benzerlik dönüşümü için

Öztürk ve Şerbetçi (1996), Demirel (1997), Kurt

(2002) ve Malissiovas vd. (2016) kaynaklarından,

eğikdik (afin) koordinat dönüşümü için Demirel

(1997) ve Kurt (2002, 2010) kaynaklarından

yararlanılabilir. İşlem adımları iki şekilde

gerçekleştirilebilir.

(18) ve (19) eşitliklerindeki (u, v) koordinat çiftleri ölçüler olarak ele alınıp, fonksiyonel model kurulur.

Her bir koordinatın ağırlıkları eşit kabul edilir ve stokastik model oluşturulur.

En Küçük Kareler (EKK) ilkesi uygulanır. İstenilen bir sınır değere göre model testi yapılır.

Model testi geçersiz ise uyuşumsuz koordinatların var olduğu düşünülerek, uyuşum ölçü testi gerçekleştirilir. Uyuşumsuz ölçü yok ise kurduğumuz matematik model hatalı demektir. Öngördüğümüz model elimizdeki ortak koordinat çiftlerinin dönüşümüne uygun değildir. Model genişletilerek işlem yeniden tekrarlanır. Eğer uyuşumsuz ölçü yok ve model hatalı ise iki sitem arasında doğrusal bir dönüşüm ilişkisi yoktur. Yani bu iki sistem arasında öteleme, döndürme yada ölçeklendirmeden başka örneğin yansıma yada başka bir özellik var demektir. Bu ortak noktalar bir grafik programda gösterilerek yeniden modellenmeli ve buradaki işlem adımları o modele göre gerçekleştirilmelidir.

İkinci yol için işlem sırası aşağıdaki gibidir.

(10) ve (11) eşitliklerindeki (u, v) koordinat çiftleri ölçüler olarak ele alınıp, fonksiyonel model kurulur.

Her bir koordinatın ağırlığı eşit alınarak stokastik model oluşturulur.

EKK ilkesi uygulanır. İstenilen bir sınır değere göre model testi yapılır.

İki sistem arasında doğrusal dönüşüm var ve uyuşumsuz ölçü yok ise matematik model geçerli çıkacaktır. En genel modelde; öngörülen farklı dönüklük, farklı ölçek ve koordinat sistemlerinin dik olup olmadıkları, parametre test yöntemleri ile test edilir. Anlamsız bulunan parametre modelden çıkarılır, yeni model için aynı işlemler yinelenir.

4. Bulgular

Çizelge 1’de verilen ve beş eşlenik noktadan oluşan

nokta kümesinin koordinat değerleri gerçek bir

uygulamadan seçilmiştir (Kurt 2002). Dik (imar ve

kadastro) koordinat sitemlerinde üretildikleri

bilinen bu eşlenik koordinatlar, stokastik özellikleri

ve dönüşüm parametreleri değiştirilmeyecek şekilde

ötelenmiştir (Kurt 2002) (Çizelge 1, Şekil 3).

Çizelge 1. Her iki sistemde ortak (eşlenik) nokta

koordinatları (Kurt 2002).

NN x [m] y [m] u [m] v [m]

23 88671.77 9026.47 88671.27 9026.26

29 89687.78 3741.75 89687.35 3741.87

43 91914.64 7703.51 91913.74 7703.24

48 92418.73 8063.96 92417.74 8063.66

86 89159.88 3295.03 89159.59 3295.21

Bu çalışmanın temel amacı (sayısal verilerin alındığı

Kurt (2002) kaynağında ve diğer benzer kaynaklarda

da verilmeyen) dönüşümler arasındaki geometrik

ilişkileri (ve farklılığı) belirginleştirmek ve

tartışmaktır. Bu nedenle, dönüşüm modellerinin

ayrıntılı çözümünün verilmesinden özellikle

kaçınılmıştır. Literatürde buna benzer birçok

çalışmaya ulaşılabilir. Bu çalışmada verilen

kaynaklar, dönüşüm modellerinin kurulmasını ve

çözümünü yeterli sadelikte incelemiştir ve 2B

dönüşüm literatüründe verilen kaynakların hepsini

kapsamaktadır. Sözgelimi, Malissiovas vd. (2016)

tarafından incelenen TLS (Total Least Square) ile

Benzerlik dönüşümü, Öztürk ve Şerbetçi (1996),

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 246 -

Demirel (1997) ve Kurt (2002) kaynaklarında verilen

benzerlik dönüşümü ile aynı sonuçları üretmektedir.

Çizelge 1 de verilen örnek uygulamanın ayrıntılı

çözümü Kurt (2002) kaynağında açık olarak

verilmiştir. Okuyucu eğik-dik ve iki dik koordinat

sistemi arasındaki dönüşümlerin matematik

modellerinin kurulması, çözümü ve istatistik testler

için bu kaynaktan yararlanabilir.

Bu çalışmada Python 2.7 ve 3.6 sürümleri ile hiçbir

değişiklik yapmadan çalışabilen ve grafik uyuşumsuz

ölçü testi ile parametre anlamlılık testleri yapabilen

bir yazılım geliştirilmiştir (Int Kyn. 1, 2). Verilen

koordinatlar bu yazılımla değerlendirilmiş,

dönüşümlerin uyuşumsuz ölçü testi aşaması

Değiştirilmiş Pope yöntemine göre grafik olarak

yapılmıştır (Şekil 3).

Eşlenik nokta koordinatlarının ağırlıklarının eşit ve

korelasyonsuz alındığı dönüşüm problemlerinde,

koordinat çiftlerine ait düzeltmeler arasındaki

korelasyon sıfır olur. Bu düzeltme vektörlerinin

grafik uyuşumsuz ölçü testleri için çizdirilen hata

elipsleri daire görünümlü olurlar (Şekil 3). Hata

elipsleri yeşil olan düzeltme vektörleri, güven

elipsleri içinde kalmaktadır (Şekil 3a, 3c, 3d).

(a) Afin-1 (n=5, m0= 1.72 cm) (b) Benzerlik (n=5, m0= 12.47 cm)

(c) Afin-1 (23 yok, n=4, m0= 1.78 cm) (d) Benzerlik (23 yok, n=4, m0= 1.97 cm)

Şekil 3. İki boyutlu doğrusal dönüşümler için grafik uyuşumsuz ölçü testi (a) Afin-1 (xyuv, n=5) ve (b) Benzerlik (xyuv,

n=5) (c) Afin-1 (xyuv, 23 yok, n=4) ve (d) Benzerlik (xyuv, 23 yok, n=4) (Not: Yeşil hata elipsi {=hata dairesi}

uyumlu ve pembe hata elipsi uyumsuz (23) koordinat çiftini temsil etmektedir, n: Ortak nokta sayısı).

Hata elipsleri pembe olan uyuşumsuz düzeltme

vektörleri ise güven bölgeleri dışına taşmaktadır

(Şekil 3b’de 23 numaralı nokta). Güven bölgeleri

dışına taşan bu tip düzeltme vektörlerinden test

büyüklüğü en büyük olan (çalışmada 23 numaralı)

nokta eşlenik (ortak) nokta kümesinden çıkarılmış ve

uyuşumsuz ölçü testi aşaması tekrarlanmıştır. Şekil

3c ve 3d de kalan eşlenik noktaların hata elipslerinin

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 247 -

büyüklüğü, kalan eşlenik noktalarının uyumluluğunu

göstermektedir.

Çizelge 2. Eşlenik noktaların tamamı (n=5) ile Afin ve Benzerlik dönüşüm sonuçları.

Açıklama [Birim]

Simge Afin-1

(Afin Dik) ( xy uv )

Afin-2 (Afin Dik) ( uv xy )

Benzerlik (Dik Dik) ( xy uv )

Serbestlik Derecesi f 4 4 6 Soncul KOH

[cm] m0 1.72 1.72 12.47

Ötelemeler [m]

u0 v0

12.5864 4.3836

0.49

0.49

-12.5864 -4.3836

0.49

0.49

9.2386 -2.2114

1.80

1.80

Dönüklük(ler) [cc]

-28.36 28.61

0.03

0.02

28.36 -28.61

0.03

0.02

19.70

0.13

Ölçek(ler) [ppm]

-142.99 -71.46

5.47

3.48

142.99 71.46

5.47

3.48

-106.93

19.86

Kesişim Açısı [g]

100.005697 100

0.04cc

0

100 99.999974

0

0.04cc

100 100

0

0

Dönüklük Farkı [cc] Ölçek Farkı [ppm]

||-||

||-||

-0.26 -71.53

0.04

6.48

ppm : mm/km g : Grad

Afin Anlamlılık Testi F-Dağ. Sınır Değeri

T> F%95

80.02 6.94

Anlamlı

cc : Grad saniyesi KOH : Karesel Ortalama Hata

Çizelge 3. 23 numaralı nokta atılarak (n=4) yapılan Afin-1 ve Benzerlik dönüşüm sonuçları.

Açıklama [Birim]

Simge Afin-1

(Afin Dik) ( xy uv )

Benzerlik (Dik Dik) ( xy uv )

Serbestlik Derecesi f 2 4 Soncul KOH

[cm] m0 1.78 1.97

Ötelemeler [m]

u0 v0

19.9104 1.8749

5.94

5.94

11.6803 -3.9660

1.80

1.80

Dönüklük(ler) [cc]

-10.03 -5.44

0.43

0.28

32.64

0.02

Ölçek(ler) [ppm]

-227.01 -89.79

68.11

43.36

-132.61

3.80

Kesişim Açısı [g]

100.000459 100

0.51cc

0

Dönüklük Farkı [cc] Ölçek Farkı [ppm]

||-||

||-||

4.59 -137.23

0.51

80.74

Afin Anlamlılık Testi F-Dağ. Sınır Değeri

T> F%95

41.30 19.00

Anlamlı

23 Numaralı Noktanın Hatası

[cm]

δu δv δs

-35.80 12.26 37.84

28.86

28.86

28.86

4.14 40.73 40.94

1.79

1.79

1.79

Şekil 3c ve 3d ün tamamına yakının yeşil olması,

çizilen hata elipslerinin güven bölgelerini

göstermesinden kaynaklanmaktadır (Şekil 3). Ayrıca

Şekil 3b’deki çizgisel ölçeğin (20 cm) diğer şekillerin

çizgisel ölçeklerinden (2 cm) büyük olması En Küçük

Karelerin (EKK) hataları yayma özelliğinden

kaynaklanmaktadır. Şekil 3a’da yanlış fonksiyonel

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 248 -

model (Afin-1) öngörüsü uyuşumsuz eşlenik noktayı

gizlemiştir.

Benzerlik dönüşümü sonucunda karesel ortalama

hata m0= 0.1247 m bulunmuş (Çizelge 2),

uyuşumsuz olan 23 numaralı nokta (Şekil 3b) eşlenik

nokta kümesinden çıkarılarak yapılan benzerlik

dönüşümünün ortalama hatası m0= 0.0197 m

olarak elde edilmiştir ve uyuşumsuz ölçü

kalmadığına karar verilmiştir (Çizelge 3, Şekil 3d).

Eğik-dik (Afin-1) dönüşümü sonucunda iki koordinat

sistemi arasında farklı dönüklük ve farklı ölçek

anlamlı bulunmuştur (Çizelge 2). Dönüşümün

ortalama hatası m0= 0.0172 m olarak hesaplanmış

ve uyuşumsuz ölçü bulunamamıştır. Bunun nedeni

eşlenik nokta sayısının az olması ve uyuşumsuz olan

23 numaralı noktanın eşlenik nokta kümesinin

uzağında kalmasıdır. Bu nedenle Afin-1 dönüşümü

bu uyuşumsuzluğu kendi yapısına uydurmuştur.

Dönüşümün serbestlik derecesi büyük olsaydı ve 23

numaralı noktanın geometrik yeri daha uygun olarak

verilseydi (dönüşümü yapılacak alanın ortalarında

yer alsaydı), Afin-1 dönüşümünü de uyuşumsuz olan

23 numaralı noktayı belirleyebilirdi. 23 numaralı

nokta çıkarılarak yapılan Afin-1 ve Benzerlik

dönüşüm sonuçları uyumlu gibi gözükmektedir

(Çizelge 3). Bu yanıltıcı uyumluluk, Çizelge 3’te

verilen soncul varyans değerlerinin (F-Dağılım

fonksiyonun olasılık değeri PF{ 1.972 / 1.782 } =

%50.43 < F(4,,2)=%95 olduğu için E{ 1.972 } = E{ 1.782 }

den dolayı) eşdeğerliğinden ve 23 numaralı noktanın

Afin-1 ve Benzerlik dönüşümü sonucunda elde

edilen hata vektörleri farkının (t-Dağılım

fonksiyonunun olasılık değeri Pt{ |37.84 -40.94| /

28.92 } = %54.09 < t(4+2) = %95 olduğundan E{ 3.10

cm} = 0 cm den dolayı) istatistiksel olarak anlamsız

olmasından görebiliriz (Çizelge 3).

Yine aynı çizelgede, Afin-1 seçimi anlamlı çıkmıştır.

Bu anlamlılığın farklı ölçek ya da farklı dönüklük

öngörüsünden mi kaynaklandığı Çizelge 3’ten

yaralanılarak belirlenebilir. Çizelgede verilen

değerlerden farklı dönüklüğün ( Pt{ |4.59| / 0.51 } =

%99.39 > t(2) = %95 den dolayı ) anlamlı olduğu ve

farklı ölçeğin ise ( Pt{ |-137.23| / 80.74 } = %88.44 <

t(2) = %95 den dolayı ) anlamsız olduğu

görülmektedir (Çizelge 3).

Son iki paragraftaki çelişkili durum, uygulayıcının

dönüşüm modeli seçimi konusunda karasız

kalmasına neden olur. İşte bu gibi durumlarda ilk

geometrik öngörü çok önem kazanır. Sözgelimi

Çizelge 1 de verilen koordinatların iki dik jeodezik

(imar ve kadastro) koordinat sisteme ait olduğu

düşünüldüğünde, benzerlik dönüşümü tercihi daha

anlamlı hale gelir. Verdiğimiz kararın doğruluğunu

Çizelge 3’te verilen dönüşüm parametrelerinin

duyarlıklarını inceleyerek de görebiliriz. Bu

çizelgede, Benzerlik dönüşüm parametrelerinin

duyarlıklarının Afin-1 parametre duyarlıklarından

daha güvenilir olarak hesaplandığı da

görülmektedir.

Dönüşümlerde, eşlenik nokta sayısı ve dağılımı

uyuşumsuz ölçülerin doğru belirlenmesinde oldukça

önemlidir. Çalışmada verilen örnek uygulamada

(Çizelge 1) olduğu gibi eşlenik nokta sayısı az ve

nokta dağılımı kötü ise, öngörülen matematik

modelin doğru olarak seçilmesi daha da önem

kazanmaktadır (Şekil 3, Çizelge 2-3). Matematik

model kurulurken, eşlenik nokta koordinatlarının

hangi kaynaktan elde edildiğine dikkat edilmeli ve

öngörülen matematik model ona göre seçilmelidir.

Seçilen model istatistiksel testler ile

desteklenmelidir.

5. Sonuç

Dönüşümü yapılacak koordinatların fiziksel

özelliklerine göre dönüşüm türü belirlenmelidir.

Örneğin, jeodezik koordinatlar arasındaki

dönüşümlerde benzerlik dönüşümü öncelikli

düşünülmeli, benzerlik dönüşümünde uyuşumsuz

nokta çifti bulunmuyorsa, afin dönüşümü sonuçları

iyileştirmek ve eski nokta koordinatlarında meydana

gelebilecek bozulmaları (distorsiyonları) azaltmak

için yapılmalıdır. Sözgelimi fotogrametrik

çalışmalarda kamera distorsiyonlarından

kaynaklanan hataların azaltılmasında da afin

dönüşümü kullanılabilir. Böyle durumlarda benzerlik

dönüşümü, sonuçları denetlemek için

kullanılmalıdır.

Son söz olarak, benzerlik ve afin dönüşümleri aynı

anda uygulanmalı ve sonuçlar istatistiksel olarak test

edilmelidir. Böylece çalışılan alanın yada problemin

fiziksel özellikleri daha iyi anlaşılır ve daha sonra

İki Boyutlu Doğrusal Dönüşümlerin Geometrisi, Kurt

- 249 -

yapılacak olan çalışmalar için öngörü ve deneyim

kazanılmış olur.

6. Kaynaklar

Demirel, H., 1997. Jeodezik Verilerin İrdelenmesi, Lisans

Üstü Ders Notları, Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen

Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, (Basılmadı).

Hacısalihoğlu, H.H., 1990. 2 ve 3 Boyutlu Uzaylarda

Analitik Geometri, Gazi Üniversitesi Yayın No:147, Fen

Edebiyat Fakültesi Yayın No:18, Ankara, 1-41.

Koch, K.R., 1999. Parameter estimation and hypothesis

testing in linear models: second, updated and

enlarged edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,

ISBN 978-3-642-08461-4, 302-309.

Kurt, O., 2002, İki Boyutlu Benzerlik ve Afin Dönüşümleri,

Bülent Ecevit (Zonguldak Karaelmas) Üniversitesi,

Mühendislik Fakültesi, Geomatik (Jeodezi ve

Fotogrametri) Mühendisliği Bölümü, Seminer

Çalışması, Zonguldak,.

https://www.researchgate.net/publication/2810058

62, (17.09.2017).

Kurt, O., 2010. Jeodezik Verilerin İrdelenmesi, Ders

Notları, Kocaeli Üniversitesi, Harita Mühendisliği

Bölümü, 2010.

https://orhankurt.jimdo.com/app/download/870363

6997/HRT402_JeoVer_Tek.pdf?t= 1450994938,

(17.09.2017).

Leick, A., Rapoport, L., Tatarnikov, D., 2015, GPS Satellite

Surveying, Fourt Edition, ISBN 978-1-118-67557-1

(cloth) – 9781119018285 (epdf) – 9781119018261

(epub), John Wiley & Sons, Inc Publication, Hoboken,

New Jersey USA, 42-77.

Malissiovas, G., Neitzel, F. & Petrovic, S., 2016,

Götterdämmerung over total least squares. Journal of

Geodetic Science, 6(1), pp. -. Retrieved 13 Apr. 2018,

from doi:10.1515/jogs-2016-0003.

Öztürk, E., Şerbetçi, M., 1996. Dengeleme hesabı, Cilt III,

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Mühendislik Mimarlık

Fakültesi Genel Yayın No: 144, Trabzon, 258-347, 365-

375.

İnternet kaynakları 1-https://www.python.org/ , (17.09.2017) 2-https://stackoverflow.com/questions/20126061/creat ing-a-confidence-ellipses-in-a-sccatterplot-using-matplotlib, (27.04.2017)